5.2二项式系数的性质

C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
(a+b)5 1 5 10 10 5 1 C50C51C52C53C54C55
(a+b)6 ……
1 6 15 20 15 6 ……………………
1
C60C61C62C63C64C65C66
………………
(a+b)n
Cn0Cn1Cn2...Cnr ...Cnn1Cnn
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44 C50C51C52C53C54C55
C60C61C62C63C64C65C66
………………
在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两
项的二项式系数相等.即：C
r n
C
n n
r
性质3.
二项式系数的增减性及最大值
f(r)
36
C f(r)= r
在二项式定理中，令a b 1，则：
2n
C
0 n
C1n
Cn2
C
n n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
对恒等式的字母进行赋值，可得一些重要性质 ——赋值法(是数学中一种常用方法). C0n C1n Cn2 Cnn 2n
拓展：在(a b)n 展开式中，奇数项的二项式系
(奇数项 的二项式系数和)
(偶数项 的二项式系数和)
(温故知新)
设集合 A {a1, a2 , a3,, an} 中有 n个元素，则该集合的子集个数为 2n.
请结合本章知识给予合理解释。
解：按子集中元素的个数分类，
元素个数分别为0,1,2,3，……，n个。
对应子集个数依次有：C
0 n
,
C
1 n
,
f(r)
6
34 32 30 28
26
24
20
22
18
20
16
1 6 15 20 15 6 1
18
14 12
C60C61C62C63C64C65C66
16 14
10
12
8 6
1 7 21 35 35 21 7 1
10 8
4 2
C70C71C72C73C74C75C76C77
6 4
2
O 369 r
O3
C f(r)= r 7
69 r
性质3.
二项式系数的增减性及最大值
n
n
即：当 n 为偶数时，r 最大为 2 ，二项式系数Cn2 最大
当 n为奇数时，r 最大为
n 1，且当
r
n1
时
2 n1
n1
2
二项式系数 Cn 2 Cn 2 最大；
性质4.二项式系数的和
(P27)各二项式系数和
C0n
C1n
C
2 n
Cnn
?
(a b)n Cn0anCn1an1b Cnr anrbr Cnnbn(n N * )
O 369 r
f(r)
36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
O3
C f(r)= r 7
69 r
性质2.对称性
11 121 1331 1 4 6 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ……………………
C10C11
性质1.
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
每行两端都是1；
除1以外的每一个数都等于它“肩上”的
两个数的和.即：Crn1
Cr-1 n
Crn
思考如下问题：
1.(1+x)n+1展开式中xr项的系数是
Cr n1
(1+x)n (1+x)它的展开式中xr项的
,
C
r n
,
,
C
n n
.
故子集个数
N
C
0 n
C
1 n
C
r n
C
n n
2n.
三、课堂训练
1、在(a＋2b)11展开式中，与第五项二项式
系数相同的项是( C ).
A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 2、在(a-2b)11展开式中，二项式系数最大
的项是( C ).
A.第6项 C.第6项和第7项
系数可以表示为
C
r n
C r1 n
2.通过以上两个问题你联想到了什么？
Cr n1
Cr-1 n
Crn
(a
b)n
展开式的二项式系数依次是：
C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,
,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看成是以r为自变量的函数
其定义域是：r {0,1,2,, n}
C f(r)= r
f(r)
6
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
5.2 二项式系数的性质
一.旧知梳理
1.二项式定理及其特例：
(a b)n
Cn0a n
Cn1a n1b
C
2 n
a
n2
b
2
C
r n
a
n
r
b
r
C
n n
b
n
(1 x)n
C
0 n
C
1 n
x
C
2 n
x
2
Cห้องสมุดไป่ตู้
r n
x
r
C
n n
x
n
2.二项展开式的通项：
Tr1
C
r n
a
n
r
b
r
(r 0,1,2, , n)
(a+b)n
1 …7 1
计算(a+b)n展开式的二项式系数填入表格中
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4
1 11
1 21 1331 1 4 6 41
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
(a+b)5 1 5 10 10 5 1 C50C51C52C53C54C55
(a+b)6 ……
1 6 15 20 15 6 ……………………
1
C60C61C62C63C64C65C66
………………
(a+b)n
Cn0Cn1Cn2...Cnr ...Cnn1Cnn
此表叫作：二项式系数表
杨辉三角
探究成果展示
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4
11 1 21 1331 1 4 6 41
B.第7项 D.第5项和第6项
注：此种类型的题目应该先找准r的值，
然后再确定第几项。
课堂小结：
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
有如下性质：
（1）
Cnr
C nr n
3.二项式系数，依次为：C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,
,
C
n n
二.新知探究
(a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1
(a+b)3 1 3 3 (a+b)4 1 4 6
1 41
(a+b)5 1 5 10 10 5 1
(a+b)6 1 6 15 20 15 6
……
…1 …7 2…1 3…5 3…5 2…1
数和等于偶数项的二项式系数和，请证明。
解：
(1
x)n
C
0 n
C
1 n
x
C
2 n
x
2
C
r n
x
r
C
n n
x
n
(11)n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 L Cnr L (1)n Cnn ,
0 (Cn0 Cn2 L ) (Cn1 Cn3 L ),
Cn0 Cn2 L Cn1 Cn3 L 2n1, 令x= -1得