人教A版高中数学第五章第5节《三角恒等变换》解答题提升训练 (15)(含答案解析)

第五章第5节《三角恒等变换》解答题提升训练 (15) 一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）

1.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+cosα−2√2sinα

y=−2+2√2cosα+sinα

(其中α为参数).以原

点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π

4

)=a．

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)若曲线C1上恰有三个点到曲线C2的距离为1，求a的值．

2.已知函数f(x)=sinxcosx−√3sin2x+√3．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)当−π

3≤x≤π

6

时，求函数y=f(x)的值域．

3.证明：

(1)2cosα·sinβ=sin(α+β)−sin(α−β)；

(2)cos 2π

2n+1+cos 4π

2n+1

+⋯+cos 2nπ

2n+1

=−1

2

(n∈N∗)．

4.如图，半圆O的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上异于A，B两点

的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角△PCD，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设∠PAC=θ．

(1)把线段PC的长表示为θ的函数；

(2)求四边形ACDP面积的最大值．

5.已知函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx．

(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)若f(x)在区间[−π

3,m]上的最大值为3

2

，求m的最小值．

6.已知sinα=2√5

5,cosβ=√10

10

，α，β∈(0,π

2

)．

(1)求cos(2α−π

3

)的值；

(2)求α+β的值．

7.已知△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，a(b−1)sinB−2sinA=0．

(1)求b；

(2)若7sin2C+sin2B−sin2A=2sinBsinCsinA，求△ABC面积的最大值．

8.已知f(x)=2sin(1

2x+π

6

)

(1)求f(π

6

)的值；

(2)已知α，β为锐角，若f(2α−π

3)=8

5

，f(2β+2π

3

)=10

13

，求sin(α−β)的值．

9.已知函数f(x)=2sinxcosx−2√3cos2x+√3,x∈R．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间[π

24,2π

3

]上的最大值和最小值；

(3)若关于x的不等式mf(x)+3m≥f(x)在R上恒成立，求实数m的取值范围．10.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(−3,√3)．

(2)定义行列式运算b

d |=ad−bc,求行列式|sinα

1的值；

(3)求函数f(x)=|2cos(x+π

12

)

√3

tanα

2sin(x+π

12

)|(x∈R)的最小正周期，最大值，并指出取

得最大值时x的值．

11.已知函数f(x)=√3sin(ωx+π

6)+2sin2(ωx

2

+π

12

)−1(ω>0)，且f(x)图象的相邻两对称轴间的

距离为．

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的1

2

(纵坐标变)，得到函数y=g(x)的图象，当时，求函数g(x)的值域．

12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(cosC+√3

3

sinC)=a．

(Ⅱ)若c=√2，c2=a2+b2−√2ab，求△ABC的面积．

13.已知函数f(x)=sin(x+π

2)cos(x−π

4

)−√2

4

．

(1)求f(π

6

).

(2)若方程f(x)=a在区间[0,π

2

]上只有一个实数解，求实数a的取值范围．

14.已知f(x)=√3sin2x+cos2x

(1)求函数f(x)的单调减区间；

(2)若g(x)=a•[2−f(x)]+b，，是否存在常数，使得g(x)的值域为

？

若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

15.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(−x0)=−f(x0)，则称f(x)为“M类函数”．

(1)已知函数f(x)=2cos(x−π

3

)，试判断f(x)是否为“M类函数”？并说明理由；

(2)若f(x)={log2 (x 2−2mx),x⩾3

−2,x<3为其定义域上的“

M类函数”，求实数m取值范围．

16.已知函数f(x)=4sinxcos(x−π

6

)−1．

(1)求f(5π

12

)的值；

(2)当x∈[0,π]时，求函数f(x)的单调递增区间．