力矩的时间累积效应刚体的角动量定理.pptx
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力矩、角动量定理和刚体.ppt
转动动能
1 2 Ek mi vi i 2 1 1 2 2 2 ( mi ri ) J 2 i 2
36
刚体绕定轴转动的动能定理 1 2 2 d d Jd W Md J 1 1 1 dt 2 1 1 2 2 W Md J 2 J1 1 2 2
例
相对不同参考点A、B，计算重力矩和角动量
参考点A： 重力矩 角动量 参考点B： 重力矩 角动量
A
v
mg
d1
M mgd 1
L0
d2
B
M mgd 1
L mvd2
（三)
质点对轴的角动量定理及守恒
dL z Mz dt
§4.2 质点系的角动量定理
1、质点系的角动量 2、质点系的角动量定理 3、角动量守恒 4、绕某一轴的圆周运动
该直线称作转轴。
对定轴转动的描述：角坐标。一个自由度。
刚体转动的角速度和角加速度 z 角坐标 (t )
沿逆时针方向转动 > 0 沿顺时针方向转动 < 0 角位移 (t t) (t) 角速度 角加速度
O
ω
d P(t)
r P’(.t+dt)
.
x
d lim t 0 t dt
I m r r dm
2 j j 2 j
dm：质量元 d V ：体积元
r dV
2 V
说明 刚体的转动惯量与以下因素有关：
（1）与刚体的几何形状及质量分布有关． （2）与转轴的位置有关．
平行轴定理
质量为m 的刚体， 如果对其质心轴的转动 惯量为 I C ，则对任一与 该轴平行，相距为 d 的 转轴的转动惯量
3-(5)角动量矩定理.ppt
10
C：开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一 部分朝另一反方向旋转。
11
例1 质量为M、半径为R的转台，可绕通过中心的竖直轴转动。
质量为m的人站在边沿上，人和转台原来都静止。如果人沿台 边缘奔跑一周，求对地而言，人和转台各转动了多少角度？
解： 以地面为参照系， 建立轴的正方向如图： 以M、m为研究对象
刚体的转动定律
质点的角动量
d d ( I ) M I I dt dt 刚体的角动量 L I 刚体角动量定理 dL M 的微分形式 dt
在t1→t2，刚体的角速度由ω 1→ ω 2 刚体角动量定理积分形式：
L r mv I
20
3.4-1 力矩的功
3.5-1 角动量和角冲量
A
f
i
M d
L I
H
t
t0
Mdt
3.4-2 转动动能定理
3.5-2 角动量定理
A Md
t H Mdt L I I0
t0
3.5-3 角动量守恒定律
1 2 1 2 I I 0 2 2
M
人
m
M
外力矩
0
台
x
故：角动量守恒
12
若人和转台的角速度分别为 因人和台原来都静止， 故角动量为零。
人 , 台
人
m
I人 I台 0
1 2 mR 人 MR 台 0 2
2
台
x
M
M 人 台 2m
t 0
人
力矩的时间累积效应刚体的角动量定理
力矩的时间累积效应刚体的角动量定理力矩是一个非常重要的概念，在物理学中有广泛的应用。
力矩是由施加在刚体上的力产生的，它对物体的角动量有直接的影响。
力矩的大小等于力在垂直于力的作用线上的距离与力的大小的乘积。
力矩既可以使物体转动，也可以改变物体的转动状态。
刚体的角动量定理描述了外力对刚体的角动量产生的影响。
角动量定理可以表示为：\[\frac{{\Delta L}}{{\Delta t}} = M_n\]其中，ΔL是物体在时间Δt内的角动量的变化，M_n是刚体的合外力矩。
这个方程说明了外力对刚体角动量的改变率是力矩。
角动量定理的解释是，当一个刚体受到一个力矩的作用时，其角动量将发生改变。
外力矩是由施加在物体上的所有力矩之和。
外力矩可以通过计算所有作用力的力矩之和得到。
外力矩越大，刚体的角动量变化越大。
重要的是要注意，这个角动量定理适用于刚体。
对于质点来说，可以将刚体看作是一个质点，并将其质量集中在一个点上。
因此，对于质点，角动量定理也适用。
力矩的时间累积效应是指力矩对刚体角动量的积累作用。
当外力施加在刚体上一段时间后，会导致角动量的累积变化。
这是因为力矩在一段时间内对刚体的作用会积累产生更大的角动量变化。
例如，我们将一根悬挂在一个轴上的刚体上施加一个力。
在一段时间内，力矩将会产生一个初始的角动量，并且随着时间的推移，角动量将不断积累。
这是因为力矩在每个时间间隔内的作用都会增加角动量的变化。
力矩的时间累积效应还可以通过另一个实例来说明。
考虑一个旋转的滚筒，在初始时刻没有任何外力矩作用在上面。
当我们施加一个外力矩时，滚筒将开始旋转。
如果我们保持外力矩的大小和方向不变，滚筒将继续旋转。
然而，如果我们改变外力矩的大小或方向，滚筒的角动量将发生变化。
角动量的变化是根据力矩的改变率来计算的。
这意味着力矩的时间累积效应将导致角动量的变化。
进一步分析力矩的时间累积效应，我们需要考虑刚体的质量分布和外力的作用时间。
大学物理课件 第3章 动量 角动量
例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
-力矩的时间累积效应
6mv0
(M 3m)l
23
3-2 力矩对时间的累积效应
例3 摩擦离合器 飞轮1：J1、 w1 摩擦轮2： J2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到 的共同角速度。
解：两轮对共同转轴的角动量守恒
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从
t1到 t2内，角速度从ω1变为 ω2，积分可得：
t2
t1
Mdt
I2
I1
非刚体定轴转动的角动量定理
t2
t1
Mdt
I 22
I11
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0，则 L I =常量
14
3-2 力矩对时间的累积效应
讨论
➢ 守恒条件 M 0
若 I 不变，不变； 若 I 变， 也变，但 L I 不变.
刚体定轴转动描述 L I，Ek I2 2
0, p 0
0, p 0
pi
pj
2
3-2 力矩对时间的累积效应
1 质点的角动量
zL
v
速度 时对
质Ov的量在位为空矢间m为运的动r质，，点质某以
点L对Or的 角p动r量 mv
r
m
xo
y
L
v
r
大小L rmv sin
L 的方向符合右手法则
角动量单位：kg·m2·s-1
·m
f
r
o r
vdt
为一不变量
L
r
p
即为一不变量
8
3-2 力矩对时间的累积效应
例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平 面内. 一质量为 m 的小 球穿在圆环上, 并可在 圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A 点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略 去不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角 动量和角速度．
力矩时间累积效应冲量矩、角动量、角动量定理
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的角动量和刚体的角动量
质点运动状态的描述 p
刚体定轴转动运动状态的描述
0, p 0
LmvJ0E,kpEkm0vJ222
2
pi
p j
第四章 刚体转动
4 – 3 角动量 角动量守恒定律 一 质点的角动量和刚体的角动量
物理学教程 （第二版）
1 质点角动量
质点在垂直于 z 轴平面
z
上以角速度 作半径为 r
的圆运动.
or
mv
L质点r角动p量（r相 对m圆v心）
90
z
大小 L rmvsin L
应以多大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角 动量守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m( l )2 4
12v0 7l
第四章 刚体转动
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
12 v0
7l
角动量定理
M dL d(J) dJ
dt dt
A
mv
L rmv mr 2 （圆运动）
L 的方向符合右手法则.
r
第四章 刚体转动
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
2 刚体定轴转动的角动量
L mirivi ( miri2 )
z
i
i
L J
二 刚体定轴转动的角动量定理
物理学教程 （第二版）
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的角动量和刚体的角动量
质点运动状态的描述 p
刚体定轴转动运动状态的描述
0, p 0
LmvJ0E,kpEkm0vJ222
2
pi
p j
第四章 刚体转动
4 – 3 角动量 角动量守恒定律 一 质点的角动量和刚体的角动量
物理学教程 （第二版）
1 质点角动量
质点在垂直于 z 轴平面
z
上以角速度 作半径为 r
的圆运动.
or
mv
L质点r角动p量（r相 对m圆v心）
90
z
大小 L rmvsin L
应以多大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角 动量守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m( l )2 4
12v0 7l
第四章 刚体转动
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
12 v0
7l
角动量定理
M dL d(J) dJ
dt dt
A
mv
L rmv mr 2 （圆运动）
L 的方向符合右手法则.
r
第四章 刚体转动
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
2 刚体定轴转动的角动量
L mirivi ( miri2 )
z
i
i
L J
二 刚体定轴转动的角动量定理
力的时间累积效应：冲量、动量、动量定理.pptx
16
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
设跷板是匀质的，长度为l，质量为m'，
跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动， 演员的质量均为m．假定演员M落在跷板上， 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．
解 碰撞前M落在 A点的速度
vM (2gh)1 2
碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度
u l
2
第四章 刚体的转动
• 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。20.11.1608:39:0808:39Nov-2016-Nov-20
• 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。08:39:0808:39:0808:39Monday, November 16, 2020
• 13、志不立，天下无可成之事。20.11.1620.11.1608:39:0808:39:08November 16, 2020
二 刚体定轴转动的角动量定理
和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动
的角动量
L
mi ri 2
i
(
mi
ri2
)
i
L J
z
O ri
vi
mi
第四章 刚体的转动
7
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
2 刚体定轴转动的角动量定理
质M点i mi受ddLt合i 力d矩(dJMti()包括ddMt (iemx、iri
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
第四章 刚体的转动
12
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
例4 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一 端的演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?
3-2角动量定理
mgL
2
I 2 0
细棒以一端为转轴的转动惯量为： I mL2 / 3 代入得： 3 g / L
本题也可用机械能守恒定律求解，即：
1 2 1 I mgL 0 2 2
这说明，一般质点系的功能原理和机械能守恒定 律同样可用于刚体转动。
在刚体定轴转动中，机械能守恒定律的数学表达 式为：
1 2 I mghC 常数 2
其中：hC为刚体质心到重力势能零点的距离。
力的时间累积效应 力矩的时间累积效应 角动量定理.
冲量、动量、动量定理. 冲量矩、角动量、
二、角动量定理和角动量守恒定律
2 质点运动状态的描述 p mv Ek mv 2 刚体定轴转动运动状态的描述 L I Ek I 2 2 0, p 0 0, p 0
dL M dt
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 动量随时间的变化率.
dp F, dt
dL ? dt
dL M dt
t2
t1
M dt L2 L1
冲量矩
t1
t2
M dt
结论：合外力矩的角冲量等于物体角动量的增量， 即角动量定理。
被中香炉
说明：
1.物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速 度的乘积不变。 （1）对于定轴转动的刚体，其转动惯量I为常数，刚 体所受合外力矩为零时，角速度ω将保持不变，刚体 保持静止或匀角速转动。 （2）对于定轴转动的非刚体，转动惯量 是变化的。角动量守恒，即I和的乘积 保持不变。I ，I 2. 当研究的是质点与刚体的碰撞问题时，可以把质点和 刚体看成一个系统，在碰撞期间，由于系统所受的合外 力矩为零，所以可对系统应用角动量守恒定律。
冲量矩角动量及定理大学物理刚体部分资料ppt课件
v 及杆的转动角速度 。
解：在水平面上， 碰撞过程中系统角 动量守恒，
M ,2l
L0 L
mlv 0 mlv J
习题课 / 例5
（1）
o v0 m
弹性碰撞机械能守恒，
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
mv
0
2
1 mv 2
2
1 2
J2
J 1 M 2l2 1 Ml2
12
3
联立(1)、(2)式求解
（2）
v (3m M )v0 M 3m
L J
J mr 2 L rmv
L mr 2
§7.冲量矩角动量角动量定理 / 二、角动量定理
三、应用角动量定理解题方法
1.确定研究对象。
t
t0
Mdt L L0
2.受力分析（考虑产生力矩的力）。
3.规定正向，确定始末两态的角动量 L0 , L. 4.应用定理列方程求解。
例1：一冲击力 F，冲击一质量为 m、长为 l、 竖直悬挂细杆的未端，作用时间为 t , 求在 竖直位置时杆的角速度。
1.角动量
由冲量矩定义：tt0 Mdt
其中
M Jβ
t
t0
Mdt
t
t0
J βdt
d
dt
§7.冲量矩角动量角动量定理 / 二、角动量定理
t
t0
Mdt
t
t0
J dω dt
dt
0
Jd
J J 0 定义： L J 为角动量，
单位：千克米2/秒，kgm2/s
方向：与角速度方向一致。
2.角动量定理
②.对于非刚体，转动惯量发生变化的物体，
由于J =C，
J
J
解：在水平面上， 碰撞过程中系统角 动量守恒，
M ,2l
L0 L
mlv 0 mlv J
习题课 / 例5
（1）
o v0 m
弹性碰撞机械能守恒，
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
mv
0
2
1 mv 2
2
1 2
J2
J 1 M 2l2 1 Ml2
12
3
联立(1)、(2)式求解
（2）
v (3m M )v0 M 3m
L J
J mr 2 L rmv
L mr 2
§7.冲量矩角动量角动量定理 / 二、角动量定理
三、应用角动量定理解题方法
1.确定研究对象。
t
t0
Mdt L L0
2.受力分析（考虑产生力矩的力）。
3.规定正向，确定始末两态的角动量 L0 , L. 4.应用定理列方程求解。
例1：一冲击力 F，冲击一质量为 m、长为 l、 竖直悬挂细杆的未端，作用时间为 t , 求在 竖直位置时杆的角速度。
1.角动量
由冲量矩定义：tt0 Mdt
其中
M Jβ
t
t0
Mdt
t
t0
J βdt
d
dt
§7.冲量矩角动量角动量定理 / 二、角动量定理
t
t0
Mdt
t
t0
J dω dt
dt
0
Jd
J J 0 定义： L J 为角动量，
单位：千克米2/秒，kgm2/s
方向：与角速度方向一致。
2.角动量定理
②.对于非刚体，转动惯量发生变化的物体，
由于J =C，
J
J
角动量的时间变化率力矩续PPT课件
第5页/共26页
dm
2m rdr L2
df dm g 2m g
L2 rdr
dM rdf
z
r
df
o
dm
M
dM
L 0
2m g
L2
r 2dr
2 3
m gL
第6页/共26页
实际意义
f
f
等效
r
oR
z
df o
dm
r
半径 R ，质量 m 的匀质圆盘， 与桌面间摩擦系数 µ，求摩擦 力矩
简化模型：
1. 2. 3
4、炮弹的旋进
5、旋进现象在自然界广泛存在： 地球的旋进； 用电子在外磁场中的旋进解释物质的磁化的本质； …...
v
f
rc
mg
录像片：1－2－9 角动量守恒定律 10分钟
第25页/共26页
谢谢您的观看！
第26页/共26页
m L [例] 质量为 ，长为 的细杆在水平粗糙桌面上绕过其一端的竖直轴旋转，杆的密
度与离轴距离成正比，杆与桌面间的摩擦系数为 ，求摩擦力矩。
解： 设杆的线密度
kr
dm dr krdr
由 m dm
z
r
df
o
dm
L
krdr 1 kL2
0
2
得
2m k L2 ,
2m rdr dm L2
m m 滑动摩擦系数为 ，求 下落的加速度和两段绳中的张1 力。 2
m r m2
m1
与桌面间的
m2
ro m
m1
m m 解：在地面参考系中，选取 、 和滑轮为研究对象，分别运用牛顿定律和刚体
定轴转动定律得：
刚体的角动量PPT课件
应该理解和掌握。 如果忽略滑轮的质量，则有
T1
T2
m1m2 g m1 m2
15
第15页/共59页
例题6 长度为l、质量为m 的均匀棒悬挂在通过
其顶端的水平轴上，并可绕此轴在竖直平面内作
无摩擦的摆动。如果棒自由摆动通过平衡位置时，
低端的速率为v，试求：
（1）棒通过平衡位置时的转动动能;
（2）棒摆动的最大偏角m ； （3）在从平衡位置到达最大偏角m 的过程中， 在任一位置时棒的角加速度。
M z
dM z
l g m ldl 1 Lmg
0
L
2
（2）求角加速度
根据转动定律 Mz J
其中，棒相对一端的转动惯量
3 g
2L
J 1 mL2 3
角加速度为负值，表示为减速转动
22
第22页/共59页
（3）求外力矩撤去后棒转过的转数 选求转过的总角度。根据匀变速定轴转动规律
0 02 2
m2R2 )1
1 2
m1R22
2
1 2
m1R2 m2R2
1 2
m1R2
1
1 2
m1 1 2
m2 m1
1
2.31rad
s1
38
第38页/共59页
例3如图所示，细杆（l，m）可绕端点O的水平轴转动，从水 平位置自由释放，在竖直位置与物体M相碰，物体与地面摩擦 系数为μ，相撞后，物体沿水平地面滑行一段s 后停止。 求：碰后杆质心C离地最大高度，并说明杆向左右摆的条件。 解（1） 自由下落过程 （E守恒）
将 代入上式： o2 1 o2L
2 3 g
转动的转数为： n 1 o2L 2 6 g
（4）求摩擦力矩所作的功
刚体的角动量定理.ppt
i
内力对定点的力矩之和为零
M外
dL dt
其中 L Li
i
冲量矩
t2
t1
M外
d
t
L2 L1
dL
L2
L1
L
(1)质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量；
(2) 内力对定点的力矩之和为零，只有外力矩才能改变系 统的总角动量。
3. 质点系角动 量守恒定律 对质点系 M外 0
1. 质点系对定点的角动量
P2
L Li ri Pi
i
i
o r2
P1
r1
质点系对参考点O 的角动量就是质点系
所有质点对同一参考点的角动量的矢量
和。
2. 质点系的角动量定理
M i
i
i
dLi dt
M Mi ri Fi ri fi
i
i
i
ri fi 0
t2
M dt ΔL
质点所受合力矩的冲量矩 等于质点的角动量的增量
t1
说明 (1) 冲量矩是质点角动量变化的原因；
(2) 质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果。
3. 质点角动量守恒定律
r 若 M 0 dL 0
dt
r L
rr
r P
r C
M
dL
dt
常矢量
如果质点所受的合外力矩为零时, 则此质点的角 动量矢量保持不变. ──质点角动量守恒定律
§3.3力矩的时间累积效应——刚体的角动量定理
§3.3.1 质点角动量守恒定律
1. 质点的角动量
内力对定点的力矩之和为零
M外
dL dt
其中 L Li
i
冲量矩
t2
t1
M外
d
t
L2 L1
dL
L2
L1
L
(1)质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量；
(2) 内力对定点的力矩之和为零，只有外力矩才能改变系 统的总角动量。
3. 质点系角动 量守恒定律 对质点系 M外 0
1. 质点系对定点的角动量
P2
L Li ri Pi
i
i
o r2
P1
r1
质点系对参考点O 的角动量就是质点系
所有质点对同一参考点的角动量的矢量
和。
2. 质点系的角动量定理
M i
i
i
dLi dt
M Mi ri Fi ri fi
i
i
i
ri fi 0
t2
M dt ΔL
质点所受合力矩的冲量矩 等于质点的角动量的增量
t1
说明 (1) 冲量矩是质点角动量变化的原因；
(2) 质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果。
3. 质点角动量守恒定律
r 若 M 0 dL 0
dt
r L
rr
r P
r C
M
dL
dt
常矢量
如果质点所受的合外力矩为零时, 则此质点的角 动量矢量保持不变. ──质点角动量守恒定律
§3.3力矩的时间累积效应——刚体的角动量定理
§3.3.1 质点角动量守恒定律
1. 质点的角动量
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三 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0，则 L I =常量
➢ 守恒条件 M 0
若 I 不变，不变； 若 I 变， 也变，但 L I 不变.
➢ 内力矩不改变系统的角动量.
➢ 在冲击等问题中 M in M ex L 常量
➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
9
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
Fr1dt I11 I10 Fr2dt I22
r11 r22
F
2 2
01
1
19
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
Fr1dt I11 I10
01
Fr2dt I22
F
1
r11 r22
2 2
得：
1
I10r22
I2r12 I1r22
2
I10r1r2
I2r12 I1r22
解 碰撞前M落在 A点的速度
vM (2gh)1 2
碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度
I11
I1 I2
21
试与下例的齿轮啮合过程比较。
18
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
例4 两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心 垂直于盘面转轴的转动惯量为I1 、 I2，开始 1
轮以 0 转动，然后两轮正交啮合，求啮合后
两轮的角速度。
解：两轮绕不同轴转动，故对 两轴分别用角动量定理：
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
点击图片播放
10
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理 刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的 ， 如人手持哑铃的转动 ,芭蕾舞演员和花样滑冰运动 员作各种快速旋转动作, 都利用了对转轴的角动量 守恒定律。
11
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
的动量矩（角动量）
L
r
p
r
mv
大 小L rmv sin
L 的方向符合右手法则
zL
v
rm
xo
y
L
v
r
角动量单位：kg·m2·s-1 3
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
开普勒第二定律
4
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
讨论：行星的掠面速度与动量矩（角动量）
移为将v行d星t ,看矢为径质r点在,ddtt
20
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
例5 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一 端的演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?
M
h
N
C
A
B
l/2
l
21
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
设跷板是匀质的，长度为l，质量为m'，
跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动， 演员的质量均为m．假定演员M落在跷板上， 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．
量为m的小球以速度v0与杆的一端发生完全弹 性碰撞，求小球的反弹速度v及杆的转动角速
度。
解：在水平面上，系统 角动量守恒，
o v0 m
L0 L
mlv0 mlv I （1）
16
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
弹性碰撞动能守恒
1 2
mv02
1 2
mv2
1 2
I2
（2）
o
其中
I 1 M ( 2l )2 1 Ml2
时间内以速度 v 完成的位
时间内扫过的面积为dS。
d S 1 r vdt 2
掠面速度 dS 1 r v dt 2
·m
f
r
o
r
vdt
为一不变量
L r p 即为一不变量
5
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
质点以 作半径为 r 的圆
周运动，相对圆心的动量矩 （角动量）
L
p
7
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
M
dL
微分形式
dt
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从
t1到 t2内，角速度从ω1变为 ω2，积分可得：
t2 t1
Mdt
I2
I1
积分形式
t2 Mdt t1
冲量矩
非刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt
I 22
I11
8
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
m ,速度为 v0 。求 子弹细棒共同的角速度 。
解 子弹、细棒系统的角动量守恒
mv0 y I
其中
I
I棒
I子
1 ML2 3
my 2
1
mv0 y ML2 my2
3
讨论 水平方向动量守恒
Nx yv0mFra bibliotek153-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
例2：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量
为M、长为2l、可绕中心转动的细杆，有一质
1
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
一 角动量
质点运动描述
p
mv，Ek
mv2
2
刚体定轴转动描述 L I，Ek I2 2
0, p 0
0, p 0
pi
p j
2
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
1、质点的角动量
质量为m 的质点以速 度 v 在空间运动，某时对 O 的位矢为 r ，质点对O
o
m r
L rm v mr2 I
2 刚体定轴转动的角动量
L
mi ri 2
i
(
miri2 )
i
L I
z
O ri
vi
mi
6
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
二 刚体定轴转动的角动量定理
L I
由于刚体转动惯量为一常量
所以 dL I d I M
dt dt
即
M
dL
dt
称刚体定轴转动 的角动量定理
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
直线运动的描述（线量）： 位移、速度、加速度、力、动量、冲量、
动量定理、动能、动能定理…
定轴转动运动的描述（角量）： 角位移、角速度、角加速度、角力（力
矩）、角动量、角冲量（冲量矩） 、角动 量定理、转动动能、转动动能定理…
12
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
13
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律
电荷守恒定律
能量守恒定律
质量守恒定律
角动量守恒定律
宇称守恒定律等
四 角动量定理、角动量守恒的应用
14
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
例：一均质棒，长度为 L，质量为M，现有子 弹在距轴为 y 处水平射入细棒，子弹的质量为
12
3
联立(1)、(2)式求解
v (3m - M)v0 M 3m
6mv0
(M 3m)l
v0 m
17
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
例3 摩擦离合器 飞轮1：I1、 1 摩擦
轮2： I2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两 轮达到的共同角速度。
解：两轮对共同转轴的角动量守恒
I11 I1 I2
若 M 0，则 L I =常量
➢ 守恒条件 M 0
若 I 不变，不变； 若 I 变， 也变，但 L I 不变.
➢ 内力矩不改变系统的角动量.
➢ 在冲击等问题中 M in M ex L 常量
➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
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3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
Fr1dt I11 I10 Fr2dt I22
r11 r22
F
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01
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3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
Fr1dt I11 I10
01
Fr2dt I22
F
1
r11 r22
2 2
得：
1
I10r22
I2r12 I1r22
2
I10r1r2
I2r12 I1r22
解 碰撞前M落在 A点的速度
vM (2gh)1 2
碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度
I11
I1 I2
21
试与下例的齿轮啮合过程比较。
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3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
例4 两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心 垂直于盘面转轴的转动惯量为I1 、 I2，开始 1
轮以 0 转动，然后两轮正交啮合，求啮合后
两轮的角速度。
解：两轮绕不同轴转动，故对 两轴分别用角动量定理：
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
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3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理 刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的 ， 如人手持哑铃的转动 ,芭蕾舞演员和花样滑冰运动 员作各种快速旋转动作, 都利用了对转轴的角动量 守恒定律。
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3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
的动量矩（角动量）
L
r
p
r
mv
大 小L rmv sin
L 的方向符合右手法则
zL
v
rm
xo
y
L
v
r
角动量单位：kg·m2·s-1 3
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
开普勒第二定律
4
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
讨论：行星的掠面速度与动量矩（角动量）
移为将v行d星t ,看矢为径质r点在,ddtt
20
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
例5 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一 端的演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?
M
h
N
C
A
B
l/2
l
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3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
设跷板是匀质的，长度为l，质量为m'，
跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动， 演员的质量均为m．假定演员M落在跷板上， 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．
量为m的小球以速度v0与杆的一端发生完全弹 性碰撞，求小球的反弹速度v及杆的转动角速
度。
解：在水平面上，系统 角动量守恒，
o v0 m
L0 L
mlv0 mlv I （1）
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3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
弹性碰撞动能守恒
1 2
mv02
1 2
mv2
1 2
I2
（2）
o
其中
I 1 M ( 2l )2 1 Ml2
时间内以速度 v 完成的位
时间内扫过的面积为dS。
d S 1 r vdt 2
掠面速度 dS 1 r v dt 2
·m
f
r
o
r
vdt
为一不变量
L r p 即为一不变量
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3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
质点以 作半径为 r 的圆
周运动，相对圆心的动量矩 （角动量）
L
p
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3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
M
dL
微分形式
dt
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从
t1到 t2内，角速度从ω1变为 ω2，积分可得：
t2 t1
Mdt
I2
I1
积分形式
t2 Mdt t1
冲量矩
非刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt
I 22
I11
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3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
m ,速度为 v0 。求 子弹细棒共同的角速度 。
解 子弹、细棒系统的角动量守恒
mv0 y I
其中
I
I棒
I子
1 ML2 3
my 2
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mv0 y ML2 my2
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讨论 水平方向动量守恒
Nx yv0mFra bibliotek153-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
例2：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量
为M、长为2l、可绕中心转动的细杆，有一质
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3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
一 角动量
质点运动描述
p
mv，Ek
mv2
2
刚体定轴转动描述 L I，Ek I2 2
0, p 0
0, p 0
pi
p j
2
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
1、质点的角动量
质量为m 的质点以速 度 v 在空间运动，某时对 O 的位矢为 r ，质点对O
o
m r
L rm v mr2 I
2 刚体定轴转动的角动量
L
mi ri 2
i
(
miri2 )
i
L I
z
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vi
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3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
二 刚体定轴转动的角动量定理
L I
由于刚体转动惯量为一常量
所以 dL I d I M
dt dt
即
M
dL
dt
称刚体定轴转动 的角动量定理
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
直线运动的描述（线量）： 位移、速度、加速度、力、动量、冲量、
动量定理、动能、动能定理…
定轴转动运动的描述（角量）： 角位移、角速度、角加速度、角力（力
矩）、角动量、角冲量（冲量矩） 、角动 量定理、转动动能、转动动能定理…
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3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
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3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律
电荷守恒定律
能量守恒定律
质量守恒定律
角动量守恒定律
宇称守恒定律等
四 角动量定理、角动量守恒的应用
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3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
例：一均质棒，长度为 L，质量为M，现有子 弹在距轴为 y 处水平射入细棒，子弹的质量为
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联立(1)、(2)式求解
v (3m - M)v0 M 3m
6mv0
(M 3m)l
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3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
例3 摩擦离合器 飞轮1：I1、 1 摩擦
轮2： I2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两 轮达到的共同角速度。
解：两轮对共同转轴的角动量守恒
I11 I1 I2