数学分析论文

数学分析中求极限的方法总结

摘要 数学分析是以极限为工具来研究函数的学科，掌握求极限的方法对学习数学分析有很大帮助，然而求极限的题型多变，技巧性强，本文总结了几种一般的求极限方法，并对专用于求数列极限和函数极限以及两者通用的方法进行归类总结，同时为每种方法相应的举例对方法加以说明.

关键词 极限 数列极限 函数极限 方法 总结

在我们所学过的数学分析中有数列极限和函数极限两种，我将用于专门求数列极限或函数极限，两者通用的方法进行了如下归纳. 1 求数列极限的方法

1.1 定义法 这是求数列极限最基本的方法.

设{n x }是数列，A 为常数，0>∀ε，∃正整数N ，当N n >有ε<-A x n 成立，称{n x }以A 为极限或{n x }收敛于A ，记作A x n n =∞

→lim .[1]

例1 证明0)1(lim

=-∞→n

n

n 证明：0>∀ε，取1]1

[+=εN ,则当N n >时，有

ε<--0)1(n n 0)1(l i m =-∴∞→n

n

n 1.2 等差等比数列的应用 求等比数列极限用此法必须保证公比1

例2 求)2

1

4121(lim n n +++∞→

解：原式121

1)

211(2

1lim =--=∞→n n 1.3 各项的拆分相加 消去中间大部分数. 例3 证明1)1(13*212*11lim =-+++=

∞

→n

n x n n 证明：原式1)1

1(lim )1113121211(lim =-=--++-+-

=∞→∞

→n

n n n n

1.4 左右求极限法 例如已知n x 与n x +1的关系，在n x 极限存在的情况下，n x 与

n x +1的极限一样，去掉有限项极限值不变. 1.5 单调有界数列必有极限

例4 设0>a ，n n n n n a a a a x ++++= 共有n 重根号，

求证n n x ∞

→lim 存在，并求出极限.

证明：a x =1，a a x +=2 显然n x 是单调递增的 1-+=n n n x a x n n n x a x a x +≤+=∴-12

1110+≤+≤+≤

<∴a a

a x a x n n }{n x ∴有界 n n x ∞

→∴lim 存在

设l x n n =∞

→lim 则由n n n x a x a x +≤+=-12

得a l l +=2 2411a

l +±=

∴ }{n x 为正数列，它的极限不能是负的，取上述方程正根，则2

411a

l ++= 2 求函数极限的方法

2.1 定义法 设)(x f y =在)(00

x O 内有定义，A 为常数，0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，

有ε<-A x f )(，称)(x f 在0x 点收敛于A ，记作A x f x x =→)(lim 0

.[1] 例5 求证21

1lim

=--→x x x x

证明：0>∃δ，取εδ=，则当δ<-<10x 时，有

ε<-<+-=

-=---11

1121

1x x x x x x

2.2 两个重要极限的应用.

2.2.1 1sin lim

0=→x

x

x 2.2.2 e x

x x =+∞→)1

1(lim

例6 求)0,(sin sin lim

0≠→n m nx

mx

x 解：原式n

m

nx nx nx mx mx mx x ==→sin **sin lim

例7 求n

n n )1

11(lim ++

∞

→ 解：原式=11])111[(lim ++∞→++n n

n x n =1lim

1])1

11[(lim ++∞→∞→++n n

n x n n e =

3 以下方法求数列极限和函数极限均适用，方法均以数列为例举出，将n x 和n y 相应的替换为)(x f 和)(x g 可得求函数极限的方法. 3.1 利用极限的夹逼准则求极限. 例8 求)1211

1(

lim 2

2

2

n n n n n ++

+++

+∞

→

解：设原式的=A ， 那么122+≤≤+n n A n

n n 又 1lim

2

=+∞

→n

n n n ,11

lim

2

=+∞

→n n n

1)12

11

1(

lim 22

2

=+++++

+∴∞

→n

n n n n

3.2利用极限的四则运算，此法一般参杂在其他方法中使用. 3.2.1 n n n n n n y x y x ±=±∞

→∞

→lim )(lim

3.2.2 n n n n n n n y x y x ∞

→∞

→∞

→=lim lim )(lim

若数列{n x }有界，数列{n y }为无穷小量，则它们的乘积为无穷小量.

3.2.3 当0lim ≠∞→n n y 时，有n

n n

n n n n y x y x ∞

→∞

→∞→=

lim lim lim 3.3 带有根号的式子可以通分求解. 例9 求)(lim 2n n n n -+∞

→

解：∞

→n lim (n n +2

-n)=∞

→n lim

n

n

n n ++2=)111(lim ++∞→n n =2. 3.4 形如)0,0(001

10110≠≠++++++=--b a b n b n b a n a n a x l

l l k

k k n 用此法. l

l k k l

k n n b n b b n a n a a n x ++++++

=- 1010 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞=>=++++++--∞→k

l k l b a k

l b n b n b a n a n a l l l k k k n 001101

100lim 3.5利用同阶无穷小量的转化求极限，在求极限的过程中，往往可以把其中的无