第二章第4节隐函数及参数方程求导9534429页PPT
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2-4隐函数求导,参数方程求导,相关变化率资料
例. 抛射体运动轨迹的参数方程为
消去参数 t 得
y v2 v1
g x 2v12
x2.
问题: 可否由参数方程直接求出y对x的导数?
x (t)yΒιβλιοθήκη (t, )t
设x (t)具有反函数t 1( x),
则 y [ 1( x)]
x
1
y
x对应y的函数可看作由x对应t的函数和
t对应y的函数复合而成.
由已知变化率求出未知的变化率
例9 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
上升,其速率为140米 / 分.当气球高度为500米时, 观 察 员 视 线 的 仰 角 增 加率 是 多 少?
解: 设气球上升t分钟后, 其高度为h米, 观察员视线
的仰角为, 则 tan h
500
500米 h
、h都 是 时 间t的 函 数 ，
1.
33 (,)
22
所求切线方程为
y 3 (x 3)
2
2
即x
y 3 0.
法线方程为 y 3 x 3
2
2
即 y x,
显然通过原点.
例 3 求由方程 x y 1 siny 0所确定的隐函数y的 2
二阶导数d2 y dx 2
.
（隐函数求二阶导数）
解: 方程两边对x求导，得
1 dy 1 cosy dy 0 dx 2 dx
上式两边对x求导，得
y y ( v ln u v u ) uv ln u v v uv1 u. u
或者，把u( x)v( x) 化为elnu( x)v( x)求导也可得相同 结果。
上例，[(sin x)x ] (elnsin xx ) elnsin xx (ln sin x x)
【课件】第二章第四讲高阶导数与隐函数求导参数方程求导精品版
u( k )
2
k
e
2x
泰山医学院信息(工k程学1院,2刘,照军 20)
v 2x, v 2, v(k) 0(k 3,4,20),
代入莱布尼茨公式,得
y(20) (e ) 2 x (20) x 2 20(e 2 x )(19) ( x 2 )
20(20 1) (e2x )(18) ( x 2 ) 0 2!
220 e2x x2 20 219 e2x 2 x 20 19 218 e2x 2 2!
220 e2 x ( x 2 20 x 95)
第四节 10/14/2019 隐函数及由参数方程所确定 的函数的导数 相关变化率
泰山医学院信息工程学院 刘照军
重点：隐含数、参数方程求导方法
,
一般地,可得
y(n)
(1)n1
(n 1)! (1 x)n
,
即
ln(1
x) (n)
(1)n1
(n 1)! (1 x)n
通常规定0!=1,所以这个公式当n=1时也成立.
例7 10/14/2019 解
求幂级数的n阶导数公式
设 y x ( R), 那么
y x 1 泰山医学院信息工程学院 刘照军 y (x 1 ) ( 1) x 2
y
2 2x x2 2x x2
2 x x2 (1 x)2
(2x x)2 2x x2
1
1
(2x
x2
3
)2
y3
于是 10/14/2019
y3 y 1 0
下面介绍几个初等函数的n阶导数 泰山医学院信息工程学院 刘照军
2-4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数ppt课件
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 消去参数 t 2
y t2
( x)2 2
x2 4
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
15
在方程
x y
(t (t
)中, )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t 1( x), y [ 1( x)]
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
当2<x<3时, y
( x 1)(x 2) (3 x)(4 x)
用同样的方法可得与上面相同的结果.
13
例8 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解： 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
25
布置作业
P111 习题2-4 1（3）, 3（2）; 4（3），6.
26
解出 y
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
将y回代
11
例7 求
y ( x 1)(x 2) ( x 3)(x 4)
的导数
解：两边取对数 (假定 x>4 ), 得
ln y 1 [ln(x 1) ln(x 2) ln(x 3) ln(x 4)] 2
23
解 设气球上升t秒后, 其高度为h, 观察员视线
的仰角为 , 则
tan h
500 上式两边对t求导得
sec2 d 1 dh
dt 500 dt
500米 h
500米
tan 1, 1 tan2 sec2 .
隐函数与参数方程确定的函数的求导法则-PPT模板
1.2 由参数方程确定的函数的导数
设由参数方程
x y
(t) ，确定 (t)
y
是
x
的函数，
(t)
，
(t
)
可导，且
(t)
0
，
x (t) 是单调连续的，其反函数为 t 1(x) ． 在上述条件下， y (t) ( 1(x)) ，由复合函数求导与反函数求导法则可
得
dy
dy dx
dy dt
1.1 隐函数的导数
例 1 求由方程 x y3 1 0 确定的隐函数的导数．
解
即 解得
y 是 x 的函数，将方程 x y3 1 0 两边同时对 x 求导得
d (x y3 1) 0 ，
dx
1 3y2 dy 0 1 3y2 dy 0 ，
dx
dx
dy dx
1 3y2
1.1 隐函数的导数
dt dx
dy dt
1 dx
dt dx
．
dt dt
1.2 由参数方程确定的函数的导数
所以，由参数方程
x
y
(t)
， 确定的函数
(t)
y
y(x)
的导数为
dy
dy dx
dt dx
(t) (t)
．
dt
1.2 由参数方程确定的函数的导数
例6
解已知当椭t 圆4ax时22 ， 设by22椭圆1 的上的参对数应方点程为为M0xy(x0 ，abycs0io)ns，tt，，则求椭圆在
t
4
相应点处的切线方程．
x0
a cos
4
2 2
a
，
y0
b sin
4
隐函数,参数方程的
河海大学理学院《高等数学》
故法线方程为：y 3 ( x 3)
2
2
即 y x ，过原点.
例4
设 x
y 1 sin 2
y0
,
求
y
.
解 y 2
2 cos y
y
y
2
2 cos
y
2sin y y
2 cos y2
4sin
2 cos
y
y 3
2021/4/22
河海大学理学院《高10等数学》
例3 求曲线 x3 y在3 点3xy
3 2
,
3 2
处的切线方程,并证明该点处的法线过原点.
解 方程两边同时对 x 求导,得
3x2 3 y2 y 3 y 3xy
所以
y
y x2 y2 x
y 3 3 (,) 22
y x2 y2 x
1.
( 3,3) 22
故切线方程为： y 3 ( x 3)
x y
t 2 sin t, 求此曲线 t cost
在 x=2 处的切线方程与法线方程.
解 当x=2时,t=0,则
dy 1 sin t 1 dx x2 1 cost t0 2
所以, 切线方程为 y 1 1 (x 2) 2
法线方程为 y 1 2( x 2)
2021/4/22
例1 设 x2 y2 R2 ，求 y .
解 方程两边同时对 x 求导,得
2x 2 yy 0
即 y x ( y 0) y
2021/4/22
河海大学理学院《高5等数学》
例2 设 y5 2 y x 3x7 0，求 y x0 .
解 方程两边同时对 x 求导，得
5 y4 y 2 y 1 21x6 0
故法线方程为：y 3 ( x 3)
2
2
即 y x ，过原点.
例4
设 x
y 1 sin 2
y0
,
求
y
.
解 y 2
2 cos y
y
y
2
2 cos
y
2sin y y
2 cos y2
4sin
2 cos
y
y 3
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河海大学理学院《高10等数学》
例3 求曲线 x3 y在3 点3xy
3 2
,
3 2
处的切线方程,并证明该点处的法线过原点.
解 方程两边同时对 x 求导,得
3x2 3 y2 y 3 y 3xy
所以
y
y x2 y2 x
y 3 3 (,) 22
y x2 y2 x
1.
( 3,3) 22
故切线方程为： y 3 ( x 3)
x y
t 2 sin t, 求此曲线 t cost
在 x=2 处的切线方程与法线方程.
解 当x=2时,t=0,则
dy 1 sin t 1 dx x2 1 cost t0 2
所以, 切线方程为 y 1 1 (x 2) 2
法线方程为 y 1 2( x 2)
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例1 设 x2 y2 R2 ，求 y .
解 方程两边同时对 x 求导,得
2x 2 yy 0
即 y x ( y 0) y
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河海大学理学院《高5等数学》
例2 设 y5 2 y x 3x7 0，求 y x0 .
解 方程两边同时对 x 求导，得
5 y4 y 2 y 1 21x6 0
隐函数ppt课件专题培训市公开课金奖市赛课一等奖课件
比如,
y
a b
x
b x
a
x a
b
( a 0,b 0, a 1) b
两边取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
y ln a a b y bxx
y
a b
x
b x
a
x a
b
ln
a b
a x
b x
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dx dt
v1,垂直分量为源自dy dtv2gt
,
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12 (v2 gt)2
再求速度方向 (即轨迹切线方向):
y
设 为切线倾角, 则
tan
dy
dy dt
dx
dx v2 gt
dt
v1
o
x
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抛射体轨迹参数方程
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时当作 x 是 y 函数 ) d t
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若上述参数方程中 (t), (t) 二阶可导, 且 (t) 0,
x y
v1 t v2t
1 2
gt
2
速度水平分量
dx dt
v1
,
垂直分量
dy dt
v2
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数课件
一般地
f ( x) = u( x)v( x) (u( x) > 0)
Q ln f ( x) = v( x) ⋅ lnu( x)
d 1 d f ( x) 又Q ln f ( x) = ⋅ dx f ( x) dx
d ∴ f ′( x) = f ( x) ⋅ ln f ( x) dx
∴ f ′( x) = u( x)
解 方程两边对 求导, 3 x 2 + 3 y 2 y′ = 3 y + 3 xy′ 方程两边对x
y − x2 ∴ y′ 3 3 = 2 = − 1. ( , ) y −x 22 3 3 所求切线方程为 y − = − ( x − ) 即 x + y − 3 = 0. 2 2 3 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x , 显然通过原点 显然通过原点. 2 2
′ − sec2 t d y d dy ( − tan t ) = = ( ) = 2 3 ′ − 3a cos 2 t sin t dx dx dx ( a cos t )
2
sec 4 t = 3a sin t
四、相关变化率
设 x = x ( t )及 y = y( t )都是可导函数 , 而变量 x与 dx y之间存在某种关系 , 从而它们的变化率 与 dt dy 之间也存在一定关系 , 这样两个相互依赖的 dt 变化率称为相关变化率 .
公里/ 七、在中午十二点正甲船的 6 公里/小时的速率向东行 公里， 公里/ 驶，乙船在甲船之北 16 公里，以 8 公里/小时的速 率向南行驶， 率向南行驶 ，问下午一点正两船相距的速率为多 少？ 米的正圆锥形容器中， 八、注入水深 8 米，上顶直径 8 米的正圆锥形容器中， 立方米， 米时， 其速率为每分钟 4 立方米，当水深为 5 米时，其表 面上升的速率为多少？ 面上升的速率为多少？
第四节隐函数与参数方程的求导法-PPT精选
第四节 隐函数与参数方程的求导法
一、隐函数的导数
定义:由方程所确 y定 y(x)的 称函 为数 隐 . 函
y f (x) 形式的函数称为显.函数
解出
F(x,y)0 yf(x) 隐函数的显化 问题: 若隐函数不易显化或不能显化，如何求导? 隐函数求导法: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
dt
d 2y dx 2
d ( dy ) dt dx
dx
dt
( tan t )
se2ct
(a cos 3 t ) 3aco2stsint
1
3asi ntco4st
例9 不计空气的阻力, 以初速度v0, 发射角
发射炮弹, 其运动方程为
x y
v0t v0t
cos sin
作业
P111，习题2-4 1(单), 2, 3 (3),(4),4(单), 5(2), 7(1), 8(双)，10
dx
)
d dy
d2y dx2
() dt dx
dx
dt
dt
dt
例7 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的切
方程.
dy
解 dy
dx
dt dx
asint sint aacost 1 cost
dt
dy dx
t 2
sin
yxsix n.
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘数 和u幂 (x)v指 (x)函 的情.形
例5 设y(x(x1)43)2xex1,求y.
一、隐函数的导数
定义:由方程所确 y定 y(x)的 称函 为数 隐 . 函
y f (x) 形式的函数称为显.函数
解出
F(x,y)0 yf(x) 隐函数的显化 问题: 若隐函数不易显化或不能显化，如何求导? 隐函数求导法: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
dt
d 2y dx 2
d ( dy ) dt dx
dx
dt
( tan t )
se2ct
(a cos 3 t ) 3aco2stsint
1
3asi ntco4st
例9 不计空气的阻力, 以初速度v0, 发射角
发射炮弹, 其运动方程为
x y
v0t v0t
cos sin
作业
P111，习题2-4 1(单), 2, 3 (3),(4),4(单), 5(2), 7(1), 8(双)，10
dx
)
d dy
d2y dx2
() dt dx
dx
dt
dt
dt
例7 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的切
方程.
dy
解 dy
dx
dt dx
asint sint aacost 1 cost
dt
dy dx
t 2
sin
yxsix n.
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘数 和u幂 (x)v指 (x)函 的情.形
例5 设y(x(x1)43)2xex1,求y.
隐函数和参数式函数的求导法课件
对x2 2 y2 8两边关于x求导得 :
2x 4 y y 0, y (2,
2)
1. 2
再对x2 2 2 y两边关于x求导得 :
2 x 2 2 y, y (2, 2) 2. 即证.
二、对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍
对数求导法,
它可以利用对数性质使某些函数的
求导变得更为简单.
x
4
2 a, 2
y
4
2 a
2
四、相关变化率
x x(t ) , y y(t )为两可导函数
x , y 之间有联系
相关变化率解法三步骤
dx , d y 之间也有联系
dt dt 称为 相关变化率
(1) 找出相关变量的关系式
F(x, y) 0
对t 求导
(2) 相关变化率
dx 和d y 之间的关系式 dt dt
y 3 (x 3)
2
2
即 x y 3 0.
法线方程
y 3 x 3 即 y x, 通过原点.
2
2
利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题.
如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直,
称这两条曲线是
正交的.
如果一个曲线族中的每条曲线与另一个曲线族
中的所有与它相交的曲线均正交,
称这 两个曲线族
(1) tan h F ( , h) 0
(2)
500
两边对 t求导得 sec2
d
1
dh 500
(3)
dh 140米 / 秒, dt
dt 500 dt
当 h 500时, tan 1, sec2 2
d 1 1 140 0.14(弧度 / 分)
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所d d 以 t0.1(弧 4 /度 分 )
--------对数求导法 适用范围
多个函数相乘和 数u幂 (x)指 v(x)的 函情.形
6
例5 设y(x(x1)43)2xex1,求y.
解 等式两边取对数得 ln y ln x 1 ) ( 1 3 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x
上式两边 x求对导得 y yx1 13(x11)x2 41
y (x ( x 1 )4 3 )2 x ex 1[x1 13 (x 1 1 )x2 4 1 ].
7
例6 设 y x sx in (x 0 )求 ,y .
解 等式两边取对数得
ln y sixn ln x 上式两边x求 对导 ,得
1 yycoxslnxsix n1 x
所y 以 y (cx o ln x s six n 1 x )
其速率1为 4米 0 /分.当气球高5度 0米 0为时 ,观察员视
线的仰角增加率 ? 是多少
解 设气球 t分上 钟 ,其 升 后 高h,度 观为 察员 的视 仰
角为 ,则
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
h 500
上式两边 t求对导得
500米
se2 cddt510d 0dh t
500米
因 为 ddh t14米 0/分 ,当 h 5米 0,0 s时 2 e c 2
yey xeyy，
即
y1exy ey
ey ， 2 y
yeyy(2(2y)y)2ey(y)，
故yey2eyy(2( 2 y)y)2ey(2eyy)
e2y(3 (2
y) y)3
.
4
例4 设 x 4x y y4 1 ,求 y 在 (0 ,1 点 )处.的值
解 方程两x边 求对 导得
4 x 3 y x y 4 y 3 y 0 代x入 0, y1 得
3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 x y 从 而 y（ |2 3， 2 3） yy2xx2(2 3,2 3) 1.
故所求切线方程为 y23(x23) 即 xy30. 法线方 y程 2 3x为 2 3即yx, 显然通过原点.
3
例3 已 知 y1xye,求dd2y2x.
解 两边同时 x求对导，得
11
例7 已知椭圆的参数方程为
求
d d
y x
解
. t
4
dy
dy dx
dt dx
dt
x a cos t,
y
b
sin
t.
(b s in t) (a c o s t)
a cos t a sin t
b a
cot
t,
dy dx
t4
(cott)
t4
b a
.
12
例8 求摆 yx线 aa((1t cso ittn ))s在 t2处的方 切程线 .
一、隐函数的导数
定义 y f(x)形式称为显.函数 F(x,y)0 yf(x)隐函数的显化
问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
如eyxy2sinx， 如何求dy?
dx
隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
1
例1 求由方x程 yex ey 0所确定的隐函
y的导dd数 xy, ddxyx0. 解 方程两边同时x对求导,
.
14
四、相关变化率
设xx(t)及y y(t)都 是 可 导,函 而数 变 量 x与
y之间存在某种 , 从关而系它
们
的
变dx化 与d率y之 dt dt
间也存在一定 , 这关样系两个相互依化赖率的称变
为 相 关 变 .化 率
相关变化率问题 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
15
例11 一汽球从离开5观 0米 0察处 员离地面铅, 直上
即
dydy/d.t dxdx/dt
10
若函数 xy ((tt))二阶可 , 导
d2y dx2
ddx(ddxy)
ddx(((tt)))
ddt(((tt)))
dt dx
d dt
(((tt)))
1 dx
(t)( t) 2( t)(t)(t)1 (t)
dt
即 d d2y 2x (t)( t) 3( t)(t)(t).
xsix n (cx olsn xsx ixn ).
8
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
yt2 (2x)2
x2， 4
消去参数 t 得
y
1 2
x.
问题 消去参数困难或无法消去时，应如何求导?
yxd dx yexeyd dx y0
解得
dy dx
ex y x ey
,
由原方 x程 0,y知 0,所以
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
2
例2 设曲C线 的方程x3为 y3 3xy,求过 C上
点(3,3)的切线方 , 并程证明曲 C在线该点的法 22
线通过原 . 点 解 方程两边x求 对导,得
dy
解
dy dx
dt dx
asi nt aacost
sint 1cost
,
dt
当 所t以 2时 dd,xyyx t 2 a a (1 2 s xci1 n o) 2a s2,(y 2 a 1..1所),求切线方程为
即
y x a (2 2 ).
13
例9 求由方xy程 aacsion33stt表示的函数的.二
解
dy dx
dy/ dx/
dt dt
3asi n2tcost 3aco2st(si nt)
tant,
d2y dx2
ddx(ddxy)
ddx(tant)
ddt(tant)ddxt
ddt(tant)
1 dx
( tant) (a cos3 t)
dt
3acsoe2sc2ttsint
sec4 t 3a sint
9
在方程 xy ((tt))中,
设函x数 (t)具有单调连续的 t 反 1(x函 ), 数
则
y [ 1 (x )].
再设 x (t)y 函 ,(t) 都 数 ,且 可 (t) 0 ,导
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dx dt dx
dy dt
1 dx
dt
(t ) (t )
( 1 )
y x0
y1
1 4
;
将方 (1)两 程边x求 再导 对得
1 x 2 2 2 y x y 1 y 2 ( y ) 2 2 4 y 3 y 0
代x 入 0 ,y 1 ,y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y 1
1 16
.
5
二、对数求导法
观察函数 y(x (x 1)43)2 xe x1, yxsix n. 方法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的 求导方法求出导数.