山东省实验中学2020年高三年级高考数学预测题(图片版含答案解析)
山东省实验中学2020届高三高考数学预测卷(含解析)
山东省实验中学2020届高三（4月5日）高考数学预测卷第I 卷(选择题共60分)一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z=(1+2i)(1+ai)(a ∈R), 若z ∈R,则实数a= ( )1.2A1.2B -C.2D. -22.已知集合M={x|-1<x<2}, N={x|x (x+3) <0},则M∩N= ( ) A.[-3,2)B.(-3,2)C. (-1,0]D. (-1,0)3.在正项等比数列{a n }中，514215,6,a a a a -==-则a 3=( )A.2B.41.2C D.84.函数23ln(44)()(2)x x f x x -+=-的图象可能是( )5.已知函数f(x)= 3x+2 cosx,若a 22(3(2),(log 7),f b f c f ===则a,b,c 的大小关系是( )A.a<b<cB.c<a < bC.b<a<cD.b<c< a6. 已知等边△ABC 内接于圆τ :221,x y +=且P 是圆τ上一点,则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最大值是() .2AB.1.3CD.27.已知函数f 22()sinsin ()3x x x π=++，则f(x)的最小值为( )1.2A1.4B3.4C2.2D 8.已知点P 在椭圆τ:22221(0)x y a b a b+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A,点P 关于x 轴的对称点为Q,设3,4PD PQ =u u u r u u u r直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B,若PA ⊥PB,则椭圆τ的离心率e= ( )1.2A2.2B3.2C3.3D 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分.9.由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是( )A.5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势10.设等比数列{}n a 的公比为q,其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ,并满足条件2019120192020202011,1,01a a a a a ->><-，下列结论正确的是()20192020.A S S <20192021.10B a a -<2020.C T 是数列{}n T 中的最大值D.数列{}n T 无最大值11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1CC 上，则下列结论正确的是() A.直线BM 与平面11ADD A 平行B.平面1BMD 截正方体所得的截面为三角形C.异面直线1AD 与11A C 所成的角为3π1.||||D MB MD +512.关于函数2()ln ,f x x x=+下列判断正确的是() A. x=2是f(x)的极大值点B.函数y=f(x)-x 有且只有1个零点C.存在正实数k,使得f(x)> kx 成立D.对任意两个正实数12,,x x 且12,x x >若12()(),f x f x =则124x x +>第II 卷(非选择题共90分)三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知以x±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4, 1), 则该双曲线的标准方程为___ 14.已知12,e e 是互相垂直的单位向量,123e e -与12e e λ+的夹角为60°，则实数λ的值是___ 15.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为_____.(用数字作答)16.已知关于x 的不等式3ln 1xe x a x x--≥对于任意x ∈(1, +∞)恒成立,则实数a 的取值范围为____四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10分)在△ABC 中，角A, B, C 的对边分别为a, b, c,已知a=4,tan tan .tan tan A B c bA B c--=+(1)求A 的余弦值; (2)求△ABC 面积的最大值.18. (12分)已知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为,n S n S 为n a 与1na 的等差中项. (1)求证:数列2{}n S 为等差数列;(2)设(1),nn nb a -=求{}n b 的前n 项和.n T19. (12分)如图，在四棱锥P- ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形,∠DAB= 60°∠ADP=90°,平面ADP ⊥平面ABCD,点F 为棱PD 的中点.(I)在棱AB 上是否存在一点E,使得AF ∥平面PCE ，并说明理由; ( II )当二面角D-FC- B 的余弦值为2时,求直线PB 与平面ABCD 所成的角.20. (12 分)已知抛物线2:2(0)y px p τ=>的焦点为F, P 是抛物线τ上一点，且在第一象限，满足(2,FP =u u u r3)(1)求抛物线τ的方程;(2)已知经过点A (3, -2) 的直线交抛物线τ于M, N 两点,经过定点B (3, -6)和M 的直线与抛物线τ交于另一点L,问直线NL 是否恒过定点，如果过定点,求出该定点，否则说明理由.21.(12分)山东省2020年高考将实施新的高考改革方案考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成,总分为750分.其中,统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A 、B+、B 、C+、C 、D+、D 、E 共8个等级。
2020届山东省实验中学高三(4月5日)高考数学预测卷(解析版)
故选： D .
【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.
7.已知函数 f（x）＝sin2x+sin2（x ），则 f（x）的最小值为（ ） 3
1
A.
2
1
B.
4
C. 3 4
D. 2 2
【答案】A
【解析】
【分析】
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为
f
x
1
1 2
cos
2x
，
C
1 2
,
3 2
，设
P
cos
θ,
sin
θ
，
则 PA (PB PC) (1 cos , sin ) (1 2 cos , 2sin )
(1 cos )(1 2 cos ) 2sin 2 2 cos 2 cos 1 2sin 2 1 cos 2 .
当 ，即 P 1, 0 时等号成立.
又因为 z∈R，
所以 a 2 0 ，
解得 a＝-2.
故选：D
【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2.已知集合 M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则 M∩N＝（ ）
A. [﹣3，2） 【答案】C
B. （﹣3，2）
C. （﹣1，0]
D. （﹣1，0）
a1q3
a1q
6
，解得
a1 q
1 2
或
a1 16
q1 2
（舍去）.
故 a3 a1q2 4 .
故选： B .
【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.
4.函数 f x ln
x2 4x 4 (x 2)3
山东省2020届高三高三高考模拟数学试题 Word版含解析
山东省2020年高三高考模拟数学试题一、单项选择题：1.已知集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，若B A ⊆，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ）A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】 【分析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论，分别求出a 的范围，即可得出结果. 【详解】因为集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，B A ⊆， 若B 为空集，则方程1ax =无解，解得0a =； 若B 不为空集，则0a ≠；由1ax =解得1x a=，所以11a =-或12a =，解得1a =-或12a =，综上，由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选D【点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，熟记集合间的关系即可，属于基础题型.2.若1iz i =-+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】分析：变形1iz i =-+，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+， 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-，1z i =-∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，故选D.点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项.【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln xx x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除.4.《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32 D. 丙付的税钱最少【答案】B 【解析】 【分析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。
2020年6月山东省实验中学高考预测押题卷理科数学(原卷版)
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
12．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0) 的左、右顶点分别为 A，B ，左焦点为 F，P 为 C 上一点，
且 PF x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M （异于 P，F ），与 y 轴交于点 M ，直线 MB 与 y 轴
A． 1, ln 2 2
B．2 ln 3 3, 2 ln 2 2
C． 2 ln 3 3, 2 ln 2 2
D．2 2 ln 2, 3 2 ln 3
11．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，P 是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（ ）
①若 P 为棱 CC1 中点，则异面直线 AP 与 CD 所成角的正切值为
2
.已知点
D
是
ABC
边
AB
上一点，AC
3，
BC 2 ， ACD 45 ， tan BCD 8 15 ，则 ABC 的面积为________． 7
15．若曲线 y x2 ln x 在点 1,1 处的切线与直线 x ay 2 0 平行，则实数 a 的值为______.
16．数列 an 满足递推公式 an2 an an1 ，且 a1 a2，a2019 a2020 2020 ，则
）
A．
B．
C．
D．
6．已知 f x 为奇函数，当 x 0 时， f x ex ex2（ e 是自然对数的底数），则曲线 y f x 在 x 1
处的切线方程是（ ）
A． y ex e
B． y ex e
C． y ex e
D．
y
2e
山东省2020届高三新高考备考原创押题卷(三)数学及答案2020.6
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2020年高考数学押题预测卷03(山东卷)(参考答案)
P( y ) P(43.91 y 73.09) 0.6826 ， 所以 P( y„ 43.91) 1 0.6826 0.1587 ，
2
所以这 1000 名被调查者中午休睡眠时间低于 43.91 分钟(含 43.91)的人数估计有
0.1587 1000 159 (人).
（3） X 的可能值为 0，1，2，
~
2020 年高考押题预测卷 03（山东卷）
数学·参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
A
DD
D
C
B
D D ABD CD BCD AD
13． 3 5
14． 2 3
17．（本小题满分 10 分）
15． 2020 0
16． 2 6
8 6 729
【解析】（1）在VCAM 中，已知 CAM ， sin CMA 3 ， AC 2 ，由正弦定理，
所以 f (x) 有极小值 f (1) a ，无极大值； e
②当
a
0
时，令
f
(x)
0
x
1 或
x
ln
2 a
，
(ⅰ)
a
2e
时，x
,
ln
2 a
时，f
(x)
0
，f
(
x)
单调递减；x
ln
2 a
,
1
时，f
(
x)
0
，
f (x) 单调递增；
x (1, ) 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递减；
则 Sk2 k 22 k 2 k 2 5k 6 ，
若 a1 ， ak ， Sk2 成等比数列，则 ak 2 a1 Sk2 ，
山东省实验中学2020届高三模拟考试数学试题(含答案)2020.6
绝密食启用井使用完毕前山东省实验中学2020届高三模拟考试数学试题2020. 06注意事项z1.答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码．2.本试卷满分150分，分为第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第6页．3.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4.非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．第l i卷〈共60分〉一、单项选择题：本题共8小题，每才灌5分v决问to分．在每小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的．1.己知集合A={x Ix= 2k, k E Z} , B = {x EN Ix< 4｝，那么集合A门B=A.(1,4)B.{2} c.{1, 2}2.若z(2-i}2=-i Ci是虚数单位），则复数z的模为A.一B.33.己知叫＋α）= cos（�一α），贝Ll cos2α＝ c.-4D.{1, 2,4}D.-5A.0B.1J2 ../3 2 24.己知平面向量a' b满足（a+b)·b=2，且l a l=l,lbl弓，则l a+bj=A.fjB.Jz c.1 D.2)35.己知f(x）是定义域为R的奇函数，若f(x+ 5）为偶函数，／(1)= 1，则／（2019)+/(2020) =A.-2B.一l c.0 D.12020届高三模拟考试数学试题第l页共6页6己知点F;(-3，的，乓（3，时别是双曲线C：兰－4=1(a>O, b>O）的左、右焦点，M矿矿10.记数列｛a n｝的前n项和为乱，若存在实数H，使得对任意的nEN＋，都有I S n <H，则是C右支上的一点，MF;与Y轴交于点p'/:J,MPJ飞的内切圆在边Pl飞上的切点为Q，若IPQ l=2，则C的离心率为3 5A.%B.3C.2D.27.在二项式（x＋�r的展开式中，各项系数的和为1比把展开式中各项重新排列，则有、J X理项都互不相邻的概率为A.一4B.一3 c.一3 D.土35 4 1414称数列｛an｝为“和布界数列”．下列说法正确的是A.若｛a n｝是等差数列，且公差d=O，则｛a n｝是“和有界数列”B.若｛a n｝是等差数列，且｛a n｝是“和有界数列”，则公差d=Oc.若｛an｝是等比数列，且公比q < 1，则｛a n｝是“和有界数列”D.若｛αn｝是等比数列，且｛an｝是“和有界数列”，则｛αn｝的公比q l<l8.己知函数f(x)＝旧2-x-lnx有两个零点，则实数α的取值范围是A.(_!, 1)B.(0,1)C.(-oo，与）e e D.(0，与）e11.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“莹堵飞底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”：四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多脯”．如图在整堵ABC-A1BP1中，AC1-BC，且AA1=AB=2.下列说法正确的是项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.CPI是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价 A.四棱锥B-AiACC1为“阳马”格水平变动情况的宏观经济指标．同比一般情况下是今年第n月与去年第n月比；＿＿＂环毕？川丁‘表示连续2个统计周期（比如连续两月）内的量的变化比如图是根据国家统计敞布局已？二：�－＝-}-c币；咽面体利α为“鳖腐”2019年4月一2则年4月我国C叫跌幅数据绘制的折线图，根据该折线图，则科副普：，L10)1i乙1S-1j,J ll � �I「节’［c.四棱锥B-A I ACC l体积最大为3正确的是A1D.过A点分别作AE1-AiB于点E,AF 1-AiC于点F，则EF1-�B5.0十40 i一一一一…一－－－－�飞言：33.0 � 2.7 2.7 2产z干一二二2.0 -i－一一一一一一一一一一…向一一…叩………………ω叫“.........……………………1.0翻嘈－同比-I←环七tt " \12.己知／（x)=l-2cos2wx＋τ（ω＞的，下面结论正确的是A.若f(x1)=l.f(x2)=-l，且x1一引｜的最小值为饨，m=2c810.0 B.存在ωε（1.3），使得f(x）的图象向右平移主个单位长度后得到的图象关于y轴对称62.0J主半岛念、，.-t,二孙主、，.，t,卦，公卦杰、企、击、r&� -, v 、v -, .... v ..... ..... 哇钮’• -�or ,,<::;"，俨铲VA.2020年1月CPI同比涨幅最大B.2019年4月与同年12月相比较，4月CPI环比更大c.2019年7月至12月，CPI一直增长D.2020年1月至4月CPI只跌不涨2020届高三模拟考试数学试题第2页共6页41 47c.若f(x）在［O,2π］上恰有7个零点，则ω的取值范围是［一，一）2424D.若f(x）在［一一，一］上单调递增，则ω的取值范围是仰π6 42020届高三模拟考试数学试题第3页共6页第II卷〈非选择题，共90分〉三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.以抛物线Y i=2x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为14.我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山，中岳高山．某位老师在课堂中拿出这五岳的图片，打乱顺序后在图片上标出数字1-5，他让甲、乙、丙、丁、戊这五位学生来辨别，每人说出两个，学生回答如下：甲：2是泰山，3是华山：乙z4是衡山，2是南山：丙：1是衡山，5是恒山：丁：4是恒山，3是富山：戊：2是华山，5是泰山．老师提示这五个学生都只说对了一半，那么五岳之尊泰山图片上标的数字是15.已知函数f(x)=I ln x I，若0＜α＜b，且f(a)= f(b），则a+4b的取值范围是·18.Cl2分）己知s.是等比数列｛a，；｝的前n项和，旦，Sz,S3成等差数列，且s4-a=-18.( I ）求数列｛an｝的通项公式：(2）是否存在正整数n，使得s.兰2020？若存在，求出符合条件的n的最小值：若不存在，说明理由．19.Cl2分）四棱锥P-ABCD中，PC i面ABCD，直角梯形ABCD中，LB=LC=90。
2020年普通高校招生考试新高考山东押题预测数学试卷全解全析(5页)
2020年普通高校招生考试新高考山东押题预测数学试卷数学全解全析13．30 14．2π 215．16．12π 17．（本小题满分10分） 【解析】（1）由①b ac -=()2223a c b +-=-， 所以222cos 2a c b B ac +-==，由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A=或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 2B =<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾. 所以ABC ∆不能同时满足①，②.故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④； （2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以2862c c =++2420c c +-=. 解得2c =.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B == 若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B=sin B =，解得sin 1B =， 所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==18．（本小题满分12分）【解析】（1）对任意的n *∈N ，132n nS S +=+，则1133311n n n n S S S S +++==++且113S +=，所以，数列{}1n S +是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）由（1）可得11333n n n S -+=⨯=，31nn S ∴=-.当2n ≥时，()()111313123nn n n n n S a S ---=-=---=⨯，12a =也适合上式，所以，123n n a -=⨯.由于曲线()22:191n n C x a y +-=是椭圆，则190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩，即1123192318n n --⎧⨯<⎨⨯≠⎩， n N *∈Q ，解得1n =或2；（3）11333log 3log 3322n n n nn n a a b n --⎛⎫⎛⎫=⨯==⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 01211323333n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++⋅L ，①()12131323133n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅L ，②①-②得()()012111312312333333132n n n n nnn T n n -⨯--⋅--=++++-⋅=-⋅=-L ， 因此，()21314n nn T -⋅+=. 19．（本小题满分12分）【解析】（1）证明：因为C 半圆弧»BD上的一点，所以BC BD ⊥. 在ABD ∆中，,E F 分别为,AD BD 的中点，所以112EF AB ==，且//EF AB . 于是在EFC ∆中， 222112EF FC EC +=+==， 所以EFC ∆为直角三角形，且EF FC ⊥. 因为AB BD ⊥，//EF AB ,所以.因为EF FC ⊥，，BD FC F ⋂=，所以EF ⊥平面BCD .又EF ⊂平面CEF ，所以平面CEF ⊥平面BCD .（2）由已知120BFC ∠=o ，以F 为坐标原点，分别以垂直于BD 、向量,FD FE u u u r u u u r所在方向作为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -，则1,,0)22C ，(0,0,1)E ，(0,1,0)B -，(0,1,2)A -,1=(,1)2CE -u u u r ,(0,1,1)BE =u u u r ,(0,1,1)AE =-u u u r .设平面ACE 的一个法向量为111(,,)x y z =m ,则·0·0AE m CE m ⎧=⎨=⎩u u u v u u u v即111110102y z x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取11z =,得3=（）m . 设平面BCE 的法向量222(,,)x y z =n ,则·0·0BE n CE n ⎧=⎨=⎩u u u v u u u v即2222201022y z x y z +=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取21z =,得1,1=-）n .所以cos ,||||<>==g m n m n m n ， 又二面角A CE B --为锐角，所以二面角A CE B --.20．（本小题满分12分）【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点,P c ⎛ ⎝⎭，b =则有22212c a ⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OMAB ⊥，由OMAB =12AOB S OM AB ∆=⋅=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k+=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦Q ()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k=+， ()()()222222221682114114AOBk t t S k k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. 21．（本小题满分12分）【解析】（1）所有可能的方式有43种，恰有2人申请A 大学的申请方式有2242C ⋅种，从而恰有2人申请A 大学的概率为224428327C ⋅=； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3，则()4311327P X ===，()2232434341422327C A C A P X ⋅+===，()234344339C A P X ===. 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：()1144651232727927E X =⨯+⨯+⨯=. 22．（本小题满分12分） 【解析】（1）因为()()2112xa f x ex e x =--，所以()x a f x xe xe '=-． 所以()01f =-，()00f '=．所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线为1y =-； （2）因为()()xaxaf x xe xe x e e'=-=-，令()0f x '=，得0x =或()0x a a =<．列表如下：所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),a -∞和()0,∞+，单调递减区间为(),0a ， 所以，当0x =时，函数()y f x =有极小值()01f =-； （3）当1x ≤时，()0f x <，且()222220af e e e =->->．由（2）可知，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()y f x =的零点个数为1．。
2020年山东省新高考预测卷数学参考答案及解析
2020年山东省新高考预测卷数学 参考答案及解析参考答案：1-4：DCBA 5-8：DBCB 9：AC 10：ABD 11：ACD 12：ACD 13：14 14：22＋2 15：2 23 16：[25－4，25＋4]解析：1、z ＝(2＋i)(3－2i)＝8－i ，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(8，－1)，故选D.2、由题意得，A ＝{x |y ＝ln(x －1)}＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2－4≤0}＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，故选C.3、根据线面垂直的判定和性质，可知由后者可推前者，但由前者不能推后者，故“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的必要不充分条件，选B.4、∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故排除B ，D.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2＞1，∴排除C.故选A.5、法一 设AB →＝a ，AD →＝b ，则a·b ＝0，a 2＝16，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，AE →＝12(AC →＋AB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋a ＝34a ＋12b ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋34a ＋12b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫54a ＋32b ＝54a 2＋32a ·b ＝54a 2＝20，故选D.法二 以A 为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD ＝t (t ＞0)，则B (4，0)，C (2，t )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12t ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝(4，0)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2，t ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12t ＝(4，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫5，32t ＝20，故选D.6、由题意知，八卦中含1根与2根阴线的卦各有3种，含0根与3根阴线的卦各有1种，故从8种卦中取2卦的取法总数为C 28种，2卦中恰含4根阴线的取法为C 23＋C 13·1＝6种，所以所求概率P ＝6C 28＝314，故选B.7、由抛物线的定义知|AF |＝p 4＋p2＝3，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x ，A (1，a )，则a 2＝8，解得a ＝22或a ＝－22(舍去)，所以A (1，22).又焦点F (2，0)，所以直线AF 的斜率为－22，直线AF 的方程为y ＝－22(x －2)，代入抛物线C 的方程y 2＝8x ，得x 2－5x ＋4＝0，所以x A ＋x B ＝5，|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝5＋4＝9，故选C.8、根据AB ⊥BC 可知AC 为三角形ABC 所在截面圆O 1的直径，又平面PAC ⊥平面ABC ，△APC 为等边三角形，所以P 在OO 1上，如图所示，设PA ＝x ，则AO 1＝12x ，PO 1＝32x ，所以PO 1＝32x ＝OO 1＋2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －22＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2⇒x 2－23x ＝0⇒x ＝23，所以AO 1＝12×23＝3，PO 1＝32×23＝3，当底面三角形ABC 的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时三棱锥P －ABC 的体积最大，此时V ＝13S △ABC ×PO 1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×3×3＝3.9、因为a 2，a 3＋1，a 4成等差数列，所以a 2＋a 4＝2(a 3＋1)，因此，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋3a 3＋2＝a 1＋14，故a 3＝4.又{a n }是公比为q 的等比数列，所以由a 2＋a 4＝2(a 3＋1)，得a 3⎝⎛⎭⎪⎫q ＋1q ＝2(a 3＋1)，解得q ＝2或12.10、由条形统计图知，B —自行乘车上学的有42人，C —家人接送上学的有30人，D —其他方式上学的有18人，采用B ，C ，D 三种方式上学的共90人，设A —结伴步行上学的有x 人，由扇形统计图知，A —结伴步行上学与B —自行乘车上学的学生占60%，所以x ＋42x ＋90＝60100，解得x ＝30，故条形图中A ，C 一样高，扇形图中A 类占比与C 一样都为25%，A 和C 共占约50%，故D 也正确.D 的占比最小，A 正确.11、g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.g (x )的最小正周期为π，选项A 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有增有减，选项B 错误；g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，故x ＝π12不是g (x )图象的一条对称轴，选项C 正确.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，且当2x ＋π3＝2π3，即x ＝π6时，g (x )取最小值－12，D 正确.12、∵φ(x )＝e x·f (x )－g （x ）ex只有一个零点，∴2m (x 2＋1)－e x－（m ＋2）（x 2＋1）2e x＝0只有一个实数根，即(m ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1e x 2－2m ·x 2＋1e x ＋1＝0只有一个实数根.令t ＝x 2＋1e x ，则t ′＝（x 2＋1）′e x －（x 2＋1）e x （e x ）2＝－（x －1）2e x≤0，∴函数t ＝x 2＋1ex在R 上单调递减，且x →＋∞时，t →0，∴函数t ＝x 2＋1ex的大致图象如图所示，所以只需关于t 的方程(m ＋2)t 2－2mt ＋1＝0(*)有且只有一个正实根. ①当m ＝2时，方程(*)为4t 2－4t ＋1＝0，解得t ＝12，符合题意；②当m ＝3时，方程(*)为5t 2－6t ＋1＝0，解得t ＝15或t ＝1，不符合题意；③当m ＝－3时，方程(*)为t 2－6t －1＝0，得t ＝3±10，只有3＋10>0，符合题意. ④当m ＝－4时，方程(*)为2t 2－8t －1＝0，得t ＝4±322，只有4＋322>0，符合题意.故选A ，C ，D.13、根据题意得：f (－2)＝(－2)2＝4， 则f (f (－2))＝f (4)＝24－2＝16－2＝14. 14、由题意得2b a ＋1b ＝2b a ＋a ＋2b b ＝2b a ＋ab＋2≥22b a ·ab＋2＝22＋2，当且仅当a ＝2b ＝2－1时，等号成立，所以2b a ＋1b的最小值为22＋2.15、由已知可得(2－12)(1＋a )3＝27，则a ＝2，∴(2－x 2)(1＋ax )3＝(2－x 2)(1＋2x )3＝(2－x 2)(1＋6x ＋12x 2＋8x 3)，∴展开式中含x 2的项的系数是2×12－1＝23.16、由题意可知，直线OP 的方程为y ＝k 1x ，OQ 的方程为y ＝k 2x ，因为OP ，OQ 与圆M 相切，所以|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝22，|k 2x 0－y 0|1＋k 22＝22， 分别对两个式子进行两边平方，整理可得k 21(8－x 20)＋2k 1x 0y 0＋8－y 20＝0，k 22(8－x 20)＋2k 2x 0y 0＋8－y 20＝0，所以k 1，k 2是方程k 2(8－x 20)＋2kx 0y 0＋8－y 2＝0的两个不相等的实数根，所以k 1k 2＝8－y 208－x 20.又k 1·k 2＝－1，所以8－y 208－x 20＝－1，即x 20＋y 20＝16.又|TO |＝4＋16＝25，所以|TO |－4≤|TM |≤|TO |＋4，所以25－4≤|TM |≤25＋4. 答案 [25－4，25＋4]17. (1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)选条件①：b n ＝42n ·2（n ＋1）＝1n （n ＋1），S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 选条件②：∵a n ＝2n ，b n ＝(－1)na n ， ∴S n ＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n ， 当n 为偶数时，S n ＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －1)＋2n ]＝n2×2＝n ；当n 为奇数时，n －1为偶数， S n ＝(n －1)－2n ＝－n －1.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，－n －1，n 为奇数.选条件③：∵a n ＝2n ，b n ＝2a n ·a n ，∴b n ＝22n ·2n ＝2n ·4n， ∴S n ＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n ×4n，① 4S n ＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n －1)×4n ＋2n ×4n ＋1，②由①－②得，－3S n ＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n －2n ×4n ＋1＝8（1－4n ）1－4－2n ×4n ＋1＝8（1－4n ）－3－2n ×4n ＋1，∴S n ＝89(1－4n )＋2n 3·4n ＋1.18. (1)法一 因为m ∥n ，所以3a cos C ＝(2b －3c )cos A ， 由正弦定理得3sin A cos C ＝2sin B cos A －3cos A sin C ， 得3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，所以3sin B ＝2sin B cos A ，因为sin B >0，所以cos A ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6. 法二 因为m ∥n ，所以3a cos C ＝(2b －3c )cos A ，易知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，代入上式得，3a ×a 2＋b 2－c 22ab ＝(2b －3c )×b 2＋c 2－a 22bc，整理得，3bc ＝b 2＋c 2－a 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6.(2)由(1)得3bc ＝b 2＋c 2－a 2，又b 2－a 2＝12c 2，所以c ＝23b ，又S △ABC ＝12bc sin A ＝12b ×23b ×12＝332，得b 2＝9，所以b ＝3. 19. (1)E ，F 分别为BP ，CD 的中点，证明如下： 连接ME ，MF ，EF ，∵M ，F 分别为AD ，CD 的中点，∴MF ∥AC .又E 为BP 的中点，且四边形PBCD 为梯形，∴BC ∥EF .∵MF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴MF ∥平面ABC ，同理EF ∥平面ABC ， 又∵MF ∩EF ＝F ，MF ，EF ⊂平面MEF ， ∴平面MEF ∥平面ABC .(2)由题意知AP ，BP ，DP 两两垂直，以P 为坐标原点，PB ，PD ，PA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，AD ＝3，BP ⊥AD ，∴AP ＝1，BP ＝1，PD ＝2， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，P (0，0，0)，C (1，1，0)，A (0，0，1)，PC →＝(1，1，0)，PM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12.设平面MPC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0，n 1·PM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝－1，∴n 1＝(－1，1，－2)为平面MPC 的一个法向量. 同理可得平面PAC 的一个法向量为n 2＝(－1，1，0). 设二面角M －PC －A 的平面角为θ，由图可知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝26×2＝33.∴二面角M －PC －A 的余弦值为33. 20. (1)根据表中数据，描点如图：(2)由已知数据得t －＝ 1＋2＋3＋4＋5＋66＝3.5，y －＝3＋5＋8＋11＋13＋146＝9，∑6i ＝1t i y i ＝3＋10＋24＋44＋65＋84＝230，∑6i ＝1t 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91， b ^＝∑6i ＝1t i y i －6t － y－∑6i ＝1t 2i －6t－2＝230－6×3.5×991－6×3.52≈2.34，a ^＝y －－b ^ t －＝9－2.34×3.5＝0.81， 所以y 关于t 的线性回归方程为y ^＝2.34t ＋0.81.(3)由(2)可知，当t ＝1时，y ^1＝3.15；当t ＝2时，y ^2＝5.49；当t ＝3时，y ^3＝7.83；当t＝4时，y ^4＝10.17；当t ＝5时，y ^5＝12.51；当t ＝6时，y ^6＝14.85.与年利润数据y i 对比可知，满足y ^i －y i <0的数据有3个，所以X 的所有可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 23C 26＝15，P (X ＝1)＝C 13C 13C 26＝35，P (X ＝2)＝C 23C 26＝15，X 的分布列为数学期望E (X )＝0×15＋1×35＋2×5＝1.21. (1)由椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为(3，0)，知a 2－b 2＝3，即b 2＝a 2－3，则x 2a 2＋y 2a 2－3＝1，a 2>3.又椭圆过点M (－2，1)，∴4a 2＋1a 2－3＝1，又a 2>3，∴a 2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为x 26＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝k （x －1）得x 2＋2k 2(x －1)2＝6，即(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－6＝0，∵点N (1，0)在椭圆内部，∴Δ>0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k21＋2k2， ①x 1x 2＝2k 2－62k 2＋1， ②则t ＝MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1－k －1)·(kx 2－k －1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2－k 2－k )(x 1＋x 2)＋k 2＋2k ＋5 ③， 将①②代入③得，t ＝(1＋k 2)·2k 2－62k 2＋1＋(2－k 2－k )·4k22k 2＋1＋k 2＋2k ＋5，∴t ＝15k 2＋2k －12k 2＋1，∴(15－2t )k 2＋2k －1－t ＝0，k ∈R ， 则Δ1＝22＋4(15－2t )(1＋t )≥0，∴(2t －15)(t ＋1)－1≤0，即2t 2－13t －16≤0， 由题意知t 1，t 2是2t 2－13t －16＝0的两根， ∴t 1＋t 2＝132.22.(1) ∵a ＝0时，∴f (x )＝e x －ln x ，f ′(x )＝e x－1x(x >0)，∴f (1)＝e ，f ′(1)＝e －1，∴函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为：y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.(2)证明 ∵f ′(x )＝ex ＋a－1x(x >0)，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x ＋a＋1x2>0，∴g (x )是增函数，∵ex ＋a>e a ，∴由e a >1x⇒x >e －a，∴当x >e －a时，f ′(x )>0； 若0<x <1⇒ex ＋a<ea ＋1，由ea ＋1<1x⇒x <e －a －1，∴当0<x <min{1，e －a －1}时，f ′(x )<0，故f ′(x )＝0仅有一解，记为x 0，则当0<x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )递减；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )递增；∴f (x )min ＝f (x 0)＝e x 0＋a －ln x 0，而f ′(x 0)＝e x 0＋a －1x 0＝0⇒e x 0＋a ＝1x 0⇒a ＝－ln x 0－x 0，记h (x )＝ln x ＋x ， 则f (x 0)＝1x 0－ln x 0＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，a >1－1e ⇔－a <1e－1⇔h (x 0)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e，而h (x )显然是增函数， ∴0<x 0<1e ⇔1x 0>e ，∴h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0>h (e)＝e ＋1. 综上，当a >1－1e时，f (x )>e ＋1.。
2020山东高考数学预测卷及答案(理科,附答案解析)
一、填空题：（本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分．请将答案填入答题纸填空题de 相应答题线上．） 1 ．复数2+i i在复平面上对应de 点在第 象限．2．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40种、10种、30种、20 种，从 中抽取一个容量为 20de 样本进行食品安全检测．若采用 分层抽样de 方法抽取样本，则抽取de 植物油类与果蔬类 食品种数之和是．3．已知集合 A { x | x 5} ，集合开始江，若命题B { x | x a} n输入 “ ”是命题“ ”de 充分不必要x Ax BS 0条件，则实是数de 取值范围是 a．n 2否4．如图，直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 输出 SSS n中，AB =1 BC =2 AC = AA =3，， ， ， 51 结束n n 1M 为线段 BB 1上de 一动点，则当＋MC AM第 6题图1 AMC1de 面积为最小时，△ ．（第 4题）．5．集合 A {3,log a}, B { a, b}, 若 A I B {2},则 AU B．2 6．阅读如图所示de 程序框，若输入de 是 100 ，则输出den变量de 值是S．7．向量 a (cos10 ,sin10 ),b (cos70 ,sin 70o) ，a 2booo=．8．方程 xlg( x 2) 1 有 个不同de 实数根．9．设等差数列 a n de 前 n 项和为 S ,若1≤ a ≤ 4， 2≤ a ≤ 3， n 5 6de 取值范围是则 S6 ．10．过双曲线 x 2y 2a 2b 21(a 0,b 0)de 左焦点 F ( c,0)(c 0) ，作圆：a 242x y 2de 切线，切点为，直线 交双曲线右支于点 ，若 E FEPuuur OE uuur uuur(OF OP) 1 2，则双曲线de离心率为 ．11．若函数 f xmx 2 ln x 2x在定义域内是增函数，则实数dem取值范围是．12．如果圆 (x a) ( y a)24 x2上总存在两个点到原点de 距离为 1，则实数 ade 取值范围是 ． 13．已知实数 满足x,yx 1y 3 y ，则 x y de 最大值为 ．14 ．当 n 为正整数时，函数 表示N(n)nde 最大奇因数 ,如N(3) 3,N(10) 5,,设S n N (1) N (2) N(3) N(4) ... N(2 n,nN(2 )则1) ．S n二、解答题：本大题共六小题，共计 90分．请在答题卡指定 区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分 14分）在锐角 ABC 中，角 A ，B ，C 所对de 边分别为，b ，．已 a c 3 知 cos2C.4（1）求 sinC ；（2）当 c 2a ，且 b 3 7时，求 a .16．（本题满分 14分）如图 , 是边长为de 正方形，DE平面 ABCD ，ABCD 3 AF // DE ， DE 3AF ，BE 与平面 ABCD 所成角为 60 0 .E(1)求证： AC 平面 BDE ； （ 2）设点是线段 上一个动 M BD 点，试确定点 de MFDC位置，使得 平面 ，并证明BEFAM // 你de 结论 .A B。
2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷及解析
2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、单项选择题：1.已知集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,若B A ⊆,则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ） A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 【答案】D【解析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论,分别求出a 的范围,即可得出结果.【详解】因为集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,B A ⊆,若B 为空集,则方程1ax =无解,解得0a =；若B 不为空集,则0a ≠；由1ax =解得1x a=,所以11a =-或12a =,解得1a =-或12a =, 综上,由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选D2.若1iz i =-+（其中i 是虚数单位）,则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D分析：变形1iz i =-+,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+, 得()()21i i 1i 1i i i z -+--+===+-,1z i =- ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-,位于第四象限,故选D.3.函数()()22ln x x f x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数,图象关于y 轴对称,排除D ；根据()0,1x ∈时,()0f x <,排除,A C ,从而得到正确选项.【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠,且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数,关于y 轴对称,排除D ；当()0,1x ∈时,220x x -+>,ln 0x <,可知()0f x <,排除,A C .本题正确选项：B4.《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ）A. 甲付的税钱最多B. 乙、丙两人付的税钱超过甲C. 乙应出的税钱约为32D. 丙付的税钱最少 【答案】B【解析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.。
山东实验中学2020届高三综合训练(二)数学(理科)试题 (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（二）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．已知A＝{x||x|＜1}，B＝{x|2x＜1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）（a∈R）的虚部为﹣1，则a＝（）2．已知i为虚数单位，若复数z=−ai1+iA．﹣2 B．1 C．2 D．﹣13．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为y^=1.16x﹣30.75，以下结论中不正确的为（）A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米的图象大致为（）4．函数f（x）＝|x|−ln|x|x2A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16π−163B．16π−323C．8π−163D．8π−3236．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（）A．20%，14580元B．10%，14580元C．20%，10800元D．10%，10800元7．若m＞0，n＞0，且直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相切，则m+n的取值范围是（）A．[2+√2，+∞）B．[2+2√2，+∞）C．（0，2+√2] D．（0，2+2√2]8．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式，若a cos B+（b+3c）cos A＝0，且a2﹣b2﹣c2＝2，则△ABC的面积为（）A．√2B．2√2C．√6D．2√39．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为n（x）≈x lnx的结论（素数即质数，lge≈0.43429）．根据欧拉得出的结论，如下流程图中若输入n的值为100，则输出k的值应属于区间（）A ．（15，20]B ．（20，25]C ．（25，30]D ．（30，35] 10．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0），且双曲线C 与圆x 2+y 2＝c 2在第一象限相交于点A ，且|AF 1|=√3|AF 2|，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．√3+1B ．√2+1C ．√3D ．√2 11．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π），f （π8）=√2，f （π2）＝0且f （x ）在（0，π）上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）A ．ω=12B ．f （−π8）=√6+√22C ．函数f （x ）在[﹣π，−π2]上单调递减D ．函数f （x ）的图象关于点（5π4，0）对称12．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （5﹣x ）＝f （x +3），且f （x ）={−2x 2+4x ，0≤x ＜1x −2lnx ，1≤x ≤4，若关于x 的不等式f 2（x ）+（a +1）f （x ）+a ＜0在[﹣20，20]上有且仅有15个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，ln 2﹣2]B ．[2ln 3﹣3，2ln 2﹣2）C ．（2ln 3﹣3，2ln 2﹣2]D ．[2﹣2ln 2，3﹣2ln 3）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在大题卡相应位置上．13．二项式（x 6x x ）5展开式中的常数项是 ． 14．已知向量a →=(1，2)，b →=(k ，1)，且2a →+b →与向量a →的夹角为90°，则向量a →在向量b→方向上的投影为 ．15．已知P ，E ，F 都在球面C 上，且P 在△EFG 所在平面外，PE ⊥EF ，PE ⊥EG ，PE ＝2GF ＝2EG ＝4，∠EGF ＝120°，在球C 内任取一点，则该点落在三棱锥P ﹣EFG 内的概率为 ．16．已知数列{a n }的各项都是正数，a n+12−a n+1=a n（n ∈N*），若数列{a n }各项单调递增，则首项a 1的取值范围 ；当a 1=23时，记b n =(−1)n−1a n −1，若k ＜b 1+b 2+…+b 2019＜k +1，则整数k ＝ ．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A −43sin B sin C ． （1）求cos A ；（2）若△ABC 的面积为43√2，求内角A 的角平分线AD 长的最大值．18．如图，四棱锥S ﹣ABCD 中，SD ＝CD ＝SC ＝2AB ＝2BC ，平面ABCD ⊥底面SDC ，AB∥CD，∠ABC＝90°，E是SD中点．（1）证明：直线AE∥平面SBC；（2）点F为线段AS的中点，求二面角F﹣CD﹣S的大小．19．2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9：20∼10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20∼9：40记作区间[20，40），9：40∼10：00记作[40，60），10：00∼10：20记作[60，80），10：20∼10：40记作[80，100]．例如：10点04分，记作时刻64．（1）估计这600辆车在9：20∼10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20∼10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可用这600辆车在9：20∼10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：22之间通过的车辆数（结果保留到整数）．参考数据：若T∼N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜T≤μ≤σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜T≤μ+2σ）＝0.9545；③P（μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973．20．已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，焦距为2c，直线bx﹣y+√2a＝0过椭圆的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线bx﹣y+2c＝0与y轴交于点P，A，B是椭圆C上的两个动点，∠APB的平分线在y轴上，|PA|≠|PB|．试判断直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣b．（1）求函数f（x）的极值；（2）若不等式f（x）≤﹣ex恒成立，求ba−e的最小值（其中e为自然对数的底数）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．本题满分0分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=121+sin2θ，射线θ=π4（ρ≥0）交曲线C于点A，倾斜角为α的直线l过线段OA的中点B且与曲线C交于P、Q两点．（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的参数方程；（2）当直线l倾斜角α为何值时，|BP|•|BQ|取最小值，并求出|BP|•|BQ|最小值[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞3﹣|x+2|；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且a+2b=√2，求证：f(x)−|x|≤√a2+4b2．参考答案一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A＝{x||x|＜1}，B＝{x|2x＜1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】分别求出A，B即可求得结论．解：因为A＝{x||x|＜1}＝（﹣1，1），B＝{x|2x＜1}＝（﹣∞，0），则A∪B＝（﹣∞，1）．故选：D．【点评】本题主要考查集合之间的基本运算，属于基础题目．2．已知i为虚数单位，若复数z=−ai1+i（a∈R）的虚部为﹣1，则a＝（）A．﹣2 B．1 C．2 D．﹣1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部等于﹣1求解a值．解：由z=−ai1+i =−ai(1−i)(1+i)(1−i)=a2−a2i，得−a2=−1，即a＝2．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为y^=1.16x﹣30.75，以下结论中不正确的为（）A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米【分析】就会图形对各个选项分别判断即可．解：对于A，身高极差大约是25，臂展极差大于等于30，故A正确；对于B，很明显根据散点图以及回归方程得到，身高矮展臂就会短一些，身高高一些，展臂就会长一些，故B正确；对于C，身高为190厘米，代入回归方程可得展臂等于189.65厘米，但不是准确值，故C 正确；对于D，身高相差10厘米的两人展臂的估计值相差11.6厘米，但不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点，故D错误；故选：D．【点评】本题考查了回归方程问题，考查对应思想，是一道常规题．4．函数f（x）＝|x|−ln|x|x2的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性可排除CD，利用导数研究可知当x＞0时，其在x＝1处取得极小值，可排除B，由此得解．解：因为f（﹣x）＝f（x），所以f（x）是偶函数，排除C和D．当x＞0时，f(x)=x−lnxx2，f′(x)=x3+2lnx−1x3，令f'（x）＜0，得0＜x＜1；令f'（x）＞0，得x＞1．所以f（x）在x＝1处取得极小值，排除B，故选：A．【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16π−163B．16π−323C．8π−163D．8π−323【分析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积V=12×π×22×4−13×42×2＝8π−323．故选：D．【点评】本题考查了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（）A．20%，14580元B．10%，14580元C．20%，10800元D．10%，10800元【分析】根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，则数列的公比为1﹣m，由等比数列的通项公式可得{a1+a2+a3+a4=68780a1+a3=36200，进而计算可得m与a4的值，即可得答案．解：根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，则数列的公比为1﹣m，则有{a1+a2+a3+a4=68780a1+a3=36200，则有a2+a4＝32580，则有1﹣m＝0.9，则m＝0.1＝10%，则有a4(0.9)+a4＝32580，解可得a4＝14580，即“衰分比”为10%，丁所获得的奖金14580，故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式以及前n项和公式的应用，注意“衰分比”的定义，属于基础题．7．若m＞0，n＞0，且直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相切，则m+n的取值范围是（）A．[2+√2，+∞）B．[2+2√2，+∞）C．（0，2+√2] D．（0，2+2√2] 【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n ＝x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，得到圆心坐标为（1，1），半径r＝1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d=√(m+1)+(n+1)=1，整理得：m+n+1＝mn≤(m+n2)2，设m+n＝x（x＞0），则有x+1≤x24，即x2﹣4x﹣4≥0，解得：x≥2+2√2，则m+n的取值范围为[2+2√2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，是中档题．8．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式，若a cos B+（b+3c）cos A＝0，且a2﹣b2﹣c2＝2，则△ABC的面积为（）A．√2B．2√2C．√6D．2√3【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin C≠0，可得cos A=−13，由余弦定理可得bc的值，根据公式即可求解△ABC的面积公式．解：由a cos B+（b+3c）cos A＝0，可得sin A cos B+cos A sin B+3sin C cos A＝0，即sin（A+B）+3sin C cos A＝0，即sin C（1+3cos A）＝0，因为sin C≠0，所以cos A=−13，由余弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝﹣2bc cos A=23bc＝2，所以bc＝3，由△ABC的面积公式可得S=√14[(bc)2−(c2+b2−a22)2]=√14(32−12)=√2．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为n（x）≈x lnx的结论（素数即质数，lge≈0.43429）．根据欧拉得出的结论，如下流程图中若输入n的值为100，则输出k的值应属于区间（）A．（15，20] B．（20，25] C．（25，30] D．（30，35]【分析】由流程图可知其作用为统计100以内素数的个数，将x＝100代入n（x）≈x lnx可求得近似值，从而得到结果．解：该流程图是统计100以内素数的个数，由题可知小于数字x的素数个数大约可以表示为n（x）≈x lnx；则100以内的素数个数为：n（100）≈100ln100=1002ln10=50lg10lge=50lge≈22．故选：B．【点评】本题考查了判断新定义运算的应用问题，关键是能够明确流程图的具体作用．10．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0），且双曲线C 与圆x 2+y 2＝c 2在第一象限相交于点A ，且|AF 1|=√3|AF 2|，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．√3+1B ．√2+1C ．√3D ．√2【分析】运用双曲线的定义和条件，求得|AF 1|，|AF 2|，由直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理和离心率公式，计算可得所求值． 解：双曲线C 与圆x 2+y 2＝c 2在第一象限相交于点A ， 可得|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ， 由|AF 1|=√3|AF 2|，可得|AF 1|＝（3+√3）a ，|AF 2|＝（1+√3）a ， 由AF 1⊥AF 2，可得|AF 1|2+|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 即为（12+6√3）a 2+（4+2√3）a 2＝4c 2，即有e 2=c 2a2=16+8√34=4+2√3，即有e ＝1+√3． 故选：A ．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直径所对的圆周角为直角，以及双曲线的定义，考查化简运算能力，属于中档题．11．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π），f （π8）=√2，f （π2）＝0且f （x ）在（0，π）上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A ．ω=12B ．f （−π8）=√6+√22C ．函数f （x ）在[﹣π，−π2]上单调递减D ．函数f （x ）的图象关于点（5π4，0）对称【分析】因为f （x ）在（0，π）上是单调函数，所以周期大于2π，∴f （π8）=√2，f （π2）＝0对应的点在一个周期内，且相差T8，由此可求出ω，进一步求出φ的值．然后逐项判断．解：因为f （x ）在（0，π）上是单调函数，所以周期大于2π，∴f （π8）=√2，f （π2）＝0对应的点在一个周期内，且相差T8．∴T8=π2−π8=3π8，∴T ＝3π，∴ω=23．故A 错误．∴f(x)=2sin(23x +φ)，由f （π2）＝0得23×π2+φ=π+2kπ，k ∈Z ．∵0＜φ＜π，∴k ＝0时，φ=2π3．∴f(x)=2sin(23x +2π3)．f(−π8)=2sin7π12=2sin(π4+π3)=√6+√22，故B 正确． 当x ∈[﹣π，−π2]时，2x 3+2π3∈[0，π3]，这是y ＝sin x 的增区间．故原区间是原函数的增区间．故C 错误．因为f(5π4)=2sin 3π2=−2≠0，故D 错误．故选：B ．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，同时考查学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心数学素养．有一定的难度．12．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （5﹣x ）＝f （x +3），且f （x ）={−2x 2+4x ，0≤x ＜1x −2lnx ，1≤x ≤4，若关于x 的不等式f 2（x ）+（a +1）f （x ）+a ＜0在[﹣20，20]上有且仅有15个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A．（﹣1，ln2﹣2] B．[2ln3﹣3，2ln2﹣2）C．（2ln3﹣3，2ln2﹣2] D．[2﹣2ln2，3﹣2ln3）【分析】根据条件可得f（x）为周期是8以及对称轴为x＝4的偶函数，条件可转化为方程在[﹣4，4]上有3个整数解，利用导数可判断得到函数在[﹣4，4]的图象，数形结合即可．解：因为f（5﹣x）＝f（x+3），则函数f（x）图象关于x＝4对称，又因为函数为偶函数，所以f（5﹣x）＝f（x﹣5）＝f（x+3），即有f（x）＝（x+8），则f（x）周期为8，则区间[﹣20，20]包含5个周期，则条件等价于方程在[﹣4，4]上有3个整数解，当x∈[0，1）时，f（x）＝﹣2x2+4x是增函数，，当x∈[1，4]时，f（x）＝x﹣2lnx，f'（x）＝1−2x所以1≤x＜2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，2＜x≤4时，f’（x）＞0，f（x）单调递增，x＝2时，f（x）取得极小值f（2）＝2﹣2ln2，又f（1）＝1，f（3）＝3﹣2ln3＜1，作出图象如图：方程等价于[f（x）+a][f（x）+1]＜0，若﹣a≤0，则原不等式无解，若﹣a＞0，﹣1＜f（x）＜﹣a要使不等式在[﹣4，4]上有3个整数解，则需2﹣2ln2＜﹣a≤3﹣2ln3，即2ln3﹣2≤a＜2ln2﹣2，故选：B．【点评】本题考查不等式的整数解问题，考查函数奇偶性、对称性、周期性，用导数研究函数单调性、极值问题，对学生分析问题解决问题的能力、转化与化归能力要求较高，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在大题卡相应位置上．13．二项式（x6x√x）5展开式中的常数项是 5 ．【分析】根据题意，由二项式定理可得二项式（x6x√x）5展开式的通项，令x的系数为0，分析可得r的值，将r的值代入通项，分析可得答案．解：根据题意，二项式（x61x√x）5展开式的通项为T r+1＝C5r（x6）5﹣r（x√x ）r＝C5r x60−15r2，令60−15r2=0，解可得r＝4，当r＝4时，T5＝C54x0＝5，即其展开式中的常数项为5；故答案为：5．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是求出该二项式的通项．14．已知向量a→=(1，2)，b→=(k，1)，且2a→+b→与向量a→的夹角为90°，则向量a→在向量b→方向上的投影为−2√14529．【分析】先根据向量a→和b→的坐标表示出2a→+b→，再由2a→+b→与向量a→的夹角为90°可列出关于k 的方程，解之得k 的值，从而求得向量b →及其模长，然后由平面向量数量积的定义可知向量a →在向量b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|，并结合数量积的坐标运算即可得解．解：∵a →=(1，2)，b →=(k ，1)，∴2a →+b →=（2+k ，5），又2a →+b →与向量a →的夹角为90°，∴（2a →+b →）•a →=0即（2+k ）×1+5×2＝0，解得k ＝﹣12，∴b →=(−12，1)，|b →|=√(−12)2+1=√145，∴向量a →在向量b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|=√145=−2√14529． 故答案为：−2√14529．【点评】本题考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．15．已知P ，E ，F 都在球面C 上，且P 在△EFG 所在平面外，PE ⊥EF ，PE ⊥EG ，PE ＝2GF ＝2EG ＝4，∠EGF ＝120°，在球C 内任取一点，则该点落在三棱锥P ﹣EFG 内的概率为√632π． 【分析】由题意画出图形，求出三棱锥外接球的半径，再分别求出三棱锥及其外接球的体积，由测度比为体积比得答案． 解：如图，在三角形EGF 中，由已知可得EG ＝GF ＝2，∠EGF ＝120°，可得EF =2√3，设三角形EFG 的外接圆的半径为r ，由2√3sin120°=2r ，可得r ＝2．再设△EGF 的外心为G 1，过G 1 作底面EGF 的垂线G 1O ，且使G 1O =12PE =2．连接OE ，则OE =2√2为三棱锥P ﹣EFG 的外接球的半径．则V 球=43π×(2√2)3=64√23π；V P−EGF =13×12×2×2×sin120°×4=4√33．由测度比为体积比，可得在球C 内任取一点，则该点落在三棱锥P ﹣EFG 内的概率为4√3364√23π=√632π． 故答案为：√632π．【点评】本题考查球内接多面体及其体积、考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．已知数列{a n }的各项都是正数，a n+12−a n+1=a n（n ∈N*），若数列{a n }各项单调递增，则首项a 1的取值范围 （0，2） ；当a 1=23时，记b n =(−1)n−1a n −1，若k ＜b 1+b 2+…+b 2019＜k +1，则整数k ＝ ﹣4 ．【分析】本题根据正数数列{a n }是单调递增数列，可列出a n −a n+1=a n+12−2a n+1＜0，通过求出a n +1的取值范围，得到a 2的取值范围，逆推出a 1的取值范围；第二空主要是采用裂项相消法求出b 1+b 2+…+b 2019的表达式，然后进行不等式范围计算，即可得到结果． 解：由题意，正数数列{a n }是单调递增数列，且a n+12−a n+1=a n ， ∴a n −a n+1=a n+12−2a n+1＜0，解得a n +1∈（0，2）， ∴a 2∈（0，2）．∴a1=a22−a2∈[−14，2)．∵a1＞0，∴0＜a1＜2．又由a n+12−a n+1=a n，可得：1a n =1a n+1−a n+1=1a n+1−1−1a n+1．∴1a n+1−1=1a n+1a n+1．∵bn =(−1)n−1a n−1，∴b1+b2+⋯+b2019=1a1−1−1a2−1+1a3−1−⋯+1a2019−1=1 a1−1−（1a1+1a2）+（1a2+1a3）﹣…﹣（1a2017+1a2018）+（1a2018+1a2019）=1 a1−1−1a1−1a2+1a2+1a3−⋯−1a2017−1a2018+1a2018+1a2019=1 a1−1−1a1+1a2019=−92+1a2019．∵a1=23，且数列{an}是递增数列，∴a2019∈(23，2)，即1a2019∈(12，32)，∴﹣4＜−92+1a2019＜−3．∴整数k＝﹣4．故答案为：（0，2）；﹣4．【点评】本题考查了数列递推关系、裂项相消法的应用，数列的周期性，考查了推理能力与不等式的计算能力，属于较难的中档题．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．若△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且（sin B﹣sin C）2＝sin2A−43sin B sin C．（1）求cos A；（2）若△ABC的面积为43√2，求内角A的角平分线AD长的最大值．【分析】（1）根据（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，由正弦定理可得b2+c2﹣a2＝bc，再利用余弦定理求出cos A．（2）利用三角形的面积公式的应用和同角三角函数的关系式的应用和基本不等式的应用求出结果．解：（1）∵（sin B﹣sin C）2＝sin2A−43sin B sin C．∴sin2B+sin2C﹣sin2A＝2sin B sin C−43sin B sin C，由正弦定理可得：b2+c2﹣a2＝2bc−43bc，∴可得：b2+c2﹣a2=23bc．由余弦定理，得cos A=b2+c2−a22bc=13．（2）∵cos A=13，∴sin A=√1−cos2A=2√23，∵△ABC的面积为43√2=12bc sin A=√23bc，∴解得：bc＝4，所以S△ABC=12b⋅AD⋅sin∠CAD+12⋅c⋅AD⋅sin∠BAD=4√23．即AD(12⋅b⋅√33+12⋅c⋅√33)=4√23，AD=8√63(b+c)≤√66bc=2√63（当且仅当b＝c时等号成立）．故AD的最大值为2√6．3【点评】本题考查的知识要点：正弦定理、和差公式诱导公式、三角函数的单调性，三角形面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．属于基础题型．18．如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD＝CD＝SC＝2AB＝2BC，平面ABCD⊥底面SDC，AB ∥CD，∠ABC＝90°，E是SD中点．（1）证明：直线AE∥平面SBC；（2）点F为线段AS的中点，求二面角F﹣CD﹣S的大小．【分析】（1）取SC中点G，连结BG，EG，推导出四边形AEGB为平行四边形，从而AE∥BG，进而AE∥平面SBC．（2）取CD中点O，推导出四边形ABCD为矩形，AO⊥CO，AO⊥CD，以O为原点，OS为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F ﹣CD﹣S的大小．【解答】（1）证明：如图，取SC中点G，连结BG，EG，∵EG为△SDC的中位线，∴EG∥CD，且EG=1CD，2∵AB∥CD，且AB=1CD，∴EG∥CD，且EG＝AB，2∴四边形AEGB为平行四边形，∴AE∥BG，∵BG⊂平面SBC，AE⊄平面SBC，∴AE∥平面SBC．（2）解：设AB ＝1，则BC ＝1，CD ＝2，取CD 中点O ， ∴CF =12CD =AB ，∵AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 为矩形，∴AO ⊥CO ，AO ⊥CD ，平面ABCD ∩平面SDC ＝CD ，∴AO ⊥平面SDC ，AO ⊥SO ， ∵△SDC 为正三角形，∴SO ⊥CD ，以O 为原点，OS 为x 轴，OC 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，A （0，0，1），S （√3，0，0），C （0，1，0），D （0，﹣1，0），F （√32，0，12），FC →=（−√32，1，−12），FD →=（−√32，﹣1，−12）， 设平面FCD 的一个法向量m →=（a ，b ，c ），则{FC →⋅m →=−√32x +y −12z =0FD →⋅m →=−√32x −y −12z =0，取x ＝1，得m →=（1，0，−√3），平面SDC 的一个法向量n →=（0，0，1）， 设二面角F ﹣CD ﹣S 的大小为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√32．∴θ＝30°，∴二面角F ﹣CD ﹣S 的大小为30°．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足线面平行的线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9：20∼10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20∼9：40记作区间[20，40），9：40∼10：00记作[40，60），10：00∼10：20记作[60，80），10：20∼10：40记作[80，100]．例如：10点04分，记作时刻64．（1）估计这600辆车在9：20∼10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20∼10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可用这600辆车在9：20∼10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：22之间通过的车辆数（结果保留到整数）．参考数据：若T∼N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜T≤μ≤σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜T≤μ+2σ）＝0.9545；③P （μ﹣3σ＜T ≤μ+3σ）＝0.9973．【分析】（1）利用频率分布直方图直接求解这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值即可．（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法推出X 的可能取值为0，1，2，3，4．求出概率，得到分布列，然后求解期望．（3）由（1）可得μ＝64，σ＝18，说明T ～N （μ，σ2），得到概率，即可求解在9：46～10：22这一时间段内通过的车辆数．解：（1）这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为（30×0.005+50×0.015+70×0.020+90×0.010）×20＝64，即10点04分． （2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60）这一区间内的车辆数， 即（0.005+0.015）×20×10＝4，所以X 的可能取值为0，1，2，3，4．所以P(X =0)=C 64C 104=114，P(X =1)=C 63C 41C 104=821，P(X =2)=C 62C 42C 104=37，P(X =3)=C 61C 43C 104=435，P(X =4)=C 60C 44C104=1210，所以X 的分布列为X 01234P114821374351210所以E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85．（3）由（1）可得μ＝64，σ2＝（30﹣64）2×0.1+（50﹣64）2×0.3+（70﹣64）2×0.4+（90﹣64）2×0.2＝324，所以σ＝18，估计在9：46～10：22这一时间段内通过的车辆数，也就是46＜T≤82通过的车辆数，由T～N（μ，σ2），所以，得0.6827，估计在9：46～10：22这一时间段内通过的车辆数为1000×0.6827≈683（辆）．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查正态分布以及频率分布直方图的应用，考查分析问题解决问题，是中档题．20．已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，焦距为2c，直线bx﹣y+√2a＝0过椭圆的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线bx﹣y+2c＝0与y轴交于点P，A，B是椭圆C上的两个动点，∠APB的平分线在y轴上，|PA|≠|PB|．试判断直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）因为直线bx﹣y+√2a＝0过椭圆的左焦点，故令y＝0，得x=−√2ab=−c，又因为离心率为√22，从而求出b＝2，又因为a2＝b2+c2，求出a的值，从而求出椭圆C的标准方程；（Ⅱ）先求出点P的坐标，设直线AB的方程为y＝kx+m，联立方程组，利用根与系数的关系，设A（x1，y1），B（x2，y2），得到k1+k2=8k(m−1)m2−4，又因为∠APB的平分线在y轴上，所以k1+k2＝0，从而求出m的值，得到直线AB的方程为y＝kx+1过定点坐标．解：（Ⅰ）因为直线bx ﹣y +√2a ＝0过椭圆的左焦点， 故令y ＝0，得x =−√2a b=−c ，∴c a=√2b=√22，解得b ＝2， 又∵a 2＝b 2+c 2＝b 2+12a 2，解得a ＝2√2，∴椭圆C 的标准方程为：x 28+y 24=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得c =√22a ＝2，∴直线bx ﹣y +2c ＝0的方程为2x ﹣y +4＝0， 令x ＝0得，y ＝4，即P （0，4）， 设直线AB 的方程为y ＝kx +m ，联立方程组{y =kx +mx 28+y 24=1，消去y 得，（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1，则直线PA 的斜率k 1=y 1−4x 1=k +m−4x 1， 则直线PB 的斜率k 2=y 2−4x 2=k +m−4x 2， 所有k 1+k 2＝2k +(m−4)(x 1+x 2)x 1x 2=2k +(m−4)(−4km)2m 2−8=8k(m−1)m 2−4， ∵∠APB 的平分线在y 轴上， ∴k 1+k 2＝0，即8k(m−1)m −4=0，又|PA |≠|PB |，∴k ≠0，∴m ＝1，∴直线AB 的方程为y ＝kx +1，过定点（0，1）．【点评】本题主要考查了求椭圆方程，以及直线过定点问题，是中档题． 21．已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax ﹣b ． （1）求函数f （x ）的极值；（2）若不等式f （x ）≤﹣ex 恒成立，求ba−e的最小值（其中e 为自然对数的底数）．【分析】（1）求导，分a ≤0及a ＞0两种情况讨论，得出函数f （x ）的单调性情况，进而得出极值；（2）设h （x ）＝lnx +（e ﹣a ）x ﹣b ，当a ≤e 时，易判断此时h （x ）≤0不可能恒成立，当a ＞e 时，由h （x ）≤0可得b ≥﹣1﹣ln （a ﹣e ），进而得到b a−e≥−1+ln(a−e)a−e(a ＞e)，构造函数F(x)=−1+ln(x−e)x−e (x ＞e)，再利用导数求其最小值即可．解：（1）f ′(x)=1x−a =1−ax x(x ＞0)，当a ≤0时，f '（x ）＞0恒成立，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，无极值； 当a ＞0时，由f '（x ）＞0，得0＜x ＜1a，函数f （x ）在(0，1a)上单调递增，由f '（x ）＜0，得x ＞1a，函数f （x ）在(1a，+∞)上单调递减，f （x ）极大值为f(1a)=ln 1a−1−b =−lna −1−b ，无极小值；综上所述，当a ≤0时，f （x ）无极值；当a ＞0时，f （x ）极大值为﹣lna ﹣1﹣b ，无极小值； （2）由f （x ）≤﹣ex 可得f （x ）＝lnx ﹣ax ﹣b ≤﹣ex ，设h （x ）＝lnx +（e ﹣a ）x ﹣b ，所以h ′(x)=1x+e −a ，x ＞0，当a ≤e 时，h '（x ）＞0，h （x ）在（0，+∞）上是增函数，所以h （x ）≤0不可能恒成立，当a ＞e 时，由h ′(x)=1x+e −a =0，得x =1a−e，当x ∈(0，1a−e )时，h '（x ）＞0，h （x ）单调递增，当x ∈(1a−e，+∞)时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减，所以当x =1a−e 时，h （x ）取最大值，h(1a−e )=−ln(a −e)−b −1≤0， 所以ln （a ﹣e ）+b +1≥0，即b ≥﹣1﹣ln （a ﹣e ），所以ba−e≥−1+ln(a−e)a−e(a ＞e)，令F(x)=−1+ln(x−e)x−e (x ＞e)，F ′(x)=−1x−e (x−e)−1−ln(x−e)(x−e)2=ln(x−e)(x−e)2， 当x ∈（e +1，+∞）时，F '（x ）＞0，F （x ）单调递增， 当x ∈（e ，e +1）时，F '（x ）＜0，F （x ）单调递减，所以当x ＝e +1时，F （x ）取最小值，即F （x ）≥F （e +1）＝﹣1，所以ba−e的最小值为﹣1．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=121+sin 2θ，射线θ=π4（ρ≥0）交曲线C 于点A ，倾斜角为α的直线l 过线段OA 的中点B 且与曲线C 交于P 、Q 两点． （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的参数方程；（2）当直线l 倾斜角α为何值时，|BP |•|BQ |取最小值，并求出|BP |•|BQ |最小值 【分析】（1）把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2+y 2代入曲线C 的极坐标方程，可得曲线C的直角坐标方程，求出点A 的极坐标，进一步得到直角坐标，再求出OA 的中点B 的坐标，则倾斜角为α且过线段OA 的中点B 的直线l 的参数方程可求；（2）将直线l 的参数方程代入x 2+2y 2＝12，整理得到关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及t 的几何意义求解．解：（1）∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2+y 2， 且ρ2=121+sin 2θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+2y 2＝12，即x 212+y 26=1．射线θ=π4（ρ≥0）交曲线C 于点A ，故点A 的极坐标为（2√2，π4）， 点A 的直角坐标为（2，2），OA 的中点B （1，1）．∴倾斜角为α且过线段OA 的中点B 的直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =1+tsinα（t 为参数）；（2）将直线l 的参数方程代入x 2+2y 2＝12，整理得：（cos 2α+2sin 2α）t 2+（2cos α+4sin α）t ﹣9＝0． 设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2=−9cos 2α+2sin 2α．故|BP |•|BQ |＝|t 1t 2|=9cos 2α+2sin 2α=91+sin 2α． 当sin α＝1，即α=π2时，|BP |•|BQ |取最小值为92．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f （x ）＝|x +1|． （Ⅰ）解不等式f （x ）＞3﹣|x +2|；。
2024届山东省实验中学高考数学定心卷(含答案)
2024年高考数学最后一卷（押题卷）一、 单选题1．若集合{}21,S x x m m ==−∈N ，{}31,N P x x n n ==−∈，{}61,T x x k k ==−∈N ，则（ ） A ．S T ⊆ B ．P T =C ．S P T =D ．S P T =2．已知()41i 1iz +=−，则z 的虚部为（ ）A ．2iB ．2i −C ．2−D ．23．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a ，()2,B b ，且3cos25α=，则a b −=（ ）A ．12B C D ．14．已知等比数列{}n a 满足1524a a a ⋅=，且712a =，则21222log log log n a a a +++ 的最大值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．155．已知点A 、B 、C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(0,2)，则||PA PB PC ++的最大值为（ ） A ．3B ．5C ．7D ．96．在三棱锥A BCD −中，AB ⊥平面BCD ，AB =2BC BD CD ===，E ，F 分别为AC ，CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．AF ，BE 是异面直线，AF BE ⊥B ．AF ，BE 是相交直线，AF BE ⊥C ．AF ，BE 是异面直线，AF 与BE 不垂直D ．AF ，BE 是相交直线，AF 与BE 不垂直7．有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X 形成一组新的数据，且()4C 16kP X k ==(){0,1,2,3,4}k ∈，则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为（ ） A ．116B ．516C ．1116D ．15168．设点12,F F 分别为椭圆22:184x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得12PF PF m ⋅= 成立的点P 恰好有4个，则实数m 的值可以是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．6二、多选题9．已知曲线22:cos sin 1C x y αα−=，其中ππ22α ∈−，，则（ ）A ．存在α使得C 为两条直线B ．存在α使得C 为圆C ．若C 为椭圆，则α越大，C 的离心率越大D ．若C 为双曲线，则α越大，C 的离心率越小10．如图，将一块边长为4m 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（ ）A ．当2m x =时，正四棱锥的侧面积为2B ．当2m x =3C ．当x =时，正四棱锥外接球的体积为3343m 6πD 3 11．已知函数()1f x x =+，设1()()g x f x =，()()*1()()1,N n n g x f g x n n −=>∈．且关于x 的函数()2*1()N ni i y x g x n ==+∈∑．则（ ）A ．()n g x x n =+或()1n g xnx =+ B ．22242n n n y x +=++C ．当2n ≤时，存在关于x 的函数y 在区间(,1]−∞−上的最小值为6，0n =D ．当2n >时，存在关于x 的函数y 在区间(,1]−∞−上的最小值为6，4n =三、填空题12．若将直线y ＝3x －3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为 ．13．设n 为正整数， ()2n a b +展开式的二项式系数的最大值为x ，()21n a b ++展开式的二项式系数的最大值为y ，若95x y =，则n = .14．若函数ff (xx )=|ll ll |xx ||−aa 的四个零点成等差数列，则=a ．四、解答题15．已知函数()()()ln 0f x mx x m =−>． (1)若()0f x ≤恒成立，求m 的取值范围；(2)若()f x 有两个不同的零点12,x x ，证明122x x +>．16．如图，在三棱锥−P ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，点G 为PBC 的重心，(),3,,0,1AB AC AB AC PB PC AD ACλλ⊥====∈．(1)若DG//平面PAB，求BD的长度；(2)当12λ=时，求直线PD与平面PAB所成角的正弦值．17．已知数列{}n a是公差不为零的等差数列，且23a，27a，29a成等差数列，3a，6a，m a（*m∈N）成等比数列，3621ma a a++=．(1)求m的值及{}n a的通项公式；(2)令35n nb a=+，*n∈N，求证：2221211112nb b b++⋅⋅⋅+<．18．已知抛物线1C ：()220y px p =>与双曲线2C ：1y x−=相交于点()00,R x y ． (1)若02y =−，求抛物线1C 的准线方程；(2)记直线l ：y kx b =+与1C 、2C 分别切于点M 、N ，当p 变化时，求证：RMN 的面积为定值，并求出该定值．19．某企业生产一种零部件，其质量指标介于()49.6,50.4的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布()50,0.16N ；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布()50,0.04N .附：若()2~,X N µσ，取()0.6827P X µσ−<=，()20.9545P X µσ−<=. (1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差；(2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是()01p p <<，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作. 系统正常工作的概率称为系统的可靠性.①若控制系统原有4个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？ ②假设该系统配置有()3,n n n ≥∈N 个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明.参考答案：1．C【详解】因为()(){}61231321,T x x k k k k ==−=⋅−=⋅−∈N ， 所以T S ⊆，T P ⊆且S P T = . 故选：C. 2．D 【详解】由()42221i [(1i)](2i)4(1i)2(1i)22i 1i 1i 1i (1i)(1i)z ++−+=====−+=−−−−−−+， 则22i z =−+，z 的虚部为2.故选：D. 3．A【详解】∵角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a ，()2,B b ， 且3cos 25α=，∴23cos 22cos 15αα=−=，解得24cos 5α=，∴|cos |α=|sin |α= ∴tan21b aα−==−sin 1cos 2a b αα−==． 故选：A ． 4．D【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由15a a ⋅=24a ，得41114a a q a q ⋅=，即314a q =，又67112a a q==，得3q =18，得q ，所以13432a q ==， 所以1132n n a a q −==×16122n n −−=．易知当15n ≤≤时，1n a >，当6n =时，n a =1，当7n ≥时，01n a <<．令123n n T a a a a =⋅⋅⋅⋅ ，则1T <256T T T <<=，67T T >> ， 故()5432156512345max 222222n T T T a a a a a ===⋅⋅⋅=××=⋅××．， 从而21222log log log n a a a +++=()()152122123452log log log 215n a a a a a a a a ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅⋅== ． 故选：D ．5．C【详解】因为AB BC ⊥，所以AC 为直径且过原点，AC 的中点为原点O ，所以由平行四边形法则可得：2PA PC PO +=，所以2PA PB PC PO PB ++=+ ，所以当,PO PB共线且方向相同时模长最长，即当B 运动到()0,1D −时，2PA PB PC PO PB ++=+取得最大值为2237×+=.故选：C.6．A【详解】显然根据异面直线判定方法：经过平面ACD 外一点B 与平面ACD 内一点E 的直线BE 与平面ACD 内不经过E 点的直线AF 是异面直线． 下面证明BE 与AF 垂直：证明：因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB CD ⊥，因为BCBD CD ==，F 分别为CD 的中点，连接BF ， 所以BF CD ⊥，因为AB BF B = ，,AB BF ⊂平面ABF ， 所以CD ⊥平面ABF ，如图：取AF 的中点Q ，连接BQ ，EQ ， 因为AF ⊂平面ABF ，所以CD AF ⊥， 又因为//EQ CD ，所以EQ AF ⊥，因为2BC BD CD ===，所以2BF AB ==，又因为Q 为AF 的中点，所以BQ AF ⊥，因为BQ EQ Q ∩=，,BQ EQ ⊂平面BEQ ， 所以AF ⊥平面BEQ ，又因为BE ⊂平面BEQ ，所以AF BE ⊥． 故选：A ．7．D【详解】由题意得，()04C 101616P X ===，由于525% 1.25×=， 625% 1.5×=， 所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数，所以，当X 为1，2，3，4时，新的样本数据的第25百分位数不变， 所以，新的样本数据的第25百分位数不变的概率是()1151011616P X −==−=. 故选：D. 8．B【详解】因为点12,F F 分别为椭圆22184x y +=的左、右焦点； 所以()()122,0,2,0F F − ，设()00,P x y 则()()1002002,,2,PF x y PF x y =−−−=−−， 由12PF PF m ⋅=可得22004x y m +=+， 又因为P 在椭圆上，即2200184x y +=，所以202x m =，由对称性可得，要使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则028m <<解得04m <<，所以m 的值可以是2. 故选：B. 9．ABD【详解】对于A ，若0α=，则曲线2:1C x =，即1x =±，为两条直线，故A 正确；对于B ，若C 为圆，则cos sin 0αα=−>, 由cos sin αα=−，ππ22α ∈−，，可得tan 1α=−，解得π4α=−，满足cos sin 0αα=−>，故B 正确； 对于C ，若C 为椭圆，则cos 0,sin 0αα>−>，且cos sin αα≠−， 所以πππ,,0244α∈−−−.22:cos sin 1C x y αα−=可化为22111cos sin x y αα+=−， 若11cos sin αα>−，即tan 1α<−，ππ,24α∈−−， 则椭圆C的离心率为e 当ππ,24α ∈−−时，y =单调递减，故C 错误； 对于D ，ππ22α∈−，时，cos 0α≥，若C 为双曲线，则sin cos 0αα>，即sin 0cos 0αα> > ，得π02α∈ ，.曲线22:cos sin 1C x y αα−=可化为22111cos sin x y αα−=， 故双曲线C的离心率为e 当π02α∈ ，时，y=单调递减，故D 正确. 故选:ABD. 10．BCD【详解】用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示：对于A ：当2x =时，即2AB =，由题意可得ABP 的边AB 上的高为2， 所以侧面面积为21442282ABP S m =×××= ，故A 错误；对于B ：当2x =时，由题意可得侧面斜高2PE =，112OE AB ==，可得PO =311·2233ABCD V S OP ==××=，故B 正确； 对于C：当x =12OE AB ==1PO =， 正四棱锥外接球的球心M 在直线PO 上，设外接球的半径为r ，则222(1)r r −+=，解得72r =，所以正四棱锥外接球的体积为333447343ππ()πm 3326r ==，故C 正确； 对于D ：可得1122OE AB x ==，PO =11113336ABCD V S OP x x x x ==××令(0,4)t =，则31()(16)6f t t t =−，求导得21()(163)6f t t ′=−，令()0f t ′=，则21(163)06t −=，解得t =，当t ∈，()0f t ′>，4)t ∈，()0f t ′<，所以()3f t f ≤，此时x =D 正确. 故选：BCD.11．ABD【详解】因为1()()1g x f x x ==+，()1()()n n g x f g x −=，所以2()(1)2g x f x x =+=+， 3()(2)3g x f x x =+=+，依次类推，可得()n g x x n =+，故A 正确；由A 选项知，()22222112()(12)242ni i n n n n n y x g x x x x x n xnx x =+⋅+++++++…++++++∑，故B 正确；当2n ≤时，22242n n n y x +=++的对称轴12n x =−≥−，所以y 在区间(,1]−∞−上单调递减，故当=1x −时，22min 2242642n n n n y −+−+===，方程无整数解，故C错误；当2n >时，22242n n n y x +=++ 的对称轴1(,1]2n x =−<−∈−∞−，所以当2n x =−时，2min 264n ny +==，解得4n =，故D 正确. 故选：ABD12．x ＋3y －3＝0 【详解】 解析：（解法1）在直线上取点（1，0），其绕原点按逆时针方向旋转90°后得到点（0，1），按逆时针方向旋转90°，倾斜角增加90°，故所得直线斜率为－，从而所求直线方程为x ＋3y －3＝0.（解法2）在直线上取两点（1，0）和（0，－3），它们绕原点按逆时针方向旋转90°后分别得到点（0，1）和（3，0），进而可得所求直线方程为x ＋3y －3＝0. 13．4 【分析】【详解】由()2na b +展开式的二项式系数的最大值为x ，则有2C nn x =， 由()21n a b ++展开式的二项式系数的最大值为y ，则有21C nn y +=，由95x y =，故有2219C 5C n nn n +=，即()()()2!21!9=5!!!1!n n n n n n +××⋅⋅+，即1219=511n n +××+，即()()91=521n n ++，解得4n =. 故答案为：4.14．ln 32【详解】由()0f x =，得|ln |||x a =，由函数()f x 有4个零点，得0a >， 即有ln ||x a =−或ln ||x a =，则()f x 的4个零点从小到大依次为e ,e ,e ,e a a a a −−−−， 依题意，e e 2e a a a −−−=，即2e 3a =，解得ln 32a =， 所以ln 32a =. 故答案为：ln 3215．(1)(]0,e (2)证明见解析【详解】（1）首先由0m >可知()f x 的定义域是()0,∞+，从而()()ln ln ln f x mx x x x m =−=−+. 故()()11ln 1xf x mx x x x−=−=−=′，从而当01x <<时()0f x ′>，当1x >时()0f x ′<. 故()f x 在()0,1上递增，在()1,∞+上递减，所以()f x 具有最大值()1ln 1f m =−. 所以命题等价于ln 10m −≤，即e m ≤. 所以m 的取值范围是(]0,e .（2）不妨设12x x <，由于()f x 在()0,1上递增，在()1,∞+上递减，故一定有1201x x <<<. 在11t −<<的范围内定义函数()()()11p t f t f t =+−−.则()()()222110111t t t p t f t f t t t t −=++−=+′=+−−′>′，所以()p t 单调递增. 这表明0t >时()()()()0110p t p f f >=−=，即()()11f t f t +>−.又因为()()()()()()()11112211110f x f x f x f x f x −=+−>−−===，且12x −和2x 都大于1， 故由()f x 在()1,∞+上的单调性知122x x −<，即122x x +>.16． (2)417． 【详解】（1）连接CG 并延长与PB 交于点E ，连接AE ，所以平面CAE 平面PAB AE =． 因为DG//平面,PAB DG ⊂平面,ACE 所以//DG AE又因为G 为PBC 的重心，所以23CG CE =．所以23CD CA =．所以13AD AC = ，即13λ=．所以在Rt ABC △中，13AB AC AD AC ====BD（2）设O 为BC 的中点，连接AO ．因为平面PBC ⊥平面ABC又因为,PB PC AB AC ==所以,BC AO BC PO ⊥⊥，且平面PBC ∩平面ABC BC =， 所以PO ⊥平面ABC ，如图所示，分别以,,OA OC OP 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，所以()()()1,0,0,0,1,0,0,1,0A C B −，因为12λ=，所以11,,022D又因为3,PB PC AB AC ====OP =(0,0,P ．所以11,,22PD =− ，又因为()(1,1,0,1,0,AB AP =−−=− ． 不妨设平面PAB 的法向量(),,n x y z = ，所以00n AB n AP ⋅= ⋅=所以00x y x −−= −+=，可取()n − 设直线PD 与平面PAB 所成的角为θ，所以4sin cos ,17PD n θ== ． 即直线PD 与平面PAB 所成的角的正弦值为417.17．(1)18m =，2n a n =−(2)证明见解析【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，∵23a ，27a ，29a 成等差数列，∴2227392a a a =+， 即()()()2221112628a d a d a d +=+++，考虑到0d ≠，化简得10a d +=，即1a d =− ∴613155422a a d d d a a d d d+−+===+−+，∵3a ，6a ，m a （*m N ∈）成等比数列， ∴66634m a a a a a ==，即()()11145a m d a d +−=+， 即()()145d m d d d −+−=−+，解得18m =．∵3621m a a a ++=，∴33341621a a a ++=，解得31a =． ∴121a d +=，∵1a d =−，解得11a =−，1d =．∴2n a n =−．（2）由（1）可知3531n n b a n +−，当2i ≥时，()()()2211111131343343131ib i i i i i =<=− −−−− − 所以222222221211111111111()33431n n i i n i b b b b b b i i ==++⋅⋅⋅+=+≤+−−−∑∑ 111111114325583431n n =+−+−+⋅⋅⋅+− −− ()111151514323112331122n n =+−=−<< −− ． 18．(1)2x =−；(2)证明见解析，274. 【详解】（1）由0012y x −==−，得012x =，将其代入22y px =，得4p =， 所以抛物线1C 的方程为28y x =，其准线方程为2x =−.（2）由22y px y kx b = =+ ，得222(22)0k x kb p x b +−+=，由直线l 与1C 相切，得212204()4kb p k b =−−∆=，解得2kb p =，切点(,2)b M b k， 由1y x y kx b =− =+ ，得210kx bx ++=， 由直线l 与2C 相切，得2204b k =−∆=，解得24k b =，切点(,)22b b N k −，于是b k0t >，则直线l 的方程为24t y x t =+， 点42(,2),(,)2t M t N t t −，由221y px xy = =− ，得1(,)R t t −，所以||MN 点R 到直线l的距离为h所以1127||224RMN S MN h =⋅== ， 所以RMN 的面积为定值，该定值为274. 19．(1)0.2718(2)①可靠性为()343p p −，增加一个元件后系统的可靠性会提高；②当n 为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当n 为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.【详解】（1）技术改造前，易知150µ=，10.4σ=，则其优品率为PP (49.6<XX <50.4)=PP (μμ1−σσ1<XX <μμ1+σσ1)=PP (|XX −μμ1|<2σσ1)=0.6827； 技术改造后，250µ=，20.2σ=，则其优品率为PP (49.6<XX <50.4)=PP (μμ2−2σσ2<XX <μμ2+2σσ2)=PP (|XX −μμ2|<2σσ2)=0.9545. 所以优品率之差为0.95450.68270.2718−=. （2）①记X 为原系统中正常工作元件个数，Y 为增加一个元件后正常工作元件个数.由条件知，~(4,)X B p ，~(5,)Y B p . ()3344443(3)C (1)C 43P p p p X p p ≥=−=−+，3324455555(3)C (1)C (1)C P Y p p p p p ≥=−+−+.因为32(3)(3)6(1)0P X P Y p p ≥−≥=−>，所以可靠性提高. ②方法一：根据上一问的假设，易知~(,)X B n p ，~(1,)Y B n p +.当n 为奇数时，设()*212,n k k k =−≥∈N ，原系统的可靠性为()P X k ≥，新系统的可靠性为(1)P Y k ≥+，由题意可知，(1)(1)()P Y k P X k p P X k ≥+=≥++⋅=.所以，PP (YY ≥kk +1)−PP (XX ≥kk )=[PP (XX ≥kk +1)+pp ⋅PP (XX =kk )]−[PP (XX ≥kk +1)+PP (XX =kk )]=(pp −1)PP (XX =kk )=CC 2kk−1kk pp kk (1−pp )kk−1(pp −1)<0，这说明可靠性降低.当n 为偶数时，设()*22,n k k k =≥∈N ，原系统的可靠性为(1)P X k ≥+，新系统的可靠性为(1)P Y k ≥+，由题意可知，(1)(1)()P Y k P X k p P X k ≥+=≥++⋅=.所以，12(1)(1)()(1)0k k k k P Y k P X k p P X k C p p +≥+−≥+=⋅==−>，这说明可靠性提高. 综上，当n 为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当n 为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.方法二：当n 为奇数时，设()*212,n k k k =−≥∈N ，原系统的可靠性为()P X k ≥，新系统的可靠性为(1)P Y k ≥+，由题意可知，21222121212121()C (1)C (1)k k i i k i i i k i k k k i k i k P X k p p p p p −−−−−−−−−==≥=−=−+∑∑ ()212211211121222121(1)C (1)C C (1)k k ii k i i i i k i k k k k i k i k P Y k p p p p p −−++−−++−−−−==≥+=−=+−+∑∑ 于是，(1)()P Y k P X k ≥+−≥()2222112121221212121CC (1)C (1)k k i i i k i i i k i k k k k k i k i k p p p p p p −−++−−−−−−−−==+−−−+−∑∑ ()2212121212121CC C (1)(1)k i i i i k i k k k k i k p p p p p −+−−−−−−= +−−−− ∑ 2211212212121C (1)C (1)(1)k k i k i k i k i k k k i k p p p p p p −++−−−−−−= −−−−− ∑21C (1)0kk k k p p −=−−<，这说明可靠性降低.当n 为偶数时，设()*22,n k k k =≥∈N ，原系统的可靠性为(1)P X k ≥+，新系统的可靠性为(1)P Y k ≥+，由题意可知，2221(1)C (1)k i i k i k i k P X k p p −+≥+=−∑ ()2122112121212211(1)C (1)C C (1)k k i i k i i i ik i k k k ki k i k P X k p p p p p ++−−+−++=+=+≥+=−=+−+∑∑于是，(1)()P Y k P X k ≥+−≥()2212122122211CC (1)C (1)k k i i i k ii i k i k k kk i k i k p p p p p −+−−+=+=+=+−−−+∑∑()2121212212221C(1)C (1)C (1)k i i k i i i k i i i k i k k k k i k p p p p p p p −+−+−−++ −+−−−+ ∑ 2121221221C(1)()C (1)k i i k i i i k i k k k i k p p p p p p −+−−++ −+−−+ ∑21211221221C (1)C (1)k i i k i i i k i k k k i k p p p p p −+−+−++ −−−+∑ 12C (1)0k k k k pp +−>. 这说明可靠性提高.综上，当n 为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当n 为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.方法三：设12,,...X X 两两独立且均服从二项分布()1,B p ，记12...2n n n p P X X X =+++>，则该系统配置有()3,n n n ≥∈N 个元件时，系统的可靠性为n p .则()2122...1mm p P X X X m =+++≥+ ()()12212221...1...,1m m m P X X X m P X X X m X +<+++≥+++++== ()122121...1m m P X X X m p ++=+++≥+=，且 ()211221...m m p P X X X m −−=+++≥ ()12211...1m P X X X m −=−+++≤−()()1221122121...1...,0m m mP X X X m P X X X m X −−>−+++≤−−+++== ()1221...m P X X X m =−+++≤()1222...1m m P X X X m p =+++≥+=.这就得到212m m p p −>，221m m p p +<.这表明，当n 为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当n 为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.注意到1234X X X X +++服从二项分布()4,B p ，故()()()33434123443C 143p P X X X X p p p p p =+++≥=−+=−. 进行完以上准备工作后，我们回到原题.①若控制系统原有4个元件，则系统的可靠性为()3443p p p =−. 而4是偶数，所以增加一个元件后系统的可靠性会提高；②根据上面的结论，当n为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当n为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.【点评】关键点点睛：第2小问②的结果本质上是因为：当n是偶数时，若添加一个元件，那么要求的正常工作的元件的最小数量不变，还是22n+，但是元件多了一个，所以正常工作的元件数目必然有更大的机会达到要求的值，所以可靠性一定更大了；而当n是奇数时，若添加一个元件，那么要求的未能正常工作的元件的最大数量不变，还是12nn+−，但是元件多了一个，所以未能正常工作的元件数目必然有更大的机会突破允许的最大值，所以可靠性一定更小了.第2小问的方法三的关键在于：构造一列独立同分布随机变量来比较不同的概率，相比构造单个二项分布随机变量，构造一列独立同分布随机变量会更加便于比较不同的概率，因为此时每个随机变量的取值范围都非常有限，而进行比较时只需要研究多出的一个随机变量即可.这就避免了花费力气对两个取值范围很广的随机变量进行比较，那样太过困难.。
山东省2020届高三新高考预测数学试卷-教师版
山东省2020届高三新高考预测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．设复数(2)(32)z i i =+-，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．(4,1) B ．()8,1C ．(4,)1-D ．(8,1)-【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法化简得到8=-z i ，然后利用复数的几何意义求解. 【详解】因为(2)(32)8=+-=-z i i i ，使用复数z 在复平面内对应的点的坐标为(8,1)-. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．已知集合{|ln(1)}A y y x ==-，{}2|40B x x =-≤，则A B =（ ）A ．{|2}x x ≥-B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x <≤D ．{|22}x x -≤≤【答案】D 【解析】 【分析】化简集合,A B ,再根据交集的概念进行运算可得. 【详解】因为函数ln(1)y x =-的值域为R 所以A R =, 又集合[2,2]B =-,所以[2,2]A B B ⋂==-. 故选:D 【点睛】本题考查了交集的运算,函数的值域,解一元二次不等式,属于基础题.3．“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面几何知识可得一个平面内的一条直线可以垂直此平面内的无数条直线，可得不是充分条件；利用直线与平面垂直的定义可得应该是必要条件。
【详解】因为直线l 在平面α内，也可以与平面α内的无数条直线垂直，所以，“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”不是“直线l 与平面α垂直”的充分条件；若直线l 与平面α垂直，则直线l 与平面α内的所有直线都垂直。
山东省2020届高三预测金卷(数学理)及答案解析
高三预测金卷数学理一. 选择题（每小题 5分，共 50分）1．若复数()211i x x -++ 是纯虚数（i 是虚数单位，x R ∈ ），则x = （ ） A ．1 B ．-1C ．1±D ．0【答案】A 【解析】试题分析：若复数是纯虚数，则21010x x ⎧-=⎨+≠⎩，即11x x =±⎧⎨≠-⎩，即1x =,故选A ．考点：复数的概念及运算．2．已知集合}3,2,1,0{},0|{2=>-=N x x x M ，则N M C U I )(=（ ） A ．}10|{≤≤x x B ．}1,0{ C ．}3,2{ D ．}3,2,1{ 【答案】B 【解析】试题分析：求出M 中不等式的解集确定出M ，确定出M 的补角，求出M 补集与N 的交集即可; 由M 中不等式变形得：(1)0x x ->，解得：0x <或1x >，即M={x |0x <或1x > }，∴{}U M x |0x 1=≤≤ð，∵{0,1,2,3}N =，∴U M N {01}=I （），ð，故选：B ． 考点：交、并、补集的混合运算3．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） A ．)2(log 3.0+=x y B ．xy -=3 C ．1+=x y D ．2y x =﹣【答案】C 【解析】试题分析：根据二次函数、指数函数、对数函数的单调性，再由复合函数的单调性对各个选项的正确性进行判断，从而得到结论．由于二次函数2y x =﹣在区间()0,+∞上是减函数，故排除D ．A 、由于函数0.3y log x 2=+（）由于函数0.3y log u =与2u x =+复合而成，由复合函数的单调性知函数0.3y log x 2=+（）为减函数；B 、由于函数xy 3=﹣由于函数uy 3=与u x =-复合而成，由复合函数的单调性知函数xy 3=﹣为减函数； 故选：C ．考点：函数单调性的判断.4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是 ( )A ．6n =B. 6n <C. 6n ≤D. 8n ≤【答案】C【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得 S=0，n=2满足条件，S=12，n=4 满足条件，S=113244+=，n=6满足条件，S=1111124612++=，n=8 由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为1112， 故判断框中填写的内容可以是n≤6， 故选C ．考点：程序框图和算法．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．4882+B ．64C ．48D ．3282+【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为4的正方形， 一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为4， 所以几何体的表面积为：11442442422328222⎛⎫⎛⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+ ⎪ ⎝⎭⎝ 故选：D 学优高考网考点：本题旨在考查三视图与几何体的直观图的关系，考查空间想象能力与计算能力．6．已知,1=a ρb ρ=2，且a ρ()a b ⊥+r r ，则则向量a ρ与向量b ρ的夹角为（ ）A ．6πB ．34π C ．3π D ．23π 【答案】B 【解析】试题分析：()2112,0,a a b a a b a b +=+⋅=+=r r r r r r r r 23cos ,,24a b a b π=-=r r r r ．故选B ．考点：向量的数量积的应用．7．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为（ ） A ．12B ．1C ．3D ．2【答案】C 【解析】试题分析：22222211,,cos 222b c a a b c bc A bc +-=+-∴=∴=Q ， 113,sin 433222ABC A S bc A π==⋅=⨯⨯=V . 故选：C ．考点：正余弦定理的运用．8．已知函数x x x f cos 2)(=，则函数)(x f 的部分图象可以为 （ ）【答案】A考点：函数的图象．9. 已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>与函数的图象交于0)y x=≥点P.若函数y=P处的切线过双曲线左焦点(1,0)F-，则双曲线的离心率是（）A.12+B.22C.12D.32【答案】A【解析】试题分析：设P(x0，函数的导数为：y′=，∴切线的斜率为又∵在点P处的切线过双曲线左焦点F（-1，0），∴，解得x0=1，∴P（1，-1），可得22111a b-=，c2=a2+b2．c=1，解得,因此2c＝2，2a1，，故选A.考点：导数的几何意义，双曲线的标准方程与离心率．10.若对,[0,)x y∀∈+∞，不等式2242x y x yax e e+---≤++恒成立，则实数a的最大值是（）A.14B.1C.2D.12【答案】D【解析】试题分析：因为()2222222x y x y x y y x y y x ee e e e e e e e +--------+=+≥⋅⋅=，由题意知2422x ax e -≤+，即221x ax e -≤+对[0,)x ∀∈+∞恒成立，如图y=2ax 与y=21x e -+相切时，a 取到最大值，设切点坐标为00(,)x y ，则0000202212x x y ax y e a e --=⎧⎪=+⎨⎪=⎩，解得002212y x a ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，所以a 的最大值为12，故选D.考点：基本不等式，函数单调性．第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 函数13sin 2y x x =+([,2]x ππ∈)的单调递增区间是__________. 【答案】7[,2]6ππ 【解析】试题分析：∵函数y=12（x+3π），由 2kπ-2π≤x+3π≤2kπ+2π，k ∈z ，可得 2kπ-56π≤x≤2kπ+6π，k ∈z ．学优高考网故函数y=12（x+3π）的单调增区间是[2kπ-56π，2kπ+6π]（k ∈Z ），又因为[,2]x ππ∈,所以y=12sinx+2cosx=sin （x+3π）的单调增区间是7[,2]6ππ，故答案为：7[,2]6ππ． 考点：两角和的正弦公式，正弦函数的图像及性质．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213x y -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是【答案】-【解析】试题分析：a-b=CB-CA=-2，c=AB=4,所以sin sin sin 42A B a b C c ---===-．考点：双曲线的几何性质，正弦定理．13．已知等比数列}{n a 的前n 项和13-=nn s ，则}{n a 的通项公式是 .【答案】132-⨯=n n a【解析】解：因为等比数列}{n a 的前n 项和13-=nn s ，可见公比为3，首项为2，因此可知通项公式是132-⨯=n n a考点：等比数列通项和前n 项和的关系.14．设0,0>>b a ,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是 .【答案】 【解析】试题分析：先根据条件2242a b a b +=+ ，原式转化为1142a b ab a b ab ab++==+ ， 利用基本不等式即可求出最小值．22222442a b a b a b a b +-=\+=+Q ，，22114242a b a b ab a b ab ab ab ++\+===+炒=，当且仅当ab = 取等号； 考点：基本的不等式.15. 同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R ．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是 ．【答案】考点：两角和与差的正切函数；球内接多面体．三、解答题（共6小题，75分） 16．(本小题满分12分) 已知函数)sin()23sin(22cos 3)(x x x x f -++=ππ,其中R x ∈.（Ⅰ）求)(x f 最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()f A =3a =，求BC 边上的高h 的最大值.【答案】（Ⅰ）p ；5,212k x k Z ππ=+∈；【解析】试题分析：（Ⅰ）由题()2sin 22sin 23f x x x x π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小正周期为p ， 令2,32x k πππ-=+得对称轴方程为5,212k x k Z ππ=+∈ ；（Ⅱ）由题可得sin 20=3223A A Q A ，，πππ⎛⎫⎛⎫-=∈∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由余弦定理得222222cos 9=a b c bc A b c bc bc ,=+-∴+-≥ 即9bc ≤ （当且仅当b=c 时取等号） 设BC 边上的高为h ，由三角形等面积法得11sin ,32222ah bc A h bc =∴=≤2h ≤.即h 的最大值为2. 考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 17．(本小题满分12分)已知ABC ∆的三个角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列，且b ={}n a 是等比数列，且首项112a =，公比为sin sin A C a c++。
2020年6月山东省实验中学高考预测押题卷理科数学(解析版)
（满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目 要求的）
1．已知集合 A 0,1, 2,3, 4,5 ， B x x 2n,n N * ，则 A B （ ）
珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字 65．若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上 珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于 200 的概率为（ ）．
A．
3 8
【答案】D
1
B．
2
2
C．
3
3
D．
4
【解析】依题意得所拨数字共有 C41C42 24 种可能，要使所拨数字大于 200，
DE AB
BD AB
3 2 cos180
6
5．函数
f
(x)
2 1 ex
1 sin
x
图象的大致形状是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
f
(x)
( 1
2 e
x
1) sin
x 的定义域为 R ，
f
(
x)
( 1
2 1
ex
1) sin( x)
(
2 ex
1
ex
1)sin x
(
2ex ex 1
1)
sin
x
[
2(ex 1) ex 1
2
1]sin
x
(2
e
x
2
1
1)
sin
x
2020年山东省实验中学高考数学预测试卷(4月份) (1)
某同学化学学科原始分为 分，该学科 等级的原始分分布区间为 ，则该同学化学学科的原始成绩属 等级．而 等级的转换分区间为 ，那么该同学化学学科的转换分为：
设该同学化学科的转换等级分为 ， ，求得 ．
四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为 ．
某校高一年级共 人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 ．
A. B. C. D.
4.函数 的图象可能是下面的图象( )
A. B. C. D.
5.已知函数 ＝ ，若 ， ＝ ， ＝ ，则 ， ， 的大小关系是（）
A. B. C. D.
6.已知等边 内接于圆Γ： ＝ ， 是圆Γ上一点，则 的最大值是（）
A. B. C. D.
7.已知函数 ＝ ，则 的最小值为（）
（ ）求证：数列 为等差数列；
（ ）求数列{ }的通项公式；
（ ）设 ，求 的前 项和 ．
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ＝ ， ＝ ，平面 平面 ，点 为棱 的中点．
Ⅰ 在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ，并说明理由；
Ⅱ 当二面角 的余弦值为 时，求直线 与平面 所成的角．
已知抛物线Γ： ＝ 的焦点为 ， 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足
已知关于 的不等式 对于任意 恒成立，则实数 的取值范围为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ＝ ， ．
（1）求 的余弦值；
（2）求 面积的最大值．
已知 是各项都为正数的数列，其前 项和为 ，且 为 与 的等差中项．
【考点】