逻辑联结词与量词

（一）本单元知识结构：

（二）概念与规律总结

（1）命题的结构

命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题．

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题．构成复合命题的形式：p或q（记作p∨q）；p且q（记作p∧q）；非p（记作┑q）．（2）命题的四种形式与相互关系

原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若┑p则┑q；逆否命题：若┑q则┑p．原命题与逆否命题互为逆否，同真假；逆命题与否命题互为逆否，同真假．

（3）命题的条件与结论间的属性

“p q”的含义有三条：p推出q；p是q 的充分条件；q是p的必要条件．

（4）“或”、“且”、“非”的真值判断

“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；

“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况时为假；

“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．

（5）全称量词与存在量词

全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等；

存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等；

全称命题p:∀x∈M，p（x）否定为⌝ p：∃x∈M，⌝p（x）

存在性命题p：∃x∈ M，p（x）否定为⌝ p：∀x∈M，⌝ p（x）

（6）反证法是间接证法的一种

假设为真，即不成立，并根据有关公理、定理、公式进行逻辑推理，得出矛盾．

因为公理、定理、公式正确，推理过程也正确，产生矛盾的原因只能是“假设为真”，由此假设不成立，即“为真”．

【典型例题】

例1. 概念辨析

（1）分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，并判断它们的真假：

p：四边都相等的四边形是正方形，q：四个角都相等的四边形是正方形

解：“p或q”：四边都相等的四边形是正方形或四个角都相等的四边形是正方形

“p且q”：四边都相等的且四个角都相等的四边形是正方形

“非p”：四边不都相等的四边形不是正方形．

方法：分清命题的条件与结论，然后重新组合．

（2）下列命题是全称命题的是，是存在性命题的是．

①线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

②负数的平方是正数

③有些三角形不是等腰三角形

④有些菱形是正方形

解：是全称命题的是①②，是存在性命题的是③④．

判断方法就是判断它们有无全称量词与存在量词．

（3）写出下列命题的否定

①已知集合A⊆B，如果对于任意的元素x∈A，那么x∈B；

②已知集合A⊆B，存在至少一个元素x∈B，使得x∈A；

解：①否定为：∃x∈A，x B

②否定为：∀x∈B，x A

（4）若A是B的充分不必要条件，则A是B的…………………（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

解：∵“A B”“B A”∴选B．

方法总结：遇到有否定词的问题可以转化为它的等价命题，去掉否定词．

例2. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋（a－1）x＋a＝0，x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根．试求实数a的取值范围．

分析：三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根．先求出反面情况时a的范围，则所得范围的补集就是正面情况的答案．

解：设三个方程均无实根，则有：

，解得，即－

所以当a≥－1或a ≤－时，三个方程至少有一个方程有实根．

方法总结：

“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单．本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集．两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻．

方法归纳：

1、本题重点考查充要条件的概念及学生解答充要条件命题时的思维的严谨性．

2、以等比数列的判定为主线，本题的闪光点在于抓住数列前n项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定．

3、因为题目求的是充要条件，即有充分性和必要性两层含义，很容易忽视充分性的证明．

4、技巧与方法由a n ＝关系式去寻找a n与a n＋1的比值，但同时要注意充分性的证明．

例4. 有六个人参加歌手新秀赛，组委会只设了一名特等奖，观众A、B、C、D四人对于谁能获得特等奖进行了如下猜想：

A说：不是1号就是2号能获特等奖；

B说：3号不可能获得特等奖；

C说：4、5、6号都不可能获得特等奖；

D说：能获得特等奖的是4、5、6号中的一人．

从上表可以看出只有第3列是打了一个“√”，即一个人猜对了，故为C猜对了，是3号获得了特等奖．

方法总结：逻辑推理问题要抓住条件与结论进行推理，本题运用表格是一种很好的方法，通过表格一目了然看出哪种情况是符合题意的．在解题中要善于使用表格分析问题．

例5. 函数f（x）对一切实数x，y均有f（x＋y）－f（y）＝（x＋2y＋1）x成立，且f （1）＝0．

（1）求f（0）的值；

（2）当f（x）＋2

解：（1）令x＝1，y＝0得f（1）－f（0）＝2，又f（1）＝0，∴f（0）＝－2．（2）令y＝0，得f（x）＋2＝（x＋1）x

∴原命题转化为：x2＋x

（x2＋x）的最大值≤log a x的最小值．

且0

借助于图形可以看出如下：

方法总结：

本题是全称命题，当然可以取任意一个量进行研究，因此这种方法叫赋值法．恒成立问题利用图象处理直观简洁．

【模拟试题】

一、选择题（每小题只有一个答案，每道题4分，共40分）

1. 下列语句中的简单命题是（）

A. 不是有理数

B. ABC是等腰直角三角形

C. 3x＋2<0

D. 负数的平方是正数

2. 命题：“方程x2－2＝0的解是x＝”中使用逻辑联结词的情况是（）

A. 没有使用逻辑联结词

B. 使用了逻辑联结词“且”

C. 使用了逻辑联结词“或”

D. 使用了逻辑联结词“非”

3. “a2＋b2≠０”的含义是（）

A. a，b不全为0

B. a，b全不为0

C. a，b中至少有一个为０

D. a，b中没有０

4. 如果命题“非p为真”，命题“p且q”为假，那么则有（）

A. q为真

B. q为假

C. p或q为真

D. p或q不一定为真

5. ＞1的一个充分不必要条件是（）

A. x＞y

B. x＞y＞0

C. x＜y

D. y＜x＜0

6. 下列全称命题

①末位是０的整数，可以被2整除；②不相交的两条直线是平行直线；

③偶函数的图像关于y轴对称；④正四面体中两侧面的夹角相等；

其中真命题的个数为（）