5.2二项式系数的性质
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二项式系数的性质课件
[解] 由题设 m＋n＝19，
∵m，n∈N＋，
∴mn＝＝118，，
m＝2， n＝17，
…
m＝18， n＝1.
x2 的系数为 C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171．
1234 5
∴当 m＝9 或 10 时，x2 的系数取最小值 81，此时 x7 的系数为 C79 ＋C710＝156．
B．82 020－1
C．22 020
D．82 020
B [由已知，令 x＝0，得 a0＝1，令 x＝3，得 a0＋a1·3＋a2·32＋…
＋a2 020·32 020＝(1－9)2 020＝82 020，所以 a1·3＋a2·32＋…＋a2 020·32 020＝ 82 020－a0＝82 020－1，故选 B．]
1234
3．若二项式x2＋ax7的展开式中的各项系数之和为－1，则含 x2 的项的系数为________．
1234
560 [取 x＝1，得二项式x2＋ax7的展开式中的各项系数之和为(1 ＋a)7，即(1＋a)7＝－1，解得 a＝－2．二项式x2＋ax7的展开式的通项 为 Tr＋1＝C7r·(x2)7－r·－2xr＝C7r·(－2)r·x14－3r．令 14－3r＝2，得 r＝4．因 此，二项式x2－2x7的展开式中含 x2 项的系数为 C47·(－2)4＝560．]
1234 5
3．设复数 x＝1－2i i(i 是虚数单位)，则 C21 019x＋C22 019x2＋C32 019x3＋…
＋C22 001199x2 019 等于(
)
A．i
B．－i
C．－1＋i
D．－1－i
D [x＝1－2i i＝
1＋
二项式系数的性质
的定义和性质进行证明
利用递推关系进行简化
• 例如，证明二项式定理时，
可以利用递推关系进行证明
05
二项式系数在概率论与数理统计中的应用
二项分布的概率质量函数
二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) *
p^k * (1-p)^(n-k)
二项分布的概率质量函数与二项式系数
密切相关
• 其中X表示二项分布的随机变量，n
• 其中P(n, k)表示从n个不同元素中选取k个元素的排列数
二项式系数的计算公式
• 二项式系数的计算公式为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 当k为0或n时，C(n, k)有简化公式
• C(n, 0) = 1
• C(n, n) = 1
• 当n和k较大时，可以使用递推公式计算二项式系数
性质进行证明
性进行简化
• 例如，计算二项分布的概率时，可以
利用奇偶性进行简化
二项式系数的递推关系
二项式系数具
有递推关系，
即C(n, k) =
C(n-1, k-1) +
C(n-1, k)
二项式系数的
递推关系在组
合数学和概率
论中有广泛应
用
01
02
• 证明方法：根据二项式系数
• 例如，计算组合数时，可以
• 可以使用二项式系数计算二项分布的
表示试验次数，p表示成功概率，k表示
概率质量函数
成功次数
• 可以使用二项分布的概率质量函数计
算二项分布的期望和方差
二项分布的期望与方差
二项分布的期望为E(X) = np
• 其中n表示试验次数，p表示成功概率
二项分布的方差为Var(X) = np(1-p)
二项式系数的性质课件
总结词
二项式定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用 。
详细描述
在数学中，二项式定理常用于解决一些组合数学问题，如排 列、组合、概率等。在物理中，二项式定理可用于描述量子 力学和统计力学的某些现象。在工程中，二项式定理可用于 解决一些近似计算问题。
二项式定理的发展历程
总结词
二项式定理的发展经历了漫长的历史过程。
数学教育的普及
随着数学教育的普及，二项式系数等基础数学知 识将更加受到重视，需要进一步研究和推广。
THANKS
感谢观看
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
05
二项式系数在实际问题中的应用
在统计学中的应用
概率计算
二项式系数在概率计算中有着广 泛的应用，例如在二项分布的概 率计算中，二项式系数用于计算
成功的次数。
置信区间
在置信区间估计中，二项式系数用 于计算样本比例的置信区间，帮助 我们了解样本比例的可靠程度。
ERA
二项式定理的定义
总结词
二项式定理是数学中的重要定理之一 ，它描述了二项式展开后的各项系数 规律。
详细描述
二项式定理指出，对于任何两个数的 和或差，即 (a+b) 或 (a-b)，它们的 展开式中的每一项都可以表示为组合 数 C(n, k) 与 a 和 b 的幂次方的乘积 。
二项式定理的应用场景
要点二
详细描述
对称性是指C(n, k) = C(n, n-k)，即从n个元素中选取k个 元素和从n个元素中选取n-k个元素的结果相同。递推性是 指C(n+1, k) = C(n, k-1) + C(n, k)，即从n+1个元素中选 取k个元素等于从n个元素中选取k-1个元素和从n个元素中 选取k个元素的和。组合恒等式是指C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，即从n个元素中选取k个元素等于从n-1个元 素中选取k-1个元素和从n-1个元素中选取k个元素的和。
二项式定理及其系数的性质
03
这些性质在解决某些数学问题 时非常有用，如求和、求积等 。
03 系数性质分析
组合数性质回顾
组合数定义
$C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}$，表示从 $n$个不同元素中选取$k$个元素的组合数。
VS
组合数性质
$C_n^k = C_n^{n-k}$（互补性）， $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$（帕斯卡三角形）， $C_n^0 + C_n^1 + ldots + C_n^n = 2^n$（二项式定理特例）。
根据二项式定理的通项公式，可以直接计算出展开式中 任意一项的系数。具体方法为：确定该项在展开式中的 位置（即序号$k$），然后代入通项公式计算即可。
若需要求多项式的某一项系数，可以先将多项式按照 二项式定理展开，然后找到对应位置的项并计算其系 数。
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常见问题一
根据二项式定理的通项公式，若某项 的系数为0，则该项不存在于展开式 中。因此，可以通过判断通项公式中 组合数或二项式系数的值是否为0来 确定某项是否存在。
VS
当$n<k$时，组合数$C_n^k=0$， 因此对应的二项式系数也为0。此时， 展开式中不存在该项。
常见问题二：如何求展开式中特定项系数？
在二项式定理的通项公式$T_{k+1}=C_n^k cdot a^{n-k} cdot b^k$中，混淆$n$、$k$、$a$、$b$的含义和取值范围。其 中，$n$表示二项式的次数，$k$表示项的序号（从0开始计数），$a$和$b$分别表示二项式中的两个实数。
错误地认为通项公式中的组合数$C_n^k$与二项式系数完全相同，实际上二者在数值上相等，但意义不同。组合数表示从 $n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数，而二项式系数表示$(a+b)^n$展开后各项的系数。
二项式系数性质
证明：在
0 n 1 n 1 1 ( a b )n C n a Cn a b r n r r Cn a b n n Cn b
中，分别赋值a b 1和a 1, b 1可以得到
0 1 2 3 2n C n Cn Cn Cn 0 1 2 3 0 Cn Cn Cn Cn r Cn n 1 n Cn Cn n ( 1)n C n
称为二项式系数表（或杨辉三角） 观察上表，看看有没有规律？
七 宝 中 学 0 9 高 三 数 学 讲 义 系 列
二项式系数的性质
的两项的二项式系数相等
对称性性质1.( a b )n的二项展开式中，与首末两端“等距离”
和性质 性质2.( a b )n的二项展开式中，所有二项式系数的和
等于2n 推论:( a b )n的二项展开式中，奇数项与偶数项的二 项式系数的和相等，且等于2n1
(1) (2)
r ( 1)r C n
0 2 4 由[(1) (2)] 2得C n Cn Cn 1 3 5 由[(1) (2)] 2得C n Cn Cn
2 n 1 2 n 1
三 数 学 讲 义 系 列
性质得证！
七 宝 中 学 0 9 高
二项式系数的性质
最大 r
0 1 ( 1 )当n为奇数时，C n Cn
Cn 2 Cn 2 C
n 1 2 n n 2 n
n Cn
0 1 ( 2 )当n为偶数时，C n Cn
C C
n 1 2 n
n Cn
命题得证！
七 宝 中 学 0 9 高 三 数 学 讲 义 系 列
二项式系数的性质
0 n 1 n 1 1 ( a b )n C n a Cn a b r n r r Cn a b n n Cn b
中，分别赋值a b 1和a 1, b 1可以得到
0 1 2 3 2n C n Cn Cn Cn 0 1 2 3 0 Cn Cn Cn Cn r Cn n 1 n Cn Cn n ( 1)n C n
称为二项式系数表（或杨辉三角） 观察上表，看看有没有规律？
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二项式系数的性质
的两项的二项式系数相等
对称性性质1.( a b )n的二项展开式中，与首末两端“等距离”
和性质 性质2.( a b )n的二项展开式中，所有二项式系数的和
等于2n 推论:( a b )n的二项展开式中，奇数项与偶数项的二 项式系数的和相等，且等于2n1
(1) (2)
r ( 1)r C n
0 2 4 由[(1) (2)] 2得C n Cn Cn 1 3 5 由[(1) (2)] 2得C n Cn Cn
2 n 1 2 n 1
三 数 学 讲 义 系 列
性质得证！
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二项式系数的性质
最大 r
0 1 ( 1 )当n为奇数时，C n Cn
Cn 2 Cn 2 C
n 1 2 n n 2 n
n Cn
0 1 ( 2 )当n为偶数时，C n Cn
C C
n 1 2 n
n Cn
命题得证！
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二项式系数的性质
二项式系数的性质
性质1 性质1：对称性
C
m n
= C
n−m n
与首末两端“等距离” 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
性质2 增减性与最大值 性质2：增减性与最大值
先增后减
是偶数时， 当n是偶数时，中间的一项 C 是偶数时 取得最大值 ； 是奇数时， 当n是奇数时，中间的两项 C 是奇数时 和
n +1 2 n
写出下列各二 项 式 系 数？ (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
C0 = 1 n
0 C1C 1 1
C
0 4
0 2
1 2
C
2 2
1 C 30 C 3
C 32 C 33
C 43 C 44
C
1 C 4 C 42
C C
C
0 6
0 5
1 5
C
C
2 5
C
C
3 6
二项式系数的性质
二项式定理： 二项式定理：
0 r n (a + b)n = Cnan + C1an−1b + ⋅ ⋅ ⋅ + Cnan−rbr + ⋅ ⋅ ⋅Cnbn n ∗ r n−r r (n∈N ) T =C a b
r +1 n
1.项数规律： 项数规律： 项数规律 展开式共有n+1个项 个项 展开式共有 2.系数规律： 2.系数规律： 系数规律
3 5
C
C
4 6
4 5
C
5 6
5 5
C
1 6
2 6
C
C
6 6
5.4.2 二项式系数的性质 教学课件(38张PPT) 高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
（与 a,b 的值无关，只与 n 的值有关）
C
n n
，这表明在二项
C
n n
2n
②在二项式定理中，令 a=1，b=-1，则有
1 1 n 0n C0n C1n
1 k Cnk
1 n Cnn ，这表明在二项展开式中奇
数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于 2n 1 ．即
C0n C2n C4n
（2）将三项式视为二项式，利用二项式定理逐次展开，不同的分组方式展开过
程中的运算繁简也不相同，要注意结合三项式中各项的特征合理分组，以简化运
算．如求 x
1
n
2 的展开式，可视为 x
1
x
x
x2
2x
n
1
x
x 1 2n xn 等．
n
2 ，或 x 2
1 n ，或变形 x
特别地，若三项式可因式分解为两个二项式的乘积，则可分 别利用二项式定理展开，再利用多项式的乘法法则展开．
等．
（2）在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它"肩上"两个数的和（由组
合数的性质:
C
k n
1
Ckn 1
Ckn 即得）；当二项式的次数不大时，可借助杨辉三角直
接写出各项的二项式系数.
二项式系数的性质
(1）各二项式系数的和
①在二项式定理中，令 a=b=1，则有 2n
C0n
C1n
C
2 n
展开式中各项的二项式系数之和为 2"．即 C0n C1n C2n
，
又当
r
12
时，
C12 24
取最大值，
则系数最大的项是第
高二数学二项式系数的性质
- L +（-
1）nC
n n
= 2 0 Cn0
+
= (Cn0 + Cn2 + … =
Cn2 Cn1
+ +
… ) - (Cn1
C
3 n
+
…
+ nC-n3;x)n的展开式中的各个
二项式系数的和为2n，且奇数项的二
项式系数和等于偶数的二项式系数和
赋值法
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同
二项式系数的性质
第1行———
C
0 1
C
1 1
第2行——
C
0 2
C
1 2
C
2 2
第3行—-
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
对称
11 121 1 33 1
第4行—
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
1 46 41
第5行--
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
第6行-
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C C 当n是奇数时，中间的两项
n-1
n+1
2， 2 相等，且同时取得
最大值。
n
n
二项式系数的性质
性质3：各二项式系数的和
（1 + x）n =
C
0 n
+
C
二项式定理及二项式系数的性质应用
累加性质
01
二项式系数满足累加性质，即对 于任意非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n-1$），有$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$。
02
这一性质表明，在二项式展开 式中，相邻两项的二项式系数 之和等于下一项的二项式系数 。
03
通过累加性质，可以推导出二 项式系数的其他性质，如求和 公式等。
二项式系数与通项公式
二项式系数是指$(a+b)^n$展开后各项的系数，记作$C_n^k$，表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素 的组合数。
二项式系数的通项公式为$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$，其中$n!$表示$n$的阶乘。
二项式定理展开方法
二项式定理的展开方法是通过组合数公式和乘法分配律逐步推导出来的。
02
在组合数学中，多项式定理可用 于推导组合恒等式和求解组合问
题。
在物理学和工程学中，多项式定 理可用于描述多维空间中的物理 量和场分布。
03
在计算机科学中，多项式定理可 用于设计和分析算法的时间复杂
度和空间复杂度。
04
05 思考题与练习题选讲
思考题选讲
题目1
证明二项式定理对任意正整数$n$都成立。
对于$(a+b)^n$，可以先将其表示成$(a+b)(a+b)cdots(a+b)$的形式， 然后按照乘法分配律进行展开。
在展开过程中，每一项都是$a$和$b$的乘积，且$a$和$b$的指数之和为 $n$。根据组合数公式，可以计算出每一项的系数。
02 二项式系数性质
对称性
二项式系数具有对称性，即对于任意 非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n$），有$C_n^k = C_n^{n-k}$。
二项式系数性质与应用
二项式系数性质与应用二项式系数是组合数学中的一种重要概念，它在代数、概率、统计等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍二项式系数的性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、二项式系数的基本性质1.1 二项式系数的定义二项式系数表示为C(n,k)，其中n和k为非负整数，且0 ≤ k ≤ n。
其计算方法为C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中“!”表示阶乘运算。
1.2 二项式系数的对称性二项式系数具有对称性，即C(n,k) = C(n,n-k)。
这是由于在组合中，选取k个元素与选取n-k个元素是等价的。
1.3 二项式系数的递推关系二项式系数有递推关系：C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)。
这一关系可以用来计算任意二项式系数，而无需重新计算阶乘。
1.4 二项式定理二项式定理是二项式系数的一个重要性质，表示为(a+b)^n = ΣC(n,k) * a^(n-k) * b^k，其中Σ表示求和运算，k的取值范围为0到n。
二、二项式系数的应用2.1 代数中的应用在代数中，二项式系数被广泛应用于多项式展开和系数计算。
通过二项式定理，我们可以展开任意次多项式，从而计算多项式的各项系数。
2.2 概率与统计中的应用在概率与统计中，二项式系数与二项分布密切相关。
二项分布用于描述一组独立重复试验中成功（或失败）的次数的概率分布。
二项分布的概率质量函数可以用二项式系数来表示。
2.3 组合数学中的应用二项式系数是组合数学的基础概念，它与排列、组合、二项式定理等紧密相关。
在组合数学中，可以利用二项式系数解决一些计数问题，如排列组合问题、子集问题等。
2.4 离散数学中的应用离散数学中的一些问题可以转化为二项式系数的计算问题，如定理证明、图论、递归关系等。
二项式系数的递推关系和性质在解决这些问题时起到了重要的作用。
2.5 应用于经济学和金融学二项式系数在经济学和金融学中也有一定的应用，例如二项式期权定价模型和二项式资产定价模型。
《二项式系数性质》课件
《二项式系数性质》PPT 课件
数学课上经常会提到二项式系数，那么二项式系数是什么？它有什么性质和 应用？在这个课件中，我们将探索它的奥秘。
二项式系数的定义及公式
定义
在代数中，指定两个变量x和y及它们的正整数指数n时，二项式系数是以下数值的代数系数。
公式
二项式系数可以通过二项式公式由阶乘算出，公式为：C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
二项式系数的递推公式
1
概念和基本形式
递推公式是一种将一个问题分解成子问题的方法。在组合数学中，递推公式被用 于计算二项式系数。
2
推导过程
递推公式是通过将组合恒等式代入二项式系数公式中得到的。通常，我们会使用 一个简单的三角形状的递推公式来计算二项式系数。
3
应用
递推公式可以用于模拟一些问题，如从n个元素中选择k个元素并计算可能的组 合数。
4
杨辉三角形是由二项式系数构成的三角 形，它的每一行都是帕斯卡三角形的一 部分。杨辉三角形也具有许多有趣的性
质。
交错性质
二项式系数的相邻数为交错的正负数， 即C(n,k) = (-1)^k*C(n,k-1)。
帕斯卡三角形
帕斯卡三角形是由二项式系数构成的一 条斜边排成的三角形，它有许多有趣的 性质。例如，每个数字等于上方两个数 字之和。
二项式系数的应用
1 概率论中的应用
二项分布指的是在n次独 立的重复试验中，恰好有 k次成功的概率。这个概 率可以用二项式系数进行 计算。
2 数据分析中的应用
二项式系数可以用于计算 样本量，从而帮助我们确 定数据分析的精度。
3 组合数学在密码学中
的应用
组合数学在加密技术中有 着广泛的应用。其中，一 种称为“组合攻击”的攻击 方法就是利用了二项式系 数的组合意义。
数学课上经常会提到二项式系数，那么二项式系数是什么？它有什么性质和 应用？在这个课件中，我们将探索它的奥秘。
二项式系数的定义及公式
定义
在代数中，指定两个变量x和y及它们的正整数指数n时，二项式系数是以下数值的代数系数。
公式
二项式系数可以通过二项式公式由阶乘算出，公式为：C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
二项式系数的递推公式
1
概念和基本形式
递推公式是一种将一个问题分解成子问题的方法。在组合数学中，递推公式被用 于计算二项式系数。
2
推导过程
递推公式是通过将组合恒等式代入二项式系数公式中得到的。通常，我们会使用 一个简单的三角形状的递推公式来计算二项式系数。
3
应用
递推公式可以用于模拟一些问题，如从n个元素中选择k个元素并计算可能的组 合数。
4
杨辉三角形是由二项式系数构成的三角 形，它的每一行都是帕斯卡三角形的一 部分。杨辉三角形也具有许多有趣的性
质。
交错性质
二项式系数的相邻数为交错的正负数， 即C(n,k) = (-1)^k*C(n,k-1)。
帕斯卡三角形
帕斯卡三角形是由二项式系数构成的一 条斜边排成的三角形，它有许多有趣的 性质。例如，每个数字等于上方两个数 字之和。
二项式系数的应用
1 概率论中的应用
二项分布指的是在n次独 立的重复试验中，恰好有 k次成功的概率。这个概 率可以用二项式系数进行 计算。
2 数据分析中的应用
二项式系数可以用于计算 样本量，从而帮助我们确 定数据分析的精度。
3 组合数学在密码学中
的应用
组合数学在加密技术中有 着广泛的应用。其中，一 种称为“组合攻击”的攻击 方法就是利用了二项式系 数的组合意义。
二项式系数有哪些特殊性质
二项式系数有哪些特殊性质二项式系数是组合数学中的重要概念，具有许多特殊性质。
本文将详细介绍二项式系数的特性，并进行逐一讨论。
一、二项式系数的定义及基本性质二项式系数是指二次幂的展开式中，各项的系数。
设a和b为任意实数，则二次幂的展开式可表示为(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b+ ··· + C(n,n)b^n，其中C(n,k)表示从n个元素中取k个元素的组合数。
二项式系数具有以下基本性质：1. 对称性：C(n,k) = C(n,n-k)，即二项式系数在列数上具有对称性质。
2. 递推关系：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)，即每一个二项式系数都可以由前一个系数递推得到。
3. 边界条件：C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取0个或n个元素的组合数都为1。
二、二项式系数的特殊性质除了以上的基本性质外，二项式系数还具有许多特殊性质，包括：1. 杨辉三角形的构建二项式系数可以通过杨辉三角形的构建方法得到。
杨辉三角形的第n行第k个数即为C(n,k)，通过构建杨辉三角形，可以直观地观察到二项式系数的对称性和递推关系。
2. 定理1：二项式系数的性质二项式系数满足定理1：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)。
这一性质可以通过排列组合的原理得到，即从n个元素中取k个元素的组合数等于从n-1个元素中取k-1个元素的组合数再加上从n-1个元素中取k个元素的组合数。
3. 定理2：二项式系数的性质二项式系数满足定理2：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k+1)，其中k满足1<=k<=n-1。
这一性质可以通过将C(n,k)的递推关系重写为C(n-1,k) = C(n,k) - C(n-1,k-1)得到。
4. 定理3：二项式系数的性质二项式系数满足定理3：C(n+1,k+1) = (n+1)/(k+1) * C(n,k)，其中n 和k满足1<=k<=n。
课件 二项式系数的性质
第五章 计数原理
新课程标准解读 掌握二项式系数的性质，会运用二项式系 数的性质解决系数求和等问题
核心素养 数学运算
预习教科书，思考并回答下列问题 1．什么是二项式系数表？该表有何特征？
2．(a＋b)n 的展开式中，各二项式系数的和是什么？奇数项的二项式 系数和与偶数项的二项式系数的和各是多少？
．
解析：令展开式左、右两边 x＝1，得各项系数和为 1； 各二项式系数之和为 26＝64.
答案：1 64
3. (2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则 a8＝
．
解析：由题意可知 a8 是 x8 的系数，所以 a8＝C810 ×22＝180. 答案：180
1．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质
可直接由公式 Cmn ＝Cnn－m 得到； (2)增减性与最大值：当 k＜n＋2 1 时，二项式系数逐渐增大；当 k＞n＋2 在中间取得最大值．当 n 是偶数时，展开
n
式的中间一项 Tn 1 的二项式系数 Cn2 最大；当 n 是奇数时，展开式的中间两项 Tn1
1. (1＋x)2n＋1 的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )
A．n，n＋1
B．n－1，n
C．n＋1，n＋2
D．n＋2，n＋3
解析：因为 2n＋1 是奇数，所以中间两项， 即第 n＋1，n＋2 项二项式系数最大．
答案：C
2. (2x－1)6 展开式中各项系数的和为
；
各项的二项式系数和为
知识点 二项式系数的性质 当 n 依次取 1，2，3，…时，(a＋b)n 展开式的二项式系数如图：
(1)该表叫作 二项式系数 表，也称为杨辉三角； (2)特征：表中每行两端都是 1，而且除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”的两 个数 之和 ．
新课程标准解读 掌握二项式系数的性质，会运用二项式系 数的性质解决系数求和等问题
核心素养 数学运算
预习教科书，思考并回答下列问题 1．什么是二项式系数表？该表有何特征？
2．(a＋b)n 的展开式中，各二项式系数的和是什么？奇数项的二项式 系数和与偶数项的二项式系数的和各是多少？
．
解析：令展开式左、右两边 x＝1，得各项系数和为 1； 各二项式系数之和为 26＝64.
答案：1 64
3. (2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则 a8＝
．
解析：由题意可知 a8 是 x8 的系数，所以 a8＝C810 ×22＝180. 答案：180
1．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质
可直接由公式 Cmn ＝Cnn－m 得到； (2)增减性与最大值：当 k＜n＋2 1 时，二项式系数逐渐增大；当 k＞n＋2 在中间取得最大值．当 n 是偶数时，展开
n
式的中间一项 Tn 1 的二项式系数 Cn2 最大；当 n 是奇数时，展开式的中间两项 Tn1
1. (1＋x)2n＋1 的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )
A．n，n＋1
B．n－1，n
C．n＋1，n＋2
D．n＋2，n＋3
解析：因为 2n＋1 是奇数，所以中间两项， 即第 n＋1，n＋2 项二项式系数最大．
答案：C
2. (2x－1)6 展开式中各项系数的和为
；
各项的二项式系数和为
知识点 二项式系数的性质 当 n 依次取 1，2，3，…时，(a＋b)n 展开式的二项式系数如图：
(1)该表叫作 二项式系数 表，也称为杨辉三角； (2)特征：表中每行两端都是 1，而且除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”的两 个数 之和 ．
5.2二项式系数的性质
展开式的通项为
4
1
3 3
r=4,可得
r=3,故C
a
=7,易得
a=
.
8
3
2
1
答案 2
4
Tr+1=C8 ar 8-3 ,令
8-
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题型一
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型二
1 10
(2)解① +
的展开式的第
2
1 4
1 4 12
1 4
105 10
4
=
C
·
·
x
·
=
x .
10
2
2
8
2
②设第 k+1 项为常数项,则
1
A.-1
B. 2
解析C5
知识梳理
10,则实数 a 等于(
C.1
2r-5=3,得 r=4.
D.2
)
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1
2
3
4
知识梳理
典例透析
5
3.设(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则
a1+a2+…+a6=
.
答案:120
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1
2
4
2
-10
又第 6 项为常数项,∴ 3 =0,∴n=10.
5
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题型二
r
§5.2 二项式系数的性质
【思路点拨】 解答本题可观察数列的各项在杨 辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的 二项式系数，利用组合的性质求和．
【解】 由图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，…，第 17 项是 C210，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211. ∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110 ＋C210)＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C211)
课堂互动讲练
考点突破
与“杨辉三角”有关的问题
解决与“杨辉三角”有关问题的一般方法是： 观察——分析——试验——猜想结论——证明， 要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律，依靠 观察能力，注意观察方法：横看，竖看，斜看， 连续看，隔行看，从多角度观察．
例1 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭 头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10， …，记这个数列的前n项和为Sn，求S19.
(2)∵(1＋x)n·(1＋x)n＝(1＋x)2n， ∴ (C0n＋ C1n x＋ C2n x2＋…＋Crnxr＋…＋ Cnn xn)·(C 0n ＋ C1nx＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋Cnnxn)＝(1＋x)2n. 而 Cn2n是(1＋x)2n 的展开式中的 xn 的系数，由多项 式的恒等定理，得
与组合数有关问题的证明
此类问题需要把组合数的性质与二项式定理结合 起来证明．
例4 证明下列各式： (1)1＋2C1n＋4C2n＋…＋2n－1Cnn－1＋2nCnn＝3n； (2)(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n；
(3)C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n·2n－1.
【解】 由图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，…，第 17 项是 C210，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211. ∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110 ＋C210)＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C211)
课堂互动讲练
考点突破
与“杨辉三角”有关的问题
解决与“杨辉三角”有关问题的一般方法是： 观察——分析——试验——猜想结论——证明， 要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律，依靠 观察能力，注意观察方法：横看，竖看，斜看， 连续看，隔行看，从多角度观察．
例1 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭 头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10， …，记这个数列的前n项和为Sn，求S19.
(2)∵(1＋x)n·(1＋x)n＝(1＋x)2n， ∴ (C0n＋ C1n x＋ C2n x2＋…＋Crnxr＋…＋ Cnn xn)·(C 0n ＋ C1nx＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋Cnnxn)＝(1＋x)2n. 而 Cn2n是(1＋x)2n 的展开式中的 xn 的系数，由多项 式的恒等定理，得
与组合数有关问题的证明
此类问题需要把组合数的性质与二项式定理结合 起来证明．
例4 证明下列各式： (1)1＋2C1n＋4C2n＋…＋2n－1Cnn－1＋2nCnn＝3n； (2)(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n；
(3)C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n·2n－1.
二项式系数性质课件
详细描述
在二项式定理中，二项式系数是组合数的一种特殊形式，表示从n个不同元素中 取出k个元素的组合数。具体地，对于二项式$(a+b)^n$，其展开后的每一项可 以用组合数来表示，即第$k+1$项的系数为$C_n^k$，其中 $C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$。
二项式系数的对称性证明
适用于大规模和高精度计算的问 题。
总结词
二项式系数的对称性是指二项式系数在展开式中的对称位置 相等。
详细描述
对于二项式$(a+b)^n$的展开，其第$r+1$项和第$n-r+1$ 项的系数相等，即$C_n^r=C_n^{n-r}$。这一性质可以通过 组合数的性质证明，因为$C_n^r=C_n^{n-r}$是组合数的基 本性质之一。
二项式系数的递推关系证明
03
二式系数的用
在组合数学中的应用
组合数学中，二项式系数常用于计算组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素的 组合方式数。
二项式系数在组合数学中具有一些重要的性质，如对称性、递推关系等，这些性质 在解决一些组合问题时非常有用。
二项式系数在组合数学中还常用于证明一些重要的定理，如二项式定理、组合恒等 式等。
二项式系数的表示方法
二项式系数可以用组合数的公式表示， 即C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!" 表示阶乘。
也可以用"+"、"*"等运算符来表示二 项式系数，例如C(n, k) = n+k-1 choose k。
二项式系数的性质
二项式系数具有对称 性，即C(n, k) = C(n, n-k)。
在概率论中的应用
在二项式定理中，二项式系数是组合数的一种特殊形式，表示从n个不同元素中 取出k个元素的组合数。具体地，对于二项式$(a+b)^n$，其展开后的每一项可 以用组合数来表示，即第$k+1$项的系数为$C_n^k$，其中 $C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$。
二项式系数的对称性证明
适用于大规模和高精度计算的问 题。
总结词
二项式系数的对称性是指二项式系数在展开式中的对称位置 相等。
详细描述
对于二项式$(a+b)^n$的展开，其第$r+1$项和第$n-r+1$ 项的系数相等，即$C_n^r=C_n^{n-r}$。这一性质可以通过 组合数的性质证明，因为$C_n^r=C_n^{n-r}$是组合数的基 本性质之一。
二项式系数的递推关系证明
03
二式系数的用
在组合数学中的应用
组合数学中，二项式系数常用于计算组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素的 组合方式数。
二项式系数在组合数学中具有一些重要的性质，如对称性、递推关系等，这些性质 在解决一些组合问题时非常有用。
二项式系数在组合数学中还常用于证明一些重要的定理，如二项式定理、组合恒等 式等。
二项式系数的表示方法
二项式系数可以用组合数的公式表示， 即C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!" 表示阶乘。
也可以用"+"、"*"等运算符来表示二 项式系数，例如C(n, k) = n+k-1 choose k。
二项式系数的性质
二项式系数具有对称 性，即C(n, k) = C(n, n-k)。
在概率论中的应用
高中数学课件-二项式系数的性质
C0n＝ __C__nn____， C1n＝
C__nn_－_1__，…， Ckn＝ _C__nn_－_k__
栏目 导引
第一章 计数原理
性质
增减 性与 最大
值
自然语言
二项式系数 Ckn，当
n＋ k<
1时，二项式系数
2
是 ___递__增___的，由对称 性知它的后半部分 是
___递__减____的．当 n 是偶
栏目 导引
第一章 计数原理
(3)令 x＝－1， 得 32 015＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 014－a2 015①. 令 x＝1， 得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 014＋a2 015②. 由②－①得，－1－32 015＝2(a1＋a3＋…＋a2 015)， 所以 a1＋a3＋a5＋…＋a2 015＝－12(1＋32 015)．
栏目 导引
第一章 计数原理
(4)因为(1－2x)2 015 的展开式中，a0，a2，a4，a6，…，a2 014 大于 零，而 a1，a3，a5，a7，…，a2 015 小于零， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 015| ＝(a0＋a2＋a4＋…＋a2 014)－(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015) 令 x＝－1，得 32 015＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 014－a2 015， 解得(a0＋a2＋a4＋…＋a2 014)－(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)＝32 015， 即|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 015|＝32 015.
第一章 计数原理
2.设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求 (1)a1＋a2＋a3＋a4； (2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2； (3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
二项式系数性质
二项式系数，或组合数，在数学里表达为：(1 + x)ⁿ展开后x的系数（其中n为自然数）。
从定义可看出二项式系数的值为整数。
二项式系数的性质是对称性和单峰性。
对称性指的是与首末两段“等距离”的两个二项式系数相等。
单峰性是指：当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值。
当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。
一般二项式（x+y)ⁿ的幂可用二项式系数记为广义二项式定理把这结果推广至负数或非整数次幂，此时右式则不再是多项式，而是无穷级数。
二项式系数公式推导：
二项式系数符合等式可以由其公式证出，也可以从其在组合数学的意义推导出来。
如第一式左项表示从n+1件选取k件的方法数，这些方法可分为没有选取第n+1件，即是从其余n件选取k件；和有选取第n+1件，即是从其余n件选取k−1件。
而第二式则是每个从n件选取k件的方法，也可看为选取其余n−k件的方法。
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在二项式定理中，令a b 1，则：
2n
C
0 n
C1n
Cn2
C
n n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
对恒等式的字母进行赋值，可得一些重要性质 ——赋值法(是数学中一种常用方法). C0n C1n Cn2 Cnn 2n
拓展：在(a b)n 展开式中，奇数项的二项式系
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
(a+b)5 1 5 10 10 5 1 C50C51C52C53C54C55
(a+b)6 ……
1 6 15 20 15 6 ……………………
1
C60C61C62C63C64C65C66
………………
(a+b)n
r n1Cnn
69 r
性质3.
二项式系数的增减性及最大值
n
n
即：当 n 为偶数时，r 最大为奇数时，r 最大为
n 1，且当
r
n1
时
2 n1
n1
2
二项式系数 Cn 2 Cn 2 最大；
性质4.二项式系数的和
(P27)各二项式系数和
C0n
C1n
C
2 n
Cnn
?
(a b)n Cn0anCn1an1b Cnr anrbr Cnnbn(n N * )
O 369 r
f(r)
36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
O3
C f(r)= r 7
69 r
性质2.对称性
11 121 1331 1 4 6 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ……………………
C10C11
数和等于偶数项的二项式系数和，请证明。
解：
(1
x)n
C
0 n
C
1 n
x
C
2 n
x
2
C
r n
x
r
C
n n
x
n
(11)n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 L Cnr L (1)n Cnn ,
0 (Cn0 Cn2 L ) (Cn1 Cn3 L ),
Cn0 Cn2 L Cn1 Cn3 L 2n1, 令x= -1得
,
C
r n
,
,
C
n n
.
故子集个数
N
C
0 n
C
1 n
C
r n
C
n n
2n.
三、课堂训练
1、在(a＋2b)11展开式中，与第五项二项式
系数相同的项是( C ).
A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 2、在(a-2b)11展开式中，二项式系数最大
的项是( C ).
A.第6项 C.第6项和第7项
B.第7项 D.第5项和第6项
注：此种类型的题目应该先找准r的值，
然后再确定第几项。
课堂小结：
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
有如下性质：
（1）
Cnr
C nr n
3.二项式系数，依次为：C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,
,
C
n n
二.新知探究
(a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1
(a+b)3 1 3 3 (a+b)4 1 4 6
1 41
(a+b)5 1 5 10 10 5 1
(a+b)6 1 6 15 20 15 6
……
…1 …7 2…1 3…5 3…5 2…1
f(r)
6
34 32 30 28
26
24
20
22
18
20
16
1 6 15 20 15 6 1
18
14 12
C60C61C62C63C64C65C66
16 14
10
12
8 6
1 7 21 35 35 21 7 1
10 8
4 2
C70C71C72C73C74C75C76C77
6 4
2
O 369 r
O3
C f(r)= r 7
(奇数项 的二项式系数和)
(偶数项 的二项式系数和)
(温故知新)
设集合 A {a1, a2 , a3,, an} 中有 n个元素，则该集合的子集个数为 2n.
请结合本章知识给予合理解释。
解：按子集中元素的个数分类，
元素个数分别为0,1,2,3，……，n个。
对应子集个数依次有：C
0 n
,
C
1 n
,
性质1.
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
每行两端都是1；
除1以外的每一个数都等于它“肩上”的
两个数的和.即：Crn1
Cr-1 n
Crn
思考如下问题：
1.(1+x)n+1展开式中xr项的系数是
Cr n1
(1+x)n (1+x)它的展开式中xr项的
(a+b)6 ……
1 6 15 20 15 6 ……………………
1
C60C61C62C63C64C65C66
………………
(a+b)n
r n1Cnn
此表叫作：二项式系数表
杨辉三角
探究成果展示
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4
11 1 21 1331 1 4 6 41
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44 C50C51C52C53C54C55
C60C61C62C63C64C65C66
………………
在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两
项的二项式系数相等.即：C
r n
C
n n
r
性质3.
二项式系数的增减性及最大值
f(r)
36
C f(r)= r
(a+b)n
1 …7 1
计算(a+b)n展开式的二项式系数填入表格中
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4
1 11
1 21 1331 1 4 6 41
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
(a+b)5 1 5 10 10 5 1 C50C51C52C53C54C55
系数可以表示为
C
r n
C r1 n
2.通过以上两个问题你联想到了什么？
Cr n1
Cr-1 n
Crn
(a
b)n
展开式的二项式系数依次是：
C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,
,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看成是以r为自变量的函数
其定义域是：r {0,1,2,, n}
C f(r)= r
f(r)
6
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
5.2 二项式系数的性质
一.旧知梳理
1.二项式定理及其特例：
(a b)n
Cn0a n
Cn1a n1b
C
2 n
a
n2
b
2
C
r n
a
n
r
b
r
C
n n
b
n
(1 x)n
C
0 n
C
1 n
x
C
2 n
x
2
C
r n
x
r
C
n n
x
n
2.二项展开式的通项：
Tr1
C
r n
a
n
r
b
r
(r 0,1,2, , n)