定积分的简单应用 说课稿 教案 教学设计
定积分在几何中的应用 说课稿 教案 教学设计
定积分在几何中的简单应用教学目标：1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 教学重点： 应用定积分解决平面图形的面积； 教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数． 教学过程设计（一）、复习引入，激发兴趣。
【教师引入】展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积 油画图片问：桥拱的面积如何求解呢？ (二)、探究新知，揭示概念【热身训练】练习１．计算dx x ⎰--2224 ２．计算 ⎰-22sin ππdx x【热身训练】练习３．用定积分表示阴影部分面积【学生活动】思考口答【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.22222214⨯=-⎰-πdx x 0sin =⎰-ππdx xyx ππ图2（三）、分析归纳，抽象概括探究由曲线所围平面图形的面积解答思路ab XA0 yAab曲边梯形（三条直边，一条曲边）ab XA0 y曲边形面积 A=A 1-A 2a b1xyN M Oa b AB CD)(1y f x =)(2y f x =xy N M O abAB CD)(1x f y =)(2x f y =（四）、知识应用，深化理解例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：201yxx x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1200xdx x dx =-⎰⎰，所以⎰120S =x x )dx 32130233x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =x 轴所围图形的面积S.分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点．解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．解方程组2,4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2488442[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰⎰⎰334828220442222140||(4)|3323x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．课堂练习如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h ， 宽为常数b ．求证：抛物线拱的面积bh s 32=h b。
高中数学 第四章 定积分 4.3 定积分的简单应用 4.3.2 简单几何体的体积教案 北师大版选修22
4.3.2简单几何体的体积一、教学目标1、理解定积分概念形成过程的思想；2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。
二、 学法指导本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用，建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问题。
三、教学重难点：重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题；难点；数学模型的建立及被积函数的确定。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合五、教学过程（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？（二）新课探析问题：函数()y f x =，[],x a b ∈的图像绕x 轴旋转一周，所得到的几何体的体积V = 。
2[()]ba V f x dx π=⎰ 典例分析例1、给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体。
求它的体积。
学生阅读课本P89解：圆锥体的体积为x ∆12310033V x dx x πππ===⎰变式练习1、求曲线x y e =，直线0x =， 12x =与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
答案：)(12-e π；例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。
分析：解此题的关键是如何建立数学模型。
将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。
则A ，B 坐标可得，再求出直线AB 和抛物线方程，“冰激凌”可看成是由抛物线弧OB 和线段AB 绕X 轴旋转一周形成的。
解：将其轴载面按下图位置放置，并建立如图的坐标系。
则),(012A ， ),(44B ，设抛物线弧OA 所在的抛物线方程为：px y 22=，代入),(44B 求得：2=p∴抛物线方程为：x y 42=（0≥y ）设直线AB 的方程为：12+=qy x ，代入),(44B 求得：2-=q∴直线AB 的方程为：621+-=x y ∴所求“冰激凌”的体积为：3401242232246212)()()(cm dx x dx x ππ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+⎰⎰ 变式练习2如图一，是火力发电厂烟囱示意图。
《定积分的简单应用》教学设计
《定积分的简单应用》教学设计七教学过程师生活动设计意图（一）知识回顾复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义、微积分的基本定理。
问题：如何用定积分和平面图形的面积有怎样的联系？【学生活动】思考后请一位同学回答。
【课件展示】图１图２(),()0(),()0babaf x dx f xsf x dx f x⎧≥⎪=⎨⎪-≤⎩⎰⎰问题：怎样计算定积分的值？【学生活动】思考口答【课件展示】微积分的基本定理（二）新课讲授：例1：求如图所示阴影部分的面积培养学生复习的学习习惯。
复习定积分的几何意义七教学过程特征，联系我们以前的知识将问题化简后再解答，提高效率.【课件展示】解答过程【抽象概括】一般地，设由(),()y f x y g x==以及直线,x a x b==所围成的平面图形的面积为S，则[]()()()()b b ba a aS f x dx g x dx f x g x dx=-=-⎰⎰⎰.【学生活动】思考、探究、讨论【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗？这就需要通过实践来检验。
问题：下面两个图是否满足上述公式？【成果展示】邀请一位同学把自己的成果展示给大家例3：求图中所示阴影部分的面积【课件展示】解答过程【学生活动】学生独立思考【成果展示】邀请一位同学把自己的成果展示给大家完成了一般理论和具体问题的有机结合，初步达到了识记的目标，突显了教学重点。
探索到的结果通过实践，学生都得到了一些解题心得，及时指导学生进行抽象归纳，便是探究的阶段小结，得到解题的一般方法。
定积分在几何中的应用 说课稿 教案 教学设计
定积分在几何中的应用【教学目标】1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【教法指导】本节学习重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．本节学习难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【教学过程】 ☆探索新知☆探究点一 求不分割型图形的面积思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可． 例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S .因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC —S 曲边梯形OABD ＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x ＝23x 32|10－13x 3|10＝23－13＝13. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2－4y ＝－x ＋2 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x )|2－3＝252－(－253)＝1256. 探究点二 分割型图形面积的求解思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S .解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图．解方程组⎩⎨⎧ y ＝2x ，y ＝x －4得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)．直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)．因此，所求图形的面积为S ＝S 1＋S 2＝ʃ402x d x ＋[]ʃ 842x d x －ʃ 84x －4d x＝22332x |40＋22332x |84－12(x －4)2|84 ＝403.方法二 把y 看成积分变量，则S ＝ʃ40(y ＋4－12y 2)d y ＝(12y 2＋4y －16y 3)|40 ＝403. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 解 画出图形，如图所示．得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝ʃ10[x －(－13x )]d x ＋ʃ31[(2－x )－(－13x )]d x ＝ʃ10(x ＋13x )d x ＋ʃ31(2－x ＋13x )d x ＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程．解 如图，设切点A (x 0，y 0)，其中x 0≠0，由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 02，0)，＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112. ∴x 0＝1，从而切点为A (1,1)，切线方程为2x －y －1＝0.反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 3|10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －x 2，y ＝kx ，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.。
定积分在物理中的应用 说课稿 教案 教学设计
定积分在物理中的应用教材分析本节内容是求变速直线运动物体的路程和求变力作功等问题，解决这些问题的关键是将它们化归为定积分的问题．通过本节的学习，使学生了解应用定积分解决实际问题的基本思想方法，知道求变速直线运动物体的路程和求变力所作的功时，定积分是一种普遍适用的方法，初步了解定积分具有广泛的应用．同时，在解决问题的过程中，通过数形结合、化归的思想方法，加深对定积分几何意义的理解．课时分配1课时．教学目标知识与技能目标1．应用定积分解决变速直线运动的路程和变力作功问题；2．学会将实际问题化归为定积分的问题．过程与方法目标能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法，强化化归思想的应用．情感、态度与价值观培养将数学知识应用于生活的意识．重点难点重点：应用定积分解决变速直线运动的路程和变力作功问题，使学生在解决问题过程中体验定积分的价值．难点：将实际问题化归为定积分问题．教学过程引入新课提出问题：作变速直线运动的物体其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)，在时间区间[a，b]上所经过的路程s如何用积分表示？活动设计：以提问的形式让学生回答．设计意图让学生认识到定积分在物理学中有着广泛应用．探究新知提出问题1：一辆汽车的速度—时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．活动设计：学生独立完成，再将一学生的做题步骤进行投影，然后共同分析． 活动结果：由速度—时间曲线可知：v(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤10，30，10≤t ≤40，－1.5t ＋90，40≤t ≤60.因此汽车在这1 min 行驶的路程是s ＝∫1003tdt ＋∫401030dt ＋∫6040(－1.5t ＋90)dt ＝32t 2|100＋30t|4010＋(－34t 2＋90t)|6040＝1 350(m)． 答：汽车在这1 min 行驶的路程是1 350 m.设计意图通过物理学中“求变速直线运动的路程”这个实例，不但加强学生对之前所学知识的进一步理解，又让学生掌握了如何将实际问题化归为定积分的问题并加以解决的方法．提出问题2：此问题还可以如何解决？活动设计：学生先自己思考，然后相互交流．活动成果：由变速直线运动的路程公式和定积分的几何意义，可知路程即为图中的梯形OABC 的面积，故有S ＝(30＋60)×302＝1 350(m)． 设计意图使学生进一步从数形结合的角度理解定积分的概念，并解决问题． 理解新知提出问题1：一物体在恒力F(单位：N)的作用下作直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s(单位：m)，则力F 所作的功为W ＝F·s.那么，如果物体在变力F(x)的作用下作直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b(a<b)，那么如何计算变力F(x)所做的功W 呢？活动设计：学生先自己思考，然后相互交流．活动成果：与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题，可以得到W ＝∫b a F(x)dx.设计意图让学生通过类比求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的方法，探究得出求变力作功也可用定积分解决．提出问题2：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，求克服弹力所作的功．活动设计：学生独立思考，找一个学生板书．活动成果：在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力F(x)与弹簧拉伸(或压缩)的长度x 成正比，即F(x)＝kx ，其中常数k 是比例系数．由变力作功公式，得到W ＝∫l 0kxdx ＝12kx 2|l 0＝12kl 2(J)． 答：克服弹力所作的功为12kl 2 J. 设计意图通过上面变力作功的积分表示，将其应用于实际问题，加深学生的理解．运用新知例A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t) m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离；(2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间．分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s 等于其速度函数v ＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a ，b]上的定积分，即s ＝∫b a v(t)dt.解：(1)设从A 到C 所用的时间为t 1，则1.2t 1＝24，t 1＝20(s)，则AC ＝∫2001.2tdt ＝0.6t 2|200＝240(m)．答：A 、C 间的距离为240 m.(2)设D 到B 的时间为t 2，则24－1.2t 2＝0，t 2＝20(s)，则DB ＝∫200(24－1.2t)dt ＝(24t －0.6t 2)|200＝240(m)．答：B 、D 间的距离为240 m.(3)CD ＝7 200－2×240＝6 720(m)，则从C 到D 的时间为6 72024＝280(s)，则所求时间为20＋280＋20＝320(s)． 答：电车从A 站到B 站所需时间为320 s.巩固练习物体A 以速度v ＝3t 2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B 也以速度v ＝10t(米/秒)在同一直线上与A 同方向运动，问多少时间后A 比B 多运动5米，此时，A 、B 走的距离各是多少？分析：依题意，物体A 、B 均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解．解：A 从开始到t 秒所走的路程为s A ＝∫t 0(3t 2＋1)dt ＝t 3＋t.B 从开始到t 秒所走的路程为s B ＝∫t 010tdt ＝5t 2，由题意：s A ＝s B ＋5，即t 3＋t ＝5t 2＋5，解得t ＝5(秒)．此时：s A＝53＋5＝130(米)，s B ＝5×52＝125(米)．答：5秒后A 比B 多运动5米，此时，A 、B 走的距离分别是130米和125米． 变练演编1．一台打桩机将一木桩打入地下，每次打击所作的功相等，土壤对木桩的阻力与木桩进入土壤的深度成正比，第一次打击将木桩打入1米深，求第二次打入的深度．2．弹性物体所受的压力与缩短的距离之间的关系依照胡克定理F ＝kx(k 是常数)计算，现有弹簧一个，原长有1 m ，每压缩1 cm 时需力5 N ，求自80 cm 压缩至60 cm 时需作功多少？答案：1.思路分析：功是力对位移的积累，抓住两次作功相等，列出定积分表达式，求解即可．解：因土壤对木桩的阻力与木桩进入土壤的深度s 成正比，设其比例系数为k ，则由题意知∫10ksds＝∫x1ksds，解得x＝2，故第二次打入的深度为(2－1) m.点评：本题关键是抓住两次作功相等，搞清积分上限和积分下限．2．解：由题意知比例系数k＝50.01＝500，弹簧被压缩20 cm到被压缩40 cm，需作功W＝∫0.40.2500xdx＝30(J)．点评：此题属于常规题型，应注意单位统一用国际单位制．达标检测1．一物体沿直线以v＝2t＋3的速度运动，求物体在t∈[3,5]内行进的路程为__________．2．物体作变速直线运动的速度为v(t)，当t＝0时，物体所在的位置为s0，则在t1秒末时它所在的位置为()A．∫t10v(t)dt B．s0＋∫t10v(t)dtC．∫t10v(t)dt－s0D．s0－∫t10v(t)dt3．汽车以每小时32千米的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度大小2 m/s2匀减速刹车，则从开始刹车到停车，汽车走了约()A．19.75 m B．20.76 mC．22.80 m D．24.76 m4．一物体在力F(x)＝3x＋4(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4处，求力F(x)所作的功为__________．答案：1.22 2.B 3.A 4.40 J课堂小结1．知识收获：用定积分求变速直线运动的路程和变力作功问题．2．方法收获：数形结合方法．3．思维收获：数形结合、化归的思想．布置作业课本习题1.7A组第5,6题．补充练习基础练习1．某质点作直线运动，其速度v(t)＝3t2－2t＋3，则它在2秒内所走的路程是________________________________________________________________________．2．如果1 N能拉长弹簧1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，需作功()A ．0.18 JB ．0.26 JC ．0.12 JD ．0.28 J3．物体作变速直线运动的速度为v(t)＝1－t 2，则它前两秒走过的路程为__________． 拓展练习4．由截面积为 4 cm 2的水管往外流水，打开水管t 秒末的流速为v(t)＝6t －t 2(cm/s)(0≤t ≤6)．试求：t ＝0到t ＝6秒这段时间内流出的水量．5．物体按规律x ＝4t 2(米)作直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10米/秒时，阻力为2牛，求物体从x ＝0到x ＝2阻力所作的功．答案：1.10 2.A 3.2 4.144 cm 3 5.－25焦 设计说明通过物理学中变速直线运动的路程问题、弹簧作功问题，既可以加强学生对之前所学知识的进一步应用，又能让学生掌握如何将实际问题化归为定积分的问题并加以解决，突破本节课的难点，让他们体验到数学在现实生活中的灵活运用．通过相应的练习，让学生学会运用所学知识解决实际问题，将数学知识运用到生活中来．备课资料17世纪以来，原有的几何和代数已难以解决当时生产和自然科学所提出的许多新问题，例如：如何求物体的瞬时速度与加速度，如何求曲线的切线及曲线长度(行星路程)、矢径扫过的面积、极大、极小值(如近日点、远日点、最大射程等)、体积、重心、引力等等．尽管牛顿以前已有对数、解析几何、无穷级数等成就，但还不能圆满或普遍地解决这些问题．当时笛卡儿的《几何学》和瓦里斯的《无穷算术》对牛顿的影响最大．牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术(微分)和反流数术(积分)，反映在1669年的《运用无限多项方程》、1671年的《流数术与无穷级数》、1676年的《曲线求积术》三篇论文和《原理》一书中，以及被保存下来的1666年10月他写的在朋友们中间传阅的一篇手稿《论流数》中．所谓“流量”就是随时间而变化的自变量，如x 、y 、s 、u 等，“流数”就是流量的改变速度，即变化率等．他说的“差率”“变率”就是微分．与此同时，他还在1676年首次公布了他发明的二项式展开定理．牛顿利用它还发现了其他无穷级数，并用来计算面积、积分、解方程等等.1684年莱布尼兹从对曲线的切线研究中引入了拉长的S 作为微积分符号，从此牛顿创立的微积分学被迅速推广．(设计者：孙娜)实习作业走进微积分教材分析数学史已成为数学课程的有机组成部分，当前的数学课程改革需要数学史，数学教育的发展离不开数学史．通过对本节课的学习，让学生了解数学对推动社会发展的作用、数学的社会需求、社会发展对数学的推动作用、数学的思想体系、数学的美学价值、数学家的创新精神等，从而激发学生的学习兴趣．课时分配1课时．教学目标知识与技能目标通过收集微积分创立的时代背景和历史意义的有关材料，了解微积分的研究对象及基本概念，体会微积分在数学思想史和科学思想史上的价值．过程与方法目标培养学生合作学习和自主学习的能力，提高自学能力．情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神．重点难点重点：微积分创立的时代背景和历史意义．难点：体会微积分在数学思想史和科学思想史上的价值．教学方法问题驱动、自主探究、合作学习．教学过程引入新课微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，微积分中的基本概念有极限、导数、积分等，导数、定积分都是微积分中的核心概念．探究新知提出问题1：请同学们收集介绍“微积分”的有关书籍，了解微积分的研究对象以及微积分的基本概念．活动设计：两个学生一组，展示自己收集到的材料，并思考上述问题；必要时，允许合作、讨论、交流；教师巡视指导，及时发现问题，解决问题．活动成果：1．研究对象：微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支．2．极限：设函数f(x)在点x 0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数δ，使得当x 满足不等式0<|x －x 0|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)－A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当x →x 0时的极限．函数极限的通俗定义：设函数y ＝f(x)在(a ，＋∞)内有定义，如果当x →＋∞时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A ，则称A 为当x 趋于＋∞时函数f(x)的极限．记作limf(x)＝A ，x →＋∞.3．导数：导数是微积分中的重要概念，导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限．在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分．可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导．4．定积分：设函数f(x)在[a ，b]上有定义，任取分点a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b ， 将[a ，b]分成n 个小区间[x i －1，x i ](i ＝1,2，…，n)，记Δx i ＝x i －x i －1(i ＝1,2，…，n)为每个小区间的长度，λ＝max 1≤i ≤a {Δx i }，并在每个小区间上任取一点ξi (x i －1≤ξi ≤x i )，得出乘积f(ξi )Δx i 的和式∑i ＝1n f (ξi )Δx i .若λ→0时，和式的极限存在，且此极限值与区间[a ，b]的分法及点ξi 的取法无关，则称这个极限值为函数f(x)在[a ，b]上的定积分，记为∫b a f(x)dx ，即∫b a f(x)dx ＝lim λ→0∑i ＝1nf (ξi )Δx i . 这里f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 叫积分变量，[a ，b]叫积分区间，a 称为积分下限，b 称为积分上限．若f(x)在[a ，b]上的定积分存在，则说f(x)在[a ，b]上可积．提出问题2：微积分的创立不仅是数学思想史上的里程碑，也是科学思想史上的里程碑．请同学们总结一下历史上对微积分创立和发展的一些重要评价．活动设计：学生自由发言．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在学生的不断补充、纠正下，会趋于完善．活动成果：师生共同概括出历史上对微积分的创立和发展的评价：微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力．微积分的创立绝不是某一个人的业绩，它必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的．应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼兹的工作也都是很不完善的．他们在无穷和无穷小量这个问题上其说法不一，十分含糊．牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼兹的也不能自圆其说．这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生．直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础，才使微积分进一步地发展开来．提出问题3：微积分的创立具有悠久的历史渊源，请同学们介绍历史上我国和古代欧洲有关微积分思想的一些代表性工作．活动设计：学生先独立思考，必要时允许学生自愿合作、讨论、交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在学生的不断补充、纠正下，会趋于完善．活动成果：公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想．比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣”，包含着“无限细分，无限求和”的思想；再如，我国隋代赵州桥的37米的大石拱桥，用长方形条石砌成，包含了“以曲代直”的思想．提出问题4：微积分的创立有深刻的时代背景，当时的技术对数学提出了许多要求．请同学们通过收集欧洲文艺复兴到17世纪期间的社会、经济状况、科学发展、航运等情况，介绍他们对数学提出的要求．活动设计：学生独立思考，自由发言．学情预测：开始学生的回答可能不全面，随着学生的不断补充，逐渐趋于全面．活动成果：背景：十六世纪社会实践活动进入了一个新的时期，开普勒根据长期的天文观测资料，总结出行星运动的三大定律；伽利略发现了自由落体运动规律，即s ＝12gt 2，费尔马对极值的研究等等出现了许多新的发现．对数学提出的要求：到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素．归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；第二类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力问题．十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔马、笛卡儿、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献．课堂小结1．微积分创立的背景及意义．2．在数学思想史和科学思想史上的价值．。
定积分的简单应用教案市公开课一等奖教案省赛课金奖教案
定积分的简单应用教案一、教学目标：1. 理解定积分的概念及其在实际问题中的应用；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够应用定积分解决简单应用问题。
二、教学内容：1. 定积分的概念及其性质；2. 定积分的计算方法和基本性质；3. 定积分在实际问题中的应用。
三、教学重难点：1. 定积分的概念和计算方法；2. 定积分在实际问题中的应用。
四、教学过程：1. 导入与激发兴趣（5分钟）引导学生回顾不定积分的概念和性质，引发学生对定积分的好奇和兴趣。
2. 定积分的概念和计算方法（20分钟）a. 介绍定积分的概念：定积分是对函数在一定区间上的值进行求和的极限过程，表示函数在这个区间上的总量。
b. 讲解定积分的计算方法：i. 用一组割线逼近曲线下的面积；ii. 分割区间，用矩形逼近曲线下的面积；iii. 讲解Riemann和Darboux定义；iv. 使用不等式判断积分的上限和下限。
3. 定积分的基本性质（15分钟）a. 讲解定积分的线性性质；b. 讲解定积分的区间可加性；c. 引导学生理解定积分的平均值性质。
4. 定积分在实际问题中的应用（30分钟）a. 通过具体的实际问题，引导学生应用定积分解决问题，如：i. 曲线下的面积计算；ii. 曲线长度计算；iii. 物体在一定时间内的位移计算。
b. 引导学生分析问题，确定所给问题可以通过定积分求解。
5. 拓展与巩固（20分钟）通过课堂练习和教师引导，进一步巩固学生对定积分的理解和应用能力。
六、教学评价：1. 课堂练习的完成情况；2. 学生对定积分概念的理解和计算方法的掌握；3. 学生对定积分在实际问题中的应用能力。
七、教学反思：本节课通过引导学生回顾不定积分的概念和性质，引发学生对定积分的兴趣，再结合具体的实际问题进行教学，使学生能够理解定积分的概念和计算方法，并能够应用定积分解决简单的实际问题。
同时，通过课堂练习和教师引导，巩固了学生的学习成果。
综上所述，本节课教学效果较好。
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
学习目标：通过求解平面图形的体积了解定积分的应用。
学习重点：定积分在几何中的应用
学习难点：求简单几何体的体积.
学法指导：探析归纳
一、课前自主学习 (阅读课本内容找出问题答案).
1.定积分定义.
2旋转几何体的体积是根据旋转体的一个 ,再进行求出来的.
3解决的关键(1)找准旋转体
(2)通过准确建系,找出坐标,确定 .
二、课堂合作探究：
1.给定直角边为1的等腰直角三角形,绕一条直角边旋转一周,得到一个圆锥体,求它的体积.
2.一个半径为1的球可以看成是由曲线与x轴所围成的区域(半圆)绕x轴旋转一周得到的 ,求球的体积.
三、当堂检测.
1.将由直线=x,x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周,得到一
个圆台,利用定积分求该圆台的体积.
2. 求由直线,x轴,轴以及直线x=1围成的'区域绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积.
3．求由双曲线,直线x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.
四、巩固练习.
1 .将由曲线=x和所围成的平面图形绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积
2．求半椭圆绕x轴旋转一周所得到的旋转体的
体积.
3.求由曲线 ,直线x=1以及坐标轴围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.
五、课堂小结：
※学习小结：1. 定积分应用之二求旋转几何体的体积。
2. 旋转几何体体积的求法。
六、我的收获：
七、我的疑惑:。
定积分应用 教案
定积分应用教案教案标题：定积分应用教学目标：1. 了解定积分的概念和基本性质。
2. 掌握定积分的应用方法，包括计算曲线下面积、计算物体体积等。
3. 培养学生运用定积分解决实际问题的能力。
教学准备：1. 教师准备：教师课件、教学实例、计算器等。
2. 学生准备：课本、笔记本、计算器等。
教学过程：Step 1：引入定积分的概念（10分钟）1. 教师通过课件或者黑板，简要介绍定积分的概念和基本性质，如曲线下面积的计算、物体体积的计算等。
2. 引导学生思考，定积分与不定积分的区别和联系。
Step 2：计算曲线下面积（20分钟）1. 教师通过示例，详细讲解如何利用定积分计算曲线下面积。
2. 引导学生理解定积分的几何意义，即曲线下面积的极限概念。
3. 给予学生练习的机会，让他们通过计算不同曲线下面积的例子，巩固所学知识。
Step 3：计算物体体积（20分钟）1. 教师通过实例，讲解如何利用定积分计算物体的体积。
2. 引导学生理解定积分的物理意义，即物体体积的极限概念。
3. 给予学生练习的机会，让他们通过计算不同物体体积的例子，巩固所学知识。
Step 4：应用实际问题（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，如水池的蓄水量、材料的质量等，引导学生运用定积分解决问题。
2. 学生分组讨论，解决给定的实际问题，并展示解决过程和结果。
Step 5：总结和拓展（10分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调定积分的应用方法和意义。
2. 鼓励学生拓展思考，提出更多与定积分相关的实际问题，并探索解决方法。
教学要点：1. 定积分的概念和基本性质。
2. 计算曲线下面积的方法和几何意义。
3. 计算物体体积的方法和物理意义。
4. 运用定积分解决实际问题的能力。
教学扩展：1. 鼓励学生自主学习，深入了解定积分的更多应用领域，如概率统计、经济学等。
2. 提供更多实际问题，让学生运用定积分解决，培养他们的应用能力。
3. 引导学生进行小研究，探索定积分的相关定理和性质，拓展他们的数学思维。
定积分在几何中的简单运用说课稿
《定积分在几何中的应用》说课稿三津中学毛庆莉大家下午好.我说课的题目是《定积分在几何中的应用》，内容选自于新课程人教A版选修2－2第一章第7节。
我将从教材分析，教法学法分析，教学过程分析这三大方面阐述我对这节课的分析和设计。
一、教材分析1、教材的地位和作用定积分的应用是在学生学习了定积分的概念，计算，几何意义之后，对定积分知识的总结和升华。
通过学习定积分在几何中的简单应用，掌握用定积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中体会导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值。
这部分内容也是学生在高等学校进一步学习高等数学的基础，是高中数学与高等数学的在教学内容上的衔接。
2、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标）1、知识与技能目标：通过对本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的思想和方法。
2、过程与方法目标：通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，同时体会到数学研究的基本思路和方法。
3、情感态度与价值观目标：通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养将数学知识运用于生活的意识。
3、教学重点与难点1、重点：应用定积分解决平面图形的面积，在解决问题的过程中体验定积分的价值。
要把握这个重点，要真正掌握有一定的难度，因此，本节课的难点确定为2、难点:如何把平面图形的面积问题化归为定积分问题,如何恰当选择积分变量和确定被积函数。
二、教法，学法分析1教法分析应用型的课题是培养学生观察，分析，发现，概括，推理和探索能力的极好素材，本节课主要采取“教师启发引导与学生自主探究相结合”的教学方法：即学生在老师引导下，观察发现、自主探究、合作交流、由特殊到一般、由感性到理性主动建构新知识，充分体现了教师的主导作用和学生的主体地位.2学法分析“授人以鱼，不如授人以渔”,教是为了不教,一定要让学生自己去发现，去探索。
定积分的应用说课稿
《定积分的简单应用 — 平面图形的面积》说课稿本节课是在学生学习了定积分的定义，定积分的几何意义以及定积分的计算后，对定积分的应用价值的进一步探求。
一、教学目标：【知识与技能】：会根据定积分的几何意义建立求简单曲边梯形面积问题的数学模型，并能利用牛顿—莱布尼茨公式进行计算。
【过程与方法】：理解建立实际问题积分模型的基本过程和方法，并体会其中的数形结合的思想。
【情感态度价值】：通过运用积分方法解决实际问题的过程，体会到微积分定理在求简单曲边梯形面积时的巨大作用。
二、教学过程设计意图：学生的求知欲。
（一）复习回顾：1．定积分的几何意义 2．牛顿—莱布尼茨公式 （二）新课推进：【问题1】求图中阴影部分的面积.本问题将课本的例题稍加改变。
第（1）问学生在理解定积分几何意义的基础上容易解决；第（2）问可以根据第一问的结论和正弦函数的对称性直接得到，也可以利用当()0f x ≤时，由()y f x =与x a =，x b =和x 轴所围成的曲边梯形的面积()ba S f x dx =-⎰得到，这样可以让学生进一步理解定积分的几何意义，也为处理第（3）问做好铺垫。
通过此例，学生会初步感受到定积分的工具性作用与O应用价值。
【问题2】求抛物线2y x =与直线2y x =围成的平面图形的面积.学生经历了上面的求解过程，对定积分的几何意义有了更深刻的认识。
通过交流、引导，总结出此类平面图形面积的求法。
（三）问题解决：用已经掌握的方法求解引入的问题，感受定曲边积分在求曲边梯形面积时的巨大作用。
（四）深入理解：【问题3】求图中阴影部分的面积.尝试处理较复杂的平面图形的面积。
（五）课堂小结：及时小结，掌握常见面积类型的求法。
（六）课堂活动：结合本节所学知识，自己设计出一些平面图形的面积，与同学互换求解。
学生自己设计图形，加深对知识的理解和应用。
（七）课后作业：课后练习题2，课本第95页复习题A组5，8.三、教法与学法教法：本节课充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学原则，展现获取知识和方法的思维过程。
湖北省巴东一中高二数学教案 选修2-2：1.7定积分的简单应用第1课时
§1.7.1 定积分在几何中的应用【学情分析】：在上一阶段的学习中，已经学习了利用微积分基本定理计算单个被积函数的定积分，并且已经理解定积分可以计算曲线与x轴所围面积。
本节中将继续研究多条曲线围成的封闭图形的面积问题。
学生将进一步经历到由解决简单问题到解决复杂问题的过程，这是一个研究问题的普遍方法。
学生能正确的理解定积分的几何意义，是求面积问题的基础。
但是对各种图形分割的技巧以及选择x－型区域或y－型区域计算是比较陌生的。
突破点是一定要借助图形直观，让学生清楚根据曲线的交点划分图形（分块）以及根据曲线的特点（解出变量x还是y简单）选择x－型区域或y－型区域。
【教学目标】：（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．【教学重点】：（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。
（2）数形结合的思想方法【教学难点】：利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．教学环节教学活动设计意图一、例题1（1）师：我们已经看到，定积分可以用来计算曲边梯形的面积，事实上，利用定积分还可以求比较复杂的平面图形的面积。
（2）例题1 计算由曲线22,y x y x==所围图形的面积S。
1DC BA1y2=xy=x2O xy生：思考，讨论师（引导，总结）：例1是求由两条抛物线所围成的平面图形的面积．第一步，画图并确定图形大致形状、引入课题的面积．师：我们把这个题目提升为一般类型：即求两条曲线所夹面积：若函数()f x 和()g x 在区间[],a b 上连续且在[],a b 上有()()f x g x ≥,那么由y ＝f (x )，y ＝g （x ）,x =a ,x =b 所围成的有界区域面积为b[()()]d aA f x g x x =-⎰＝b()d af x x ⎰－b()d ag x x ⎰－＝A y=g(x)baOxyy=f(x)我们看到，尽管我们的证明的示意图中曲线()y f x =与()y g x =的均在x 轴上方，但是，由1.6的学习我们可以知道，曲线()y f x =或()y g x =在x 轴下方也不影响我们的证明，结论仍然是正确的。
定积分的简单应用 说课稿 教案 教学设计
情感、态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
重点目标
曲边梯形面积的求法
难点目标
定积分求体积以及在物理中应用
导入示标
复习
1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？
（1）P从原点出发，当t=6时，求点P离开原点的路程和位移；
（2）P从原点出发，经过时间t后又返回原点的t值；
解答：略
例2在某一温度下，直径为0.2米，高为0.8米上端为活塞的圆柱体内某空气的压强P与体积V的函数关系式子为 而正压力F与压强P的函数关系为 其中，S为受力面积，设温度保持不变，要使气体的体积缩小为原来的一半，求活塞克服气体压力做功多少？
3、微积分基本定理是什么？
2、定积分的应用
应用一：利用定积分求平面图形的面积
例1（2014山东）直线 与曲线 在第一象限内围成的封闭图形的面积是多少？
解答：略。
例2由抛物线 与直线 及 所围成的面积是多少？
解答：略
例3求由抛物线 与直线 所围成图形的面积？
应用二：定积分在物理中的应用
例1有一动点P沿着X轴运动，在时间t时的速度为 （速度的方向与X轴正方向一致）
解答：设活塞运动距离为x米，则活塞受到的压强为
，从而活塞受到的压力为
克服活塞气体压力做功为：
应用三：综合性问题
A,B两站相距7.2千米，一辆电车从A开往B，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t，到C点的速度为24米每秒，从C带你到B站前的D点匀速行驶，从D点开始刹车，经过时间ts后速度为（24-1.2t）在B点恰好停车，试求（1）A,C间的距离，（2）B,D间的距离（3）电车从A站到B站所用时间
最新定积分在几何中的简单应用教学设计04344
定积分在几何中的简单应用教学设计04344《定积分在几何中的简单应用》教学设计成师生互动的教学氛围。
六教学过程师生活动设计意图（一）课前准备：复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义.（二）情景引入：展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积【课件展示】课题：定积分在几何中的简单应用油画图片问：桥拱的面积如何求解呢？答：……【学生活动】本环节安排学生讨论，自主发现解决问题方向——定积分跟面积的关系，（三）新课讲授：【热身训练】练习１．计算«Skip Record If...»２．计算«Skip RecordIf...»【学生活动】思考口答【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.«Skip Record If...» «Skip Record If...»【热身训练】练习３．用定积分表示阴影部分面积培养学生复习的学习习惯。
激发学生们的求知欲和探索欲，设下悬念，以激发学生的探索激情，为后面作开启性的铺垫。
复习定积分的几何意义yxππy教学过程【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗？这就需要通过实践来检验。
【例题实践】例１．计算由曲线«Skip Record If...»与«Skip Record If...»所围图形的面积．【师生活动】探究解法的过程.1.找到图形----画图得到曲边形.2.曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.3.定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.4.计算定积分.【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.【课件展示】解答过程解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组«Skip Record If...»得到交点横坐标为«Skip Record If...»及«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»曲边梯形OABC «Skip Record If...»曲边梯形OABD «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»【例题实践】例２．计算由«Skip Record If...»与«Skip Record If...»所围图形的面积.【师生活动】讨论探究解法的过程通过探究，发现并掌握数学学科研究的基本过程与方法巩固了学生的作图能力，在寻找曲边梯形的过程中提高了学生的想象能力。
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分是求曲线下的面积的方法强调定积分是极限的概念1.2 定积分的几何意义利用图形解释定积分表示曲线下的面积探讨定积分与区间的关系1.3 定积分的性质介绍定积分的四则运算讲解定积分的奇偶性第二章：定积分的计算方法2.1 定积分的标准公式介绍定积分的标准公式强调积分常数的存在2.2 定积分的换元法讲解定积分的换元法步骤举例说明换元法的应用2.3 定积分的分部积分法介绍定积分的分部积分法探讨分部积分法的应用第三章：定积分在几何中的应用3.1 求曲线的弧长利用定积分求曲线的弧长强调弧长公式的应用3.2 求曲面的面积引入曲面的面积概念利用定积分求曲面的面积3.3 求旋转体的体积介绍旋转体的体积公式利用定积分求旋转体的体积第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分在力学中的应用利用定积分求物体的质心利用定积分求物体的转动惯量4.2 定积分在电磁学中的应用利用定积分求电场强度利用定积分求磁场强度第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分在优化问题中的应用利用定积分求最大值和最小值问题强调优化问题的实际意义5.2 定积分在概率论中的应用利用定积分求概率密度函数的积分5.3 定积分在评价问题中的应用利用定积分求函数的最大值和最小值问题强调定积分在评价问题中的作用第六章：定积分在生物学中的应用6.1 定积分在生长模型中的应用引入生长模型，如细胞的分裂利用定积分描述生物体的生长过程6.2 定积分在药物动力学中的应用介绍药物在体内的浓度变化利用定积分求药物的动力学参数第七章：定积分在工程学中的应用7.1 定积分在力学工程中的应用利用定积分计算结构的受力情况探讨定积分在材料力学中的应用7.2 定积分在热力学中的应用利用定积分求解热传导方程强调定积分在热力学中的重要性第八章：定积分在计算机科学中的应用8.1 定积分在图像处理中的应用介绍图像处理中的边缘检测利用定积分计算图像的边缘利用定积分计算曲线的长度强调定积分在图形学中的作用第九章：定积分的数值计算9.1 梯形法则介绍梯形法则及其原理利用梯形法则进行定积分的数值计算9.2 辛普森法则介绍辛普森法则及其适用条件利用辛普森法则进行定积分的数值计算9.3 数值计算方法的比较比较梯形法则和辛普森法则的优缺点强调选择合适的数值计算方法的重要性第十章：定积分在实际问题中的应用10.1 定积分在资源管理中的应用利用定积分计算资源的总量探讨定积分在资源管理中的分配问题10.2 定积分在环境保护中的应用利用定积分计算污染物的浓度强调定积分在环境保护中的作用10.3 定积分在其他领域的应用探讨定积分在人口学、社会学等领域的应用强调定积分在解决实际问题中的重要性重点和难点解析重点一：定积分的概念与几何意义定积分是微积分中的一个重要概念，它表示的是曲线下的面积。
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为∫ab f(x)dx。
强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。
1.2 定积分的性质介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。
通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。
第二章：定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数，∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。
解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。
2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。
通过具体例子演示换元法的应用。
第三章：定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。
利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。
3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。
通过具体例子演示计算曲线围成的面积。
第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。
利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。
4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算功的应用。
第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。
利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。
5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算总收益的应用。
第六章：定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念：随机变量在某个区间内的概率。
利用定积分计算概率密度，示例包括均匀分布、正态分布等。
《定积分的简单应用》课件讲解学习
0
[解析] v＝ddxt＝(bt3)′＝3bt2， 媒质阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k为比例常
数，k>0.
当x＝0时，t＝0，当x＝a时，t＝ab13，
ds＝vdt，故阻力做的功为W阻＝
t
kv2·vdt＝k
t
v3dt＝k
t
0
0
0
(3bt2)3dt＝277k3 a7b2.
• [点评] 本题常见的错误是在计算所做的功 时，误将W阻＝∫t10F阻ds写为∫t10F阻dt.
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点 的路程和位移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时 的t值．
• [解析] (1)由v(t)＝8t－t2≥0得0≤t≤4， • 即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动， • 当t>4时，P点向x轴负方向运动． • 故t＝6时，点P离开原点的路程
对于已知运动规律求做功的问题，首先确定其运动速 度，进而由 ds＝vdt 来确定做功的积分式 W＝t Fvdt.
0
6．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝ 0到tA＝.13gt0t20所走的路程为B（．gt20 )
C.12gt20
D.16gt20
[答案] C
[解析] 如果变速直线运动的速度为v＝v(t)(v(t)≥0)，
那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程是bv(t)dt， a
∴
＝12gt2t00 ＝12g(t20－0)＝12gt02.故应选C.
7．如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉 长6cm，所耗费的功为
()
A．0.18J
B．0.26J
C．0.12J
D．0.28J
[答案] A
定积分的应用,教学设计
定积分的简单应用教学设计_定积分的应用,教学设计教案课题定积分的应用教学目标知识目标①理解微元法的原理；②借助Matlab软件，掌握运用定积分求解实际应用问题。
能力目标①培养学生在信息化条件下查阅、检索资源的能力；②能利用数学软件计算定积分；③培养学生的观察和分析能力，进一步发展学生的应用数学能力和创新能力。
素养目标①创设愉悦的学习情境，让学生处于积极思考、大胆质疑的学习气氛中，提高学生的学习兴趣和课堂效率；②在团队协作氛围中，培养学生的职业能力和职业素养。
教学重点微元法的基本步骤，运用微元法解决实际问题，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。
教学难点根据实际问题做出图形，确定积分变量、积分区间，运用数学建模思想求解实际问题。
教学资源课件；智慧职教空间；世界大学城空间课程；爱课程MOOC网站教学参考书高职高专“十二五”规划教材《应用数学》、“十二五”职业教育国家规划教材《高等数学》作业①课后巩固课堂内容；②利用网络资源，自主拓展学习定积分求解实际问题；③进一步学习并掌握Matlab软件的应用。
教学过程设计教学环节教学内容教学环境、教学方法、资源时间(分钟)任务准备利用手机、电脑等智能设备，通过QQ群、微信群发布预习任务书，让学生重温定积分概念、定积分的计算、定积分的几何意义。
爱课程网站，世界大学城空间、QQ群、微信等课前图片讨论引入新课1.引例：展示赵州桥图片思考：古老赵州桥的拱形的面积怎样计算？引入定积分应用的新课学习内容。
2.展示洒水车等不同图片思考：找到图中所示图片的内在联系，引出微元法。
观看图片资源，播放PPT1.展示法2.引导互动10学习新知掌握重点1.微元法：分割取近似，作和求极限（1）“分割、取近似”，将区间作任意分割，任取一子区间[]，得到所求量的局部近似值；（2）“作和、求极限”，将各子区间的近似值相加，并求极限..2.微元法求解步骤第一步：选取积分变量，并确定其变化区间第二步：在内任取一小区间，求了这个子区间对应的部分量的一个合理近似值，得到积分微元第三步：得问题U的定积分表达式.播放PPT，利用matlab软件演示微元法的解题思路。
定积分的应用教学设计比赛一等奖
定积分的应用教学设计比赛一等奖3.1定积分的应用：平面图形的面积教材分析:《定积分的简单应用》是人教版选修2-2第1章第7节的内容，从题目中可以看出这节教学的要求，就是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。
在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。
教学构思：应用型的课题是培养学生观察分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材，本节课通过创设情景、问题探究、抽象归纳、巩固练习、应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生们掌握定积分解题的规律，体会数学学科研究的基本过程与方法。
学情分析：知识层面，学生已经学习了定积分的定义，由来及微积分基本定理。
在定积分与曲边梯形面积关系中，许多学生默认相等，这就与定积分本质相违背。
能力层面，学生有一定的推理和探索能力，面对知识点，学生还需有归纳概括的能力。
还需体会数学学科研究的基本过程与方法。
情感层面，学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，有待加强。
教学理念：以学生发展为主线。
新型的教学方式，新型的呈现方式。
教学目标：知识与技能：1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.过程与方法：通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。
情感态度与价值观：通过教学过程中的观察思考总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识应用于生活的意识。
教学重点：利用定积分求平面图形的面积教学难点：将实际问题化归为定积分的问题。
如何恰当选择积分变量和确定被积函数。
教学方法：问题诱导启发讨论探索结果，直观观察、抽象归纳、总结归纳等方式，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围。
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定积分的简单应用【学习目标】1.会用定积分求平面图形的面积。
2.会用定积分求变速直线运动的路程3.会用定积分求变力作功问题。
【要点梳理】要点一、应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]b baaS f x dx f x g x dx ==-⎰⎰2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]bb baaaS f x dx f x dx g x f x dx ==-=-⎰⎰⎰3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积：()caS f x dx =+⎰()bcf x dx ⎰＝()c af x dx -⎰＋()bcf x dx ⎰.4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积：1212[()()]()()b b baaaS f x f x dx f x dx f x dx =-=-⎰⎰⎰要点诠释：研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积；② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤（1）画出图形；（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。
要点三、定积分在物理中的应用① 速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即()baS v t dt =⎰.②变力作功物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W =()baF x dx ⎰.要点诠释：1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。
应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。
2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。
【典型例题】类型一、求平面图形的面积【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
【解析】 201y xx x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1）， 面积S=1120xdx x dx =-⎰⎰，所以13112320021211d d 33333S x x x x x x ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰【总结升华】1. 两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
2. 在直角坐标系下求平面图形的面积的四个步骤： ⑴．作图象；⑵．求交点，定积分上、下限； ⑶．用定积分表示所求的面积； ⑷．微积分基本定理求定积分。
举一反三：【变式1】（2015 天津）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 .【答案】16【解析】已知两条曲线交于点（0，0）和（1，1），且在此两点之间直线在抛物线上方，因此1122300111()236S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰。
【变式2】求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。
【答案】所求图形的面积为dy dy y f y g S y ⎰⎰⨯-=-11224)()()(【＝e e y y 210224224log |)log -=⨯-=（例2． 计算由直线y=x ―3和抛物线y 2=4x 所围成的平面图形的面积。
【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间。
【解析】 画出直线y=x ―3和曲线y 2=4x 。
则所求平面图形的面积为如图1-5-3-7所示的阴影部分面积，解方程组234y x y x=-⎧⎨=⎩得交点A （1，―2），B （9，6）。
又直线y=x ―3与x 轴交于点D （3，0），过A 、D 作x 轴的垂线把阴影分割成 S 1、S 2、S 3、S 4四部分，则根据定积分的几何意义有1234S S S S S =+++3913313d [2(3)]d 2d (3)d x x x x x x x x x =+-+-+-⎰⎰⎰⎰9313333222221003441413333232x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32448149491327273399333232322⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-+-⋅++--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 4143(1843)22133=-++=。
【总结升华】 从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与两个曲线三角形面积的差，进而可以用定积分求出面积。
为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出直线与曲线的交点的横坐标。
举一反三：【变式1】(2015春 哈尔滨校级期末)由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭的图形的面积为（ ）A.32ln 2+B.3C.223e - D.e 【答案】由题意，直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭的图形如图：直线2y x =与曲线2y x =的交点为（1,2）， 所以阴影部分的面积为：121010122|2ln |3e exdx dx x x x+=+=⎰⎰，故选B 。
【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例2】 【变式2】计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S.【答案】作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为上图阴影部分的面积．解方程组2,4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2488442[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰⎰⎰334828220442222140||(4)|3323x x x =+-=. 类型二、求变速直线运动的路程例3．物体A 以速度231v t =+在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B在物体A 的正前方5m 处以10v t =的速度与A 同向运动，问当两物体何时相遇？相遇时物体A 的走过的路程是多少？（时间单位为：s ，速度单位为：m/s ） 【思路点拨】对速度函数积分即可得物体A 所走过的路程，从而根据题意建立方程进行求解。
【解析】设A 追上B 时,所用的时间为0t 依题意有B 5A S S =+即20(31)105t t t dx tdx +=+⎰⎰，3200055t t t +=+，22000(1)5(1)t t t +=+，0t =5 (s)所以 A S =2055t +=130 (m)因此5秒后两物体相遇，此时物体A 走过了130米。
【总结升华】利用定积分解决物理问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。
应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。
举一反三：【变式】一辆汽车的速度-时间曲线如图1-5-3-9，求该汽车在这1 min 内行驶的路程。
【答案】由图象可得3 [0,10)()30 [10,40)1.590 [40,60]t t v t t t t ∈⎧⎪=∈⎨⎪-+∈⎩，由变速直线运动的路程公式可得10406010403d 30d ( 1.590)d S t t t t t =++-+⎰⎰⎰6010402210040333090135024t t t t ⎛⎫=++-+= ⎪⎝⎭。
故该汽车在1 min 内行驶的路程是1350 m 。
类型三、求变力做功例4. 一物体在变力236()(N)F x x =作用下沿坐标平面内x 辆正方向由x=8处运动到x=18处，求力()F x 做的功。
【思路点拨】对变力F 进行定积分即可得变力所作的功。
【解析】 如右图，阴影部分的面积即()F x 所做的功。
1818128836d 36S x x x -==-⎰1195(3618)(368)(2)22--⎛⎫=-⋅--⋅=---= ⎪⎝⎭， ∴()F x 做的功5J 2W =。
【总结升华】求变力作功问题，一般利用定积分加以解决，但要注意寻找积分变量与积分区间。
举一反三：【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例5】 【变式】求证： 把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W = G ·()Mmhk k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径．【答案】 根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f = G ·122m m r ，其中G 为引力常数． 则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·2()Mmk x +故该物体从地面升到h 处所做的功为0()h W f x =⎰d x =20()h Mm G k x ⋅+⎰·d x = GMm 21()h k x +⎰dx = GMm 01()|hk x -+ =11()()MnhGMm G k h k k k h -+=⋅++． 类型四、定积分的综合应用例5. 在曲线y=x 2（x ≥0）上某一点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，求： （1）切点A 的坐标。
（2）过切点A 的切线方程。
【思路点拨】切线的斜率即是函数在切点处的导数值,再由积分式算出围成图形的面积。
【解析】 如图，设切点A （x 0，y 0），由y ＇=2x 知过A 点的切线方程为y ―y 0=2x 0(x ―x 0)，即2002y x x x =-。