简单的指数对数方程
4.7(1)(2)简单的指数、对数方程
定义：我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程 定义：我们把对数里含有未知数的方程叫做对数方程
例 1．解关于 x 的方程： （1） 2 （2） 2 （3） 4
x
x 0有
x
个实数根; 个实数根; 个实数根;
1 2 （2）方程 x 2 x 0有 2
（3）方程 log 2 x
x 4有
2
对于不能用初等方法求解的指、 对数方程,可通过图象判断解的 个数及通过二分法求近似解
例 5． （1） 若 关 于 x 的 方 程 4
lg x
x
x
x
1000 x
2
简单的对数方程
一、直接型： loga f x b .
二、同底型： loga f x loga g x
三、换元型：
.
A loga f x B loga f x C 0
2
.
例 4． （1）方程 2
（1） lg （3） log3 x （4） x
lg x 2
2
2
log9 3x 2 ；
1000 ；
练习： （1） 2 logx 25 3 log25 x 1；
6 2 4 0； （3） 2 log2 x 1 log2 x 1；
（2）9 （4） x
思考： “a “x
m 2
49
a n ”是“ m n”的
条件； 条件；
3”是“ x 3 ”的
简单的指数方程
指数方程与对数方程
3.11 指数方程与对数方程【知识要点】1．指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方程。
2．解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。
3.指数方程的基本类型：（1）(0,0,0),x a c a a c =>≠>其解为log a x c =；（2）()()(0,1)f x g x a a a a =>≠，转化为代数方程()()f x g x =求解；（3）()()(0,1,0,1)f x g x a b a a b b =>≠>≠，转化为代数方程()lg ()lg f x a g x b =求解；（4）()0(0,0)x F a a a =>≠，用换元法先求方程()0F y =的解，再解指数方程x a y =。
4. 对数方程的基本类型：（1）log (0,1)a x b a a =>≠,其解为b x a =；（2）log ()log ()(0,1)a a f x g x a a =>≠，转化为()()()0()0f x g x f x g x =⎧⎪>⎨⎪>⎩求解；（3）(log )0(0,0)a F x a a =>≠，用换元法先求方程()0F y =的解，再解对数方程log a x y =。
5.指数方程和对数方程的近似解利用函数图象和二分法可以求指数方程和对数方程的近似解.【基础训练】1．方程4220x x +-=的解是 。
2．方程lg lg (3)1x x ++=的解____________x =。
3．已知函数34()log (2)f x x =+，则方程14()7f x -=的解__________x =。
4．已知137x =， 则( ) （A ）-2<x<-1 （B ）-3<x<-2 （C ）-1<x<0 （D ）0<x<15．方程22log 3x =的解集是（ ）（A ）φ （B）{ （C）{- （D）{-【精选例题】例1．解下列方程：（1）16=（251x -=5；（3）2523532x x ++=⋅+。
指对数计算公式
指对数计算公式在咱们学习数学的过程中，指对数计算公式那可是相当重要的一部分啊！就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多数学难题的大门。
先来说说指数运算。
咱假设一个数 a 的 n 次方，这里的 a 叫做底数，n 叫做指数。
比如说 2 的 3 次方，那就是 2×2×2 = 8。
这就像你有 3 个盒子，每个盒子里都装着2 个苹果，那总共的苹果数就是2 的3 次方。
再讲讲对数运算。
这对数啊，就像是指数运算的逆运算。
比如说，log₂8 等于 3，因为 2 的 3 次方等于 8。
这就好比你知道了总共有 8 个苹果，每个盒子装 2 个，然后去算有几个盒子，这算出来的盒子数就是对数。
我记得有一次给学生们讲指对数运算，有个小同学怎么都理解不了。
我就拿分糖果来举例，假设每个袋子能装 2 颗糖，现在有 8 颗糖，问他需要几个袋子，他一下就明白了2 的多少次方等于8 就是求袋子数。
这之后，他再遇到类似的问题就不犯迷糊了。
咱们再深入点儿，指数运算有好多规则。
像 a 的 m 次方乘以 a 的 n次方，就等于 a 的（m + n）次方。
比如说 2 的 2 次方乘以 2 的 3 次方，那就是 2 的（2 + 3）次方，也就是 2 的 5 次方，结果是 32。
对数运算也有它的规则。
logₐ（MN）= logₐM + logₐN。
这就好比把一堆糖果分成两堆，然后分别算装这两堆糖果需要几个袋子，加起来就是装所有糖果需要的袋子数。
在实际解题的时候，指对数计算公式能让复杂的问题变得简单。
比如说，让你求方程 2 的 x 次方等于 16，那通过对数运算就能很快得出x = 4。
总之，指对数计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习、多琢磨，就像掌握了神奇的魔法，能在数学的世界里畅游无阻。
就像那个一开始不明白的小同学，后来不也能熟练运用了嘛。
所以啊，大家别怕，多花点时间和心思，一定能把这部分知识拿下！。
简单的指数对数方程
解方程： 2 x 3 log
解方程 log 2 ( x 2 x) 3
2
方法小结：
形如： a f ( x) ba 0, a 1 log
f x a
b
解方程： x ( x 6) 2 log
3
解方程： x 1 lg
2
10
解方程 lg x 3 lg 3x 1
6
方法小结：
2
形如：A[log a f ( x)] B log a f ( x) C 0的对数 方程先通过换元的思想解出 log a f x b，再 转化为f x a
b
解方程 log x log 9 3x 2
2 3
3;
3 9
解方程2 log x 25 3 log 25 x 1
1 2
x lg x 1
例3：解方程： 1
2
x lg x x
解：令
y1
1 2
x 1
y 2 lg x
两函数图像交点即可得解
x1 0 . 1,
x 2 2 .9
判断方程 ln x x 2的根的个数
若f x 的周期为2，当x 1 1 ， 时，f x x ，判断 y f x 与函数y log 4 x 的交点个数。
2 x 3
64 27
g x
x
形如：a
f x
a
a 0, a 1 f x g x
解方程4 6 2 16 0？
x x
解方程： 6 2 4 0 9
x x x形如： aFra bibliotekf x 2
指数与对数方程的解法
指数与对数方程的解法指数与对数方程是数学中常见的问题，涉及指数函数和对数函数的运算与求解。
本文将介绍指数与对数方程的基本概念，并讨论它们的解法。
一、指数方程指数方程是形如a^x=b的方程，其中a为底数，x为未知数，b为指数函数的值。
解法：1. 对于指数方程a^x=b，可以采用取对数的方法来求解。
即，两边同时取以a为底的对数，得到x=loga(b)。
这里的对数表示以a为底b的对数。
2. 如果底数是e（自然对数的底），则指数方程可以简化为x=ln(b)。
这是因为以e为底的对数即为自然对数。
例题1：解方程2^x=8。
解：对数的底数取2，两边同时取以2为底的对数得到x=log2(8)。
计算得x=3。
例题2：解方程e^x=20。
解：底数是e，所以可以写成x=ln(20)。
计算得x≈3.00。
二、对数方程对数方程是形如loga(x)=b的方程，其中a为底数，x为未知数，b为对数函数的值。
解法：1. 对于对数方程loga(x)=b，可以采用指数化为算式的方法来求解。
即，将方程转化为指数函数的形式，即a^b=x。
2. 如果底数是e（自然对数的底），则对数方程可以简化为e^b=x。
这是因为以e为底的对数即为自然对数。
例题3：解方程log2(x)=3。
解：底数是2，按照指数化为算式的方法，可以得到2^3=x。
计算得x=8。
例题4：解方程loge(x)=4。
解：底数是e，所以可以写成e^4=x。
计算得x≈54.88。
总结：通过以上的解题方法，我们可以解决各种形式的指数与对数方程。
对于特殊的底数2和e，分别采用不同的求解方法。
在实际问题中，指数与对数方程有广泛的应用，尤其在科学、工程和经济等领域。
因此，熟练掌握这些解题方法对于数学学习和实际应用都具有重要意义。
【2000字】。
指数函数与对数函数知识总结及练习
指数函数与对数函数知识点：x比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3. 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4. 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
复合函数的单调性法则是：同增异减 步骤：（1）球定义域并分解复合函数（2）在定义与范围内分别讨论分解后的函数的单调性 （3）很据复合函数的单调性法则得出结论【典型例题】例1. （1）下图是指数函数（1）y ＝a x ，（2）y ＝b x ，（3）y ＝c x ，（4）y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ）y x1O(4)(3)(2)(1)A. a ＜b ＜1＜c ＜dB. b ＜a ＜1＜d ＜cC. 1＜a ＜b ＜c ＜dD. a ＜b ＜1＜d ＜c剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小。
解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c 。
故选B 。
解法二：令x ＝1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1，∴b ＜a ＜1＜d ＜c 。
例2. 已知2x x +2≤（41）x －2，求函数y ＝2x －2－x 的值域。
解：∵2x x +2≤2－2（x －2），∴x 2＋x ≤4－2x ， 即x 2＋3x －4≤0，得－4≤x ≤1。
又∵y ＝2x －2－x 是［－4，1］上的增函数，∴2－4－24≤y ≤2－2－1。
17.指数方程与对数方程
指数方程与对数方程【知识梳理】1. 指对方程的概念指数里含有未知数的方程称为指数方程; 对数符号后含有未知数的方程称为对数方程.2. 指数方程的求解(1) 基本方法: 去指数运算;(2) 基本原理: 指数函数是单调的, 即()()()()(0,1)p x q x a a p x q x a a =⇔=>≠;(3) 注意事项: 若要使用换元法令()p x a t =, 则至少有0t >.3. 对数方程的求解(1) 基本方法: 去对数符号;(2) 基本原理: 对数函数是单调的; ()()log ()log ()()0(0,1)()0a a p x q x p x q x p x a a q x =⎧⎪=⇔>>≠⎨⎪>⎩;(3) 注意事项: 解方程()()p x q x =后需要验根.4. 换元法若指对方程的形式较为复杂, 则可以考虑换元法——将方程中的某部分看作一个整体, 使得方程变为相对熟悉的方程(如一元二次方程)的形式. 注意: 换元过程中须指出新变元的范围, 以免增根的产生.5. 解的存在性问题此类问题往往有两种转化的途径: 其一, 对于方程()f x a =有解, 则要求实数a 落在函数()y f x =的值域中; 其二, 转化为二次函数的根的分布的问题. 其中, 后者较为繁琐.【典型例题】例1. 解下列方程.(1)123x -=; (2)1335102x x x -⋅=;(3) 42log (2)log (1)1x x -=--;(4)40.2540.25log (3)log (3)log (1)log (21)x x x x -++=-++.例2. 求下列方程的解集.(1)221237330x x --⋅-⋅+=; (2)2+=;(3)224[log (1)]log (1)5x x +++=; (4)lg 2310x x x -=;(5)22log (95)log (32)2x x -=-+.例3. 已知关于x 的方程2212730x x a a ---+=有一个根为2, 求a 的值和方程的其余的根.例4. 已知2()log (21)x f x =-, 解方程1(2)()f x f x -=.例5. 关于x 的方程4230x x k k -⋅++=, 试根据下列条件, 求实数k 的取值范围:(1) 有实根;(2) 仅有一个实根.例6. 已知0,1a a >≠, 若方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解, 求实数k 的取值范围.例7. 已知函数2()(1)1x x f x a a x -=+>+, (1) 证明: 函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2) 用反证法证明方程()0f x =没有负根.【巩固练习】1. 方程2232x x =-的解的个数是.……………….………………………………….……..............................( )A. 0B. 1C. 2D. 32. 如果方程22lg lg 20x x --=的两根为,αβ, 则log log αββα+=…………………...............................( )A. 0B. 2-C. 4D. 4-3. 设1()f x -是2()log (1)f x x =+的反函数, 若11[1()][1()]8f a f b --++=, 则()f a b +=.........................( )A. 1B. 2C. 3D. 2log 34. 方程lg 30x x +-=的根所在的区间是…………………..………………………………...........................() A. (1,2) B. 511(,)24 C. 95(,)42 D. 13(3,)45. 方程2lg lg 60x x --=的解为____________;6. 方程||770x x --=的解为________________;7. 关于x 的方程9430x x m +⋅-=有实数解, 则实数m 的取值范围是________________;8. 已知方程1x 是方程lg 3x x +=的解, 2x 是方程103x x +=的解, 则12x x +=____________;9. 解下列方程.(1)2486227x x x ++=⋅; (2)155log (1)log (3)1x x +--=.10. 已知关于x 的方程224log (3)log x x a +-=的解在区间(3,4)内, 求实数a 的取值范围.。
指数 对数 公式
指数对数公式
指数和对数公式是数学中的重要概念。
指数一般用符号“^”或“a^x”表示，表示一个数（底数）自乘若干次（指数）的结果，例如2^3=8。
对数
则表示一个数的指数次幂等于另一个数时，该数（对数）是多少，例如
log(2)8=3，因为2^3=8。
具体来说，有理数指数可以表示为an/m=m√an(a≥0,m,n∈N)，而无理数
指数则取近似值后，按照有理数指数的方法计算。
对数的定义是如果ab=N (a>0,a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做底数，N叫做真数。
对数有一些重要的性质，例如零和负数没有对数，1的对数等于0等。
在运算方面，对数的运算法则包括loga(MN)=logaM+logaN (M>0,N>0)，loga(M/N)=logaM-logaN (M>0,N>0)，logaMn=nlogaM (M>0)等。
此外，简写lgx=log10x，lnx=logex也常用于表示对数。
总的来说，指数和对数是数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
了解这些公式和性质对于数学学习和应用都非常重要。
高中数学中的指数与对数方程
高中数学中的指数与对数方程在高中数学学习中，指数与对数方程是一个重要的内容，它们在各个数学领域有着广泛的应用。
本文将介绍指数与对数方程的概念、性质及解题方法。
一、指数方程介绍指数方程是形如a^x=b的方程，其中a称为底数，x称为指数，b称为底数的幂。
解指数方程的一般思路是将底数相同的底数的幂方程转化为等式。
例如，对于指数方程2^x=8，我们可以发现8可以表示为2的幂，即8=2^3。
因此，原方程可以转化为2^x=2^3，进一步化简得到x=3。
二、对数方程介绍对数方程是形如loga(x)=b的方程，其中a为底数，x为真数，b为对数。
解对数方程的一般思路是将对数方程转化为指数方程。
以对数方程log2(x)=3为例，我们可以根据对数和指数的关系将其转化为指数方程2^3=x，最终得到x=8。
三、指数方程与对数方程的性质指数与对数方程具有以下性质：1. 指数方程中，底数a必须为正实数且不等于1；2. 对数方程中，底数a必须为正实数且不等于1，真数x必须大于0；3. 指数与对数方程都可以通过转化为指数方程或对数方程来求解；4. 两边都取对数，会改变等式的性质，检查解时需注意。
四、指数方程与对数方程的解题方法1. 对于简单的指数方程或对数方程，可以通过观察底数的幂与对数的关系来求解；2. 对于复杂的指数方程或对数方程，可以通过换底公式、对数运算法则、指数函数性质等方法进行变形和化简；3. 对于无法通过直接求解的指数方程或对数方程，可以考虑利用图像、数学建模等方法来求解。
五、实际应用举例指数与对数方程在实际应用中有着广泛的应用，例如金融领域中的复利计算、科学实验中的指数增长与衰减等。
通过学习指数与对数方程，我们可以更好地理解和应用这些实际问题。
六、总结指数与对数方程是高中数学中的重要内容，掌握其概念、性质和解题方法对于数学学习和实际应用都具有重要意义。
通过不断的练习与应用，我们可以提高解题能力和数学思维水平，为今后的学习和发展打下良好的基础。
指数对数运算公式
指数对数运算公式指数对数运算公式是数学中重要的一篇文献，其基础概念在中学数学课程中扮演着重要的角色。
指数对数运算公式可以帮助我们对复杂的函数类型，如对数函数，指数函数和多项式函数进行分析与求解。
本文将详细阐述指数对数运算公式，以期帮助读者更好地理解数学中的概念与规则。
首先，我们来了解指数对数运算公式的基本概念。
指数对数运算公式可以简单地描述为：给定正数 a正整数 n，则有 a^n=n√a（其中 n√a示 a n幂根）。
其中，指数函数的公式为 y=a^x，而对数函数的公式为x=log_a(y)（其中log_a(y)表示以 a 为底的 y对数）。
因此，指数对数运算公式可以很容易地用于将指数函数转换为对数函数。
接下来，我们来看一个更具体的例子，即用指数对数运算公式将指数函数 y=2^x换为对数函数的形式。
首先，将指数函数的公式写成 y=a^x形式，即 y=2^x。
接着，用指数对数运算公式将其转换为对数函数的形式，即 x=log_2(y)，其中 a 为 2，即指数函数的幂为2。
接着，我们来看另一个例子，即将多项式函数 y=x^3+2x+1换为对数函数的形式。
首先，将多项式函数写成 y=a^x形式，即y=x^3+2x+1。
接着，我们也可以用指数对数运算公式来将其转换为对数函数的形式，即 x=log_a(y)，其中 a 为多项式函数中最高次幂的系数，即 a=x^3，因此 x=log_x(y)。
最后，我们来看一下指数对数运算公式如何用于求解复杂的方程。
此时，我们可以将方程的右边改写成 a^x形式，然后利用指数对数运算公式将其转换为 log_a(y)形式，即 x=log_a(y)，然后将 x值代入方程中即可解出 y值。
总而言之，指数对数运算公式可以被用于解决复杂的函数类型，从而拓展数学中的知识结构。
它对于熟悉对数函数，指数函数和多项式函数等数学概念有着重要的意义，并且还可以为解决复杂的方程提供有效的解决方案。
本文详细阐述了指数对数运算公式的基本概念以及其在解决复杂的函数类型和方程中的应用，以期帮助读者更好地理解数学中的概念与规则。
对数
1对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.由定义知：①负数和零没有对数;②a>0且a≠1,N>0;③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN.(2)logaMN=logaM-logaN.(3)logaMn=nlogaM (n∈R).问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0?②logaan=? (n∈R)③对数式与指数式的比较.(学生填表)式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数b—N—a—对数的底数b—N—运算性质am·an=am+nam÷an=(am)n=(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMn=(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1?理由如下：①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数解题方法技巧1(1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=5 73.（2）将下列对数式写成指数式：①log1216=-4；②log2128=7；③log327=x；④lg0.01=-2；⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.解析由对数定义：ab=N logaN=b.解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.③log327=x.④log135.73=m.解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.2根据下列条件分别求x的值：(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?(2)log5x=20=1. x=?(3)31+log32=3×3log32=?27=x?(4)2+3=x-1=1x. x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.(2)log5x=20=1，x=51=5.(3)logx27=3×3log32=3×2=6，∴x6=27=33=(3)6,故x=3.(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化.②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值.解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值解答解法一∵logax=4,logay=5,∴x=a4,y=a5,∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x512y-13)=512logax-13logay=512×4-13×5=0,解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4设x,y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).5求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3329+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;(4)求7lg20·12lg0.7的值.解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.(2)转化为log32的关系式.(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢?(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x?解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9=-7.(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.∴ab=1或ab=4，这里a>0,b>0.若ab=1，则a-2b<0, ∴ab=1（舍去）.∴log2a-log2b=log2ab=log24=2.(4)设x=7lg20·12lg0.7,则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)=lg7+lg2=14,∴x=14, 故原式=14.解题规律①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3).②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；(2)logab·logbc=logac；(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；(4)loganbm=mnlogab.解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.(2)由(1)logbc=logaclogab.所以logab·logbc=logab·logaclogab=logac.(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.解题规律(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.7已知log67=a,3b=4,求log127.解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢?解答已知log67=a,log34=b,∴log127=log67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32,由log34=b,得2log32=b.∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧 8已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z.(1)求满足2x=py的p值；(2)求与p最接近的整数值；(3)求证：12y=1z-1x.解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答?解答（1）解法一3x=4y log33x=log34y x=ylog34 2x=2ylog34=ylog316,∴p=log316.解法二设3x=4y=m,取对数得：x·lg3=lgm，ylg4=lgm,∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.由2y=py, 得2lgmlg3=plgmlg4,∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.(2)∵2=log39<log316<log327=3,∴2<p<3.又3-p=log327-log316=log32716,p-2=log316-log39=log3169,而2716<169,∴log32716<log3169,∴p-2>3-p.∴与p最接近的整数是3.解题思想①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢?②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，z∈R+，∴k>1，则x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm，故12y=1z-1x.解法二3x=4y=6z=m，则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.∴1z-1x=12y.9已知正数a,b满足a2+b2=7ab.求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1).解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?解答logma+b3=logm(a+b3)212=解题技巧①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.∵a2+b2=7ab,∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),即logma+b3=12(logma+logmb).思维拓展发散1数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.解析由已知，对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系?解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z,1≤a<10，∴lga∈〔0,1).我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0.小结：①lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0≤lga<1;②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.师生互动什么叫做科学记数法？N>0,lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系？有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？2若lgx的首数比lg1x的首数大9，lgx的尾数比lg1x的尾数小0 380 4，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值.解析①lg0.203 4=1 308 3,即lg0.203 4=1+0.308 3，1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出.解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4).又lg1x=-lgx=-(n+lga),∴(n-9)+(lga+0 380 4)=-n-lga，其中n-9是首数，lga+0 380 4是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以：n-9=-(n+1)lga+0.380 4=1-lga n=4,lga=0.308 3.∴lgx=4+0.308 3=4.308 3,∵lg0.203 4=1.308 3,∴x=2.034×104.∴lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解题规律把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3计算：(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);(2)2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号，如何化简?(2)中分母已无法化简，分子能化简吗?解题方法认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2=-1+12log6(4+22+3·2-3)=-1+12log66=-12.(2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2.4已知log2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z的大小.解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式.解答设log2x=log3y=log5z=m<0.则x=2m,y=3m,z=5m.x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m.下面只需比较2与33,55的大小：(2)6=23=8,(33)6=32=9，所以2<33.又(2)10=25=32,(55)10=52=25,∴2>55.∴55<2<33. 又m<0,图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限的图像，如图2-7-1解题规律①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x.指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m<(2)m<(55)m,故3y<x<5z.潜能挑战测试1(1)将下列指数式化为对数式:①73=343;②14-2=16;③e-5=m.(2)将下列对数式化为指数式：①log128=-3;②lg10000=4;③ln3.5=p.2计算：(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52.3(1)已知lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，求lg45;(2)若lg3.127=a，求lg0.031 27.4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是()A已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=x，则logMa的值为()A若log63=0.673 1，log6x=-0.326 9, 则x为()A若log5〔log3(log2x)〕=0，则x=.98log87·log76·log65=.10如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0的两根为x1、x2,那么x1·x2的值为.11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量?12已知x，y，z∈R+且3x=4y=6z，比较3x，4y，6z的大小.13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2.14已知2a·5b=2c·5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).15设集合M=｛x|lg〔ax2-2(a+1)x-1〕>0｝，若M≠ ，M ｛x|x<0｝，求实数a的取值范围.16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.名师助你成长1.(1)①log7343=3.②log1416=-2.③lnm=-5.(2)①12-3=8.②104=10 000.③ep=3.5.2.(1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式.(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.3.(1)0.826 6点拨：lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2).(2)lg0.031 27=lg(3.127×10-2)=-2+lg3.127=-2+a4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义.5.B点拨：底x+1>0且x+1≠1;真数x+1>0.6.A点拨：对ab=M取以M为底的对数.7.C点拨：注意0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9，所以log63+log61x=log63x=1.∴3x=6, x=12.8.x=8点拨：由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.9.5点拨：log87·log76·log65=log85, 8log85=5.10.16点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是lgx1,lgx2.由lgx1=-lg2,lgx2=-lg3，得x1=12,x2=13.11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，依题意:106·10100n-1=100,化简得:107-n=102,利用同底幂相等，得7-n=2,或者两边取常用对数也得7-n=2.∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.12 设3x=4y=6z=k,因为x，y，z∈R+，所以k>1.取以k为底的对数，得：x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6.∴3x=3logk3=113logk3=1logk33,同理得：4y=1logk44,6z=1logk66.而33=1281,44=1264,66=1236,∴logk33>logk44>logk66.又k>1,33>44>66>1,∴logk33>logk44>logk66>0,∴3x<4y<6z.13.∵axby=aybx=1,∴lg(axby)=lg(aybx)=0,即xlga+ylgb=ylga+xlgb=0.(※)两式相加,得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0.即(lga+lgb)(x+y)=0.∴lga+lgb=0 或x+y=0.当lga+lgb=0时,代入xlga+ylgb=0,得:(x-y)lga=0, a是不为1的正数lga≠0,∴x-y=0.∴x+y=0或x-y=0,∴x2=y2.14.∵2a5b=10,∴2a-1=51-b.两边取以2为底的对数,得：a-1=(1-b)log25. ∴log25=a-11-b(b≠1). 同理得log25=c-11-d(d≠1).即b≠1,d≠1时,a-11-b=c-11-d.∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b),∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).当b=1,c=1时显然成立.15.设lg〔ax2-2(a+1)x-1〕=t (t>0),则ax2-2(a+1)x-1=10t(t>0).∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0.①当a=0时,解集｛x|x<-1｝ ｛x|x<0｝;当a≠0时,M≠ 且M ｛x|x<0｝.∴方程ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1,x2且x1<x2，则②当a>0时,M=｛x|x<x1，或x>x2｝,显然不是｛x|x<0｝的子集；③当a<0时，M=｛x|x1<x<x2｝只要：a<0，Δ=4(a+1)2+8a>0，x1+x2=2(a+1)a<0，x1·x2=-2a>0.解得3-2<a<0，综上所求，a的取值范围是：3-2<a≤0.16.N=3.840×1011, lgN=11.584 3.17.设经过x年，成本降为原来的40%.则(1-10%)x=40%,两边取常用对数，得：x·lg(1-10%)=lg40% ，即x=lg0.4lg0.9=lg4-1lg9-1=2lg2-12lg3-1=10.所以经过10年成本降低为原来的40%.18.f(x)=log1.104x〔或f(x)=lgxlg1.104〕.点拨：设原来一个季度产品为a，则a(1+10.4%)y=xa,∴y=log1.104x.对数的运算法则及变式法则答：若a^b=C,(a>0,a≠1),则b=log(a)C.把b=log(a)C代回去，便得a^log(a)C=C.（此式很有用）log(a)MN=log(a)M+log(a)Nlog(a)(M/N)=log(a)M-log(a)Nlog(a)(M^n)=nlog(a)Mlog(a)M=log(b)M/log(b)a.(换底公式）log(a^n)(M^n)=log(a)M此式由换底公式演化而来：log(a^n)(M^n)=log(a)(M^n)/log(a)(a^n)=nlog(a)M/nlog(a)a=log(a)M.例如：log(8)27=log(2³)3³=log(2)3再如：log(√2)√5=log(2)5.这些公式度可倒过来用。
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指数方程与对数方程知识要点】 1．指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；在对数符号 后面含有未知数的方程，叫做对数方程。
2．解指数方程、对数方程的基本思想：化同底或换元。
1) x a c(a 0,a 1,c 2) a f(x) a g(x)(a0,a 3)f (x) a b g(x)(a0,a 4) F (a x ) 0(a 0,a 3. 指数方程的基本类型： 1) ，用换元法先求方程 4. 对数方程的基本类型： 0),其解为 x log a c ；1) ，转化为代数方程 f(x) g(x) 求解； 1,b 0,b 1) ，转化为代数方程 f(x)lg a g ( x)lg b 求解；F(y) 0 的解，再解指数方程 1)log a x b(a 0,a 1), 其解为 x a b ； f(x) g(x) 2)log a f (x) log a g(x)(a 0,a 1)，转化为 f(x) 0 求解； g(x) 0 3) F(log a x) 0(a 0,a 1) ，用换元法先 求方程 F(y) 0的解，再解对数方程 log a x y 。
典型例题【例1】 解下列方程： (1) 9x +6x =22x+1 ；(2) log 4(3-x)+log 1 (3+x)=log 4(1-x)+log 1 (2x+1);44(3) log 2(9x-1-5)-log 2(3^ -2)=2.2【解前点津】(1)可化为关于()x 的一元二次方程；(2)直接化为一元二次方程求解；3(3)转化为关于3x-1的一元二次方程•33【规范解答】 (1)由原方程得：32x +3x - 2x =2 •22x ，两边同除以22x 得: ( - )2x + ( 3 ) x -2=0.2 2因式分解得：3、x 3 x[()x -1] - [( )x +2]=0.2 2 -(—)x +2>0,「.( —)x -仁0, x=0.2 2(2)由原方程得： log 4(3-x)-log 4(3+x)=log 4(1-x)-log 4(2x+1) (3-x) - (2x+1)=(1-x) - (3+x)解之:x=0或7,经检验知：x=0为原方程解.⑶log 2(9x-1-5)=log 24 - (3^-2)9x-1-5=4 - (3x-1)-8 因式分解得：(3x-1-1)(3x-1-3)=03x-1=1或3x-1=3x=1或2.经检验x=2是原方程解.【解后归纳】 指数方程与对数方程的求解思路是转化.将超越方程转化为代数方程，因转化过程中有时“不等价”，故须验根，“增根须舍去，失根要找回”是解方程的基本原则.【例2】 解关于x 的方程：lg(x 2-2ax)-lg(6 a-3)=0.± ・a 26a 31 (a>J.【解后归纳】含参方程的求解，常依具体条件，确定参数的取值范围【解前点津】化原方程为:2x 2ax 0a 1 6a 3 022x 2ax 6a 3(xa)2 a 2 6a 3••• a 2+6a-3>1+6 x 丄-3>0,4 2x-a= ± , a 6a 3 即 x=a利用对数函数的单调性，去掉对数符号，并保留“等价故由(x-a 2)=a 2+6a-3 得:【例3】 解关于x 的方程：a 2 • 4x +(2a-1) • 2x +1=0. 【解前点津】 令t=2x ,则关于t 的一元方程至少有一个正根， a 是否为0，决定了方程的“次数” •【规范解答】①当a=0时，2x =i ，x=0 ；1②当 a 丰 0 时，△ =(2a-1)2-4a 2=1-4a ;若4》0 则 a <(a 工 0).4一 1且关于t 的一元二次方程 a 2 • t 2+(2a-1)t+1=0至少有一个正根，而两根之积为 —>0，故两aa<!，故 a < 1 (a 工 0)时，2%= (12a)2 厂力，故 a242a【解后归纳】 方程经“换元”之后，如何保持“等价性”是关键所在，应确定“新元” 和“旧元”的对应关系以及“新元”的取值范围【例4】 当a 为何值时，关于x 的方程4x -(2a+1) • 2x +a 2+2=0的根一个比另一个大1. 【解前点津】 令y=2x ，则问题转化为：关于y 的方程y 2-(2a+1)y+(a 2+2)=0中的根一个是 另一个的两倍•2) x 0。
高二数学指数函数与对数函数的方程解法
高二数学指数函数与对数函数的方程解法指数函数和对数函数是高中数学中重要的函数之一，它们在各个领域都有广泛的应用。
在数学中，解指数函数和对数函数的方程是一个重要的基础知识点。
本文将介绍高二数学中指数函数和对数函数的方程解法。
一、指数函数的方程解法指数函数的一般形式可以表示为 y = a^x，其中 a 是一个大于 0 且不等于1 的实数。
解指数函数的方程主要有两种方法：直接法和换底法。
1. 直接法：当指数函数为 y = 2^x 时，对于方程 2^x = c，其中 c 是一个常数，可以直接将方程转化为对数形式，即 x = log₂c。
这样我们就得到了方程的解。
2. 换底法：当指数函数为 y = a^x，其中a ≠ 1，需要解方程 a^x = c 时，我们可以利用对数函数的换底公式，将方程转化为对数形式。
即x = logₐc。
这样，我们就可以通过计算对数来求解方程。
二、对数函数的方程解法对数函数的一般形式可以表示为y = logₐx，其中 a 是一个大于 0 且不等于 1 的实数。
解对数函数的方程主要有两种方法：直接法和换底法。
1. 直接法：当对数函数为 y = log₂x 时，对于方程 log₂x = c，其中 c 是一个常数，可以直接将方程转化为指数形式，即 x = 2^c。
这样我们就得到了方程的解。
2. 换底法：当对数函数为y = logₐx，其中a ≠ 1，需要解方程logₐx = c 时，我们可以利用指数函数的换底公式，将方程转化为指数形式。
即 x = a^c。
这样，我们就可以通过计算指数来求解方程。
三、综合应用指数函数和对数函数常常在实际问题中相互应用，需要综合运用指数函数和对数函数的方程解法。
例如，当我们需要求解方程 a^x = x^b 时，其中 a、b 是已知实数，我们可以将方程转化为对数函数的方程形式。
即x = logₐ(x^b)。
然后使用对数函数的方程解法，通过计算对数来求解方程。
另一个例子是求解指数方程和对数方程的组合方程。
高中数学-指数函数对数函数知识点
高中数学-指数函数对数函数知识点指数函数、对数函数知识点知识点内容：1.整数和有理指数幂的运算：当a≠0时，aⁿ×aᵐ=aⁿ⁺ᵐ；aⁿ÷aᵐ=aⁿ⁻ᵐ；(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ2.指数函数y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.m，n∈N*,且n＞1)的性质：①解析式：y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.且a≠1)②图象：过点(0,1)，在a＞1时，在R上是增函数，在0＜a＜1时，在R上是减函数③单调性：在定义域R上当a＞1时，在R上是增函数当0＜a＜1时，在R上是减函数④极值：在R上无极值(最大、最小值)⑤奇偶性：非奇非偶函数典型题：1.把0.9017x=0.5化为对数式为log0.9017(0.5)=x2.把lgx=0.35化为指数式为x=10⁰.³⁵3.计算：2×6⁴³=6⁴⁴⁹4.求解：(2+1)⁻¹+(2-1)⁻²sin45°=0.5915.指数函数y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.m，n∈N*,且n＞1)的图象过点(3,π)，求f(0)、f(1)、f(-3)的值f(0)=a⁰⁄ⁿ=1f(1)=aᵐ⁄ⁿ=a³⁄ⁿf(-3)=a⁻⁹⁄ⁿ6.求下列函数的定义域：① y=2-x²，定义域为R② y=1⁄(4x-5)-2，定义域为R-{5⁄4}7.比较下列各组数的大小：① 1.2<2.5<1.2+0.5，0.4-0.1<0.4-0.2② 0.3=0.4=0.4=0.3，<2112③ (2³)²<(3²)³<(2²)³8.求函数y=(x²-6x+17)⁄2的最大值，最大值为159.函数y=(a-2)x在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为a＞310.函数y=(a²-1)x在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为|a|＞1x其中a为底数，x为真数，y为对数。
对数公式总结
1对数的概念如果a(a>0 ,且1的b次幕等于N,艮卩ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.由定义知：①负数和零没有对数；②a>0 且1,N>0;③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN ;以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幕值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)3对数的运算性质如果a>0,a工1,M>0,N>0,那么(1) loga(MN)=logaM+logaN.(2) logaMN=logaM-logaN.(3) logaMn=nlogaM (n € R).问：①公式中为什么要加条件a>0,a工1, M>0,N>0?②logaan=? (n € R)③对数式与指数式的比较•(学生填表)式子ab=NlogaN=b 名称a —幕的底数b —N—a —对数的底数b —N—运算性质am?an=am+namr^ an=(am) n=(a>0 且1,n€ R)logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMn=(n € R)(a>0,a 工1,M>0,N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a>0,，且1?理由如下：①若a v 0，贝U N的某些值不存在，例如log-28②若a=0，贝U NM0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数③若a=1时，则NM1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数解题方法技巧(1) 将下列指数式写成对数式：①54=625 :② 2-6=164 :③ 3x=27 ;④ 13m=5(2) 将下列对数式写成指数式：①log1216=-4 ;② Iog2128=7 ;③Iog327=x ;④ Ig0.01=-2 ;⑤In 10=2.303 ; ®lg n =k.解析由对数定义：ab=N解答⑴① log5625=4.② log2164=-6.③log327=x.④ log135.73=m.解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N ①12-4=16.②27=128.③3x=27.④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥ 10k=n .2根据下列条件分别求x的值：(1) log8x=-23 ; (2)log2(log5x)=0 ;(3) logx27=31+log32 ; (4)logx(2+3)=-1.解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?(2) log5x=20=1. x=?(3) 31+log32=3 X3log32=?27=x?(4) 2+3=x-1=1x. x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.(2) log5x=20=1 , x=51=5.(3) logx27=3 X log32=3 X2=6 ,••• x6=27=33=(3)6,故x=3.(4) 2+3=x-仁1x, • x=12+3=2-3.解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化•②熟练应用公式：loga 仁0,logaa=1,alogaM=M,logaa n=n.3已知logax=4,logay=5，求A=〔x?3x-1y2〕12 的值.解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值解答解法一T logax=4,logay=5,•x=a4,y=a5,•A=x512y-13=(a4)512(a5)- 13=a53?a -53=a0=1.解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x512y-13)=512logax-13logay=512 X4-13 X5=0,•A=1.解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4设x,y均为正数，且x?y1+lgx=1(x丰110),求lg(xy)的取值范围.解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢？能否对已知的等式两边也取对数？解答x>0,y>0,x?y1+lgx=1,两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.即lgy=- lgx1+lgx(x 丰 110,lgx-1).令lgx=t,则Igy=-t1+t(t 书.••• Ig(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.•△ =S2+4於0，解得S W-4 或S> 0,故lg(xy)的取值范围是(-8-4〕U〔0,+ g).5求值：(1) lg25+lg2?lg50+(lg2)2 ;(2) 2log32-log3329+log38-52log53 ;⑶设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b 的值；(4) 求7lg20?12lg0.7 的值.解析(1)25=52,50=5 X 10.都化成lg2与lg5的关系式.⑵转化为log32的关系式.⑶所求log2a-log2b=log2ab 由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢？(4) 7lg20?12lg0.7是两个指数幕的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg20?12lg0.7 能否先求出lgx，再求x?解答(1)原式=lg52+lg2?lg(10 X 5)+(lg2)2=2lg5+lg2?(1+lg5)+(lg2)2=lg5?(2+lg2)+lg 2+(lg2)2=lg102?(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg 2 )+lg 2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.⑵原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9=-7.(3) 由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),•ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0.•ab=1 或ab=4，这里a>0,b>0.若ab=1，贝U a-2b<0, • ab=1 (舍去).•ab=4,•Iog2a-log2b=log2ab=log24=2.⑷设x=7lg20?12lg0.7,则lgx=lg20 旳7+lg0.7 也12=(1 +Ig2)?lg7+(lg7 -1)?(-lg2)=lg7+lg2=14,••• x=14,故原式=14.解题规律①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3).②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6证明⑴logaN=logcNlogca(a>0,a 丰 1,c>0,c 丰 1,N>0);(2) logab?logbc=logac ;(3) logab=1logba(b>0,b 工1)(4) loga nbm=mnl ogab.解析⑴设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.⑵中logbc能否也换成以a为底的对数.⑶应用⑴将logab换成以b为底的对数.⑷应用⑴将loganbm换成以a为底的对数.解答(1)设logaN=b，贝U ab=N,两边取以c为底的对数得：b?logca=logcN,•b=logcNlogca. • logaN=logcNlogca.(2) 由(1)logbc=logaclogab.所以logab?logbc=logab?logaclogab=logac.(3) 由(1)logab=logbblogba=1logba.解题规律(1)中logaN=logcNlogca 叫做对数换底公式，⑵(3)(4)是⑴的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用.对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loga nbm=logabmlogaa n=m logab nl ogaa=mnl ogab.7已知log67=a,3b=4,求log127.解析依题意a,b是常数，求Iog127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢？解答已知log67=a,log34=b,•Iog127=log67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32,•Iog32=b2, • Iog62=b21+b2=b2+b.•Iog127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧已知x,y,z € R+，且3x=4y=6z.(1)求满足2x=py的p值；(2)求与p最接近的整数值；⑶求证：12y=1z-1x.解析已知条件中给出了指数幕的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想,对于指数式能否用对数的方法去解答?解答(1)解法一3x=4y og34y••• p=log316.解法二设3x=4y=m,取对数得：x?lg3=lgm , ylg4=lgm,•x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.由2y=py,得2lgmlg3=plgmlg4,•p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.⑵•/ 2=log39<log316<log327=3,•2<p<3.又3-p=log327-log316=log32716,p-2=log316-log39=log3169,而2716<169,•Iog32716<log3169, •p-2>3-p.•••与p最接近的整数是3.解题思想①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢？②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1 ,所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x, y, z€ R+ ,•k>1，贝U x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm , 12y=12?lg4lgm=lg2lgm ,故12y=1z-1x.解法二3x=4y=6z=m ,则有3=m1x ①,4=m1y ②，6=m1z ③，③电，得m1z-1x=63=2=m12y.•1z-1x=12y.9已知正数a,b 满足a2+b2=7ab.求证：Iogma+b3=12(logma+logmb)(m>0 且1).解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?解答logma+b3=logm(a+b3)212=解题技巧①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.■/ a2+b2=7ab,•Iogma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),即Iogma+b3=12(logma+logmb).思维拓展发散1数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=s^ 10n.其中N>0,1 w a<10,n €乙这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里？我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.解析由已知，对N=axion取常用对数得，IgN=n+lga.真数与对数有何联系？解答IgN=Ig(a xiOn)=n+lga.n € Z,1 w a<10,•••Iga €〔0,1).我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把Iga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0.小结：①IgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0 w lga<1;②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；③当NA1时，IgN的首数n比它的整数位数少 1 ,当N€ (0,1)时，IgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.师生互动什么叫做科学记数法？N>0,IgN的首数和尾数与a X10n有什么联系？有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？2若Igx的首数比Ig1x的首数大9, Igx的尾数比Ig1x的尾数小0 ，且Ig0.203 4=1.308 3, 求Igx,x,lg1x 的值.解析①Ig0.203 4=1 即Ig0.203 4=1+0.308 3 , 1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设Igx=n+lga，则Ig1x也可表出.解答设lgx= n+lga,依题意Ig1x=(n-9)+(Iga+0.380 4).又Ig1x=-lgx=_(n+lga),•- (n-9)+(lga+0 -n-Iga，其中n-9 是首数，Iga+0 是尾数，-n-Iga=-(n+1)+(1-Iga),-(n+1) 是首数1-Iga 是尾数，所以：n-9=-( n+1)Iga+0.380 4=1-Igalga=0.308 3.•/ Ig0.203 4=1.308 3, • x=2.034 X104.•lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解题规律把Igx的首数和尾数，Ig1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3计算：(1) Iog2-3(2+3)+Iog6(2+3+2-3);(2) 2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号，如何化简？(2)中分母已无法化简，分子能化简吗？解题方法认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答⑴原式=log2-3(2-3)-1+12log6(2+3+2-3)2=-1 + 12log6(4+22+3?2 -3)=-1+12log66=-12.⑵原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2 〔IglOO+lg(lga)〕2+lg(lga)=2 〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2.4已知Iog2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z 的大小.解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幕，所以，对数等式应设法转化为指数式.解答设log2x=log3y=log5z=m<0.则x=2m,y=3m,z=5m.x= (2)m,3y=(33)m,5z=(55)m.下面只需比较2与33,55的大小：⑵6=23=8,(33)6=32=9 ，所以2<33.又⑵ 10=25=32,(55)10=52=25,••• 2>55.••• 55<2<33.又m<0,图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x 在第二象限的图像，如图2-7-1解题规律①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化②比较指数相同，底不同的指数幕(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x.指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m<(2)m<(55)m, 故3y<x<5z.潜能挑战测试1(1)将下列指数式化为对数式：(2)将下列对数式化为指数式：①log128=-3;② lg10000=4;③ln3.5=p.2计算：(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52.3(1)已知lg2=0.301 0 , lg3=0.477 1，求lg45;⑵若lg3.127=a，求lg0.031 27.4已知0则下列各式中与log2a2总相等的是()A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是()A 已知ab=M(a>0,b>0,M 丰 1)且logMb=x，贝则logMa 的值为()A 若log63=0.673 1 , log6x=-0.326 9,贝U x 为()A 若log5〔log3(log2x)〕=0,则x=.98log87?log76?log65=.10 如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2?lg3=0 的两根为x1、x2,那么x1?x2 的值为.11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1 T HM HI HP H5^ H6 这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=1 , 2 , 3, 4, 5 , 6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量？12 已知x, y, z€ R+ 且3x=4y=6z，比较3x, 4y , 6z 的大小.13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2.14 已知2a?5b=2c?5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).15 设集合M= {x|lg〔ax2-2(a+1)x-1 〕>0 }，若W , M {x|x<0 }，求实数a 的取值范围.16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为神威I "的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000 次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.名师助你成长1. (1)① log7343=3.② log1416=-2.③ Inm=-5.⑵① 12-3=8.② 104=10 000.③ ep=3.5.2. (1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式.(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.⑶144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.3. (1)0.826 6 点拨：Ig45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2).(2)lg0.031 27=lg(3.127 10-2)=-2+lg3.127=-2+a4. C点拨：0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义5. B 点拨：底x+1>0 且x+1M 1真数x+1>0.6. A点拨：对ab=M取以M为底的对数.7. C 点拨：注意0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9 ,所以Iog63+log61x=log63x=1. /• 3x=6, x=12.8. x=8 点拨：由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.9.5 点拨：log87?log76?log65=log85, 8log85=5.10.16点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是Igx1,lgx2.由Igx1=-lg2,lgx2=-lg3 ，得x1=12,x2=13.11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，依题意:106?10100n -1=100,化简得:107-n=102,利用同底幕相等，得7-n=2,或者两边取常用对数也得7-n=2.••• n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.12 设3x=4y=6z=k,因为x, y, z€ R+ ,所以k>1.取以k为底的对数，得：x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6.• 3x=3logk3=113logk3=1logk33,同理得：4y=1logk44,6z=1logk66.而33=1281,44=1264,66=1236,••• Iogk33>logk44>logk66.又k>1,33>44>66>1,•- Iogk33>logk44>logk66>0, • 3x<4y<6z.13. T axby=aybx=1, • lg(axby)=lg(aybx)=O,即xlga+ylgb=ylga+xlgb=O.(沫)两式相加，得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0.即(lga+lgb)(x+y)=0. • lga+lgb=O 或x+y=0.当lga+lgb=0 时，代入xlga+ylgb=0,得:(x-y)lga=0, a 是不为1 的正数lga 丰 O,.x-y=O.•x+y=0 或x-y=0, • x2=y2.14. T 2a5b=10, • 2a-1=51-b.两边取以2 为底的对数，得:a-1=(1-b)log25. •log25=a-11- b(b 工1).同理得log25=c-11- d(d 工1).即1,d 工时,a-11-b=c-11-d.•••(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b),•(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).当b=1,c=1时显然成立.15. 设lg〔ax2-2(a+1)x-1 〕=t (t>0),则ax2-2(a+1)x -1= 10t(t>0).•10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1, • ax2-2(a+1)x-2>0.①当a=0 时,解集{ x|x<-1 } {x|x<0 };当时,M M且M {x|x<0 }.•方程ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1,x2且x1<x2，贝U ②当a>0时,M= {x|x<x1，或x>x2 },显然不是{ x|x<0 }的子集；③当a<0 时，M= {x|x1<x<x2 }只要：a<0 ,△ =4(a+1)2+8a>0 ,x1+x2=2(a+1)a<0 ,x1?x2=-2a>0.解得3-2<a<0，综上所求，a的取值范围是：3-2<a< 0.16. N=3.840 X1011, lgN=11.584 3.17. 设经过x年，成本降为原来的40%.则(1-10%)x=40%,两边取常用对数，得：x?lg(1-10%)=lg40% ,即X=lg0.4lg0.9=lg4-1lg9- 1=2lg2-12lg3-1=10.所以经过10年成本降低为原来的40%.18. f(x)=log1.104x 〔或f(x)=lgxlg1.104〕.点拨：设原来一个季度产品为a，贝U a(1+10.4%)y=xa, • y=log1.104x.。
指数函数与对数函数方程的解法
指数函数与对数函数方程的解法引言：在数学中，指数函数和对数函数是重要的数学工具。
它们在数学、科学和工程等领域有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨指数函数和对数函数方程的求解方法，帮助读者更好地理解和应用这些函数。
一、指数函数的定义和性质指数函数是以自然常数e为底的函数，通常表示为f(x) = a^x，其中a是正实数且不等于1。
指数函数具有以下性质：1. 当x为有理数时，指数函数f(x)可以写为f(x) = a^(p/q)，其中p和q为整数，q不等于0。
2. 当x趋向于正无穷大时，指数函数f(x)趋向于正无穷大；当x趋向于负无穷大时，指数函数f(x)趋向于0。
3. 指数函数在x轴上有一个特殊点，即x=0时，f(x)等于1。
二、对数函数的定义和性质对数函数是指以特定的底数为底的函数，通常表示为f(x) = loga(x)，其中a是正实数且不等于1。
对数函数具有以下性质：1. 对于任意的正实数a和b，如果a^x = b，那么loga(b) = x。
2. 当b趋向于正无穷大时，对数函数f(b)趋向于正无穷大；当b趋向于0时，对数函数f(b)趋向于负无穷大。
3. 对数函数在x轴上有一个特殊点，即x=1时，f(x)等于0。
三、指数函数方程的解法解指数函数方程的一般步骤如下：1. 将方程转化为以相同底数的指数方程。
2. 通过对等式两边取对数的方式，将指数方程转化为对数方程。
3. 对对数方程应用解对数方程的方法得到解。
4. 验证解是否满足原始的指数函数方程。
举例说明：考虑指数函数方程2^x = 8，按照上述步骤解方程：1. 将底数2和8转化为相同的底数，可以写为2^x = 2^3。
2. 对等式两边分别取对数，得到x = 3。
3. 验证解：将x = 3代入原方程，得到2^3 = 8，等式成立。
因此，方程2^x = 8的解为x = 3。
四、对数函数方程的解法解对数函数方程的一般步骤如下：1. 将方程转化为指数方程，即利用对数函数和指数函数的互为逆运算的性质。
解含有指数和对数的方程
解含有指数和对数的方程在数学中，指数和对数是相互对立的概念，它们经常出现在方程中。
解含有指数和对数的方程是解决数学问题的重要一步。
本文将探讨如何解含有指数和对数的方程，以及应用它们解决实际问题的方法。
首先，我们来看一些简单的指数方程。
指数方程常见的形式是a^x= b，其中a和b是已知数。
解这类方程的方法是通过对数函数来求解，即x = log base a of b。
这里log base a表示以a为底的对数。
举个例子，如果我们要求解2^x = 8这个方程，可以使用对数的性质，即x = log base 2 of 8 = 3。
通过这个方法，我们可以解决包含简单指数方程的问题。
接下来，我们来看一些复杂的指数方程。
复杂的指数方程可能包含多个未知数和多个已知数。
解这类方程的方法是将方程转化为相等的指数式。
举个例子，如果我们要求解3^x + 3^(x-2) = 10这个方程，我们可以将10写成3^2，得到3^x + 3^(x-2) = 3^2。
然后，我们可以利用指数的加法规则，即a^m + a^n = a^(m+n)，将方程转化为3^x * 3^0 +3^x * 3^(-2) = 3^2。
经过化简，我们得到2 * 3^x + 1/3 * 3^x = 9。
进一步化简，我们得到(2 + 1/3) * 3^x = 9，即7/3 * 3^x = 9。
然后，我们可以将方程转化为指数形式，得到3^x = 9 / (7/3) = 27/7。
最后，我们可以使用对数函数求解，即x = log base 3 of (27/7)。
通过这个方法，我们可以解决复杂的指数方程。
除了指数方程，对数方程也是解决数学问题的重要一环。
对数方程常见的形式是log base a of x = b，其中a和b是已知数。
解这类方程的方法是通过指数函数来求解，即x = a^b。
举个例子，如果我们要求解log base 2 of x = 3这个方程，可以使用指数的性质，即x = 2^3 = 8。
指数函数与对数
指数函数与对数函数知识点：x比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3. 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4. 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
复合函数的单调性法则是：同增异减 步骤：（1）球定义域并分解复合函数（2）在定义与范围内分别讨论分解后的函数的单调性 （3）很据复合函数的单调性法则得出结论练习：1、（1）)35lg(lg x x y -+=的定义域为_______；（2）312-=x y 的值域为_________；（3）)lg(2x x y +-=的递增区间为___________，值域为___________2、（1）041log 212≤-x ，则________∈x 3、要使函数a y x x 421++=在(]1,∞-∈x 上0>y 恒成立。
求a 的取值范围。
指数函数与对数函数同步训练一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.已知2lg(x －2y )=lg x +lg y ,则yx的值为（ ）A.1 B.4 C.1或4 D.41或42.函数y =log 21(x 2－6x +17)的值域是（ ）A.R B.［8，+)∞C.(－∞,－]3D.［－3,+∞)3.若a >1,b >1,且lg(a +b )=lg a +lg b ,则lg(a －1)+lg(b －1)的值等于（ ） A.0 B.lg2 C.1 D.－14.设x ∈R ,若a <lg(|x －3|+|x +7|)恒成立，则（ ） A.a ≥1 B.a >1 C.0<a ≤1 D.a <15.设有两个命题①关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对于一切x ∈R 恒成立，②函数f (x )=－(5－2a )x是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a 的范围是（ ） A.(－2,2) B.(－∞,2) C.(－∞,－2) D.(－∞,－2］ 6.设函数f (x )=f (x1)lg x +1,则f (10)值为（ ）A.1B.－1C.10D.101 7.已知函数y =f (x )的反函数为f －1(x )=2x +1,则f (1)等于（ ）A.0 B.1 C.－1 D.4 8.若定义在区间（－1，0）内的函数f (x )=log 2a (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围是（ ） A.(0,21)B.(0,⎥⎦⎤21C.(21,+∞)D.(0,+∞)9.已知函数y =f (2x )定义域为［1，2］,则y =f (log 2x )的定义域为（ ）A.［1，2］B.［4，16］C.［０，1］D.（－∞,0］ 10.已知f (x )=x 2－bx +c ,且f (0)=3,f (1+x )=f (1－x ),则有（ ） A.f (b x )≥f (c x ) B.f (b x )≤f (c x ) C.f (b x )<f (c x ) D.f (b x )、f (c x )大小不确定 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11.方程log 2(2－2x )+x +99=0的两个解的和是______.12.当x ∈(1,2)，不等式(x －1)2<log a x ,则a 的取值范围是_____________. 13.若不等式3axx22->(31)x +1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为______.14.f (x )=]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为______.三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（8分）已知函数f (x )=log 412x －log 41x +5,x ∈［2,4］，求f (x )的最大值及最小值.16.（10分）已知f (x )=lg xx+-11.(1)求函数定义域.（2）求f －1(lg2).17.(12分)已知函数f (x )=22-a a (a x －a －x)(a >0且a ≠1)是R 上的增函数，求a 的取值范围.18.(12分)设函数f (x )=|lg x |,若0<a <b ,且f (a )>f (b ),证明：ab <1.19.（12分）某种细菌每隔两小时分裂一次，（每一个细菌分裂成两个，分裂所须时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y =f (t ).（1）写出函数y =f (t )的定义域和值域.（2）在所给坐标系中画出y =f (t )(0≤t <6)的图象.（3）写出研究进行到n 小时（n ≥0，n ∈Z )时，细菌的总数有多少个（用关于n 的式子表示）？指数函数与对数函数同步训练一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.已知2lg(x －2y )=lg x +lg y ,则yx的值为（ ）A.1 B.4 C.1或4 D.41或4考查对数函数及对数函数定义域.【解析】 原命题等价⇒⎩⎨⎧>>=-02y x )2(2xy y x x =4y ∴y x=4【答案】 B 2.函数y =log 21(x 2－6x +17)的值域是（ ）A.R B.［8，+)∞ C.(－∞,－]3 D.［－3,+∞)考查对数函数单调性、定义域、值域.【解析】 y =log 21［(x －3)2+8］≤log 218=－3 【答案】 C3.若a >1,b >1,且lg(a +b )=lg a +lg b ,则lg(a －1)+lg(b －1)的值等于（ ）A.0 B.lg2 C.1 D.－1 考查对数运算.【解析】 由lg(a +b )=lg a +lg b ⇒a +b =ab 即(a －1)(b －1)=1, ∴lg(a －1)+lg(b －1)=0 【答案】 A4.设x ∈R ,若a <lg(|x －3|+|x +7|)恒成立，则（ ）A.a ≥1 B.a >1 C.0<a ≤1 D.a <1 考查对数函数性质及绝对值不等式.【解析】 令t =|x －3|+|x +7|,∴x ∈R ,∴t min =10 y =lg t ≥lg10=1,故a <1 【答案】 D 5.设有两个命题①关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对于一切x ∈R 恒成立，②函数f (x )=－(5－2a )x 是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a 的范围是（ ） A.(－2,2) B.(－∞,2) C.(－∞,－2) D.(－∞,－2］考查二次函数性质及逻辑推理能力.【解析】 ①等价于Δ=（2a )2－16<0⇒－2<a <2 ②等价于5－2a >1⇒a <2 ① ②有且只有一个为真，∴a ∈(－∞,－2］ 【答案】 D 6.设函数f (x )=f (x1)lg x +1,则f (10)值为（ ）A.1B.－1C.10D.101 考查对数性质及函数对应法则理解.【解析】 ∵f (x )=f (x1)lg x +1,∴f (x1)=f (x )lg x1+1 ∴f (10)=f (101)lg10+1,且f (101)=f (10)lg 101+1 解得f (10)=1. 【答案】 A 7.已知函数y =f (x )的反函数为f －1(x )=2x +1,则f (1)等于（ ）A.0 B.1 C.－1 D.4考查反函数意义.【解析】 令f (1)=x ,则f －1(x )=1,令2x +1=1,∴x =－1 【答案】 C8.若定义在区间（－1，0）内的函数f (x )=log 2a (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围是（ ） A.(0,21)B.(0,⎥⎦⎤21C.(21,+∞)D.(0,+∞)考查对数函数的单调性.【解析】 f (x )=log 2a (x +1)>0=log 2a 1 ∵x ∈(－1,0),∴x +1<1, ∴0<2a <1,即0<a <21 【答案】 A9.已知函数y =f (2x )定义域为［1，2］,则y =f (log 2x )的定义域为（ ）A.［1，2］B.［4，16］C.［０，1］D.（－∞,0］ 考查函数定义域的理解. 【答案】 B【解析】 由1≤x ≤2⇒2≤2x ≤4, ∴y =f (x )定义域为［2，4］ 由2≤log 2x ≤4,得4≤x ≤16 10.已知f (x )=x 2－bx +c ,且f (0)=3,f (1+x )=f (1－x ),则有（ ） A.f (b x )≥f (c x ) B.f (b x )≤f (c x ) C.f (b x )<f (c x ) D.f (b x )、f (c x )大小不确定 考查二次函数及函数单调性.【解析】 由f (0)=3⇒c =3, 由f (1+x )=f (1－x )知对称轴为x =1,∴b =2①x =0,2x =3x ,∴f (2x )=f (3x )②x >0,1<2x <3x ,∴f (2x )<f (3x )③x <0,1>2x >3x ,∴f (2x )<f (3x ) 【答案】 B 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.方程log 2(2－2x )+x +99=0的两个解的和是______.【答案】 －99 考查对数运算.【解析】 由原式变形得2－2x =99221⋅x 设2x =y ,变形得:299y 2－2100y +1=0⇒y 1y 2=2－99=221x x + ∴x 1+x 2=－9912.当x ∈(1,2)，不等式(x －1)2<log a x ,则a 的取值范围是_____________.【答案】 (1,2］考查对数函数图象及数形结合思想.【解析】 考查两函数y =(x －1)2及y =log a x 图象可知a ∈(1,2］ 13.若不等式3axx22->(31)x +1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】 －21<a <23考查指数函数单调性及化归能力.【解析】 由题意：x 2－2ax >－x －1恒成立 即x 2－(2a －1)x +1>0恒成立 故Δ=（2a －1）2－4<0⇒－21<a <2314.f (x )=]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为______.【答案】 (－2,－1］ 考查分段函数值域.【解析】 x ∈(－∞,1］时,x －1≤0,0<3x －1≤1, ∴－2<f (x )≤－1x ∈(1,+∞)时，1－x <0,0<31－x <1,∴－2<f (x )<－1 ∴f (x )值域为(－2,－1］三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分8分）已知函数f (x )=log 412x －log 41x +5,x ∈［2,4］，求f (x )的最大值及最小值.考查函数最值及对数函数性质.【解】 令t =log 41x ,∵x ∈［2,4］,t =log 41x 在定义域递减有log 414<log 41x <log 412，∴t ∈［－1,－21］ ∴f (t )=t 2－t +5=(t －21)2+419,t ∈［－1,－21］∴当t =－21时，f (x )取最小值423当t =－1时，f (x )取最大值7. 16.（本小题满分10分）已知f (x )=lg xx+-11.(1)求函数定义域.（2）求f －1(lg2).考查函数性质，互为反函数的函数间关系.【解】 （1）由xx+-11>0,得－1<x <1 ∴函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1} (2)由lg x x +-11=lg2⇒xx +-11=2⇒x =－31 ∴f －1(lg2)=－3117.(12分)已知函数f (x )=22-a a(a x －a －x )(a >0且a ≠1)是R 上的增函数，求a 的取值范围.考查指数函数性质.【解】 f (x )的定义域为R ，设x 1、x 2∈R ,且x 1<x 2 则f (x 2)－f (x 1)=22-a a (a 2x －a 2x -－a 1x +a 1x -)=22-a a (a 2x －a 1x )(1+211x x a a ⋅)由于a >0，且a ≠1,∴1+211x x aa >0 ∵f (x )为增函数，则(a 2－2)( a 2x －a 1x )>0 于是有⎪⎩⎪⎨⎧<-<-⎪⎩⎪⎨⎧>->-02002121222x xx x a a a a a a 或， 解得a >2或0<a <1 18.(本小题满分12分)设函数f (x )=|lg x |,若0<a <b ,且f (a )>f (b ),证明：ab <1.考查对数函数性质、分类讨论思想.【解】 由题设，显然a 、b 不能同在（1，+∞) 否则，f (x )=lg x ,且a <b 时，f (a )<f (b )与已知矛盾由0<a <b 可知，必有0<a <1 ①当0<b <1时，∵0<a <1,0<b <1,∴0<ab <1 ②当b >1时，∵0<a <1 ∴f (a )=|lg a |=－lg a ,f (b )=|lg b |=lg b 由f (a )>f (b ),得－lg a >lg b ，即a1>b ,∴ab <1 由①②可知ab <1 19.考查函数应用及分析解决问题能力.【解】 （1）y =f (t )定义域为t ∈［0,+∞),值域为{y |y =2n ,n ∈N *}（2）0≤t <6时，为一分段函数y =⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤<≤)6(4 8)4(2 4)2(0 2x x x 图象如图（3）n 为偶数时，y =212+nn 为奇数时，y =2121+-n ∴y =⎪⎩⎪⎨⎧+-+为奇数为偶数n n n n 2212112。
指数函数对数函数公式
指数函数对数函数公式
指数函数和对数函数是数学中非常重要的两类函数，它们之间存在着一些特殊的关系和公式。
其中最常见的就是指数函数对数函数公式，即：
loga(b) = c ac = b
其中，a和b为正数，a≠1，c为实数。
这个公式表明，如果我们知道一个数的底数为a的对数是c，那么这个数就可以表示为a的c次幂，即ac=b。
这个公式的应用非常广泛，比如在解指数方程、求复利、计算指数函数的值等方面都有重要的作用。
在实际生活中，我们经常需要用到这个公式来进行计算，例如计算银行定期存款的复利利率、计算化学反应中的物质质量变化等。
除了指数函数对数函数公式外，指数函数和对数函数还有许多其他的性质和公式。
例如，指数函数的图像是一个递增的曲线，而对数函数的图像是一个递减的曲线；指数函数和对数函数是互反的函数，即它们的复合函数等于自变量x；指数函数和对数函数的导数和积分公式等等。
总之，指数函数和对数函数是数学中非常重要的两类函数，它们的公式和性质在数学和实际生活中都有广泛的应用。
- 1 -。
指数与对数方程
指数与对数方程指数与对数是一对互逆的运算，指数函数与对数函数互相构成反函数。
这方面的内容，在高中数学课程中已经详细介绍过。
学生对它们的定义、基本运算规则以及有关的一些应用，大体上都应该是了解的。
但是，对它们的精神实质及深刻内涵，对它们在人类认识世界与改造世界的文明发展史中所起的重要作用与贡献，却不一定都有深切的领会。
这一期特辑，以通俗易懂的方式，专门介绍指数与对数这一主题，对广大学生和社会大众来说是很好的阅读材料。
e^{ix}＝cosx＋isinx并由此得到e^{iπ}＋1＝0这个大家公认的最美数学式。
由于指数和对数是互逆的关系，从原则上看，知道了其中一个就可以理解另外一个。
下面就重点讲一下对数。
对数是苏格兰数学家纳皮尔（John Napier，1550～1617）发明的。
他从1594年到1614年整整花了20年时间造出了第一个对数表，使对数似乎毫无征兆地突然降临人间。
但从纳皮尔本人的说法就可以知道，这实际上是当时天文、航海及工程实践中对简化大量繁杂计算的迫切需要所促成的。
由于对数不仅能将乘除转化为加减，也能将乘方、开方转化为乘除，一下子把人们从繁复的计算中解放出来，无异于成倍地延长了科学家与工程技术人员的寿命。
正因为如此，在科学发展的历史中，极少有哪个抽象的数学概念，能像对数一样，一开始就获得了整个科学界的热烈欢迎。
对数的发明，无疑是人类认识史上的一个极大的飞跃和革命，在人类文明的进程中起了石破天惊的作用。
恩格斯就曾经将对数与解析几何及微积分这三者并列，称之为“最重要的数学方法”，并指出：对于将乘除转化为加减的“这种从一个形态到另一个相反的形态的转变，并不是一种无聊的游戏，它是数学科学的最有力的杠杆之一。
如果没有它，今天就没法去进行一个较为复杂的计算。
”自纳皮尔1614年发明对数以来，在长达350年左右的时间内，根据对数的原理所设计的一些计算仪器（其中包括曾广泛使用的计算尺），一直是科学家和工程师的忠实伴侣。
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简单的指数对数方程
通过具体例子，让学生熟练掌握常见的类型与解法
一、知识点归纳：
1、 指数方程：指数里含有未知数的方程叫做指数方程。
几种特殊的指数方程的解法：
（1）)()(x g x f a a
=型)1,0(≠>a a 转化为)()(x g x f =求解； （2）b a x f =)(型)0,1,0(>≠>b a a 转化为b x f a log )(=求解；
（3）02=+⋅+⋅C a B a A x x
型)1,0(≠>a a ,可令x a y =（换元），转化为一元二次方程求解；
2、 对数方程：对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。
几种特殊的对数方程的解法：
（1）)(log )(log x g x f a a =型)1,0(≠>a a 转化为)()(x g x f =求解；
（2）b x f a =)(log 型)1,0(≠>a a 转化为b a x f =)(求解；
（3）0log log 2=+⋅+⋅C x B x A a a 型)1,0(≠>a a ,可令x y a log =（换元），转化
为一元二次方程求解；
注意：对数方程要检验！
3、 用图像法求近似解或确定解的个数。
4、 指数不等式：指数里含有未知数的不等式叫做指数不等式。
若 )()(x g x f a a >，则)
()(10)()(1x g x f a x g x f a <<<>>时，当时，当。
5、 对数不等式：对数符号后面含有未知数的不等式叫做对数不等式。
若)(log )(log x g x f a a >，则
)()(0100)()(1x g x f a x g x f a <<<<>>>时，当时，当 二、例题讲解：
例1：解下列方程：
（1）x
x ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-214
12 （2）80334=-+x x （3）x x 352=-
（4）09389=-⋅-x x （5）x x x 659243⋅=⋅+⋅
（6）010)22(64
4=++⋅-+--x x x x
（7）1)292(log 23=--x x （8）2)122(log 2)1(=+-+x x x
（9）)32lg()1lg()3lg(2--=-++x x x x
（10）()8lg lg 22=-x x （11）100
3
lg x x x =
例2：方程22
2+=x x 的实数解的个数为________ 例3：已知关于x 的方程03)3()13)(1(3112=----+++x x x m m 有两个不同的实数
根，求m 的取值范围。
例4：若)1,0(5213222≠><-++-a a a a x x x x
，求实数x 的取值范围。
例5：已知函数)1(log 5.0+=x y 的定义域为A ，不等式 )10)(5(log )14(log 5.05.0<<+>-a a a x x 的解集为B ，
求B A ⋂
例6：已知x 满足不等式()03log 7log 25.02
5.0≤++x x ，试求函数 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛=4log 2log )(22x x x f 的值域。
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