新编人教版高中数学必修二空间中的平行关系课后练习2含答案

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专题：空间中的平行关系

题1

对于不重合的两直线m 、n 和平面α，下列命题中的真命题是( )．

A ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n ∥α

B ．如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n

C ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交

D ．如果m ∥α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n

题2

α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ．如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )．

A ．①或②

B ．②或③

C ．①或③

D ．只有②

题3

如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1与AC 的公垂线，求证：1//BD EF ．

题4

ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH ．

题5

如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点．

（Ⅰ）证明：平面11ADC B ⊥平面1A BE ；

（Ⅱ）在棱11D C 上是否存在一点F ，使F B 1//平面BE A 1？证明你的结论．

题6

如图所示，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中，∠ABC ＝60°，P A ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．

题7

如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN ，求证：MN ∥平面AA 1B 1B ．

题8

如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．

(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

(2)在所给直观图中连接BC ′，证明：BC ′∥平面EFG ．

题9

如果平面α与α外一条直线a 都垂直b ，那么α//a ．

课后练习详解

题1

答案：B ．

详解：如图所示，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线AB ⊂平面AC ，直线CC 1⊄平面AC ，直线AB 和直线CC 1是异面直线，但是直线CC 1∩平面AC ＝C ，排除A ；直线AB ⊂平面AC ，直线B 1C 1⊄平面AC ，直线AB 和直线B 1C 1是异面直线，但是直线B 1C 1∥平面AC ，排除C ；直线A 1B 1∥平面A C ，直线B 1C 1∥平面AC ，直线A 1B 1和直线B 1C 1共面，但是直线A 1B 1∩直线B 1C 1＝B 1，排除D ．

题2

答案：C ． 详解：若填入①，则由a ∥γ，b ⊂β，b ⊂γ，b ＝β∩γ，又a ⊂β，则a ∥b ；若填入③，则由a ⊂γ，a ＝α∩β，则a 是三个平面α、β、γ的交线，又b ∥β，b ⊂γ，则b ∥a ；若填入②，不能推出a ∥b ，可以举出反例，例如使β∥γ，b ⊂γ，画一草图可知，此时能有a ∥γ，b ∥β，但不一定a ∥b ，有可能异面．从而A 、B 、D 都不正确，只有C 正确．

题3

证明：连结11C A ，由于11//C A AC ，AC EF ⊥，

∴11C A EF ⊥．

又D A EF 1⊥，1111A C A D A = ，

∴D C A EF 11平面⊥． ①

∵11111D C B A BB 平面⊥，111111D C B A C A 平面⊂，

∴111C A BB ⊥．

∵四边形1111D C B A 为正方形，

∴1111D B C A ⊥，1111B BB D B = ，

∴D D BB C A 1111平面⊥，

而D D BB BD 111平面⊂，∴111BD C A ⊥．

同理11BD DC ⊥，1111C C A DC = ，

∴D C A BD 111平面⊥． ②

由①、②可知：1//BD EF ．

题4

答案：见详解 详解：如图所示，连结AC 交BD 于O ，连结MO ，∵ABCD 是平行四边形，

∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点，∴AP ∥OM ．

根据直线和平面平行的判定定理，

则有PA ∥平面BMD ．∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，

根据直线和平面平行的性质定理，∴PA ∥GH ．

题5

答案：见详解．

详解：（Ⅰ） 因为多面体1111D C B A ABCD -为正方体，

所以1111B C ABB A ⊥面；因为111A B ABB A ⊂面，所以111B C A B ⊥．

又因为11A B AB ⊥，1111B C AB B ⋂=，所以111A B ADC B ⊥面．

因为11A B A BE ⊂面,所以平面11ADC B ⊥平面1A BE ．

（Ⅱ）当点F 为11D C 中点时，可使F B 1//平面BE A 1．

以下证明之：

易知：EF //112C D ，且EF 11=2C D ，设11AB A B O ⋂=，则1B O //112C D 且1B O 11=2C D 所以EF //1B O 且EF 1=B O ， 所以四边形1B OEF 为平行四边形．所以1B F //OE ． 又因为11B F A BE ⊄面，1OE A BE ⊂面．则F B 1//平面BE A 1

题6

答案：见详解．

详解：当F 是棱 PC 的中点时，BF ∥平面AEC ．取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE ． ∵FM ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，

∴FM ∥平面AEC ，

由EM ＝12

PE ＝ED ，得E 是MD 的中点． 连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，

则O 是BD 的中点，所以BM ∥OE ．

∵BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，

∴BM ∥平面AEC ，∵FM ∩BM ＝M ，

∴平面BFM ∥平面AEC ，

又BF ⊂平面BFM ，所以BF ∥平面AEC ．