余弦定理1

（二）抽象概括，建模探究
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
的夹角为∠C，求边c.
c2 a2 b2 2ab cos C
﹚
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B
（二）抽象概括，建模探究
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
（一）设置情境，体验精彩
某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过 这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置C，量 出C到山脚A、B的距离，分别是CA=8km，CB=5km ，再 利用经纬仪（测角仪）测出B对山脚AB的张角，∠C=60。 最后通过计算求出山脚的长度AB。
问题1：△ABC确定吗？
cosC = a2 + b2 - c2 2ab
a2=b 2+c-22bccosA
2 22
b =c +a-2accosB
c2=a2
2
+b-2abcosC
（3）判断三角形的形状，求三角形的面积
坐标法
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
C 证明
几何法
余弦定理作为勾股定理
b
a
的推广，考虑借助勾股定
理来证明余弦定理。
Ac
B
当角C为锐角时
A
b
c
C
aD
B
当角C为钝角时
A c
b
D
Ca
B
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
变式训练1 已知在△ABC中，a:b:c＝2: 6:( 3＋1)， 求△ABC的各角度数．
（五）典例剖析，拓展提升
解：∵a:b:c＝2: 6:( 3＋1)， 令a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的推论得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝26×＋ 6×3＋ 132＋－14＝ 22，∴A＝45°. cosB＝a2＋2ca2c－b2＝42＋×2×3＋ 13＋2－16 ＝12，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
问题2：本题能用正弦定 理解答吗？
A
问题3：如何用学过的数学知识 解答这个问题？
2021/2/13
B C
（二）抽象概括，建模探究
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
解的:设夹C角B为∠aC,，C求A边cb. ,
AB
c
由向量减法的三角形法则得
c ab
c
2
c
c
(a
b)
(a
b)
（四）欣赏定理，加深理解
2.勾股定理也能刻画三边平方关系，它与余弦定理有什么 关系？
余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特 例．
角 A 为钝角⇔__a_2_>_b_2＋___c2____， 角 A 为直角⇔__a_2＝___b_2＋__c_2__， 角 A 为锐角⇔__a_2_<_b_2_＋__c_2__.
1.证明定理: 向量法、解析法、几何法
2.余弦定理
a2=b 2+c-22bccosA
2 22
b =c +a-2accosB
c2=a2
2
+b-2abcosC
3.由余弦定理知
cosA = b2 + c2 - a2 ， 2bc
cosB = c2 + a2 - b2 ， 2ca
cosC = a2 + b2 - c2 2ab
A90 a2b2c2
A90 a2b2c2
A90 a2b2c2
4.余弦定理适用于任何三角形
5.余弦定理的作用
（1）已知三边求三个 角；（SSS）
（2）已知两边和它们 的夹角，求第三边和 其他两个角. (SAS)
cosA = b2 + c2 - a2 2bc
cosB = a2 + c2 - b2 2ac
aa2a
b b
b
2
2a
2a
b b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
﹚
向量法
（二）抽象概括，建模探究
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
的夹角为∠C，求边c.
c2 a2 b2 2ab cos C ﹚ a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b A
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2
a b2sin2Ac2b2cos2A2bccos A
c
b2c22bccos A
D
B 同理有：b2 a2c22accos B
c2Leabharlann Baidu2b22abcosC
当然，对于钝角三角形来说，证明 类似，课后 自己完成。
归纳 A
余弦定理
a2=b2+c2-2bc·cosA
（四）欣赏定理，加深理解
3.利用余弦定理可解决哪些类型的解斜三角形问题？
余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分 别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式， 便可求出第四个量来．
利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题： (1)已知三边，求_各__角__； (2)已知两边和其中一个角，求第__三__边___和__其__他__两__个__角_．
sin2 A sin2 B sin2 C 2sinB sinC cos A
练习: 求sin2 700 sin2 500 sin 700 sin 500的值.
解 :原式 sin2 700 sin2 500 2sin700 sin500 cos600
sin2 600 3 4
课堂小结
（五）典例剖析，拓展提升
[点评] 1．解三角形时，应先分析题设条件，如本题属于“SAS” 型，先用余弦定理求 a，在此基础上，可以利用余弦定理计 算角 B 或 C 的余弦值，也可以利用正弦定理计算角 B 或 C 的正弦值． 2．常用余弦定理解答两类题目“SAS”或“SSA”型及“SSS” 型．
（五）典例剖析，拓展提升
1.如何欣赏定理？（对余弦定理的理解） (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其
中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边 与角的一种数量关系．
(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边 角关系的互化．
（五）典例剖析，拓展提升
类型二 判断三角形的形状 [例 2] 在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc 且 sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC 的形状．
（五）典例剖析，拓展提升
[解] ∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， ∴a2＝b2＋c2－bc. 又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，则 2cosA＝1， ∴A＝60°. 又∵sinA＝sin(B＋C)
（五）典例剖析，拓展提升
[解] 在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－ 2AD·BD·cos∠ADB，
设BD＝x，则有142＝102＋x2－2×10xcos60°， 即x2－10x－96＝0， 解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°. 在△BCD中，由正弦定理得BC＝sin11635°·sin30°＝8 2.
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cos C
推论：
b
a
Ac
B
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 cos C a 2 b2 c2
2ac
2ab
（四）欣赏定理，加深理解
剖析 剖 析 定 理
（4）能否把式子a2 b2 c2 2bccos A 转化为角的关系式？
分析： 由 正 弦 定 理: a b c 2R sin A sin B sinC
得 : a 2Rsin A b 2RsinB c 2RsinC 代入a2 b2 c2 2bc cos A并化简得 :
余弦定理
复习回顾 正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变形：a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinC
a : b : c sinA : sinB : sinC
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 AAS （2）已知两边和一边的对角。SSA
AB 7km
A
B
C
2021/2/13
（五）典例剖析，拓展提升
类型一 利用余弦定理解三角形 [例1] 在△ABC中，已知b＝3，c＝2 3，A＝30°，求 边a、角C和角B.
（五）典例剖析，拓展提升
[解] 直接应用余弦定理： a2＝b2＋c2－2bccosA ＝32＋(2 3)2－2×3×2 3×cos30°＝3， ∴a＝ 3. ∴cosB＝a2＋2ca2c－b2＝ 32×2＋32×322－3 32＝12. ∴B＝60°， ∴C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.
＝sinBcosC＋cosBsinC ＝2sinBcosC， ∴sin(B－C)＝0，∴B＝C. 又∵B＋C＝120°， ∴△ABC 是等边三角形．
（五）典例剖析，拓展提升
类型三 正、余弦定理的综合应用 [例3] 如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD ＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的 长．
的夹角为∠C，求边c.
y
(bcosC,bsinC)
c (b cosC a)2 (bsin C 0)2
b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin2 C
b2 a2 2abcosC
﹚
(0，0)
则c2 a2 b2 2ab cos C
(a,0)x
同理可得：
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
解决实际问题
某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过 这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置C，量 出C到山脚A、B的距离，分别是CA=8km，CB=5km ，再 利用经纬仪（测角仪）测出B对山脚AB的张角，∠C=60。 最后通过计算求出山脚的长度AB。
解：AB2 82 52 258 cos 60 49
c b b2=c2+a2-2ca·cosB
B a C c2=a2+b2-2ab·cosC 三角形任何一边的平方
你等于能其用他两文边字平方说的明和减吗去？
这两边与它们夹角的余弦的
积的两倍。
（三）归纳共性，形成定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等 于其他两边的平方的和减去这两边与它 们夹角的余弦的积的两倍. 即 C