数学分析简明教程答案数分6_不定积分

第六章 不定积分

在不定积分的计算中，有很多方法是机械性的：有很多固定的模式和方法，还有一些常用的公式。在本章里使用的积分公式除了课本161页给出的10个常用公式外，还有6个很有用的式子，罗列如下：

22

22

2211.ln ;212.arctan ;3.arcsin ;

4.ln ;

5.ln ;

26.arcsin .

2dx x a

C x a a x a dx x C x a a a x C a x C a x C a x C a -=+-+=++=+=+=+=+⎰

⎰

这六个公式在答案中的使用次数很大，使用的时候没有进行说明，敬请读者仔细甄别。当然答案计算过程中不免有不少错误，敬请原谅并修改。

第一节 不定积分的概念

1.求下列不定积分：

33

5

3

64642

2112111(1)(.

4643*4646

x x dx x x x C x x x C +-=+-+=+-+⎰ 3341

(2)(5)(5)(5)(5).

4

x dx x d x x C -=---=--+⎰⎰

11421131

3333222223

(3)(32)63.34dx x x x x dx x x x x C --=+++=++++⎰⎰

2242

4242

422

311111(4)()()(1)1111

arctan .

3

dx x x dx dx dx dx x x dx x x x x x x x x x x C ------=+=+=-+++++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰

22

233(5)(3)33arctan .11x dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰

113

2222

(6)().3x x dx x C -=+=+⎰

(7)(2sin 4cos )2cos 4sin .x x dx x x C -=--+⎰ 22

1

(8)(3sec )(3)3tan .cos x dx dx x x C x

-=-

=-+⎰⎰ 222

22sin 3cos 1

(9)(tan 3)(2)tan 2.cos cos x x x dx dx dx x x C x x ++==+=++⎰⎰⎰

22222sin 3cos (10)3tan .cos cos x x dx dx x x C x x

+-==-+⎰⎰

2

22sin tan 11

cos (11)(cos ).cos cos cos cos sin 22

x x x dx dx d x C x x x x x ==-=+-⎰⎰⎰

22cos 2cos sin (12)(cos sin )sin cos .

cos sin cos sin x x x

dx dx x x dx x x C x x x x

-==+=-+--⎰⎰⎰

2221

(13)tan .1cos 21cos sin 2cos 2

dx dx dx x C x x x x ===+++-⎰

⎰⎰ 22

252(14)(51)(52*51)5.

2ln 5ln 5x x

x

x

x

dx dx x C +=++=+++⎰⎰ 121(15)(2()).

35ln

2ln 335

x

x x

x

x

x e e dx C +-=--+⎰ (16)(1(

.

x x

x x e dx e dx e C -=-=-⎰⎰ 221

(17)(cos sin 2arctan arcsin .

14

x dx x x x C x -

=--++⎰

1

137

2

4

4

44(18).

7x x dx x dx x C ===+

⎰⎰

2

12(19)2312.ln12

x

x x

x

dx dx C ==+⎰⎰

3

(20)sin )sin )arcsin cos .2

x dx x dx x x C +=+=

-+⎰⎰

222.(),(,())2,(2,5).'()2,()'()2.

(2)5,45,1,1y f x x f x x f x x f x f x dx C xdx C x C f C C y x ===+=+=+=+===+⎰⎰求一曲线它在点处的切线的斜率为且过点解：设那么

令那么于是有因此函数曲线满足条件。3.(),().f x f x 已知满足给定的关系式试求

(1)'()1,(0);1

'(),1

()ln .

xf x x f x x

f x dx x C x =>=

==+⎰解：可得那么 2

'()

(2)

1,(0);'(), ().

2

f x x x

f x x x f x xdx C =>===+⎰解：可得那么有

212(3)()'()1,(0);

[()'()]1,

()

,

2

()f x f x x f x f x dx dx f x C x C f x =>=+=+=⎰⎰解：可知于是有 因此有 12'()

(4)

1,(()0);()'()

1,()

ln[()],().

x f x f x f x f x dx dx f x f x C x C f x Ce =>=+=+=⎰⎰解：可知于是有 因此有 第二节 换元积分与分部积分法

1.用凑微分法求下列不定积分：

1(56)1

(1)ln 56.565565

dx d x x C x x -==-+--⎰

⎰ 12

(2)()ln ln 21.

(12)21

dx dx x x C x x x x =-=-++++⎰

⎰

33

2

2332

2

122(3)[(1)(1)]2331

[(1)(1)].

3

x x C

x x C ==+--+=+--+