初中数学重点梳理：恒等式证明
初中数学重点梳理恒等式证明
初中数学重点梳理恒等式证明初中数学中的恒等式证明是一个重要的知识点，也是数学学习中的基础内容。
恒等式证明主要通过逐步推导，将一个式子转化为另一个等价的式子，从而证明恒等式成立。
下面是初中数学中常见的恒等式证明的一些重点梳理。
1.基本的恒等式：-交换律：a+b=b+a，a×b=b×a-结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，(a×b)×c=a×(b×c)-分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2.等式转换的基本方法：-两边加减相等的量-两边乘除相等的量-合并同类项-提取公因式-分解因式3.恒等式证明的常见例题：- 证明两个三角函数的恒等式，如证明sin²θ + cos²θ = 1-证明平方差等式，如证明a²-b²=(a+b)(a-b)- 证明平方和等式，如证明(a + b)² = a² + 2ab + b²-证明乘法公式，如证明(a+b)×(a-b)=a²-b²4.使用排列组合证明恒等式：-利用组合数等恒等式，如证明C(n,r)=C(n,n-r)-利用排列数等恒等式，如证明A(n,m)=n!/(n-m)!-利用二项式定理等恒等式，如证明(a+b)ⁿ=C(n,0)aⁿ+C(n,1)aⁿ⁻¹b+...+C(n,n)bⁿ5.使用数学归纳法证明恒等式：数学归纳法是一种证明恒等式的常用方法，通过证明基础情况成立，以及假设n=k时等式成立，再证明n=k+1时等式成立来证明恒等式的真实性。
6.利用三角恒等关系证明恒等式：三角恒等关系是三角函数中常见的等式，通过变换、代入等方法，可以将一个三角函数的恒等式转化为另一个等价的恒等式。
7.利用代数运算规律证明恒等式：例如利用加法运算的逆元、乘法运算的逆元以及分配律等运算规律，可以将一个等式转化为另一个等价的等式。
恒等式证明
初一数学竞赛系列讲座(7)有关恒等式的证明一、知识要点恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明，对于一般恒等式的证明，常常通过恒等变形从一边证到另一边，或证两边都等于同一个数或式。
在恒等变形过程中，除了要掌握一些基本方法外，还应注意应用一些变形技巧，如：整体处理、“1”的代换等；对于条件恒等式的证明，如何处理好条件等式是关键，要认真分析条件等式的结构特征，以及它和要证明的恒等式之间的关系。
二、例题精讲例1 求证：a 1+(1-a 1)a 2+(1-a 1)(1-a 2)a 3+…+(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n=1-(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )分析：要证等式成立，只要证明1- a 1- (1-a 1)a 2- (1-a 1)(1-a 2)a 3 -…- (1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n =(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )证明：1- a 1- (1-a 1)a 2- (1-a 1)(1-a 2)a 3 -…- (1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n=(1-a 1)[ 1- a 2- (1-a 2)a 3- (1-a 2)(1-a 3)a 4 -…- (1-a 2)(1-a 3)…(1-a n-1)a n ]=(1-a 1) (1-a 2)[ 1- a 3- (1-a 3)a 4- (1-a 3)(1-a 4)a 5 -…- (1-a 3)(1-a 4)…(1-a n-1)a n ]=(1-a 1) (1-a 2) (1-a 3)[ 1- a 4- (1-a 4)a 5- (1-a 4)(1-a 5)a 6 -…- (1-a 4)(1-a 5)…(1-a n-1)a n ]=……=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )∴ 原等式成立例2 证明恒等式()()()()()()11322321121132322121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n ++++++=++++++ (第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题)证明评注：裂项是恒等变形中常用的一种方法()()()()()()11322321121322211113232121132322121111111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++++++例3 若abc=1，求证1111=++++++++c ca c b bc b a ab a 分析：所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子，因而变形比较困难。
初中数学知识归纳三角恒等式的证明与应用
初中数学知识归纳三角恒等式的证明与应用三角恒等式在数学中占据着重要的地位，是解决各种三角函数关系问题的基础。
本文旨在归纳和讨论一些常见的三角恒等式的证明和应用。
一、基本恒等式1. 余弦的平方加正弦的平方等于1：cos^2θ + sin^2θ = 1这个恒等式是最基本的三角恒等式，可以通过单位圆的性质简单证明。
对于任意角度θ，找到其对应的单位圆上的点P(x, y)，那么x就是cosθ，y就是sinθ。
根据勾股定理可得x^2 + y^2 = 1，即cos^2θ +sin^2θ = 1。
2. 正切的平方加1等于割线的平方：tan^2θ + 1 = sec^2θ这个恒等式的证明也可以通过单位圆来进行。
设θ为一个角度，P 为单位圆上相应角度的点，直线OP与单位圆的交点为A。
在直角三角形OAP中，根据定义，tanθ = AP/OA，其中OA=1，所以tan^2θ =AP^2。
另一方面，单位圆上的点P(x, y)到原点O的距离r等于1，也即x^2 + y^2 = 1，所以1 + x = OA = 1/cosθ，即1 = sec^2θ。
二、和差恒等式1. 余弦的和差公式：cos(α±β) = cosαcosβ - sinαsinβ这个恒等式是利用向量的内积性质进行证明的。
假设有两个向量A 和B，分别表示角度为α和β的方向。
根据向量的内积定义，A·B = |A||B|cos(α-β)。
因为|A|=|B|=1，所以A·B = cos(α-β)。
另一方面，根据向量的乘法展开式，A·B = (cosαi + sinαj) · (cosβi + sinβj) = cosαcosβ +sinαsinβ，所以cos(α-β) = cosαcosβ - sinαsinβ。
2. 正弦的和差公式：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ和差公式的证明与余弦的和差公式类似，利用向量的内积和乘法展开进行推导。
初中数学 如何证明三角恒等式
初中数学如何证明三角恒等式证明三角恒等式的方法有很多种，下面将介绍一些常见的证明方法来证明三角恒等式。
1. 代数证明法代数证明法是通过将三角函数转化为代数表达式，并通过代数运算和等式变换来证明恒等式的等价性。
例如，我们可以利用基本恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1，以及三角函数的和差公式来证明其他复杂的三角恒等式。
2. 几何证明法几何证明法通过利用几何图形和几何性质来证明三角恒等式。
例如，我们可以利用三角形的角和关系、相似三角形、平行线等几何性质来推导三角恒等式。
3. 三角恒等式的变形证明法三角恒等式的变形证明法是通过将恒等式的两侧进行等式变形，使其变为等价的形式来证明。
例如，我们可以将三角函数的和差公式进行变形，然后结合其他恒等式来推导所要证明的恒等式。
4. 数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，适用于证明一系列命题。
对于一些具有递推性质的三角恒等式，可以使用数学归纳法进行证明。
首先验证基本情况，然后假设对于某个n成立，再利用这个假设推导出n+1成立，从而得到结论。
5. 三角函数的图像证明法三角函数的图像证明法是通过观察和分析三角函数的图像来推导三角恒等式。
通过观察函数的周期性、奇偶性、对称性等特点，可以得到一些三角恒等式的证明。
需要注意的是，证明三角恒等式时需要严格的逻辑推理和等式变换的合法性。
在证明过程中，可以根据需要使用已知的恒等式、性质和公式。
同时，也可以根据具体的题目要求和证明难度选择合适的证明方法。
总结：证明三角恒等式的方法有多种，包括代数证明法、几何证明法、变形证明法、数学归纳法和三角函数的图像证明法等。
选择合适的证明方法，严格的逻辑推理和等式变换是证明过程中需要注意的要点。
熟练掌握这些证明方法可以帮助我们更好地理解三角恒等式的性质和应用。
初中数学知识归纳三角恒等式的推导与证明
初中数学知识归纳三角恒等式的推导与证明三角函数与三角恒等式是初中数学中的重要内容。
在本文中，我们将对一些常见的三角恒等式进行推导与证明。
一、基本的三角恒等式1. 正弦函数与余弦函数的平方和恒等式我们首先来证明一条基本的三角恒等式，即：sin^2θ + cos^2θ = 1证明：根据三角函数的定义，我们知道：sin^2θ = (opp/ hyp)^2 = opp^2 / hyp^2cos^2θ = (adj/ hyp)^2 = adj^2 / hyp^2其中，opp为对边，adj为邻边，hyp为斜边。
将上述两式相加可得：sin^2θ + cos^2θ = opp^2 / hyp^2 + adj^2 / hyp^2= (opp^2 + adj^2) / hyp^2由勾股定理可知，opp^2 + adj^2 = hyp^2因此，上式化简为：sin^2θ + cos^2θ = hyp^2 / hyp^2= 1证毕。
2. 三角函数的倒数关系接下来，我们推导三角函数之间的倒数关系。
即：tanθ = sinθ / cosθcotθ = cosθ/ sinθsecθ = 1 / cosθcscθ = 1 / sinθ证明：考虑一个直角三角形，其中θ是一个锐角。
tanθ = opp / adjsinθ = opp / hypcosθ = adj / hyp将sinθ除以cosθ可得：tanθ = sinθ / cosθ同理，可以证明cotθ、secθ和cscθ的倒数关系。
二、三角恒等式的推导1. 余弦函数与正弦函数的差积恒等式利用三角函数的定义和基本恒等式，我们可以推导出一条常见的三角恒等式：cos(α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ证明：考虑两个角α和β，构造两个直角三角形。
首先，我们假设α和β都是锐角。
令A为角α的终边与x轴的交点，B为角β的终边与x轴的交点。
初中数学 如何证明三角恒等式
初中数学如何证明三角恒等式证明三角恒等式是初中数学中的一个重要内容，它可以帮助我们更深入地理解三角函数的性质和关系。
在本文中，我们将介绍几种常见的证明三角恒等式的方法，并以具体的例子加以说明。
方法1：代数证明法代数证明法是证明三角恒等式的一种常见方法。
这种方法通常涉及将三角函数用代数式表示，然后进行变换和简化，以达到等式两边相等的目的。
下面以证明正弦函数的一个三角恒等式为例，即sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)。
证明：首先，将左边的正弦函数展开，得到sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)。
然后，根据正弦函数和余弦函数的定义，展开右边的式子，得到sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)。
接下来，将右边的式子进行变换，得到sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)。
最后，由于等式两边的表达式完全相同，所以这个三角恒等式成立。
方法2：几何证明法几何证明法是通过几何图形的性质和关系，来证明三角恒等式的一种方法。
这种方法通常涉及构造和利用几何图形，以展示等式两边的几何关系。
下面以证明余弦函数的一个三角恒等式为例，即cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)。
证明：首先，构造一个单位圆。
设点A为圆上的一点，角AOB为x，角BOC为y，角AOC为x+y。
然后，根据单位圆上的性质，可以得到线段OA的长度为cos(x)，线段OB的长度为sin(x)，线段OC的长度为cos(y)，线段AC的长度为cos(x+y)。
接下来，根据三角形的余弦定理，可以得到线段AC的长度为cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)。
最后，由于线段AC的长度与cos(x+y)的长度相等，所以这个三角恒等式成立。
方法3：变量替换法变量替换法是通过将三角函数中的变量进行替换，来证明三角恒等式的一种方法。
数学三角恒等式证明
数学三角恒等式证明数学中的三角恒等式是一种非常重要的数学工具，它们在解决三角函数相关问题时起着至关重要的作用。
本文将探讨一些常见的三角恒等式，并给出它们的证明过程。
一、基本恒等式1. 正弦函数的平方加余弦函数的平方等于1对于任意角度θ，有sin^2θ + cos^2θ = 1。
这个恒等式也被称为三角恒等式的基本恒等式之一。
要证明这个恒等式，可以利用三角函数的定义和勾股定理。
根据正弦函数和余弦函数的定义，sinθ = opposite/hypotenuse，cosθ = adjacent/hypotenuse。
假设一个直角三角形，其中一条边的长度为1，那么根据勾股定理，另外两条边的长度分别为sinθ和cosθ。
根据三角形的定义，sin^2θ + cos^2θ = (sinθ)^2 + (cosθ)^2 = (opposite)^2 + (adjacent)^2 = (opposite)^2 + (opposite)^2 = 1^2 + 1^2 = 1。
2. 正切函数等于正弦函数除以余弦函数对于任意角度θ，有tanθ = sinθ/cosθ。
要证明这个恒等式，可以利用正弦函数和余弦函数的定义。
根据定义，sinθ = opposite/hypotenuse，cosθ =adjacent/hypotenuse。
所以，sinθ/cosθ = (opposite/hypotenuse)/(adjacent/hypotenuse) = opposite/adjacent = tanθ。
二、和差恒等式1. 正弦函数的和差恒等式对于任意角度θ和φ，有sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ。
要证明这个恒等式，可以利用三角函数的定义和向量的性质。
根据定义，s inθ = opposite/hypotenuse，cosθ = adjacent/hypotenuse。
假设一个长度为r的向量，与x轴正方向的夹角为θ，那么该向量的坐标为(rcosθ, rsinθ)。
逻辑代数常用恒等式证明
逻辑代数常用恒等式证明一、逻辑代数常用恒等式证明在逻辑学中，恒等式是一种非常重要的概念。
它是指在一个特定的数学结构中，两个或多个元素之间的关系是恒定不变的。
在逻辑代数中，恒等式是指一个等式的两边都是相同的逻辑表达式。
本文将详细介绍逻辑代数中的一些常用恒等式及其证明方法。
二、1.1 合取范式的恒等式合取范式(Conjunctive Normal Form,CNF)是一种特殊的布尔表达式形式，它的特点是每个子句都只包含与或运算。
在合取范式中，我们可以证明以下恒等式：(a∧b)∨(¬a∧¬b)=a∨b证明过程如下：我们可以将原等式左边的括号去掉，得到：a∧b 或¬a∧¬b。
然后，我们可以将右边的括号去掉，得到：a 或 b。
接下来，我们可以将左边的“或”替换为“且”，得到：a且b 或(¬a且¬b)。
我们可以将右边的“或”替换为“且”，得到：(a且b)且(¬a且¬b)。
由于(a且b)和(¬a且¬b)都是真的当且仅当a和b都是真的或者都是假的，所以它们之间没有真假关系。
因此，(a且b)且(¬a且¬b)就是真当且仅当a或b是真的。
这就是所证的恒等式。
三、2.1 析取范式的恒等式析取范式(Disjunctive Normal Form,DNF)也是一种特殊的布尔表达式形式，它的特点是每个子句都只包含与或运算。
在析取范式中，我们可以证明以下恒等式：(a∧b)∧(¬a∧¬b)=¬((¬a)∨(¬b))证明过程如下：我们可以将原等式左边的括号去掉，得到：a∧b 和¬a∧¬b。
然后，我们可以将右边的括号去掉，得到：(¬a) 或(¬b)。
注意，这里我们需要使用反向否定符号“非”来表示否定。
接下来，我们可以将左边的“且”替换为“或”，得到：(a或b)或(非a或非b)。
(初二4)代数恒等式的证明
初中数学竞赛辅导资料（初二4）代数恒等式的证明甲内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。
变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。
即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。
还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，乙例题例1求证：3 n+2－2n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2－2 n）＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n∴左边＝右边例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1) ∵:a+b+c=0∴a3+b3+c3－3abc＝0即a3+b3+c3=3abc又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c）两边立方a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）移项a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc再证：由己知a=－b－c 代入左边,得（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc例3 己知a+ac c b b 111+=+=,a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1 证明：由己知a-b=bcc b b c -=-11 ∴bc=b a c b -- b-c=caa c c a -=-11 ∴ca=cb ac -- 同理ab=a c b a -- ∴ab bc ca ＝a c b a --b a c b --c b a c --＝1 即a 2b 2c 2=1 例4 己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a,b,c 是常数）求证：b 2－4ac=0 证明：设:ax 2+bx+c ＝（mx+n ）2 ， m,n 是常数那么:ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2根据恒等式的性质 得⎪⎩⎪⎨⎧===222n c m n b m a ∴: b 2－4ac ＝（2mn ）2－4m 2n 2=0丙练习201． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab②（x+y ）4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3－(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n －a 2 n +1)(a 2 n +a n +1)2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 24.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+35.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：（a+b+c ）2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c)8.己知：abc ≠0，ab+bc=2ac 求证：c b b a 1111-=- 9．己知：ac z c b y b a x -=-=- 求证：x+y+z=0 10.求证：（2x －3）（2x+1）(x 2－1)＋1是一个完全平方式11己知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc答案：1.④左边＝5 n(5 2-1)+3 n－1(33-3)= 24(5 n+3 n-1)注意右边有3n-12.左边－右边＝（a-b）23.②左边－右边＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=……4.∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入5.用z=x+2y代入右边6.用已知的（左－右）×27.用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式8.在已知的等式两边都除以abc9.设三个比的比值为k,10.(2x2-x-2)2 11. 用待定系数法。
三角恒等式的推导与证明
三角恒等式的推导与证明三角恒等式是数学中的重要概念，它们在解题过程中起到了至关重要的作用。
本文将从基本的三角函数关系出发，逐步推导和证明一些常见的三角恒等式，帮助中学生和他们的父母更好地理解和运用这些恒等式。
一、正弦函数和余弦函数的关系我们首先来推导正弦函数和余弦函数之间的关系。
根据单位圆的定义，我们知道在单位圆上，任意一点的横坐标和纵坐标分别等于该点对应的角的余弦值和正弦值。
设角θ的对应点为P(x,y)，则有：x = cosθy = sinθ由勾股定理可得：x² + y² = 1将上述两个式子代入，得到：cos²θ + sin²θ = 1这就是我们所熟知的三角恒等式之一，称为“余弦平方加正弦平方等于1”。
二、正切函数与正弦函数、余弦函数的关系接下来，我们来推导正切函数与正弦函数、余弦函数之间的关系。
根据定义，正切函数的值等于正弦函数的值除以余弦函数的值。
设角θ的对应点为P(x,y)，则有：tanθ = sinθ / cosθ将正弦函数和余弦函数的定义代入，得到：tanθ = y / x由于x² + y² = 1，我们可以将其改写为：y = √(1 - x²)将y代入tanθ = y / x中，得到：tanθ = √(1 - x²) / x进一步化简，得到：tan²θ = (1 - x²) / x²由于cos²θ = x²，我们可以将其代入，得到：tan²θ = (1 - cos²θ) / cos²θ进一步化简，得到：tan²θ + 1 = sec²θ这就是我们所熟知的三角恒等式之二，称为“正切平方加1等于正割平方”。
三、正弦函数和余弦函数的平方和与差的关系接下来，我们来推导正弦函数和余弦函数的平方和与差的关系。
设角A和角B 的对应点分别为P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)，则有：sin(A + B) = y₁y₂ + x₁x₂cos(A + B) = x₁x₂ - y₁y₂将正弦函数和余弦函数的定义代入，得到：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB将上述两个式子平方相加，得到：sin²(A + B) + cos²(A + B) = (sinAcosB + cosAsinB)² + (cosAcosB - sinAsinB)²化简后得到：sin²(A + B) + cos²(A + B) = sin²Acos²B + cos²Asin²B + 2sinAcosBcosAsinB +2cosAcosBsinAsinB根据三角恒等式cos²θ + sin²θ = 1，我们可以将其代入：sin²(A + B) + cos²(A + B) = sin²Acos²B + cos²Asin²B + 2sinAcosBcosAsinB +2cosAcosBsinAsinB= sin²A(1 - sin²B) + cos²A(1 - cos²B) + 2sinAcosBcosA(1 - cos²B) + 2cosAcosBsinA(1 - sin²B)= sin²A - sin²Asin²B + cos²A - cos²Acos²B + 2sinAcosBcosA -2sinAcosBcos²B + 2cosAcosBsinA - 2cosAcosBsin²B= sin²A + cos²A + 2sinAcosBcosA - 2sinAcosBcos²B +2cosAcosBsinA - 2cosAcosBsin²B= 1 + 2sinAcosB - 2sinAcosBcos²B + 2cosAcosBsinA -2cosAcosBsin²B进一步化简，得到：sin²(A + B) + cos²(A + B) = 1 + 2sinAcosB - 2sinAcosB(cos²B - sin²B)= 1 + 2sinAcosB - 2sinAcosBcos2B这就是我们所熟知的三角恒等式之三，称为“正弦平方加余弦平方等于1”。
初二奥数精讲——第11讲恒等式的证明（二）
初二奥数精讲——第11讲恒等式的证明（二）一、知识点解析1. 基本知识如果一个等式，对其中所含有的字母取使所有代数式有意义的任何值都成立，则此等式称为恒等式。
如果一个等式，对其中所含有的字母取符合限定条件且使所有代数式有意义的任何值都成立，则此等式称为条件恒等式。
2. 基本方法2. 基本问题与方法证明恒等式，常可“从左边证到右边，也可从右边证到左边，还可证明两边与同一个式子相等”，其选择上述方法的原则是“从繁的一边证到简单的一边”。
如果等式两边都较繁，则证明两边与同一个式子相等。
特别地，证明两个多项式恒等，还可以从“次数”上考虑。
如果多项是k次的，则只要证明这两个多项式在k+1处的值相等，则这两个多项式恒等。
证明条件恒等式，常可从条件入手，逐步推出结论；也可从目标入手，在目标中构造条件式中的结构，进而利用条件证明结论；还可将条件和结论同时改变，以创造运用条件的机会。
选择上述方法的原则是“从容易构造出其他式子相同的结构的式子入手”。
如果任何一个式子都不容易构造另一个式子，则应将两个式子同时改变。
这部分主要考察学生的对恒等式的证明的了解及掌握。
是代数式部分的综合应用，这部分题型种类繁多，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，让我们在例题和解答中一起学习吧。
二、例题例1分析：题设的条件难于直接利用，应先将它们化简。
可将mn+nq=0化为比值，但要注意分母不为0，从而要分类讨论。
解答：例2分析：连等式，比例值等式参数求解。
解答：例3例4例5设a、b是互异的自然数，且a，b中至少有一个是偶数。
求证：一定可以表示成4个自然数的平方和。
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三角恒等式的证明
三角恒等式的证明三角恒等式是关于三角函数的等式，是数学中的基本知识之一。
本文将介绍三个常见的三角恒等式，并给出证明。
一、正弦定理正弦定理是三角恒等式中最基本的一条，它表达了一个三角形的三条边与角之间的关系。
假设三角形的三条边的长度分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，则正弦定理可以表示为：sinA/a = sinB/b = sinC/c证明：考虑任意一个三角形ABC。
我们可以根据正弦定理得到以下等式：sinA/a = sinB/b （1）sinB/b = sinC/c （2）我们需要证明的是sinA/a = sinC/c。
为了证明这一点，我们可以将（1）和（2）相乘，得到：sinA/a × sinB/b = sinB/b × sinC/csinA/a × sinB/b = sinC/c由于等式左右两边都相等，我们可以得出：sinA/a = sinC/c这就证明了正弦定理。
二、余弦定理余弦定理是另一条常见的三角恒等式，它表达了三角形的三条边与角之间的关系。
假设三角形的三条边的长度分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC证明：考虑任意一个三角形ABC。
我们可以根据余弦定理得到以下等式：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC （3）我们需要证明的是c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC。
为了证明这一点，我们可以将（3）两边同时乘以2，得到：2c^2 = 2a^2 + 2b^2 - 4ab*cosC2c^2 = a^2 + b^2 + 2ab - 2ab*cosC由于2ab可以与2ab*cosC合并，我们可以得到：2c^2 = a^2 + b^2 + 2ab(1 - cosC)由于1 - cosC = sin^2C，我们可以得到：2c^2 = a^2 + b^2 + 2ab*sin^2C由于sin^2C = 1 - cos^2C，我们可以得到：2c^2 = a^2 + b^2 + 2ab(1 - cos^2C)2c^2 = a^2 + b^2 + 2ab - 2ab*cos^2C2c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos^2C + 2ab2c^2 = a^2 + b^2 - 2ab(1 - sin^2C) + 2ab2c^2 = a^2 + b^2 - 2ab + 2ab*sin^2C2c^2 = a^2 + b^2 - 2ab + 2ab*sinC*sinC2c^2 = a^2 + b^2 - 2ab(1 - sinC*sinC)2c^2 = a^2 + b^2 - 2ab + 2ab - 2ab*sinC*sinC由于2ab可以与2ab合并，我们可以得到：2c^2 = a^2 + b^2 - 2ab + 2ab*sinC*sinC2c^2 = a^2 + b^2 - 2ab + 2ab*sinC*sinC2c^2 = a^2 + b^2 - 2ab + 2ab*sinC*sinC由于左右两边相等，我们可以得到：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC这就证明了余弦定理。
初中数学复习三角恒等式的证明与应用
初中数学复习三角恒等式的证明与应用三角恒等式是初中数学中的重要内容之一，它们在解决三角函数问题时起着至关重要的作用。
本文将从证明和应用两个方面介绍初中数学中常见的三角恒等式，并通过具体的例子来帮助读者更好地理解和掌握这些恒等式。
一、三角恒等式的证明1. 三角函数基本关系：首先我们回顾一下三角函数的基本关系。
对于任意角θ，我们定义正弦函数sinθ、余弦函数cosθ和正切函数tanθ。
这些函数之间有着一些基本的关系，如sinθ=opp/hyp、cosθ=adj/hyp、tanθ=opp/adj，其中opp代表对边，adj代表邻边，hyp代表斜边。
2. 三角函数的平方和差公式：三角函数的平方和差公式是三角恒等式的基础。
根据平方和差公式，我们可以得到sin^2θ + cos^2θ = 1，以及tan^2θ + 1 = sec^2θ 和1 + cot^2θ = csc^2θ。
这些公式是三角恒等式的关键部分，也是后面的证明和应用的基础。
3. 三角函数的辅助角公式：三角函数的辅助角公式也是证明恒等式的常用工具。
辅助角公式包括：sin(θ±α)、cos(θ±α)、tan(θ±α)的表达式。
通过利用这些公式，我们可以将原始的角度转换为更简单的形式，从而更容易进行证明。
4. 示例证明：以下是对几个常见三角恒等式的证明示例。
（1）双替换公式：tan(α-β) = (tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)。
证明：设A=tan(α-β)，B=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)，则有A-B=0。
通过辅助角公式将A和B进行展开，然后化简得到A-B=0，证明完成。
（2）倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos^2α-sin^2α。
证明：以sin2α=2sinαcosα为例。
将等式左边展开得到2sinαcosα，右边将sin^2α-cos^2α展开得到2sinαcosα，两边相等，证明完成。
初中数学竞赛——恒等式的证明
初中数学竞赛——恒等式的证明恒等式的证明是初中数学竞赛中常见的题型，也是考察学生逻辑思维能力和数学推理能力的重要手段。
本文将从基本概念、常见方法和示例三个方面进行阐述，帮助读者更好地理解和掌握恒等式的证明方法。
一、基本概念1.恒等式在初中数学中，我们通常所说的恒等式指的是在等式两边都有定义的条件下，等号两边的值总是相等的数学表达式。
例如：2x+5=3x-1这是一个恒等式，因为当x取任意实数时，等号两边的值总是相等的。
2.证明证明恒等式的过程，是通过逻辑推理和数学推导来证实等号两边的表达式总是相等的过程。
证明的目的是要通过逻辑推理，严密地推导出等号两边的式子是等价的。
常用的证明方法包括等价变形法、代入法、归纳法等。
二、常见方法1.等价变形法等价变形法是最常见且使用较多的证明方法，其基本思想是通过等价变形将原始的等式转化为一个易证的等式。
例如：证明：1+2+3+...+n=(n*(n+1))/2（其中n为正整数）等式左边是一个等差数列求和，可以利用求和公式将其转化为右边的表达式。
我们需要做的是将等式转化为一个易证的等式。
2.代入法代入法是通过代入数值来验证恒等式的正确性。
通常，我们可以选择一组特定的数值进行验证，如果在这组数值下恒等式成立，那么我们可以认为恒等式是正确的。
例如：证明：1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n*(n+1)*(2n+1))/6我们可以代入一组具体的数值，如n=1，n=2等，通过计算验证等式的正确性。
3.归纳法归纳法是一种常用于证明数学命题的方法，它主要包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤是验证命题在一些特定的情况下是否成立，归纳步骤是假设命题在一些情况下成立，并推出下一个情况下命题也成立。
例如：证明：1+2+3+...+n=n*(n+1)/2基础步骤：当n=1时，等式左边为1，右边为1，两边相等。
归纳步骤：假设当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k*(k+1)/2、我们要证明当n=k+1时等式也成立。
三角恒等式的证明总结
三角恒等式的证明总结三角恒等式在初等数学中占据着重要的地位，它们是解决三角函数关系与性质的基础。
在这篇文章中，我将总结几个常见的三角恒等式的证明方法，并探讨它们的应用。
一、正弦和余弦的恒等式1. 余弦的平方等于1减去正弦的平方：证明：根据单位圆上的定义，对于任意角θ，有x = cosθ和y = sinθ。
根据勾股定理可知，x² + y² = 1，即cos²θ + sin²θ = 1。
2. 余弦的余角等于正弦：证明：对于任意角θ，有cos(π/2 - θ) = sinθ。
通过单位圆上的定义，可以得出结论。
3. 正弦的余角等于余弦：证明：对于任意角θ，有sin(π/2 - θ) = cosθ。
通过单位圆上的定义，可以得出结论。
二、正切和余切的恒等式1. 正切的平方等于1减去余切的平方：证明：根据定义，tanθ = sinθ / cosθ，cotθ = cosθ / sinθ。
将两个式子相加，得到tan²θ + 1 = cot²θ。
2. 正切的余角等于余切：证明：对于任意角θ，有tan(π/2 - θ) = cotθ。
通过正切和余切的定义，可以得出结论。
3. 余切的余角等于正切：证明：对于任意角θ，有cot(π/2 - θ) = tanθ。
通过正切和余切的定义，可以得出结论。
三、和角公式1. 正弦和：证明：对于任意角θ₁和θ₂，有sin(θ₁ + θ₂) = sinθ₁cosθ₂ + cosθ₁sinθ₂。
利用正弦函数的周期性和正弦的加法公式，可以得出结论。
2. 余弦和：证明：对于任意角θ₁和θ₂，有cos(θ₁ + θ₂) = cosθ₁cosθ₂ - sinθ₁sinθ₂。
利用余弦函数的周期性和余弦的加法公式，可以得出结论。
四、差角公式1. 正弦差：证明：对于任意角θ₁和θ₂，有sin(θ₁ - θ₂) = sinθ₁cosθ₂ - cosθ₁sinθ₂。
三角恒等式的推导与证明
三角恒等式的推导与证明三角恒等式是数学中常见且重要的概念之一。
它们为三角函数之间的关系提供了重要的工具，有助于简化和解决各种三角函数相关的问题。
本文将介绍一些常见的三角恒等式，并对其推导和证明进行详细讨论。
一、基本三角恒等式基本三角恒等式是数学中最常见的三角恒等式，它们是由三角函数的定义直接得出的。
下面是一些常见的基本三角恒等式：1. 正弦函数恒等式：sin^2θ + cos^2θ = 12. 余弦函数恒等式：1 + tan^2θ = sec^2θ3. 正割函数恒等式：1 + cot^2θ = csc^2θ这些基本恒等式在解决各种三角函数计算问题时经常被使用。
它们的推导和证明如下所示。
二、推导和证明1. 正弦函数恒等式推导与证明：首先，我们将正弦函数定义为直角三角形中直角边对斜边的比值。
假设正弦函数的值为a，则有：sinθ = a根据直角三角形的定义，我们可以得到以下关系：a = opp/hyp其中，opp代表直角三角形中的对边长度，hyp代表斜边长度。
将opp替换为a，hyp替换为1，得到以下等式：a = a/1进一步整理可得：a^2 = a^2/1^2化简即可得到正弦函数恒等式：sin^2θ + cos^2θ = 12. 余弦函数恒等式推导与证明：余弦函数可以定义为直角三角形中邻边对斜边的比值。
假设余弦函数的值为b，则有：cosθ = b根据直角三角形的定义，我们可以得到以下关系：b = adj/hyp其中，adj代表直角三角形中的邻边长度，hyp代表斜边长度。
将adj替换为1，hyp替换为b，得到以下等式：1 = 1/b进一步整理可得：1^2 = 1/b^2化简即可得到余弦函数恒等式：1 + tan^2θ = sec^2θ3. 正割函数恒等式推导与证明：正割函数可以定义为斜边对邻边的比值的倒数。
假设正割函数的值为c，则有：secθ = c根据正割函数的定义，我们可以得到以下关系：c = hyp/adj其中，hyp代表直角三角形中的斜边长度，adj代表邻边长度。
恒等式的证明
恒等式的证明恒等式是一个在数学中经常出现的概念，其定义是一个等式，在给定的条件下恒定成立，也称为恒等式。
恒等式可以表现为一些数学函数和变量之间关系的等式，它在求解数学问题中起着重要的作用。
恒等式的证明是数学中非常基础的技能，也是进一步深入数学领域的必备技巧。
本文将详细介绍恒等式的证明方法，通过实例来帮助您更加深入的理解。
一、恒等式的定义sin²x + cos²x = 1在数学问题中，证明恒等式是解决问题的重要步骤之一。
下面将介绍一些常见的证明方法：1. 直接证明法这是最简单的证明方法，只需要对等式的左右两边分别化简，然后证明两边相等即可。
例如，证明以下恒等式：cosx / sinx + sinx / cosx = tanx + cotx证明步骤如下：左边的式子可以化简为：tanx + cotx因此，左右两边值相等，等式成立。
2. 反证法反证法是一种证明方法，它通过反设等式不成立，导出矛盾结果来证明等式成立。
假设 sinx - 1 / sinx = 0，则有sin²x = 1，即sinx = ±1。
由于 sinx 的取值范围为 [-1, 1]，因此两个解都可以被接受。
但是，当 sinx = 1 时，sinx - 1 / sinx = 0 - 1 / 1 = -1，与假设不符；当 sinx = -1 时，sinx - 1 / sinx = -1 - 1 / -1 = 0，与假设也不符。
综上，假设不成立，即 sinx - 1 / sinx ≠ 0，原命题成立。
3. 数学归纳法数学归纳法是一种数学证明方法，它将证明分成两部分：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤是证明等式对于第一个自然数成立，而归纳步骤是证明等式对于每一个自然数成立。
1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6基础步骤：证明当 n = 1 时等式成立。
恒等式及证明
恒等式是数学中的一个重要概念，它表示两个或多个数学表达式在某种条件下总是相等的。
为了证明一个恒等式，我们需要展示这两个表达式在所有的可能值下都是相等的。
以下是一个恒等式的例子及其证明：恒等式：对于任何实数x和y，都有(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2。
证明：展开左侧：(x + y)^2 = (x + y) × (x + y)= x × x + x × y + y × x + y × y= x^2 + xy + xy + y^2= x^2 + 2xy + y^2。
比较左右两侧，我们可以看到它们完全相同，因此恒等式(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 成立。
另一个例子是三角函数的恒等式：恒等式：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1。
证明：考虑一个直角三角形，其中一个角为θ。
设对边为a，邻边为b，斜边为c。
根据勾股定理，我们有a^2 + b^2 = c^2。
在这个三角形中，sin(θ) = a/c 和cos(θ) = b/c。
因此，sin^2(θ) = (a/c)^2 = a^2/c^2 和cos^2(θ) = (b/c)^2 = b^2/c^2。
将sin^2(θ)和cos^2(θ)相加，我们得到：sin^2(θ) + cos^2(θ) = a^2/c^2 + b^2/c^2= (a^2 + b^2)/c^2= c^2/c^2= 1。
所以，恒等式sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 成立。
证明恒等式通常需要利用已知的数学定理、公式或定义，并通过代数运算来展示两个表达式是等价的。
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恒等式证明 知识定位代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．知识梳理知识梳理1：由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．知识梳理2：比较法比较法利用的是：若0，则（作差法）；或若1，则（作商法）。
a a b a ba b b-==== 这也是证明恒等式的重要思路之一。
知识梳理3：分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．知识梳理4：其他解题方法及技巧除了上述方法，设k 、换元等方法也可以在恒等式证明中发挥效力．例题精讲【试题来源】【题目】已知x+y+z=xyz ，证明：x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz ．【答案】因为x+y+z=xyz ，所以左边=x(1-z 2-y 2-y 2z 2)+y(1-z 2-x 2+x 2z 2)+(1-y 2-x 2+x 2y 2)=(x+y+z)-xz 2-xy 2+xy 2z 2-yz 2+yx 2+yx 2z 2-zy 2-zx 2+zx 2y 2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．【解析】将左边展开，利用条件x+y+z=xyz ，将等式左边化简成右边．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知1989x 2=1991y 2=1993z 2，x ＞0，y ＞0，z ＞0，且1111x y z++=198919911993198919911993x y z ++=++ 【答案】令1989x 2=1991y 2=1993z 2=k(k ＞0)，则又因为所以所以【解析】令1989x 2=1991y 2=1993z 2=k(k ＞0)，则本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k ，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】 【题目】求证：()()()()()()222a bcb ca abc a b a c b c b a c a c b ---+=++++++ 【答案】因为所以所以【解析】用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b 代a ，c 代b ，a 代c ，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知0a b c ++= ，求证()()24442222a b ca b c ++=++ 。
【答案】左-右=2(a 4+b 4+c 4)-(a 2+b 2+c 2)2=a 4+b 4+c 4-2a 2b 2-2b 2c 2-2c 2a 2=(a 2-b 2-c 2)2-4b 2c 2=(a 2-b 2-c 2+2bc)(a 2-b 2-c 2-2bc)=[a 2-(b-c)2][a 2-(b+c)2]=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立．【解析】用比差法，注意利用a+b+c=0的条件，证明过程中主要是进行因式分解。
【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】 【题目】设其中，，a b b c c a p ,q ,r ,a b b c c a a b b c c a ---===++++++全不为零．证明： (1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．【答案】同理所以所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．【解析】本例采用的是比商法【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知()2222111求证：,a b c a b c a b c+=++=+- 【答案】要证 a 2+b 2+c 2=(a+b-c)2，只要证a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 2+2ab-2ac-2bc ，只要证 ab=ac+bc ，只要证 c(a+b)=ab ，显然成立。
【解析】利用分析法，执果索因，从结论逆推证明，条件根结论能够很好对接，问题很容易得到解决。
【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．【答案】由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以a＝b，c=d．所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以a＝c．故a=b＝c=d成立．【解析】通过分组分解，构造完全平方解决问题【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知22a ay a,z a,x y=-=-求证：2ax az=-【答案】由已知【解析】本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．【答案】令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc．联想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以将①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以a3+b3+c3-3abc=0，所以(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．【解析】此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x2y2z2=1．【答案】由已知有①×②×③得x2y2z2=1．【解析】本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．【答案】【解析】【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】证明：(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)．【答案】【解析】本题需先根据三数完全平方公式进行展开各式,然后消去同类项,再进行移项,最后证出等于零即可求出结果【知识点】恒等式证明【适用场合】课后一个月练习【难度系数】4【试题来源】【题目】已知111111a,b,cb c d===---，求证：a d=.【答案】【解析】【知识点】恒等式证明【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】证明：()()()()()()22a bx a bx a x a x b a b x a b a x b +=+-------。
【答案】【解析】从等式的左边出发,先通分,然后将分子乘开后从新合并,继而拆项后组合即可得出右边的等式的形式.【知识点】恒等式证明【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：x=y=z或x+y+z=0．【答案】【解析】【知识点】恒等式证明【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)．【答案】【解析】【知识点】恒等式证明【适用场合】阶段测验【难度系数】4。