第二章第4节隐函数及参数方程求导9534429页PPT

y (x ( x 1 )4 3 )2 x ex 1[x1 13 (x 1 1 )x2 4 1 ].
7
例6 设 y x sx in (x 0 )求 ,y .
解 等式两边取对数得
ln y sixn ln x 上式两边x求 对导 ,得
1 yycoxslnxsix n1 x
所y 以 y (cx o ln x s six n 1 x )
所d d 以 t0.1(弧 4 /度 分 )
其速率1为 4米 0 /分.当气球高5度 0米 0为时 ,观察员视
线的仰角增加率 ? 是多少
解 设气球 t分上 钟 ,其 升 后 高h,度 观为 察员 的视 仰
角为 ,则
tan
h 500
上式两边 t求对导得
500米
se2 cddt510d 0dh t
500米
因 为 ddh t14米 0/分 ,当 h 5米 0,0 s时 2 e c 2
yey xeyy，
即
y1exy ey
ey ， 2 y
yeyy(2(2y)y)2ey(y)，
故yey2eyy(2( 2 y)y)2ey(2eyy)
e2y(3 (2
y) y)3
.
4
例4 设 x 4x y y4 1 ,求 y 在 (0 ,1 点 )处.的值
解 方程两x边 求对 导得
4 x 3 y x y 4 y 3 y 0 代x入 0, y1 得
yxd dx yexeyd dx y0
解得
dy dx
ex y x ey
,
由原方 x程 0,y知 0,所以
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
2
例2 设曲C线 的方程x3为 y3 3xy,求过 C上
点(3,3)的切线方 , 并程证明曲 C在线该点的法 22
线通过原 . 点 解 方程两边x求 对导,得
( 1 )
y x0
y1
1 4
;
将方 (1)两 程边x求 再导 对得
1 x 2 2 2 y x y 1 y 2 ( y ) 2 2 4 y 3 y 0
代x 入 0 ,y 1 ,y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y 1
1 16
.
5
二、对数求导法
观察函数 y(x (x 1)43)2 xe x1, yxsix n. 方法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的 求导方法求出导数.
.
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四、相关变化率
设xx(t)及y y(t)都 是 可 导,函 而数 变 量 x与
y之间存在某种 , 从关而系它
们
的
变dx化 与d率y之 dt dt
间也存在一定 , 这关样系两个相互依化赖率的称变
为 相 关 变 .化 率
相关变化率问题 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
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例11 一汽球从离开5观 0米 0察处 员离地面铅, 直上
解
dy dx
dy/ dx/
dt dt
3asi n2tcost 3aco2st(si nt)
tant,
d2y dx2
ddx(ddxy)
ddx(tant)
ddt(tant)ddxt
ddt(tant)
1 dx
( tant) (a cos3 t)
dt
3acsoe2sc2ttsint
sec4 t 3a sint
即
dydy/d.t dxdx/dt
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若函数 xy ((tt))二阶可 , 导
d2y dx2
ddx(ddxy)
ddx(((tt)))
ddt(((tt)))
dt dx
Fra Baidu bibliotek
d dt
(((tt)))
1 dx
(t)( t) 2( t)(t)(t)1 (t)
dt
即 d d2y 2x (t)( t) 3( t)(t)(t).
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在方程 xy ((tt))中,
设函x数 (t)具有单调连续的 t 反 1(x函 ), 数
则
y [ 1 (x )].
再设 x (t)y 函 ,(t) 都 数 ,且 可 (t) 0 ,导
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dx dt dx
dy dt
1 dx
dt
(t ) (t )
xsix n (cx olsn xsx ixn ).
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三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
yt2 (2x)2
x2， 4
消去参数 t 得
y
1 2
x.
问题 消去参数困难或无法消去时，应如何求导?
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例7 已知椭圆的参数方程为
求
d d
y x
解
. t
4
dy
dy dx
dt dx
dt
x a cos t,
y
b
sin
t.
(b s in t) (a c o s t)
a cos t a sin t
b a
cot
t,
dy dx
t4
(cott)
t4
b a
.
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例8 求摆 yx线 aa((1t cso ittn ))s在 t2处的方 切程线 .
3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 x y 从 而 y（ |2 3， 2 3） yy2xx2(2 3,2 3) 1.
故所求切线方程为 y23(x23) 即 xy30. 法线方 y程 2 3x为 2 3即yx, 显然通过原点.
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例3 已 知 y1xye,求dd2y2x.
解 两边同时 x求对导，得
dy
解
dy dx
dt dx
asi nt aacost
sint 1cost
,
dt
当 所t以 2时 dd,xyyx t 2 a a (1 2 s xci1 n o) 2a s2,(y 2 a 1..1所),求切线方程为
即
y x a (2 2 ).
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例9 求由方xy程 aacsion33stt表示的函数的.二
--------对数求导法 适用范围
多个函数相乘和 数u幂 (x)指 v(x)的 函情.形
6
例5 设y(x(x1)43)2xex1,求y.
解 等式两边取对数得 ln y ln x 1 ) ( 1 3 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x
上式两边 x求对导得 y yx1 13(x11)x2 41
一、隐函数的导数
定义 y f(x)形式称为显.函数 F(x,y)0 yf(x)隐函数的显化
问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
如eyxy2sinx， 如何求dy?
dx
隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
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例1 求由方x程 yex ey 0所确定的隐函
y的导dd数 xy, ddxyx0. 解 方程两边同时x对求导,