高考数学立体几何大题30题

立体几何大题

1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，CD 是斜边上的高沿CD 把△ABC 折成直二面角．

（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A ，B 的位置，使二面角A －CD －B 是直二面角？证明你的结论．

（2）试在平面ABC 上确定一个P ，使DP 与平面ABC 内任意一条直线都垂直，证明你的结论．

（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值． 解：（1）用直尺度量折后的AB 长，若AB ＝4cm ，则二面角A －CD －B 为直二面角．

∵ △ABC 是等腰直角三角形，

(),cm 22DB AD ==∴

又∵ AD ⊥DC ，BD ⊥DC ．

∴ ∠ADC 是二面角A －CD －B 的平面角．

有时当,cm 4AB ,22DB AD ===

.90ADB .AB DB AD 222︒=∠∴=+

（2）取△ABC 的中心P ，连DP ，则DP 满足条件 ∵ △ABC 为正三角形，且 AD ＝BD ＝CD ．

∴ 三棱锥D －ABC 是正三棱锥，由P 为△ABC 的中心，知DP ⊥平面ABC ， ∴ DP 与平面内任意一条直线都垂直．

（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r ，故有ABC O ABD O ADC O BCD O BCD A V V V V V -----+++=代入得3

6

23r -=，即半径最大的小球半径为3

6

23-．

A B C 第1题图 A

B C

D 第1题图

2．如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A 1B ，过A 作AF ⊥A 1B 垂足为F ，且AF 的延长线交B 1B 于E 。

（Ⅰ）求证：D 1B ⊥平面AEC ； （Ⅱ）求三棱锥B —AEC 的体积； （Ⅲ）求二面角B —AE —C 的大小. 证（Ⅰ）∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，

∴D 1D ⊥ABCD .

连AC ，又底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，

由三垂线定理知 D 1B ⊥AC . 同理，D 1B ⊥AE ，AE ∩AC = A ， ∴D 1B ⊥平面AEC .

解（Ⅱ）V B －AEC = V E －ABC . ∵EB ⊥平面ABC ，

∴EB 的长为E 点到平面ABC 的距离. ∵Rt △ABE ~ Rt △A 1AB ，

∴EB =

.4

9

12=A A AB

∴V B －AEC = V E －ABC =31

S △ABC ·EB =31×21×3×3×49 =.827

（10分）

解（Ⅲ）连CF ，

∵CB ⊥平面A 1B 1BA ，又BF ⊥AE ，

由三垂线定理知，CF ⊥AE .

于是，∠BFC 为二面角B —AE —C 的平面角，

在Rt △ABE 中，BF =

59

=⋅AE BE BA ， 在Rt △CBF 中，tg ∠BFC =35

， ∴∠BFC = arctg 35

.

即二面角B —AE —C 的大小为arctg 35

.

A 1

B 1

C 1

3．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1，点

M 在BC 上，△AMC 1是以M 为直角顶点的等腰直角三角形. （I ）求证：点M 为BC 的中点； （Ⅱ）求点B 到平面AMC 1的距离； （Ⅲ）求二面角M —AC 1—B 的正切值. 答案：（I ）证明：∵△AMC 1是以点M 为直角 顶点的等腰直角三角形， ∴AM ⊥MC 1且AM=MC 1 ∵在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 有CC 1⊥底面ABC. ∴C 1M 在底面内的射影为CM ， 由三垂线逆定理，得AM ⊥CM. ∵底面ABC 是边长为1的正三角形， ∴点M 为BC 中点. （II ）解法（一）

过点B 作BH ⊥C 1M 交其延长线于H. 由（I ）知AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ， ∴AM ⊥平面C 1CBB 1.

∴AM ⊥BH. ∴BH ⊥平面AMC 1. ∴BH 为点B 到平面AMC 1的距离. ∵△BHM ∽△C 1CM. AM=C 1M=

,23 在Rt △CC 1M 中，可求出CC 1.2

2 .66

2

3

21

2211=⇒=⇒=∴

BH BH M C BM CC BH 解法（二）

设点B 到平面AMC 1的距离为h. 则11BMC A AMC B V V --=

由（I ）知 AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ， ∴AM ⊥平面C 1CBB 1 ∵AB=1，BM=

.2

2,23,2111===CC MC AM 可求出 AM S h S MB C AMC ⋅=⋅∆∆113

1

31 2

32221213123232131⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯h

6

6=

h （III ）过点B 作BI ⊥AC 1于I ，连结HI.

∵BH ⊥平面C 1AM ，HI 为BI 在平面C 1AM 内的射影. ∴HI ⊥AC 1，∠BIH 为二面角M —AC 1—B 的平面角. 在Rt △BHM 中，

,2

1,66==

BM BH ∵△AMC 1为等腰直角三角形，∠AC 1M=45°.

∴△C 1IH 也是等腰直角三角形. 由C 1M=

.332,63,23122==-=H C BH BM HM 有 ∴.3

6=

HI .2

1

==

∠∴HI BH BIH tg 4．如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F 是CD 的中点．

（Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积；

（Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值． 证：（Ⅰ）取CE 中点M ，连结FM ，BM ，则有

AB DE FM //2

1

//．

∴四边形AFMB 是平行四边形． ∴AF//BM ，

∵⊂BM 平面BCE ， ⊄AF 平面BCE ， ∴AF//平面BCE ．

（Ⅱ）由于DE ⊥平面ACD ， 则DE ⊥AF ．

又△ACD 是等边三角形，则AF ⊥CD ．而CD ∩DE=D ，因此AF ⊥平面CDE ．

又BM//AF ，则BM ⊥平面CDE ．

BM AB V V V CDE B ACD B ABCDE ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=+=--222

131243312322

33233=⋅⋅+=． （Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，则CG ⊥AD ．

由DE ⊥平面ACD ，⊂CG 平面ACD ，