随机变量的函数的分布

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定义2.7.2
称 CV
Var( X ) 为 X 的变异系数. E(X )
作用： CV 是无量纲的量, 用于比较量纲不 同的两个随机变量的波动大小.
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2.7.3 分位数
定义2.7.3 设 0 < p < 1， 若 xp 满足 P( X xp ) = F(xp) = p
则称 xp 为此分布 p - 分位数， 亦称 xp 为下侧 p - 分位数.
对称的，则中位数=均值.
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统计中常用的 p - 分位数
(1) N(0, 1)： Z , U
(2) 2(n)：
2
(n
)
(3) t (n)： t (n)
(4) F (n, m)： F (n, m)
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2.7.5 偏度系数
定义2.7.5 设 随机变量X的三阶矩存在，则称
1
E X E(X )3
E(
• 相同点：都是反映分布的形态特征. • 不同点：含义不同. 偏度刻画的是分布的对称性，峰度刻画的是
分布的峰峭性.
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习题讲解
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例1 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个 交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都 是1/3。 (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律； (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。
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注意点
(1) 因为 X 小于等于 xp 的可能性为 p ， 所以 X 大于 xp 的可能性为 1 p .
(2) 对离散分布不一定存在 p - 分位数.
(3)
P(X xp) F(xp)
xp p(x)dx
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上侧 p -- 分位数
若记 xp 为上侧 p - 分位数，即 P(X xp ) = p
§2.6 随机变量函数的分布
问题：已知 X 的分布，求 Y = g(X) 的分布?
例如： Y1 = 4X +3； Y2 = |X|； Y3 = X2 .
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2.6.1 离散随机变量函数的分布
➢ 当 X 为离散随机变量时， Y = g(X) 为离散随机变量. ➢ 将g(xi) 一一列出, 再将相等的值合并即可.
解 (1)由题意，X~B(6,1/3)，故X的分布律为：
P(Xk)C 6 k 1 3 k 3 2 6k k0,1,.6 .., ( 2 )P ( X 5 ) P ( X 5 ) P ( X 6 )
C6513532.136
例2.6.4 设X的概率密度函数为
f
(
x)
2
x
2
,
0 x;
0, 其他.
求Y sin X的密度函数pY (y).
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§2.7 分布的其它特征数
• 矩、变异系数、分位数、中位数
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2.7.1 k 阶原点矩和中心矩
定义2.7.1
➢ k 阶原点矩：k = E(Xk) ， k = 1, 2, ….
注意: 1 = E(X).
➢ k 阶中心矩：k = E[XE(X)]k ， k = 1, 2, ….
注意: 2 = Var(X).
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2.7.2 变异系数
方差（或标准差）反映了随机变量取值的 波动程度，但在比较两个随机变量大小时 会产生不合理的现象。 原因有二： （1）方差（或标准差）是有量纲的； （2）有一个相对性问题，取值较大的随机变量 的方差（或标准差）也允许大一些。
FY(y)=P{Yy}=P{g(X) y}； 3、由分布函数与密度函数的关系求得Y=g(X)的 概率密度。
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均匀分布的有用结论
定理2.6.5 设 X ~ FX (x)，若FX (x)为严格单调 增的连续函数，则Y = FX (X) ~ U(0, 1).
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例2.6.3 设随机变量X~N(0,1) ,求随机变量 Y=X2的概率密度函数。
pY ( y)
pX [h( y)] | h( y) |
pX [ln
y]
1 y
1
y(1 ln 2 y)
由此得
pY ( y)
1 y(1 ln2
, y)
0,
y0 其它
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正态变量的线性不变性
定理2.6.2 设 X ~N (, 2)，则当a 0 时， Y = aX+b ~ N (a +b, a22).
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2.6.2 .1 设 X ~ pX(x)，取值范围为[c, d]; y = g(x) 是 x 的严格 单调函数，记 x = h(y) 为 y = g(x) 的反 函数, 且h(y)连续可导，则Y = g(X)的密度函数为:
pY
(
y)
pX
(h(
y)) 0,
p(x)
1
2
y
exp
(ln y)2 2 2
,
y 0.
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伽玛分布的有用结论
定理2.6.4 设 X ~ Ga (, )，则当k > 0 时， Y = kX ~ Ga (, /k).
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2. 分布函数法
步骤： 1、由X的取值范围确定Y =g(X)的取值范围； 2、由分布函数的定义求Y=g(X)的分布函数：
|
h
'(
y)
|,
a yb 其它
其中a min{g(c), g(d)},b max{g(c), g(d)}.
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例2.6.1
设
X
~
pX
(x)
(1
1
x2)
,
求 Y =eX 的分布.
解： y = ex 单调可导, 反函数 x = h(y) = lny,
h( y) 1 , 所以当 y > 0 时,
y
X
EX
)2
3/2
3
3/2 2
为X的分布的 偏度系数，简称偏度.
正态分布N（，2）的偏度 1=0.
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2.7.5 峰度系数
定义2.7.5 设 随机变量X的四阶矩存在，则称
2
EX
E ( X
E(X )4
EX
)2
2
3
4
2 2
3
为X的分布的 峰度系数，简称峰度.
正态分布N（，2）的峰度 2=0.
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偏度与峰度
则 xp x1' p , x'p x1 p
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2.7.4 中位数
定义2.7.4 称 p = 0.5 时的p 分位数 x0.5 为中位数. 中位数是反映随机变量位置的特征数，即
随机变量取值的中心.
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中位数与均值
• 相同点：都是反映随机变量的位置特征. • 不同点：含义不同. 有时中位数比均值更能说明问题. 若分布是
由此得： 若 X ~N (, 2)， 则 Y = (X )/ N(0, 1).
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例2.6.2 (1) 设 X ~N (10, 22)，求 Y = 3X+5 的分布; (2) 设 X ~N (0, 22)，求 Y = -X 的分布.
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对数正态分布
定理2.6.3 设 X ~N (, 2)，则 Y = e X 的服从