人教A版高中数学第五章第5节《三角恒等变换》解答题提升训练 (15)(含答案解析)
高中数学新教材必修第一册第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换(南开题库详解)
第五章三角函数 5.5 三角恒等变换一、选择题（共60小题；共300分）1. 若tanθ+1tanθ=4，则sin2θ=( )A. 15B. 14C. 13D. 122. 已知α是第一象限角，满足sinα−cosα=√105，则cos2α=( )A. −35B. ±35C. −45D. ±453. 已知sin(a+π3)+sina=−4√35，−π2<a<0，则cos(a+2π3)等于( )A. −45B. −35C. 45D. 354. 设a=cos50∘cos127∘+cos40∘cos37∘，b=√22(sin56∘−cos56∘)，c=1−tan239∘1+tan239∘，d=12(cos80∘−2cos250∘+1)，则a，b，c，d的大小关系为( )A. a>b>d>cB. b>a>d>cC. a>c>b>dD. c>a>b>d5. 如图①，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成（图②），第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一个直角边为1．将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为α1，α2，α3，⋯，则与α1+α2+α3+α4最接近的角是( )参考值：tan55∘≈1.428，tan60∘≈1.732，tan65∘≈2.145，√2≈1.414．A. 120∘B. 130∘C. 135∘D. 140∘6. 若cos(π8−α)=15，则cos(3π4+2α)的值为( )A. −78B. 78C. −2325D. 23257. 已知角θ的终边过点(2sin2π8−1,a)，若sinθ=2√3sin13π12cosπ12，则实数a等于( )A. −√6B. −√62C. ±√6 D. ±√628. 在△ABC中，已知tan A+B2=sinC，给出以下四个论断：①tanA⋅cotB=1；②0<sinA+sinB≤√2；③sin2A+cos2B=1；④ cos 2A +cos 2B =sin 2C ． 其中正确的是 ( ) A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③9. 设 α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，且 sinαcosα=cosβ1−sinβ，则 ( )A. 2α+β=π2B. 2α−β=π2C. α+2β=π2D. α−2β=π210. 设函数 f (x )=sin (2x +π4)+cos (2x +π4)，则 ( )A. y =f (x ) 在 (0,π2) 单调递增，其图象关于直线 x =π4 对称 B. y =f (x ) 在 (0,π2) 单调递增，其图象关于直线 x =π2 对称 C. y =f (x ) 在 (0,π2) 单调递减，其图象关于直线 x =π4 对称 D. y =f (x ) 在 (0,π2) 单调递减，其图象关于直线 x =π2 对称 11. 设 α,β∈(0,π2) 且 tanα−tanβ=1cosβ，则 ( )A. 3α+β=π2B. 2α+β=π2C. 3α−β=π2D. 2α−β=π212. 已知 D 是由不等式组 {x −2y ≥0,x +3y ≥0所确定的平面区域，则圆 x 2+y 2=4 在区域 D 内的弧长为( ) A. π4B. π2C. 3π4D. 3π213. 已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y =−√3x 上，则 sin2θ=( ) A. 12B. √32C. −12D. −√3214. “sinα=cosα”是“cos2α=0”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件15. 已知 tanθ=3，则 cos (3π2+2θ)= ( )A. −45B. −35C. 35D. 4516. 若 sin2α=√55，sin (β−α)=√1010 ，且 α∈[π4,π]，β∈[π,3π2] ，则 α+β 的值是 ( )A. 7π4B. 5π4C. 5π4或 7π4D. 7π4或 9π417. 将函数 y =√3cosx +sinx (x ∈R ) 的图象向左平移 m (m >0) 个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则 m 的最小值是 ( ) A. π12B. π6C. π3D. 5π618. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，已知 sin (B −A )+sin (B +A )=3sin2A ，且 c =√7，C =π3，则 △ABC 的面积是 ( )A.3√34B.7√36C.√213D.3√34 或 7√3619. 函数 f (x )=cos 2x +2sin 2x 2−2 的一个单调增区间是 ( )A. (π3,2π3) B. (π6,π2)C. (−π3,π3)D. (−π6,π6)20. 函数 y =2cos 2(x −π4)−1 是 ( )A. 最小正周期为 π 的奇函数B. 最小正周期为 π2的奇函数C. 最小正周期为 π 的偶函数D. 最小正周期为 π2的偶函数21. 若 sin2θ=23，则 tanθ+1tanθ= ( )A. √2B. √3C. 2D. 322. 若复数 z =(cosθ−45)+(sinθ−35)i 是纯虚数（i 为虚数单位），则 tan (θ−π4) 的值为 ( )A. 7B. −17C. −7D. −7 或 −1723. 已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 y =3x 上，则 sin (2θ+π3)= ( ) A.3−4√310B. −3−4√310C.4−3√310D. −4−3√31024. 已知 cos (α+π2)=35，−π2<α<π2，则 sin2α 等于 ( )A. 1225B. −1225C. 2425D. −242525. 若 sin (π3−α)=13，则 cos (π3+2α)= ( )A. 79B. 23C. −23D. −7926. 设角 θ 的终边过点 (2,3)，则 tan (θ−π4)= ( )A. 15B. −15C. 5D. −527. 已知 cosα=−45，且 α∈(π2,π)，则 tan (π4−α)= ( )A. −17B. −7C. 17D. 728. 已知 x ∈(0,π)，且 cos (2x −π2)=sin 2x ，则 tan (x −π4) 等于 ( )A. 13B. −13C. 3D. −329. 已知函数 f (x )=sin (2x +π12)，fʹ(x ) 是 f (x ) 的导函数，则函数 y =2f (x )+fʹ(x ) 的一个单调递减区间是 ( )A. [π12,7π12]B. [−5π12,π12]C. [−π3,2π3] D. [−π6,5π6]30. 已知函数 f (x )=sinωx +√3cosωx (ω>0)，f (π6)+f (π2)=0，f (x ) 在区间 (π6,π2) 上单调，则ω= ( )A. 2B. 1C. 3D. 531. 若 cos (π8−α)=16，则 cos (3π4+2α) 的值为 ( )A. 1718B. −1718C. 1819D. −181932. 设函数 f (x )=sin (ωx +φ)+cos (ωx +φ)(ω>0,∣φ∣<π2) 是最小正周期为 π 的偶函数，则( ) A. f (x ) 在 (0,π2) 上单调递减 B. f (x ) 在 (π4,3π4) 上单调递减C. f (x ) 在 (0,π2) 上单调递增D. f (x ) 在 (π4,3π4) 上单调递增33. 下列说法正确的是 ( )A. 若 a ∈R ，则“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件 B. “p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件 C. 若命题 p ：“∀x ∈R,sinx +cosx ≤√2”，则 ¬p 是真命题D. 命题“∃x 0∈R,x 02+2x 0+3<0”的否定是“∀x ∈R,x 2+2x +3>0”34. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，S 表示 △ABC 的面积，若 acosB +bcosA =csinC ，S =14(b 2+c 2−a 2)，则角 B 等于 ( )A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘35. 已知角 θ 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 M (−3,4)，则 cos2θ 的值为 ( )A. −725 B. 725 C. −2425 D. 242536. 化简：∘cos25∘√1−sin40∘= ( )A. 1B. √3C. √2D. 237. 已知 sinα=35，且 α 为第二象限角，则 tan (2α+π4)= ( )A. −195B. −519C. −3117D. −173138. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 √3acosB +bsinA =0，则 B = ( )A. π6 B. π3C. 2π3D. 5π639. 已知 f (x )=sinx +√3cosx (x ∈R )，函数 y =f (x +φ) 的图象关于直线 x =0 对称，则 φ 的值可以是 ( )A. π2B. π3C. π4D. π640. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，asinBcosC +csinBcosA =12b ，且 a >b ，则 B = ( ) A. π6B. π3C. 2π3D. 5π641. 已知 sin (π3−α)=13，则 sin (π6−2α)= ( )A. −79B. 79C. ±79D. −2942. 已知 cos (2π3−α)=34，则 sin (α−π6)cos (π3−2α)= ( )A. 332B. −332C. 316D. −31643. 若 α∈(0,2π)，则使不等式 cos (π2−α)≥sin (π2+α) 成立的 α 的取值范围是 ( )A. [π4,π2]B. [π2,π]C. [π4,5π4] D. [π4,π2]∪[π,5π4]44. 若 3cosx −√3sinx =2√3sin (x +α)，则角 α 在 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限45. 已知 a =sin14∘+cos14∘，b =sin16∘+cos16∘，c =√62，则 a ，b ，c 的大小顺序为 ( ) A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. b <a <c46. 中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图 1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图 2 所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为 100，小正方形的面积为 4，则图 2 中菱形的一个锐角的正弦值为 ( )A. 2425B. 35C. 45D. 72547. 如图，已知点 P (−3,−1)，OA 为第一象限的角平分线，将 OA 沿逆时针旋转 θ 角到 OB ，若 OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则 tanθ 的值为 ( )A. 2B. 3C. −2D. −348. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c 且 b 2+c 2+bc −a 2=0，则asin (30∘−C )b−c=( ) A. −12B. 12C. −√32D. √3249. 已知 cosα=35，cos (α−β)=7√210，且 0<β<α<π2，那么 β= ( )A. π12B. π6C. π4D. π350. 已知 cos (π4−θ2)=23，则 sinθ= ( )A. 79B. 19C. −19D. −7951. 若函数 f (x )=4sinωx ⋅sin 2(π4+ωx 2)+cos2ωx (ω>0) 在 [−π2,2π3] 上是增函数，则 ω 的取值范围是 ( ) A. (0,1]B. (0,34]C. [1,+∞)D. [34,+∞)52. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且满足 b 2+c 2−a 2=bc ，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，a =√32，则 b +c 的取值范围是 ( )A. (1,32) B. (√32,32)C. (12,32)D. (12,32]53. 若函数 f (x )=x −13sin2x +asinx 在 (−∞,+∞) 单调递增，则 a 的取值范围是 ( )A. [−1,1]B. [−1,13]C. [−13,13]D. [−1,−13]54. 设 P 为椭圆 C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 上的动点，F 1，F 2 为椭圆 C 的焦点，I 为 △PF 1F 2 的内心，则直线 IF 1 和直线 IF 2 的斜率之积 ( )A. 是定值B. 非定值，但存在最大值C. 非定值，但存在最小值D. 非定值，且不存在最值 55. 已知 α∈R ，sinα+2cosα=√102，则 tan2α= ( )A. 43B. 34 C. −34D. −4356. 已知函数 f (x ) 的定义域为 R ，若存在常数 m >0，对任意 x ∈R ，有 ∣f (x )∣≤m∣x∣，则称 f (x )为 F 函数．给出下列函数：① f (x )=0；② f (x )=x 2；③ f (x )=sinx +cosx ；④ f (x )=x x 2+x+1；⑤ f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且满足对一切实数 x 1,x 2 均有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤2∣∣x 1−x 2∣．其中是 F 函数的序号为 ( )A. ①②④B. ②③④C. ①④⑤D. ①②⑤57. 如图，在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，点 O 为线段 BD 的中点，设点 P 在线段 CC 1 上，直线OP 与平面 A 1BD 所成的角为 α，则 sinα 的取值范围为 ( )A. [√33,1]B. [√63,1]C. [√63,2√23] D. [2√23,1]58. 已知函数 f (x )=sin 2ωx 2+12sinωx −12(ω>0)，x ∈R ．若 f (x ) 在区间 (π,2π) 内没有零点，则ω 的取值范围是 ( ) A. (0,18] B. (0,14]∪[58,1)C. (0,58] D. (0,18]∪[14,58]59. 已知抛物线 y =−316(x −1)(x −9) 与 x 轴交于 A ，B 两点，对称轴与抛物线交于点 C ，与 x 轴交于点 D ，⊙C 的半径为 2，G 为 ⊙C 上一动点，P 为 AG 的中点，则 DP 的最大值为 ( )A. 72B.√412C.√342D. 2√360. 设 a 1,a 2,a 3,a 4∈R ，且 a 1a 4−a 2a 3=1，记 f (a 1,a 2,a 3,a 4)=a 12+a 22+a 32+a 42+a 1a 3+a 2a 4，则 f (a 1,a 2,a 3,a 4) 的最小值为 ( )A. 1B. √3C. 2D. 2√3二、填空题（共30小题；共150分） 61. sin15∘+sin75∘ 的值是 ．62. 已知点 P (3cosθ,sinθ) 在直线 l:x +3y =1 上，则 sin2θ= ． 63. 函数 y =(tanx −1)cos 2x 的最大值是 ． 64. cos10∘tan20∘+√3sin10∘tan70∘−2cos40∘ 的值是 ．65. 已知 x 1，x 2 是函数 f (x )=2sin2x +cos2x −m 在 [0,π2] 内的两个零点，则 sin (x 1+x 2)= ．66. 若 cos (α+π5)=45，则 sin (2α+9π10)= ．67. 设 sin2α=−sinα，α∈(π2,π)，则 tan2α 的值是 ．68. 已知 2cos 2x +sin2x =Asin (ωx +φ)+b (A >0)，则 A = ，b = ．69. 已知角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为 (3,4)，则cos2α= ．70. 函数 f (x )=3sinx −1tanx ，x ∈(0,π2) 的最小值为 ． 71. 函数 y =2sinx +sin (π3−x) 的最小值是 ．72. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 α 的顶点和 点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上一点 M 坐标为 (1,√3)，则 tan (α+π4)= ．73. 设 α 为锐角，若 cos (α+π6)=45，则 sin (α−π12)= ． 74. 求值： tan10∘tan20∘+tan20∘tan60∘+tan60∘tan10∘= ． 75. 已知 tanα=12，tan (α−β)=−25，那么 tan (β−2α) 的值是 ． 76. 已知 sin2α=23，则 cos 2(α+π4)= ．77. 若点 (θ,0) 是函数 f (x )=sinx +3cosx 的一个对称中心，则 cos2θ+sinθcosθ= ． 78. 计算 √3tan12∘−3(4cos 212∘−2)sin12∘= ．79. 边长为 2 的正三角形 ABC 内（包括三边）有点 P ，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围 ．80. △ABC 中，sin (A −B )=sinC −sinB ，D 是边 BC 的一个三等分点（靠近点 B ），记sin∠ABD sin∠BAD=λ，则当 λ 取最大值时，tan∠ACD = ． 81. 函数 f (x )=1+sinx 2+cosx的最大值与最小值之和为 ．82. 在 △ABC 中，B =60∘，AC =√3，则 AB +2BC 的最大值为 ．83. 在 △ABC 中，∠A =θ，D ，E 分别为 AB ，AC 的中点，且 BE ⊥CD ，则 cos2θ 的最小值为 ．84. 设 a ，b ，c 分别为 △ABC 三内角 A ，B ，C 的对边，面积 S =12c 2，若 ab =√2，则 a 2+b 2+c 2 的最大值是 ．85. 已知 α,β∈(0,π2)，且 sinβ=2cos (α+β)sinα，若 tan (α+β)=3，则 tanα= ． 86. sin 213∘+sin 247∘+sin13∘sin47∘ ．87. （1）若 2sin 2α+sin 2β=3sinα，则 sin 2α+sin 2β 的取值范围是 ；（2）若 3sin 2α+2sin 2β=2sinα，则 cos 2α+cos 2β 的最小值为 ． 88. 已知 A ，B ，C 是半径为 1 的圆 O 上的三点，AB 为圆 O 的直径，P 为圆 O 内一点（含圆周），则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 ． 89. 在锐角三角形 ABC 中，若 sinA =2sinBsinC ，则 tanAtanBtanC 的最小值是 ．90. 若函数 f (x )=∣asinx +bcosx −1∣+∣bsinx −acosx∣(a,b ∈R ) 的最大值为 11，则 a 2+b 2= ．三、解答题（共10小题；共130分）91. 已知 α 为锐角，且 sin 2α−sinαcosα−2cos 2α=0．（1）求 tanα 的值； （2）求 sin (α−π3) 的值．92. 在 △ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，已知 b 2=ac ，且 a 2−c 2=ac −bc ．（1）求 ∠A 的大小；（2）设 f (x )=cos (ωx −A2)+sin (ωx )(ω>0) 且 f (x ) 的最小正周期为 π，求 f (x ) 在 [0,π2] 的最大值．93. 已知 A 、 B 、 C 是 △ABC 三内角，向量 m ⃗⃗ =(−1,√3)，n ⃗ =(cosA,sinA )，且 m ⃗⃗ ⋅n ⃗ =1．（1）求角 A ； （2）若1+sin2B cos 2B−sin 2B=−3，求 tanC ．94. 已知函数 f (x )=cosx ⋅sin (x +π3)−√3cos 2x +√34,x ∈R ．（1）求 f (x ) 的最小正周期； （2）求 f (x ) 在区间 [−π4,π4] 上的最大值和最小值．95. 已知 0<α<β<π2，且 cosα，cosβ 是方程 x 2−(√2sin50∘)x +sin 250∘−12=0 的两根．（1）求 α 、 β 的值； （2）求 sin (α+65∘)[1−√3tan (β−35∘)] 的值．96. 如图，矩形公园 OABC 中，OA =2 km ，OC =1 km ，公园的左下角阴影部分为以 O 为圆心，半径为 1 km 的 14 圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路 EF （点 E ，F 分别在边 OA 与 BC 上），D 为切点．（1）试求观光道路 EF 长度的最大值； （2）公园计划在道路 EF 右侧种植草坪，试求草坪 ABFE 面积 S 的最大值．97. 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形 ABCD 的四个内角．（1）证明：tan A 2=1−cosA sinA；（2）若A+C=180∘，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan A2+tan B2+tan C2+tan D2的值．98. 已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．（1）求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α，β．①求实数m的取值范围；②证明：cos(α−β)=2m25−1．99. 在△ABC中，已知cosC+(cosA−√3sinA)cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin(A−π3)=35，求sin2C．100. 已知数列{a n}中，满足a1=12，a n+1=√a n+12，记S n为{a n}的前n项和．证明：（1）a n+1>a n；（2）a n=cosπ3⋅2n−1；（3）S n>n−27+π254．答案第一部分 1. D 【解析】因为tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin 2θ+cos 2θsinθcosθ=112sin2θ=4,所以 sin2θ=12．2. C 【解析】因为 α 是第一象限角，满足 sinα−cosα=√105，所以 1−2sinαcosα=1025，所以2sinαcosα=35，所以 sinα+cosα=√(sinα+cosα)2=√1+2sinαcosα=2√105，则 cos2α=cos 2α−sin 2α=(cosα+sinα)⋅(cosα−sinα)=2√105⋅(−√105)=−45.3. C【解析】sin (a +π3)+sina=12sina +√32cosa +sina=32sina +√32cosa=√3sin (a +π6)=−4√35,所以 sin (a +π6)=−45，cos (a +2π3)=cos [(a +π6)+π2]=−sin (a +π6)=−(−45)=45.4. C 【解析】a=cos50∘cos127∘+cos40∘cos37∘=−cos50∘sin37∘+sin50∘cos37∘=sin13∘,b =√22(sin56∘−cos56∘)=sin11∘,c =1−tan 239∘1+tan 239∘=cos 239∘−sin 239∘=cos78∘=sin12∘，d =12(cos80∘−2cos 250∘+1)=12(cos80∘−cos100∘)=sin10∘． 故 a >c >b >d ． 5. C 6. D7. B【解析】2sin 2π8−1=−cos π4=−√22，2√3sin 13π12cos π12=−√32，因为角 θ 的终边过点 (2sin 2π8−1,a)，sinθ=2√3sin13π12cos π12，√12+a 2=−√32， 所以 a =−√62． 8. B【解析】tanA+B 2=tanπ−C 2=cot C 2，由 tanA+B 2=sinC 得 cot C 2=sinC =2sin C 2cos C2，所以sin 2C2=12，所以 C =π2，所以 △ABC 是为直角三角形，∠C =90∘，得不到①；sinA +sinB =sinA +cosA =√2sin (A +π4)，所以 0<sinA +sinB ≤√2 成立，②正确；sin 2A +cos 2B =sin 2A +sin 2A ，得不到③；cos 2A +cos 2B =cos 2A +sin 2A =sin 2C =1，④正确． 9. B【解析】由 sinαcosα=cosβ1−sinβ ，可得：sinα−sinαsinβ=cosαcosβ．所以 sinα=cosαcosβ+sinαsinβ=cos (α−β)， 因为 α∈(0,π2)，β∈(0,π2)， 所以 cos (α−β)>0， 所以 α+α−β=π2， 即 2α−β=π2． 10. D11. D 【解析】因为 tanα−tanβ=1cosβ，所以 sinαcosα=sinβ+1cosβ，整理得 sin (α−β)=cosα，所以 2α−β=π2+2kπ(k ∈Z )．12. B 【解析】如图，阴影部分表示 {x −2y ≥0,x +3y ≥0确定的平面区域，所以劣弧 AB⏜ 的弧长即为所求． ∵ k OB =−13，k OA =12，∴ tan∠BOA =tan (∠AOx +∠BOx )=12+131−12×13=1，∴ ∠BOA =π4．∴劣弧 AB⏜ 的长度为 2×π4=π2． 13. D14. A 【解析】因为 cos2α=cos 2α−sin 2α， 所以当 sinα=cosα 时，cos2α=0，充分性成立； 当 cos2α=0 时， 因为 cos 2α−sin 2α=0，所以 cosα=sinα 或 cosα=−sinα，必要性不成立． 15. C【解析】因为 tanθ=3，则cos (3π2+2θ)=sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=69+1=35.16. A 【解析】由 2α+(β−α)=α+β ，可知 sin (α+β)=sin [2α+(β−α)]=sin2α⋅cos (β−α)+cos2α⋅sin (β−α) ，因为 α∈[π4,π] 且 sin2α=√55<12 ，可得 cos2α=−2√55，2α∈[5π6,π] ，即 α∈[5π12,π2] ，所以 β−α∈[π2,13π12]，sin (β−α)=√1010 ； cos (β−α)=−3√1010， 代入 sin (α+β)=√55×(−3√1010)+(−2√55×√1010)=−√22. 所以 α+β=7π4 或 5π4，α+β∈[17π12,2π] ， 所以 α+β=7π4．17. B 【解析】因为 y =√3cosx +sinx =2(√32cosx +12sinx)=2sin (x +π3)，所以图象向左平移m (m >0) 个单位长度得到 y =2sin [(x +m )+π3]=2sin (x +m +π3)，因为所得的图象关于 y 轴对称，所以 m +π3=kπ+π2(k ∈Z )，则 m 的最小值为 π6.18. D 【解析】由 sin (B −A )+sin (B +A )=3sin2A ⇒2sinBcosA =6sinAcosA ⇒cosA =0 或 sinB =3sinA ．若 cosA =0，则 A =π2，此时 B =π6，在 Rt △ABC 中，b =ctanC =√213，此时 △ABC 的面积 S =12bc =12×√7×√213=7√36． 若 sinB =3sinA ，即 b =3a ，由余弦定理得 7=a 2+9a 2−2×a ×3a ×12，解得 a =1，此时 b =3，△ABC 的面积 S =12absinC =12×1×3×√32=3√34． 19. A 【解析】f (x )=cos 2x −2cos 2x2=cos 2x −cosx −1． 令 t =cosx ，则 g (t )=t 2−t −1．对于 g (t )=t 2−t −1，当 t ∈[−1,12] 时，g (t ) 为减函数； 当 t ∈[12,1] 时，g (t ) 为增函数． 当 x ∈(π3,2π3) 时，t =cosx 为减函数，且 t ∈(−12,12)， 所以原函数此时单调递增． 20. A【解析】y =2cos 2(x −π4)−1=cos (2x −π2)=sin2x ． 21. D22. C23. A24. D 【解析】由 cos (α+π2)=−sinα=35， 则 sinα=−35，又 −π2<α<π2，所以 cosα=√1−sin 2α=45，又 sin2α=2sinαcosα=2×(−35)×45=−2425． 25. D26. A 【解析】由于角 θ 的终边过点 (2,3)，因此 tanθ=32，故 tan (θ−π4)=tanθ−11+tanθ=32−11+32=15．27. D 【解析】因为 cosα=−45，且 α∈( π2 , π )，所以 sinα=35，于是 tanα=−34． 故 tan (π4−α)=1−tanα1+tanα=1+341−34=7．28. A 【解析】由 cos (2x −π2)=sin 2x 得 sin2x =sin 2x ，因为 x ∈(0,π)， 所以 tanx =2，所以 tan (x −π4)=tanx−11+tanx =13． 29. A 【解析】函数 f (x )=sin (2x +π12)，fʹ(x ) 是 f (x ) 的导函数，则函数y =2f (x )+fʹ(x )=2sin (2x +π12)+2cos (2x +π12)=2√2sin (2x +π12+π4)=2√2sin (2x +π3), 由 2kπ+π2≤2x +π3≤2kπ+3π2，k ∈Z ，可得 kπ+π12≤x ≤kπ+7π12，k ∈Z ， 所以函数的一个单调减区间为 [π12,7π12]．30. A31. A32. A 【解析】由 f (x )=sin (ωx +φ)+cos (ωx +φ)=√2sin (2ωx +φ+π4)，f (x ) 是最小正周期为π 的偶函数，所以 ω=1，φ+π4=π2+kπ(k ∈Z )．因为 ∣φ∣<π2，所以 φ=π4．f (x )=√2cos2x ，在 (0,π2) 上单调递减．33. A 【解析】由 1a <1，得 a <0 或 a >1，反之，由 a >1，得 1a <1， 所以“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件，故A 正确；由p∧q为真命题，知p，q均为真命题，所以p∨q为真命题，反之，由p∨q为真命题，得p，q至少有一个为真命题，所以p∧q不一定为真命题，所以“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B不正确；因为sinx+cosx=√2sin(x+π4)≤√2，所以命题p为真命题，则¬p是假命题，故C不正确；命题“∃x0∈R,x02+2x0+3<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+3≥0”，故D不正确．34. C 【解析】由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，即sin(B+A)=sinCsinC，因为sin(B+A)=sinC，所以sinC=1，C=90∘．根据三角形面积公式和余弦定理得，S=12bcsinA，b2+c2−a2=2bccosA，代入已知得12bcsinA=14⋅2bccosA，所以tanA=1，A=45∘，因此B=45∘．35. A【解析】依题意得tanθ=4−3=−43，cos2θ=1−tan2θ1+tan2θ=1−(−43)21+(−43)2=−725．36. C 【解析】原式=cos220∘−sin220∘cos25∘(cos20∘−sin20∘)=cos20∘+sin20∘cos25∘=√2cos25∘cos25∘=√2 .37. D 【解析】因为α为第二象限角，所以sinα=35⇒cosα=−45⇒sin2α=−2425，cos2α=2cos2α−1=725⇒tan2α=−247⇒tan(2α+π4)=1−2471+247=−1731．38. C 【解析】因为√3acosB+bsinA=0，由正弦定理，得：√3sinAcosB+sinBsinA=0所以，√3cosB+sinB=0，即2sin(B+π3)=0，所以，B=2π3．39. D 【解析】因为f(x)=2sin(x+π3)，所以f(x+φ)=2sin(x+φ+π3)．因为f(x+φ)的图象关于直线x=0对称，所以φ+π3=kπ+π2(k∈Z)，即φ=kπ+π6(k∈Z)．所以φ可以是π6．40. A【解析】因为asinBcosC+csinBcosA=12b，所以acosC+ccosA=b2sinB，由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=sinB=sinB2sinB ，可得sinB=12，因为a>b，所以∠A>∠B，即∠B为锐角，所以B=π6．41. A 【解析】因为sin(π3−α)=cos[π2−(π3−α)]=cos(π6+α)=13.所以sin(π6−2α)=cos[π2−(π6−2α)]=cos[2(π6+α)]=2cos2(π6+α)−1=2×19−1=−79.42. B 【解析】由cos(2π3−α)=34，可得，cos(π2+π6−α)=34，即sin(π6−α)=−34，那么sin(α−π6)=34．cos(π3−2α)=cos2(π6−α)=cos2(α−π6)=1−2sin2(α−π6)=1−2×916=−18.所以sin(α−π6)cos(π3−2α)=−18×34=−332．43. C 【解析】cos(π2−α)≥sin(π2+α)⇔sinα≥cosα⇔sinα−cosα≥0⇔√2sin(α−π4)≥0，所以2kπ≤α−π4≤π+2kπ，即π4+2kπ≤α≤5π4+2kπ．又α∈(0,2π)，所以α∈[π4,5π4]．44. B45. B【解析】提示：a=√2sin59∘，b=√2sin61∘，c=√2sin60∘．46. A47. A48. B 【解析】因为b2+c2+bc−a2=0，所以cosA=b 2+c2−a22bc=−12，所以A=120∘．由正弦定理可得asin (30∘−C )b−c=sinAsin (30∘−C )sinB−sinC=sin120∘sin (30∘−C )sin (60∘−C )−sinC =√32sin (30∘−C )−√3sin (C−30∘)=12.49. C 【解析】由 0<α<β<π2，得到 0<β−α<π2， 又 cosα=35，cos (α−β)=cos (β−α)=7√210， 所以 sinα=√1−cos 2α=45，sin (β−α)=−sin (α−β)=−√1−cos 2(α−β)=−√210， 则cosβ=cos [(β−α)+α]=cos (β−α)cosα−sin (β−α)sinα=7√210×35−(−√210)×45=√22,所以 β=π4． 50. C51. B52. B 【解析】由 b 2+c 2−a 2=bc 得，cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，则 A =π3，由 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0 知，B 为钝角， 又 asinA =1，则 b =sinB ，c =sinC ，b +c =sinB +sinC=sinB +sin (2π3−B)=32sinB +√32cosB=√3sin (B +π6),由于 π2<B <2π3，所以 2π3<B +π6<5π6，所以 12<sin (B +π6)<√32，b +c ∈(√32,32)． 53. C 【解析】解法1：用特殊值法：取 a =−1，f (x )=x −13sin2x −sinx ，fʹ(x )=1−23cos2x −cosx ，但 fʹ(0)=1−23−1=−23<0，不具备在 (−∞,+∞) 单调递增，排除 A ，B ，D ．解法2：fʹ(x )=−43cos 2x +acosx +53，因为 fʹ(x ) 是关于 cosx 开口向下的二次函数，由 f (x ) 在 R 上单调递增，有 {fʹ(−1)≥0,fʹ(1)≥0,解得 a ∈[−13,13] .54. A 【解析】设 ∠F 1PF 2=θ，∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，则有 k IF 1=tan α2，k IF 2=−tan β2，则e =2c 2a =F 1F 2PF 1+PF2=sinθsinα+sinβ=sin (α+β)sinα+sinβ=2sinα+β2cos α+β22sin α+β2cosα−β2=cosα+β2cosα−β2=cos α2cos β2−sin α2sinβ2cos α2cos β2+sin α2sinβ2=1−tan α2tanβ21+tan α2tan β2,则 tan α2tan β2=1−e1+e ， 即 k IF 1⋅k IF 2=e−1e+1，为定值． 55. C【解析】方法一（直接法）：sinα+2cosα=√102两边平方， 再同时除以 cos 2α，整理得 3tan 2α−8tanα−3=0， 故 tanα=3 或 tanα=−13，代入 tan2α=2tanα1−tan 2α，得 tan2α=−34．方法二（猜想法）：由给出的数据及选项的唯一性， 记 sinα=√10，cosα=√10，这时 sinα+2cosα=√102符合要求， 此时 tanα=3，代入二倍角公式求解即可． 56. C57. B 【解析】可证 AC 1⊥平面A 1BD ，而当 P 为 CC 1 的中点时，OP ∥AC 1，此时 OP ⊥平面A 1BD ，从而 α 的最大值为 π2．因此 α∈[∠AOA 1,π2]∪[∠C 1OA 1,π2]．设 AA 1=2，则 AO =√2，A 1O =√6． 在 Rt △A 1AO 中，sin∠AOA 1=AA 1A1O=√63． sin∠C 1OA 1=sin (π−2∠AOA 1)=sin2∠AOA 1=2sin∠AOA 1cos∠AOA 1=2×√63×√33=2√23>√63.综上所述，sinα∈[√63,1]． 58. D 【解析】f (x )=1−cosωx2+sinωx 2−12=√22sin (ωx −π4)．由 f (x )=0，得 sin (ωx −π4)=0，解得 x =kπ+π4ω(k ∈Z )．由 f (x ) 在 (π,2π) 内没有零点，得kπ+π4ω∉(π,2π)(k ∈Z )，解得 ω∉(18,14)∪(58,54)∪(98,94)∪⋯=(18,14)∪(58,+∞)，因此，ω∈(0,18]∪[14,58]．59. A 【解析】抛物线 y =−316(x −1)(x −9) 与 x 轴交于 A ，B 两点， 可得 A (1,0)，B (9,0)，D (5,0)，C (5,3)， 圆的方程为：(x −5)2+(y −3)2=4， 设 G (5+2cosθ,3+2sinθ)．P 为 AG 的中点， 可得 P (3+cosθ,32+sinθ)．DP =√(cosθ−2)2+(32+sinθ)2=√5+94−4cosθ+3sinθ=√5+94+5sin (θ−γ),其中 tanγ=43．√5+94+5sin (θ−γ)≤√10+94=72．60. B【解析】设 m ⃗⃗ =(a 1,a 2)，n ⃗ =(a 3,a 4)， f (a 1,a 2,a 3,a 4)=∣m ⃗⃗ ∣2+∣n ⃗ ∣2+m ⃗⃗ ⋅n ⃗ ， 由题意可知 m ⃗⃗ ，n ⃗ 不平行， 设 m ⃗⃗ 与 n ⃗ 的夹角为 θ， 则 cosθ=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣∣m ⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣n ⃗ ∣∣， 那么以 ∣m ⃗⃗ ∣ 和 ∣n ⃗ ∣ 为边长的三角形的面积为S=12∣m ⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣sinθ=12∣m ⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣√1−cos 2θ=12∣m ⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣⋅√1−(m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣m ⃗⃗⃗ ∣⋅∣∣n ⃗ ∣)2=12√(∣m ⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗ ∣)2−(m ⃗⃗ ⋅n ⃗ )2=12∣a 1a 4−a 2a 3∣=12,所以 ∣m ⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣=1sinθ，所以 f (a 1,a 2,a 3,a 4)≥2∣m ⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣+m ⃗⃗ ⋅n ⃗ =2sinθ+cosθsinθ=2+cosθsinθ,记2+cosθsinθ=λ(λ>0)，则 λsinθ−cosθ=2，所以 √λ2+1sin (θ+φ)=2,其中tanφ=−1λ，所以 sin (θ+φ)=√λ2+1≥1，解得 λ≥√3，所以 f (a 1,a 2,a 3,a 4)≥√3． 第二部分 61. √6262. −89 63.√2−12【解析】函数化简为 y =√22sin (2x −π4)−12．所以最大值为 √2−12． 64. 2【解析】cos10∘tan20∘+√3sin10∘tan70∘−2cos40∘=cos10∘+√3sin10∘tan70∘tan20∘−2cos40∘tan20∘tan20∘=2sin (10∘+40∘)−2cos40∘tan20∘tan20∘=2(sin40∘cos20∘−sin20∘cos40∘)sin20∘=2sin20∘sin20∘=2.65.2√55【解析】x 1，x 2 是函数 f (x )=2sin2x +cos2x −m 在 [0,π2] 内的两个零点，可得 m =2sin2x 1+cos2x 1=2sin2x 2+cos2x 2，即为 2(sin2x 1−sin2x 2)=−cos2x 1+cos2x 2，即有 4cos (x 1+x 2) sin (x 1−x 2)=−2sin (x 2+x 1)sin (x 2−x 1)，由 x 1≠x 2，可得 sin (x 1−x 2)≠0，可得 sin (x 2+x 1)=2cos (x 1+x 2)，由 sin 2(x 2+x 1)+cos 2(x 1+x 2)=1，可得 sin (x 2+x 1)=±2√55，由 x 1+x 2∈[0,π]， 即有 sin (x 2+x 1)=2√55． 66. 725 67. √3【解析】由 sin2α=2sinαcosα 及 sin2α=−sinα，α∈(π2,π) 解出 α，进而求得 tan2α 的值． 因为 sin2α=−sinα，所以 2sinαcosα=−sinα． 因为 α∈(π2,π)，所以 sinα≠0，所以 cosα=−12．又因为 α∈(π2,π)，所以 α=23π，所以 tan2α=tan 43π=tan (π+π3)=tan π3=√3． 68. √2，1【解析】因为 2cos 2x +sin2x =1+cos2x +sin2x =√2sin (2x +π4)+1，2cos 2x +sin2x =Asin (ωx +φ)+b (A >0)， 所以 A =√2，b =1． 69. −725 70. 2√2【解析】因为 f (x )=3−cosx sinx ，所以由万能公式 sinx =2t1+t 2，cosx =1−t 21+t 2 可得 f (t )=3(1+t 2)−1+t 22t=2t 2+1t=2t +1t ≥2√2（当且仅当t =√22时取等号）． 71. −√3【解析】y=2sinx +sin (π3−x)=2sinx +√32cosx −12sinx=32sinx +√32cosx=√3sin (x +π6).所以最小值为 −√3． 72. −2−√3 73. −√210 【解析】sin (α−π12)=sin [(α+π6)−π4]=sin (α+π6)cos π4−cos (α+π6)sin π4=−√210． 74. 1 【解析】tan20∘tan60∘+tan60∘tan10∘=√3(tan10∘+tan20∘)=√3×tan30∘(1−tan10∘tan20∘)=1−tan10∘tan20∘，所以结果为1．75. −11276. 16【解析】cos2(α+π4)=1+cos(2α+π2)2=1−sin2α2=16．77. −1110【解析】因为点(θ,0)是函数f(x)=sinx+3cosx的一个对称中心，所以sinθ+3cosθ=0，所以tanθ=−3，则cos2θ+sinθcosθ=cos2θ−sin2θ+sinθcosθsin2θ+cos2θ=1−tan2θ+tanθtan2θ+1=1−9−39+1=−1110.78. −4√3【解析】√3tan12∘−3=√3(sin12∘cos12∘−sin60∘cos60∘)=√3(sin12∘cos60∘−cos12∘sin60∘)cos12∘cos60∘=−2√3sin48∘cos12∘.√3tan12∘−3 (4cos212∘−2)sin12∘=−2√3sin48∘2cos24∘sin12∘cos12∘=−2√3sin48∘cos24∘sin24∘=−4√3sin48∘sin48∘=−4√3.79. [3−√52,3−√5]【解析】以BC中点O为原点，BC所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，因为正三角形ABC边长为2，所以 B (−1,0)，A(0,√3)，C (1,0)， 设 P 的坐标为 (x,y )，所以 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−x,−y )，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x,−y )， 所以 PB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−1+y 2=1， 即点 P 在 x 2+y 2=2 的圆弧即 MN⏜ 上，如图可以求出 sinθ=√64，cosθ=√104； β=θ−π6，sinβ=3√2−√108，cosβ=√30+√68， 设 ∠AOP =φ，则 −β≤φ≤β，P(√2sinφ,√2cosφ)， AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2sinφ,√2cosφ−√3)， 又 AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3)， 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√2sinφ−√6cosφ+3，−β≤φ≤β， 当 φ=−β 时，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 最大，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2)×(−3√2−√108)−√6×√30+√68+3=3−√5；当 φ=β 时，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2)×(3√2−√108)−√6×√30+√68+3=3−√52； 所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围是 [3−√52,3−√5]． 80. 2+√3【解析】因为 sin (A −B )=sinC −sinB ， 所以sinAcosB −cosAsinB =sinC −sinB=sinAcosB +cosAsinB −sinB.所以 sinB =2cosAsinB ， 因为 sinB ≠0，所以 cosA =12，由 A ∈(0,π)，可得：A =π3，在 △ADB 中，由正弦定理可将 sin∠ABDsin∠BAD =λ，变形为 ADDB =λ，即 AD =λDB =13λa ， 因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，即 a 2λ2=4c 2+b 2+2bc, ⋯⋯① 在 △ACB 中，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−bc, ⋯⋯② 由 ① ② 得 λ2=4c b +bc +2c b +b c−1，令 cb =t ，λ2=f (t )=4t+1t +2t+1t−1=4t 2+2t+1t 2−t+1，fʹ(t )=−6t 2+6t+3(t 2−t+1)2， 令 fʹ(t )=0，得 t =1+√32，即 cb =1+√32时，λ 最大．结合 ② 可得 b =(√3−1)c ，a =3√2−√62c ，在 △ACB 中，由正弦定理得a sinA=c sinC⇒sinC =√6+√24，⇒tanC =2+√3．81. 2【解析】由 f (x )=1+sinx2+cosx ，得 sinx −(y −1)cosx =2(y −1)， 所以 √1+(y −1)2(√1+(y−1)2√1+(y−1)2=2(y −1)，即 sin (x −θ)=√1+(y−1)2tanθ=y −1)，由 ∣∣∣√1+(y−1)2∣∣∣≤1，得 3y 2−6y +2≤0，解得：3−√33≤y ≤3+√33． 所以函数 f (x )=1+sinx2+cosx 的最大值与最小值分别为 3+√33，3−√33，和为 2．82. 2√7【解析】由正弦定理，知 AB sinC=√3sin60∘=BCsinA，所以 AB =2sinC ，BC =2sinA ．因为 A +C =120∘， 所以AB +2BC =2sinC +4sin (120∘−C )=2(sinC +2sin120∘cosC −2cos120∘sinC )=2(sinC +√3cosC +sinC)=2(2sinC +√3cosC)=2√7sin (C +α). 其中 tanα=√32，α 是第一象限的角． 因为 0∘<C <120∘，且 α 是第一象限角， 所以 AB +2BC有最大值 2√7． 83. 725。
高中试卷-专题5.5 三角恒等变换(含答案)
专题5.5 三角恒等变换（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β；S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β；T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，3．辅助角公式：函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＋φ)或f(α)＝－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式1.S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2.变形公式：（1）降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，sin αcos α＝12sin 2α.（2）升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.)4sin(2cos sin πααα±=±（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)21±sin α＝(sin α2±cos α2)2,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2（4）sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.（三）常见变换规律(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，(π4＋α)＋(π4－α)＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．一、单选题1．sin 40sin 50cos 40cos50°°-°°等于（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．cos10-°【来源】陕西省西安市莲湖区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】由两角和的余弦公式得：()()sin 40sin 50cos 40cos50cos 40cos50sin 40sin 50cos 4050cos900°°-°°=-°°-°°=-+=-=o o o 故选：C2．已知()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，且()1tan 3αb +=，则tan b 的值为（ ）A ．7-B ．7C ．1D ．1-【来源】辽宁省沈阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第三次阶段数学试题【答案】D【解析】：因为()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，所以sin 2cos αα=，所以sin tan 2cos ααα==，又()1tan 3αb +=，所以()()()12tan tan 3tan tan 111tan tan 123αb αb αb ααb α-+-=+-===-éùëû+++´.故选：D3．已知,αb 均为锐角，且1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，则()sin αb -=（ ）A ．35B ．45CD ．23【来源】辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题【答案】A【解析】：因为1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，所有22221sin cos 4sin cos 14ααb b +=+=，则2153sin 44b =，又,αb均为锐角，所以sin b =cos b =所以sin αα==所以()3sin sin cos cos sin 5αb αb αb -=-=.故选：A.4．已知()1sin 5αb +=，()3sin 5αb -=，则tan tan αb 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【来源】内蒙古自治区包头市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αb αb αb αb αb αb ì+=+=ïïíï-=-=ïî，解得2sin cos 51cos sin 5αb αb ì=ïïíï=-ïî，所以tan sin cos 2tan cos sin ααbb αb==-.故选：B5．已知sin sin 13πq q æö++=ç÷èø，则tan 6πq æö+=ç÷èø（ ）ABC ．D ．【来源】陕西省汉中市六校联考2021-2022学年高一下学期期末数学试题（B 卷）【答案】D【解析】sin sin(13πq q ++=，则1sin sin 12q q q +=，即312q =，1cos 2q q +=sin 6πq æö+ç÷èøcos 6πq æö+==ç÷èø所以tan 6πq æö+==ç÷èø故选：D6．下面公式正确的是（ ）A ．3sin cos 2πq q æö+=ç÷èøB ．2cos212cos q q =-C ．3cos sin 2πq q æö+=-ç÷èøD ．cos(sin 2πq q-=【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D 【解析】对A ，3sin cos 2πq q æö+=-ç÷èø，故A 错误；对B ，2cos 22cos 1q q =-，故B 错误；对C ，3cos sin 2πq q æö+=ç÷èø，故C 错误；对D ，cos()sin 2πq q -=，故D 正确；故选：D7．已知2tan()5αb +=，1tan(44πb -=，则tan()4πα+的值为（ ）A ．16B ．322C ．2213D ．1318【来源】内蒙古自治区呼伦贝尔市满洲里市第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】：因为2tan()5αb +=，1tan()44πb -=，所以()tan()tan 44ππααb b éùæö+=+--ç÷êúèøëû()()tan tan 41tan tan 4παb b παb b æö+--ç÷èø=æö++-ç÷èø213542122154-==+´.故选：B 8．设1cos102a =o o，22tan131tan 13b =+oo，c =，则a ，b ，c 大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b<<D ．b c a<<【来源】湖北省云学新高考联盟学校2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题【答案】C【解析】()1cos10cos 6010cos 70sin 202a =°=°+°=°=°o ，2222sin132tan13cos132sin13cos13sin 26sin 131tan 131cos 13b °°°===°°=°°+°+°，sin 25c ===o ，因为函数sin y x =在0,2πæöç÷èø上是增函数，故sin 20sin 25sin 26<<o o o ，即a c b <<.故选：C.9．已知sin()6πα+=2cos(2)3πα-=（ ）A ．23-B ．13-C ．23D ．13【来源】海南省海口市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（A ）【答案】B【解析】：因为sin()6πα+=，所以2cos 2cos 263παππαéùæöæö-=-ç÷ç÷êúèøë+øèû6cos 2πα÷+æö=-çèø212n 6si παéùæö=--ç÷êúøë+èû21123éùæêú=--=-ççêúèëû故选：B10．若11tan ,tan()72b αb =+=，则tan =α（ ）A ．115B ．112C ．16D ．13【来源】北京市房山区2021—2022学年高一下学期期末学业水平调研数学试题【答案】D【解析】：因为11tan ,tan()72b αb =+=，所以()()()11tan tan 127tan =tan 111tan tan 3127αb b ααb b αb b -+-+-===éùëû+++´.故选：D.11．已知3cos 16πααæö--=ç÷èø，则sin 26παæö+=ç÷è（ ）A ．13-B ．13C ．D【来源】四川省内江市2021-2022学年高一下学期期末数学理科试题【答案】B【解析】：因为3cos 16πααæö--=ç÷èø，即3cos cos sin sin 166ππαααæö-+=ç÷èø，即13sin 12αααö-+=÷÷ø3sin 12αα-=1cos 123παααöæö=+=÷ç÷÷èøø，所以cos 3παæö+=ç÷èø所以sin 2cos 2662πππααæöæö+=-++ç÷ç÷èøèø2cos 22cos 133ππααéùæöæö=-+=-+-ç÷ç÷êúèøèøëû21213éùêú=--=êúëû.故选：B 12．已知4sin 5α=，π5,π,cos ,213αb b æöÎ=-ç÷èø是第三象限角，则()cos αb -=（ ）A ．3365-B ．3365C ．6365D ．6365-【来源】西藏林芝市第二高级中学2021-2022学年高一下学期第二学段考试（期末）数学试题【答案】A【解析】由4sin 5α=，π,π2αæöÎç÷èø，可得3cos 5α===-由5cos ,13b b =-是第三象限角，可得12sin 13b ===-则()3541233cos cos cos sin sin 51351365αb αb αb æöæöæö-=+=-´-+´-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø故选：A13．若sin 2α=()sin b α-=,4απéùÎπêúëû，3,2b ππéùÎêúëû，则αb +的值是（ ）A ．54πB ．74πC ．54π或74πD ．54π或94π【答案】B【解析】,,2,242ππαπαπéùéùÎ\ÎêúêúëûëûQ ，又∵sin 22,,,242πππααπαéùéù=\ÎÎêúêúëûëû，∴cos2α==又∵35,,,224πππb πb αéùéùÎ\-Îêúêúëûëû，∴()cos b α-==于是()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αb αb ααb ααb α+=+-=---éùëûææ==ççççèè5,24αb πéù+Îπêúëû，则74αb π+=.故选：B.14．)sin20tan50=oo （ ）A ．12B ．2C D ．1【来源】安徽省宣城市泾县中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】D 【解析】原式()()()2sin 20sin 50602sin 20sin 9020cos50cos 9050++===-oooooooo o 2sin 20cos 20sin 401sin 40sin 40===o o o o o.故选：D.15．若1cos ,sin(),0722ππααb αb =+=<<<<，则角b 的值为（ ）A ．3πB ．512πC ．6πD ．4π【来源】陕西省西安中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】A 【解析】∵0,022ππαb <<<<，0αb π\<+<，由1cos 7α=，()sin αb +=sin α=，11cos()14αb +=±，若11cos()14αb +=，则sin sin[()]b αb α=+-sin()cos cos()sin αb ααb α=+-+1110714=-<，与sin 0b >矛盾，故舍去，若11cos()14αb +=-，则cos cos[()]b αb α=+-cos()cos sin()sin αb ααb α=+++111147=-´+12=，又(0,)2πb ÎQ ，3πb \=.故选：A.161712πα<<，且7cos 268παæö+=-ç÷ø，则αö=÷ø（ ）A ．B ．CD ．14-【来源】河南省南阳地区2021-2022学年高一下学期期终摸底考试数学试题【答案】A【解析】由27cos 212sin 6128ππααæöæö+=-+=-ç÷ç÷èøèø，得215sin 1216παæö+=ç÷èø．因为7171212ππα<<，所以233122πππα<+<，所以sin 12παææö+Î-çç÷çèøè，所以sin 12παæö+=ç÷èø所以5cos cos sin 1221212ππππαααæöæöæöæö-=-+=+=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø故选：A17．已知sin cos αα-=π£，则sin 2æçè ）A C ．D 【来源】湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D【解析】：因为sin cos αα-=()22sin cos αα-=，即222sin 2sin cos cos 5αααα-+=，即21sin 25α-=，所以3sin 25α=，又sin cos 4παααæö--=ç÷èø即sin 4παæö-=ç÷èø因为0απ££，所以3444πππα-£-£，所以044ππα<-£，即42ππα<£，所以22παπ<£，所以4cos 25α==-，所以sin 2sin 2cos cos 2sin333πππαααæö-=-ç÷èø314525æö=´--=ç÷èø；故选：D18．若10,0,cos ,cos 224342ππππb αb αæöæö<<-<<+=-=ç÷ç÷èøèøcos 2b αæö+=ç÷èø（ ）A B ．C D ．【来源】广东省佛山市顺德区乐从中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】C 【解析】cos cos cos cos sin sin 2442442442b ππb ππb ππb ααααéùæöæöæöæöæöæöæö+=+--=+-++-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøèøèøèøèøëû，因为0,022ππαb <<-<<所以3,444πππαæö+Îç÷èø，,4242πb ππæö-Îç÷èø，因为1cos 43παæö+=ç÷èø，cos 42πb æö-=ç÷èø所以sin 4παæö+=ç÷èø，sin 42πb æö-=ç÷èø则1cos 23b αæö+==ç÷èøC19．已知πcos sin 6ααæö-+ç÷èø，则2πcos 3αæö+ç÷èø的值是（ ）A ．45-B ．45C ．D 【来源】广东省汕尾市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】A【解析】由πcos sin 6ααæö-+=ç÷èøππ3πcos cossin sin sin sin 6623ααααααæö++=+=-=ç÷èø所以，π4cos 35αæö-=ç÷èø，所以，2πππ4cos cos πcos 3335αααæöæöæöæö+=--=--=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø.故选：A.20．已知,2παπæöÎç÷ø，且25，则cos()α-=（ ）A B C D 【来源】陕西省商洛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】因为,2παπæöÎç÷èø，所以35,444πππαæö+Îç÷èø．又2sin 45παæö+=ç÷èø，所以cos 4παæö+==ç÷èøcos()cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααααéùæöæöæö-==+-=+++=ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû故选：C.二、多选题21．对于函数()sin 22f x x x =，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最小值为2-C ．()f x 的图象关于直线6x π=-对称D ．()f x 在区间,26ππæö--ç÷èø上单调递增【来源】湖北省部分普通高中联合体2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题【答案】AB【解析】()1sin 222(sin 22)2sin(223f x x x x x x π==+=+，22T ππ==，A 正确；最小值是2-，B 正确；()2sin()0633f πππ-=-+=，C 错误；(,)26x ππÎ--时，22(,0)33x ππ+Î-，232x ππ+=-时，()f x 得最小值2-，因此函数不单调，D 错误，故选：AB ．22 ）A ．222cos2sin 1212ππ-B ．1tan151tan15+°-°C ．cos 75°°D ．cos15°°【来源】江西省南昌市第十中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题【答案】ABC【解析】A ：222cos 2sin 2cos12126πππ-==B ：1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15+°°+°==°=-°-°°C ：cos 75sin1530°°=°°=°=，符合；D ：cos152sin(3015)2sin15°°=°-°=°¹.故选：ABC23．已知函数2()cos sin 222x x xf x =-，则下列结论正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为4πB ．直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在0,2πæöç÷èø上单调递增D ．若()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，则3m π³【来源】江苏省南京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BD【解析】：()21cos 1cos sin sin 222262x x x x f x x x π-æö=-=-=+-ç÷èø，所以()f x 的最小正周期为2,π故A 不正确；因为2362πππ-+=-，所以直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；当02x π<<时，2+663x πππ<<，而函数sin y x =在2,63ππæöç÷èø上不单调，故C 不正确；当2x m π-££时，++366x m πππ-££，因为()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，即11sin 622x πæö+-£ç÷èø，所以sin 16x πæö+£ç÷èø，所以+62m ππ³，解得3m π³，故D 正确.故选：BD.24．已知函数22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->的周期为π，当π[0]2x Î，时，()f x 的（ ）A ．最小值为2-B ．最大值为2C ．零点为5π12D ．增区间为π06éùêúëû，【来源】江苏省徐州市2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BCD【解析】22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->2cos 2x xωω=+2sin 26x πωæö=+ç÷èø，因为()f x 的周期为π，所以22ππω=，得1ω=，所以()2sin 26f x x πæö=+ç÷èø，当π[02x Î，时，72,666x πππéù+Îêúëû，所以1sin 2126x πæö-£+£ç÷èø，所以12sin 226x πæö-£+£ç÷èø，所以 ()f x 的最小值为1-，最大值为2，所以A 错误，B 正确，由()2sin 206f x x πæö=+=ç÷èø，72,666x πππéù+Îêúëû，得26x ππ+=，解得512x π=，所以()f x 的零点为5π12，所以C 正确，由2662x πππ£+£，得06x π££，所以()f x 的增区间为π06éùêëû，，所以D 正确，故选：BCD25．关于函数()cos 2cos f x x x x =-，下列命题正确的是（ ）A ．若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()12f x f x =成立；B ．()f x 在区间ππ,63éù-êúëû上单调递增；C ．函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称；D ．将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后将与2sin 2y x =的图象重合．【来源】广东省佛山市顺德区第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】ACD【解析】()1cos 2cos cos 222cos 222f x x x x x x x x æö=-==ç÷ç÷èøπ2cos 23x æö=+ç÷èø，对于A ，若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()()1222ππ2cos 2π2cos 233f x x x f x éùæö=++=+=ç÷êúëûèø成立，故A 正确；对于B ，由ππ2π22π2π,3k x k k Z +£+£+Î，得：π5πππ,36k x k k +££+ÎZ ，即()f x 在区间π5π,36éùêúëû上单调递增，故B 错误；对于C ，因为πππ2cos 2012123f æöæö=´+=ç÷ç÷èøèø，所以函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称，故C 正确；对于D ，将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后得到7π7ππ3π2cos 22cos 22sin 2121232y f x x x x éùæöæöæö=+=++=+=ç÷ç÷ç÷êèøèøèøëû，其图象与2sin 2y x =的图象重合，故D 正确．故选：ACD三、解答题26．求下列各式的值(1)cos54cos36sin54sin36×-×o o o o (2)sin7cos37cos(7)sin(37)×+-×-o o o o (3)ππcos sin 1212×(4)22ππsincos 88-【来源】黑龙江省鸡西市第四中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】(1)0；(2)12-；(3)14；(4)【解析】(1)cos54cos36sin54sin36cos(5436)cos900×-×=+==o o o o o o o .(2)sin7cos37cos(7)sin(37)sin7cos37cos7sin37×+-×-=×-×o o o o o o o o1sin(737)sin(30)2=-=-=-o o o .(3)ππ1π1cossin sin 1212264×==.(4)22πππsin cos cos 884-=-=27．已知3sin 5α=，其中2απ<<π.(1)求tan α；(2)若0,cos 2πb b <<=()sin αb +的值.【来源】广东省珠海市2021-2022学年高一下学期期末数学试题（A 组）【答案】(1)34-(2)【解析】(1)由3sin 5α=可得4cos 5α==±，因为2απ<<π，故4cos 5α=-，进而sintan cos ααα==(2)π0,cos 2b b <<，故sinb =；()34sin =sin cos cos sin 55αb αb αb ++=28．已知角α为锐角，2πb απ<-<，且满足1tan23=α，()sin b α-(1)证明：04πα<<；(2)求b .【来源】江西省名校2021-2022学年高一下学期期中调研数学试题【答案】(1)证明见解析(2)3.4πb =【解析】(1)证明：因为1tan23α=，所以2122tan332tan 1tan 1441tan 129απαα´===<=--，因为α为锐角且函数tan y x =在0,2πæöç÷èø上单调递增，所以04πα<<(2)由22sin 3tan cos 4sin cos 1αααααì==ïíï+=î，结合角α为锐角，解得3sin 5α=，4cos 5α=，因为2πb απ<-<)=所以()cos b α-==()()()sin sinsin cos cos sin b αbααb ααbαéù=+-=-+-ëû3455æ=´+=çè又5224πππαb πα<+<<+<，所以3.4πb =29．已知α，b 为锐角，πsin 3αæö-=ç÷èø()11cos 14αb +=-．(1)求cos α的值；(2)求角b ．【来源】江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)17(2)π3【解析】(1)因为π0,2αæöÎç÷èø，所以ππ336παæö-Îç÷ø-，，又πsin 3αæö-=ç÷èø所以π13cos 314αæö-===ç÷èø所以ππcos =cos +33ααéùæö-ç÷êúèøëûππππ1cos cos sin sin =33337ααæöæö=---ç÷ç÷èøèø(2)因为α，b 为锐角，所以0αb <+<π，则()sin 0αb +>，因为()11cos 14αb +=-，所以()sin αb +==又α为锐角，1cos 7α=，所以sin α==故()()()sin sin sin cos cos sin b αb ααb ααb α=+-=+-+éùû111714=+=因为b 为锐角，所以π3b =．30．已知sincos22αα-=(1)求sin α的值；(2)若αb ，都是锐角，()3cos 5αb +=，求sin b 的值.【来源】湖北省部分市州2021-2022学年高一下学期7月期末联考数学试题【答案】(1)12【解析】(1)解：2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 2222222a ααααααæö-=-+=-=ç÷èø，1sin 2a =.(2)因为αb ，都是锐角,所以0αb <+<π，()4sin 5αb +==，1sin cos 2a a =Þ=，()()()43sin cos c s 1si o 55n sin sin 2αb ααb ααb b α=+=+-=+-=´éùëû31．已知tan ,tan αb 是方程23570x x +-=的两根，求下列各式的值：(1)()tan αb +(2)()()sin cos αb αb +-；(3)()cos 22αb +.【来源】江苏省泰州市兴化市楚水实验学校2021-2022学年高一下学期阶段测试一数学试题【答案】(1)12-(2)54(3)35【解析】（1）由题意可知：57tan tan ,tan tan 33αb αb +=-=-()5tan tan 13tan 71tan tan 213αb αb αb -++===--+（2）()()5sin sin cos cos sin tan tan 537cos cos cos sin sin 1tan tan 413αb αb αb αb αb αb αb αb -+++====-++-（3）()22222211cos ()sin ()1tan ()34cos 221cos ()sin ()1tan ()514αb αb αb αb αb αb αb -+-+-++====++++++。
高一数学三角恒等变换试题答案及解析
高一数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知是方程的两个根，且，则的值为( ) A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】因为是方程的两个根，所以，因此：因为，所以则或而，则，故选B.【考点】本题主要考查两角和的正切公式。
点评：首先利用韦达定理求出，,再由两角差的正切公式对其进行化简，进一步求角。
此类问题，要注意角的范围。
2.设（）【答案】Ｂ【解析】，故选B。
【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。
点评：本题主要找已知角与要求的角的关系：，采取整体思想，再利用两角和与差的正切公式.“变角”是常用技巧之一，属常考题型。
3.求【答案】【解析】。
【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。
点评：要注意公式的变形使用和逆向使用，注意“1”的代换，配凑公式。
4.若，则＝（）A．B．C．D．【解析】因为，所以=，即，cos=，所以=，故选B。
【考点】本题主要考查“倍半公式”、诱导公式、同角公式的应用点评：此类问题，主要是通过三角恒等变换先“化一”，再求值。
5.若，则_________；＝___________.【答案】3，【解析】因为，所以，，所以3【考点】本题主要考查“倍半公式”的应用点评：解题过程中，注意观察已知与所求的差异，灵活选用公式，通过变名、变角、变式，达到解题目的。
6.化简的结果为____________.【答案】【解析】=【考点】本题主要考查“倍半公式”的应用。
点评：牢记公式是灵活地将进行三角恒等变形的基础。
解题过程中，注意观察已知与所求的差异，通过变名、变角、变式，达到解题目的。
7.已知，求①的值；②.【答案】（1），，（2）【解析】（1）由，得，，（2）=【考点】本题主要考查“万能公式”、两角和与差的正弦公式的应用点评：牢记公式是灵活地将进行三角恒等变形的基础。
解题过程中，注意观察已知与所求的差异，通过变名、变角、变式，达到解题目的。
8.若，则（）A．B．C．D．【解析】因为，所以即故选B。
【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。
【2019版新教材】高中数学A版必修第一册第五章全章节教案教学设计+课后练习及答案(名师推荐精编版)
【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
高中数学 第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.2 简单的三角恒等变换精品练习(含解析)新
5.5.2 简单的三角恒等变换知识点三 三角恒等变换的应用7.函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π48．在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A2＝1.9．如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？关键能力综合练 一、选择题1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a 2 B.1－a2 C ．－21＋a2D ．－21－a22．若2sin x ＝1＋cos x ，则tan x2的值等于( )A.12B.12或不存在学科素养升级练1．(多选题)对于函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，给出下列选项其中不正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (α)＝1C ．存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，使函数f (x ＋α)的图象关于y 轴对称D ．存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立 2．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是________，最小值是________．3．(学科素养—数学建模)如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．5．5.2 简单的三角恒等变换必备知识基础练1．解析：∵3π<θ<7π2，sin θ＝－35，∴cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，∵3π<θ<7π2，∴3π2<θ2<7π4.则tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1＋451－45＝－3. 答案：B2．解析：因为2π<θ<3π，所以π<θ2<3π2.又cos θ＝m ，所以sin θ2＝－1－cos θ2＝－1－m2，故选A. 答案：A3．解析：y ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12sin 2x ，是奇函数．故选A.答案：A4．解析：f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]，故选B. 答案：B5．解析：∵f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.∴f (x )∈[－2,2]． 答案：[－2,2]6．解析：(1)2(cos x －sin x )＝2×2⎝⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos x －sin π4sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(2)315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3sin x ＋cos π3cos x ＝65cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.7．解析：y ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos 2ωx (ω>0)， 因为函数的最小正周期为π，故2π2ω＝π，所以ω＝1.则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. 由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝1时，函数的一个单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4.答案：B8．证明：∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角， ∴A ＋B ＋C ＝π，从而有A ＋C 2＝π2－B2.左边＝tan B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan A2＋tan C 2＋tan A 2tan C2＝tan B 2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝tan B 2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝1＝右边， ∴等式成立．9.解析：设∠AOB ＝α，则0<α<π2，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ， 此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．关键能力综合练1．解析：若5π<θ<6π，则5π4<θ4<3π2，则sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2＝－21－a2. 答案：D2．解析：由已知得sin x 1＋cos x ＝12，tan x2＝sinx2cosx2＝2sin x 2cosx22cos 2x 2＝sin x 1＋cos x ＝12.当x ＝π＋2k π，k ∈Z 时，tan x2不存在．答案：B3．解析：由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°，y ＝sin x 为增函数，∴a <c <b ，故选C.答案：C 4．解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.故选A.答案：A5．解析：由cos α＝－45，α是第三象限角，可得sin α＝－1－cos 2α＝－35.所以1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案：A6．解析：f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋1＝－4. ∴a ＝－4. 答案：C7．解析：1＋sin 2＝sin 21＋cos 21＋2sin 1cos 1 ＝sin 1＋cos 12＝|sin 1＋cos 1|，因为1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin 1>0，cos 1>0，则1＋sin 2＝sin 1＋cos 1. 答案：sin 1＋cos 18．解析：由25sin 2θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos2θ2＝1＋cos θ2得cos2θ2＝925. 又θ2是第一、三象限角，所以cos θ2＝±35.答案：±359．解析：y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋sin 2x 2＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32.最小正周期T ＝2π2＝π.令－π2＋2k π<2x －π4<π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π<x <3π8＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．答案：π ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z10．证明：左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝2sin x 2cosx22cos2x 2＝tan x2＝右边． 所以原等式成立．学科素养升级练1．解析：函数f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，对于A ：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，当x ＝π6时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝2，不能得到函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．∴A 不对．对于B ：α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，可得α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，f (α)∈(3，2]，不存在f (α)＝1.∴B 不对．对于C ：函数f (x ＋α)的对称轴方程为：x ＋α＋π3＝π2＋k π，可得x ＝k π＋π6－α(k ∈Z )，当k ＝0，α＝π6时，可得图象关于y 轴对称．∴C 对．对于D ：f (x ＋α)＝f (x ＋3α)说明2α是函数的周期，函数f (x )的周期为2π，故α＝π，∴不存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，∴D 不对．故选A ，B ，D.答案：ABD2．解析：∵A ＋B ＝2π3，∴cos 2A ＋cos 2B ＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B )＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3·cos(A －B )＝1－12cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时， 原式取得最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12.答案：32123.word - 11 - / 11解析：如图所示， 设OE 交AD 于M ，交BC 于N ，显然矩形ABCD 关于OE 对称，而M ，N 分别为AD ，BC 的中点，在Rt△ONC 中，＝sin α，ON ＝cos α，OM ＝DM tan π6＝3DM ＝3＝3sin α， 所以MN ＝ON －OM ＝cos α－3sin α，即AB ＝cos α－3sin α，而BC ＝2＝2sin α，故S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin 2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－ 3.因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3.故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S 矩形ABCD 取得最大值，此时S 矩形ABCD ＝2－ 3.。
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.设是的最小内角，则的取值范围为A．B．C．D．【答案】B【解析】；因为是的最小内角，所以,则,．【考点】．2.（12分）已知函数f（x）＝cos x（sin x＋cos x）－．（1）若0＜α＜，且sin α＝，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）；（2）；【解析】（1）根据同角基本关系式的求法，已知，，求，然后将三角函数代入求值；（2）主要考察函数的化简，第一步，按分配律将函数展开，第二步，按二倍角降幂公式惊喜化简，随后化简为，根据周期公式，和单调性公式求解．试题解析：（1）因为0＜α＜，sin α＝，所以cos α＝．所以f（α）＝．（2）因为f（x）＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin2x＋2x＝sin，所以T＝＝π．由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z．【考点】1．三角函数求值；2．三角函数的化简；3．三角函数的性质．3.函数的最大值为．【答案】【解析】根据题意有，可以判断出函数在给定区间上是单调减的，可知函数在处取得最大值，且最大值为．【考点】三角函数的性质，函数的最值的求解．4.（）A．B．C．D．【答案】D【解析】．故D正确．【考点】1．诱导公式；2．两角和差公式．5.下列各式中，值为的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A，B、，C、， D、，故选择C【考点】三角恒等变换6.若，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】．故C正确．【考点】1诱导公式；2同角三角函数关系式．7.在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】,, ,．是等腰三角形．故A正确．【考点】1正余弦定理；2两角和差公式．8.在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】,，，．是等腰三角形．故A正确．【考点】1正余弦定理；2两角和差公式．9.在△ABC中，A，B，C所对的边分别是（1）用余弦定理证明：当C为钝角时，；（2）当钝角△ABC的三边是三个连续整数时，求△ABC外接圆的半径．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）∠C为钝角时，cosC＜0，然后根据余弦定理得出，即可证明结论．（2）先设△ABC的三边分别为n-1，n，n+1，从而得出，求出n，当n=2时，不能构成三角形，舍去，当n=3时，求出△ABC三边长，利用余弦定理求出cosC，再由正弦定理求出外接圆半径．试题解析：（1）当为钝角时，．由余弦定理得，即．设△ABC的三边分别为∵△ABC为钝角三角形，不妨设为钝角，由（1）得，解得．又，∴．当时，不能构成三角形，舍去。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。
新人教A版高中数学必修5三角变换解三角形课时同步习题(含答案解析)
安徽省普通高中学业水平测试数学试卷八必修4 三角恒等变换 必修5 解三角形（时间90分 分值100分）一、 选择题（本大题共18题，每小题3分，满分54分。
每小题4个选项，只有1个选项符合题目要求，多选不给分。
）1、下列等式中一定成立的是 （ ）A 、cos()cos cos αβαβ+=+B 、cos()cos cos αβαβ-=-C 、cos()cos 2παα+=D 、cos()sin 2παα-=2、0cos 75的值是 （ ）A 、4B 、4C 、4D 、123、函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是 （ ）A 、2πB 、4πC 、4πD 、2π40000tan12tan18++的值是 （ ）A B C 、0 D 、15、已知43cos ,sin 55αα=-=，那么角2α的终边所在的象限为 （ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6、函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单增区间是 （ ）A 、5[,]6ππ--B 、5[,]66ππ-- C 、[,0]3π- D 、[,0]6π-7、在ABC ∆中，3sin 4cos 5A B += 4s i n 3c o s 3B A +=则角C 的大小为（ ） A 、23π B 、3πC 、6π或56πD 、3π或23π8、设02x π≤≤sin cos x x =-，则 （ ）A 、0x π≤≤B 、744x ππ≤≤ C 、544x ππ≤≤ D 、322x ππ≤≤9、函数()2cos 2f x x x =-的值域为 （ ）A 、[2,2]-B 、[1,2]-C 、[0,2]D 、[1,2]10、若075α=，则44cos sin αα-的值为 （ ）A 、2B 、2-C 、12D 、12- 11、已知02παβπ<<<<，34sin ,cos()55ααβ=+=-，则sin β等于 （ ） A 、0 B 、0或2425 C 、2425 D 、2425±12、3sin ),x x x ϕ=+(,)ϕππ∈-，则ϕ等于 （ ） A 、6π-B 、6πC 、56π D 、56π- 13、在ABC ∆中，若sin sin cos cos A B A B <,则ABC ∆一定为 （ ） A 、等边三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、钝角三角形14、在ABC ∆中，已知tan ,tan A B 是方程23810x x +-=的两根，则tan C 等于（ ）A 、2B 、2-C 、4D 、4-15、在ABC ∆中，若()()a b c c b a bc +++-=，则A 为（ ）A 、 60︒B 、45︒C 、120︒D 、30︒16、在△ABC 中，若B a A b cos cos =，则△ABC 的形状为（ ）A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、 等腰三角形D 、等边三角形17．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060， 则底边长为（ ）A 、2B 、23 C 、3 D 、32 18、某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30，灯塔B 在观察站C 南偏东30处，则两灯塔A 、B 间的距离为（ ）A 、400米B 、500米C 、800米D 、700米二、填空题（本大题共4题，每小题4分，满分16分，把答案填在题中的横线上。
15-第五节 三角恒等变换-课时4 简单的三角恒等变换高中数学必修一人教A版
所以cos
tan
2
2
=−
1+cos
2
2
sin 2
+
cos 2
+ cos
=−
=
cos
2
10
,所以sin
10
2
3
=
10
− 10
−
10
10
−
B
)
D.3 −
3 10
10
< 2π + π ，所以 为第二象
<
2
=−
10
10
<
3
3π
,所以 为第三象限角，
2
2
10
，所以
10
=3−
10
.
10
3.[2024山东青岛二中期末]已知cos 2 −
π
3
=
3
− ，则sin
4
25π
−
6
=
( C )
A.
3
4
B.
14
4
【解析】 因为cos 2 −
sin
2
−
sin
π
6
25π
−
6
π
3
= cos
π
=
1−cos 2− 3
2
π
6
=
14
C.±
4
π
2 −
6
7
，则sin
8
−
D.±
=
π
6
= sin − − 4π = sin −
因为 为第四象限角，所以sin < 0，所以
高一数学三角恒等变换试题答案及解析
高一数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知，则【答案】【解析】由，因此，.【考点】（1）诱导公式的应用；（2）同角三角函数的基本关系.2.已知0＜β＜＜α＜π，且，，求cos（α＋β）的值．【答案】．【解析】（1）三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角三角函数值，代入展开即可，注意角的范围;（2）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，要熟练掌握公式，不要把符号搞错，很多同学化简不正确;（3）求解较复杂三角函数的最值时，首先化成形式，在求最大值或最小值,寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围．试题解析：解：，，∴＝＝，sin＝＝，∴＝＝＋sin sin＝×＋×＝，∴（α＋β）＝2－1＝2×－1＝－．【考点】根据三角函数值求值．3.若，则，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以，平方得：，故选择D.【考点】三角恒等变换中的求值.4.已知，，且为锐角，则___________．【答案】【解析】由，两式平方相加得：，即有，由为锐角，且，知，从而得，因此，所以，观察式子的结构特点，注意解题技巧的积累．【考点】三角恒等变换之一：求值．5.设且则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，又，，故，即.故选C.【考点】二倍角公式的应用.6.已知，且．（１）求的值；（２）求的值．【答案】(1);(2)【解析】(1)=;(2)因为,由已知易求出,,则.试题解析：(1)原式=,则【考点】1.三角恒等变换;2.三角函数的和角公式与差角公式7.已知向量，，，.（Ⅰ）若，求函数的值域；（Ⅱ）若关于的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）函数的值域为；（Ⅱ）实数的取值范围为.【解析】（Ⅰ）将向量语言进行转换，将问题转化为三角问题，通过换元进一步将问题转化为二次函数在给定区间上的值域问题，从而得以解决；（Ⅱ）通过换元将问题转化为一元二次方程根的分布问题，通过数形结合，最终归结为解一个不等式组的问题.试题解析：（Ⅰ） 1分，，， 2分，，， 3分，， 4分，又，， 6分（Ⅱ）由得，令，，则，关于的方程有两个不同的实数解，，在有两个不同的实数解， 8分令，则应有11分解得 14分【考点】三角恒等变换及三个二次的综合应用.8.设a＝(sin56°－cos56°)， b＝cos50°·cos128°＋cos40°·cos38°，c＝ (cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c的大小关系是 ( ).A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b【答案】B.【解析】因为，，，又因为在内余弦函数单调递减，所以，即c<a<b.【考点】辅助角公式（化一公式），诱导公式，两角和的余弦公式，二倍角的余弦公式，余弦函数单调性.9.求值： ___________.【答案】.【解析】.【考点】三角恒等变形.10. (cos- sin) (cos+sin)= （）A．B．C．D．【解析】显然上式满足平方差公式,所以其等于,发现符合余弦二倍角公式,所以等于．【考点】三角化简．11. 4 sin．cos =_________．【答案】1【解析】根据正弦二倍角公式,可得．【考点】正弦二倍角公式．12.已知，（1）求；（2）求。
高一数学(必修一)《第五章 三角恒等变换》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角恒等变换》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知2tan 5α=-，则1sin 2cos 2αα+=（ ） A ．1318B ．522 C ．37-D ．372．若1sin 84x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．14-BC ．78D ．3．已知sin cos αβ+=cos sin αβ+sin()αβ+=（ ）A ．12B C ．12- D ．4．sin cos 44ππαβ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为和差的结果是（ ）A ．11sin()cos()22αβαβ++-B ．11cos()sin()22αβαβ++-C ．11sin()sin()22αβαβ++- D ．11cos()cos()22αβαβ++-5．已知()11cos 3cos cos 42πππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（ ）A B ．13- C ．23- D ．136．0000cos80cos130sin100sin130-等于A B ．12C ．12-D ．7．已知25cos2cos αα+=，()4cos 25αβ+=与0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和3,22πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（ ）A ．45- B ．44125C ．44125-D ．458．已知π2cos()33α+=，则πsin()6α-=（ ）A B ． C ．23-D ．139．图象为如图的函数可能是（ ）A ．()sin(cos )f x x =B ．()sin(sin )f x x =C ．()cos(sin )f x x =D ．()cos(cos )f x x =二、填空题10．数列{}n a 的通项公式为[]2log n a n n =+，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则{}n a 的前32项和为__________．11．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()23cos sin 210απα++=，则tan α=__________．12．已知1sin 3α=，cos()1αβ+=-则sin(2)αβ+=______．13．已知sin 2πααπ<<，则tan α=______________． 14．已知角0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对任意的x ∈R ，()()2213cos 4sin 122x x x θθ+≥⋅恒成立，则θ的取值范围是_____.三、解答题15．已知函数()()1tan cos f x x x =+⋅(1)若44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求tan x ；(2)若,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，则()f α=，求cos2α．16．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2A C =.（1）若a c =，求cos B 的大小； （2）若1b =，3c =求sin A .17．已知函数22π()sin 2cos sin ,6f x x x x x ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭R .(1)求()f x 求函数的最小正周期及对称中心. (2)求函数()y f x =在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦值域.18．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin sin cos cos 2cos a A B c A a A b B +=+ （1）求B ;（2）若6b AB CB =⋅=，求ABC 的周长19．已知向量(sin ,cos 1)a x x =-，(3cos ,cos 1)b x x =+和1()2f x a b =⋅+. (1)求函数的最小正周期T 及单调递增区间； (2)若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.四、双空题 20．已知4sin 5α，且α是第二象限角，则cos α=______；sin 2α=_______. 参考答案与解析1．D【分析】结合二倍角公式，将所求表达式转化为只含tan α的式子，由此求得正确答案. 【详解】原式222222cos sin 2sin cos 1tan 2tan cos sin 1tan ααααααααα++++==-- 4491932552542121712525+-====-. 故选：D 2．C【分析】利用诱导公式和二倍角公式可得解.【详解】1sin 84x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2sin 2cos 2cos 244248x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2712sin 88x π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭故选：C ． 3．A【分析】将两个已知等式两边平方相加，再根据两角和的正弦公式可求出结果.【详解】由sin cos αβ+=225sin cos 2sin cos 4αβαβ++⋅=由cos sin αβ+=227cos sin 2cos sin 4αβαβ++⋅=两式相加得22(sin cos cos sin )3αβαβ++=，得1sin()2αβ+=.故选：A 4．B【分析】利用积化和差公式()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ⎡⎤=++-⎣⎦化简即可. 【详解】解：原式1sin sin()22παβαβ⎡⎤⎛⎫=+++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11cos()sin()22αβαβ=++-. 故选：B .【点睛】本题考查积化和差公式的应用，属于基础题. 5．B【分析】首先根据诱导公式以及同角三角函数的基本关系求得tan α=再根据二倍角公式以及“1”的代换求得cos2α.【详解】由诱导公式化简原式，得cos 2αα-=，故tan α=所以22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin sin cos tan 13ααααααααα--=-===-++. 故选:B ． 6．D【详解】试题分析：原式3cos80cos130sin 80sin130cos(80130)cos(18030)2=-=+=+=-． 考点：三角恒等变换． 7．B【解析】先根据二倍角余弦公式求cos α，解得cos2α，最后根据两角差余弦公式得结果.【详解】2125cos2cos 10cos cos 30cos 2ααααα+=∴--=∴=-或35因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α=22443247sin ,sin 22,cos 2cos sin 5552525ααααα∴==⨯⨯==-=-,42ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()43cos 2,2(2,3)sin 255αβαβππαβ+=+∈∴+=cos cos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++4732444525525125=-⨯+⨯=故选：B【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 8．C【分析】利用诱导公式化简变形可得结果【详解】解：因为π2cos()33α+=所以π2sin()sin cos cos 662633ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=---=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故选：C 9．A【分析】从特殊的函数(0)f 为最大值排除两个选项，再由余弦函数性质确定函数值的正负排除一个选项后得正确结论．【详解】因为(0)f 为最大值，排除BD ；又因为cos(sin )0x >，排除C ． 故选：A ． 10．631【分析】由[]22log [log ]n a n n n n =+=+，分析n 的不同取值对应的2[log ]n 的取值情况，分组求和即得解 【详解】由题意[]22log [log ]n a n n n n =+=+ 当1n =时，则2[log ]0n =； 当2,3n =时，则2[log ]1n =； 当4,5,6,7n =时，则2[log ]2n =； 当8,9,10,...,15n =时，则2[log ]3n =； 当16,17,18,...,31n =时，则2[log ]4n =； 当32n =时，则2[log ]5n =； 故{}n a 的前32项和为：3212...32102142831645S =++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+(132)321035281036312+⨯=+=+= 故答案为：631 11．-7【详解】22221tan 131cos 232tan 31tan cos sin(2)sin 21021021tan 10αααααπααα-+++++=∴-=∴-=∴+ tan 7,tan 1αα=-= （舍）．12．13-【分析】先由cos()1αβ+=-，得sin()0αβ+=，再由sin(2)sin()sin cos()+cos sin()αβααβααβααβ+=++=⋅+⋅+即可求出结果.【详解】因cos()1αβ+=-，得sin()0αβ+=所以1sin(2)sin()sin cos()+cos sin()3αβααβααβααβ+=++=⋅+⋅+=-.【点睛】本题主要考查三角函数的两角和差化积公式，熟记公式即可，属于常考题型. 13．-2【分析】利用同角的三角函数中的平方和关系求出cos α，再利用同角的三角函数关系中的商关系求出tan α即可.【详解】2sin sin cos tan 22cos παααπααα=<<∴===-. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系中的平方和关系和商关系，考查了角的余弦值的正负性的判断，考查了数学运算能力. 14．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据题意转化为22341()cos ()sin 432x x θθ+≥在0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，利用基本不等式求得2234()cos ()sin sin 243x x θθθ+≥，得到1sin 22θ≥，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由()()2213cos 4sin 122x x x θθ+≥⋅，即()()2213cos 4sin 324x xx x θθ+≥⋅⋅即22341()cos ()sin 432x x θθ+≥在0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立又由2234()cos ()sin 2sin cos sin 243x x θθθθθ+≥=所以1sin 22θ≥又因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()20,θπ∈，所以5266ππθ≤≤，解得51212ππθ≤≤即θ的取值范围是5[,]1212ππ.故答案为：5[,]1212ππ.15．(1)tan 1x =(2)9【分析】（1）根据同角三角函数的关系、两角和正弦公式、诱导公式化简即可求解； （2）根据角的变换及两角差的正弦公式，二倍角的余弦公式计算即可求解. (1) ()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即有sin cos x x =，所以tan 1x =． (2)由()43f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭∴,444πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭∴cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴4sin sin 446ππαα⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故22cos 212sin 12αα=-=-⨯=⎝⎭16．（1；（2. 【分析】(1)由正弦定理求出cos C ，进而求得sin C 、sin A 及cos A ，再利用和角公式即可得解；(2)由(1)结合余弦定理求得a ，进而求得cos C 及sin C 即可得解. 【详解】（1）ABC 中由正弦定理可得sin sin 22cos sin sin a A CC c C C===所以cos C =，sin C =和sin 2sin cos A C C ==221cos cos sin 3A C C =-=-所以cos cos()B A C =-+cos cos sin sin A C A C =-+13= （2）由（1）可知2cos aC c=，所以2cos 6cos a c C C ==由余弦定理可知222cos 2a b c C ab +-=282a a -=，于是2862a a a a -=⋅⇒=则cos C =，sin C =所以sin 2sin cos A C C =2==17．(1)π ππ,0,Z 212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由三角恒等变换可得正弦型三角函数，据此求周期、对称中心即可； （2）利用整体代换法求正弦函数的值域即可. (1)1()2co πs 2cos 2sin 226f x x x x x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭ 所以函数的最小正周期为2ππ2= ()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令π2π6x k -=解得ππ212k x =+ ∴()f x 的对称中心是ππ,0,Z 212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)令π26t x =-由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,666t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦则1()12f x ≤-≤所以()y f x =的值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18．（1）3B π=；（2）【分析】（1）根据()sin sin cos cos 2cos a A B c A a A b B +=+，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为2sin cos sin B B B =求解；（2）利用余弦定理得到()2312a c ac +-=，然后由6AB CB ⋅=求得ac 代入即可. 【详解】（1）因为 ()sin sin cos cos 2cos a A B c A a A b B +=+ 所以()sin sin cos cos cos 2cos a A B A B c A b B -+= 所以cos()cos 2cos a A B c A b B -++= 所以cos cos 2cos a C c A b B +=由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B += 整理得()sin 2sin cos sin A C B B B +== 因为在ABC 中所以sin 0B ≠，则2cos 1B = 所以3B π=（2）由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-即()2312a c ac +-=因为1cos 62AB CB BA BC ac B ac ⋅=⋅=== 所以12ac = 所以()23612a c +-=解得a c +=所以ABC 的周长是【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，则要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则则要考虑两个定理都有可能用到． 19．(1)πT = πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈；(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合降幂公式、辅助角公式、二倍角公式、正弦型函数的最小正周期公式以及单调性进行求解即可；（2）利用换元法，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可. (1)由211()3sin cos cos 22f x a b x x x =⋅+=+-1π2cos 2sin 226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 故函数()f x 的最小正周期πT = 当πππ2π22π(Z)262k x k k -≤+≤+∈时，则函数单调递增 解得ππππ36k x k -+≤≤+ Z k ∈函数的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈；(2)π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦令π26t x =+，则sin y t =，π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以当π6t =-即π6x =-时，则min 1()2 f x =-当π2t =即π6x =时，则min ()1 f x =故函数()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．352425-【分析】根据正余弦恒等式求出cos α，再利用二倍角的正弦公式求出sin 2α. 【详解】因为4sin 5α，且α是第二象限角所以3cos 5α==-4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：352425-。
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知△中，，，分别是，的等差中项与等比中项，则△的面积等于（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】和的等差中项是，正的等比中项是，所以，，根据正弦定理：，，或，或，那么的面积是，或是．故选C．【考点】1．正弦定理；2．三角形的面积3．等差，等比中项．2.（本小题满分12分）在中，已知．（1）求sinA与的值；（2）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由于，可得，又，可得．∵，即可求出的值；（2）由正弦定理得，得，然后再由余弦定理可得．试题解析：解：（1）∵，，又∵，．∵，且，．（2）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），．【考点】1．三角恒等变换；2．正、余弦定理．3.（满分10分）已知函数的最小正周期为，且．（1）求的表达式；（2）设，，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由周期求得的值，代入可求得值，得到函数表达式；（2）由代入函数式得到的正余弦值，由代入函数式得到的正余弦值，代入得展开式求其值试题解析：（1）依题意得，∴，由，得，即，∴，∴（2）由，得，即，∴，，由，得，即，又∵，∴，【考点】1．三角函数性质与解析式；2．三角函数求值4.已知，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．【考点】1．三角函数的诱导公式；2．三角函数恒等变换．5.要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】因为，所以要得到函数的图象只需将函数的图象向右平移个单位．故B正确．【考点】三角函数伸缩变换．6.（本小题满分13分）函数y＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，y有最大值3，当x＝6π时，y有最小值-3．（1）求此函数解析式；（2）写出该函数的单调递增区间；（3）是否存在实数m，满足不等式Asin（）＞Asin（）?若存在，求出m值（或范围），若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，．【解析】（1）由最大值可得，取的最大值与最小值时的值差半个周期，根据周期公式可得．根据最值可求得．（2）将整体角代入正弦函数的单调增区间内，所得的范围即为所求．（3）分析可得和均在内，而正弦函数在内单调递增，所以可将原不等式转化为，若不等式有解，则说明存在满足题意，否则说明不存在．试题解析：解：（1）∵∴∴（2）令得∴函数的单调递增区间为：（3）∵而在上是增函数∴【考点】1正弦函数周期性，最值；2正弦函数的单调性．7.的内角的对边分别为，，那么角等于（）A．B．或C．D．【答案】C【解析】根据正弦定理，，根据大角对大边，所以，故选C．【考点】正弦定理8.三角形ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A中，由正弦定理得边只有1解；B中由余弦定理可知边只有1解；C中由正弦定理可知，因此B角有2个，三角形有两解；D中三角形无解【考点】正余弦定理解三角形9.在中，已知，,则的长为____________________．【答案】【解析】由正弦定理可得【考点】正弦定理解三角形10.如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道曲线段是函数，时的图象且最高点B（-1，4），在y轴右侧的曲线段是以CO为直径的半圆弧．（1）试确定A，和的值；（2）现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO（单位：米），在点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设（弧度），试用来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）【答案】（1）；（2）造价，，在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元．【解析】（1）由“五点法”可求得；（2）由（1）求出点坐标，得半圆的半径，用表示出弦长和弧长，由题意可得造价，，下面用导数的知识求出的最大值．试题解析：（1）因为最高点B（-1，4），所以A=4；，因为代入点B（-1，4），，又；（2）由（1）可知：，得点C即，取CO中点F，连结DF，因为弧CD为半圆弧，所以，即，则圆弧段造价预算为万元，中，，则直线段CD造价预算为万元所以步行道造价预算，．由得当时，，当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减所以在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元．……16分【考点】“五点法”，的解析式，导数与最值．11.如图，一根木棒长为米，斜靠在墙壁上，，若滑动至位置，且米，则中点所经过的路程为．【答案】【解析】设的中点为，的中点为，连接、，∵，为中点，∴＝＝＝＝．当端下滑端右滑时，的中点到的距离始终为定长，∴是随之运动所经过的路线是一段圆弧，∵，∴，．∵，，∴，∴，∴，∴，∴弧的长＝＝，即点运动到所经过路线的长为．【考点】动点的轨迹，弧长公式．【方法点睛】该题考查的是有关动点运动时所经过的路程问题，属于较难题目，解决该题的关键是要明确动点运动的轨迹是什么曲线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而确定出动点应该在以原点为圆心，以为半径的圆上，再结合题中所给的角的大小，从而确定出相应的边长，结合，从而确定出动点所经过的圆弧所对的圆心角的大小，进一步确定出弧长，求得结果．12.（本小题满分12分）在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求和的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由题根据面积公式及所给条件不难得到AB=2AC,结合正弦定理可得；（Ⅱ）设，则在与中，由余弦定理可得AC．试题解析：（Ⅰ）由题由正弦定理可知（II），设，则在与中，由余弦定理可知，，解得即【考点】三角形面积公式；正弦定理；余弦定理13.在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c．已知c=2，．（1）若△ABC的面积等于求a与b的值；（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．【答案】（1）a=2，b=2；（2）．【解析】（1）结合已知条件由三角形的面积公式、余弦定理列出关于a，b的方程组求解即可；（2）由正弦定理得到b=2a，然后由余弦定理得到a，b的另一等量关系，解方程组求出a，b，然后由面积公式求解即可．试题解析：（1）由余弦定理及已知条件，得ab=4，又因为△ABC的面积等于所以sin得ab=4．联立方程组解得a=2，b=2．（2）由正弦定理，sinB=2sinA化为b=2a，联立方程组 -解得．所以△ABC的面积sin．【考点】①正弦定理、余弦定理的应用；②三角形的面积公式．14.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且．求：（1）角C的度数；（2）AB的长度．【答案】（1）；（2）；【解析】（1）由已知条件和可得；（2）由已知和韦达定理可得与，再利用余弦定理可得；试题解析：（1）C＝120°由题设：【考点】1．余弦定理；2．韦达定理；15.在△中，已知，且．（1）试确定△的形状；（2）求的范围．【答案】（1）直角三角形（2）【解析】（1）利用和差化积公式和二倍角公式对cos2C+cosC=1-cos（A-B）整理求得sinAsinB=sin2C，利用正弦定理换成边的关系，同时利用正弦定理把（b+a）（sinB-sinA）=asinB角的正弦转化成边的问题，然后联立方程求得，推断出三角形为直角三角形；（2）利用正弦定理化简所求式子，将C的度数代入，用A表示出B，整理后利用余弦函数的值域即可确定出范围试题解析：（1）由，得，即…①…2分又∵，∴．即，则………②由①②知，即，∴△为直角三角形．（2）在△中，，即．又，当且仅当，即为等腰直角三角形时，等号成立．故的取值范围为．【考点】1．三角形的形状判断；2．正弦定理；余弦定理16.设中．若，，，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，整理得，又，所以．【考点】余弦定理的应用．17.已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB＝1，，且△ABC的面积为，求sinA＋sinB的值．【答案】（1），（2）1＋【解析】（1）利用三角函数降幂公式及两角和与差正余弦公式将三角函数式化为的形式，通过已知条件即可求θ的值；（2）通过三角形的面积以及余弦定理和正弦定理直接求sinA+sinB的值．试题解析：（本小题12分）（1）f（x）＝2cos2－2sin cos＝（1＋cosx）－sinx＝2cos＋．由2cos＋＝＋1，得cos＝．于是k∈Z），因为∈，所以（2）因为C∈（0，π），由（1）知C＝．因为△ABC的面积为，所以＝absin，于是ab＝2．①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b．由余弦定理得1＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－6，所以a2＋b2＝7．②由①②可得或于是a＋b＝2＋．由正弦定理得所以sinA＋sinB＝（a＋b）＝1＋．【考点】三角函数的化简求值正弦定理余弦定理的应用．【方法点睛】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角形中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式；（3）在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．18.在△ABC中，若，则∠C=（）A．60°B．90°C．150°D．120°【答案】A【解析】【考点】余弦定理解三角形19.在△ABC中，若，那么△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】已知条件变形为，三角形为等腰三角形【考点】三角函数基本公式20.在中，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理得，，所以，故选B．【考点】正弦定理．21.在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．【答案】AB=．【解析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cos∠ADC==，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=．【考点】余弦定理；正弦定理．22.已知△中，，，，那么角A等于A．B．C．D．【答案】C【解析】由得【考点】正弦定理23.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成600的视角，从B岛望C岛和A岛成300的视角，则B、C间的距离是___________________海里．【答案】【解析】依题意，作图如下：∵∠CAB=60°，∠ABC=30°，∴△ABC为直角三角形，∠C为直角，又|AB|=10海里，∴|BC|=|AB|sin60°=10×=海里，【考点】正弦定理的应用24.设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】A【解析】由正弦定理可将变形为，三角形为直角三角形【考点】正弦定理与三角函数基本公式25.=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由倍角公式的运用可得：．故选D．【考点】1、二倍角公式；2、特殊角的三角函数值．26.已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．（1）求A；（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出B+C的度数，即可确定出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c以及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=，∴B+C=，则A=；（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc，解得：bc=4，=bcsinA=×4×=．则S△ABC【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．27.已知函数(其中)，其部分图像如图所示．（I）求的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．【答案】（I）；(II) 当时，取得最大值.【解析】（I）根据图象可求出的值，再根据图象可求出周期，进而可求得的值，再结合函数在处有最大值以及，就可以求出的值，由此可求出函数的表达式；(II)根据（I）的结论先求出函数的表达式，再结合，就可求出在区间上的的最大值及相应的值．试题解析：（I）由图可知，，所以.又，且，所以.所以（II）由（I），所以因为，所以，.故：，当时，取得最大值【考点】1、三角函数的“由图求式”；2、形如的函数的最值问题.28.已知中，角所对的边分别，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】对于问题（Ⅰ），首先根据余弦定理把关于边的问题转化为关于角的问题，再结合降次公式以及三角函数的诱导公式，即可求得；对于问题（Ⅱ）可以根据（Ⅰ）的结论并结合基本不等式和三角形的面积公式即可求得面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）（Ⅱ）且，，又，，，面积的最大值注：求法不唯一，只要过程、方法、结论正确，给满分。
三角函数恒等变换练习题及答案详解
两角和与差的正弦、余弦、正切1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．知识点回顾1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T α＋β)2． 二倍角公式sin 2α＝ααcos sin 2；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T α±β可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源] 三角变换中的“三变”(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．热身训练1． 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan αtan β的值为_______．2． 函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为______________________．3． (2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα＝45，则 4． (2012·江西)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34B.34C ．－43D.43 5． (2011·辽宁)设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ等于( )A ．－79B ．－19C.19D.79典例分析题型一 三角函数式的化简、求值问题 例1 (1)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2； (2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°.在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题例2 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πα＝－19，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β.题型三 三角变换的简单应用 例3 已知f (x )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+x tan 11sin 2x －2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx ·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．已知函数f (x )＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πx ＋2sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-12πx (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值时x 的集合．利用三角变换研究三角函数的性质典例：(12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎪⎭⎫⎝⎛+6πx －1. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值．总结方法与技巧 1． 巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2． 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y ＝a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)有a 2＋b 2≥|y |.3． 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．4． 已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．5． 熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形． 失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．过手训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) 1． (2012·山东)若θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.342． 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πβ＝14，那么tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα等于( )A.1318B.1322C.322D.163． 当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( )A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是－12C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－1二、填空题(每小题5分，共15分) 4． 已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛-απ4，则sin 2α＝________. 5． 已知cos ⎪⎭⎫⎝⎛-απ4＝1213，α∈⎪⎭⎫⎝⎛4,0π，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 6． 设x ∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为________．三、解答题7． (13分)(2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎪⎭⎫⎝⎛+6πωx (其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值． 课后习题(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·江西)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ等于( )A.15B.14C.13D.122． (2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于 ( )A ．－53B ．－59C.59D.533． 已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010， 则α＋β等于( )A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π44． (2011·福建)若α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于 ( )A.22B.33C. 2D. 3二、填空题(每小题5分，共15分)5． cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值为________． 6.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.7． sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，则α＋β＝____________.三、解答题(共22分) 8． (10分)已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．9． (12分)已知α∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，求cos β的值．。
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.．【答案】【解析】故答案为：．【考点】两角和与差的三角公式．2.若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，，令，在区间上，，单调递增，，所以；【考点】1．导数与单调性；2．化归的思想；3.函数在内是（）A．增函数B．减函数C．有增有减D．不能确定【答案】A【解析】函数，可得，所以函数在内是增函数．故选：A．【考点】利用导数研究函数的单调性．4.（12分）．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝．（1）求角B的大小；（2）若，求sinA·sinC的值．【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；（Ⅱ）已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理列出关系式，把得出关系式及cosB的值代入，并利用正弦定理化简，即可求出sinAsinC的值试题解析：（Ⅰ）已知等式变形得：sinAcosA+sinBcosB=2sinCcosA，去分母得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，即sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，∵sinC≠0，∴cosB=12，则B=60°；（Ⅱ）由，整理得：，∵cosB=12，∴，由正弦定理得：sin2B=2sinA·sinC=，则sinA·sinC=【考点】1．同角间三角函数关系；2．正弦定理5.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为．故选D．【考点】三角函数图像变换：周期变换、左右平移．6.已知在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且,则tanC等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】1．余弦定理解三角形；2．同角间三角函数关系7.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝．（1）求角B的大小；（2）若＋＝3，求sin Asin C的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意切化弦，同分可得，整理可得，即可求得；（2）根据已知式子同分可得，由余弦定理得到，再结合正弦定理即可得到试题解析：（1）由题意可得：因为，所以，又因为，所以（2）有题意可得：即由余弦定理可得：，得到有正弦定理：【考点】1．正余弦定理；2．化简求值8.（本题满分11分）若的内角所对的边分别为，且满足（1）求；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为正弦定理，所以化为，因为三角形内角有，所以即，所以；（2）由余弦定理，得，而，，得，即，因为三角形的边，所以，则．试题解析：（1）因为由正弦定理，得，又，从而，由于所以（2）解法一：由余弦定理，得，而，，得，即因为，所以，故面积为．解法二：由正弦定理，得从而又由知，所以故，所以面积为．【考点】1．正弦定理与余弦定理；2．三角形的面积公式．9.在中，已知，,则的长为____________________．【答案】【解析】由正弦定理可得【考点】正弦定理解三角形10.（本小题满分10分）在△ABC中，是方程的一个根，（1）求；（2）当时，求△ABC周长的最小值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解一元二次方程得到方程的根，结合三角函数有界性得到的值，从而求得大小；（2）由三角形余弦定理结合，可将转化为的表达式，从而求得其最小值，得到周长的最小值试题解析：（1）又是方程的一个根（2）由余弦定理可得：则：当时，c最小且，此时△ABC周长的最小值为．【考点】1．余弦定理解三角形；2．一元二次方程的根11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（b－c）cosA＝acosC，则cosA＝_____【答案】【解析】由正弦定理可将已知条件转化为【考点】正弦定理与三角函数基本公式12.在△ABC中，cosA＝，sinB＝，则cosC的值为．【答案】【解析】由cosA＝，sinB＝得【考点】三角函数基本公式13.在△ABC中，如果，且为锐角，试判断此三角形的形状．【答案】等腰直角三角形．【解析】判定三角形的形状由三角形的三边长或三个角来确定．由可确定．根据正弦定理，可确定角，从而确定三角形的形状．试题解析：因为，所以,又为锐角，所以．，．由正弦定理得：，即展开得：，即，则，所以△ABC是等腰直角三角形．【考点】1．三角形形状；2．正弦定理；14.在△中，分别为角所对的边，若，则此三角形一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【答案】C【解析】,三角形为等腰三角形【考点】1．正弦定理解三角形；2．三角函数基本公式15.在中，、、分别是三内角A、B、C的对应的三边，已知（1）求角C的大小；（2）满足的是否存在？若存在，求角A的大小．【答案】（1）；（2）不存在【解析】（1）由正弦定理将变形可得到关于角C的关系式，进而求得角C的大小；（2）结合角C的大小将变形求解A角，若A角存在则三角形存在试题解析：（1）由正弦定理，得因为由则（2）由（1）知，于是=这样的三角形不存在。
人教版高中数学精讲精练必修一5.5 三角恒等变换(精讲)(解析版)
5
13
33 A．
65
B． 33 65
16 C．
65
D． 16 65
【答案】A
【解析】 α，β 为锐角，α β 0，π ， sin α β 1 cos2 α β 12 ，
13
又 sinα 1 cos2α 4 ， 5
cosβ
cos
α
β
α
cos α
β cosα
sin
α
β
sinα
5 13
=
2
cos
3
21 2
1，故正确.
C
选项，
2 tan 22.5 1 tan2 22.5
tan
45
1 ，故正确.
D 选项， 1 1 cos 1 1 3 2 3 1 ，故错误故选：ABC
22 6 22 2
2
考点二 给值求值
【例 2-1】（2022 日照）已知锐角 α，β 满足 cosα 3 ， cos α β 5 ，则 cosβ 的值为（ ）
A． 3 2
B． 1 2
C． 3 2
D． 1 2
【答案】B
【解析】 sin62cos32 sin32cos118 sin62cos32 sin32cos(180 62)
sin62cos32 sin32cos62
sin 62 32 sin30 1 ，A，C，D 不符合题意.
2 故答案为：B. 2．（2022 昌平期末）在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 以 Ox 为始边，终边经过点 P(2，3) ，则 tan(α π )
B． 4 5
C． 2 3 5
D． 2 3 5
【解析】由
cos
α
π 6
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第五章 5.5.2 简单的三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换A 级必备知识基础练1.cos 2π8−14的值为( )A.√2-14B.√2+14C.√24D.√222.已知α为第一象限角,且tan α=43,则sin α2的值为( ) A.√55B.-√55C.±√55D.153.(多选题)已知函数f(x)=sin xcos x+sin 2x,则下列说法正确的是( ) A.f(x)的最大值为2 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)的图象关于直线x=-π8对称D.f(x)在(0,π4)上单调递增4.函数f(x)=sin 2x+sin xcos x+1的最小正周期为 .5.若tan α=17,则1+cos2αsin2α= .6.证明:2sinxcosx(sinx+cosx -1)(sinx -cosx+1)=1+cosx sinx.B级关键能力提升练7.若函数f(x)=(1+√3tan x)cos x,则f(π12)= ( )A.√6-√22B.-√3C.1D.√28.若3π<x<4π,则√1+cosx2+√1-cosx2= ( )A.√2cosπ4−x2B.-√2cosπ4−x2C.√2sinπ4−x2D.-√2sinπ4−x29.设函数f(x)=2cos2x+√3sin 2x+a(a为实常数)在区间[0,π2]上的最小值为-4,那么a的值等于( )A.4B.-6C.-4D.-310.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725,则它的底角的余弦值为( ) A.34B.35C.12D.45A.∃x ∈R,sin 2x 2+cos 2x2=12B.∃x,y ∈R,sin(x-y)=sin x-sin yC.∀x ∈[0,π],√1-cos2x2=sin xD.sin x=cos y,则x+y=π212.已知sin x+π3=-√33,则cos x+cos x-π3= .13.若cos θ=-725,θ∈(π,2π),则sin θ2+cos θ2= ,sin θ2-cos θ2= .14.已知sin α=1213,sin(α+β)=45,α,β均为锐角,求cos β2的值.C级学科素养创新练15.已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求.证:cos2A+cos2B+cos2C=325.5.2 简单的三角恒等变换1.B cos 2π8−14=1+cos π42−14=√2+14. 2.C 因为α为第一象限角,且tanα=43,所以cosα=35,而α2是第一或第三象限角.当α2是第一象限角时,sin α2=√1-cosα2=√55;当α2是第三象限角时,sin α2=-√1-cosα2=-√55,故sin α2=±√55.3.BCD ∵f(x)=12sin2x+1-cos2x2=12(sin2x-cos2x)+12=√22sin (2x -π4)+12,∴f(x)max =√22+12=√2+12,最小正周期T=2π2=π.当x=-π8时,sin (2x -π4)=-1,∴直线x=-π8为f(x)图象的对称轴.当x ∈(0,π4)时,2x-π4∈(-π4,π4),∴f(x)在(0,π4)上单调递增. 综上B,C,D 正确,A 不正确. 4.π f(x)=sin 2x+sinxcosx+1=1-cos2x2+12sin2x+1=12(sin2x-cos2x)+32=√22sin 2x-π4+32,∴T=2π2=π.5.7 因为tanα=sin2α1+cos2α=17,所以1+cos2αsin2α=7.6.证明左边=2sinxcosx(2sin x 2cos x 2-2sin 2x2)(2sin x 2cos x 2+2sin 2x 2)=2sinxcosx4sin 2x 2(cos 2x 2-sin 2x 2)=sinx 2sin 2x 2=cosx 2sin x 2=2cos 2x22sin x 2cosx 2=1+cosx sinx=右边.所以原等式成立.7.D ∵f(x)=(1+√3·sinx cosx)cosx=cosx+√3sinx=2sin (x +π6),∴f (π12)=2sin (π12+π6)=2sin π4=√2.8.C 因为3π<x<4π, 所以3π2<x 2<2π,sin x 2<0,cos x2>0.于是√1+cosx2+√1-cosx 2=cos x 2+sinx 2=cos x 2-sin x2=√2√22cos x 2−√22sin x 2=√2sinπ4−x 2.9.C f(x)=2cos 2x+√3sin2x+a=1+cos2x+√3sin2x+a=2sin (2x +π6)+a+1.当x ∈[0,π2]时,2in =2·(-12)+a+1=-4,∴a=-4.10.B 设等腰三角形的顶角为α,底角为β,则cosα=725.又β=π2−α2,即cosβ=cosπ2−α2=sin α2=√1-cosα2=√1-7252=35.12.-1 因为sin x+π3=-√33,所以cosx+cos x-π3=cosx+12cosx+√32sinx=32cosx+√32sinx=√3√32cosx+12sinx=√3sin x+π3=-1.13.1575因为θ∈(π,2π),所以θ2∈(π2,π),所以sin θ2=√1-cosθ2=45,cos θ2=-√1+cosθ2=-35,所以sin θ2+cos θ2=15,sin θ2-cos θ2=75. 14.解∵0<α<π2,∴cosα=√1-sin 2α=513,∵0<α<π2,0<β<π2,∴0<α+β<π, 若0<α+β<π2,∵sin(α+β)<sinα, ∴α+β<α, ∴β<0,与已知矛盾, ∴π2<α+β<π,∴cos(α+β)=-35,∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-35×513+45×1213=3365.∵0<β<π2,∴0<β2<π4,∴cos β2=√1+cosβ2=7√6565. 15.证明由已知,得sinA+sinB=-sinC, ① cosA+cosB=-cosC.②和差化积,得2sin A+B2cos A-B2=-sinC. ③2cos A+B2cos A-B2=-cosC. ④∵当cos A-B2=0时,sinC=cosC=0,不满足题意,∴cos A-B2≠0.③÷④,得tan A+B2=tanC.∴cos(A+B)=1-tan2A+B21+tan2A+B2=1-tan2C1+tan2C=cos2C.①2+②2,得2+2cos(A-B)=1,即cos(A-B)=-12,∴cos2A+cos2B+cos2C=12(1+cos2A+1+cos2B+1+cos2C)=3 2+12[2cos(A+B)cos(A-B)+cos2C]=3 2+12[2cos2C·(-12)+cos2C]=32.。
高一数学(必修一)《第五章 三角恒等变换》练习题附答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角恒等变换》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知sin(α＋45°)sin2α等于（ ） A ．－45B ．－35C ．3 5D ．4 52．已知13a =，4log 3b =和sin 210c =︒，则（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<3．()sin cos f x x x =最小值是 A ．-1B ．12-C ．12D ．14．关于函数sin cos y x x =+，以下说法正确的是（ ） A ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数B ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在最小值C ．在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数D ．在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在最大值5．函数()22f x cos x sinx ＝＋ 的最小值和最大值分别为( ) A ．3,1－B ．2,2－C ．332－，D ．322－，6．将函数()2sin(2)26f x x π=-+向左平移6π个单位后得函数()g x ，则()g x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是A ．[2,2]-B ．[3,4]C ．[0,3]D ．[0,4]7．sin15sin 75的值为（ ）A ．14B ．12C D 8．已知tan α和tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭是方程20ax bx c ++=的两个根，则,,a b c 的关系是（ ）A ．b a c =+B ．2b a c =+C ．c b a =+D ．c ab =9．设sin18cos44cos18sin 44a =︒︒︒+︒，2sin 29cos29b =︒︒和cos30c =︒，则有（ ） A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<二、填空题10．若sin 2α=()sin βα-=π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是________.11．已知角α的终边经过点(3,1)P t ，且3cos()5πα+=，则tan α的值为_________．12．函数44cos sin y x x =-的最小正周期是______ 13．22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒︒=______．14．已知α为第二象限角，sinα＋cosαcos2α＝________． 15．设α为锐角，若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin(2)12πα+的值为____________.16．已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，其图象的对称轴与对称中心之间的最小距离为4π，3x π=-是函数()f x 的一个极小值点.若把函数()f x 的图象向右平移()0t t >个单位长度后，所得函数的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则实数t 的最小值为___________.三、解答题17．已知函数()()sin 2(0),,04f x x πϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭是该函数图象的对称中心(1)求函数()f x 的解析式；(2)在ABC 中角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1,23f C C π=->和1c =，求2+a b 的取值范围.18．函数()cos()f x A x ωφ=+（其中 0A >，0>ω和||2ϕπ<）的部分图象如图所示，先把函数 ()f x 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移4π个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 图象的对称中心.（2）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则求 ()g x 的值域.（3）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则方程 ()()2()230g x m g x m +-+-=有解，求实数m 的取值范围.19．在ABC 中角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且1b c -=，2cos 3A =和ABC S =△(1)求边a 及sinB 的值；(2)求cos 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.20．求444sin 10sin 50sin 70︒︒︒++的值.21．已知函数()222cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ x ∈R ．(1)求()6f π的值及()f x 的最小正周期；(2)当[0,]x π∈时，则求函数()f x 的零点所构成的集合．参考答案与解析1．B【分析】利用两角和的正弦函数化简已知条件，利用平方即可求出所求结果.【详解】sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α∴sin α＋cos α. 两边平方，得1＋sin2α＝25，∴sin2α＝－35.故选B【点睛】本题目是三角函数正弦函数的题目，掌握同角三角函数的二倍角公式是解题的关键. 2．A【分析】根据诱导公式求出c ，再根据对数函数的单调性比较,a b 的大小，即可得出答案. 【详解】解：()1sin 210sin 18030sin 302c =︒=︒+︒=-︒=-113244441log 4log 4log 2log 33a ==<=<所以c a b <<. 故选：A. 3．B【详解】试题分析：∵()sin cos f x x x =1sin 22x =，∴当sin2x=-1即x=()4k k Z ππ-∈时，则函数()sin cos f x x x =有最小值是12-，故选B考点：本题考查了三角函数的有界性点评：熟练掌握二倍角公式及三角函数的值域是解决此类问题的关键，属基础题 4．C【分析】将原式化简为)4y x π=+，再结合正弦函数的性质，即可求解．【详解】解：sin cos )4y x x x π=++∴令22,242k x k k Z πππππ-+++∈ ∴322,44k x k k Z ππππ-++∈即函数的单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦故选项A 错误，选项C 正确 当2,42x k k Z πππ+=-+∈，即32,4x k k Z ππ=-+∈时，则y 取得最小值，故在区间(0,)2π上不存在最小值，故选项B 错误 当2,42x k k Z πππ+=+∈，即2,4x k k Z ππ=+∈时，则y 取得最大值，故在区间(,0)2π-上不存在最大值，故选项D 错误． 故选：C ． 5．C 【详解】()112sin22sin 2sin 2f x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－＋＝－232＋. ∴当1sin 2x ＝时，则()3max ?2f x ＝，当1sinx =－ 时则()3min f x ＝－ ，故选C. 6．D【分析】按照图象的平移规律，写出()g x 的表达式，利用正弦函数的图象，求出()g x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【详解】因为函数()2sin(2)26f x x π=-+向左平移6π个单位后得函数()g x ，所以()2sin[2()]22sin(2)2666g x x x πππ=+-+=++230,(2)[,]sin((2)[1,1]3662)[0,4]6x x x g x πππππ∈⎡⎤∴+∈∴+∈-∴⎢⎥⎣⎦∈，故本题选D. 【点睛】本题考查了正弦型函数的平移、以及闭区间上正弦型函数的最值问题，正确求出平移后的函数解析式，是解题的关键. 7．A【分析】利用诱导公式结合二倍角的正弦公式化简可得结果.【详解】()11sin15sin 75sin15sin 9015sin15cos15sin 3024=-===.故选：A. 8．C【分析】根据根与系数的关系以及两角和的正切公式可得结果. 【详解】由题意可知，tan tan ,tan tan 44b ca aππαααα⎛⎫⎛⎫+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tantan 44ππαα⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭tan tan 4111tan tan 4b a ca πααπαα⎛⎫+--⎪⎝⎭===⎛⎫--- ⎪⎝⎭1b ca a∴-=- b a c ∴-=- c a b ∴=+. 故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，考查了两角和的正切公式，属于基础题. 9．B【分析】先利用两角和的正弦公式对a 化简，利用二倍角公式对b 化简，然后利用正弦函数的单调性即可比较大小【详解】解：sin18cos 44cos18sin sin(1844)sin 4624a ︒︒=︒+︒==︒︒+︒ 2sin 29cos29sin58b =︒︒=︒ cos30sin60c =︒=︒ 因为sin y x =在(0,90)︒︒上为增函数，且586062︒<︒<︒ 所以sin58sin60sin62︒<︒<︒，即可b c a << 故选：B【点睛】此题考查两角和的正弦公式和二倍角公式的应用，考查正弦函数的单调性，属于基础题 10．74π【分析】依题意,可求得ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，进一步可知π5,π24βα⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，于是可求得()cos βα-与cos2α的值，再利用两角和的余弦公式及角βα+的范围即可求得答案. 【详解】因为π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2,2π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为sin 2α=π2,π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以cos 2=α因为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以π5,π24βα⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦因为()sin βα-=所以()cos βα-==所以()()cos cos 2βαβαα+=-+()()=cos cos2sin sin 2βααβαα---=⎛⎛⨯ ⎝⎭⎝⎭因为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5π,24βαπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以7=4παβ+. 故答案为：74π 11．43-【解析】先计算出3cos 5α=-，再点的坐标特征可得角的终边的位置，从而可求tan α的值.【详解】因为3cos()5πα+=，故3cos 5α=-，故角α的终边在第二象限或第三象限又P 的纵坐标为1，故角α的终边在第二象限，所以sin 0α>所以sin 4tan cos 35ααα====--. 故答案为：43-【点睛】方法点睛：（1）角的终边的位置可根据三角函数值的正负来确定，也可以根据终边上的点的坐标特征来确定；（2）三个三角函数值，往往是“知一求二”，这里利用方程的思想. 12．π【分析】逆用二倍角公式将原式降幂,原式化简为cos()y A x ωϕ=+形式,利用2T ωπ=即可求得函数最小正周期. 【详解】()()442222cos sin cos sin o s =c s +in y x x x x x =--22cos sin cos 2x x x =-=22==2T πππω=T π∴=故答案为:π.【点睛】本题考查二倍角的余弦公式的应用、余弦三角函数最小正周期公式2T ωπ=,属于基础题. 13．34【分析】)(1cos 203020sin 202︒+︒︒-︒，化简计算即可得出结果. 【详解】原式)()(22sin 20cos 2030sin 20cos 2030=︒+︒+︒+︒︒+︒2211sin 2020sin 20sin 2020sin 2022⎫⎫=︒+︒-︒+︒︒-︒⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎝⎝2222311sin 20cos 20sin 20sin 20442=︒+︒+︒-︒34=． 故答案为：3414【详解】∵sinα＋cosα∴(sinα＋cosα)2＝13∴2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23.∵α为第二象限角且sinα＋cosα∴2kπ＋2π<α<2kπ＋34π(k ∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋32π(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α15【分析】利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得所求表达式的值.【详解】α为锐角2663πππα<+<3sin 65πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.sin(2)sin(2)22123433πππππαααα⎛⎫⎛⎫+=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos 2cos 1666πππααα⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦234421555⎤⎛⎫=⨯⨯-⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16．512π##512π 【分析】对称轴与对称中心之间的最小距离为4π，可求得函数的周期，从而可求出2ω=，再由3x π=-是一个极小值点，可求得6π=ϕ，从而可得()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，进而可得()sin 226g x x t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得5212k t ππ=-+，从而可求出实数t 的最小值【详解】因为对称轴与对称中心之间的最小距离为4π，所以44T π=，所以T π= 22πωπ== 因为3x π=-是一个极小值点所以()2232k k z ππϕπ-+=-+∈，又因为02πϕ<<，所以6π=ϕ()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.把函数()f x 的图象向右平移()0t t >个单位长度后得函数()sin 226g x x t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则()2236t k k z πππ-+=∈ 5212k t ππ=-+ 因为0t >，当0k =时，则实数t 的最小值为512π. 故答案为：512π17．(1)()cos2f x x = (2)()1,2【分析】（1）由题意得2,Z 4k k πϕπ⨯+=∈，则可求出2ϕπ=，从而可求出函数()f x 的解析式；（2）由()12f C =-可求出23C π=，由正弦定理得,a A b B ==，从而可表示出2+a b ，化简后利用三角函数的性质可求得结果 (1) 由题知2,Z 4k k πϕπ⨯+=∈因为0ϕπ<<，所以2ϕπ=所以函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即为()cos2f x x =. (2)由题知()12f C =-，即1cos22C =-因为3C ππ<<，所以2223C ππ<<，所以423C π= 即21,33C A B ππ=+=.所以由正弦定理得sin sin sin a b c A B C === 所以,a Ab B == 2a b A B +=+)sin 2sinA B =+sin 2sin3B B π⎤⎛⎫=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦sin cos cos sin 2sin33B B B ππ⎫=-+⎪⎭3sin2B B ⎫=+⎪⎪⎭2sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为10,3B π<<所以662B πππ<+<所以1sin 126B π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以12sin 26B π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以2+a b 取值范围为()1,2.18．（1）(),1124k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）3310⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）观察图象，由函数最值求出A ，由周期求出ω，再将7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得出 ϕ，即可求出函数()f x 的解析式，进而得出函数()g x 的解析式以及对称中心； （2）由x 的范围结合余弦函数的性质可得()g x 的值域；（3）将已知方程参变分离，利用对勾函数的性质求出值域，可得实数m 的取值范围． 【详解】（1）根据图象可知1A = 174123T ππ=- ∴T π=，∴22Tπω== ()()cos 2f x x φ=+ 将7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭代入得 7cos 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 即726k πϕππ+=+，解得 26k πϕπ=- k Z ∈ ∵2πϕ<，∴0k = 6πϕ=-∴()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.函数()f x 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得 cos 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线再向左平移4π个单位长度，再向上平移1个单位得()5cos 416g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令54,62x k k Z πππ+=+∈，解得 124k x ππ=-+ ∴此函数图象的对称中心为(),1124k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z . （2）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则 54514,cos 41,63362x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∈⇔+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()53cos 410,62g x x π⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即 ()g x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （3）()()()2230g x m g x m +-+-=()()()2231g x g x m g x ⇔++=+⎡⎤⎣⎦()()()2231g x g x m g x ++⇔=+令()1s g x =+，由（2）知51,2s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2223310s m s s s +⎡⎤==+∈⎢⎥⎣⎦因此m 的取值范围为3310⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图象的应用，考查余弦函数的性质，考查有解问题的应用，解决本题的关键点是将已知方程化简，参变分离，利用对勾函数的性质求出对应函数的值域，进而得出参数的取值范围，考查学生计算能力，属于中档题．19．(1)a = sin 1B =【分析】（1）先由cos A 求得sin A ，结合三角形面积公式可得6bc =，根据条件可得b ，c 的值，再利用余弦定理求得a ，利用正弦定理求得sin B ；（2）由（1）可知2B π=，则2sin cos 3C A == cos sin C A ==. (1)因为2cos 3A =，()0,A π∈所以sin A =因为1sin 2ABCS bc A =6bc = 又1b c -=，所以3b = 2c =所以a ==因为sin sin a b A B =3sin B =，所以sin 1B =. (2)在ABC 中由（1）可知2B π=，则2A C π+=所以2sin cos 3C A == cos sin C A ==则sin 22sin cos C C C ==221cos 2cos sin 9C C C =-=所以cos 2cos 2cos sin 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭20．98【分析】先将题中正弦值利用诱导公式转化为余弦值，再用降次公式将式子中高次转化为1次，再观察题中角度与特殊角的联系，再用两角和差公式展开化简求值.【详解】444sin 10sin 50sin 70︒︒︒++444cos 80cos 40cos 20︒︒︒=++2221cos1601cos801cos40222︒︒︒⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()222132cos1602cos802cos40cos 160cos 80cos 404︒︒︒︒︒︒=++++++ ()3111cos401cos1601cos80cos20cos80cos40424222︒︒︒︒︒︒⎛⎫+++=+-+++++ ⎪⎝⎭ ()95cos80cos40cos2088︒︒︒=++- ()()95cos 6020cos 6020cos2088︒︒︒︒︒⎡⎤=+++--⎣⎦ ()952cos60cos20cos2088︒︒︒=+-98=. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，运用降次公式，两角和与差公式进行化简求值，注意观察角度间的联系及与特殊角的联系，还考查了学生的分析观察能力，运算能力，难度较大.21．(1)()16f π=，最小正周期为π; (2)0,,3ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数()f x 的解析式，利用正弦函数的性质即可求解；（2）令()0f x =，可得266x ππ+=或56π或136π，即可求解x 的值.（1）解：因为()222cos 2cos 213633f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin 212sin 21366x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2sin 1162f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，最小正周期为 22T ππ==. （2）令()0f x =，则1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为[0,]x π∈，所以132,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以266x ππ+=或56π或136π，即0x =或3π或π，所以函数()f x 的零点所构成的集合为0,,3ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.。
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第5章三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换课后训练巩固提升1.设5π<θ<6π,cos θ2=a,则sin θ4等于( )A.√1+a2B.√1-a2C.-√1+a 2D.-√1-a 25π<θ<6π, 则5π4<θ4<3π2,则sin θ4=-√1-cos θ22=-√1-a 2.2.若cos α=-45,α是第三象限角,则1+tanα21-tanα2等于( )A.-12B.12C.2D.-2是第三象限角,cosα=-45, ∴sinα=-35,∴1+tanα21-tanα2=cos α2+sinα2cos α2-sinα2=cos α2+sinα2cos α2-sinα2·cos α2+sinα2cos α2+sinα2=1+sinαcosα=1-35-45=-12.3.(多选题)已知函数f(x)=√1+cos2x (x ∈R),则下列关于f(x)的说法正确的是( ) A.f(x)的最大值为1B.f(x)的最小值为0C.f(x)是偶函数D.f(x)的最小正周期为πf(x)=√1+cos2x =√2cos 2x =√2|cosx|,所以f(x)的最大值为√2,最小值为0,f(x)是最小正周期为π的偶函数.4.已知cos θ=-15,5π2<θ<3π,则sin θ2等于( )A.√105B.-√105C.√155 D.-√155因为5π2<θ<3π,所以5π4<θ2<3π2.所以sin θ2<0.因为cosθ=1-2sin 2θ2,所以sin θ2=-√1-cosθ2=-√(1+15)×12=-√155.5.化简(sin α2+cos α2)2+2sin 2(π4-α2)得( )A.2+sin αB.2+√2sin (α-π4)C.2D.2+√2sin (α+π4)=1+2sin α2cos α2+1-cos[2(π4-α2)]=2+sinα-cos (π2-α)=2+sinα-sinα=2.故选C.6.已知tan (π4+θ)=3,则sin 2θ-2cos 2θ等于( )A.-1B.-45C.45D.-34tan (π4+θ)=tanθ+11-tanθ=3,∴tanθ=12.∴sin2θ-2cos 2θ=2sinθcosθ-2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=2tanθ-2tan 2θ+1=-45.7.1sinπ18−√3cosπ18= .=cos π18-√3sin π18sin π18cosπ18=2(12cos π18-√32sin π18)12sin π9=4sinπ9sin π9=4.8.已知α∈(0,π2),sin 2α=12,则sin (α+π4)= .1-2sin 2(α+π4)=cos (2α+π2)=-sin2α,所以sin 2(α+π4)=34.因为α∈(0,π2),所以α+π4∈(π4,3π4).所以sin (α+π4)=√32.9.函数f(x)=15sin (x +π3)+cos (x -π6)的最大值为 .f(x)=15sin (x +π3)+cos (x -π6)=15sin (x +π3)+cos [π2-(π3+x)]=15sin (x +π3)+sin (x +π3) =65sin (x +π3)≤65.10.已知函数f(x)=sin (2x -π6)+2cos 2x-1.(1)求函数f(x)的最大值及其相应x 的取值集合; (2)若π4<α<π2且f(α)=45,求cos 2α的值.因为f(x)=sin (2x -π6)+2cos 2x-1=sin2xcos π6-cos2xsin π6+cos2x=√32sin2x+12cos2x=sin (2x +π6),所以当2x+π6=2kπ+π2(k ∈Z),即ax =1.其相应x 的取值集合为{x |x =kπ+π6,k ∈Z}.(2)由题意可知f(α)=sin (2α+π6)=45.因为π4<α<π2,所以2π3<2α+π6<7π6.所以cos (2α+π6)=-35.因此cos2α=cos [(2α+π6)-π6]=cos (2α+π6)cos π6+sin (2α+π6)sin π6=(-35)×√32+45×12=-3√3+410.。
高一数学三角恒等变换试题答案及解析
高一数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知函数，，且求的值；设，，，求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)利用公式化简，要熟练掌握公式，不要把符号搞错，很多同学化简不正确；(2)求解较复杂三角函数的时，寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围；；（3）要注意符号，有时正负都行，有时需要舍去一个；（4）三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角三角函数值，代入展开即可，注意角的范围.试题解析：解：（1），解得. 5分（2），即，，即. 8分因为，所以，，所以. 12分【考点】（1）三角函数给值求值,(2）诱导公式的应用.2.化简得到（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】三角函数的诱导公式和倍角公式.3.【答案】【解析】本题为由切求弦，由已知利用两角差的正切公式计算可得的值，并将已知化为正切的形式，考虑恒等变化故在原式填一分母,然后弦化切（分子分母同除以）.试题解析：因为所以所以 3分故 7分10分【考点】由切求弦.4.已知、、是△的三内角，向量，且，，求.【答案】.【解析】首先运用内角和定理将问题转化为，这样只要研究、的三角函数值即可，由条件可以建立两个关于、的方程，可解出关于、的三角函数值，进而求出的值.试题解析：由，得，即 1分而∴∴， 3分7分∴ 9分∴为锐角，∴ 10分13分【考点】三角恒等变换中的求值问题.5.已知，则 .【答案】【解析】两式平方相加并整理得，所以.注意公式的结构特点，从整体去解决问题.【考点】三角恒等变换.6. (cos- sin) (cos+sin)= （）A．B．C．D．【答案】【解析】显然上式满足平方差公式,所以其等于,发现符合余弦二倍角公式,所以等于．【考点】三角化简．7.已知＝2，则的值为；的值为_____．【答案】【解析】，又，，。
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第五章第5节《三角恒等变换》解答题提升训练 (15) 一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+cosα−2√2sinαy=−2+2√2cosα+sinα(其中α为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=a．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1上恰有三个点到曲线C2的距离为1，求a的值．2.已知函数f(x)=sinxcosx−√3sin2x+√3．(1)求f(x)的最小正周期；(2)当−π3≤x≤π6时，求函数y=f(x)的值域．3.证明：(1)2cosα·sinβ=sin(α+β)−sin(α−β)；(2)cos 2π2n+1+cos 4π2n+1+⋯+cos 2nπ2n+1=−12(n∈N∗)．4.如图，半圆O的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上异于A，B两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角△PCD，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设∠PAC=θ．(1)把线段PC的长表示为θ的函数；(2)求四边形ACDP面积的最大值．5.已知函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx．(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，求m的最小值．6.已知sinα=2√55,cosβ=√1010，α，β∈(0,π2)．(1)求cos(2α−π3)的值；(2)求α+β的值．7.已知△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，a(b−1)sinB−2sinA=0．(1)求b；(2)若7sin2C+sin2B−sin2A=2sinBsinCsinA，求△ABC面积的最大值．8.已知f(x)=2sin(12x+π6)(1)求f(π6)的值；(2)已知α，β为锐角，若f(2α−π3)=85，f(2β+2π3)=1013，求sin(α−β)的值．9.已知函数f(x)=2sinxcosx−2√3cos2x+√3,x∈R．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[π24,2π3]上的最大值和最小值；(3)若关于x的不等式mf(x)+3m≥f(x)在R上恒成立，求实数m的取值范围．10.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(−3,√3)．(2)定义行列式运算bd |=ad−bc,求行列式|sinα1的值；(3)求函数f(x)=|2cos(x+π12)√3tanα2sin(x+π12)|(x∈R)的最小正周期，最大值，并指出取得最大值时x的值．11.已知函数f(x)=√3sin(ωx+π6)+2sin2(ωx2+π12)−1(ω>0)，且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为．(1)求f(x)的单调递减区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标变)，得到函数y=g(x)的图象，当时，求函数g(x)的值域．12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(cosC+√33sinC)=a．(Ⅱ)若c=√2，c2=a2+b2−√2ab，求△ABC的面积．13.已知函数f(x)=sin(x+π2)cos(x−π4)−√24．(1)求f(π6).(2)若方程f(x)=a在区间[0,π2]上只有一个实数解，求实数a的取值范围．14.已知f(x)=√3sin2x+cos2x(1)求函数f(x)的单调减区间；(2)若g(x)=a•[2−f(x)]+b，，是否存在常数，使得g(x)的值域为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．15.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(−x0)=−f(x0)，则称f(x)为“M类函数”．(1)已知函数f(x)=2cos(x−π3)，试判断f(x)是否为“M类函数”？并说明理由；(2)若f(x)={log2 (x 2−2mx),x⩾3−2,x<3为其定义域上的“M类函数”，求实数m取值范围．16.已知函数f(x)=4sinxcos(x−π6)−1．(1)求f(5π12)的值；(2)当x∈[0,π]时，求函数f(x)的单调递增区间．17.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中c=4√3，sin2C+2√3sin2C=2√3，C为锐角．(Ⅰ)若a=4，求角B；(Ⅱ)若sin B=2sin A，求△ABC的面积．18.已知x0，x0+π2是函数f(x)=cos2(ωx−π6)−sin2ωx(ω>0)的两个相邻的零点．(1)求f(π12)的值；(2)若对任意x∈[−7π12,0]，都有f(x)−m≤0，求实数m的取值范围．19.已知函数．(I)求f(x)的最小正周期；(II)求证：当时，f(x)≥−1．2+2=0．20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos2B−6cos2A+C2(1)求角B的大小；(2)若b=√10，△ABC的面积为5√3，求△ABC的周长．4)．21.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinC=ccos(A−π6(1)求角A的大小；(2)设H为△ABC的垂心，且AH=1，求BH+CH的范围．O为22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为{x=3+cosθy=sinθ(θ为参数)，在以极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ=(cosθ−√3sinθ)=−1．(1)写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；(2)在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最小．23.如图，扇形钢板POQ的半径为1m，圆心角为60∘，现要从中截取一块四边形钢板ABCO，其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上，A,C分别在半径OP,OQ上，且AB⊥OP,BC⊥OQ．(1)设∠AOB=θ，试用θ表示截取的四边形钢板的面积S(θ)，并指出θ的取值范围；(2)求当θ为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大．24.已知．(1)化简f(α)；(2)若f(α)=45，且α是第二象限角，求的值．25.已知f(x)=2sinxcosx+2√3cos(x−π4)cos(x+π4)(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若关于x的函数g(x)=f(x)−2(2k+sin2x)在区间[π12,π2]上有唯一零点，求实数k的取值范围．26.如图，a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，D为BC边上的点，，cos∠ADC=17，c=8．(1)求a的值；(2)求△ADC的外接圆的半径R．27.▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知√3cosA=2sin A2(cos2A4−sin2A4)．(1)求A；(2)若b+c=5，且▵ABC的面积为3√32，求a的值．28. 已知函数f(x)=sin (π2−x)sinx −√3cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在[π6,2π3]上的单调性．29. 如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上的两点，D 是坐标原点，∠AOP =π6.∠AOQ =α，α∈[0,π)．(1)若Q(35,45)，求cos(α−π6)的值； (2)设函数f(α)=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求f(α)的值域．30.已知函数f(x)=√3sin ωx2cos ωx2+cos2ωx2+√3cos (ωx+ π 6)−12(ω>0)的图象的两相邻对称轴间的距离为π2．(1)求函数y=f(x)的解析式：(2)已知角α,β,θ满足：f(α2)⋅f(β2)=−4√23且α+β=3π4，tanθ=2，求sin(θ+α)sin(θ+β)cos2θ的值．【答案与解析】1.答案：解：(1)因为曲线C1的参数方程为{x=2+cos α−2√2sin αy=−2+2√2cos α+sin α(其中α为参数)，所以(x−2)2+(y+2)2=(cosα−2√2sinα)2+(2√2cosα+sinα)2=9，因此曲线C1的普通方程为：(x−2)2+(y+2)2=9；又因为曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=a，即√22ρsinθ+√22ρcosθ=a，所以把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入√22ρsinθ+√22ρcosθ=a，得√22y+√22x=a，因此曲线C2的直角坐标方程为：x+y−√2a=0.(2)因为圆C1的半径为3，而曲线C1上恰有三个点到曲线C2的距离为1，所以圆心C1(2,−2)到直线x+y−√2a=0的距离应为2，因此√2a|√2=2，解得：a=±2.解析：本题考查了直线与圆的位置关系及判定，极坐标系，两角和与差的三角函数公式，点到直线的距离公式，曲线的参数方程和同角三角函数的基本关系，属于中档题．(1)利用参数方程与普通方程的互化，结合同角三角函数的基本关系得曲线C1的普通方程，利用两角和与差的三角函数公式得√22ρsinθ+√22ρcosθ=a，再利用极坐标与直角坐标的互化得曲线C2的直角坐标方程；(2)利用直线与圆的位置关系的判定得圆心C1(2,−2)到直线x+y−√2a=0的距离应为2，再利用点到直线的距离公式，计算得结论．2.答案：解：(1)f(x)=12sin2x−√3⋅1−cos2x2+√3=12sin2x+√32cos2x+√32=sin(2x+π3)+√32，则f(x)的最小正周期T=2π2=π．(2)当−π3≤x≤π6时，−π3≤2x+π3≤2π3，当2x+π3=−π3时函数f(x)取得最小值为y=sin(−π3)+√32=−√32+√32=0，当2x+π3=π2时函数f(x)取得最大值为y=sinπ2+√32=1+√32，即函数f(x)的值域为[0,1+√32]．解析：本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．(1)利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期；(2)当−π3≤x≤π6时，−π3≤2x+π3≤2π3，由三角函数的最值即可求出f(x)的最大值和最小值．3.答案：证明：(1)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ，两式相减得2cos α·sinβ=sin(α+β)−sin(α−β)．(2)令α=π2n+1，所以cos 2π2n+1+cos 4π2n+1+⋯+cos 2nπ2n+1=cos2α+cos4α+⋯+cos2nα，又因为sin α(cos2α+cos4α+⋯+cos2nα)=sinαcos2α+sinαcos4α+⋯+sinαcos2nα=12(sin 3α−sin α+sin 5α−sin 3α+⋯+sin (2n+1)α−sin (2n−1)α)=12(sin (2n+1)α−sin α)=−12sin α，又因为sin α≠0，所以cos 2π2n+1+cos 4π2n+1+⋯+cos 2nπ2n+1=−12．解析：本题考查两角和与差的正弦公式，积化和差公式，考查学生的逻辑推理及运算求解能力，属综合题．(1)利用两角和与差的正弦公式将sin(α+β)与sin(α−β)展开，两式相减即可；(2)令α=π2n+1，根据积化和差公式得sin α(cos2α+cos4α+⋯+cos2nα)=−12sin α，得cos2α+cos4α+⋯+cos2nα=−12，即可求证．4.答案：解：(1)依题设易知是以∠APB为直角的直角三角形，又，所以PA=2cos θ．在，由余弦定理得，PC2=PA2+AC2−2PA⋅ACcos θ=4cos2 θ+9−12cos2 θ=9−8cos2 θ．所以PC=√9−8cos2θ，定义域为{θ|0<θ<π2}．(2)四边形ACDP面积为S，则=12⋅2cos θ⋅3⋅sin θ+12⋅(9−8cos2θ)=32sin 2θ+12⋅(5−4cos 2θ) =32sin 2θ−2cos 2θ+52=√94+4sin (2θ−φ)+52=52sin (2θ−φ)+52,其中cos φ=35,sin φ=45,φ为锐角．因为sin φ=45<√32,所以0<φ<π3．又因为0<θ<π2，所以−π3<2θ−φ<π，所以当时，S取得最大值为．所以四边形ACDP面积的最大值为5．解析：本题考查三角函数模型应用，考查余弦定理，三角形的面积公式及三角函数的恒等变换，属中档题．(1)依题意，结合余弦定理求得PC=√9−8cos2θ，{θ|0<θ<π2}，即可得结果；(2)根据三角形的面积公式及二倍角公式，辅助角公式求得四边形ACDP面积为S=52sin (2θ−φ)+52,其中cos φ=35,sin φ=45,φ为锐角，进而求得四边形ACDP面积的最大值．5.答案：解：(1)f(x)=1−cos2x2+√32sin2x=√32sin2x−12cos2x+12=sin(2x−π6)+12，所以f(x)的最小正周期T=2π2=π，由，得，所以，所以函数f(x)的的单调减区间为；(2)由(1)知f(x)=sin(2x−π6)+12，因为x∈[−π3,m]，所以2x−π6∈[−5π6,2m−π6]，要使得f(x)在[−π3,m]上的最大值为32，即sin(2x−π6)在[−π3,m]上的最大值为1，所以2m−π6⩾π2，即m≥π3，所以m的最小值为π3．解析：本题考查两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，三角函数的最值，属于中档题．(1)由条件利用三角恒等变换求得f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f(x)最小正周期，由，即可求出单调减区间；(2)由f(x)=1+12=32，根据y=Asin(ωx+φ)的性质可知2x−π6=π2+2kπ,k∈Z，从而求出m的最小值为π3．6.答案：解：(1)因为0<α<π2，sinα=2√55，所以cosα=√1−sin2α=√1−(2√55)2=√55，所以cos2α=1−2sin2α=1−2×(2√55)2=−35；sin2α=2sinαcosα=2×2√55×√55=45，cos(2α−π3)=cos2αcosπ3+sin2αsinπ3=−35×12+45×√32=4√3−310；(2)因为β∈(0,π2)，cosβ=√1010，所以sinβ=√1−(√1010)2=3√1010，cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=√55×√1010−2√55×3√1010=−25√250=−√22，因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α+β<π，所以α+β=3π4．解析：本题考查利用两角差的余弦公式求值，同时也考查了给值求角，涉及二倍角正弦公式和余弦公式的应用，考查计算能力，属于中档题．(1)利用二倍角公式求出sin2α和cos2α的值，然后利用两角差的余弦公式可求出的值；(2)利用两角和的余弦公式求出cos(α+β)的值，并求出角α+β的取值范围，即可求出α+β的值．7.答案：解：(1)由正弦定理和a(b−1)sinB−2sinA=0，得a(b−1)b−2a=0，即b2−b−2=0，解得b=2或b=−1(舍)，所以b=2．(2)因为7sin2C+sin2B−sin2A=2sinBsinCsinA，所以7c2+b2−a2=2bcsinA，所以2bcsinA=6c2+2bccosA，所以c=23(sinA−cosA)所以S△ABC=12bcsinA=12×2×23(sinA−cosA)sinA=23(sin2A−cosAsinA)=13(1−cos2A−sin2A)当，即，即时△ABC面积的最大值为1+√23.解析：本题考查了正弦定理、余弦定理、辅助角公式、三角形面积公式和三角函数的最值，考查了基本运算能力，属于中档题．(1)首先利用正弦定理化角为边，可得b2−b−2=0，即可求；(2)由已知和正弦定理得c=23(sinA−cosA)，代入面积公式中并由辅助角公式化简得到，再利用三角函数的性质可求最大值．8.答案：解：(1)因为f(x)=2sin(12x+π6)，所以；(2)由，解得，由，解得cosβ=513，∵α,β为锐角，，∴sin (α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=45×513−35×1213=−1665．解析：本题考查同角三角函数间的基本关系及两角和与差的三角函数，属于中档题． (1)把x =π6代入函数f(x)的解析式中，进行求解即可； (2)分别把x =2α−π3和代入f(x)的解析式中，化简后利用诱导公式即可求出sinα和cosβ的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解．9.答案：解：f(x)=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，(1)T =2π2=π，即f(x)的最小正周期为π；(2)当x ∈[π24,2π3]时，则2x −π3∈[−π4,π]，sin(2x −π3)∈[−√22,1]，所以f(x)∈[−√2,2]，即f(x)最大值为2，最小值为−√2；(3)mf(x)+3m ≥f(x)即2msin(2x −π3)+3m ≥2sin(2x −π3)， 令t =f(x)=sin(2x −π3)，则t ∈[−1,1]，所以2t +3∈[1,5] 根据题意得2mt +3m ≥2t 对∀t ∈[−1,1]恒成立， 即有m ≥2t2t+3=1−32t+3对∀t ∈[−1,1]恒成立， 因为1−32t+3最大为1−35=25，所以m ≥25．解析：(1)根据f(x)=sin(2x −π3)可求最小正周期； (2)利用x ∈[π24,2π3]以及正弦函数单调区间即可求出最大最小值；(3)令t =sin(2x −π3)，将不等式化成m ≥2t2t+3=1−32t+3对∀t ∈[−1,1]恒成立，即可求出m 取值范围．本题考查三角恒等变换，三角函数最值、周期的求法，考查利用参数分离求参数取值范围等问题，属于中档题．10.答案：解：(1)角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P(−3,√3)，∴|OP |=√(−3)2+(√3)2=2√3， ∴sinα=12，cosα=−√32，tanα=−√33；(2)因为|abc d|=ad −bc ， 所以|sinαtanα1cosα|=sinαcosα−tanα=12×(−√32)+√33=√312； (3)因为，所以函数f (x )的最小正周期为；当，即时，函数f (x )取得最大值为3．解析：本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质、二倍角公式及其应用、任意角的三角函数 ，属于中档题．(1)利用任意角的三角函数的定义直接求即可； (2)根据新定义得出|sinαtanα1cosα|=sinαcosα−tanα，即可求解； (3)根据定义化简函数为，利用函数y =Asin(ωx +φ)的性质，即可求出结果．11.答案：解：(1)由题意，函数f(x)=√3sin(ωx +π6)+2sin 2(ωx 2+π12)−1=√3sin(ωx +π6)−cos(ωx +π6)=2sin(ωx)，因为函数f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为，所以T =π，可得w =2，所以函数f (x )=2sin2x ，令π2+2kπ≤2x ≤3π2+2kπ,k ∈Z ，解得π4+kπ≤x ≤3π4+kπ,k ∈Z ，所以函数f (x )的递减区间为[π4+kπ,3π4+kπ],k ∈Z ，(2)将函数f (x )的图象向右平移个单位长度，可得y =2sin(2x −π3)的图象，再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y =g(x)=2sin(4x −π3)的图象，当时，4x −π3∈[−2π3,π3]， 当4x −π3=−π2时，函数g(x)取得最小值，最小值为−2， 当4x −π3=π3时，函数g(x)取得最大值，最小值为√3， 故函数g(x)的值域[−2,√3]．解析：略12.答案：解：(Ⅰ)因为b(cosC +√33sinC)=a ，则由正弦定理得sinB(cosC +√33sinC)=sin A .由A +B +C =π得sinBcosC +√33sinBsinC =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC ，即√33sinBsinC =cosBsin C . 因为sinC ≠0，故tanB =√3．又0<B<π，所以B=π3．(Ⅱ)由余弦定理及c2=a2+b2−√2ab得cosC=a2+b2−c22ab =√22．又0<C<π，所以C=π4，则sinA=sin(B+C)=sin(π3+π4)=sinπ3cosπ4+cosπ3sinπ4=√32×√22+12×√22=√6+√24．由正弦定理得b=csinBsinC=√3，所以．解析：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．(Ⅰ)由已知条件和正弦定理可得角B的值;(Ⅱ)由(Ⅰ)结合余弦定理可得角C的值，进而利用两角和的正弦公式求出sinA，再利用正弦定理求出b，进而利用三角形的面积公式求S△ABC即可．13.答案：解：(1)f(x)=sin(x+π2)cos(x−π4)−√24=√22cos2x+√22sinxcosx−√24=√22×1+cos2x2+√24sin2x−√24=√24cos2x+√24sin2x．故可得．(2)由(1)可得，又因为x∈[0,π2]，，故可得−√24⩽f(x)⩽12，因为方程f(x)=a 在区间[0,π2]上只有一个实数解，结合正弦函数的图象可知−√24⩽a <√24或a =12．解析：本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、辅助角公式及其应用，考查了学生的运算能力．(1)由诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、辅助角公式等化简可得，再代入x =π6可求得f(π6)；(2)先求得f(x)在[0,π2]的值域，结合方程f(x)=a 在区间[0,π2]上只有一个实数解可求得实数a 的取值范围．14.答案：解：，令2kπ+π2≤2x +π6≤2kπ+3π2，k ∈Z ，得π6+kπ≤x ≤2π3+kπ，k ∈Z ．所以f(x)的单调递减区间为：[π6+kπ,2π3+kπ]，k ∈Z;(2)g(x)=a ⋅[2−f(x)]+b −2asin (2x +π6)+2a +b ， 假设存在这样的有理数a ，b ，当a >0时，则有{−√3a +2a +b =−32a +2a +b =√3−1，解得{a =1,b =√3−5.(不合题意，舍去) 当a <0时，则有{2a +2a +b =−3−√3a +2a +b =√3−1，解得{a =−1b =1, 故a ，b 存在，且a =−1，b =1，综上所述，存在a =−1，b =1使得f(x)的值域为{y|−3≤y ≤√3−1}．解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，函数的单调性与单调区间，三角函数的值域，正弦函数的图象与性质，两角和与差的三角函数公式，属于中档题．(1)由两角和与差的三角函数公式可得函数解析式为f(x)=2sin(2x +π6)，令2kπ+π2≤2x +π6≤2kπ+3π2，k ∈Z ，求解可得f(x)的单调递减区间；(2)先假设存在a ，b 满足条件;根据x 的范围求出2x +π6的范围进而得到sin(2x +π6)的范围，然后对a >0和a <0两种情况讨论即可得到答案．15.答案：解：(1)由题意，函数f(x)在定义域内存在实数x 0，满足f(−x 0)=−f(x 0)，可得2cos(−x 0−π3)=−2cos(x 0−π3)，即cos(−x 0−π3)=−cos(x 0−π3)，整理得cosx 0=0， 所以存在x 0=π2满足f(−x 0)=−f(x 0)， 所以函数f(x)=2cos(x −π3)是“M 类函数”． (2)由x 2−2mx >0在x ≥3上恒成立，可得m <32，因为f(x)={log 2 (x 2−2mx),x ⩾3−2,x <3为其定义域上的“M 类函数”，所以存在实数x 0使得f(−x 0)=−f(x 0)， ①当x 0≥3时，则−x 0≤−3，所以−2=−log 2(x 02−2mx 0)， 所以x 02−2mx 0=4，即m =12x 0−2x 0，因为函数y =12x −2x ，在[3,+∞)上单调递增， 所以m ≥56；②当−3<x 0<3时，−3<−x 0<3，此时−2≠2，不成立； ③当x 0≤−3，则−x 0≥3，所以log 2(x 02+2mx 0)=2，所以m =−12x 0+2x 0，因为函数y =−12x +2x 在(−∞,−3]上单调递减， 所以m ≥56；综上所述，实数m 的取值范围是[56,32)．解析：本题考查函数的新定义“M 类函数”，考查了分段函数，对数的运算，三角恒等变换等知识，解题的关键在于理解定义，属于中档题．(1)根据题意只需2cos(−x 0−π3)=−2cos(x 0−π3)有解，即可判断f(x)是否为“M 类函数”． (2)由对数函数的性质可得由x 2−2mx >0在x ≥3上恒成立，即m <32；若是“M 类函数”，则存在实数x 0使得f(−x 0)=−f(x 0)，分①当x 0≥3时，②当−3<x 0<3时，③当x 0≤−3时，三种情况分析方程f(−x 0)=−f(x 0)能否有解，即可得m 的取值范围．16.答案：解：(1)函数f(x)=4sinx ⋅cos(x −π 6)−1=4sinx(√32cosx +12sinx)−1=√3sin2x +2sin 2x −1=2sin(2x −π 6)，(2)令，解得，∵x ∈[0,π]∴函数的单调递增区间为[0,π6]和[2π3,π]．解析：解析：本题考查三角函数公式的运用，求正弦型函数的值，单调区间，属于中档题．(1)利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式等对f (x )进行整理化简，得到正弦型函数的形式，然后求出f(5π12)；(Ⅱ)令−π2+2kπ≤2x −π6≤2kπ+π2(k ∈Z)，解出x 的范围，当x ∈[0,π]时，得到f (x )的单调递增区间．17.答案：解：(Ⅰ)sin 2C +2√3sin 2C =2√3，即sin 2C=2√3(1−sin2C)，得2sin Ccos C=2√3cos2C．由C∈(0,π2)，所以cosC≠0，所以tan C=√3，所以C=π3．由正弦定理可得4sin A =4√3sin π3，解得sin A=12，又因为a<c，所以A=π6，故B=π−π3−π6=π2;(Ⅱ)因为sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC，得48=a2+b2−ab，解得a=4，b=8，所以S△ABC=12absinC=12×4×8×√32=8√3．解析：本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，着重考查了运算与求解能力．(Ⅰ)结合二倍角公式及同角关系式化简已知式，得tan C=√3，从而得出C，进而利用正弦定理求出A即可求解;(Ⅱ)由正弦定理得b=2a，结合余弦定理求出a，b，然后利用面积公式求解即可．18.答案：解：(1)f(x)=1+cos(2ωx−π3)2−1−cos2ωx2=12[cos(2ωx−π3)+cos2ωx]=1[(1cos2ωx+√3sin2ωx)+cos2ωx]=12(√32sin2ωx+32cos2ωx)=√32(12sin2ωx+√32cos2ωx)=√32sin(2ωx +π3). 由题意可知，f(x)的最小正周期T =π， ∴2π|2ω|=π，又∵ω>0，∴ω=1，∴f(x)=√32sin(2x +π3)，∴f(π12)=√32sin(2×π12+π3)=√32sin π2=√32； (2)由f(x)−m ≤0得，f(x)≤m ， ∴m ≥f(x)max ， ∵−7π12≤x ≤0， ∴−5π6≤2x +π3≤π3，∴−1≤sin(2x +π3)≤√32， ∴−√32≤√32sin(2x +π3)≤34，即f(x)max =34， ∴m ≥34， 所以m ∈[34,+∞)．解析：本题考查>函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质 ，正弦函数的图象与性质，考查两角和与差的三角函数公式不等式的恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．(1)化简f(x)，根据函数的周期求出ω的值，从而求出f(x)的解析式，求出函数值即可； (2)问题转化为m ≥f(x)max ，根据三角函数的性质求出f(x)的最大值，求出m 的范围即可；19.答案：解：(1)f (x )=√32cos2x +32sin2x −sin2x ，所以f (x )的最小正周期．(2)因为所以，所以，所以当时，f(x)≥−12．解析：本题考查函数的周期性，三角函数的最值以及三角恒等变换．(1)根据三角恒等变换转化，即可求得最小正周期．(2)因为，则可知，进而证得不等式．20.答案：解：(1)由二倍角公式化简cos2B−6cos2A+C2+2=0．得2cos2B+3cosB−2=0，解得cosB=12或cosB=−2(舍去)，又B∈(0,π)，得B=π3．(2)由S▵ABC=12acsinB=5√34，得ac=5．由余弦定理b2=a2+c2−2accosB=(a+c)2−3ac=10，得(a+c)2=25．则a+c=5，所以△ABC的周长为5+√10．解析：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．(1)已知等式利用二倍角公式化简，整理后及诱导公式化简，求出cos B的值，即可确定出出C的度数；(2)利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+c的值，即可求△ABC的周长．21.答案：解：(1)由asinC=ccos(A−π6)，结合正弦定理且sinC≠0得，sinA=cos(A−π6)，进一步整理得，sin(A−π3)=0，又A为锐角，故A=π3．(2)由△ABC是锐角三角形，则垂心H必在△ABC内部，不妨设∠BAH=α，则α∈(0,π3)．由H为△ABC的垂心，则∠ABH=∠ACH=π6.在△ABH中使用正弦定理得，AHsin∠ABH=BHsin∠BAH，整理得：BH=2sinα．同理在△ACH中使用正弦定理得，CH=2sin(π3−α)．BH+CH=2sinα+2sin(π3−α)=2sin(π3+α)，由α∈(0,π3)可得π3<π3+α<2π3，所以BH+CH∈(√3,2]．解析：(1)结合正弦定理得，sinA=cos(A−π6)，则sin(A−π3)=0，又A为锐角，故A=π3．(2)设∠BAH=α，由题意可得：BH+CH=2sinα+2sin(π3−α)=2sin(π3+α)，结合α的范围，利用正弦函数的性质即可得解BH+CH的取值范围．本题考查了垂心、正弦定理、三角恒等变形，属于中档题．22.答案：解：(1)由ρ(cosθ−√3sinθ)=−1，得ρcosθ−√3ρsinθ+1=0．所以直线l的直角坐标方程为x−√3y+1=0．由{x=3+cosθy=sinθ得：{x−3=cosθy=sinθ所以曲线C的普通方程为(x−3)2+y2=1．(2)设点P的坐标为(3+cosθ,sinθ)，则点P到直线l的距离为：d=|3+cosθ−√3sinθ+1|2=|√3sinθ−cosθ−4|2=|sin(θ−π6)−2|．∴当sin(θ−π6)=1，即点P的坐标为(52,√32)时，点P到直线l的距离最小．解析：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，两角和的正弦公式、正弦函数的值域，属于中档题．(1)根据x=ρcosθ，y=ρsinθ把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，利用同角三角函数的基本关系把曲线C的参数方程化为直角坐标方程；(2)设点P(3+cosθ,sinθ)，求得点P到直线l的距离为d=|3+cos θ−√3sin θ+1|2=|√3sin θ−cos θ−4|2=|sin (θ−π6)−2|.利用正弦函数的值域求得d的最小值．23.答案：解：(1)因为∠AOB=θ，扇形钢板POQ的圆心角为60°，所以∠BOC=π3−θ，因为扇形钢板POQ的半径为1m，AB⊥OP，BC⊥OQ，所以OA=cosθ，AB=sinθ，所以S△OAB=12OA⋅AB=12sin θcos θ=14sin 2θ，OC=cos(π3−θ)，BC=sin(π3−θ)，所以S△OBC=12OC⋅BC=12cos ( π 3−θ)sin ( π 3−θ)=14sin (2π 3−2θ)，所以四边形钢板ABCO的面积S(θ)=S▵OAB+S▵OBC=14[sin2θ+sin(2π3−2θ)]，θ∈(0,π3)，其中θ的取值范围为(0,π3)．(2)S(θ)=14[sin 2θ+sin (2 π 3−2θ)]=14(sin 2θ+√32cos 2θ+12sin 2θ) =14(32sin 2θ+√32cos 2θ)=√34(√32sin 2θ+12cos 2θ) =√34sin(2θ+π6)，因为θ∈(0,π3)，所以2θ+π6∈(π6,5π6)，所以当2θ+π6=π2，即θ=π6时，四边形钢板ABCO 的面积S(θ)最大，最大值为√34m 2．解析：本题考查解三角形的实际应用、三角函数的实际应用、三角恒等变换和三角函数的性质，考查推理能力和计算能力，属于中档题． (1)求出S △OAB =14sin 2θ和S △OBC =14sin (2π 3−2θ)，由S(θ)=S △OAB +S △OBC 即可求解；(2)求出S(θ)=√34sin(2θ+π6)，再利用y =Asin(ωx +φ)的性质即可求解．24.答案：解：(1)原式=tan(π−α)⋅cos(2π−α)⋅sin(π2+α)cos(π+α)=sinα； (2)由f(α)=45， 可得sinα=45，又α是第二象限角，所以cosα=−√1−sin 2α=−35，所以cos2α=1−2sin 2α=1−2×1625=−725，sin2α=2sinαcosα=2×45×(−35)=−2425， 则．解析：本题主要考查了同角三角函数关系式和诱导公式的应用，二倍角公式，两角和公式，属于基础题．(1)利用诱导公式进行化简；(2)利用(1)中的函数关系式得到cosα=−35，然后计算cos2α, sin2α的值，进而得的值．25.答案：解：(1)f(x)=2sinxcosx +2√3cos(x −π4)cos(x +π4)=sin2x +√3cos2x =2(sin2xcosπ3+cos2xsin π3) =2sin(2x +π3)，令2kπ+π2≤2x +π3≤2kπ+3π2，k ∈Z ，解得π12+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z ，可得函数f(x)的单调递减区间为：[π12+kπ,7π12+kπ]，k ∈Z ； (2)由(1)可知，f(x)=2sin(2x +π3)，函数g(x)=f(x)−2(2k +sin2x)在区间[π12,π2]上有唯一零点， 等价于f(x)=2(2k +sin2x)在[π12,π2]有唯一根．所以2k =sin(2x +π3)−sin2x =−12sin2x +√32cos2x =cos(2x +π6)，设ℎ(x)=cos(2x +π6)，x ∈[π12,π2]， 则2x +π6∈[π3,7π6]，根据函数ℎ(x)在[π12,π2]上的性质，由于y =2k 与函数y =ℎ(x)由唯一点， 所以实数k 应满足−√32<2k ≤12，或2k =−1， 所以−√34<k ≤14或k =−12．故实数k 的取值范围{k|−√34<k ≤14或k =−12}.解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的零点和方程的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． (1)直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．(2)利用函数的定义域求出函数的值域，进一步利用函数的零点和方程的根的关系求出参数的取值范围．26.答案：解：(1)∵cos∠ADC =17，∴sin∠ADC =4√37， ∴sin∠BAD =sin(∠ADC −∠ABC)=4√37×12−17×√32=3√314，在△ABD 中，由正弦定理得BD =c⋅sin∠BAD sin∠ADB=3，∵2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴DC =2， ∴a =3+2=5；(2)在ΔABC 中，b =√a 2+c 2−2accos∠ABC =7， 在ΔADC 中，R =12⋅bsin∠ADC=49√324．解析：本题考查同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．(1)由同角三角函数的基本关系求出sin∠ADC ，由两角差的正弦函数公式求得sin∠BAD ，再由正弦定理求得BD ，结合2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求出a 的值；(2)由余弦定理求得b ，再由正弦定理求得△ADC 的外接圆的半径R ．27.答案：解：(1)由√3cosA =2sin A 2(cos 2A 4−sin 2A 4)，得√3cosA =2sin A 2cos A2，即√3cosA =sinA ，又A ∈(0,π)， 所以tanA =√3，所以A =π3． (2)因为S =12bcsinA =12bcsin π3=3√32，所以bc =6，由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bccos π3=b 2+c 2−bc ，即a 2=(b +c)2−3bc =52−18=7，又因为a >0，所以a =√7．解析：本题考查余弦定理以及三角形面积公式，属于中档题． (1)利用二倍角公式结合同角三角函数关系求出结果； (2)根据三角形面积公式结合余弦定理求出结果．28.答案：解：=cosxsinx −√32(1+cos2x)=12sin2x −√32cos2x −√32．所以f(x)的最小正周期，当时，f(x)最大值为2−√32．(2)当时，有0≤2x −π3≤π，从而0≤2x −π3≤π2时，即时，f(x)单调递增，π2≤2x −π3≤π时，即时，f(x)单调递减，综上所述，f(x)单调增区间为[π6,5π12]，单调减区间为[5π12,2π3].解析：本题考查了二倍角公式及应用，辅助角公式和函数的图象与性质.(1)由条件利用二倍角公式和辅助角公式得函数的解析式，再利用函数的周期性和最值得结论;(2)根据2x −π3∈[0,π]，利用函数的单调性得结论．29.答案：解：(1)由已知可得cosα=35,sinα=45，∴cos(α−π6)=cosαcos π6+sinαsin π6=35×√32+45×12=3√3+410．(2)由已知得OP⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12)，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα)， ∴f(α)=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12)⋅(cosα,sinα) =√3cosα+1sinα=sin πcosα+cos πsinα=sin(α+π) ∵α∈[0,π)，∴α+π3∈[π3,4π3),∴−√32<sin(α+π3)≤1．故f(α)的值域是(−√32,1]．解析：本题考查了三角函数的定义，向量的数量积，两角和与差的三角函数，正弦函数的性质的应用，属于中档题．(1)根据三角函数的定义和题意求出cosα，sinα的值，再由两角差的余弦公式展开后代入求值； (2)根据向量的数量积坐标运算和条件代入f(α)=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用两角和的正弦公式进行化简，根据α的范围和正弦函数的性质求出值域．30.答案：解：=sin(ωx +π6)+√3cos(ωx +π6)，由条件可得T =π， 所以ω=2， 则f (x )=2cos2x ．(2)∵f (α2)⋅f (β2)=2cosα⋅2cosβ=−43√2，∴cosα⋅cosβ=−√23， 又，∴sinα⋅sinβ=√26， ∴原式=(sinαcosθ+cosαsinθ)(sinβcosθ+cosβsinθ)cos 2θ−sin 2θ=sinαsinβcos 2θ+cosαcosβsin 2θ+sin (α+β)sinθcosθcos 2θ−sin 2θ =√26cos 2θ−√23sin 2θ+√22sinθcosθcos 2θ−sin 2θ=√26−4√23+√21−2=√218．解析：本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，两角和差三角函数公式，同角三角函数基本关系的应用，属于中档题．(1)由二倍角公式以及两角和差公式化简为，由周期求得ω，即可求得解析式；(2)由两角和差的三角函数公式及同角三角函数基本关系的进行化简求值．。