221综合法与分析法
2.2.1综合法与分析法PPT课件
2. 培养学生观察、分析、归纳、总结的能 力.
2021
5
教学重难点
重点
结合已经学过的数学案例，了解直接证明 的两种基本方法——综合法和分析法；了解综 合法、分析法的思考过程、特点.
32
证明：
因 为 （ s i n 2 θ + c o s 2 θ ）2 - 2 s i n θ c o s θ = 1 , 所 以 将 (1)(2)代 入 ， 可 得
4 sin 2α - 2 sin 2β = 1 . 另一方面要证
1 - ta n 2α = 1 - ta n 2β ， 1 + ta n 2α 2 (1 + ta n 2β ) 即证
2021
26
只需证 21<25.
因为21<25成立，所以 成立.
3+ 7<2 5，
反思
在本例中，如果我们从“21<25”出 发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出 结论.但由于我们很难想到从“21<25”入 手，所以用综合法比较困难.
2021
27
请对综合法与分析法进行比较，说出 它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说 说你对这两种证明方法的新认识.
B1
E1
C
E
A F
B
2021
39
D1
C1
A1
在
直
四
棱
柱
A
B
C
D
-
A
1B
1C
1
D
中
1
，
课件6：2.2.1 综合法与分析法
情景导入 夏天，在日本东京的新宿区 的一幢公寓内，发生了一宗凶杀 案，时间是下午 4 时左右．警方 经过三天的深入调查后，终于拘 捕到一个与案件有关的疑犯，但是他向警方做不在现 场证明时，说：“警察先生，事发当天，我一个人在箱 根游玩．
直至下午 4 时左右，我到芦之湖划船．当时适值雨后天 晴，我看到富士山旁西面的天空上，横挂着一条美丽的 彩虹，所以凶手是别人，不是我！”你知道疑犯的话露 出了什么破绽吗？警方是怎样证明他在说谎的呢？
由余弦定理，有 b2＝c2＋a2－2cacos60°， 得 c2＋a2＝ac＋b2， 两边加 ab＋bc 得 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 两边除以(a＋b)(b＋c)得a＋c b＋b＋a c＝1， ∴a＋c b＋1＋b＋a c＋1＝3，
即a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c. ∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
知识链接 1.合情推理所得到的结论是否一定正确？ 2.演绎推理中经常使用的是哪种形式的推理？ 【答案】1.合情推理所得到的结论不一定正确． 2.演绎推理经常使用的是由大前提、小前提和结论组 成的三段论推理.
教材预习 一、直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的 定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直 接证明方法有综合法与分析法．
方法总结 (1)综合法和分析法各有优缺点．从寻求解题思路来看， 综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效；分析法 执果索因，常常根底渐近，有希望成功．就表达证明过 程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述繁锁， 文辞冗长．也就是说分析法利于思考，综合法宜于表述．
a＋
b成立，
只需证
a＋ b
ba2≥(
高中数学2-2-1综合法与分析法课件新人教A版选修
������ ,∴ ������+1 ������������
=
2������ +1 ������ 2
=
2×2������ ������ =2. 2
由等比数列的定义可知数列{an}为等比数列. (2)求证: 6 + 7≥2 2 + 5. 证明:要证原不等式成立, 只需证( 6 + 7)2≥(2 2 + 5)2, 即证 2 42>2 40, 由于上式显然成立,因此原不等式成立.
当且仅当 a=b 时,取“=”号.
2.
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠ BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.
思路分析:(1)利用线线平行证明线面平行. (2)利用面面垂直⇒ 线面垂直⇒ 面面垂直. 证明:(1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF⊄ 平面 PCD,PD⊂ 平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD.
证明:方法一:∵ a,b>0,且 a+b=1, ∴ a+b≥2 ������������,∴ ������������ ≤ ,∴ + = 当且仅当 a=b 时,取“=”号. 方法二:∵ a,b 是正数, ∴ a+b≥2 ������������>0, + ≥2
1 ������ 1 ������ 1 1 1 >0,∴ (a+b)( + )≥4.又 ������������ ������ ������ 1 2 1 ������ 1 ������ ������+������ ������������
数学选修22教案221综合法和分析法222反证法
综合法和分析法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B ++求证：60A B +=o .（提示：算tan()A B +） ② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→ 板演证明过程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例4：见教材P 48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例5：见教材P 49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥. 略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 423sin ab C ab ab C -+≥，即证：2cos 23sin C C -≥3sin cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）.2. 作业：教材P 52 练习 2、3题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点，则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上，即O 是l 与m 的交点。
课件4：2.2.1 综合法与分析法
例2．如图，设四面体PABC中,
P
∠ABC=90°，PA=PB=PC，D
是AC的中点，求证：PD垂直于 A
D C
△ABC所在的平面。
B
证明：连接PD，BD，因为BD是Rt△ABC 斜边上的中线， 所以 DA=DB=DC，又因为 PA=PB=PC， 而PD是△PDA、△PBD、△PCD的公共边, 所以△PDA≌△PBD≌△PCD，
（3）由三个三角形全等，推出∠PDA= ∠PDB=∠PDC=90°,记为P2P3; （4）由∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°,推出 PD垂直于△ABC所在的平面，记为P3 P4(结论)；
这个证明步骤用符号表示就是 P0(已知)P1P2P3P4(结论).
二．分析法 例3．求证： 3 7 2 5
于是∠PDA=∠PDB=∠PDC， 而∠PDA=∠PDC=90°， 可见PD⊥AC，PD⊥BD， 由此可知，PD垂直于△ABC所在的平面.
这个证明的步骤是： （1）由已知BD是Rt△ABC斜边上的中线, 推出DA=DB=DC，记为P0(已知)P1;
（2）由DA=DB=DC，和已知条件，推出 三个三角形全等，记为P1P2；
在分析法证明中，从结论出发的每一个 步骤所得到的判断都是结论成立的充分条 件，最后一步归结到已被证明的事实。因 此从最后一步可以倒推回去，直到结论， 但这个倒推过程可以省略。
例4．求证：当一个圆与一个正方形的周长 相等时，这个圆的面积比正方形的面积大
证明：设圆和正方形的周长为L，
依题意，圆的面积为 ( L )2
例1．求证：log15
19
2 log3
19
3 log2
19
2
证明：因为
loga
b
教学设计6：2.2.1 综合法和分析法(一)
2.2.1综合法和分析法（一）整体设计教材分析在以前的学习中，学生已经能用综合法和分析法证明数学问题，但他们对综合法和分析法的内涵和特点不一定非常清楚．本节内容结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特点，并归纳出操作流程图，使他们在以后的学习中，能自觉地、有意识地运用综合法和分析法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯．教学目标1．知识与技能目标(1)理解综合法证明的概念；(2)能熟练地运用综合法证明数学问题．2．过程与方法目标(1)通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；(2)引导学生归纳出综合法证明的操作流程图．3．情感、态度与价值观(1)通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性；(2)通过综合法的学习，养成审慎思维的习惯．重点难点重点：(1)结合已经学过的数学实例理解综合法；(2)了解综合法的思考过程、特点．难点：(1)对综合法的思考过程、特点的概括；(2)运用综合法证明与数列、几何等有关内容．教学过程引入新课证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．提出问题：给出以下问题，让学生思考应该如何证明．请同学们证明：已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.活动设计：学生先独立思考，然后小组讨论，找出以上问题的证明方法，教师巡视指导，并注意与学生交流．活动结果：(学生板书证明过程)证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.设计意图引导学生应用不等式证明以上问题，体会综合法证明的思考过程，为引出综合法的定义做准备．探究新知提出问题：请同学们回顾，你证明这道题的思维过程．活动设计：学生自由发言．教师活动：整理学生发言，得到证明上题的思维过程．首先，分析待证不等式的特点：不等式右端是3个数a，b，c乘积的四倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积，据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式两端出现相同的形式；其次，寻找转化的依据及证明中要用的知识，本题应用不等式x2＋y2≥2xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据；最后，给出证明即可．(在总结证明上题思维过程的同时，向学生灌输解决问题先粗后细，先框架，后具体的思想)这样，我们可以把上题的证明过程概括为：从已知条件、不等式x2＋y2≥2xy和不等式的基本性质出发，通过推理得出结论成立．活动结果：综合法定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．设计意图让学生先表达综合法证明的特点，但他们对综合法的内涵和特点表达不一定非常清楚，因此再由老师整理出综合法证明的思维特点来，进而将问题一般化，得到综合法的定义． 运用新知例1 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．思路分析：本题首先把已知条件进行语言转换，即将A ，B ，C 成等差数列转化为2B ＝A ＋C ，a ，b ，c 成等比数列转化为b 2＝ac ，接着把隐含条件显性化，将A ，B ，C 为△ABC 三个内角明确表示为A ＋B ＋C ＝π，然后寻找条件与结论的联系；利用余弦定理可以把边和角联系起来，建立边和角的关系，进而判断三角形的形状．这样，就可以尝试直接从已知条件和余弦定理出发，运用综合法来推导出结论．证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C ，①由A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3，③ 由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac ，④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 点评：在证明数学命题时，经常要把已知条件进行语言转换，把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等，还要把命题中的隐含条件显性化，然后寻找条件与结论的联系，最后运用综合法来推导结论．巩固练习设a ＋b >0，n 为偶数，证明b n -1a n ＋a n -1b n ≥1a ＋1b. 证明：b n -1a n ＋a n -1b n －1a －1b ＝(a n －b n )(a n -1－b n -1)(ab )n， (1)当a >0，b >0时，(a n －b n )(a n －1－b n －1)≥0，(ab )n >0，所以(a n －b n )(a n -1－b n -1)(ab )n ≥0，故b n -1a n ＋a n -1b n ≥1a ＋1b. (2)当ab 为负值时，不妨设a >0，b <0，由于a ＋b >0，所以a >|b |.又n 是偶数，所以(a n －b n )(a n －1－b n －1)>0.又(ab )n >0，故(a n －b n )(a n －1－b n －1)(ab )n >0，即b n -1a n ＋a n -1b n >1a ＋1b .综合(1)(2)可知，b n -1a n ＋a n -1b n ≥1a ＋1b成立． 理解新知(1)由于综合法证明的特点，我们有时也把这种证明方法叫“顺推证法”或“由因导果法”．(2)框图表示P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示要证明的结论．2.如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．证明SO ⊥平面ABC .思路分析：从已有的定义、定理、公理出发，推出要证的结论．证明：由题设AB ＝AC ＝SB ＝SC ＝SA ，连接OA ，△ABC 为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝22SA ，且AO ⊥BC . 又因为△SBC 与△ABC 全等，故有SO ⊥BC ，且SO ＝22SA ，从而OA 2＋SO 2＝SA 2.所以△SOA 为直角三角形，所以SO ⊥AO .又AO ∩BO ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .点评：让学生进一步熟悉综合法证明的思维过程与特点，学习综合法证明的规范证明过程，同时熟悉综合法证明的操作流程图．巩固练习已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋c)≥4. 证明：由于a ，b ，c ∈R ＋，则(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋c )＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝1＋b ＋c a ＋1＋a b ＋c＝2＋(b ＋c a ＋a b ＋c)≥2＋2b ＋c a ·a b ＋c＝4. 变练演编已知x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R ＋，求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2≥2(xy ＋yz ＋zx )． 思路分析：抓住要证明式子的结构特征，合理运用均值不等式，用综合法证明上述不等式．证明：由于x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R ＋，则b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2＝b a x 2＋c a x 2＋c b y 2＋a b y 2＋a cz 2＋b c z 2＝(b a x 2＋a b y 2)＋(c a x 2＋a c z 2)＋(c b y 2＋b cz 2)≥2xy ＋2xz ＋2yz ＝2(xy ＋xz ＋yz )， 所以有b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )． 点评：学会结合条件及所证的结论，寻找到解决问题所需的知识，充分体会综合法证明不等式的方法，规范解题步骤．达标检测1．综合法：(1)一般的，利用____________，经过____________最后________，这种证明方法叫做综合法．2．已知a ，b ，c 均大于1，且log a c ·log b c ＝4，则下列各式中，一定正确的是( )A ．ac ≥bB ．ab ≥cC ．bc ≥aD ．ab ≤c【答案】1.已知条件和某些数学定义，公理，定理 一系列的推理论证 推导出证明的结论成立2.B课堂小结1．综合法证明是证明题中常用的方法．从条件入手，根据公理、定义、定理等推出要证的结论．2．综合法证明题时要注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等，还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．3．综合法可用于证明与函数、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题． 基础练习1．△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos A ＝cos C ，求证：△ABC 为等边三角形．证明：由3b ＝23a sin B 3sin B ＝23sin A sin B sin A ＝32A ＝π3或2π3. 由cos A ＝cos C A ＝C ，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝C ＝π3＝B .所以△ABC 为等边三角形． 拓展练习⇒⇒⇒2．已知函数f (x )＝x 2＋2x＋a ln x (x >0)，f (x )的导函数是f ′(x )．对任意两个不相等的正数x 1、x 2，证明当a ≤0时，f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22)． 证明：由f (x )＝x 2＋2x＋a ln x ， 得f (x 1)＋f (x 2)2＝12(x 21＋x 22)＋(1x 1＋1x 2)＋a 2(ln x 1＋ln x 2) ＝12(x 21＋x 22)＋x 1＋x 2x 1x 2＋a ln x 1x 2. f (x 1＋x 22)＝(x 1＋x 22)2＋4x 1＋x 2＋a ln x 1＋x 22， ∵x 1≠x 2且都为正数，有12(x 21＋x 22)>14[(x 21＋x 22)＋2x 1x 2]＝(x 1＋x 22)2. ① 又(x 1＋x 2)2＝(x 21＋x 22)＋2x 1x 2>4x 1x 2，∴x 1＋x 2x 1x 2>4x 1＋x 2. ② ∵x 1x 2<x 1＋x 22，∴ln x 1x 2<ln x 1＋x 22. ∵a ≤0，∴a ln x 1x 2>a ln x 1＋x 22. ③ 由①、②、③得f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22)． 设计说明本节通过具体证明实例，使学生了解直接证明的基本方法——综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力；并能用综合法证明数列、几何等有关内容．本节重点突出学生的自主性，教师主要是点拨思路，与知识升华，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，加深对知识的理解和提高证明问题的能力．。
2.2.1综合法与分析法
a(b2 c2 ) b(a2 c2 ) c(b2 a2 ) 6abc
例1:如图,△ABC在平面α外,
AB P, BC Q, AC R.
分析：由已知条件和结论我们联想到数量
积定义和三解形的面积公式：
S 1 ab sin C 2
利用sin C 1 c os2 C
由数量积定义和上公式结合结论探求证 明思路
证明：因为SABC
1 2
a
b sin C，cosC
a.b ab
所 以S
2 ABC
1
a 2 b 2 s in 2 C
求证:P,Q,R三点共线.
A
Q
B C
P R
• 分析：立体几何中证明三点共线或三线共点一般
要用公理2。公理2的内容是什么?
• 此题要证明三点共线，需要说明这三点均在一个
平面上，则这三点一定在交线上。
证明： AB P，BC Q，AC R
P，Q，R
（1）
P AB，Q BC，R AC.
2.2 直接证明与间接证明
推理
合情推理
演绎推理
归纳
类比
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊） （一般到特殊）
合情推理所得结论的正确性是需要证明的， 数学结论的正确性必须通过逻辑推理加以证明.
数学中常用的证明方法有哪些呢？
证明的方法
直接证明
综合法 分析法
间接证明（反证法）
2.2.1 综合法和分析法
2.2.1 综合法和分析法
理实际上是寻找使结论成立的充分条件.
②分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直至归结为
已知条件、定义、公理、定理等.
课前篇自主预习
【做一做2】 用分析法证明时,欲证①M>N,只需证②C>D,此时, ①是②的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
成立.
∴logx������+2������+logx������+2 ������+logx������+2 ������<logxa+logxb+logxc 成立.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
规范解答 当堂检测
课堂篇探究学习
反思感悟 分析综合法的解题思路 根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结 构特点去转化条件,得到中间结论P;若由P可推出Q,即可得证.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
规范解答 当堂检测
课堂篇探究学习
综合法与分析法的综合应用 例3已知a、b、c是不全相等的正数,且0<x<1.
求证:logx������+2������+logx������+2 ������+logx������+2 ������<logxa+logxb+logxc. 分析:解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质将题 目转化成整式不等式证明.
=sin������coss���i���n-c���o��� s������sin������ = sinsi(n���������-���������).
课件8：2.2.1 综合法和分析法
要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)，
只需证(
a2＋b2)2≥
22（a＋b）2，
即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab.
因为 a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立，
所以 a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．
归纳升华 用分析法证明不等式时应注意： (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已 知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； (2)分析法证明不等式的思路是从要证不等式出发，逐 步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式；
2．欲证 2－ 3< 6－ 7，只需证明( ) A．( 2－ 3)2<( 6－ 7)2 B．( 2－ 6)2<( 3－ 7)2 C．( 2＋ 7)2<( 6＋ 3)2 D．( 2－ 3－ 6)2<(－ 7)2
【答案】C
3．在△ABC中，tan A·tan B＞1，则△ABC是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【解析】因为tan A·tan B＞1，所以A，B只能都是锐角， 所以tan A＞0，tan B＞0，1－tan A·tan B＜0.
由已知 0＜x＜1，只需证明a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c＞abc.
由基本不等式得a＋2 b≥ ab＞0，b＋2 c≥ bc＞0，
a＋c 2≥
ac＞0.又因为 a，b，c 是不全相等的正数，
所以a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c＞ a2b2c2＝abc. 即a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c＞abc 成立． 所以 logx a＋2 b＋logx b＋2 c＋logx a＋2 c＜logx a＋logx b ＋logx c 成立．
课件9：2.2.1 综合法和分析法
又∵a、b、c 是不全相等的正数， ∴a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c＞ a2b2c2＝abc. 即：a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c＞abc 成立． ∴logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c＜logxa＋logxb＋logxc 成立．
规律总结 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结 论入手，易于寻找解题思路．在实际解决问题中，分 析法与综合法往往结合起来使用，先分析由条件能产 生什么结论，再分析要得出需要的结论需要什么条件， 逐步探求两者之间的联系，寻找解答突破口，确定解 题步骤，然后用综合法写出解题的过程．
只需证2scino(sxx11＋coxs2x)2>1＋sinco(xs1(＋x1＋x2)x2). ∵x1，x2∈(0，π2)，∴x1＋x2∈(0，π)， ∴cosx1cosx2>0，sin(x1＋x2)>0,1＋cos(x1＋x2)>0， 故只需证 1＋cos(x1＋x2)>2cosx1cosx2，
命题方向1 ⇨用综合法证明不等式
例 1 (1)若 a>b>0，则下列不等式中，总成立的是 ( A )
A．a＋1b>b＋1a
B．ab>ba＋ ＋11
C．a＋a1>b＋1b
D．2aa＋＋2bb>ba
(2)在不等式“a2＋b2≥2ab”的证明中：因为 a2＋b2－2ab＝ (a－b)2≥0.所以 a2＋b2≥2ab.该证明用的方法是__综__合__法_____． (3)已知 a，b，c∈R，且 a＋b＋c＝1. 求证：a2＋b2＋c2≥31.
④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac(a，b，c∈R)，由不等式a2＋ b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，易得a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ca，此结论是一个重要的不等式，在不等式的证明中的 使用频率很高；
《221综合法与分析法》教学案1.docx
《2・2. 1综合法与分析法》教学案教学目标：知识与技能：结合己经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点教具准备：与教材内容相关的资料教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步.因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.教学过程：1.综合法综合法:利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用己知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法1 2 3例1 求证:一!—+ ——< 2.log519 log, 19 log219证明：因为log. b = ，所以=logg5+ 21og193+ 31og1924 4= log1954- log19 32 + log192- 左边八" .=log l9(5W 23)=log l9 360.因为log】9 360v log l9361= 2,所以------- + ---------- + ---------- < 2 log519 log319 log219例2如图，设在四面体刃EC中，Z/BC二90。
，PA二PB二PC, D^AC的中点.求证PD垂直证明：连接FD, BD,因为3D是心△曲C斜边上的中线，所以DA=DC=DB•又因为砂二尸B=PC,而尸。
是4PAD,、PBD,△PCQ的公共边，所以/XPAD^/XPBD 9 △PCD于是，ZPAD= ZPBD =ZPCD f而ZPDA二ZPDO90。
高中数学2.2.1 综合法和分析法
-16-
2.2.1 综合法与分析法
探究一
探究二
探究三
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习 规范解答 当堂检测
综合法与分析法的综合应用 例3已知a、b、c是不全相等的正数,且0<x<1.
求证:logx������+2������+logx������+2 ������+logx������+2 ������<logxa+logxb+logxc. 分析:解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质将题 目转化成整式不等式证明.
①综合法的特点是从“已知”看“未知”,其逐步推理实际上是寻找
已知条件的必要条件.
②综合法从命题的条件出发,利用定义、公理、定理和运算法则,
通过演绎推理,一步一步完成命题的证明.
-3-
2.2.1 综合法与分析法
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
【做一做 1】 命题“求证:tan θ+ta1n������ = sin22������”的证明过程“tan
-17-
2.2.1 综合法与分析法
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
规范解答 当堂检测
解:要证明 logx������+2������+logx������+2 ������+logx������+2 ������<logxa+logxb+logxc,
只需要证明 logx
①分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推
理实际上是寻找使结论成立的充分条件.
②分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直至归结为
课件4：2.2.1 综合法和分析法
C.1a＋1b＋1c≥2 3 D．abc(a＋b＋c)≤13
[答案] B
[解析] 因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将 三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc，
即a2＋b2＋c2≥1 又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋ 2ac＋2bc 所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3，B成立．故应选B.
只需证 (a＋1)(a－2)< a(a－1)， 只需证(a＋1)(a－2)<a(a－1)， 即证－2<0，而－2<0 显然成立， 所以 a＋1－ a< a－1－ a－2成立.
[例3] △ABC的三个内角A、B、C成等差数列，A、B、C的对 边分别为a、b、c.
求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)． ∴a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．
已知 a、b、c∈R＋且 a＋b＋c＝1，
求证：1a－1·1b－1·1c－1≥8.
[证明] ∵1a－11b－11c－1 ＝(b＋c)(aa＋bcc)(a＋b)
≥2
bc·2 ac·2 abc
＝lg2(n＋lg1n)－lg(lng＋n·l1g)(n＋2)
∵n(n＋2)<(n＋1)2 ∴lg[n(n＋2)]<lg(n＋1)2 ∵lgnlg(n＋2)<lgn＋lg2(n＋2)2 ＝lgn(n2＋2)2<lg(n＋2 1)22＝lg2(n＋1) ∴logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)>0 ∴logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)．
已知 a，b 是不等正数，且 a3－b3＝a2－b2，求证：1<a ＋b<43.
20-21版：2.2.1 综合法和分析法（创新设计）
22
课前预习
课堂互动
课堂小结
@《创新设计》
【训练2】 设a，b，c为任意三角形的三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证 明：3S≤I2＜4S. 证明 ∵I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca， ∴I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝a2＋b2＋c2＋2S. 于是，要证3S≤I2＜4S, 即证3S≤a2＋b2＋c2＋2S＜4S，即证S≤a2＋b2＋c2＜2S. (1)要证S≤a2＋b2＋c2，即证a2＋b2＋c2－ab－bc－ca≥0，即证(a2＋b2－2ab)＋(b2 ＋c2－2bc)＋(a2＋c2－2ca)≥0，即证(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0. ∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0， ∴S≤a2＋b2＋c2成立.
6
课前预习
课堂互动
课堂小结
@《创新设计》
2.阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 要证a＋2 b≥ ab， 只需证 a＋b≥2 ab， 只需证 a＋b－2 ab≥0， 只需证( a－ b)2≥0， 因为( a－ b)2≥0 显然成立，所以原不等式成立. 提示 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的 结论变成一个明显成立的条件.
因为…，所以…，所以…，…，所以…成立.
3
课前预习
课堂互动
课堂小结
@《创新设计》
【预习评价】 1.综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
提示 演绎推理. 2.综合法的基本思路是什么？
提示 综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从题目的已知条件 出发，经过逐步的逻辑推理，最后推导出待证结论或需求的问题.
2.2.1综合法和分析法
：
求n ：3 - 5 < 5 - 7
分析：
要证 3 5 5 7 (1)
？
只需证
3
2
5
2
5 7 (2)
综合法和分析法是直接证明中最基本的两 种方法，也是解决数学问题时常用的思维方式， 常把它们结合起来使用.即当遇到较难的新命题 时，应当先用分析法来探求解法，然后将找到 的解法用综合法叙述出来.
2．分析法 (1)证明的特点： 分析法又叫逆推证法或 执果索因 法，是从要证明的不等 式出发，逐步寻找使它成立的 充分 条件．直到最后把要证 明的不等式转化为判定一个已知或明显成立的不等式为止． (2)证明过程的框图表示： 用 Q 表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P1⇐P3 →……→ 得到一个明显成立的条件
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1综合法与分析法
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据 已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真 实性.
常用的直接证明的方法有综合法与分析法.
问题1
观察基本不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.这两种证明方法的
出发点有何不同？
证明1:
证明2:要证a
+ 2
推理，最后达到待证的结论.
综合法
证法2是从待证的结论出发，一步一步 寻求结论成立的充分条件，最后达到题设 的已知条件或已被证明的事实. 分析法
1．综合法 (1)证明的特点： 综合法又叫顺推证法或 由因导果法，是由 已知条件 和 某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的 推理论证 ， 最后推出所要证明的结论成立． (2)证明的框图表示： 用 P 表示已知条件或已有的不等式，用 Q 表示所要证 明的结论，则综合法可用框图表示为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF
F E
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
Qn ? Q
特点:“由因导果”
分析基本不等式：a
+ 2
b
?
ab
(a>0,b>0) 的证明 .
证明:要证
a
+ 2
b
?
ab
只需证 a+b ? 2 ab
只需证 a + b ? 2 ab ? 0
只需证 ( a ? b)2 ? 0
因为 ( a ? b)2 ? 0 成立
所以 a + b ? ab 成立 2
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中， 使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把 要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 为止，这种证明的方法叫做分析法．
所以不等式 3 ? 7 ? 2 5 成立。
练 习 ： 已 知 a ? 5,求 证 ：
a?5? a?3? a?2? a
? 证明:
? 要证
a-5- a-3 < a-2 - a
? 只需证 a - 5 ? a < a - 2 + a - 3
? 只需证 a(a - 5) < (a - 2)(a - 3)
? 只需证 a(a - 5)<(a - 2)(a - 3)
这个明显成立的条件可以是： 已知条件、定理、定义、公理等
特点： 执果索因 即： 要证结果Q，只需证条件P
例1．求证： 3 ? 7 ? 2 5 证明：因为 3 ? 7和2 5 都是正数， 所以为了证明 3 ? 7 ? 2 5 只需证明 ( 3 ? 7 )2 ? (25 )2
展开得 10 ? 2 21 ? 20 即 21 ? 5 只需证明21<25，因为21<25成立，
2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件，分析法的每步推理都是寻找充分条 件，在解题表述中要注意语言的规范性 和逻辑性.
3.综合法和分析法是两种互逆的思维 模式，在证明某些较复杂的问题时，常 采用分析综合法，用综合法拓展条件， 用分析法转化结论，找出已知与结论的 连结点.
? 只需证 0 < 6
? 因为 0 < 6 成立.
? 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.
用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表 示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:
P P1
P1
P2 …
Pn-1 Qm-1
Pn Qm
… Q1 Q2
Q Q1
练习：如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A 作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线, 垂足为F,求证 AF⊥SC S
2.2.1 综合法和 分析法(二）
复习：
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等 为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为 止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法) 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P ? Q1
Q1 ? Q2 Q2 ? Q3
…