高考数学立体几何大题30题
高中立体几何典型题及解析
高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题)51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。
求：AM 及CN 所成的角的余弦值；解析：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。
∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=21AM 且E 为MD 的中点。
设正四面体的棱长为1， 则NC=21·23= 43且ME=21MD=43 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2=163+41=167∴cos ∠CNE=3243432167)43()43(222222-=⋅⋅-+=⋅⋅-+NECN CE NE CN ,又∵∠CNE ∈(0, 2π)∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为32.注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。
2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。
最后作答时，这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 31==EC BE FD AF 。
求异面直线AB 及CD 所成的角。
解析：在BD 上取一点G ，使得31=GD BG ，连结EG 、FG在ΔBCD 中，GDBG EC BE =，故EG//CD ，并且41==BC BE CD EG ，所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且43==AD DF AB FG ， 故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠FGE=215327532222222-=⋅⋅-+=⋅⋅-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。
高三精选立体几何大题30题(含详细解答)
A BC第1题图ABCD第1题图立体几何大题1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD 把△ABC折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。
（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小的正弦值.3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M—AC1—B 的正切值. 4．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值．5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。
（I）求二面角B1—MN—B的正切值；（II）证明：PB⊥平面MNB1；（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离。
2022年山东新高考数学专项练习试题(含解析)——立体几何
一、单选题1.已知正方形的边长为1，P、Q分别为的中点，沿将三角形折起到的位置，则三棱锥体积的最大值（）A. B. C. D.2.已知是两条不同的直线，是两个不同平面，下列命题中错误的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则3.如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.4.如图，为水平放置的的直观图，其中，，则在原平面图形中有（）A. B. C. D.5.已知正三棱锥中，.底面边长为2，若该三棱锥的顶点都在同一个球的表面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.6.已知，，表示不同的直线，，表示不同的平面，则下列说法正确的是（）A. 若，，则B. 若，，，则C. 若，，，，则D. 若，，，，则7.在三棱锥中，．若该三棱锥的四个顶点都在球的表面上，则当三棱锥体积最大时，球的表面积为（）A. B. C. D.8.已知在四面体中，平面平面，△是边长为的等边三角形，，，则四面体的体积为（）A. B. C. D.9.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A. B. C. D.10.长方体中，和与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线和所成角的余弦值为（）A. B. C. D.11.设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m（）A. 若l，则B. 若，则l mC. 若l//，则//D. 若//，则l//m12.已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面13.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（）A. +1B. +3C. +1D. +314.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A. BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B. BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C. BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线15.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为（）A. B. 12π C. D.16..一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 3B. 4C. 2+4D. 3+417.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A. α内有无数条直线与β平行B. α内有两条相交直线与β平行C. α，β平行于同一条直线D. α，β垂直于同一平面18.某工作的三视图如图所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（）（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）A. B. C. D.19.设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为( )A. B. C. D.20.下列命题中错误的是（）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ21.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是( )(1) AC⊥BE.(2) 若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为.(3) 三棱锥A-B EF的体积为定值.(4) 在空间与DD1,AC,B1C1都相交的直线有无数条.(5) 过CC1的中点与直线AC1所成角为40并且与平面BEF所成角为50的直线有2条.A. 0B. 1C. 2D. 322.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. 60B. 30C. 20D. 1023.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A. 2+B.C.D. 1+24.已知两条互不重合的直线m，n，两个不同的平面α，β，下列命题中正确的是（）A. 若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βB. 若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥βC. 若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥βD. 若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β25.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A. πB.C.D.26.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A. A1E⊥DC1B. A1E⊥BDC. A1E⊥BC1D. A1E⊥AC27.已知为球O的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球O的表面积为（）A. B. C. D.28.如图，设矩形ABCD 所在的平面与梯形ACEF 所在平面交于AC ，若，则下面二面角的平面角大小为定值的是（）A. B. C. D.29.已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O 到平面ABC的距离为（）A. B. C. 1 D.30.半径为1的球面上的四点A，B，C，D是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（）A. B. C. D.二、解答题31.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.32.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．33.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1AC1C⊥平面ABC，∠ABC=90°.∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F 分别是AC，A1B1的中点（1）证明：EF⊥BC（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.34.如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面;（2）求与平面所成角的正弦值.35.如图，在三角锥中，, , 为的中点.（1）证明：平面;（2）若点在棱上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.36.如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，。
高一数学立体几何计算题(理科)含解析
理科立体几何计算题一．解答题（共30小题）1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．2．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．4．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．5．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．7．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．10．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA=1，AD=2．（1）求平面BPC的法向量；（2）求二面角B﹣PC﹣A的正切值．11．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=，AA1=2，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（1）证明：CD⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．12．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．13．如图，平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，∠ABC=60°，PA⊥AD，E，F分别为BC，PE的中点，AF⊥平面PED．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求直线BF与平面AFD所成角的正弦值．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．15．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2．（1）求证：AB⊥PC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．16．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PD=AD，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD．（1）求证AC⊥PB；（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值．18．如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面．（1）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．20．如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA ⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（1）求证：BD⊥平面ADE；（2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值．21．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=60°，BC=AF=2AD=4DE=4．（Ⅰ）请在图中作出平面α，使得DE⊂α，且BF∥α，并说明理由；（Ⅱ）求直线EF与平面BCE所成角的正弦值．22．如图，在四棱锥中S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=，SE⊥AD．（1）证明：平面SBE⊥平面SEC（2）若SE=1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．23．如图，在四棱锥A﹣BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．（1）若F是AD的中点，求证：EF∥平面ABC；（2）若AD=DE，求BE与平面ACE所成角的正弦值．24．在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．25．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，B1C ⊥AC1．（Ⅰ）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）若D是CC1中点，∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，求直线AC1与平面ABC所成角的余弦值．26．等腰三角形ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使P﹣AE﹣C为120°，设点P在面ABE上的射影为H．（1）证明：点H为EB的中点；（2））若，求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．27．圆O上两点C，D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若∠DOB的平分线交弧于点G，交弦BD于点E，F为线段BC的中点．（Ⅰ）证明：平面OGF∥平面CAD；（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值．28．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥平面ABP，AB=BC=CP=BP=2CD=2．（Ⅰ）证明：平面BAP⊥平面DAP；（Ⅱ）点M为线段AB（含端点）上一点，设直线MP与平面DCP所成角为α，求sinα的取值范围．29．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E 是PB中点，CD=PD=AD=AB．（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAB；（Ⅱ）若CE=，AB=4，求直线CE与平面PDC所成角的大小．30．如图，多面体ABCDE中，AB⊥面ACD，DE⊥面ACD；三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1（1）求直线AE和面CDE所成角的正切值；（2）求多面体ABCDE的体积；（3）判断直线CB和AE能否垂直，证明你的结论．理科立体几何计算题参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2017•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得，故．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．2．（2017•浙江）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，∵E为PD的中点，∴EF∥PA，在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点，∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP，∵EC⊂平面EFC，∴EC∥平面PAB．解：（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD，推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD，∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC，∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，设DC=CB=1，则AD=PC=2，∴PB=，BF=PF=1，∴MF=，又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，∵MF=，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，∴E到平面PBC的距离为，在，由余弦定理得CE=，设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ==．3．（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF AD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ==，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．4．（2017•江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．5．（2017•新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO=AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则=．∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，∴===1．∴点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E．=（﹣1，0，1），=，=（﹣2，0，0）．设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=．同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．∴cos===﹣．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．6．（2017•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；（2）解：取AD中点G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，），，．设平面PBD的一个法向量为，则由，得，取z=，得．取平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；（3）解：，平面PAD的一个法向量为．∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=| |=．7．（2017•山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z 2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．8．（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．9．（2017•天津）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E （0，2，2），则，，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得．由图可得平面CME的一个法向量为．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为；（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），，．∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=或t=．∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为或．10．（2017•吴江区三模）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA=1，AD=2．（1）求平面BPC的法向量；（2）求二面角B﹣PC﹣A的正切值．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD．∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD．又PA∩PC=P，∴BD⊥平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC．又底面ABCD为矩形，∴ABCD为正方形．建立如图所示的空间直角坐标系．A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．=（0，2，0），=（﹣2，0，1），设平面BPC的法向量为=（x，y，z），∴，∴，取=（1，0，2．）．∴平面BPC的一个法向量为=（1，0，2．）．（2）平面PAC的法向量为：=（﹣2，2，0）．设二面角B﹣PC﹣A=θ，由图可知：θ为锐角．则cos===﹣．∴cosθ=．∴sinθ=．∴tanθ==3．即二面角B﹣PC﹣A的正切值为3．11．（2017•虎林市模拟）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=，AA1=2，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（1）证明：CD⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）由题意可知，在Rt△ABD中，tan∠ABD==，在Rt△ABB1中，tan∠AB1B==．又因为0＜∠ABD，∠AB1B，所以∠ABD=∠AB1B，所以∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1=，所以AB1⊥BD．又CO⊥侧面ABB1A1，且AB1⊂侧面ABB1A1，∴AB1⊥CO．又BD与CO交于点O，所以AB1⊥平面CBD．又因为BC⊂平面CBD，所以BC⊥AB1．（6分）解：（2）如图所示，以O为原点，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0）．又因为=2，所以C1（，，）．所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，）．设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则由，得令y=，则z=﹣，x=1，=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量．设直线C1D与平面ABC所成的角为α，则sin α==．故直线C1D与平面ABC所成角的正弦值为．（12分）12．（2017•广西一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点，连接OC，OA1，∵CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°∴OC⊥AB，OA1⊥AB，∵OC∩OA1=O，∴AB⊥平面OCA1，∵CA1⊂平面OCA1，∴AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），==（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞=﹣，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．13．（2017•徐水县模拟）如图，平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，∠ABC=60°，PA⊥AD，E，F分别为BC，PE的中点，AF⊥平面PED．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求直线BF与平面AFD所成角的正弦值．【解答】解：（1）连接AE，∵AF⊥平面PED，ED⊂平面PED，∴AF⊥ED，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，∠ABC=60°，∴AE=2，，∴AE2+ED2=AD2，∴AE⊥ED，又∵AF∩AE=A，AF⊂平面PAE，PA⊂平面PAE，∴ED⊥平面PAE，∵PA⊂平面PAE，∴ED⊥PA，又PA⊥AD，AD∩ED=D，AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD．（2）以E为坐标原点，以EA，ED为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，2，0），，，∵AF⊥平面PED，所以AF⊥PE，又F为PE中点，∴PA=AE=2，∴P（0，2，2），F（0，1，1），∴，，，设平面AFD的法向量为，由，得，，令x=1，得．设直线BF与平面AFD所成的角为θ，则：，即直线BF与平面AFD所成角的正弦值为．14．（2017•葫芦岛模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．【解答】（Ⅰ）证明：∵在平行四边形ABCD中，∠BCD=135°，∴∠ABC=45°，∵AB=AC，∴AB⊥AC．∵E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥AB，∴EF⊥AC．∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，∴PA⊥底面ABCD．又EF⊂底面ABCD，∴PA⊥EF．又∵PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴EF⊥平面PAC．（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，∴AP，AB，AC两两垂直，以A为原点，分别以AB，AC，AP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0），∴=（2，0，﹣2），=（﹣2，2，﹣2），，=（1，1，﹣2）．设=λ（0≤λ≤1），则=（﹣2λ，2λ，﹣2λ），∴==（1+2λ，1﹣2λ，2λ﹣2），显然平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即令x=1，得=（1，1，1）．∴cos＜，＞==，cos＜＞==．∵直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，∴||=||，即，解得，或（舍）．∴．15．（2017•腾冲县校级一模）如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD ∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2．（1）求证：AB⊥PC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是直角梯形，AD=CD=2，BC=4，∴AC=4，AB===4，∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，∴AB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC．（2）假设存在符合条件的点M，过点M作MN⊥AD于N，则MN∥PA，∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC．过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥平面MNG，∴AC⊥NG，即∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角．若∠MGN=45°，则NG=MN，又AN=NG=MN，∴MN=1，即M是线段PD的中点．∴存在点M使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°．=S△ABC•MN==，在三棱锥M﹣ABC中，V M﹣ABC=，设点B到平面MAC的距离是h，则V B﹣MAC===2，∵MG=MN=，∴S△MAC∴=，解得h=2．在△ABN中，AB=4，AN=，∠BAN=135°，∴BN==，∴BM==3，∴BM与平面MAC所成角的正弦值为=．16．（2017•五模拟）如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD 是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点O，连接OB，OM．∵△BCD是等边三角形，∴OB⊥CD．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴OM⊥CD．∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM⊂平面CMD，∴OM⊥平面BCD．又∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB．∴O，M，A，B四点共面．∵OB∩OM=O，OB⊂平面OMAB，OM⊂平面OMAB，∴CD⊥平面OMAB．∵AM⊂平面OMAB，∴CD⊥AM．（Ⅱ）作MN⊥AB，垂足为N，则MN=OB．∵△BCD是等边三角形，BC=2，∴，CD=2．在Rt△ANM中，．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴．∴AB=AN+NB=AN+OM=2．以点O为坐标原点，以OC，BO，OM为坐标轴轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则M（0，0，1），，D（﹣1，0，0），．∴，，．设平面BDM的法向量为=（x，y，z），由n•，n•，∴，令y=1，得=．设直线AM与平面BDM所成角为θ，则==．∴直线AM与平面BDM所成角的正弦值为．17．（2017•香坊区校级二模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PD=AD，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD．（1）求证AC⊥PB；（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，∵BD∩PD=D，∴AC⊥面PDB，∵PB⊂面PDB∴AC⊥PB．（2）解：设PD=AD=1，设A到平面PBC的距离为h，==则由题意PA=PB=PC=，S△ABC在等腰△PBC中，可求S==△PBC=V P﹣ABC，=，h=∴V A﹣PBC∴sinθ===18．（2017•徐汇区校级模拟）如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面．（1）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积．【解答】解：（1）B1C⊥C1A证明如下：在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D，∵侧面BA1⊥平面ABC，∴B1D⊥平面ABC，∠B1BA是BB1与平面ABC所成的角，∴∠B1BA=π﹣=，连接BC1，∵BB1CC1是菱形，∴BC1⊥B1C，CD⊥平面A1B，B1D⊥AB，∴B1C⊥AB，∴B1C⊥平面ABC1，∴B1C⊥C1A．（2）解：由题意及图，答：四棱锥B﹣ACC1A1的体积为219．（2017•焦作二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．【解答】证明：（I）取AB的中点D，连结CD，DF，DE．∵AC=BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB．∵侧面ABB1A1是边长为2的正方形，AE=，A1F=．∴A1E=，EF==，DE==，DF==，∴EF2+DE2=DF2，∴DE⊥EF，又CE⊥EF，CE∩DE=E，CE⊂平面CDE，DE⊂平面CDE，∴EF⊥平面CDE，又CD⊂平面CDE，∴CD⊥EF，又CD⊥AB，AB⊂平面ABB1A1，EF⊂平面ABB1A1，AB，EF为相交直线，∴CD⊥平面ABB1A1，又CD⊂ABC，∴平面ABB1A1⊥平面ABC．（II）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC=．以C为原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F（，，2）．∴=（﹣，0，2），=（，0，），=（，，2）．设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=4，得=（﹣，﹣9，4）．∴=10，||=6，||=．∴sin＜＞==．∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．20．（2017•秦州区校级模拟）如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（1）求证：BD⊥平面ADE；（2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值．【解答】解：（1）∵EA=ED=2，EA⊥ED，∴AD=2．∵BC=CD=2，BC⊥CD，∴BD=2又AB=4，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面ADE．（2）取AD的中点F，连接EF，则EF⊥平面ABCD，EF=．过D点作直线Oz∥EF，则Oz⊥平面ABCD．以D为坐标原点，以DA，DB，Dz为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，∴D（0，0，0），C（﹣，，0），B（0，2，0），E（，0，），∴=（，﹣2，），=（，0，），=（﹣，，0）．设平面CDE的一个法向量为=（x，y，z），则，∴，设x=1得=（1，1，﹣1）．∴cos＜＞===﹣．∴直线BE和平面CDE所成角的正弦值为．21．（2017•泉州一模）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=60°，BC=AF=2AD=4DE=4．（Ⅰ）请在图中作出平面α，使得DE⊂α，且BF∥α，并说明理由；（Ⅱ）求直线EF与平面BCE所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取BC的中点G，连接EG，DG，则平面EDG为所求．∵AD=2，BG=2，AD∥BC，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG，∵AB⊄平面EDG，DG⊂平面EDG，∴AB∥平面EDG．同理AF∥平面EDG，∵AB∩AF=A，∴平面ABF∥平面EDG，∵FB⊂平面ABF，∴BF∥平面EDG；（Ⅱ）以点A为坐标原点，AD为y轴，AF为z轴，过A垂直于AD的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，则F（0，0，4），E（0，2，1），B（，﹣1，0），C（，3，0），∴=（0，﹣2，3），=（0，4，0），=（﹣，3，1），设平面BCE的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，3），则直线EF与平面BCE所成角的正弦值==．22．（2017•乃东县校级三模）如图，在四棱锥中S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=，SE⊥AD．（1）证明：平面SBE⊥平面SEC（2）若SE=1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SE⊂平面SAD，SE⊥AD，∴SE⊥平面ABCD，…（2分）∵BE⊂平面ABCD，∴SE⊥BE．∵CD=3AB=3，AE=ED=，∴∠AEB=30°，∠CED=60°．所以∠BEC=90°即BE⊥CE．…（4分）结合SE∩CE=E得BE⊥平面SEC，∵BE⊂平面SBE，∴平面SBE⊥平面SEC．…（6分）（2）由（1）知，直线ES，EB，EC两两垂直．如图，以EB为x轴，以EC为y轴，以ES为z轴，建立空间直角坐标系．则，∴．设平面SBC的法向量为，则解得一个法向量，…（9分）设直线CE与平面SBC所成角为θ，又，则．所以直线CE与平面SBC所成角的正弦值．…（12分）23．（2017•邯郸二模）如图，在四棱锥A﹣BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．（1）若F是AD的中点，求证：EF∥平面ABC；（2）若AD=DE，求BE与平面ACE所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取DB中点G，连结EG、FG．∵F是AD的中点，∴FG∥AB．∵BD=2CE，∴BG=CE．∵∠DBC=∠BCE∴E、G到直线BC的距离相等，则BG∥CB，∵EG∩FG=G∴面EGF∥平面ABC，则EF∥平面ABC．解：（2）以点D为原点，建立如图所示的直角坐标系D﹣xyz，设EC=1，则DB=2，取BC中点C，则EG∥BC，∴BC=3，∵AD=DE，则A（0，0，），E（0，，0），B（2，0，0），C（，，0）．，．设平面ACE的法向量，=x+y=0令y=1，则，|cos|=．∴BE与平面ACE所成角的正弦值为：24．（2017•湘潭三模）在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取OD的中点R，连接PR，QR，则DE∥RQ，由题知，又，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此AD∥PR，因为PR，RQ⊄平面ADE，且AD，DE⊂平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，又PR∩RQ=R，故平面PQR∥平面ADE，从而PQ∥平面ADE．…6分（Ⅱ）解：由题EA=ED=5，，设点O到平面ADE的距离为d，则由等体积法可得，故，因此．…12分．25．（2017•城厢区校级模拟）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，B1C⊥AC1．（Ⅰ）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）若D是CC1中点，∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，求直线AC1与平面ABC所成角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BC1，因为BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，又B1C⊥AC1，AC1∩BC1=C1，所以B1C⊥面ABC1．故B1C⊥AB．因为AB⊥BB1，且BB1∩BC1，所以AB⊥面BB1C1C．而AB⊂平面ABB1A1，所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）因为∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，所以BD⊥CC1，又D是CC1中点，所以BD=BC1，所以△C1BC为等边三角形．如图所示，分别以BA，BB1，BD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB=2，则A（2，0，0），，，）．设是平面ABC的一个法向量，则，即，取z=1得．所以=，所以直线AC1与平面ABC所成的余弦值为．26．（2017•湖北模拟）等腰三角形ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使P﹣AE﹣C为120°，设点P在面ABE上的射影为H．（1）证明：点H为EB的中点；（2））若，求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：依题意，AE⊥BC，则AE⊥EB，AE⊥EP，EB∩EP=E．∴AE⊥面EPB．故∠CEP为二面角C﹣AE﹣P的平面角，则点P在面ABE上的射影H在EB上．由∠CEP=120°得∠PEB=60°．…（3分）∴EH=EP=．∴H为EB的中点．…（6分）（2）解：过H作HM⊥AB于M，连PM，过H作HN⊥PM于N，连BN，则有三垂线定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，∴HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影为NB．∴∠HBN为直线BE与面ABP所成的角．…（9分）依题意，BE=BC=2，BH=BE=1．在△HMB中，HM=，在△EPB中，PH=，∴在Rt△PHM中，HN=．∴sin∠HBN=．…（12分）27．（2017•山东二模）圆O上两点C，D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若∠DOB的平分线交弧于点G，交弦BD于点E，F为线段BC的中点．（Ⅰ）证明：平面OGF∥平面CAD；（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵OF为△ABC的一条中位线∴OF∥AC，又OF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴OF∥平面ACD．又∵OG为∠DOB的平分线，∴OG⊥BD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，∴OG∥AD，又OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴OG∥平面ACD，又∵OG，OF为平面OGF内的两条相交直线，∴平面OGF∥平面CAD（Ⅱ）∵O为AB的中点，∴CO⊥AB，∵平面CAB⊥平面DAB，平面CAB∩平面DAB=AB，OC⊂平面ABC，∴CO⊥平面DAB，又Rt△DAB中，AB=2，∠DAB=60°，∴AD=1，又OG∥AD，OG=1，OA=1，∴四边形ADGO为菱形，∠AOG=120°，设DG中点为M，则∠AOM=90°，即OM⊥OB，∴直线OM，OB，OC两两垂直，以O为原点，以OM，OB，OC为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．则B（0，1，0），C（0，0，1），D（，，G（，，F（0，，）．∴=（，，=（0，﹣1，1），=（，﹣，0）．设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1，=（，1，1）．∴=1，||=1，=．∴=．∴直线FG与平面BCD所成角的正弦值为．28．（2017•上饶县模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥平面ABP，AB=BC=CP=BP=2CD=2．（Ⅰ）证明：平面BAP⊥平面DAP；（Ⅱ）点M为线段AB（含端点）上一点，设直线MP与平面DCP所成角为α，求sinα的取值范围．【解答】证明：（I）取PA的中点E，PB的中点O，连接DE，OE，OC．∵OE是△PAB的中位线，∴OE，∵CD∥平面PAB，CD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAB=AB，∴CD∥AB，又CD=，∴OE OE，∴四边形CDEO是平行四边形，∴DE∥OC．∵AB⊥平面PBC，OC⊂平面PBC，∴AB⊥OC，∵BC=PC，∴OC⊥PB，又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PB=B，∴OC⊥平面PAB，又OC∥DE，∴DE⊥平面PAB，∵DE⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB．（II）∵OE∥AB，AB⊥平面PBC，∴OE⊥平面PBC．以O为原点，以OC，OB，OE为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则P（0，﹣1，0），C（，0，0），D（，0，1），设M（0，1，a）（0≤a≤2），则=（0，2，a），=（0，0，1），=（，1，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1得=（1，﹣，0）．∴cos＜＞==．∴sinα=．∴当a=0时，sinα取得最大值，当a=2时，sinα取得最小值．∴sinα的取值范围是[，]．。
高考立体几何经典30题__详细解释
高考立体几何经典30题1（2010浙江理数）（6）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（A ）若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ （B ）若l α⊥，l m //，则m α⊥ （C ）若l α//，m α⊂，则l m // （D ）若l α//，m α//，则l m //2（2010全国卷2理数）（11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个（C ）有且只有3个 （D ）有无数个 2【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.3（2010全国卷2理数）（9）已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B ）3 （C ）2 （D ）34（2010陕西文数） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 [B]（A ）2 （B ）1（C ）23（D ）135（2010辽宁文数）（11）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则球O 的表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π6（2010辽宁理数）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是(A)（0,62+） (B)（1,22） (C) (62-,62+） (D) （0,22） 最大值，可知AD=3，SD=21a -，则有21a -<2+3，即22843(62)a <+=+，即有a<62+(2)构成三棱锥的两条对角线长为a ，其他各边长为2，如图所示，此时a>0; 综上分析可知a ∈（0,62+）7（2010全国卷2文数）（11）与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个（C ）有且只有3个 （D ）有无数个 8（2010全国卷2文数）（8）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（A ）34 (B) 54(C)74(D) 349（2010江西理数）10.过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱AB ,AD ,1AA 所成的角都相等，这样的直线L 可以作A.1条B.2条C.3条D.4条10（2010安徽文数）（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A ）372 （B ）360 （C ）292 （D ）28011（2010山东文数）(4)在空间，下列命题正确的是 A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行12（2010北京文数）（8）如图，正方体1111ABCD-A B C D 的棱长2，动点E 、F 在棱11A B 上。
高中数学《立体几何》大题和答案与解析
.WORD 格式整理 ..高中数学《立体几何》大题及答案解析( 理)1.（ 2009 全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD底面ABCD，AD 2 ，DC SD 2 ，点 M 在侧棱 SC 上，∠ABM=60。
（I ）证明：M是侧棱SC的中点；求二面角 S AM B 的大小。
2.（ 2009 全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A 1B1C1中， AB ⊥ AC,D 、E 分别为 AA 1、 B1C 的中点，DE ⊥平面 BCC 1（Ⅰ）证明： AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为 60°,求 B 1C 与平面 BCD 所成的角的大小A 1C1 B1D EAC B3. （ 2009浙江卷）如图， DC平面 ABC， EB//DC ， AC BC EB 2DC 2，ACB120 ， P,Q 分别为 AE , AB 的中点．（I）证明： PQ / / 平面ACD；（II）求AD与平面 ABE 所成角的正弦值．.WORD 格式整理 ..4.（ 2009 北京卷）如图，四棱锥P ABCD 的底面是正方形，PD 底面ABCD ，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AEC平面PD B；（Ⅱ）当 PD2AB 且E为PB的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.5.（ 2009 江西卷）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面ABCD，PA AD 4 ， AB 2 ．以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交PD于点 M ．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角；（3）求点O到平面ABM的距离．PMA DOBC6（. 2009 四川卷）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ ABE是等腰直角三角形，AB AE, FA FE, AEF45 （I）求证： EF平面 BCE ；（ II）设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P 、 M ，求证： PM ∥平面BCE （ III）求二面角 F BD A 的大小。
高中数学立体几何经典题型专题训练试题(含答案)
高中数学立体几何经典题型专题训练试题姓名 班级 学号 得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分。
考试时间120分钟。
２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）评卷人得 分一．单选题（共10小题，每题3分，共30分）1、如图，在正方体中ABCD-A1B1C1D1，M为BC的中点，点N在四边形CDD1C1及其内部运动．⊥1C1，则N点的轨迹为（ ）若MN AA．线段B．圆的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分2、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的是（ ）A．点H是△A1BD的垂心B．直线AH与CD1的成角为900C．AH的延长线经过点C1D．直线AH与BB1的成角为4503、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，点Q为底面ABCD内（含边界）一动点，M为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（ ）A．棱柱B．棱锥C．棱台D．球4．下列说法中正确的是（ ）A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形5．用一个平面去截一个正方体，所得截面不可能是（1）钝角三角形；（2）直角三角形；（3）菱形；（4）正五边形；（5）正六边形．下述选项正确的是（ ）A．（1）（2）（5）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（3）（4）（5）6、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（ ）⊥A．AC BEB．A1C⊥平面AEFC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE、BF所成的角为定值7．已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，则它的侧棱长为（ ）A．4B．C．D．28．一正四棱锥的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则这一正四棱锥的斜高等于（）A．2B．C．2D．29、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（ ）A．D1O∥平面A1BC1B．D1O⊥平面AMCC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．点B到平面AMC的距离为10．如图，E为正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且∠C1EF=90°，则AF：FB=（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得 分二．填空题（共14小题，每题3分，共42分）11、正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AA1和BB1的中点，G是BC上一点，使⊥，则∠D1NG=______．C1N MG12、已知如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱DD1，AB上的点（不含顶点）．则下列说法正确的是______．①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E位置有关，与点F位置无关；⑤当E，F分别为中点时，平面B1EF与棱AD交于点P，则三棱锥P-DEF的体积为．⊥，∠BAC=θ（0＜θ≤），且13、如图，三棱锥A-BCD中，AB AD⊥，AC ADAB=AC=AD=2，E、F分别为AC、BD的中点，则EF的最大值为______．14、如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC，PO为棱锥的高，记，，那么M，N的大小关系是______．15．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别为4，6，过AB的中点E且平行BD，AC的截面四边形的周长为______．⊥1D则EF和BD1的关系是______．16、正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF AC⊥，EF A17、已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为______．18、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关．其中正确结论的序号为______（写出所有正确结论的序号）．19、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是棱CD、C1D1的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A1B1C1D1上运动，则线段MN 的中点P的轨迹（曲面）与二面角D-C1D1-B1所围成的几何体的体积为______．∈1，且AM=BN，有以下四个结论：20、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M AB∈1，N BC⊥；①AA1MN∥；②A1C1MN③MN与面A1B1C1D1成0°角；④MN与A1C1是异面直线．其中正确结论的序号是______．21、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于点E，交CC1于F，①四边形BFD1E一定是平行四边形②四边形BFD1E有可能是正方形③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形④四边形BFD1E点有可能垂直于平面BB1D以上结论正确的为______（写出所有正确结论的编号）22、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1的平面交于点M，则=______．23．设A是自然数集的一个非空子集，如果k2A∉，且A，那么k是A的一个“酷元”，⊆，且集合M中的两个元素都是“酷元”那么这样的结给定S={0，1，2，3，4，5}，设M S合M有______个．24、如图，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，SA⊥圆O所在的平面，连接SB、SC、AB、BC，则图中直角三角形的个数是______．评卷人得 分三．简答题（共28分）25、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，点P为平面ABCD所在平面外的⊥．一点，若△PAD为等边三角形，求证：PB AD26、如图，设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且⊥．SA BC（1）求证：S-ABC为正三棱锥；（2）已知SA=a，求S-ABC的全面积．27、如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD四边上的中点．（1）若BD=2，AC=6，则EG2+HF2等于多少？（2）若AC与BD成30°的角，且AC=6，BD=4，则四边形EFGH的面积等于多少？28、已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O 为S在底面ABC上的射影．求证：（1）O为△ABC的垂心；（2）O在△ABC内；（3）设SO=h，则++=．29．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：（1）棱锥的全面积；（2）球的半径R．30、如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC 的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D-ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由．参考答案评卷人得 分一．单选题（共__小题）1、如图，在正方体中ABCD-A1B1C1D1，M为BC的中点，点N在四边形CDD1C1及其内部运动．⊥1C1，则N点的轨迹为（ ）若MN AA．线段B．圆的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分答案：A解析：解：正方体中ABCD-A1B1C1D1中，M为BC的中点，点N在四边形CDD1C1及其内部运动；如图所示，取CD、C1D1的中点Q、P，连接PQ，⊥1C1；当点N在线段PQ上时，MN A因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，⊥1D1，连接B1D1，交A1C1于点O，∴B1D1A取B1C1的中点E，连接PE，则PE B∥1D1，⊥1C1；∴PE A∥1，又CC1⊥平面A1B1C1D1，PQ CC∴PQ⊥平面A1B1C1D1，∵A1C1⊂平面A1B1C1D1，⊥1C1；∴PQ A且PQ∩PE=P，∴A1C1⊥平面PQME，PQ⊂平面PQME，⊥；∴A1C1PQ∴N点的轨迹为线段PQ．故选：A．2、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的是（ ）A．点H是△A1BD的垂心B．直线AH与CD1的成角为900C．AH的延长线经过点C1D．直线AH与BB1的成角为450答案：D解析：解：由ABCD-A1B1C1D1是正方体，得A-A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故A正确；⊥1B，又CD1A∥1B，可得直线AH与CD1的成角为90°，故B正确；∵AH⊥面A1BD，∴AH A连接AC1，由三垂线定理及线面垂直的判定可得AC1⊥面A1DB，再由过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条可得AH与AC1重合，可得C正确；直线AH与BB1所成的角，即为AH与AA1所成的角，设为θ，由正方体棱长为1，可得正三棱锥的底面边长为，从而求得AH=，则cos，∴D错误．故选：D．3、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，点Q为底面ABCD内（含边界）一动点，M为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（ ）A．棱柱B．棱锥C．棱台D．球答案：A解析：解：∵Q点不能超过边界，若P点与A点重合，设AB中点E、AD中点F，移动Q点，则此时M点的轨迹为：以AE、AF为邻边的正方形；下面把P点从A点向上沿线段AD1移动，在移动过程中可得M点轨迹为正方形，…，最后当P点与D1点重合时，得到最后一个正方形，故所得几何体为棱柱，故选：A4．下列说法中正确的是（ ）A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形答案：A解析：解：棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱；可以判断A正确；B不正确，例如正六棱柱的相对侧面；C 不正确，只有直棱柱满足C的条件；D不正确，例如长方体．故选A5．用一个平面去截一个正方体，所得截面不可能是（1）钝角三角形；（2）直角三角形；（3）菱形；（4）正五边形；（5）正六边形．下述选项正确的是（ ）A．（1）（2）（5）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（3）（4）（5）答案：B解析：解：如图所示截面为三角形ABC，OA=a，OB=b，OC=c，AC2=a2+c2，AB2=a2+b2，BC2=b2+c2∠=＞0，∴cos CAB=∴∠CAB为锐角，同理∠ACB与∠ABC也为锐角，即△ABC为锐角三角形；如右图，取相对棱的中点，得到的四边形是菱形；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图为正六边形；经过正方体的一个顶点去切就可得到5边形．但此时不可能是正五边形．故不可能是（1）（2）（4）．故选：B．6、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（ ）⊥A．AC BEB．A1C⊥平面AEFC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE、BF所成的角为定值答案：D解析：解：∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，⊥．故A正确．∴AC BE∵EF垂直于直线AB1，AD1，∴A1C⊥平面AEF．故B正确．C中由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF的距离为，故V A-BEF为定值．C正确当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠FBC1，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠EAA1显然两个角不相等，D不正确．故选D．7．已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，则它的侧棱长为（ ）A．4B．C．D．2答案：A解析：解：由于正六棱锥可知底面是六个正三角形组成，∴底面积S=6×=6，∴体积V==12，∴h=，夺直角三角形SOB中，侧棱长为SB=．故选A．8．一正四棱锥的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则这一正四棱锥的斜高等于（）A．2B．C．2D．2答案：C解析：解：如图PO⊥底面ABCD，连接OA，取AD的中点E，连接OE，PE，则PE为斜高．∠PAO为侧棱与底面所成的角，且为45°，在直角△PAO中，PO=2，AO=2，PA=4，在直角△AEO中，AE=2，故在直角△PEA中，PE==2．故选C．9、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（ ）A．D1O∥平面A1BC1B．D1O⊥平面AMCC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．点B到平面AMC的距离为答案：D解析：解：如图，∥，连接B1D1，交A1C1于N，则可证明OD1BN由OD1⊄面A1BC1，BN⊂面A1BC1，可得D1O∥面A1BC1，A正确；⊥，由三垂线定理的逆定理可得OD1AC设正方体棱长为2，可求得OM2=3，，，⊥，由线面垂直的判定可得D1O⊥平面AMC，B正确；则，有OD1OM由正方体的面对角线相等得到△A1BC1为正三角形，即∠A1C1B=60°，∴异面直线BC1与AC所成的角等于60°，C正确；设点B到平面AMC的距离为d，正方体的棱长为2a，则，，由V B-AMC=V A-BCM，得，即，解得：d=，D错误．故选：D．10．如图，E为正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且∠C1EF=90°，则AF：FB=（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4答案：C解析：解：解：设正方体的棱长为：2，由题意可知C1E==3，∠C1EF=90°，所以设AF=x，12+x2+C1E2=22+22+（2-x）2，解得：x=，所以AF：FB=：=1：3；故选：C．评卷人得 分二．填空题（共__小题）11、正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AA1和BB1的中点，G是BC上一点，使⊥，则∠D1NG=______．C1N MG答案：90°解析：解：连接MN，∵M，N分别是AA1和BB1的中点，∥1D1，由正方体的几何特征可得MN C在正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1C1⊥平面B1C1CB∵C1N⊂平面B1C1CB⊥1N∴D1C1C⊥1N∴MN C⊥，MN∩MG=M，MD1，MG⊂平面MNG又∵C1N MG∴C1N⊥平面MNG又∵NG⊂平面MNG⊥∴C1N NG故∠D1NG=90°故答案为：90°12、已知如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱DD1，AB上的点（不含顶点）．则下列说法正确的是______．①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E位置有关，与点F位置无关；⑤当E，F分别为中点时，平面B1EF与棱AD交于点P，则三棱锥P-DEF的体积为．答案：②③⑤解析：解：对于①A1C⊥平面B1EF，不一定成立，因为A1C⊥平面AC1D，而两个平面面B1EF与面AC1D不一定平行．对于②△B 1EF 在侧面BCC 1B 1上 的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱BB 1，而E 点在面上的投影到此棱BB 1的距离是定值，故正确；对于③在平面A 1B 1C 1D 1内总存在与平面B 1EF 平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；对于④平面B 1EF 在平面ABCD 中的射影为△DFB ，面积为定值，但△B 1EF 的面积不定，故不正确；对于⑤由面面平行的性质定理可得EQ B ∥1F ，故D 1Q=，B 1Q PF ∥，故AP=，所以三棱锥P-DEF 的体积为，故正确故答案为：②③⑤．13、如图，三棱锥A-BCD 中，AB AD ⊥，AC AD ⊥，∠BAC=θ（0＜θ≤），且AB=AC=AD=2，E 、F 分别为AC 、BD 的中点，则EF 的最大值为______．答案：解析：⊥，垂足为G，连接GE，解：过F作FG AB⊥，∵AD AB∥，∴G为AB的中点，∴AD FG∴FG=1，AG=1，∵E为AC的中点，∴AE=1，∠BAC=θ，∴EG=∵AD⊥平面ABC，∴FG⊥平面ABC，△中，EF===，在Rt FGE∵0，∴EF≤．故答案是．14、如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC，PO为棱锥的高，记，，那么M，N的大小关系是______．答案：M=N解析：解：根据平面中直角三角形的勾股定理类比得，S ABC△2=S PAB△2+S PBC△2+S PAC△2①，由等体积法得，∴②，①÷②整理得M=N．故答案为：M=N．15．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别为4，6，过AB的中点E且平行BD，AC的截面四边形的周长为______．答案：10解析：解：设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、CD、DA的中点，∴EF=GH=2，FG=HE=3，∴周长为2×（2+3）=10．故答案为：10．16、正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF AC⊥，EF A⊥1D则EF和BD1的关系是______．答案：平行解析：解：法一：根据图象可知：⊥，AC∩B1C=C，⊥1D，A1D B∥1C，B1C EFEF AC⊥，EF A∥．∴EF⊥面AB1C，而BD1⊥面AB1C，即BD1EF法二：建立以D1为原点的空间直角坐标系D1-xyz，且设正方形的边长为1所以就有D1（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，0），D（0，0，1），A（1，0，1），C（0，1，1）所以=（-1，0，1），=（-1，1，0），=（-1，-1，1）⊥1，所以•=-1+1=0 所以A1D BD⊥1，•=1-1=0 所以AC BD所以BD1与A1D和AC都垂直又∵EF是AC、A1D的公共垂线，∥．∴BD1EF故答案为：平行．17、已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为______．答案：解析：解：∵正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，连结AD1，AB1，∴由正方体的性质，得：AD1∩A1D=P，P是AD1的中点，∥1，PQ AB∴PQ=AB1==．故答案为：．18、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：①A 1C ⊥平面B 1EF ；②△B 1EF 在侧面BCC 1B 1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A 1B 1C 1D 1内总存在与平面B 1EF 平行的直线；④平面B 1EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关．其中正确结论的序号为______（写出所有正确结论的序号）．答案：②③解析：解：若A 1C ⊥平面B 1EF ，则A 1C B ⊥1F ，由三垂线逆定理知：B 1F A ⊥1B ，又当F 与A 不重合时，B 1F 与A 1B 不垂直，∴①错误；∵E 在侧面BCC 1B 1上的投影在CC 1上，F 在侧面BCC 1B 1上的投影是B ，∴△B 1EF 在侧面BCC 1B 1上的正投影是三角形，三角形的面积S=×棱长×棱长为定值．∴②正确；设平面A 1B 1C 1D 1∩平面B 1EF=l ，∵平面A 1B 1C 1D 1内总存在与l 平行的直线，由线面平行的判定定理得与l 平行的直线，与平面B 1EF 平行，∴③正确；设E 与D 重合，F 位置变化，平面B 1EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小也在变化，∴④错误．故答案为：②③．19、如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为4，E ，F 分别是棱CD 、C 1D 1的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面A 1B 1C 1D 1上运动，则线段MN 的中点P 的轨迹（曲面）与二面角D-C 1D 1-B 1所围成的几何体的体积为______．答案：解析：解：依题意知|FP|=|MN|=1，因此点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球的．∴所求几何体的体积是×π×13=．故答案为：．∈1，且AM=BN，有以下四个结论：∈1，N BC20、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M AB⊥；①AA1MN∥；②A1C1MN③MN与面A1B1C1D1成0°角；④MN与A1C1是异面直线．其中正确结论的序号是______．答案：①③解析：解：当M 为A ，N 为B ，排除②；当M 为B 1，N 为C 1，排除④．作MM′A ⊥1B 1于M′，作NN′B ⊥1C 1于N′，易证|MM′|=|NN′|，MM′NN′∥∴MN M′N′∥，由此知①③正确．故答案为：①③21、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，过对角线BD 1的一个平面交AA 1于点E ，交CC 1于F ，①四边形BFD 1E 一定是平行四边形②四边形BFD 1E 有可能是正方形③四边形BFD 1E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形④四边形BFD 1E 点有可能垂直于平面BB 1D以上结论正确的为______（写出所有正确结论的编号）答案：①③④解析：解：如图：①由平面BCB 1C 1∥平面ADA 1D 1，并且B 、E 、F 、D 1四点共面，∴ED 1BF ∥，同理可证，FD 1EB ∥，故四边形BFD 1E 一定是平行四边形，故①正确；②若BFD 1E 是正方形，有ED 1BE ⊥，这个与A 1D 1BE ⊥矛盾，故②错误；③由图得，BFD 1E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，故③正确；④当点E 和F 分别是对应边的中点时，平面BFD 1E ⊥平面BB 1D 1，故④正确．故答案为：①③④．22、如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1与过A 1、D 、C 1的平面交于点M ，则=______．答案：2解析：解：由正方体的性质可得：D 1B ⊥平面DA 1C 1，∴D 1M 是三棱锥D 1-A 1DC 1的高．不妨设正方体的棱长为1．∵=，∴=，解得D 1M==．∴=2．故答案为：2．∉，且A，那么k是A的一个“酷元”，23．设A是自然数集的一个非空子集，如果k2A⊆，且集合M中的两个元素都是“酷元”那么这样的结给定S={0，1，2，3，4，5}，设M S合M有______个．答案：5解析：解：∵S={0，1，2，3，4，5}，由题意可知：集合M不能含有0，1，也不能同时含有2，4故集合M可以是{2，3}、{2，5}、{3，5}、{3，4}、{4，5}，共5个故答案为：524、如图，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，SA⊥圆O所在的平面，连接SB、SC、AB、BC，则图中直角三角形的个数是______．答案：4解析：解：题题意SA⊥圆O所在的平面，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，可得出AB，BC垂直由此两个关系可以证明出CB垂直于面SAB，由此可得△ADB，△SAC，△ABC，△SBC都是直角三角形故图中直角三角形的个数是4个故答案为：4．评卷人得 分三．简答题（共__小题）25、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，点P为平面ABCD所在平面外的⊥．一点，若△PAD为等边三角形，求证：PB AD答案：证明：如图，连结BD ，取AD 的中点E ，连结PE ，BE ；从而易知△ABD 也是等边三角形，又∵△PAD 为等边三角形，∴AD PE ⊥，AD BE ⊥，又∵PE∩BE=E ；故AD ⊥平面PBE ；故AD PB ⊥．解析：证明：如图，连结BD ，取AD 的中点E ，连结PE ，BE ；从而易知△ABD 也是等边三角形，又∵△PAD 为等边三角形，∴AD PE ⊥，AD BE ⊥，又∵PE∩BE=E ；故AD ⊥平面PBE ；故AD PB ⊥．26、如图，设三棱锥S-ABC 的三个侧棱与底面ABC 所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA BC ⊥．（1）求证：S-ABC 为正三棱锥；（2）已知SA=a ，求S-ABC 的全面积．答案：（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可．作三棱锥S-ABC 的高SO ，O 为垂足，连接AO 并延长交BC 于D ．因为SA BC ⊥，所以AD BC ⊥．又侧棱与底面所成的角都相等，从而O 为△ABC 的外心，OD 为BC 的垂直平分线，所以AB=AC ．又∠BAC=60°，故△ABC 为正三角形，且O 为其中心．所以S-ABC 为正三棱锥．（2）解：在Rt SAO △中，由于SA=a ，∠SAO=60°，所以SO=a ，AO=a ．因O 为重心，所以AD=AO=a ，BC=2BD=2ADcot60°=a ，OD=AD=a ．在Rt SOD △中，SD 2=SO 2+OD 2=（a ）2+（a ）2=，则SD=a ．于是，（S S-ABC ）全=•（a ）2sin60°+3••a•a=a 2．解析：（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可．作三棱锥S-ABC 的高SO ，O 为垂足，连接AO 并延长交BC 于D ．因为SA BC ⊥，所以AD BC ⊥．又侧棱与底面所成的角都相等，从而O 为△ABC 的外心，OD 为BC 的垂直平分线，所以AB=AC ．又∠BAC=60°，故△ABC 为正三角形，且O 为其中心．所以S-ABC 为正三棱锥．（2）解：在Rt SAO △中，由于SA=a ，∠SAO=60°，所以SO=a ，AO=a ．因O 为重心，所以AD=AO=a ，BC=2BD=2ADcot60°=a ，OD=AD=a ．在Rt SOD △中，SD 2=SO 2+OD 2=（a ）2+（a ）2=，则SD=a ．于是，（S S-ABC ）全=•（a ）2sin60°+3••a•a=a 2．27、如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 四边上的中点．（1）若BD=2，AC=6，则EG 2+HF 2等于多少？（2）若AC 与BD 成30°的角，且AC=6，BD=4，则四边形EFGH 的面积等于多少？答案：解：（1）∵E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 四边上的中点，∴EH BD ∥，且EH=BD ；FG BD ∥，且FG=BD ；∴EH FG ∥，且EH=FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形；又BD=2，AC=6，∴EH=BD=1，EF=AC=3，在△EFG 和△HFG 中，由余弦定理得，EG 2=EF 2+FG 2-2EF•FG•cos EFG∠=32+12-2×3×1×cos EFG∠=10-6cos EFG ∠，HF 2=HG 2+FG 2-2HG•FG•cos FGH∠=32+12-2×3×1×cos （π-EFG ∠）=10+6cos EFG ∠，∴EG 2+HF 2=20；（2）∵AC 与BD 成30°的角，且EF AC ∥，FG BD ∥，∴∠EFG=30°，又AC=6，BD=4，∴EF=AC=3，FG=BD=2；∠．∴四边形EFGH的面积为S=EF•FG•sin EFG=3×2×sin30°=3解析：解：（1）∵E、F、G、H分别是空间四边形ABCD四边上的中点，∥，且EH=BD；∴EH BDFG BD∥，且FG=BD；∥，且EH=FG，∴EH FG∴四边形EFGH是平行四边形；又BD=2，AC=6，∴EH=BD=1，EF=AC=3，在△EFG和△HFG中，由余弦定理得，∠EG2=EF2+FG2-2EF•FG•cos EFG∠=32+12-2×3×1×cos EFG∠，=10-6cos EFG∠HF2=HG2+FG2-2HG•FG•cos FGH∠）=32+12-2×3×1×cos（π-EFG=10+6cos EFG∠，∴EG2+HF2=20；（2）∵AC 与BD 成30°的角，且EF AC ∥，FG BD ∥，∴∠EFG=30°，又AC=6，BD=4，∴EF=AC=3，FG=BD=2；∴四边形EFGH 的面积为S=EF•FG•sin EFG=3×2×sin30°=3∠．28、已知三棱锥S-ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直且长度分别为a 、b 、c ，设O 为S 在底面ABC 上的射影．求证：（1）O 为△ABC 的垂心；（2）O 在△ABC 内；（3）设SO=h ，则++=．答案：证明：（1）∵SA SB ⊥，SA SC ⊥，∴SA ⊥平面SBC ，BC ⊂平面SBC ．∴SA BC ⊥．而AD 是SA 在平面ABC 上的射影，∴AD BC ⊥．同理可证AB CF ⊥，AC BE ⊥，故O 为△ABC 的垂心．（2）证明△ABC 为锐角三角形即可．不妨设a≥b≥c ，则底面三角形ABC 中，AB=为最大，从而∠ACB 为最大角．用余弦定理求得cos ACB=∠＞0，∴∠ACB 为锐角，△ABC 为锐角三角形．故O 在△ABC 内．（3）SB•SC=BC•SD ，故SD=，=+，又SA•SD=AD•SO ，∴===+=++=．解析：证明：（1）∵SA SB ⊥，SA SC ⊥，∴SA ⊥平面SBC ，BC ⊂平面SBC ．∴SA BC ⊥．而AD 是SA 在平面ABC 上的射影，∴AD BC ⊥．同理可证AB CF ⊥，AC BE ⊥，故O 为△ABC 的垂心．（2）证明△ABC 为锐角三角形即可．不妨设a≥b≥c ，则底面三角形ABC 中，AB=为最大，从而∠ACB 为最大角．用余弦定理求得cos ACB=∠＞0，∴∠ACB 为锐角，△ABC 为锐角三角形．故O 在△ABC 内．（3）SB•SC=BC•SD ，故SD=，=+，又SA•SD=AD•SO ，∴===+=++=．29．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：（1）棱锥的全面积；（2）球的半径R．答案：解：（1）设正三棱锥的底面中心为H，由题意知PH=1，边长BC=2，取BC中点E，连接HE、PE，则HE=S全=3×=9⊥于点G，（2）过O作OG PE∽△，且OG=OH=R，则△POG PEH∴，∴R=解析：解：（1）设正三棱锥的底面中心为H，由题意知PH=1，边长BC=2，取BC中点E，连接HE、PE，则HE=S全=3×=9⊥于点G，（2）过O作OG PE∽△，且OG=OH=R，则△POG PEH∴，∴R=30、如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC 的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D-ABC 的表面积；（2）求证AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN ∥平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由．答案：解：（1）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB BC ⊥，AB BD ⊥．∵△BCD 是正三角形，且AB=BC=a ，∴AD=AC=．设G 为CD 的中点，则CG=，AG=．∴，，．三棱锥D-ABC 的表面积为．（2）取AC 的中点H ，∵AB=BC ，∴BH AC ⊥．∵AF=3FC ，∴F 为CH 的中点．∵E 为BC 的中点，∴EF BH ∥．则EF AC ⊥．∵△BCD 是正三角形，∴DE BC ⊥．∵AB ⊥平面BCD ，∴AB DE ⊥．∵AB∩BC=B ，∴DE ⊥平面ABC ．∴DE AC ⊥．∵DE∩EF=E ，∴AC ⊥平面DEF ．（3）存在这样的点N ，当CN=时，MN ∥平面DEF ．连CM ，设CM∩DE=O ，连OF ．由条件知，O 为△BCD 的重心，CO=CM ．∴当CF=CN 时，MN OF ∥．∴CN=．解析：解：（1）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB BC ⊥，AB BD ⊥．∵△BCD 是正三角形，且AB=BC=a ，∴AD=AC=．设G 为CD 的中点，则CG=，AG=．∴，，．三棱锥D-ABC 的表面积为．（2）取AC 的中点H ，∵AB=BC ，∴BH AC ⊥．∵AF=3FC ，∴F 为CH 的中点．∵E 为BC 的中点，∴EF BH ∥．则EF AC ⊥．∵△BCD 是正三角形，∴DE BC ⊥．∵AB ⊥平面BCD ，∴AB DE ⊥．∵AB∩BC=B ，∴DE ⊥平面ABC ．∴DE AC ⊥．∵DE∩EF=E ，∴AC ⊥平面DEF ．（3）存在这样的点N ，当CN=时，MN ∥平面DEF ．连CM ，设CM∩DE=O ，连OF ．由条件知，O 为△BCD 的重心，CO=CM ．∴当CF=CN 时，MN OF ∥．∴CN=．。
2024年高考数学立体几何复习试卷及答案解析
2024年高考数学立体几何复习试卷及答案
一、选择题
1．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线()
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，不一定在平面α内
答案B
解析假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，则m∥l且n∥l，由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，故过点P且平行于l的直线只有一条，又因为点P 在平面内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内．故选B.
2．设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是()
A．m⊥n，m∥α⇒n⊥αB．m⊥n，m⊥α⇒n∥α
C．m∥n，m⊥α⇒n⊥αD．m∥n，m∥α⇒n∥α
答案C
解析对于A，若m⊥n，m∥α时，可能n⊂α或斜交，故错误；
对于B，m⊥n，m⊥α⇒n∥α或n⊂α，故错误；
对于C，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，正确；
对于D，m∥n，m∥α⇒n∥α或n⊂α，故错误．
故选C.
3．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的命题是()
A．①②B．③④
C．②④D．①③
答案D
解析∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．
4.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()
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高三精选立体几何大题30题(含详细解答)
1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．
（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．
（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．
∴ ，∴ ．
∴ ．
5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.
（Ⅰ）求证：MN⊥AB；
（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.
（Ⅰ）连结AC，AN.由BC⊥AB，AB是PB在
.
6．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N
分别为棱DD1、AB、BC的中点。
（I）求二面角B1—MN—B的正切值；
（II）证明：PB⊥平面MNB1；
（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足
“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，
（Ⅲ）求二面角C-BE-D的正切值．
证：（Ⅰ）取CE中点M，连结FM，BM，则有 ．
∴四边形AFMB是平行四边形．
∴AF//BM，
∵ 平面BCE，
平面BCE，
∴AF//平面BCE．
（Ⅱ）由于DE⊥平面ACD，
则DE⊥AF．
又△ACD是等边三角形，则AF⊥CD．而CD∩DE=D，因此AF⊥平面CDE．
= × ×3×3×
= （10分）
解（Ⅲ）连CF，
∵CB⊥平面A1B1BA，又BF⊥AE，
由三垂线定理知，CF⊥AE.
2024届新高考数学大题精选30题--立体几何含答案
大题立体几何1(2024·黑龙江·二模)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是AB1的中点，P是B1C1的中点．(1)证明：MN⎳平面A1CP；(2)求点P到直线MN 的距离．2(2024·安徽合肥·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°,M是侧棱PC的中点，侧面PAD为正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD．(1)求三棱锥M-ABC的体积；(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值．2024届新高考数学大题精选30题--立体几何3(2023·福建福州·模拟预测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC,AB= AC=BC=AA1=2，A1B=6．(1)设D为AC中点，证明：AC⊥平面A1DB；(2)求平面A1AB1与平面ACC1A1夹角的余弦值．4(2024·山西晋中·三模)如图，在六面体ABCDE中，BC=BD=6，EC⊥ED，且EC=ED= 2，AB平行于平面CDE，AE平行于平面BCD，AE⊥CD.(1)证明：平面ABE⊥平面CDE；(2)若点A到直线CD的距离为22，F为棱AE的中点，求平面BDF与平面BCD夹角的余弦值．5(2024·辽宁·二模)棱长均为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，A1在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处，P为棱A1B1(包含端点)上的动点．(1)求点P到平面ABC1的距离；(2)若AP⊥平面α，求直线BC1与平面α所成角的正弦值的取值范围．6(2024·重庆·模拟预测)在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知AB∥CD，∠BAD=90°，CD= 2AB，△PAB是正三角形，点M在侧棱PB上且使得PD⎳平面AMC．(1)证明：PM=2BM；(2)若侧面PAB⊥底面ABCD，CM与底面ABCD所成角的正切值为311，求二面角P-AC-B的余弦值．7(2024·安徽·模拟预测)2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABG-CDEHF是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，AB=8m，AD=4m，ED=CF=1m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，GA=GB=5m，HE=HF，平面ABG⊥平面ABCD．(1)求点H到平面ABCD的距离；(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．8(2024·重庆·模拟预测)如图，ACDE为菱形，AC=BC=2，∠ACB=120°，平面ACDE⊥平面ABC，点F在AB上，且AF=2FB，M，N分别在直线CD，AB上．(1)求证：CF⊥平面ACDE；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若∠EAC=60°，MN为直线CD，AB的公垂线，求ANAF的值；(3)记直线BE与平面ABC所成角为α，若tanα>217，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围．9(2024·安徽·二模)将正方形ABCD 绕直线AB 逆时针旋转90°，使得CD 到EF 的位置，得到如图所示的几何体．(1)求证：平面ACF ⊥平面BDE ；(2)点M 为DF 上一点，若二面角C -AM -E 的余弦值为13，求∠MAD ．10(2024·安徽黄山·二模)如图，已知AB 为圆台下底面圆O 1的直径，C 是圆O 1上异于A ,B 的点，D 是圆台上底面圆O 2上的点，且平面DAC ⊥平面ABC ，DA =DC =AC =2，BC =4，E 是CD 的中点，BF =2FD ．(1)证明：DO 2⎳BC ；(2)求直线DB 与平面AEF 所成角的正弦值.11(2024·黑龙江哈尔滨·一模)正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的下底面边长为22，A 1B 1=12AB ，M 为BC 中点，已知点P 满足AP =1-λ AB +12λ⋅AD +λAA 1 ，其中λ∈0,1 ．(1)求证D 1P ⊥AC ；(2)已知平面AMC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当λ=23时，求直线DP 与平面AMC 1所成角的正弦值．12(2024·辽宁·三模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ,AC =AA 1=2，AB =1,BC =3，点E 为线段AC 的中点.(1)求证：AB 1∥平面BEC 1；(2)若∠A 1AC =π3，求二面角A -BE -C 1的余弦值.13(2024·广东广州·一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，∠DCB=∠PCB=π4，点M，N分别为DP和AB的中点.(1)求证：MN⎳平面PBC；(2)求证：平面PBC⊥平面ABCD；(3)求CM与平面PAD所成角的正弦值.14(2024·广东梅州·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD 为直角梯形，△PAD为等边三角形，AD⎳BC，AD⊥AB，AD=AB=2BC=2．(1)求证：AD⊥PC；(2)点N在棱PC上运动，求△ADN面积的最小值；(3)点M为PB的中点，在棱PC上找一点Q，使得AM⎳平面BDQ，求PQQC的值．15(2024·广东广州·模拟预测)如图所示，圆台O1O2的轴截面A1ACC1为等腰梯形，AC=2AA1= 2A1C1=4,B为底面圆周上异于A,C的点，且AB=BC,P是线段BC的中点.(1)求证：C1P⎳平面A1AB.(2)求平面A1AB与平面C1CB夹角的余弦值.16(2024·广东深圳·二模)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且AB= AC，A1B=A1C．(1)证明：AA1⊥平面ABC；(2)若AA1=BC=2，∠BAC=90°，求平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值．17(2024·河北保定·二模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PCD 内存在一条直线EF 与AB 平行，PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD 所成的角的正切值为32，PA =BC =23，CD =2AB =4.(1)证明：四边形ABCD 是直角梯形.(2)若点E 满足PE =2ED ，求二面角P -EF -B 的正弦值.18(2024·湖南衡阳·模拟预测)如图，在圆锥PO 中，P 是圆锥的顶点，O 是圆锥底面圆的圆心，AC 是圆锥底面圆的直径，等边三角形ABD 是圆锥底面圆O 的内接三角形，E 是圆锥母线PC 的中点，PO =6,AC =4.(1)求证：平面BED ⊥平面ABD ；(2)设点M 在线段PO 上，且OM =2，求直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值.19(2024·湖南岳阳·三模)已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为4的菱形，∠DAB =60°，PA =PC ，PB =PD =210，M 是线段PC 上的点，且PC =4MC ．(1)证明：PC ⊥平面BDM ；(2)点E 在直线DM 上，求BE 与平面ABCD 所成角的最大值．20(2024·湖南·二模)如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的菱形，∠ABC =60°,BD 1⊥平面A 1C 1D .(1)求四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积；(2)设点D 1关于平面A 1C 1D 的对称点为E ，点E 和点C 1关于平面α对称(E 和α未在图中标出)，求平面A 1C 1D 与平面α所成锐二面角的大小.21(2024·山东济南·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=∠PCB=60°,CD=1,AB=3,PC=23，平面PCB⊥平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.(1)证明：PF⊥AD；(2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为74.22(2024·山东潍坊·二模)如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=4，∠ABC=60°，E为CD 的中点，将△ADE沿AE折起，连结BD，CD，且BD=4，如图2．(1)求证：图2中的平面ADE⊥平面ABCE；(2)在图2中，若点F在棱BD上，直线AF与平面ABCE所成的角的正弦值为3010，求点F到平面DEC 的距离．23(2024·福建·模拟预测)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB,AB⊥BC,AB=3,BC=6，已知二面角P-AB-C的大小为θ，∠PAB=θ.(1)求点P到平面ABC的距离；(2)当三棱锥P-ABC的体积取得最大值时，求：(Ⅰ)二面角P-AB-C的余弦值；(Ⅱ)直线PC与平面PAB所成角.24(2024·浙江杭州·二模)如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°, BC=2PQ=4AB=4,M为BC的中点，PQ∥BC,PD⊥DC,QB⊥MD．(1)证明：∠ABQ=90°；(2)若多面体ABCDPQ的体积为152，求平面PCD与平面QAB夹角的余弦值．25(2024·浙江嘉兴·二模)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD,PA∥QD，BC=2AB=2PA=2,∠ABC=60°.(1)证明：平面PCD⊥平面PAC；(2)若PQ=22，求平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值.26(2024·浙江绍兴·二模)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=4，AC=2，∠CAB=60°，BC⊥AP.(1)证明：平面ACP⊥平面ABC；(2)若PA=2，PB=4，求二面角P-AB-C的平面角的正切值.27(2024·河北沧州·一模)如图，在正三棱锥A -BCD 中，BC =CD =BD =4，点P 满足AP=λAC ，λ∈(0,1)，过点P 作平面α分别与棱AB ，BD ，CD 交于Q ，S ，T 三点，且AD ⎳α，BC ⎳α.(1)证明：∀λ∈(0,1)，四边形PQST 总是矩形；(2)若AC =4，求四棱锥C -PQST 体积的最大值.28(2024·湖北·二模)如图1．在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，AB =4，AE =λAD ，AF =λAB(0<λ<1)，沿EF 将△AEF 向上折起得到棱锥P -BCDEP ．如图2所示，设二面角P -EF -B 的平面角为θ．(1)当λ为何值时，三棱锥P -BCD 和四棱锥P -BDEF 的体积之比为95(2)当θ为何值时，∀λ∈0,1 ，平面PEF 与平面PFB 的夹角φ的余弦值为5529(2024·湖北·模拟预测)空间中有一个平面α和两条直线m ，n ，其中m ，n 与α的交点分别为A ，B ，AB =1，设直线m 与n 之间的夹角为π3，(1)如图1，若直线m ，n 交于点C ，求点C 到平面α距离的最大值；(2)如图2，若直线m ，n 互为异面直线，直线m 上一点P 和直线n 上一点Q 满足PQ ⎳α，PQ ⊥n 且PQ ⊥m ，(i )求直线m ，n 与平面α的夹角之和；(ii )设PQ =d 0<d <1 ，求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数f d ．30(2024·浙江绍兴·模拟预测)如图所示，四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 为一个菱形，且∠BAD =120°. 底面与顶面的对角线交点分别为O ，O 1. AB =2A 1B 1=2，BB 1=DD 1=392，AA 1与底面夹角余弦值为3737.(1)证明：OO 1⊥平面ABCD ；(2)现将顶面绕OO 1旋转θ角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向. 此时使得底面与DC 1的夹角正弦值为64343，此时求θ的值(θ<90°)；(3)求旋转后AA 1与BB 1的夹角余弦值.大题 立体几何1(2024·黑龙江·二模)如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，M 是BC 的中点，N 是AB 1的中点，P 是B 1C 1的中点．(1)证明：MN ⎳平面A 1CP ；(2)求点P 到直线MN 的距离．【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】(1)建立如图空间直角坐标系A -xyz ，设平面A 1CP 的一个法向量为n=(x ,y ,z )，利用空间向量法证明MN ⋅n=0即可；(2)利用空间向量法即可求解点线距.【详解】(1)由题意知，AA 1⊥平面ABC ，∠BAC =60°，而AB ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥AB ，在平面ABC 内过点A 作y 轴，使得AB ⊥y 轴，建立如图空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0),B (2,0,0),C (1,3,0),A 1(0,0,2),B 1(2,0,2)，得M 32,32,0,N (1,0,1),P 32,32,2，所以A 1C =(1,3,-2),A 1P =32,32,0 ,MN =-12,-32,1 ，设平面A1CP 的一个法向量为n=(x ,y ,z )，则n ⋅A 1C=x +3y -2z =0n ⋅A 1P =32x +32y =0，令x =1，得y =-3,z =-1，所以n=(1,-3,-1)，所以MN ⋅n =-12×1+-32×(-3)+1×(-1)=0，又MN 不在平面A 1CP 内即MN ⎳平面A 1CP ；(2)如图，连接PM ，由(1)得PM =(0,0,-2)，则MN ⋅PM =-2，MN =2,PM =2，所以点P 到直线MN 的距离为d =PM 2-MN ⋅PMPM2= 3.2(2024·安徽合肥·二模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60°,M 是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．(1)求三棱锥M -ABC 的体积；(2)求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】(1)12(2)3311．【分析】(1)作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，由中位线得到M 到平面ABCD 的距离为32，进而由锥体体积公式求出答案；(2)证明出BO ⊥AD ，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由法向量的夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值.【详解】(1)如图所示，取AD 的中点O ，连接PO ．因为△PAD 是正三角形，所以PO ⊥AD ．又因为平面PAD ⊥底面ABCD ,PO ⊂平面PAD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，且PO =3．又因为M 是PC 的中点，M 到平面ABCD 的距离为32，S △ABC =12×2×2×sin 2π3=3，所以三棱锥M -ABC 的体积为13×3×32=12．(2)连接BO ,BD ，因为∠BAD =π3，所以△ABD 为等边三角形，所以BO ⊥AD ，以O 为原点，OA ,OB ,OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P 0,0,3 ,A 1,0,0 ,B 0,3,0 ,C -2,3,0 ，所以M -1,32,32 ,AM =-2,32,32,PB =0,3,-3 ,BC =-2,0,0 ．设平面PBC 的法向量为n=x ,y ,z ，则PB ⋅n =0BC ⋅n =0，即3y -3z =0-2x =0 ，解得x =0，取z =1，则y =1，所以n=0,1,1 ．设AM 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ=cos AM ,n =AM ⋅nAM ⋅n=-2,32,32 ⋅0,1,14+34+34×1+1=3311．即AM 与平面PBC 所成角的正弦值为3311．3(2023·福建福州·模拟预测)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ,AB =AC =BC =AA 1=2，A 1B =6．(1)设D 为AC 中点，证明：AC ⊥平面A 1DB ；(2)求平面A 1AB 1与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)55【分析】(1)根据等边三角形的性质得出BD ⊥AC ，根据平面ACC 1A 1⊥平面ABC 得出BD ⊥平面ACC 1A 1，BD ⊥A 1D ，利用勾股定理得出AC ⊥A 1D ，从而证明AC ⊥平面A 1DB ；(2)建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面A 1AB 1的法向量和平面ACC 1A 1的一个法向量，利用向量求平面A 1AB 1与平面ACC 1A 1的夹角余弦值．【详解】(1)证明：因为D 为AC 中点，且AB =AC =BC =2，所以在△ABC 中，有BD ⊥AC ，且BD =3，又平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，且平面ACC 1A 1∩平面ABC =AC ，BD ⊂平面ABC ,所以BD ⊥平面ACC 1A 1，又A 1D ⊂平面ACC 1A 1，则BD ⊥A 1D ，由A 1B =6，BD =3，得A 1D =3，因为AD =1，AA 1=2，A 1D =3，所以由勾股定理，得AC ⊥A 1D ，又AC ⊥BD ，A 1D ∩BD =D ,A 1D ,BD ⊂平面A 1DB ，所以AC ⊥平面A 1DB ；(2)如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系D -xyz ，可得A (1,0,0),A 1(0,0,3),B (0,3,0)，则AA 1 =-1,0,3 ,AB=-1,3,0 ，设平面A 1AB 1的法向量为n=(x ,y ,z )，由n ⋅AA 1=-x +3z =0n ⋅AB=-x +3y =0，令x =3，得y =1，z =1，所以n=3,1,1 ,由(1)知，BD ⊥平面ACC 1A 1，所以平面ACC 1A 1的一个法向量为BD=(0,-3,0)，记平面A 1AB 1与平面ACC 1A 1的夹角为α，则cos α=|n ⋅BD ||n ||BD |=35×3=55，所以平面A 1AB 1与平面ACC 1A 1夹角的余弦值为55．4(2024·山西晋中·三模)如图，在六面体ABCDE 中，BC =BD =6，EC ⊥ED ，且EC =ED =2，AB 平行于平面CDE ，AE 平行于平面BCD ，AE ⊥CD .(1)证明：平面ABE ⊥平面CDE ；(2)若点A 到直线CD 的距离为22，F 为棱AE 的中点，求平面BDF 与平面BCD 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10535【分析】(1)设平面ABE 与直线CD 交于点M ，使用线面平行的性质，然后用面面垂直的判定定理即可；(2)证明BE ⊥平面CDE ，然后构造空间直角坐标系，直接用空间向量方法即可得出结果.【详解】(1)设平面ABE 与直线CD 交于点M ，连接ME ,MB ，则平面ABE 与平面CDE 的交线为ME ，平面ABE 与平面BCD 的交线为MB ，因为AB 平行于平面CDE ，AB ⊂平面ABE ，平面ABE 和平面CDE 的交线为ME ，所以AB ∥ME ．同理AE ∥MB ，所以四边形ABME 是平行四边形，故AE ∥MB ，AB ∥ME .因为CD ⊥AE ，AE ∥MB ，所以CD ⊥MB ，又BC =BD =6，所以M 为棱CD 的中点在△CDE 中，EC =ED ，MC =MD ，所以CD ⊥ME ，由于AB ∥ME ，故CD ⊥AB .而CD ⊥AE ，AB ∩AE =A ，AB ,AE ⊂平面ABE ，所以CD ⊥平面ABE ，又CD ⊂平面CDE ，所以平面ABE ⊥平面CDE .(2)由(1)可知，CD ⊥平面ABME ，又AM ⊂平面ABME ，所以CD ⊥AM .而点A 到直线CD 的距离为22，故AM =2 2.在等腰直角三角形CDE 中，由EC =ED =2,得CD =2,MC =MD =ME =1.在等腰三角形BCD 中，由MC =MD =1，BC =BD =6，得BM = 5.在平行四边形ABME 中，AE =BM =5，AB =EM =1，AM =22，由余弦定理得cos ∠MEA =EM 2+AE 2-AM 22EM ·AE=-55，所以cos ∠BME =55，所以BE =BM 2+EM 2-2BM ·EM cos ∠BME =2.因为BE 2+ME 2=22+12=5 2=BM 2，所以BE ⊥ME .因为平面ABME ⊥平面CDE ，平面ABME 和平面CDE 的交线为ME ，BE 在平面ABME 内.所以BE ⊥平面CDE .如图，以E 为坐标原点，EC ,ED ,EB 分别为x ,y ,z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则E 0,0,0 ,C 2,0,0 ,D 0,2,0 ,B 0,0,2 ,A -22,-22,2 ,F -24,-24,1.所以CD =-2,2,0 ,DB =0,-2,2 ,FB =24,24,1 .设平面BCD 的法向量为m=x 1,y 1,z 1 ，则m ⋅CD=0m ⋅DB =0，即-2x 1+2y 1=0-2y 1+2z 1=0 .则可取x 1=2，得m=2,2,2 .设平面BDF 的法向量为n =x 2,y 2,z 2 ，则n ⋅FB =0n ⋅DB=0，即24x 2+24y 2+z 2=0-2y 2+2z 2=0.取z 2=1，则n=-32,2,1 ．设平面BDF 与平面BCD 的夹角为θ，则cos θ=m ⋅n m ⋅n =-3210×21=10535.所以平面BDF 与平面BCD 夹角的余弦值为10535.5(2024·辽宁·二模)棱长均为2的斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1在平面ABC 内的射影O 在棱AC 的中点处，P 为棱A 1B 1(包含端点)上的动点．(1)求点P 到平面ABC 1的距离；(2)若AP ⊥平面α，求直线BC 1与平面α所成角的正弦值的取值范围．【答案】(1)23913；(2)25,104.【分析】(1)以O 为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABC 1的法向量，再利用点到平面距离的向量求法求解即得.(2)由向量共线求出向量AP的坐标，再利用线面角的向量求法列出函数关系，并求出函数的值域即可.【详解】(1)依题意，A 1O ⊥平面ABC ，OB ⊥AC (底面为正三角形)，且A 1O =OB =3，以O 为原点，OB ,OC ,OA 1的方向分别为x ,y ,z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则O (0,0,0),A (0,-1,0),B (3,0,0),C (0,1,0),A 1(0,0,3),C 1(0,2,3)，AC 1 =(0,3,3)，BC 1 =(-3,2,3)，AA 1 =(0,1,3)，由A 1B 1⎳AB ，A 1B 1⊄平面ABC 1，AB ⊂平面ABC 1，则A 1B 1⎳平面ABC 1，即点P 到平面ABC 1的距离等于点A 1到平面ABC 1的距离，设n =(x ,y ,z )为平面ABC 1的一个法向量，由n ⋅AC 1=3y +3z =0n ⋅BC 1=-3x +2y +3z =0，取z =3，得n=(1,-3,3)，因此点A 1到平面ABC 1的距离d =|AA 1 ⋅n||n |=2313=23913，所以点P 到平面ABC 1的距离为23913．(2)设A 1P =λA 1B 1 ，λ∈[0,1]，则AP =AA 1 +A 1P =AA 1 +λAB=(0,1,3)+λ(3,1,0)=(3λ,1+λ,3)，由AP ⊥α，得AP为平面α的一个法向量，设直线BC 1与平面α所成角为θ，则sin θ=|cos ‹BC 1 ,AP ›|=|BC 1 ⋅AP||BC 1 ||AP |=|5-λ|10⋅3λ2+(1+λ)2+3=5-λ25⋅2λ2+λ+2，令t =5-λ，则λ=5-t ，t ∈[4,5]，则sin θ=t 25⋅2(5-t )2+(5-t )+2=t25⋅2t 2-21t +57=125⋅2-21t+57t 2=125571t-7382+576，由t ∈[4,5]，得1t ∈15,14 ，于是571t -738 2+576∈225,516，25⋅571t -738 2+576∈2105,52 ，则sin θ∈25,104，所以直线BC 1与平面α所成角的正弦值的取值范围是25,104.6(2024·重庆·模拟预测)在如图所示的四棱锥P -ABCD 中，已知AB ∥CD ，∠BAD =90°，CD =2AB ，△PAB 是正三角形，点M 在侧棱PB 上且使得PD ⎳平面AMC ．(1)证明：PM =2BM ；(2)若侧面PAB ⊥底面ABCD ，CM 与底面ABCD 所成角的正切值为311，求二面角P -AC -B 的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)1010．【分析】(1)连接BD 与AC 交于点E ，连接EM ，由已知得AB CD=EBED ，由线面平行的性质得PD ∥EM ，根据三角形相似可得EB ED =BM PM=12，即PM =2BM(2)设AB 的中点O ，首先由已知得PO ⊥底面ABCD ，在△PAB 中过点M 作MF ∥PO 交AB 于点F ，得MF ⊥底面ABCD ，则∠MCF 为CM 与底面ABCD 所成角，在底面ABCD 上过点O 作OG ⊥AC 于点G ，则∠PGO 是二面角P -AC -B 的平面角，根据条件求解即可【详解】(1)证明：连接BD 与AC 交于点E ，连接EM ，在△EAB 与△ECD 中，∵AB ∥CD ，∴AB CD=EBED ，由CD =2AB ，得ED =2EB ，又∵PD ⎳平面AMC ，而平面PBD ∩平面AMC =ME ，PD ⊂平面PBD ，∴PD ∥EM ，∴在△PBD 中，EB ED =BM PM=12，∴PM =2BM ；(2)设AB 的中点O ，在正△PAB 中，PO ⊥AB ，而侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB ∩底面ABCD =AB ，且PO ⊂平面PAB ，∴PO ⊥底面ABCD ，在△PAB 中过点M 作MF ⎳PO 交AB 于点F ，∴MF ⊥底面ABCD ，∴∠MCF 为CM 与底面ABCD 所成角，∴MF CF=311，设AB =6a ，则MF=3a，∴CF=11a，BF=MF3=a，则在直角梯形ABCD中，AF=5a，而CD=12a，则AD=11a2-12a-5a2=62a，在底面ABCD上过点O作OG⊥AC于点G，则∠PGO是二面角P-AC-B的平面角，易得OA=3a，AC=66a，在梯形ABCD中，由OAOG=ACAD⇒3aOG=66a62a，得OG=3a，在Rt△POG中，PG=30a，∴cos∠PGO=OGPG=1010．7(2024·安徽·模拟预测)2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABG-CDEHF是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，AB=8m，AD=4m，ED=CF=1m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，GA=GB=5m，HE=HF，平面ABG⊥平面ABCD．(1)求点H到平面ABCD的距离；(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)4(2)413【分析】(1)取AB,CD的中点M,N，证得平面ADE⎳平面MNHG，得到AE⎳GH，再由平面ABG⎳平面CDEHG，证得AG⎳EH，得到平行四边形AGHE，得到GH=AE，求得HN=4，结合HN⊥平面ABCD，即可求解；(2)以点N为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面BFHG和平面AGHE的法向量n =(1,3,4)和m =(1,-3,4)，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】(1)如图所示，取AB,CD的中点M,N，连接GM,MN,HN，因为GA=GB，可得GM⊥AB，又因为平面ABG⊥平面ABCD，且平面ABG∩平面ABCD=AB，GM⊂平面ABG，所以GM⊥平面ABCD，同理可得：HN⊥平面ABCD，因为ED⊥平面ABCD，所以ED⎳HN，又因为ED⊄平面MNHG，HN⊂平面MNHG，所以ED⎳平面MNHG，因为MN⎳AD，且AD⊄平面MNHG，MN⊂平面MNHG，所以AD⎳平面MNHG，又因为AD∩DE=D，且AD,DE⊂平面ADE，所以平面ADE⎳平面MNHG，因为平面AEHG与平面ADE和平面MNHG于AE,GH，可得AE⎳GH，又由GM⎳HN，AB⎳CD，且AB∩GM=M和CD∩HN=N，所以平面ABG⎳平面CDEHG，因为平面AEHG与平面ABG和平面CDEHF于AG,EH，所以AG⎳EH，可得四边形AGHE 为平行四边形，所以GH =AE ，因为AE =AD 2+DE 2=42+12=17，所以GH =17，在直角△AMG ，可得GM =GB 2-AB 22=52-42=3，在直角梯形GMNH 中，可得HN =3+17-42=4，因为HN ⊥平面ABCD ，所以点H 到平面ABCD 的距离为4.(2)解：以点N 为原点，以NM ,NC ,NH 所在的直线分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则E (0,-4,1),F (0,4,1),G (4,0,3),H (0,0,4)，可得HE =(0,-4,-3),HF =(0,4,-3),HG=(4,0,-1)，设平面BFHG 的法向量为n=(x ,y ,z )，则n ⋅HG=4x -z =0n ⋅HF=4y -3z =0，取z =4，可得x =1,y =3，所以n=(1,3,4)，设平面AGHE 的法向量为m=(a ,b ,c )，则m ⋅HG=4a -c =0m ⋅HE=-4b -3c =0，取c =4，可得a =1,b =-3，所以m=(1,-3,4)，则cos m ,n =m ⋅n m n=1-9+161+9+16⋅1+9+16=413，即平面BFHG 与平面AGHE 所成锐二面角的余弦值413.8(2024·重庆·模拟预测)如图，ACDE 为菱形，AC =BC =2，∠ACB =120°，平面ACDE ⊥平面ABC ，点F 在AB 上，且AF =2FB ，M ，N 分别在直线CD ，AB 上．(1)求证：CF ⊥平面ACDE ；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若∠EAC =60°，MN 为直线CD ，AB 的公垂线，求ANAF的值；(3)记直线BE 与平面ABC 所成角为α，若tan α>217，求平面BCD 与平面CFD 所成角余弦值的范围．【答案】(1)证明见解析(2)AN AF=913(3)528,255 【分析】(1)先通过余弦定理及勾股定理得到CF ⊥AC ，再根据面面垂直的性质证明；(2)以C 为原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系C -xyz ，利用向量的坐标运算根据MN ⋅CD =0MN ⋅AF =0，列方程求解即可；(3)利用向量法求面面角，然后根据tan α>217列不等式求解.【详解】(1)AB 2=AC 2+BC 2-2AC ⋅BC ⋅cos ∠ACB =12，AB =23，AF =2FB ，所以AF =433，CF=13CA +23CB ，CF 2=19CA 2+49CB 2+49CA ⋅CB =43，AC 2+CF 2=4+43=163=AF 2，则CF ⊥AC ，又因为平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE ∩平面ABC =AC ，CF ⊂面ABC ，故CF ⊥平面ACDE ；(2)以C 为原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系C -xyz ，由∠EAC =60°，可得∠DCA =120°，DC =2，所以C 0,0,0 ,D -1,0,3 ,A 2,0,0 ,F 0,233,0 所以AF =-2,233,0 ，CD =-1,0,3 ，设AN =λAF =-2λ,233λ,0 ，则N 2-2λ,233λ,0 ，设CM =μCD ，则M -μ,0,3μ ，MN =2-2λ+μ,233λ,-3μ ，由题知，MN ⋅CD=0MN ⋅AF =0 ⇒2λ-2-μ-3μ=04λ-4-2μ+43λ=0 ，解得λ=913，μ=-213，故AN AF=913；(3)B -1,3,0 ，设∠EAC =θ，则E 2-2cos θ,0,2sin θ ，BE=3-2cos θ,-3,2sin θ ，可取平面ABC 的法向量n=0,0,1 ，则sin α=cos n ,BE=n ⋅BEn ⋅BE =2sin θ 3-2cos θ 2+3+4sin 2θ=sin θ4-3cos θ，cos α=4-3cos θ-sin 2θ4-3cos θ，则tan α=sin θ4-3cos θ-sin 2θ>217，整理得10cos 2θ-9cos θ+2<0，故cos θ∈25,12，CF =0,23,0，CD =-2cos θ,0,2sin θ ，CB =-1,3,0 ，记平面CDF 的法向量为n 1 =x ,y ,z ，则有n 1 ⋅CD =0n 1 ⋅CF =0 ⇒-2x cos θ+2z sin θ=023y =0，可得n 1=sin θ,0,cos θ ，记平面CBD 的法向量为n 2 =a ,b ,c ，则有n 2 ⋅CD=0n 2 ⋅CB =0 ⇒-2a cos θ+2c sin θ=0-a +3b =0，可得n 2=3sin θ,sin θ,3cos θ ，记平面BCD 与平面CFD 所成角为γ，则cos γ=cos n 1 ,n 2 =33+sin 2θ，cos θ∈25,12 ，所以sin 2θ∈34,2125 ，3+sin 2θ∈152,465 ，故cos γ=33+sin 2θ∈528,255 ．9(2024·安徽·二模)将正方形ABCD 绕直线AB 逆时针旋转90°，使得CD 到EF 的位置，得到如图所示的几何体．(1)求证：平面ACF ⊥平面BDE ；(2)点M 为DF上一点，若二面角C -AM -E 的余弦值为13，求∠MAD ．【答案】(1)证明见解析(2)∠MAD =45°【分析】(1)根据面面与线面垂直的性质可得BD ⊥AF ，结合线面、面面垂直的判定定理即可证明；(2)建立如图空间直角坐标系，设∠MAD =α，AB =1，利用空间向量法求出二面角C -AM -E 的余弦值，建立方程1-sin αcos α1+sin 2α1+cos 2α=13，结合三角恒等变换求出α即可.【详解】(1)由已知得平面ABCD ⊥平面ABEF ，AF ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ，AF ⊂平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，故BD ⊥AF ，因为ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，AC ，AF ⊂平面ACF ，AC ∩AF =A ，所以BD ⊥平面ACF ，又BD ⊂平面BDE ，所以平面ACF ⊥平面BDE .(2)由(1)知AD ，AF ，AB 两两垂直，以AD ，AF ，AB 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图.设∠MAD =α，AB =1，则A 0,0,0 ，M cos α,sin α,0 ，C 1,0,1 ，E 0,1,1 ，故AM =cos α,sin α,0 ，AC =1,0,1 ，AE =0,1,1设平面AMC 的法向量为m =x 1,y 1,z 1 ，则m ⋅AC =0，m ⋅AM=0故x 1+z 1=0x 1cos α+y 1sin α=0，取x 1=sin α，则y 1=-cos α，z 1=-sin α所以m=sin α,-cos α,-sin α设平面AME 的法向量为n =x 2,y 2,z 2 ，n ⋅AE =0，n ⋅AM=0故y 2+z 2=0x 2cos α+y 2sin α=0，取x 2=sin α，则y 2=-cos α，z 2=cos α所以n=sin α,-cos α,cos α ，所以cos m ,n =1-sin αcos α1+sin 2α1+cos 2α，由已知得1-sin αcos α1+sin 2α1+cos 2α=13，化简得：2sin 22α-9sin2α+7=0，解得sin2α=1或sin2α=72(舍去)故α=45°，即∠MAD =45°.10(2024·安徽黄山·二模)如图，已知AB 为圆台下底面圆O 1的直径，C 是圆O 1上异于A ,B 的点，D 是圆台上底面圆O 2上的点，且平面DAC ⊥平面ABC ，DA =DC =AC =2，BC =4，E 是CD 的中点，BF =2FD ．(1)证明：DO 2⎳BC ；(2)求直线DB 与平面AEF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)68585【分析】(1)取AC 的中点O ，根据面面垂直的性质定理，可得DO ⊥平面ABC ，即可求证DO 2⎳OO 1，进而可证矩形，即可根据线线平行以及平行的传递性求解.(2)建系，利用向量法，求解法向量n =1,-12,3 与方向向量DB =(-1,4,-3)的夹角，即可求解．【详解】(1)证明：取AC 的中点为O ，连接DO ，OO 1，O 1O 2，∵DA =DC ，O 为AC 中点，∴DO ⊥AC ，又平面DAC ⊥平面ABC ，且平面DAC ∩平面ABC =AC ，DO ⊂平面DAC ,∴DO ⊥平面ABC ，∴DO ⎳O 1O 2，DO =O 1O 2，故四边形DOO 1O 2为矩形，∴DO 2⎳OO 1，又O ，O 1分别是AC ，AB 的中点，∴OO 1⎳BC ，∴DO 2⎳BC ；(2)∵C 是圆O 1上异于A ，B 的点，且AB 为圆O 1的直径，∴BC ⊥AC ，∴OO 1⊥AC ，∴如图以O 为原点建立空间直角坐标系，由条件知DO =3，∴A (1,0,0),B (-1,4,0),C (-1,0,0),D (0,0,3)，∴E -12,0,32 ，设F (x ,y ,z )，∴BF =(x +1,y -4,z )，FD=(-x ,-y ,3-z )，由BF =2FD ，得F -13,43,233 ，∴AF =-43,43,233 ，∴DB =(-1,4,-3)，AE =-32,0,32 ，设平面AEF 法向量为n=(x 1,y 1,z 1)，则n ⋅AE=-32x 1+32z 1=0n ⋅AF =-43x 1+43y 1+233z 1=0，取n =1,-12,3 ，设直线BD 与平面AEF 所成角为θ，则sin θ=|cos <n ,DB>|=625⋅172=68585∴直线BD 与平面AEF 所成角的正弦值为68585．11(2024·黑龙江哈尔滨·一模)正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的下底面边长为22，A 1B 1=12AB ，M 为BC 中点，已知点P 满足AP =1-λ AB +12λ⋅AD +λAA 1，其中λ∈0,1 ．(1)求证D 1P ⊥AC ；(2)已知平面AMC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当λ=23时，求直线DP 与平面AMC 1所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)241391【分析】(1)方法一运用空间向量的线性运算，进行空间位置关系的向量证明即可.方法二：建立空间直角坐标系，进行空间位置关系的向量证明即可.(2)建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可.【详解】(1)方法一：∵A 1B 1=12AB ，∴AA 1 ⋅AB =AA 1 ⋅AD =22×22=2．∵D 1A =-12AD-AA 1∴D 1P =D 1A +AP =1-λ AB +12λ-12AD+λ-1 AA 1∴D 1P ⋅AC =1-λ AB +12λ-12AD +λ-1 AA 1 ⋅AB +AD =1-λ AB 2+12λ-12 AD2+λ-1 AB ⋅AA 1 +λ-1 AD ⋅AA 1=81-λ +812λ-12+4λ-1 =0．∴D 1P ⊥AC ，即D 1P ⊥AC ．方法二：以底面ABCD 的中心O 为原点，以OM 方向为y 轴，过O 点平行于AD 向前方向为x 轴，以过点O 垂直平面ABCD 向上方向为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h ，则有 A 2,-2,0 ，B 2,2,0 ，C -2,2,0 ，D -2,-2,0 ，A 122,-22,h ，C 1-22,22,h ，D 1-22,-22,h ，M 0,2,0 ，AC =-22,22,0AP =1-λ 0,22,0 +12λ-22,0,0 +λ-22,22,0 =-322λ,22-322λ,λhD 1A =322,-22,-h ，D 1P =D 1A +AP =-322λ+322,-322λ+322,λh -h ．故AC ⋅D 1P=0，所以D 1P ⊥AC ．(2)设平面ABCD 的法向量为n=0,0,1 ，设平面AMC 1的法向量为m =x ,y ,z ，AM =-2,22,0 ，AC 1 =-322,322,h ，则有AM ⋅m=0AC 1 ⋅m=0 ，即-2x +22y =0-322x +322y +hz =0，令x =22h ，则m=22h ,2h ,3 ．又题意可得cos m ,n =38h 2+2h 2+9=37，可得h =2．因为λ=23，经过计算可得P 0,0,43 ，D 1-22,-22,2 ，D 1P =2,2,43．将h =2代入，可得平面AMC 1的法向量m=42,22,3 ．设直线DP 与平面AMC 1所成角的为θsin θ=cos DP ,m =8+4+42+2+16932+8+9=241391．12(2024·辽宁·三模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ,AC =AA 1=2，AB =1,BC =3，点E 为线段AC 的中点.(1)求证：AB 1∥平面BEC 1；(2)若∠A 1AC =π3，求二面角A -BE -C 1的余弦值.【答案】(1)证明见详解(2)-22【分析】(1)连接BC 1，交B 1C 于点N ，连接NE ，利用线面平行的判定定理证明；(2)由已知可知，△AA 1C 为等边三角形，故A 1E ⊥AC ，利用面面垂直的性质定理可证得A 1E ⊥底面ABC ，进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值.【详解】(1)连接BC 1，交B 1C 于点N ，连接NE ，因为侧面BCC 1B 1是平行四边形，所以N 为B 1C 的中点，又因为点E 为线段AC 的中点，所以NE ⎳AB 1，因为AB 1⊄面BEC 1，NE ⊂面BEC 1，所以AB 1⎳面BEC 1.(2)连接A 1C ，A 1E ，因为∠A 1AC =π3，AC =AA 1=2，所以△AA 1C 为等边三角形，A 1C =2，因为点E 为线段AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ，因为侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ，平面ACC 1A 1∩平面ABC =AC ，A 1E ⊂平面ACC 1A 1，所以A 1E ⊥底面ABC ，过点E 在底面ABC 内作EF ⊥AC ，如图以E 为坐标原点，分布以EF ，EC ，EA 1 的方向为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系，则E 0,0,0 ，B 32,-12,0 ，C 10,2,3 ，所以EB =32,-12,0 ，EC 1 =0,2,3 ，设平面BEC 1的法向量为m=x ,y ,z ，则m ⋅EB =32x -12y =0m ⋅EC 1=2y +3z =0，令x =1，则y =3,z =-2，所以平面BEC 1的法向量为m=1,3,-2 ，又因为平面ABE 的法向量为n=0,0,1 ，则cos m ,n =-21+3+4=-22，经观察，二面角A -BE -C 1的平面角为钝角，所以二面角A -BE -C 1的余弦值为-22.13(2024·广东广州·一模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，△DCP 是等边三角形，∠DCB =∠PCB =π4，点M ，N 分别为DP 和AB 的中点.(1)求证：MN ⎳平面PBC ；(2)求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；(3)求CM 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)33.【分析】(1)取PC 中点E ，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得.(2)过P 作PQ ⊥BC 于点Q ，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.(3)建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】(1)取PC 中点E ，连接ME ,BE ，由M 为DP 中点，N 为AB 中点，得ME ⎳DC ,ME =12DC ，又BN ⎳CD ,BN =12CD ，则ME ⎳BN ,ME =BN ，因此四边形BEMN 为平行四边形，于是MN ⎳BE ，而MN ⊄平面PBC ,BE ⊂平面PBC ，所以MN ⎳平面PBC .(2)过P 作PQ ⊥BC 于点Q ，连接DQ ，由∠DCB =∠PCB =π4,CD =PC ,QC =QC ，得△QCD ≌△QCP ，则∠DQC =∠PQC =π2，即DQ ⊥BC ，而PQ =DQ =2,PQ 2+DQ 2=4=PD 2，因此PQ ⊥DQ ，又DQ ∩BC =Q ,DQ ,BC ⊂平面ABCD ，则PQ ⊥平面ABCD ，PQ ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .(3)由(2)知，直线QC ,QD ,QP 两两垂直，以点Q 为原点，直线QC ,QD ,QP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则C (2,0,0),P (0,0,2),D (0,2,0),M 0,22,22,A (-2,2,0)，CM =-2,22,22,AD =(2,0,0),DP =(0,-2,2)，设平面PAD 的一个法向量n =(x ,y ,z )，则n ⋅AD=2x =0n ⋅DP=-2y +2z =0，令y =1，得n=(0,1,1)，设CM 与平面PAD 所成角为θ，sin θ=|cos ‹CM ,n ›|=|CM ⋅n||CM ||n |=23⋅2=33，所以CM 与平面PAD 所成角的正弦值是33.14(2024·广东梅州·二模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，△PAD 为等边三角形，AD ⎳BC ，AD ⊥AB ，AD =AB =2BC =2．(1)求证：AD ⊥PC ；(2)点N 在棱PC 上运动，求△ADN 面积的最小值；(3)点M 为PB 的中点，在棱PC 上找一点Q ，使得AM ⎳平面BDQ ，求PQQC的值．【答案】(1)证明见解析(2)2217(3)4【分析】(1)取AD 的中点H ，连接PH ，CH ，依题意可得四边形ABCH 为矩形，即可证明CH ⊥AD ，再由PH ⊥AD ，即可证明AD ⊥平面PHC ，从而得证；(2)连接AC 交BD 于点G ，连接MC 交BQ 于点F ，连接FG ，即可得到CG AG=12，再根据线面平行的性质得到CF FM =12，在△PBC 中，过点M 作MK ⎳PC ，即可得到MKCQ=2，最后由PQ =2MK 即可得解.【详解】(1)取AD 的中点H ，连接PH ，CH ，则AH ⎳BC 且AH =BC ，又AD ⊥AB ，所以四边形ABCH 为矩形，所以CH ⊥AD ，又△PAD 为等边三角形，所以PH ⊥AD ，PH ∩CH =H ，PH ,CH ⊂平面PHC ，所以AD ⊥平面PHC ，又PC ⊂平面PHC ，所以AD ⊥PC .(2)连接HN ，由AD ⊥平面PHC ，又HN ⊂平面PHC ，所以AD ⊥HN ，所以S △ADH =12AD ⋅HN =HN ，要使△ADN 的面积最小，即要使HN 最小，当且仅当HN ⊥PC 时HN 取最小值，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ，又HC ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥HC ，在Rt △HPC 中，CH =2，PH =3，所以PC =CH 2+PH 2=7，当HN ⊥PC 时HN =PH ⋅CH PC =237=2217，所以△ADN 面积的最小值为2217.(3)连接AC 交BD 于点G ，连接MC 交BQ 于点F ，连接FG ，因为AD ⎳BC 且AD =2BC =2，所以△CGB ∽△AGD ，所以CG AG =BC AD=12，因为AM ⎳平面BDQ ，又AM ⊂平面ACM ，平面BDQ ∩平面ACM =GF ，所以GF ⎳AM ，所以CF FM =CG AG=12，在△PBC 中，过点M 作MK ⎳PC ，则有MK CQ =MF CF=2，所以PQ =2MK ，所以PQ =2MK =4CQ ，即PQQC=415(2024·广东广州·模拟预测)如图所示，圆台O 1O 2的轴截面A 1ACC 1为等腰梯形，AC =2AA 1=2A 1C 1=4,B 为底面圆周上异于A ,C 的点，且AB =BC ,P 是线段BC 的中点.(1)求证：C 1P ⎳平面A 1AB .(2)求平面A 1AB 与平面C 1CB 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)17【分析】(1)取AB 的中点H ，连接A 1H ,PH ，证明四边形A 1C 1PH 为平行四边形，进而得C 1P ⎳A 1H ，即可证明；(2)建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用平面夹角公式求解.【详解】(1)取AB 的中点H ，连接A1H ,PH ，如图所示，因为P 为BC 的中点，所以PH ⎳AC ,PH =12AC .在等腰梯形A 1ACC 1中，A 1C 1⎳AC ,A 1C 1=12AC ，所以HP ⎳A 1C 1,HP =A 1C 1，所以四边形A 1C 1PH 为平行四边形，所以C 1P ⎳A 1H ，又A 1H ⊂平面A 1AB ,C 1P ⊄平面A 1AB ，所以C 1P ⎳平面A 1AB .(2)因为AB =BC ,故O 2B ⊥AC ，以直线O 2A ,O 2B ，O 2O 1分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形A 1ACC 1中，AC =2AA 1=2A 1C 1=4，此梯形的高为h =AA 21-AC -A 1C 122= 3.因为A 1C 1=12AC ,A 1C 1⎳AC ，。
专项练习：立体几何基本概念30练
立体几何基本概念30练选择题（共30小题）1．（2012•浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β2．（2011•浙江）若直线l不平行于平面α，且l⊆α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．（2011•浙江）下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β4．（2010•浙江）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A若l⊥m，m⊆⊂α，则l⊥α B若l⊥α，l∥m，则m⊥αC若l∥α，m⊆α，则l∥m D若l∥α，m∥α，则l∥m5．（2010•江西）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）6．（2008•江西）设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（）A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直7．（2008•湖南）设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊆α，n⊆α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊆α，则m⊥βD．D.若α⊥β，m⊥β，m⊆α，则m∥α8．（2008•湖南）已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则（）A．n⊥βB．n∥β，或n⊆βC．n⊥αD．n∥α，或n⊆α9．（2008•海南）已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∈l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β10．（2008•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n11．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a，b与α所成的角相等，则α∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b12．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γD．若m⊥β，m∥α，则α⊥β13．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n③m∥n，m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③14．平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m′和n′，给出下列四个命题：①m′⊥n′⇒m⊥n；②m⊥n⇒m′⊥n′；③m′与n′相交⇒m与n相交或重合；④m′与n′平行⇒m与n平行或重合．其中不正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．415．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．n∥m，n⊥α⇒m⊥α16．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线17．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．418．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（）A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上19．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都平行于γ；②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．其中，可以判定α与β平行的条件有（）A．1 B．2 C．3 D．420．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；④若m、n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β其中真命题是（）A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④21．已知a、b、c是三条直线，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥β，b⊂β，则a∥b；④若a与b异面，且a∥β，则b与β相交；⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．422．已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．323．不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：①，②，③，④其中假命题有（）个A．0 B．1 C．2 D．324．在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（）A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若α∩β=m，且l⊥m，则l∥αD．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α25．（2004•湖北）如图是正方体的平面展开图．在这个正方形中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④26．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA．①②B．②③C．③④D．①④27．已知三条直线m、n、l，三个平面α、β、γ，下列四个命题中，正确的是（）A．B．C．D．28．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面rB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β29．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交30．已知直线l、m，平面α、β，且l⊥a，m⊥β，给出下列四个命题；（1）若α∥β，则l⊥m．（2）若l⊥m，则α∥β．（3）若α⊥β，则l∥m．（4）若l∥m，则α//β．其中正确命题的个数是（）个A．1 B．2 C．3 D．4参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2012•浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面（）2．（2011•浙江）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）3．（2011•浙江）下列命题中错误的是（）4．（2010•浙江）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B若l⊥α，l∥m，则m⊥α C若l∥α，m⊂α，则l∥m D若l∥α，m∥α，则l∥m5．（2010•江西）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）6．（2008•江西）设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（）7．（2008•湖南）设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A若m∥α，n∥α，则m∥n B若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β，m⊥β，m⊄α，则m∥αC若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D若α⊥β9．（2008•海南）已知平面α⊥平面β，α∩β=l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）10．（2008•安徽）已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）11．（2007•天津）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）12．（2007•辽宁）若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）13．（2007•江苏）已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β其中正确命题的序号是（ ）14．（2007•湖北）平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m′和n′，给出下列四个命题：①m′⊥n′⇒m ⊥n ；②m ⊥n ⇒m′⊥n′；③m′与n′相交⇒m 与n相交或重合；④m′与n′平行⇒m 与n 平行或重合．其中不正确的命题个数是（ ）15．（2007•福建）已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）16．（2006•重庆）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）17．（2006•辽宁）给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行．②垂直于同一平面的两个平面互相平行．③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行．④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是（）18．（2006•江西）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（）19．（2005•重庆）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都平行于γ②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．其中，可以判定α与β平行的条件有（）20．（2005•辽宁）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β；④若m 、n 是异面直线，m ⊥α，m ∥β，n ⊥β，n ∥α，则α⊥β其中真命题是（ ）21．（2005•湖北）已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；②若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥β，b ⊂β，则a ∥b ；④若a 与b 异面，且a ∥β，则b 与β相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直．其中真命题的个数是（ ）22．（2005•福建）已知直线m 、n 与平面α，β，给出下列三个命题：①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥α，则n ⊥m ；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是（ ）23．（2004•重庆）不同直线m ，n 和不同平面α，β，给出下列命题：①，②，③，④其中假命题有：（ ）24．（2004•上海）在下列关于直线l 、m与平面α、β的命题中，真命题是（ ）25．（2004•湖北）如图是正方体的平面展开图．在这个正方形中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）26．（2004•北京）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β27．（2002•北京）已知三条直线m、n、l，三个平面α、β、γ，下列四个命题中，正确的是（）28．（2003•上海）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）29．（2002•天津）已知m ，n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，α∩β=l ，则l （ ）30．（2002•上海）已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m ⊥β，给出下列四个命题；（1）若α∥β，则l ⊥m ．（2）若l ⊥m ，则α∥β（3）若α⊥β，则l ∥m ．（4）若l ∥m ，则α//β其中正确命题的个数是（ ）。
千题百炼- 立体几何综合大题必刷100题(原卷版)
专题20 立体几何综合大题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点.（1）求点B 到直线1AC 的距离；（2）求直线FC 到平面1AEC 的距离.2．如图，正方形11ABB A 的边长为2，11,AB A B 的中点分别为C ，1C ，正方形11ABB A 沿着1CC 折起形成三棱柱111ABC A B C -，三棱柱111ABC A B C -中，1,AC BC AD AA λ⊥=.（1）证明:当12λ=时，求证：1DC ⊥平面BCD ；（2）当14λ=时，求二面角1D BC C --的余弦值.3．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的正切值.4．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90.BAC ∠=︒点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.（1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE ，求线段AH 的长.5．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图.求异面直线PM 与OB 所成的角的余弦值.6．如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，三角形PAB 为正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 是棱AD 的中点．（1）求证：PC BM ⊥；（2）求二面角B PM C --的正弦值．7．已知点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，BC 的中点.现将四边形EFCD 沿EF 折起，使二面角C EF B --为直二面角，如图所示.（1）若点G ，H 分别是AC ，BF 的中点，求证：//GH 平面EFCD ；（2）求直线AC 与平面ABFE 所成角的正弦值.8．已知如图1所示，等腰ABC 中，4AB AC ==，BC =D 为BC 中点，现将ABD 沿折痕AD 翻折至如图2所示位置，使得3BDC π∠=，E 、F 分别为AB 、AC 的中点．（1）证明：//BC 平面DEF ；（2）求四面体BCDE 的体积．9．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =2，BC =BB 1=4，1AC AB ==BCC 1=60°.（1）求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1：（2）设二面角C -AC 1-B 的大小为θ，求sinθ的值.10．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，∠BAD =90°，已知PA PC ==，2,3AD AB BC ===.（1）证明：AC PD ⊥；（2）若二面角P AC B --的余弦值为13，求四棱锥P ABCD -的体积.11．如图，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 和侧面BCC 1B 1都是矩形，E 是CD 的中点，D 1E ⊥CD ，AB ＝2BC ＝2．（1）求证：平面CC 1D 1D ⊥底面ABCD ；（2）若平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为3π，求线段ED 1的长度．12．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △是斜边PA 的长为E ，F 分别是棱PA ，PC 的中点，M 是棱BC 上一点．（1）求证：平面DEM ⊥平面PAB ；（2）若直线MF 与平面ABCD E DM F --的余弦值．13．如图所示，四棱锥E ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面EAB ⊥底面ABCD ，EA EB =，F 在侧棱CE 上，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求点D 到平面ACE 的距离．14．在三棱锥B －ACD 中，平面ABD ⊥平面ACD ，若棱长AC ＝CD ＝AD ＝AB ＝1，且∠BAD ＝30°，求点D 到平面ABC 的距离．15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12BB =，E 为棱1AA 的中点.（1）证明：BE ⊥平面11EB C ；（2）求二面角1B EC C --的大小.16．如下图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2SA SD ==，3AB =．（1）求SA 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：AB SD ⊥．17．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120,1,4,ABC AB BC PA ∠=︒===M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ⊥⊥.（1）证明：AB PM ⊥；（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.19．如图，.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I ）求证BC PAC ⊥平面；（II ）设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE AB ∥.（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；（Ⅰ）若1==PA AB ，3AD =，CD =，45CDA ∠=︒，求四棱锥P ABCD -的体积.21．如图，直三棱柱ABC A B C '''-，90BAC ∠=，,AB AC AA λ'==点M ，N 分别为A B '和B C ''的中点． (∠)证明：MN ∠平面A ACC '';(∠)若二面角A MN C '--为直二面角，求λ的值．22．如图，在三棱锥S ABC -中, 侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,90,BAC ∠=︒O 为BC 中点. （∠）证明：SO ⊥平面;ABC（∠）求二面角A SC B --的余弦值.23．如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面是边长为ⅠBAD ＝120°，且PAⅠ平面ABCD ，PA ＝M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MNⅠ平面ABCD ；(2) 过点A 作AQⅠPC ，垂足为点Q ，求二面角A—MN—Q 的平面角的余弦值．24．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====∠O 为AC 的中点． ∠1）证明：PO ⊥平面ABC ∠∠2）若点M在棱BC上，且2，求点C到平面POM的距离．MC MB25．如图，在三棱锥P∠ABC中，P A∠AB∠P A∠BC∠AB∠BC∠P A∠AB∠BC∠2∠D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：P A∠BD∠(2)求证：平面BDE∠平面P AC∠(3)当P A∠平面BDE时，求三棱锥E∠BCD的体积．26．如图，在四棱锥P-ABCD中，PAⅠCD，ADⅠBC，ⅠADC=ⅠPAB=90°，BC=CD=1AD．2（Ⅰ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CMⅠ平面PAB ，并说明理由；（Ⅰ）证明：平面PABⅠ平面PBD ．27．如图，在三棱台ABC–DEF 中，平面BCFEⅠ平面ABC ，ⅠACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（Ⅰ）求证：BFⅠ平面ACFD ；（Ⅰ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.28．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DEⅠ平面A 1C 1F.29．如图，在三棱锥111ABC A B C -中，11BAC 90AB AC 2,4,A AA ∠====，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.∠1）证明：11D A BC A ⊥平面∠∠2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.30．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,,60,AB AD AC CD ABC PA AB BC ⊥⊥∠===，E 是PC 的中点．（∠）证明CD AE ⊥；（∠）证明PD ⊥平面ABE ；--的大小．（∠）求二面角A PD C任务二:中立模式(中档)30-70题31．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F 分别是AD，CD的中点.（1）证明：BD⊥PF；（2）若AD=DB=2，求点C到平面PBD的距离；32．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F 分别是AD，CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若∠BAD=60°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值；33．如图，在四棱锥E -ABCD 中，AB ⊥CE ，AE ⊥CD ，BC AD ∥，AB =3，CD =4，AD =2BC =10.（1）证明：∠AED 是锐角；（2）若AE =10，求二面角A -BE -C 的余弦值.34．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12A E EA =（1）若F 为1BB 的中点，试在11A B 上找一点P ，使//PF 平面1CD E ；（2）若四边形ABCD 是正方形，且1BB 与平面1CD E ，求二面角1E D C D --的余弦值.35．如图1，已知ADE 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，1,2,BC BD BA ===ADE 沿AD 向上折起，使点E 到达点P 位置，如图2所示；且平面PAD ⊥平面PBD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）在（1）的条件下求二面角A PB C --的余弦值．36．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，3AB =，1CD =，AD =60ABC ∠=，30BAD ∠=，点E 在AB 上，满足AD DE ⊥.（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）若点F 为PA 的中点，求平面PCD 与平面DEF 所成角的余弦值.37．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，22PA AB ==，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，E 为PD 的中点，在平面PCD 内作EF PC ⊥于点F .（1）求证：平面AEF ⊥平面PAC ；（2）求二面角P AC E --的余弦值.38．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在AB 、BC 上，且13AE AB =，13BF BC =．（1）求证：11A F C E ⊥；（2）求直线1A F 与平面1B EF 所成角的正弦值．39．如图，在多面体1111ABCD A B C D -中，1111,,,AA BB CC DD 均垂直于平面ABCD ，//AD BC ，11=2AB BC CD AA CC ====，1=1BB ，14AD DD ==.（1）证明：11A C ⊥平面11CDD C ；（2）求1BC 与平面11AA B B 所成角的余弦值.40．某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD 的边长为3，且60ABC ∠=︒，AE AF ==BE DF ==E ，F ，M ，N 汇聚为一点P ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．（1）证明PA ⊥底面ABCD ；（2）设点T 为BC 上的点，且二面角B PA T --，试求PC 与平面P AT 所成角的正弦值．41．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且P A =AB ，90PAB ∠=.（1）证明：PC BD ⊥；（2）若60ABC ∠=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.42．1.如图，正方形ABCD 所在平面与等边ABE △所在平面成的锐二面角为60，设平面ABE 与平面CDE 相交于直线l ．（1）求证：//l CD ；（2）求直线DE 与平面BCE 所成角的正弦值．43．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AB AD ⊥，平面APD ⊥平面ABCD ，点E 在AD 上，且AB BC AE ED ===，PA PD ==.（1）求证：CE PD ⊥.（2）设平面PAB ⋂平面PCD l =，求二面角E l A --的余弦值.44．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ADC =∠︒，4BC =，M ，N 分别为BC ，PC 的中点，1,,CD PD DC PM MD =⊥⊥．（1）证明：BC PM ⊥；（2）若PA =BN 与平面PDC 所成角的正弦值．45．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A到平面1A PO的距离；--的余弦值大小.（2）求二面角1A PB O46．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上的一动点.（1）求证:当点Q为线段A1B的中点时，PQ⊥平面A1BC；BA，试问:是否存在实数λ，使得平面A1PQ与平面B1PQ（2）设BQ=λ1在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由.47．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90ABC ∠=︒，2PA =，AC =（1）求证：平面PBC ⊥平面PAB ；（2）若二面角P BC A --的大小为45︒，过点A 作AN PC ⊥于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的大小．48．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2PA AB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）设点M 在线段PC 上，且二面角C MB A --的余弦值为57，求点M 到底面ABCD 的距离.49．如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长2的等边三角形，PA PC ==F 在线段BC 上，且3FC BF =，D 为AC 的中点，E 为的PD 中点.(Ⅰ)求证：EF //平面PAB ；(Ⅱ)若二面角P AC B --的平面角的大小为2π3，求直线DF 与平面PAC 所成角的正弦值.50．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，侧面是正方形，60DAB ∠=︒，经过对角线1AC 的平面和侧棱1BB 相交于点F ，且12B F BF =．（1）求证：平面1AC F ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角1F AC C --的余弦值．51．直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周的旋转的上底面面积为9π，下底面面积为36π，侧面积为，且二面角111B AA C --为90，P ，Q 分别在线段1CC ，BC 上．（∠）若P ，Q 分别为1CC ，BC 中点，求1AB 与PQ 所成角的余弦值；（∠）若P 为1CC 上的动点、Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AAC C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C --的余弦值．52．正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A BF C --的余弦值；（3）求新多面体为几面体？并证明．53．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P ABCD -，其中AC BD ⊥于O ，4OA OB OD ===，8OC =，PO ⊥平面ABCD ．（1）求证：PD AC ⊥；（2）试验表明，当12PO OA =时，风筝表现最好，求此时直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．54．在陕西汉中勉县的汉江河与定军山武侯坪一带，经常出土有铜、铁扎马钉等兵器文物.扎马钉（如题21图（1））是三国时蜀汉的著名政治家、军事家诸葛亮所发明的一种对付骑兵的武器，状若荆刺，故学名蒺藜，有铜、铁两种.扎马钉有四个锋利的尖爪，随手一掷，三尖撑地，一尖直立向上，推倒上尖，下尖又起，始终如此，使触者不能避其锋而被刺伤.即总有一个尖垂直向上，三尖对称支承于地.简化扎马钉的结构，如图（2），记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）．（Ⅰ）判断四面体1234A A A A -的形状特征； （Ⅱ）若某个出土的扎马钉因年代久远，有一尖爪受损，其长度仅剩其他尖爪长度的23（即4123OA OA '=），如图（3），将2A ，3A ，4A '置于地面，求1OA 与面234A A A '所成角θ的正弦值.55．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.（1）求新多面体的体积；（2）求正八面体AEFBH 中二面角A BF C --的余弦值；（3）判断新多面体为几面体？（只需给出答案，无需证明）56．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，AB CD =，E 为棱PB 上一点，AC 与BD 交于点O ，且AC BD ⊥，1AD =，3BC PC PB ===，PO =（1）证明：AC DE ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角B DC E --E 点位置，若不存在，请说明理由．57．如图，在三棱柱111ABC A B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,AE EF BE ＝＝ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.58．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,2,BAC AB AC A A A B ∠=︒====侧棱1A A ⊥平面,ABC 点D 在棱1CC 上，且1CD CC λ=（1）证明：1BB ⊥平面1AB C ；（2）当二面角C BD A --的余弦值为，求λ的值.59．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，1,45AB BC ABC ∠===，点M 在棱1CC 上，点N 是BC 的中点，且满足1AM B N ⊥.（1）证明：AM ⊥平面11A B N ；（2）若M 是1CC 的中点，求二面角111A B N C --的正弦值.60．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，PB BD PD ===PA =（1）证明：PC ⊥平面ABCD ；（2）如图，取BC 的中点为E ，在线段DE 上取一点F 使得23DF FE =，求二面角F PA C --的大小.61．如图，在底面是菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，60ABC ∠=，1112,AA AC A B A D ====E 在1A D 上．（1）求证：1AA ⊥平面ABCD ；（2）当E 为线段1A D 的中点时，求点1A 到平面EAC 的距离．62．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ，4OP OA ==，3OB =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足()01PM MC λλ=<<．（1）若三棱锥P MBD -体积是169，求λ的值；（2）若直线PA 与平面MBD λ的值．63．光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抹一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA'＝a，现经过AB作与底面ABC所成角为θ的截面，且截面与B'C'，A'C'分别交于不同的两点E，F．（1）试求截面面积S随θ变化的函数关系式S（θ）；（2）当E和F分别为B C''和A C''的中点时，需要在线段AF上寻找一个点Q，用纳米纤维导管连接EQ，使得EQ与AB'所在直线的夹角最小，试求出纤维导管EQ的长．64．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，且E，M分别为BC，PD的中点，点F为棱PC上一动点．（1）证明：平面AEF ⊥平面P AD ．（2）若AB ＝P A ，在线段PC 上是否存在一点F ，使得二面角F ﹣AE ﹣M 定F 的位置；若不存在，说明理由．65．如图，三棱柱111ABC A B C -中，111AA B C =，11120BB C ∠=︒，1190AB C ∠=︒．（1）求证：ABC 为等腰三角形；（2）若11111AB C B AC ∠=∠，11B AB B BA ∠=∠，点M 在线段11B C 上，设111102B M B C λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，若二面角11A CM C --λ的值．66．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB AD ==，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，PA =（1）点E 在线段PC 上，37PE PC =，点F 在线段PD 上，35PF PD =，求证：PC ⊥平面AEF ； （2）设M 是直线AC 上一点，求CM 的长，使得MP 与平面PCD 所成角为45︒．67．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，1AB =，2PA =，E 为PB 的中点，点F 在棱PC 上，且PF PC λ=．（1）求直线CE 与直线PD 所成角的余弦值；（2）当直线BF 与平面CDE 所成的角最大时，求此时λ的值．68．如图，在四棱锥P ABCD ﹣中，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，且1AB BC ==，2AD =，PA PD =，M 为AD 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为（1）求四棱锥PABCD ﹣的体积；（2）在棱CD 上(不含端点)是否存在一点Q ，使得二面角C AP Q --？若存在，请确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由.69．已知四棱锥P ABCD -P 中，底面ABCD 是平行四边形，PA AB =，PAD BAD ∠=∠，,E F 分别是,AB DC 的中点，2,3,AD PF PE ===（1）求证：AD ⊥平面PAB ；（2）若PB =B PC A --的余弦值.70．如图，矩形ABCD 中，AB ADλ=()1λ>，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角C AB E --为直二面角.（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）设F 是BE 的中点，二面角E AC F --的平面角的大小为θ，当[]2,3λ∈时，求cos θ的取值范围.任务三:邪恶模式(困难)70-100题71．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为,PA BD 中点，2PA PD AD ===．（1）求证：//EF 平面PBC ；（2）求二面角E DF A --的余弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．72．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.∠()0BA PA PD ⋅+=；∠PC ∠点P 在平面ABCD 的射影在直线AD 上.如图，平面五边形PABCD 中，PAD △是边长为2的等边三角形，//AD BC ，22AB BC ==，AB BC ⊥，将PAD △沿AD 翻折成四棱锥P ABCD -，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F M 、分别是AB CE 、的中点，且___________.（1）求证：AB FM ⊥；（2）当EF 与平面PAD 所成角最大时，求平面ACE 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.73．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ∆，CEJ ∆，EAK ∆分别向上翻转180︒，使H ，J ，K 三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值．74．2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.（Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；（Ⅱ）现将椭圆()222210x y a b a b+=>>所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B （如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比.75．如图，已知边长为2的正方形材料ABCD ，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正四棱锥的封闭容器.设FCB θ∠=.（1）用θ表示此容器的体积；（2）当此容器的体积最大时，求tan θ的值.76．如图，在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，平面ACD 与平面BCD 垂直且CD =（1）若2AB AC ==，证明：45BCD ∠<︒；（2）若33AB AC ==，当ACD △与BCD 面积之和最大时，求二面角C AB D --的余弦值.77．某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其底面边长为4，高为1（1）当圆弧E 2F 2（包括端点）上的点P 与B 1的最短距离为DB 1Ⅰ平面D 2EF ．（2）若D 1D 2＝3．当点P 在圆弧E 2E 2（包括端点）上移动时，求二面角P ﹣A 1C 1﹣B 1的正切值的取值范围．78．平面凸六边形11MBB NC C 的边长相等,其中11BB C C 为矩形,1190BMC B NC ∠=∠=︒．将BCM ,11B C N △分别沿BC ,11B C 折至ABC ,111A B C ,且均在同侧与平面11BB C C 垂直,连接1AA ,如图所示,E ,G 分别是BC ,1CC 的中点．（1）求证：多面体111ABC A B C -为直三棱柱；（2）求二面角1A EG A --平面角的余弦值．79．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是,PA PC 的中点.（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.80．已知，图中直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，其中124AA AC BD ===.又点,,,E F P Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动，且满足：BF DQ =，1CP BF DQ AE -=-=.（1）求证：,,,E F P Q 四点共面，并证明EF Ⅰ平面PQB .（2）是否存在点P 使得二面角B PQ E --？如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由.81．如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，30ACB ACD ︒∠=∠=90ABC ADC ︒∠=∠=，2AB =，连接是,BD E 边BC 上一点，过E 作// EF BD ，交CD 于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体,P ABEFD -（1）求证：;BD AP ⊥（2）设),(BE EC R λλ=∈若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF λ的值；（3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值.82．设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上，PAB ∆是面积为AC BC ⊥，AC BC =，且平面PAB ⊥平面ABC .（1）确定O 的位置（需要说明理由），并证明：平面POC ⊥平面ABC .（2）与侧面PAB 平行的平面α与棱AC ，BC ，PC 分别交于D ，E ，F ，求四面体ODEF 的体积的最大值.83．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC AC =，2AB DC ==，14AA =.（Ⅰ）求证：1//BC 平面1A CD ；（Ⅰ）求平面11BCC B 与平面1A CD 所成锐二面角的平面角的余弦值.84．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角E 在母线PC 上，且1,AE CE EC BD ==⊥．（1）求证：平面BED ⊥平面ABD ；（2）设线段PO 上动点为M ，求直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值．85．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，且侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=.（1）求二面角1A AB C 所成角θ的正弦值.（2）,M N 分别是棱11A C ，11B C 的中点，又2AP BP =.求经过,,M N P 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -的截面的周长.86．如图，在三棱台111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧面11ACC A 为等腰梯形，且1111AC AA ==，D 为11A C 的中点．（1）证明：AC BD ⊥；（2）记二面角1A AC B --的大小为θ，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求直线1AA 与平面11BB C C 所成角的正弦值的取值范围．87．如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别是AB ，AP 的中点，AB BC ⊥，MD PC ⊥，//MD BC ，1BC =，2AB =，3PB =，CD =PD =（Ⅰ）证明：//PC 平面MND ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．88．设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为12231111()2k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ π--∠+∠++∠+∠，其中Q i （i ＝1，2，…，k ，k ≥3）为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面Q 1PQ 2，平面Q 2PQ 3，…，平面Q k ﹣1PQ k 和平面Q k PQ 1遍历多面体M 的所有以P 为公共点的面．（1）如图1，已知长方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD ，AB ＝BC ＝1，1AA =P 为底面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则求四棱锥P ﹣ABCD 在点P 处的离散曲率的最小值；（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）89．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，3PA PB ==．（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P AB C 的大小．90．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数．91．已知四棱锥T ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线AD ，TA ，TC 分别交于点P ，Q ，R 且AP TQ CRx AD TA CT===，点M 在直线TB 上，N 为CD 的中点，且直线//MN 平面α.（1）设TA a =，TB b =，TC c =，试用基底{},,a b c 表示向量TD ；（2）证明，四面体T ABC -中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；（3）证明，对所有满足条件的平面α，点M 的线段上.92．如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，ⅠABC =3π，ⅠB 1BD =6π，11,B BA B BC ∠=∠11122,3AB A B B B ===。
2023-2024学年高考数学空间向量与立体几何专项练习题(附答案)
A ．B ．223．若直线的方向向量为，平面l bA ．()(1,0,0,2,0,0b n ==-()(0,2,1,1,0,1b n ==--A ．B ．5136．如图，在平行六面体ABCDA．1122a b c -++C．1122a b c --+7．如图，在四面体OABC中，1-16．已知四棱锥P ABCDPC棱上运动，当平面1．C【分析】根据已知结合向量的坐标运算可得出，且.然后根据向量的数量积a b a +=- 14a = 运算求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，且.()1,2,3a b a+=---=-14a =又，()7a b c +⋅= 所以，即有，7a c -⋅= cos ,14cos ,7a c a c a c -⋅=-=所以，.1cos ,2a c =-又，所以.0,180a c ≤≤ ,120a c =︒ 故选：C.2．C【分析】利用中点坐标公式求出中点的坐标，根据空间两点间的距离公式即可得出中线BC 长.【详解】由图可知：，，，(0,0,1)A (2,0,0)B (0,2,0)C 由中点坐标公式可得的中点坐标为，BC (1,1,0)根据空间两点间距离公式得边上的中线的长为.BC 22211(1)3++-=故选：C 3．D【分析】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用向量数量积检验.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，l bαn 若可能，则，即.//l αb n ⊥r r 0b n ⋅=r r A 选项，；()1220b n =⨯-⋅=-≠B 选项，；11305160b n =⨯⨯⋅+⨯+=≠C 选项，；()()01201110b n =⨯-+⨯+⨯-⋅=-≠D 选项，；()1013310b n =⨯+-⨯=⋅+⨯因为，，3AB =4BC =2PA =所以()()(0,0,2,3,0,0,0,0,1P B Q 设平面的法向量为BQD (m x =()(),,3,0,1m BQ x y z ⎧设，2AB AD AS ===则()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,A S C P 设，()0,,2M t t -(1,1,2OM t =--所以1120OM AP t t ⊥=-+-+-=点到平面与平面的距离和为为定值，D 选项正确.M ABCD SAB 22t t -+=，，()2,0,0B ()()2,0,2,0,2,0SB BC =-=设平面的法向量为，SBC (),,n x y z =则，故可设，22020n SB x z n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩()1,0,1n = 要使平面，又平面，//OM SBC OM ⊄SBC 则，()()1,1,21,0,11210OM n t t t t ⋅=---⋅=-+-=-=解得，所以存在点，使平面，B 选项正确.1t =M //OM SBC 若直线与直线所成角为，又，OM AB 30︒()2,0,0AB =则，()()222213cos3022661122OM ABOM ABt t t t ⋅-︒====⋅-++-+-⨯ 整理得，无解，所以C 选项错误.23970,8143730t t -+=∆=-⨯⨯=-<故选：ABD.10．BCD【分析】根据向量的多边形法则可知A 正确；根据向量的三角不等式等号成立条件可知，B 错误；根据共线向量的定义可知，C 错误；根据空间向量基本定理的推论可知，D 错误．【详解】对A ，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确；对B ，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有，即必要,a b a b a b+=+ 性不成立，错误；对C ，根据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，错误；,a b对D ，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x +y +z =1，才有P 、A 、B 、C 四点共面，错误．故选：BCD ．11．AB【分析】以，，作为空间的一组基底，利用空间向量判断A ，C ，利用空间向量法ABAD AA 可得面，再用向量法表示，即可判断B ，利用割补法判断D ；1AC ⊥PMN AH【详解】依题意以，，作为空间的一组基底，ABAD AA 则，，11AC AB AD AA =++ ()1122MN BD AD AB ==-因为棱长均为2，，11π3A AD A AB ∠=∠=所以，，224AB AD == 11π22cos 23AA AD AA AB ⋅=⋅=⨯⨯= 所以()()1112D A A C MN AD A A B AA B++⋅⋅=- ，()2211102AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB ⋅-+-⋅+==⋅+⋅故，即，故A 正确；1AC MN ⊥1AC MN ⊥同理可证，，面，面，PN AC ⊥MN PN N ⋂=MN ⊂PMN PN ⊂PMN 所以面，即面，即为正三棱锥的高，1AC ⊥PMN AH ⊥PMN AH A PMN -所以()()1133AH AN NH AN NP NM AN AP AN AM AN=+=++=+-+- ，()13AP AM AN =++又，，分别是，，的中点，，P M N 1AA AB AD π3PAM PAN MAN ∠=∠=∠=所以，则三棱锥是正四面体，1PA AM AN PM MN PN ======P AMN -所以()11111133222AH AP AM AN AA AB AD ⎛⎫=++=⨯++ ⎪⎝⎭ ，()111166AA AB AD AC =++=所以，故B 正确；116AH AC =因为()211AC AB AD AA =++ ()()()222111222AB ADAA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ ，2426==()21111111=AC AA AB AD AA AA AB AA AD AA AA ⋅=++⋅⋅+⋅+ ，11222222=822=⨯⨯+⨯⨯+⨯设直线和直线所成的角为，1AC 1BB θ则，故C 错误；1111111186cos cos ,cos ,3262AC AA AC BB AC AA AC AA θ⋅=====⨯ ，11111111111111A B D C ABCD A B C D A B D A C B D A B ABC D ADCV V V V V V ------=----其中，1111111111116ABCD A B C D A B D A C B D C B ABC D ADC V V V V V -----====所以，故D 错误.1111113A B D C ABCD A B C D V V --=故选：AB.关键点睛：本题解决的关键点是利用空间向量的基底法表示出所需向量，利用空间向量的数量积运算即可得解.12．AC【分析】对于A ，根据即可算出的值；对于B ，根据计算；对于C ，根据||2a = m a b ⊥ m 计算即可；对于D ，根据求出，从而可计算出.a b λ= 1a b ⋅=- m a b + 【详解】对于A ，因为，所以，解得，故A 正确；||2a = 2221(1)2m +-+=2m =±对于B ，因为，所以，所以，故B 错误；a b ⊥ 2120m m -+-+=1m =对于C ，假设，则，a b λ= (1,1,)(2,1,2)m m λ-=--所以，该方程组无解，故C 正确；()12112m m λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩对于D ，因为，所以，解得，1a b ⋅=- 2121m m -+-+=-0m =所以，，所以，故D 错误.(1,1,0)a =- (2,1,2)b =-- (1,2,2)+=-- a b 故选：AC.13．15【分析】根据线面垂直，可得直线的方向向量和平面的法向量共线，由此列式计算，即得答案.【详解】∵，∴，∴，解得，l α⊥u n ∥ 3123a b ==6,9a b ==∴，15a b +=故1514．2【分析】根据垂直得到，得到方程，求出.()0a a b λ⋅-= 2λ=【详解】，()()()2,1,31,2,12,12,3a b λλλλλ-=---=--- 因为，所以，()a a b λ⊥- ()0a a b λ⋅-= 即，()()2,12,3241293702,1,134λλλλλλλ----=-++-+-=+⋅-=解得.2λ=故215．17【分析】利用向量的加法，转化为，直接求模长即可.CD CA AB BD =++ 【详解】因为.CD CA AB BD =++ 所以()22CD CA AB BD =++ 222222CA CA AB AB AB BD BD CA BD=+⋅++⋅++⋅ 222132022042342⎛⎫=+⨯++⨯++⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭17=所以.17CD = 故答案为.1716．33【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量垂MBD PCD 直求点的位置，并利用向量法求异面直线所成角的余弦值，即可求解正弦值.M 【详解】如图，以点为原点，以向量为轴的正方向，建立空间直角坐标A ,,AB AD AP ,,x y z 系，设，2AD AP ==，，，，()2,0,0B ()0,2,0D ()002P ,,()2,2,0C 设,()()()0,2,22,2,22,22,22DM DP PM DP PC λλλλλ=+=+=-+-=-- ，，，()2,2,0BD =-u u u r ()2,0,0DC =u u u r ()0,2,2DP =- 设平面的法向量为，MBD ()111,,m x y z =r ，()()11111222220220DM m x y z DM m x y λλλ⎧⋅=+-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩33故。
立体几何大题(解析版)
立体几何大题1.空间中的平行关系（1）线线平行（2）线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行（3）线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行（4）面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行（5）面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行6.空间中的垂直关系（1）线线垂直（2）线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直（3）线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行（4）面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直(或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直)（5）面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面6.异面直线所成角cos θ=cos a ,b =|a ⋅b ||a |⋅|b |=|x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2|x 12+y 12+z 12⋅x 22+y 22+z 22(其中θ(0°<θ≤90°)为异面直线a ,b 所成角，a ,b 分别表示异面直线a ,b 的方向向量)7.直线AB 与平面所成角，sin β=AB ⋅m |AB ||m |(m 为平面α的法向量).8.二面角α-l -β的平面角cos θ=m ⋅n |m ||n |(m ，n 为平面α，β的法向量).9.点B 到平面α的距离d =|AB ⋅n | |n |(n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A ∈α).模拟训练一、解答题1(22·23下·湖南·二模)如图，在直三棱柱ABC -A B C 中，∠ABC =120°,AB =BC =2,AC =BB ，点D 为棱BB 的中点，AE =13AC ．(1)求DE 的长度；(2)求平面CDE 与平面BDE 夹角的余弦值．【答案】(1)393(2)34【分析】(1)在△ABC 中，用余弦定理可得到AC =23，在△ABE 中，用余弦定理可得BE =233，即可求得DE =DB 2+BE 2=393；(2)以B 为原点，分别以BE ,BC ,BB 所在的直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，求出平面CDE 与平面BDE 的法向量，即可求解【详解】(1)因为在直三棱柱ABC -A B C 中，∠ABC =120°,AB =BC =2，在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC=22+22-AC 22×2×2=-12，解得AC =23，则AE =13AC =233，在△ABE 中，由余弦定理得cos ∠BAE =AB 2+AE 2-BE 22AB ⋅AE =22+233 2-BE 22×2×233=32，解得BE =233，又AC =BB =23，所以BD =12BB =3，因为BB ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，所以BB ⊥BE ，在直角三角形DBE 中，DE =DB 2+BE 2=(3)2+233 2=393；(2)因为AE =BE =233，所以∠ABE =∠BAE =30°，则∠CBE =∠ABC -∠ABE =120°-30°=90°，则BE ,BC ,BB 两两互相垂直，以B 为原点，分别以BE ,BC ,BB 所在的直线为x ,y ,z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系：则点C 0,2,0 ,D 0,0,3 ,E 233,0,0 ，则CD =0,-2,3 ,CE =233,-2,0 ，设平面CDE 的法向量为n =x ,y ,z ，由n ⋅CD =x ,y ,z ⋅0,-2,3 =-2y +3z =0n ⋅CE =x ,y ,z ⋅233,-2,0 =233x -2y =0 ，得z =233y x =3y，令y =3，得平面CDE 的一个法向量为n =3,3,2 ；平面BDE 的一个法向量为m =0,1,0 ．设平面CDE 与平面BDE 夹角的大小为θ，则cos θ=m ⋅n m n =0,1,0 ⋅3,3,2 1×4=34，故平面CDE 与平面BDE 夹角的余弦值为34．2(22·23下·绍兴·二模)如图，在多面体ABCDE 中，DE ⊥平面BCD ,△ABC 为正三角形，△BCD 为等腰Rt △,∠BDC =90°,AB =2,DE =2.(1)求证：AE ⊥BC ；(2)若AE ⎳平面BCD ，求直线BE 与平面ABC 所成的线面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)63【分析】(1)由线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；(2)法一：由分析可知，∠EBH 就是直线BE 与平面ABC 所成的线面角，设∠AFD =α，当α<90°时，O 与D 重合，可得A ,E 两点重合，不符合题意，当α>90°时，求出EH ,BE ，即可得出答案；法二：建立空间直角坐标系，求出直线BE 的方向向量与平面ABC 的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】(1)设F 为BC 中点，连接AF ,EF ，则由△ABC 为正三角形，得AF ⊥BC ；DE ⊥平面BCD ，且△BCD 为等腰直角三角形，计算可得：BE =CE =2,∴EF ⊥BC .EF ∩AF =F ,EF ,AF ⊂面AEF ，于是BC ⊥面AEF ，AE ⊂面AEF ，从而BC ⊥AE .(2)法一：由(1)可知，过点E 作EH ⊥AF ，垂足为H ，则∠EBH 就是直线BE 与平面ABC 所成的线面角.当AE ⎳平面BCD 时，可得A 到平面BCD 的距离为 2.设∠AFD =α，所以AF ⋅sin α=2，可得sin α=63，当α<90°时，cos α=33，不妨设A 在底面BCD 射影为O ，则FO =1，此时O 与D 重合，可得A ,E 两点重合，不符合题意，舍去；当α>90°时，FO =1，此时O 在DF 的延长线上，作EH ⊥AF ，由于AODE 为矩形，可得AE =DO =2,AE ∥OD ，可得sin ∠EAH =63，可得EH =263.于是sin ∠EBH =EH BE=63.法二：建立如图坐标系，可得F 0,0,0 ,B 1,0,0 ，C -1,0,0 ,D 0,1,0 ,E 0,1,2 ,A 0,a ,b由AF =3，解得a 2+b 2=3，又∵AE ⎳平面BCD ，令n =0,0,1 ，可得AB ⋅n =0，解得b =2,a =±1.当a =1时A ,E 重合，所以a =-1，此时A 0,-1,2 .不妨设平面ABC 的法向量为m =x ,y ,z ，则CB ⋅m =0CA ⋅m =0代入得x -y +2z =02x =0 ，令z =1，则y =2，所以m =0,2,1 .由于BE =-1,1,2 ，不妨设所成角为θ，则sin θ=∣cos BE ,m |=63.3(22·23·张家口·三模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1=60°，AB =BC =2，AC =AB 1=2.(1)证明：平面ACB 1⊥平面BB 1C 1C ；(2)求平面ACC 1A 1与平面A 1B 1C 1夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)57.【分析】(1)利用面面垂直的判定定理进行证明；(2)利用垂直关系建立空间直角坐标系，用向量法进行求解.【详解】(1)如图，连接BC 1，交B 1C 于O ，连接AO .因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1，且O 为BC 1的中点.又AC =AB 1=2，故AO ⊥B 1C .又AB =BC =2，且∠CBB 1=60°，所以CO =1,BO =3，所以AO =AC 2-CO 2=1.又AB =2，所以AB 2=BO 2+AO 2，所以AO ⊥BO .因为BO ,CB 1⊂平面BB 1C 1C ，BO ∩CB 1=O ，所以AO ⊥平面BB 1C 1C .又AO ⊂平面ACB 1，所以平面ACB 1⊥平面BB 1C 1C .(2)由(1)知，OA ,OB ,OB 1两两互相垂直，因此以O 为坐标原点，OB ,OB 1,OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，则A (0,0,1)，B (3,0,0)，C (0,-1,0)，C 1(-3,0,0).故CC 1 =(-3,1,0)，CA =(0,1,1)，CB =(3,1,0).设n =(x 1,y 1,z 1)为平面ACC 1A 1的一个法向量，则有n ⋅CC 1 =0n ⋅CA =0 ，即-3x 1+y 1=0y 1+z 1=0 ，令x 1=1，则n =(1,3,-3).设m =(x 2,y 2,z 2)为平面ABC 的一个法向量，则有m ⋅CA =0m ⋅CB =0，即y 2+z 2=03x 2+y 2=0 ，令x 2=1，则m =(1,-3,3).因为平面A 1B 1C 1∥平面ABC ，所以m =(1,-3,3)也是平面A 1B 1C 1的一个法向量.所以cos <n ,m > =n ⋅m n m=1-3-3 7×7=57.所以平面ACC 1A 1与平面A 1B 1C 1夹角的余弦值57. 4(22·23·湛江·二模)如图1，在五边形ABCDE 中，四边形ABCE 为正方形，CD ⊥DE ，CD =DE ，如图2，将△ABE 沿BE 折起，使得A 至A 1处，且A 1B ⊥A 1D ．(1)证明：DE ⊥平面A 1BE ；(2)求二面角C -A 1E -D 的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)63【分析】(1)由已知易得DE ⊥BE ，即可证明线面垂直；(2)建立空间直角坐标系，用坐标公式法求解即可．【详解】(1)由题意得∠BEC =∠CED =π4，∠BED =π2，DE ⊥BE ，因为AB ⊥AE ，则A 1B ⊥A 1E ，又A 1B ⊥A 1D ，A 1E ∩A 1D =A 1,A 1E ,A 1D ⊂面A 1ED ，所以A 1B ⊥面A 1ED ，又DE ⊂面A 1ED ，则DE ⊥A 1B ，又DE ⊥BE ，A 1B ∩BE =B ，A 1B ⊂平面A 1BE ，BE ⊂平面A 1BE ，所以DE ⊥平面A 1BE ．(2)取BE 的中点O ，可知BE =2CD ,OE =CD ，由DE ⊥BE ，且CD ⊥DE 可得OE ⎳CD ，所以四边形OCDE 是平行四边形，所以CO ∥DE ，则CO ⊥平面A 1BE ，设BE =2，以点O 为坐标原点，OB ,OC ,OA 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，则A 1(0,0,1),E (-1,0,0),B (1,0,0),C (0,1,0),D (-1,1,0)，EA 1 =(1,0,1),EC =(1,1,0),ED =(0,1,0)，设平面A 1EC 的一个法向量为n 1 =(x 1,y 1,z 1)，则n 1 ⋅EA 1 =0n 1 ⋅EC =0 ，即x 1+z 1=0x 1+y 1=0 ，取x 1=1，则n 1 =(1,-1,-1)，设平面A 1ED 的一个法向量为n 2 =(x 2,y 2,z 2)，则n 2 ⋅E 1A =0n 2 ⋅ED =0 ，即x 2+z 2=0y 2=0 ，取x 2=1，则n 2 =(1,0,-1)，所以cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2 n 1 n 2=63，由图可知，二面角C -A 1E -D 为锐角，所以面角C -A 1E -D 的余弦值为63．5(22·23下·长沙·三模)如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，△ABC 和△ACD 均为正三角形，AC =4，BE =3，点F 在AC 上.(1)若BF ⎳平面CDE ，求CF ；(2)若F 是AC 的中点，求二面角F -DE -C 的正弦值.【答案】(1)CF =1(2)8517【分析】(1)记AC 中点为M ，连接DM 、BM ，依题意可得DM ⊥AC ，根据面面垂直的性质得到DM ⊥平面ABC ，如图建立空间直角坐标系，求出平面CDE 的法向量，设F a ,0,0 ，a ∈2,-2 ，依题意可得BF ⋅n =0求出a 的值，即可得解；(2)依题意点F 与点M 重合，利用空间向量法计算可得.【详解】(1)记AC 中点为M ，连接DM 、BM ，△ACD 为正三角形，AC =4，则DM ⊥AC ，且DM =2 3.因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC =AC ，DM ⊂平面ACD ，所以DM ⊥平面ABC ，又△ABC 为正三角形，所以BM ⊥AC ，所以BM =23，如图建立空间直角坐标系，则B 0,23,0 ，C -2,0,0 ，D 0,0,23 ，E 0,23,3 ，所以CD =2,0,23 ，CE =2,23,3 ，设平面CDE 的法向量为n =x ,y ,z ，则n ⋅CD =2x +23z =0n ⋅CE =2x +23y +3z =0，令x =3，则z =-3，y =-32，则n =3,-32,-3 ，设F a ,0,0 ，a ∈-2,2 ，则BF =a ,-23,0 ，因为BF ⎳平面CDE ，所以BF ⋅n =3a +-23 ×-32+0×-3 =0，解得a =-1，所以F 为CM 的中点，此时CF =1.(2)若F 是AC 的中点，则点F 与点M 重合，则平面FDE 的一个法向量可以为m =1,0,0 ，设二面角F -DE -C 为θ，显然二面角为锐角，则cos θ=m ⋅n m ⋅n=332+-32 2+-3 2=651，所以sin θ=1-cos 2θ=1-651 2=8517，所以二面角F -DE -C 的正弦值为8517.6(22·23下·湖北·二模)如图，S 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，△ABC 内接于⊙O ,AC ⊥BC ,AC =BC =322，AM =2MS ,AS =3,PQ 为⊙O 的一条弦，且SB ⎳平面PMQ .(1)求PQ 的最小值；(2)若SA ⊥PQ ，求直线PQ 与平面BCM 所成角的正弦值.【答案】(1)22(2)3010【分析】(1)作出辅助线，找到符合要求的PQ ，并利用垂径定理得到最小值；(2)在第一问基础上，得到当PQ 取得最小值时，SA ⊥PQ ，并建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.【详解】(1)过点M 作MH ⎳SB 交AB 于点H ，过点H 作PQ ⊥AB ，此时满足SB ⎳平面PMQ ，由平面几何知识易知，PQ =2r 2-d 2，当弦心距d 最大时，d =OH ，弦长最短，即PQ 取得最小值，因为AM =2MS ,AS =3，所以AH =2HB ，因为AC ⊥BC ,AC =BC =322，由勾股定理得AB =322⋅2=3，故AH =2,HB =1，连接OQ ，则OQ =32，由勾股定理得HQ =OQ 2-OH 2=94-14=2，所以PQ =2HQ =22；(2)连接OS ，则OS ⊥平面ACB ，因为PQ ⊂平面ACB ，故OS ⊥PQ ，而SA ⊥PQ ，OS ∩SA =S ，所以PQ ⊥平面AOS ，即有PQ ⊥AB .以O 为坐标原点，过点O 且平行PQ 的直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则P -2,12,0 ,Q 2,12,0 ,B 0,32,0 ,C 32,0,0 ,M 0,-12,3 ，设平面BCM 的法向量为m =x ,y ,z ，则m ⋅CB =x ,y ,z ⋅-32,32,0 =-32x +32y =0m ⋅MB =x ,y ,z ⋅0,2,-3 =2y -3z =0，令x =1，则y =1,z =233，故m =1,1,233，设直线PQ 与平面BCM 所成角的大小为θ，则sin θ=cos PQ ,m =PQ ⋅m PQ ⋅m =22,0,0 ⋅1,1,233 22×1+1+43=3010.故直线PQ与平面BCM所成角的正弦值为30 10.7(22·23·深圳·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,PA= AD=2AB，点M是PD的中点.(1)证明：AM⊥PC；(2)设AC的中点为O，点N在棱PC上(异于点P，C)，且ON=OA，求直线AN与平面ACM所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)1510【分析】(1)由等腰三角形的性质可得AM⊥PD，由面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以由线面垂直的判定可得AM⊥平面PCD，从而可得结论；(2)以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】(1)证明：因为PA=AD，点M是PD的中点，所以AM⊥PD.因为PA⊥平面ABCD,PA⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD，因为平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AM，因为PD∩CD=D，PD,CD⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD，因为PC⊂平面PCD，所以AM⊥PC.(2)解：由题意可得AB,AD,AP两两垂直，设AB=1，如图，以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)，因为点M是PD的中点，所以M0,22,22，所以AM =0,22,22 ,AC =1,2,0 ，设平面ACM 的法向量为n =x ,y ,z ，则AM ⋅n =22y +22z =0AC ⋅n =x +2y =0，令y =-1可得x =2,z =1，所以平面ACM 的一个法向量n =2,-1,1 .PC =1,2,-2 ，设N x N ,y N ,z N ,PN =λPC =λ,2λ,-2λ (0<λ<1)，即x N ,y N ,z N -2 =λ,2λ,-2λ ，所以N λ,2λ,2-2λ .又O 12,22,0 ,ON =OA =32，所以λ-12 2+2λ-22 2+(2-2λ)2=34，化简得5λ2-7λ+2=0，解得λ=25或λ=1(舍去).所以AN =25,225,325，设直线AN 与平面ACM 所成的角为θ，则sin θ=n ⋅AN n ⋅AN=3252+1+1×425+825+1825=1510，所以直线AN 与平面ACM 所成角的正弦值为1510.8(22·23下·温州·二模)已知三棱锥D -ABC 中，△BCD 是边长为3的正三角形，AB =AC =AD ,AD 与平面BCD 所成角的余弦值为33．(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求二面角D -AC -B 的平面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)223【分析】(1)取BC 的中点E ，连接AE ,DE ，证明BC ⊥平面ADE ，即可得证；(2)取正三角形BCD 的中心O ，连接OA ，从而可得OA ⊥平面BCD ，则∠ODA 即为AD 与平面BCD 所成角的平面角，进而可得AB =AC =AD =3，取AC 中点为H ，连接DH ,BH ，则DH ⊥AC ,BH ⊥AC ，故∠BHD 即为二面角D -AC -B 的平面角，解△BDH 即可得解.【详解】(1)取BC 的中点E ，连接AE ,DE ，因为AB =AC ，所以AE ⊥BC ，因为△BCD 是边长为3的正三角形，所以DE ⊥BC ，又AE ∩DE =E ,AE ,DE ⊂平面ADE ，所以BC ⊥平面ADE ，因为AD ⊂平面ADE ，所以AD ⊥BC ；(2)取正三角形BCD 的中心O ，连接OA ，则点O 在DE 上，且OD =23DE ，由AB =AC =AD ，△BCD 是正三角形，得三棱锥A -BCD 为正三棱锥，则OA ⊥平面BCD ，故∠ODA 即为AD 与平面BCD 所成角的平面角，又AD 与平面BCD 所成角的余弦值为33，所以OD AD =3×32×23AD=33，即AB =AC =AD =3，即三棱锥A -BCD 是正四面体，取AC 中点为H ，连接DH ,BH ，则DH ⊥AC ,BH ⊥AC ，故∠BHD 即为二面角D -AC -B 的平面角，在△BDH 中，BH =DH =332,BD =3，则cos ∠BHD =BH 2+DH 2-BD 22⋅BH ⋅DH =274+274-92×332×332=13，所以sin ∠BHD =1-cos 2∠BHD =223，所以二面角D -AC -B 的平面角的正弦值223．9(22·23下·浙江·二模)如图，四面体ABCD ,AD ⊥CD ,AD =CD ,AC =2,AB =3,∠CAB =60°，E 为AB 上的点，且AC ⊥DE ,DE 与平面ABC 所成角为30°，(1)求三棱锥D -BCE 的体积；(2)求二面角B -CD -E 的余弦值.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析．【分析】(1)取AC 中点F ，可证明AC ⊥平面DEF ，得平面ABC ⊥平面DEF ，DE 在平面ABC 内的射影就是直线EF ，∠DEF 是DE 与平面ABC 所成的角，即∠DEF =30°，由正弦定理求得∠FDE ，有两个解，在∠FDE =60°时可证DF ⊥平面ABC ，在∠FDE =120°时，取FE 中点H 证明DH ⊥平面ABC ，然后由棱锥体积公式计算体积；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】(1)取AC 中点F ，连接FE ,FD ，因为AD =CD ，所以DF ⊥AC ，又AC ⊥DE ，DE ∩DF =D ，DE ,DF ⊂平面DEF ，所以AC ⊥平面DEF ，而FE ⊂平面DEF ，所以AC ⊥FE ，由已知AF =1，∠BAC =60°，所以EF =3，AE =2，BE =1，由AC ⊥平面DEF ，AC ⊂平面ABC 得平面ABC ⊥平面DEF ，因此DE 在平面ABC 内的射影就是直线EF ，所以∠DEF 是DE 与平面ABC 所成的角，即∠DEF =30°，AD =CD ,AC =2，因此DF =12AC =1，在△DEF 中，由正弦定理EF sin ∠FDE =DF sin ∠DEF 得1sin30°=3sin ∠FDE ，sin ∠FDE =32，∠FDE 为△DEF 内角，所以∠FDE =60°或120°，S △ABC =12AB ×AC ×sin ∠BAC =12×3×2×sin60°=333，S △CBE =BE BAS △ABC =3-23×332=32，若∠FDE =60°，则∠DFE =90°，即DF ⊥FE ，AC ∩FE =F ，AC ,FE ⊂平面ABC ，所以DF ⊥平面ABC ，V D -BCE =13S △BCE ⋅DF =13×32×1=36；若∠FDE =120°，则∠DFE =30°，DF =DE =1，取EF 中点H ，连接DH ，则DH ⊥EF ，因为平面ABC ⊥平面DEF ，平面ABC ∩平面DEF =EF ，而DH ⊂平面DEF ，所以DH ⊥平面ABC ，DH =DF sin ∠DFE =1×sin30°=12，所以V D -BCE =13S △BCE ⋅DF =13×32×12=312；(2)若∠FDE =60°，以FA ,FE ,FD 为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz ，则D (0,0,1)，C (-1,0,0)，A (1,0,0)，E (0,3,0)，AE =(-1,3,0)，EB =12AE =-12,32,0 ，所以B 点坐标为-12,332,0 ，CD =(1,0,1)，CB =12,332,0 ，CE =(1,3,0)，设平面DBC 的一个法向量是m =(x 1,y 1,z 1)，则m ⋅CD =x 1+z 1=0m ⋅CB =12x 1+332y 1=0，取y 1=-1，则x 1=33，z 1=-33，即m =(33,-1,-33)，设平面DEC 的一个法向量是n =(x 2,y 2,z 2)，则n ⋅CD =x 2+z 2=0n ⋅CE =x 2+3y 2=0，取y 2=-1，则x 2=3，z 2=-3，即m =(3,-1,-3)，cos m ,n =m ⋅n m n =9+1+955×7=19385385，所以二面角B -CD -E 的余弦值是19385385；若∠FDE =120°，以FA 为x 轴，FE 为y 轴，过F 且平行于HD 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz ，FH =12FE =32，则D 0,32,12 ，C (-1,0,0)，A (1,0,0)，E (0,3,0)，AE =(-1,3,0)，EB =12AE =-12,32,0 ，所以B 点坐标为-12,332,0 ，CD =1,32,12 ，CB =12,332,0 ，CE =(1,3,0)，设平面DBC 的一个法向量是m =(x 1,y 1,z 1)，则m ⋅CD =x 1+32y 1+12z 1=0m ⋅CB =12x 1+332y 1=0，取y 1=-1，则x 1=33，z 1=-53，即m =(33,-1,-53)，设平面DEC 的一个法向量是n =(x 2,y 2,z 2)，则n ⋅CD =x 2+32y 2+12z 2=0n ⋅CE =x 2+3y 2=0，取y 2=-1，则x 2=3，z 2=-3，即m =(3,-1,-3)，cos m ,n =m ⋅n m n =9+1+15103×7=25721721，所以二面角B -CD -E 的余弦值是25721721．10(22·23下·襄阳·三模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为矩形，∠BAC =90°，AB =AC =2，AA 1=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点N ，M 为B 1C 1的中点.(1)求证：平面A 1MNA ⊥平面A 1BC ；(2)求平面A 1B 1BA 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)23015【分析】(1)利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算求面面夹角的余弦值.【详解】(1)如图，∵A 1N ⊥面ABC ，连AN ，则AN ⊥A 1N ，又AB =AC =2，∴AN ⊥BC ，又AN ∩BC =N ，A 1N ⊂面A 1BC ，BC ⊂面A 1BC ，于是AN ⊥面A 1BC ，又AN ⊂面A 1MN ，，所以面A 1BC ⊥面A 1MNA .(2)由(1)可得，以NA ,NB ,NA 1 为x ,y ,z 轴，建系如图，∠BAC =90°，AB =AC =2，BC =22则A (2,0,0),B (0,2,0),C (0,-2,0),因为AA 1=4,AN =2,所以A 1N =14,则A 1(0,0,14),因为NB 1 =NB +BB 1 =NB +AA 1 =0,2,0 +-2,0,14 =-2,2,14 ,所以B 1-2,2,14 ,设平面A 1BB 1的一个法向量为m =(x ,y ,z )，因为A 1B =(0,2,-14),B 1B =(2,0,-14),所以A 1B ⋅m =2y -14z =0B 1B ⋅m =2x -14z =0 ，令y =7，则x =7,z =1，所以m =(7,7,1)，设平面BCC 1B 1的一个法向量为n =(a ,b ,c )，因为BC =(0,-22,0),BB 1 =(-2,0,14),所以BC ⋅n =-22b =0BB 1 ⋅n =-2a +14c =0，令a =7，则b =0,c =1，所以n =(7,0,1)，设平面A 1BB 1与平面BCC 1B 1夹角为θ，则cos θ=cos <m ,n >=m ⋅n m n=7+0+17+7+1×7+0+1=23015，所以平面A 1BB 1与平面BCC 1B 1夹角的余弦值为23015.11(22·23·唐山·二模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，△ABC 是等边三角形，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ，且AA 1=AC ，∠AA 1C 1=120°，M 是CC 1的中点．(1)证明：A 1C ⊥BM ．(2)求二面角A 1-BC -M 的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)45【分析】(1)根据菱形的性质、结合面面垂直的性质，线面垂直的判定定理进行证明即可；(2)建立空间直角坐标系，运用空间向量夹角公式进行求解即sk .【详解】(1)取AC 的中点O ，连接OM ，OB ，AC 1．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，由AA 1=AC ，得四边形ACC 1A 1为菱形，所以A 1C ⊥AC 1，易知OM ∥AC 1，则A 1C ⊥OM ．由△ABC 是等边三角形，知OB ⊥AC ，又平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，平面ACC 1A 1∩平面ABC =AC ，OB ⊂平面ABC ，知OB ⊥平面ACC 1A 1，则OB ⊥A 1C ，又OB ∩OM =O ,OB ,OM ⊂平面OBM ，得A 1C ⊥平面OBM ，又BM ⊂平面OBM ，故A 1C ⊥BM ．.(2)连接OA 1，因为侧面ACC 1A 1为菱形，∠AA 1C 1=120°，则∠A 1AC =60°，则△A 1AC 为等边三角形，所以A 1O ⊥AC ，又由(1)易知OA 1，OB ，AC 两两垂直，故以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 1 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．不妨设AB =2，则O 0,0,0 ，B 3,0,0 ，C 0,1,0 ，A 10,0,3 ，C 10,2,3 ，BA 1 =-3,0,3 ，BC =-3,1,0 ，CC 1 =0,1,3 ，设平面A 1BC 的法向量为n =x ,y ,z ，则n ⋅BC =-3x +y =0n ⋅BA 1 =-3x +3z =0 ，令x =1，得n =1,3,1 ，设平面BCC 1的法向量为m =a ,b ,c ，则m ⋅BC =-3a +b =0m ⋅CC 1 =b +3c =0，令a =1，得m =1,3,-1 ，所以cos n ,m =n ⋅m n ⋅m=35⋅5=35，即二面角A 1-BC -M 的正弦值为45．12(22·23下·盐城·三模)如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G 为弧CD 的中点，且C ，E ，D ，G 四点共面.(1)证明：平面BDF ⊥平面BCG ；(2)若平面BDF 与平面ABG 所成二面角的余弦值为155，且线段AB 长度为2，求点G 到直线DF 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)62【分析】(1)过G 作GH ⎳CB ，交底面弧于H ，连接HB ，有HBCG 为平行四边形，根据题设可得FB ⊥HB ，即FB ⊥CG ，再由线面垂直的性质可得CB ⊥FB ，最后根据线面、面面垂直的判定即可证结论.(2)构建如下图示空间直角坐标系A -xyz ，令半圆柱半径为r ，高为h ，确定相关点坐标，进而求平面BDF 、平面ABG 的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知条件可得h =2r ，即可求出点G 到直线DF 的距离.【详解】(1)过G 作GH ⎳CB ，交底面弧于H ，连接HB ，易知：HBCG 为平行四边形，所以HB ⎳CG ，又G 为弧CD 的中点，则H 是弧AB 的中点，所以∠HBA =45°，而由题设知：∠ABF =45°，则∠HBF =∠HBA +∠ABF =90°，所以FB ⊥HB ，即FB ⊥CG ，由CB ⊥底面ABF ，FB ⊂平面ABF ，则CB ⊥FB ，又CB ∩CG =C ，CB ,CG ⊂平面BCG ，所以FB ⊥平面BCG ，又FB ⊂平面BDF ，所以平面BDF ⊥平面BCG .(2)由题意，构建如下图示空间直角坐标系A -xyz ，令半圆柱半径为r ，高为h ，则B 0,2r ,0 ，F 2r ,0,0 ，D 0,0,h ，G -r ,r ,h ，所以FD =-2r ,0,h ，BD =0,-2r ,h ，AB =0,2r ,0 ，AG =-r ,r ,h ，若m =x ,y ,z 是面BDF 的一个法向量，则m ⋅FD =-2rx +hz =0m ⋅BD =-2ry +hz =0 ，令z =2r ，则m =h ,h ,2r ，若n =a ,b ,c 是面ABG 的一个法向量，则n ⋅AB =2rb =0n ⋅AG =-ra +rb +hc =0 ，令c =r ，则n =h ,0,r ，所以cos m ,n =m ⋅n m n=h 2+2r 22h 2+4r 2×h 2+r 2=155，整理可得h 2-4r 2 h 2+2r 2 =0，则h =2r ，又AB =2，由题设可知，此时点G -1,1,2 ，D 0,0,2 ，F 2,0,0 ，则DF =2,0,-2 ，DG =-1,1,0 ，所以点G 到直线DF 的距离d =DG 2-DG ⋅DF 2DF2=62.13(22·23下·江苏·三模)如图，圆锥DO 中，AE 为底面圆O 的直径，AE =AD ，△ABC 为底面圆O 的内接正三角形，圆锥的高DO =18，点P 为线段DO 上一个动点.(1)当PO =36时，证明：PA ⊥平面PBC ；(2)当P 点在什么位置时，直线PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大.【答案】(1)证明见解析；(2)P 点在距离O 点36处【分析】(1)利用勾股定理证明出AP ⊥BP 和AP ⊥CP ，再用线面垂直的判定定理证明出PA ⊥平面PBC ；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】(1)因为AE =AD ，AD =DE ，所以△ADE 是正三角形，则∠DAO =π3，又DO ⊥底面圆O ，AE ⊂底面圆O ，所以DO ⊥AE ，在Rt △AOD 中，DO =18，所以AO =DO 3=63，因为△ABC 是正三角形，所以AB =AO ×32×2=63×3=18，AP =AO 2+PO 2=92，BP =AP ，所以AP 2+BP 2=AB 2，AP ⊥BP ，同理可证AP ⊥CP ，又BP ∩PC =P ，BP ，PC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC .(2)如图，建立以O 为原点的空间直角坐标系O -xyz .设PO =x ，(0≤x ≤18)，所以P 0,0,x ，E -33,9,0 ，B 33,9,0 ，C -63,0,0 ，所以EP =33,-9,x ，PB =33,9,-x ，PC =-63,0,-x ，设平面PBC 的法向量为n =a ,b ,c ，则n ⋅PB =33a +9b -cx =0n ⋅PC =-63a -cx =0，令a =x ，则b =-3x ，c =-63，故n =x ,-3x ,-63 ，设直线PE 和平面PBC 所成的角为θ，则sin θ=cos EP ,n =33x +93x -63x 108+x 2⋅x 2+3x 2+108=63x 108+x 2⋅4x 2+108=634x 2+1082x 2+540≤6324x 2⋅1082x 2+540=13，当且仅当4x 2=1082x 2，即PO =x =36时，直线PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大，故P 点在距离O 点36处.14(22·23下·镇江·三模)如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC =60°，四边形PACQ 为矩形，PA =1，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).①BP ,DP 与平面ABCD 所成角相等；②三棱锥P -ABD 体积为33；③cos ∠BPA =55(1)平面PACQ ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B -PQ -D 的大小；(3)求点C 到平面BPQ 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)2π3(3)32【分析】(1)若选①，则作PA ⊥面ABCD ，证明A 和A 重合从而得到PA ⊥面ABCD ，从而得到面面垂直；若选②，计算得到P 到面ABD 的距离h =1=PA ，得到PA ⊥面ABCD ，从而得到面面垂直；若选③，通过余弦定理计算得到PA ⊥AB ，再通过PA ⊥面ABCD ，从而得到面面垂直；(2)通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，结合二面角计算公式计算即可；(3)通过点面距离的计算公式直接计算即可.【详解】(1)选①，连接BD ，作PA ⊥面ABCD ，垂足为A .∵BP ,DP 与平面ABCD 所成角相等，∴A B =A D ，∴A 在BD 的中垂线AC 上，∵在平面PACQ 内，PA ⊥AC ,PA ⊥AC ,∴A 和A 重合，∴PA ⊥面ABCD ，又PA ⊂面PACQ ，∴面PACQ ⊥面ABCD若选②，设P 到面ABD 的距离为h ，∵V P -ABD =13S △ABD ⋅h =13×3⋅h =33，得h =1=PA ，∴PA 即为P 到面ABD 的距离，即PA ⊥面ABCD ，又PA ⊂面PACQ ，∴面PACQ ⊥面ABCD .若选③，由余弦定理得，cos ∠BPA =PB 2+PA 2-AB 22PB ⋅PA =55，∴BP =5,∴BP 2=AP 2+AB 2∴PA ⊥AB ，又PA ⊥AC ,AC ∩AB =A ,AC ,AB ⊂面ABCD∴PA ⊥面ABCD ，又PA ⊂面PACQ∴面PACQ ⊥面ABCD(2)因为PA ⊥面ABCD ，OB ,OC ⊂面ABCD ，所以PA ⊥OB ,PA ⊥OC ，取PQ 中点G ，则OG ⎳PA ，所以OG ⊥OB ,OG ⊥OC ，又因为OB ⊥OC ，所以建立如下图所示空间直角坐标系，∵B 3,0,0 ,P 0,-1,1 ,D -3,0,0 ,Q 0,1,1 ，∴BQ =-3,1,1 ,DQ =3,1,1 ,DP =3,-1,1 ，设平面BPQ 的一个法向量为m =x ,y ,z ，则m⋅BP =0m ⋅BQ =0 ，即-3x -y +z =0-3x +y +z =0 ，令x =3，则y =0,z =3,∴m =3,0,3 ，设平面DPQ 的一个法向量为n =x 1,y1,z 1 ，则n ⋅DP=0n ⋅DQ =0 ，即3x 1-y 1+z 1=3x 1+y 1+z 1=0，令x1=3，则y 1=0,z 1=-3,∴n =3,0,-3 ，∴cos m ,n =m ⋅n m ⋅ n =-623×23=-12，∵m ,n ∈0,π ,∴m ,n =2π3，由图可知二面角B -PQ -D 是钝角，所以二面角B -PQ -D 的大小为2π3.(3)∵C 0,1,0 ,Q 0,1,1 ，∴CQ =0,0,1 ,∵平面BPQ 的一个法向量为m =3,0,3 ，∴点C 到平面BPQ 的距离d =CQ ⋅m m=323=32.15(22·23下·江苏·一模)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面A 1B 1BA ⊥平面ABC ，侧面A 1B 1BA 为菱形，∠ABB 1=π3，AB 1⊥AC ，AB =AC =2，E 是AC 的中点.(1)求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；(2)点P 在线段A 1E 上(异于点A 1，E )，AP 与平面A 1BE 所成角为π4，求EP EA 1的值.【答案】(1)证明见解析(2)EP EA 1=25【分析】(1)作B 1O ⊥AB 交AB 于O 点，由面面垂直的性质可得B 1O ⊥平面ABC ，可得B 1O ⊥AC ，再由线面垂直的判定定理得AC ⊥平面A 1B 1BA ，从而得到AC ⊥A 1B ，再由线面垂直的判定定理可得答案；(2)以A 为原点，AB 、AC 、AO 1所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设EP =λEA 1 ，可得AP =-λ,1-λ,3λ ，求出平面A 1BE 的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.【详解】(1)因为侧面A 1B 1BA 为菱形，∠ABB 1=π3，AB =AC =2，所以△ABB 1、△AA 1B 1为边长为2的等边三角形，作B 1O ⊥AB 交AB 于O 点，则O 点为AB 的中点，因为平面A 1B 1BA ⊥平面ABC ，平面A 1B 1BA ∩平面ABC =AB ，B 1O ⊂平面A 1B 1BA ，所以B 1O ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，可得B 1O ⊥AC ，又AB 1⊥AC ，B 1O ∩AB 1=B 1，B 1O 、AB 1⊂平面A 1B 1BA ，可得AC ⊥平面A 1B 1BA ，因为A 1B ⊂平面A 1B 1BA ，所以AC ⊥A 1B ，因为侧面A 1B 1BA 为菱形，所以B 1A ⊥A 1B ，AB 1∩AC =A ，AB 1、AC ⊂平面AB 1C ，所以A 1B ⊥平面AB 1C ；(2)由(1)知，AC ⊥平面A 1B 1BA ，∠BAC =π2，取做A 1B 1的中点O 1，连接AO 1，则B1O ⎳AO 1，所以AO 1⊥平面ABC ，以A 为原点，AB 、AC 、AO 1所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则A 0,0,0 ，A 1-1,0,3 ，B 2,0,0 ，E 0,1,0 ，A 1B =3,0,-3 ，EA 1 =-1,-1,3 ，设EP =λEA 1 ，可得P -λ,1-λ,3λ ，所以AP =-λ,1-λ,3λ ，设平面A 1BE 的一个法向量为n=x ,y ,z ，则A 1B ⋅n=0EA 1 ⋅n =0，即3x -3z =0-x -y +3z =0 ，令z =3，可得n =1,2,3 ，可得sin π4=cos n ,AP =n ⋅AP n AP=-λ+2-2λ+3λ 1+4+3λ2+1-λ 2+3λ2，解得λ=0舍去，或λ=25，所以EP EA 1=25.16(22·23下·河北·三模)如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC ,BD 交于点O ，且PO ⊥平面ABCD ,OC =1,OD =OP =2,M 是PD 的中点，N 是线段CD 上一动点．(1)当平面OMN ⎳平面PBC 时，试确定点N 的位置，并说明理由；(2)在(1)的前提下，点Q 在直线MN 上，以PQ 为直径的球的表面积为214π．以O 为原点，OC ,OD ,OP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz ，求点Q 的坐标．【答案】(1)N 是CD 的中点(2)12,1,0 ，-1310,1,185 【分析】(1)根据面面平行的性质证明MN ⎳PC ，即可得解；(2)先根据球的体积求出PQ ，然后根据空间中两点间的距离公式即可得解.【详解】(1)因为平面OMN ⎳平面PBC ，平面OMN ∩平面PCD =MN ，平面PBC ∩平面PCD =PC ，所以MN ⎳PC ，因为M 是PD 的中点，所以N 是CD 的中点；(2)由题意4π×PQ 22=214π，解得PQ =212，设MQ =λMN,λ∈R ，由题意，P 0,0,2 ,M 0,1,1 ,N 12,1,0 ，则PM =0,1,-1 ,MN =12,0,-1 ，则PQ =PM +MQ =0,1,-1 +λ12,0,-1 =λ2,1,-λ-1 ，则λ24+1+-λ-1 2=212，解得λ=1或λ=-135，当λ=1时，MQ =MN ，则Q 12,1,0 ，当λ=-135时，MQ =-135MN =-1310,0,135，设Q x ,y ,z ，则MQ =x ,y -1,z -1 =-1310,0,135，所以x =-1310y -1=0z -1=135 ，解得x =-1310y =1z =185 ，则Q -1310,1,185 ，综上所述点Q 的坐标为12,1,0，-1310,1,185 .17(22·23·汕头·三模)如图，圆台O 1O 2的轴截面为等腰梯形A 1ACC 1，AC =2AA 1=2A 1C 1=4,B 为底面圆周上异于A ,C 的点.(1)在平面BCC 1内，过C 1作一条直线与平面A 1AB 平行，并说明理由；(2)若四棱锥B -A 1ACC 1的体积为23，设平面A 1AB ∩平面C 1CB =l ,Q ∈l ，求CQ 的最小值.【答案】(1)作图见解析，理由见解析(2)7【分析】(1)根据线面平行的判定和中位线定理即可求解;(2)根据几何关系或空间向量方法即可求解.【详解】(1)取BC 中点P ，作直线C 1P 即为所求，取AB 中点H ，连接A 2H ,PH ，则有PH ∥AC ,PH =12AC ，如图，在等腰梯形A 1ACC 1中，A 1C 1=12AC ，有HP ∥A 1C 1,HP =A 1C 1，则四边形A 1C 1PH 为平行四边形，即有C 1P ∥A 1H ，又A 1H ⊂平面A 1AB ,C 1P⊄平面A 1AB ，所以C 1P ∥平面A 1AB .(2)法一：延长AA 1,CC 1交于点O ，故O ∈AA 1⊂平面ABA 1,O ∈CC 1⊂平面CC 1B故平面A 1AB ∩平面C 1CB =BO ,BO 即l ,在△OBC 中，OC ,OB 均为圆锥母线.过点B 作BO ⊥AC 于O .在等腰梯形A 1ACC 1中，AC =2AA 1=2A 1C 1=4，此梯形的高h =AA 21-AC -A 1C 122=3,∴等腰梯形A 1ACC 1的面积为S =122+4 3=33，所以四棱锥B -A 1ACC 1的体积V =13S ×BO =13×33×BO =23，解得BO =2，故点O 与O 2重合，BC =22由AC =2AA 1=2A 1C 1，得OC =2CC 1，且∠C 1CA =60°，故OC =AC =4=OB .△OBC 中，O 到BC 距离h 1=OB 2-BC 22=14.则△OBC 面积=12OB ⋅CQ min =12BC ⋅h 1,得：CQ 的最小值为：CQ min =22⋅144=7.法二：同法一求出B 的位置.以O 2为原点，OB ,OC ,O 2O 1方向为x ,y ,z 轴正向建立空间直角坐标系，C 0,2,0 ,B 2,0,0 ,AA 1 =0,1,3 ,AB =2,2,0 ,CC 1 =0,-1,3 ,BC=-2,2,0设面A 1AB 的法向量为a=x 1,y 1,z 1a ⋅AA 1=y 1+3z 1=0a ⋅AB=2x 1+2y 1=0，取z 1=1，有a=3,-3,1 ；同理可得面C 1CB 的法向量为β=3,3,1 ,由l =面C 1CB ∩面A 1AB ，可知B ∈l ，设l 的方向向量为l=x ,y ,z ，故l ⋅a =3x -3y +z =0,l ⋅β=3x +3y +z =0取l=1,0,3 ,下面分2个方法求|CQ |min求|CQ |min 方法1：BQ =l=t ,0,3t ,，∵B 2,0,0 ,∴Q t -2,0,3t∴CQ =(t -2)2+22+(3t )2=4t 2-4t +8，当t =12时，CQ 取最小值为7.求CQ min 方法2：BC 在l 上的投影向量的模为BC ⋅l l =-2×1+2×0+0×32=1故CQ 的最小值即C 到l 的距离为BC 2-12=7.法三:在三角形△BCO 中，BO =CO =4,BC =22,cos ∠CBO =42+(22)2-422×4×22=122⋅sin ∠CBO =1-1222=722,所以CQ ≥CB sin ∠CBO =722×22=7.18(19·20下·临沂·二模)如图①，在Rt △ABC 中，B 为直角，AB =BC =6，EF ∥BC ，AE =2，沿EF 将△AEF 折起，使∠AEB =π3，得到如图②的几何体，点D 在线段AC 上．(1)求证：平面AEF ⊥平面ABC ；(2)若AE ⎳平面BDF ，求直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)64.【分析】(1)由余弦定理计算证明EA ⊥AB ，再利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理作答.(2)以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的正弦作答.【详解】(1)在△ABE 中，AE =2,BE =4，∠AEB =π3，由余弦定理得：AB 2=AE 2+BE 2-2AE ⋅BE cos ∠AEB =4+16-2×2×4×12=12，则AB =23，有EB 2=EA 2+AB 2，于是∠EAB =π2，即有EA ⊥AB ，又EF ⊥EB ,EF ⊥EA ,EA ∩EB =E ,EA ,EB ⊂平面ABE ，因此EF ⊥平面ABE ，而AB ⊂平面ABE ，则EF ⊥AB ，又因为EA ∩EF =E ,EA ,EF ⊂平面AEF ，从而AB ⊥平面AEF ，而AB ⊂平面ABC ，所以平面AEF ⊥平面ABC .(2)以A 为原点，以AB ,AE 分别为x ,y 轴，过点A 垂直于平面ABE 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，由(1)知，EF ⊥平面ABE ，而EF ⎳BC ，则有BC ⊥平面ABE ，则A (0,0,0),B (23,0,0),E (0,2,0),F (0,2,2),C (23,0,6)，AF =(0,2,2),FB =(23,-2,-2),AC=(23,0,6)，连接EC 与FB 交于点G ，连接DG ，因为AE ⎳平面BDF ，AE ⊂平面AEC ，平面AEC ∩平面BDF =DG ，则AE ⎳GD ，有GC GE =DCDA，在四边形BCFE 中，由EF ⎳BC ，得GC GE =BC EF =3，即DC DA=3，AD =14AC =32,0,32 ，FD =AD -AF =32,-2,-12，设平面BDF 的法向量为n =(x ,y ,z )，则n ⋅FD =32x -2y -12z =0n ⋅FB =23x -2y -2z =0，令x =1，得n =(1,0,3)，设直线AF 与平面BDF 所成角为θ，于是sin θ=|cos ‹n ,AF ›|=|n ⋅AF ||n ||AF |=2322×2=64，所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为64.19(22·23下·广州·三模)如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，AB =AP =2，PA ⊥平面ABCD ，E ,F 分别是线段PB ,PD 的中点，G 是线段PC 上的一点.(1)求证：平面EFG ⊥平面PAC ；(2)若直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值为13，且G 点不是线段PC 的中点，求三棱锥E -ABG 体积.【答案】(1)证明见解析(2)19【分析】(1)由线面垂直判定可证得BD ⊥平面PAC ，由中位线性质知EF ⎳BD ，从而得到EF ⊥平面PAC ，由面面垂直判定可得结论；(2)以A 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设PG =λPC ，λ∈0,12 ∪12,1 ，由线面角的向量求法可构造方程求得λ，结合垂直关系可得G 平面PAB 的距离为16BC =13，利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】(1)连接BD ，∵E ,F 分别是线段PB ,PD 的中点，∴EF ⎳BD ，∵底面四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD ，又PA ∩AC =A ，PA ,AC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC ，∵EF ⎳BD ，∴EF ⊥平面PAC ，又EF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PAC .(2)以A 为坐标原点，分别以AB ,AD ,AP 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则A 0,0,0 ，E 1,0,1 ，F 0,1,1 ，P 0,0,2 ，C 2,2,0 ，设PG =λPC ，λ∈0,12 ∪12,1 ，则AG =AP +PG =0,0,2 +2λ,2λ,-2λ =2λ,2λ,2-2λ ，AE =1,0,1 ，AF =0,1,1 ，设平面AEF 的一个法向量为n=x ,y ,z ，则n ⋅AE=x +z =0n ⋅AF=y +z =0，令z =-1，解得：x =1，y =1，∴n =1,1,-1 ；设直线AG 与平面AEF 所成角为θ，sin θ=cos n ,AG =n ⋅AGn ⋅AG=6λ-2 3⋅4λ2+4λ2+2-2λ 2=13，解得：λ=16或λ=12(舍)，∴PG =16PC ，∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ；∵BC ⊥AB ，PA ∩AB =A ，PA ,AB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，∴G 到平面PAB 的距离为16BC =13，∴V E -ABG =V G -ABE =13S △ABE ⋅16BC =13×12×12×2×2×13=19.20(22·23下·长沙·一模)斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长都为2，∠A 1AB =60°，点A 1在下底面ABC 的投影为AB 的中点O ．(1)在棱BB 1(含端点)上是否存在一点D 使A 1D ⊥AC 1若存在，求出BD 的长；若不存在，请说明理由；(2)求点A 1到平面BCC 1B 1的距离．【答案】(1)存在，BD =25(2)2155【分析】(1)连接OC ，以O 点为原点，如图建立空间直角坐标系，设BD =tBB 1 ,t ∈0,1 ，根据AC 1 ⋅A 1D=0，求出t 即可；(2)利用向量法求解即可.【详解】(1)连接OC ，因为AC =BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB ，由题意知A 1O ⊥平面ABC ，又AA 1=2，∠A 1AO =60°，所以A 1O =3，以O 点为原点，如图建立空间直角坐标系，则A 10,0,3 ，A 1,0,0 ，B -1,0,0 ，C 0,3,0 ，由AB =A 1B 1得B 1-2,0,3 ，同理得C 1-1,3,3 ，设BD =tBB 1,t ∈0,1 ，得D -1-t ,0,3t ，又AC 1 =-2,3,3 ，A 1D =-1-t ,0,3t -3 ，由AC 1 ⋅A 1D=0，得-2-1-t +33t -3 =0，得t =15，又BB 1=2，∴BD =25，∴存在点D 且BD =25满足条件；(2)设平面BCC 1B 1的法向量为n=x ,y ,z ，BC =1,3,0 ，CC 1 =-1,0,3 ，则有n ⋅BC=x +3y =0n ⋅CC 1=-x +3z =0，可取n =3,-1,1 ，又BA 1=1,0,3 ，∴点A 1到平面BCC 1B 1的距离为d =BA 1 cos BA 1 ,n =BA 1 ×3+0+3BA 1×5=2155，∴所求距离为2155.21(22·23下·长沙·三模)如图，三棱台ABC -A 1B 1C 1，AB ⊥BC ，AC ⊥BB 1，平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，AB =6,BC =4，BB 1=2，AC 1与A 1C 相交于点D ，AE =2EB，且DE ∥平面BCC 1B 1.(1)求三棱锥C -A 1B 1C 1的体积；(2)平面A 1B 1C 与平面ABC 所成角为α，CC 1与平面A 1B 1C 所成角为β，求证：α+β=π4.【答案】(1)2(2)证明见解析【分析】(1)通过证明线线和线面垂直，并结合已知条件即可得出三棱锥C -A 1B 1C 1的体积；(2)建立空间直角坐标系，表达出各点的坐标，求出所成角为α与β的正余弦值，即可证明结论.【详解】(1)由题意，∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，且平面ABB 1A 1∩平面ABC =AB ，AB ⊥BC ，BC ⊂平面ABC ∴BC ⊥平面ABB 1A 1，∵BB 1⊂平面ABB 1A 1，∴BC ⊥BB 1，又AC ⊥BB 1，BC ∩AC =C ，BC ,AC ⊂平面ABC ∴BB 1⊥平面ABC ，连接C 1B ，∵DE ⎳平面BCC 1B 1，DE ⊂平面ABC 1，平面ABC 1∩平面BCC 1B 1=C 1B ，∴DE ∥C 1B ，∵AE =2EB ，∴AD =2DC 1 ，∴A 1C 1=12AC .∴三棱锥C -A 1B 1C 1底面A 1B 1C 1的面积S 1=12×2×3=3，高h =BB 1=2，。
【高考压轴题】空间立体几何经典大题汇编100题（含答案）
【⾼考压轴题】空间⽴体⼏何经典⼤题汇编100题（含答案）【⾼考压轴题】空间⽴体⼏何经典⼤题汇编100题（含答案)未命名⼀、解答题1．直三棱柱'''ABC A B C -中，底⾯ABC 是边长为2的正三⾓形，'D 是棱''A C 的中点，且'AA =.（1）若点M 为棱'CC 的中点，求异⾯直线'AB 与BM 所成⾓的余弦值；（2）若点M 在棱'CC 上，且'A M ⊥平⾯''AB D ，求线段CM 的长.2．如图，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，CF ⊥平⾯ABC ，AB BC ⊥，45BAC ∠=?，CF DE =，,G H 分别为,AC BC 的中点.（1）求证：//BD 平⾯FGH ；（2）求平⾯FGH 与平⾯ACFD 所成⾓（锐⾓）的⼤⼩.3．在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ==12AB AA ==，E 是棱1CC 的中点.(1)求证：平⾯1A AB ⊥平⾯1A BE ； (2)求⼆⾯⾓1A BE A --的余弦值.4．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平⾯,,ABCD AB AD CD BC ==. （1）求证：平⾯PBD ⊥平⾯PAC ；（2）若120,60B A D B CD ∠=∠=，且P B P D ⊥，求⼆⾯⾓B PC D --的平⾯⾓的⼤⼩.5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 是矩形，11AB B C ⊥，平⾯1A BC ⊥平⾯11AB C .（1）求证：11AB A B ⊥；（2）若113B C =，4AB =，160ABB ?∠=，求⼆⾯⾓1A A C B --的余弦值.6．如图，在正⽅体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是111,CC B C 的中点．（1）求证：1A F //平⾯1AD E ；（2）求⼆⾯⾓1D E A DC --余弦值.7．在多⾯体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正⽅形，//EF AB ，1DE EF ==，2DC BF ==，30EAD ?∠=.（Ⅰ）求证：AE ⊥平⾯CDEF ；（Ⅱ）在线段BD 上确定⼀点G ，使得平⾯EAD 与平⾯FAG 所成的⾓为30?. 8．已知四棱锥P ABCD -中，平⾯PCD ⊥平⾯ABCD ，且22PD PC BC ===， 2,3BCD ABD π∠=是等边三⾓形，AC B D E =. (1)证明：PC ⊥平⾯PAD ； (2)求⼆⾯⾓P AB C --的余弦值.9．已知直⾓梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，22AB AD CD ===，E 、F 分别是边AD 、BC 上的点，且//EF AB ，沿EF 将EFCD 折起并连接成如图的多⾯体CD ABFE -，折后BE ED ⊥．（Ⅰ）求证：AE FC ⊥；（Ⅱ）若折后直线AC 与平⾯ABFE 所成⾓θABCD ⊥平⾯FCB ．10．如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平⾯ABCD ，且90ABC BCD ∠=∠=?，22SA AB BC CD ====，E 是边SB 的中点．（1）求证：AE ⊥平⾯SBC ；（2）若F 是线段SB 上的动点（不含端点）：问当BF FS为何值时，⼆⾯⾓D CF B--余弦值为10-． 11．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，侧⾯11BCC B ABC ⊥底⾯. (Ⅰ)若,M N 分别是1,AB AC 的中点，求证：11//MN BCC B 平⾯； (Ⅱ)若三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，侧棱1BB 与底⾯ABC 所成的⾓为60?，问在线段11A C 上是否存在⼀点P ，使得平⾯111B CP ACC A ⊥平⾯?若存在，求1C P 与1PA 的⽐值，若不存在，说明理由．12．已知某⼏何体直观图和三视图如图所⽰，其正视图为矩形，侧视图为等腰直⾓三⾓形，俯视图为直⾓梯形.（1）求证：BN 11C B N ⊥平⾯；（2）11sin C N CNB θθ设为直线与平⾯所成的⾓,求的值；（3）设M 为AB 中点，在BC 边上找⼀点P ，使MP //平⾯1CNB 并求BPPC的值. 13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是棱,BC AB 的中点，点F 在1CC 棱上，且AB AC =，13AA=，2BC CF ==.（1）求证：1//C E 平⾯ADF ；（2）当2AB =时，求⼆⾯⾓111A C E B --的余弦值.14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1CA CB ==，12AA =，90BCA ?∠=．（1）求异⾯直线1BA 与1CB 夹⾓的余弦值；（2）求⼆⾯⾓1B AB C --平⾯⾓的余弦值．15．已知正三棱柱中，、分别为的中点，设.（1）求证：平⾯平⾯；（2）若⼆⾯⾓的平⾯⾓为，求实数的值，并判断此时⼆⾯⾓是否为直⼆⾯⾓，请说明理由.16．在直三棱柱中，13,2,AA AB BC AC D ====是AC 中点. （Ⅰ）求证：1B C //平⾯1A BD ；（Ⅱ）求点1B 到平⾯1A BD 的距离；（Ⅲ）求⼆⾯⾓11A DB B --的余弦值.17．如图,在三棱柱ABC -111A B C 中,侧棱与底⾯垂直,090BAC ∠=,AB AC =1AA =2=,点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点.(1)证明:1A M ⊥MC ;(2)求⼆⾯⾓N MC A --的正弦值.18．如图，四边形ABCD 是正⽅形，EA ⊥平⾯ABCD ，//EA PD ，22AD PD EA ===，F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点.（1）求证：//FG 平⾯PED ；（2）求平⾯FGH 与平⾯PBC 所成锐⼆⾯⾓的⼤⼩；（3）在线段PC 上是否存在⼀点M ，使直线FM 与直线PA 所成的⾓为3π若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由.19．已知五边形ABCDE 是由直⾓梯形ABCD 和等腰直⾓三⾓形ADE 构成，如图所⽰， AB AD ⊥， AE DE ⊥， AB CD ，且224AB CD DE ===，将五边形ABCDE 沿着AD 折起，且使平⾯ABCD ⊥平⾯ADE .（Ⅰ）若M 为DE 中点，边BC 上是否存在⼀点N ，使得MN 平⾯ABE ？若存在，求BNBC的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求⼆⾯⾓A BE C --的平⾯⾓的余弦值.20．如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的多⾯体中，四边形ACDF 是菱形，60,,//FAC AC BC AB DE ∠=?⊥， //,2,1,BC EF AC BC BF ===（1）求证：BC ⊥平⾯ACDF ；（2）求⼆⾯⾓C AE F --的余弦值.21．在PABC 中，4PA =，PC =45P ∠=?，D 是PA 中点（如图1）.将PCD ?沿CD 折起到图2中1PCD ?的位置，得到四棱锥1P ABCD -.（1）将PCD ?沿CD 折起的过程中，CD ⊥平⾯1P DA 是否成⽴？并证明你的结论；（2）若1P D 与平⾯ABCD 所成的⾓为60°，且1PDA ?为锐⾓三⾓形，求平⾯1P AD 和平⾯1P BC 所成⾓的余弦值.22．四棱锥P ABCD -中，侧⾯PDC 是边长为2的正三⾓形，且与底⾯垂直，底⾯ABCD 是60ADC ∠=?的菱形，M 为PB 的中点，Q 为CD 的中点.（1）求证：PA CD ⊥；（2）求AQ 与平⾯CDM 所成的⾓.23．如图，在正⽅体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别是棱BC ，A 1B 1，B 1C 1的中点．（1）求异⾯直线EF 与DG 所成⾓的余弦值；（2）设⼆⾯⾓A —BD —G 的⼤⼩为θ，求 |cos θ| 的值．24．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 60DAB DBF ∠=∠=?，且F A F C =.（1）求证：AC ⊥平⾯BDEF ；（2）求直线AF 与平⾯BCF 所成⾓的正弦值.25．如图，在正⽅体1111ABCD A B C D -中，,F G 分别是棱1,CC AD 的中点，E 为棱AB 上⼀点，且异⾯直线1B E 与BG 所成⾓的余弦值为25.（1）证明：E 为AB 的中点；（2）求平⾯1B EF 与平⾯11ABC D 所成锐⼆⾯⾓的余弦值.26．如图，ABC ?中，02,4,90AC BC ACB ==∠=，,D E 分别是,AC AB 的中点，将ADE ?沿DE 折起成PDE ?，使⾯PDE ⊥⾯BCDE ，,H F 分别是PD 和BE 的中点，平⾯BCH 与PE ，PF 分别交于点,I G .（1）求证：//IH BC ；（2）求⼆⾯⾓P GI C --的正弦值.27．如图，矩形ABCD 中，6AB =，AD =点F 是AC 上的动点．现将矩形ABCD沿着对⾓线AC 折成⼆⾯⾓D AC B '--，使得D B '=．（Ⅰ）求证：当AF =D F BC '⊥；（Ⅱ）试求CF 的长，使得⼆⾯⾓A D F B -'-的⼤⼩为4π．28．如图，在三棱锥P ABC -中，,,CP CA CB 两两垂直且相等，过PA 的中点D 作平⾯α∥BC ，且α分别交PB ，PC 于M 、N ，交,AB AC 的延长线于,E F ．（Ⅰ）求证：EF ⊥平⾯PAC ；（Ⅱ）若2AB BE =，求⼆⾯⾓P DM N --的余弦值.29．如图1，在M B C △中，24BM BC ==，BM BC ⊥，A ，D 分别为BM ，MC 的中点．将MAD △沿AD 折起到PAD △的位置，使90PAB ∠=，如图2，连结PB ，PC ．（Ⅰ）求证：平⾯PAD ⊥平⾯ABCD ；（Ⅱ）若E 为PC 中点，求直线DE 与平⾯PBD 所成⾓的正弦值；（Ⅲ）线段PC 上是否存在⼀点G ，使⼆⾯⾓G AD P --求出PGPC的值；若不存在，请说明理由．30．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平⾯ABCD ，底⾯ABCD 是菱形.（1）求证：BD ⊥平⾯PAC ；（2）若PA AB BD ==，求PC 与平⾯PBD 所成⾓的正弦值.31．如图，四棱锥P ABCD -中，底⾯ABCD 为梯形，PD ⊥底⾯ABCD ，//,,1,AB CD AD CD AD AB BC ⊥===过A 作⼀个平⾯α使得//α平⾯PBC .（1）求平⾯α将四棱锥P ABCD -分成两部分⼏何体的体积之⽐；（2）若平⾯α与平⾯PBC PA 与平⾯PBC 所成⾓的正弦值.32．如图⼏何体ADM-BCN 中，ABCD 是正⽅形，CD //NM ，,AD MD CD CN ⊥⊥，MDC ∠=120o ，30CDN ∠=，24MN MD ==.（Ⅰ）求证：//AB CDMN 平⾯；（Ⅱ）求证：DN AMD ⊥平⾯；（Ⅲ）求⼆⾯⾓N AM D --的余弦值.33．如图所⽰，在四棱锥P ABCD -中，底⾯ABCD 为正⽅形，PA ⊥平⾯ABCD ，且1PA AB ==，点E 在线段PC 上，且2PE EC =. （Ⅰ）证明：平⾯BDE ⊥平⾯PCD ；（Ⅱ）求⼆⾯⾓P BD E --的余弦值.34．在如图所⽰的多⾯体ABCDE 中，AB ⊥平⾯ACD ，DE ⊥平⾯ACD ，AC AD CD DE 2AB 1G =====，，为AD 中点，F 是CE 的中点. （1）证明：BF 平⾯ACD （2）求点G 到平⾯BCE 的距离.35．如图所⽰，四棱锥P ABCD -的侧⾯PAD ⊥底⾯ABCD ，底⾯ABCD 是直⾓梯形，且//,AB CD AB AD ⊥,12CD PD AD AB ===,E 是PB 中点.（1）求证：CE ⊥平⾯PAB ；（2）若4CE AB ==，求直线CE 与平⾯PDC 所成⾓的⼤⼩.36．如图，在四棱锥E ABCD -中，ABD ?是正三⾓形，BCD ?是等腰三⾓形，120BCD ∠=，EC BD ⊥．（1）求证：BE DE =；（2）若AB =AE =EBD ⊥平⾯ABCD ，直线AE 与平⾯ABD 所成的⾓为45°，求⼆⾯⾓B AE D --的余弦值．37．如图1，在平⾏四边形11ABB A 中，160ABB ∠=?，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点，现把平⾏四边形11ABB A 1沿C 1C 折起如图2所⽰，连接1B C 、1B A 、11B A ．（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB =11C AB A --的正弦值．38．如图,已知四棱锥S ABCD -中,底⾯ABCD 是边长为2的菱形,60BAD ∠=?,SA SD SB ===点E 是棱AD 的中点,点F 在棱SC 上,且SF SC λ=,SA //平⾯BEF .（1）求实数λ的值;（2）求⼆⾯⾓S BE F --的余弦值.39．如图所⽰，在四棱锥P ABCD -中，平⾯PAD ⊥平⾯ABCD ，底⾯ABCD 是正⽅形，且PA PD =，90APD ?∠=.（Ⅰ）证明：平⾯PAB ⊥平⾯PCD ；（Ⅱ）求⼆⾯⾓A PB C --的余弦值.40．如图，空间四边形OABC 中，,OA BC OB AC ⊥⊥.求证：OC AB ⊥.41．如图，直⾓梯形BDFE 中，||EF BD ，BE BD ⊥，EF =等腰梯形ABCD 中，||AB CD ，AC BD ⊥，24AB CD ==，且平⾯BDFE ⊥平⾯ABCD . （1）求证：AC ⊥平⾯BDFE ；（2）若BF 与平⾯ABCD 所成⾓为4π，求⼆⾯⾓B DF C --的余弦值.42．在如图所⽰的⼏何体中，正⽅形ABEF 所在的平⾯与正三⾓形ABC 所在的平⾯互相垂直，//CD BE ，且2BE CD =，M 是ED 的中点．（1）求证：//AD 平⾯BFM ；（2）求⾯EDF 与⾯ADB 所成锐⼆⾯⾓的⼤⼩．43．如图，四⾯体中，分别是的中点，（1）求证：平⾯;（2）求直线与平⾯所成⾓的正弦值.44．如图，已知正⽅体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，CC '，AA '，C D ''的中点.（1）求证：EF 平⾯GHD ；（2）求直线EF 与BD '所成的⾓.45．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底⾯ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，PAB ?为正三⾓形，且侧⾯P AB ⊥底⾯ABCD ，E 为线段AB 的中点，M 在线段PD 上.（I ）当M 是线段PD 的中点时，求证：PB // 平⾯ACM ；（II ）求证：PE AC ⊥；（III ）是否存在点M ，使⼆⾯⾓M EC D --的⼤⼩为60°，若存在，求出PMPD的值；若不存在，请说明理由．46．长⽅形ABCD 中，2AB AD =，M 是DC 中点（图1）．将△ADM 沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中：（1）求证：平⾯ADM ⊥平⾯ABCM ；（2）在线段BD 上是否存点E ，使得⼆⾯⾓E AM D --为⼤⼩为π4，说明理由． 47．如下图，在空间直⾓坐标系O xyz -中，正四⾯体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD 的顶点,,A B C 分别在x 轴，y 轴，z 轴上.（Ⅰ）求证：//CD 平⾯OAB ；（Ⅱ）求⼆⾯⾓C AB D --的余弦值.48．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平⾯ABCD ,底⾯ABCD 为梯形， //AD BC ,AB DC ==1122AD AA BC ===，点P ，Q 分别为11A D ，AD 的中点.（Ⅰ）求证：//CQ 平⾯1PAC ；（Ⅱ）求⼆⾯⾓1C AP D --的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点E ，使PE 与平⾯1PAC 所成⾓的正弦值是21若存在，求BE 的长；若不存在，请说明理由.49．如图在棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，PD ⊥⾯ABCD ，2PB =，PB 与⾯PCD 成045⾓，PB 与⾯ABD 成030⾓.（1）在PB 上是否存在⼀点E ，使PC ⊥⾯ADE ，若存在确定E 点位置，若不存在，请说明理由；（2）当E 为PB 中点时，求⼆⾯⾓P AE D --的余弦值.50．如图所⽰，在底⾯为正⽅形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，1111,2,3AA A B A D AB AA B π===∠=.（1）证明：平⾯1A BD ⊥平⾯11A BC ；（2）求直线1AC 与平⾯1DBC 所成⾓的正弦值.51．如图，在等腰梯形ABCD 中，060ABC ∠=，上底2CD =，下底4AB =，点E 为下底AB 的中点，现将该梯形中的三⾓形BEC 沿线段EC 折起，形成四棱锥B AECD -.（1）在四棱锥B AECD -中，求证：AD BD ⊥；（2）若平⾯BEC 与平⾯AECD 所成⼆⾯⾓的平⾯⾓为0120，求直线AE 与平⾯ABD所成⾓的正弦值.52．如图，已知四棱锥P ABCD - 中，//,,3,4,4,AB CD AB AD AB CD AD AP ⊥====060PAB PAD ∠=∠=.（1）证明：顶点P 在底⾯ABCD 的射影在BAD ∠的平分线上；（2）求⼆⾯⾓B PD C --的余弦值.53．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平⾯11AAC C ，12AA AB AC ===，160A AC ∠=.过1AA 的平⾯交11B C 于点E ，交BC 于点F .(l)求证：1A C ⊥平⾯1ABC ；(Ⅱ)求证：四边形1AA EF 为平⾏四边形； (Ⅲ)若是23BF BC =，求⼆⾯⾓1B AC F --的⼤⼩． 54．如图，在四棱锥P ABCD -中，底⾯ABCD 为梯形，平⾯PAD ⊥平⾯,//,ABCD BC AD ,PA PD ⊥,60,AB AD PDA E ⊥∠=为侧棱PD 的中点，且2,4AB BC AD ===.（1）证明：//CE 平⾯PAB ；（2）求⼆⾯⾓A PB C --的余弦值.55．如图1，梯形ABCD 中，AD BC ∥，CD BC ⊥，1BC CD ==，2AD =，E。
高考数学立体几何大题30题
高考数学立体几何大题30题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN立体几何大题1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，CD 是斜边上的高沿CD 把△ABC 折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A ，B 的位置，使二面角A －CD －B 是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC 上确定一个P ，使DP 与平面ABC 内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．解：（1）用直尺度量折后的AB 长，若AB ＝4cm ，则二面角A －CD －B 为直二面角．∵ △ABC 是等腰直角三角形，(),cm 22DB AD ==∴又∵ AD ⊥DC ，BD ⊥DC ．∴ ∠ADC 是二面角A －CD －B 的平面角．有时当,cm 4AB ,22DB AD ===.90ADB .AB DB AD 222︒=∠∴=+（2）取△ABC 的中心P ，连DP ，则DP 满足条件 ∵ △ABC 为正三角形，且 AD ＝BD ＝CD ．∴ 三棱锥D －ABC 是正三棱锥，由P 为△ABC 的中心，知DP ⊥平面ABC ， ∴ DP 与平面内任意一条直线都垂直．（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r ，故有ABC O ABD O ADC O BCD O BCD A V V V V V -----+++=代入得3623r -=，即半径最大的小球半径为3623-．A B C 第1题图 AB CD 第1题图2．如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A 1B ，过A 作AF ⊥A 1B 垂足为F ，且AF 的延长线交B 1B 于E 。
高考数学立体几何选择题
高考数学立体几何选择题1. 题目：一个正方体的对角线长为6，求正方体的边长。
选项：A. 2 B. 3 C. 4 D. 52. 题目：一个圆柱的底面半径为3，高为4，求圆柱的侧面积。
选项：A. 12π B. 24π C. 36π D. 48π3. 题目：一个圆锥的底面半径为4，高为5，求圆锥的侧面积。
选项：A. 2π B. 4π C. 6π D. 8π4. 题目：一个长方体的长、宽、高分别为4、3、2，求长方体的对角线长度。
选项：A. 5 B. 6 C. 7 D. 85. 题目：一个球的直径为10，求球的表面积。
选项：A. 314 B. 628 C. 1256 D. 25126. 题目：一个正四面体的棱长为3，求正四面体的外接球半径。
选项：A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 题目：一个圆台的上下底面半径分别为3和2，高为4，求圆台的侧面积。
选项：A. 2π B. 4π C. 6π D. 8π8. 题目：一个正方体的对角线长为8，求正方体的体积。
选项：A. 64 B. 125 C. 216 D. 3439. 题目：一个圆柱的底面半径为5，高为6，求圆柱的体积。
选项：A. 9π B. 18π C. 27π D. 36π10. 题目：一个圆锥的底面半径为4，高为5，求圆锥的体积。
选项：A. π B. 2π C. 4π D. 8π11. 题目：一个长方体的长、宽、高分别为3、2、1，求长方体的体积。
选项：A. 6 B. 12 C. 18 D. 2412. 题目：一个球的直径为12，求球的体积。
选项：A. 4π B. 16π C. 64π D. 125π13. 题目：一个正四面体的棱长为4，求正四面体的体积。
选项：A. 2 B. 4 C. 8 D. 1614. 题目：一个圆台的上下底面半径分别为5和3，高为4，求圆台的体积。
选项：A. π B. 2π C. 4π D. 8π15. 题目：一个正方体的对角线长为10，求正方体的表面积。
高考必刷大题 空间向量与立体几何
故 2λ＝－2,2λ＋2μ－μt＝0， 3μt＝ 3，
解得
t＝23，从而D→F＝0，43，2
3
3.
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所以直线AE与DF所成角的余弦值为
|cos〈A→E，D→F〉|＝|AA→→EE|·|DD→→FF|＝
2 7×2
7＝37. 3
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4.(2023·成都模拟)如图所示，直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相 垂直，DB⊥AB，ED∥AB，AB＝2DE＝2BD＝2，AC＝BC，异面直线DE 与AC所成角为45°，点F，G分别为CE，BC的中点，点H是线段EG上靠近 点G的三等分点.
则有nn··B—C→CC→＝1 ＝x＋－x＋3y＝30z，＝0，
可取 n＝( 3，－1,1)，又—BA→1 ＝(1,0， 3)，
—→
所以点
A1 到平面
BCC1B1 的距离为| BA|n1|·n|＝2
3＝2 5
515，
所以所求距离为2 515.
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3.(2024·丹东模拟)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等， 平面CDD1C1⊥平面ABCD，AD⊥DC，二面角D1－AD－C的大小为120°， E为棱C1D1的中点.
(1)求证：A，B，F，H四点共面；
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如图，取AB的中点O，连接OC，OE， 因为AC＝BC，故∠BAC为锐角， 又ED∥AB， 故∠BAC即为异面直线DE与AC所成角， 则∠BAC＝45°， 则∠ACB＝90°，即AC⊥CB， 因为直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相垂直，DB⊥AB， 平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB⊂平面ABDE，
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设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)， 则nn··PP→→DB＝＝22xy－－22zz＝＝00，， 取 x＝1，得 n＝(1,1,1)， ∵A→M＝n，∴AM⊥平面 PBD.
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立体几何大题1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，CD 是斜边上的高沿CD 把△ABC 折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A ，B 的位置，使二面角A －CD －B 是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC 上确定一个P ，使DP 与平面ABC 内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值． 解：（1）用直尺度量折后的AB 长，若AB ＝4cm ，则二面角A －CD －B 为直二面角．∵ △ABC 是等腰直角三角形，(),cm 22DB AD ==∴又∵ AD ⊥DC ，BD ⊥DC ．∴ ∠ADC 是二面角A －CD －B 的平面角．有时当,cm 4AB ,22DB AD ===.90ADB .AB DB AD 222︒=∠∴=+（2）取△ABC 的中心P ，连DP ，则DP 满足条件 ∵ △ABC 为正三角形，且 AD ＝BD ＝CD ．∴ 三棱锥D －ABC 是正三棱锥，由P 为△ABC 的中心，知DP ⊥平面ABC ， ∴ DP 与平面内任意一条直线都垂直．（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r ，故有ABC O ABD O ADC O BCD O BCD A V V V V V -----+++=代入得3623r -=，即半径最大的小球半径为3623-．A B C 第1题图 AB CD 第1题图2．如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A 1B ，过A 作AF ⊥A 1B 垂足为F ，且AF 的延长线交B 1B 于E 。
（Ⅰ）求证：D 1B ⊥平面AEC ； （Ⅱ）求三棱锥B —AEC 的体积； （Ⅲ）求二面角B —AE —C 的大小. 证（Ⅰ）∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，∴D 1D ⊥ABCD .连AC ，又底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，由三垂线定理知 D 1B ⊥AC . 同理，D 1B ⊥AE ，AE ∩AC = A ， ∴D 1B ⊥平面AEC .解（Ⅱ）V B －AEC = V E －ABC . ∵EB ⊥平面ABC ，∴EB 的长为E 点到平面ABC 的距离. ∵Rt △ABE ~ Rt △A 1AB ，∴EB =.4912=A A AB∴V B －AEC = V E －ABC =31S △ABC ·EB =31×21×3×3×49 =.827（10分）解（Ⅲ）连CF ，∵CB ⊥平面A 1B 1BA ，又BF ⊥AE ，由三垂线定理知，CF ⊥AE .于是，∠BFC 为二面角B —AE —C 的平面角，在Rt △ABE 中，BF =59=⋅AE BE BA ， 在Rt △CBF 中，tg ∠BFC =35， ∴∠BFC = arctg 35.即二面角B —AE —C 的大小为arctg 35.A 1B 1C 13．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1，点M 在BC 上，△AMC 1是以M 为直角顶点的等腰直角三角形. （I ）求证：点M 为BC 的中点； （Ⅱ）求点B 到平面AMC 1的距离； （Ⅲ）求二面角M —AC 1—B 的正切值. 答案：（I ）证明：∵△AMC 1是以点M 为直角 顶点的等腰直角三角形， ∴AM ⊥MC 1且AM=MC 1 ∵在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 有CC 1⊥底面ABC. ∴C 1M 在底面内的射影为CM ， 由三垂线逆定理，得AM ⊥CM. ∵底面ABC 是边长为1的正三角形， ∴点M 为BC 中点. （II ）解法（一）过点B 作BH ⊥C 1M 交其延长线于H. 由（I ）知AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ， ∴AM ⊥平面C 1CBB 1.∴AM ⊥BH. ∴BH ⊥平面AMC 1. ∴BH 为点B 到平面AMC 1的距离. ∵△BHM ∽△C 1CM. AM=C 1M=,23 在Rt △CC 1M 中，可求出CC 1.22 .6623212211=⇒=⇒=∴BH BH M C BM CC BH 解法（二）设点B 到平面AMC 1的距离为h. 则11BMC A AMC B V V --=由（I ）知 AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ， ∴AM ⊥平面C 1CBB 1 ∵AB=1，BM=.22,23,2111===CC MC AM 可求出 AM S h S MB C AMC ⋅=⋅∆∆113131 232221213123232131⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯h66=h （III ）过点B 作BI ⊥AC 1于I ，连结HI.∵BH ⊥平面C 1AM ，HI 为BI 在平面C 1AM 内的射影. ∴HI ⊥AC 1，∠BIH 为二面角M —AC 1—B 的平面角. 在Rt △BHM 中，,21,66==BM BH ∵△AMC 1为等腰直角三角形，∠AC 1M=45°.∴△C 1IH 也是等腰直角三角形. 由C 1M=.332,63,23122==-=H C BH BM HM 有 ∴.36=HI .21==∠∴HI BH BIH tg 4．如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F 是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值． 证：（Ⅰ）取CE 中点M ，连结FM ，BM ，则有AB DE FM //21//．∴四边形AFMB 是平行四边形． ∴AF//BM ，∵⊂BM 平面BCE ， ⊄AF 平面BCE ， ∴AF//平面BCE ．（Ⅱ）由于DE ⊥平面ACD ， 则DE ⊥AF ．又△ACD 是等边三角形，则AF ⊥CD ．而CD ∩DE=D ，因此AF ⊥平面CDE ．又BM//AF ，则BM ⊥平面CDE ．BM AB V V V CDE B ACD B ABCDE ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=+=--22213124331232233233=⋅⋅+=． （Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，则CG ⊥AD ．由DE ⊥平面ACD ，⊂CG 平面ACD ，则DE ⊥CG ，又AD ∩DE=D ， ∴CG ⊥平面ADEB ．作GH ⊥BE 于H ，连结CH ，则CH ⊥BE ． ∴∠CHG 为二面角C-BE-D 的平面角． 由已知AB=1，DE=AD=2，则3=CG ，∴23122111212)21(21=⨯⨯-⨯⨯-⋅+=∆GBE S ． 不难算出5=BE ．∴23521=⋅⋅=∆GH S GBE ，∴53=GH ．∴315==∠GH CG CHG tg ． 5．已知：ABCD 是矩形，设PA=a ，PA ⊥平面ABCD.M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（Ⅰ）求证：MN ⊥AB ；（Ⅱ）若PD=AB ，且平面MND ⊥平面PCD ，求二面角P —CD —A 的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D —AMN 的体积. （Ⅰ）连结AC ，AN. 由BC ⊥AB ，AB 是PB 在底面ABCD 上的射影. 则有BC ⊥PB. 又BN 是Rt △PBC 斜边PC 的中线， 即PC BN 21=. 由PA ⊥底面ABCD ，有PA ⊥AC ，则AN 是Rt △PAC 斜边PC 的中线，即PC AN 21=BN AN =∴又∵M 是AB 的中点，AB MN ⊥∴（也可由三垂线定理证明）（Ⅱ）由PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，有PD ⊥DC.则∠PDA 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角由PA=a ，设AD=BC=b ，CD=AB=c ， 又由AB=PD=DC ，N 是PC 中点，则有DN ⊥PC又∵平面MND ⊥平面PCD 于ND ， ∴PC ⊥平面MND ∴PC ⊥MN ， 而N 是PC 中点，则必有PM=MC.b ac b c a =∴+=+∴.41412222 此时4,1π=∠=∠PDA PDA tg .即二面角P —CD —A 的大小为4π（Ⅲ）AMD N AMN D V V --=，连结BD 交AC 于O ，连结NO ，则NO 21PA. 且NO ⊥平面AMD ，由PA=a∥ ＝324231a NO S V AMD AMD N =⋅=∴∆-. 6．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点。
（I ）求二面角B 1—MN —B 的正切值； （II ）证明：PB ⊥平面MNB 1；（III ）画出一个正方体表面展开图，使其满足 “有4个正方形面相连成一个长方形”的条件， 并求出展开图中P 、B 两点间的距离。
解：（I ）连接BD 交MN 于F ，则BF ⊥MN ， 连接B 1F∵B 1B ⊥平面ABCD ∴B 1F ⊥MN 2分则∠B 1FB 为二面角B 1—MN —B 的平面角 在Rt △B 1FB 中，设B 1B=1，则FB =24∴tg B FB ∠122= 4分（II ）过点P 作PE ⊥AA 1，则PE ∥DA ，连接BE 又DA ⊥平面ABB 1A 1，∴PE ⊥平面ABB 1A 1 又BE ⊥B 1M ∴PB ⊥MB 1又MN ∥AC ，BD ⊥AC ，∴BD ⊥MN 又PD ⊥平面ABCD∴PB ⊥MN ，所以PB ⊥平面MNB 1 11分 （III ）PB =132，符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：7．如图，四棱锥P —ABCD 的底面是正方形,PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=2，点M 、N 分别在棱PD 、PC 上，且PC ⊥平面AMN.AB CD P A 1B 1C 1D 1第6题图MN（Ⅰ）求证：AM ⊥PD ；（Ⅱ）求二面角P —AM —N 的大小；（Ⅲ）求直线CD 与平面AMN 所成角的大小. （I ）证明：∵ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ，∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD. ∴CD ⊥平面PAD∵AM ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AM. ∵PC ⊥平面AMN ，∴PC ⊥AM. ∴AM ⊥平面PCD. ∴AM ⊥PD（II ）解：∵AM ⊥平面PCD （已证）.∴AM ⊥PM ，AM ⊥NM.∴∠PMN 为二面角P-AM-N 的平面角 ∵PN ⊥平面AMN ，∴PN ⊥NM.在直角△PCD 中，CD=2，PD=22，∴PC=23. ∵PA=AD ，AM ⊥PD ，∴M 为PD 的中点，PM=21PD=2由Rt △PMN ∽Rt △PCD ，得 ∴PCPM CD MN ⋅=..33arccos .33322)cos(=∠∴====∠∴PMN PC CD PM MN PMN 即二面角P —AM —N 的大小为33arccos .（III ）解：延长NM ，CD 交于点E.∵PC ⊥平面AMN ，∴NE 为CE 在平面AMN 内的射影 ∴∠CEN 为CD （即（CE ）与平在AMN 所成的角 ∵CD ⊥PD ，EN ⊥PN ，∴∠CEN=∠MPN. 在Rt △PMN 中，.33arcsin )2,0(.33)sin(=∠∴∈∠==∠MPN MPN PM MN MPN π∴CD 与平面AMN 所成的角的大小为33arcsin8．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°. BC=CC 1=a ，AC=2a . （I ）求证：AB 1⊥BC 1；（II ）求二面角B —AB 1—C 的大小； （III ）求点A 1到平面AB 1C 的距离. （1）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，∴CC 1⊥平面ABC ， ∴AC ⊥CC 1. ∵AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面B 1BCC 1.∴B 1C 是AB 1在平面B 1BCC 1上的射影.∵BC=CC 1， ∴四边形B 1BCC 1是正方形， ∴BC 1⊥B 1C. 根据三垂线定理得， AB 1⊥BC 1（2）解：设BC 1∩B 1C=O ，作OP ⊥AB 1于点P ， 连结BP.∵BO ⊥AC ，且BO ⊥B 1 C ， ∴BO ⊥平面AB 1C.∴OP 是BP 在平面AB 1C 上的射影. 根据三垂线定理得，AB 1⊥BP.∴∠OPB 是二面角B —AB 1—C 的平面角∵△OPB 1~△ACB 1， ∴,11AB OB ACOP = ∴.3311a AB AC OB OP =⋅=在Rt △POB 中，26==∠OPOB OPB tg ，∴二面角B —AB 1—C 的大小为.26arctg（3）解：[解法1] ∵A 1C 1//AC ，A 1C 1⊂平 面AB 1C ，∴A 1C 1//平面AB 1C. ∴点A 1到 平面AB 1C 的距离与点C 1到平面AB 1C.的 距离相等.∵BC 1⊥平面AB 1C ，∴线段C 1O 的长度为点A 1到平面AB 1C 的 距离.∴点A 1到平面AB 1C 的距离为.221a O C =[解法2]连结A 1C ，有C AA B C AB A V V 1111--=，设点A 1到平面AB 1C 的距离为h. ∵B 1C 1⊥平面ACC 1A 1， ∴1111C B S h S AC A ACB ⋅=⋅∆∆，又212121,22111a A A AC S a C B AC S AC A ACB =⋅==⋅=∆∆，∴.22222a a a a h =⋅= ∴点A 1到平面AB 1C 的距离为.22a9．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB =BC =2，BB 1=3，连接BC 1，过B 1作B 1E ⊥BC 1交CC 1于点E(Ⅰ)求证：AC 1⊥平面B 1D 1E ； (Ⅱ)求三棱锥C 1－B 1D 1E 1的体积；(Ⅲ)求二面角E －B 1D 1－C 1的平面角大小(1)证明：连接A 1C 1交B 1D 1于点O ∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体∴AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1是AC 1在平面A 1B 1C 1D 1上的射影 ∵AB =BC ，∴A 1C 1⊥B 1D 1，根据三垂线定理得：AC 1⊥B 1D 1； ∵AB ⊥平面BCC 1B 1，且BC 1⊥B 1E ， ∴AC 1⊥B 1E∵B 1D 1∩B 1E =B 1，∴AC 1⊥平面B 1D 1E 1(2)解：在RT △BB 1C 1中，111113tg 2B B BC B B C ∠==在RT △EC 1B 1中，C 1E =B 1C 1·tg ∠C 1B 1E =B 1C 1·ctg ∠BC 1B 1=22433=，∴V C 1－B 1D 1E = V D 1－B 1C 1E =1111111111118()3329B C E S C D B C C E C D ⋅=⨯⨯⨯=(3)解：连接OE ，∵△B 1C 1E 1 ≌△D 1C 1E 1 ， ∴B 1E =D 1E ∵O 是B 1D 1中点， ∴B 1D 1⊥OE ，∴∠C 1OE 是二面角E ―B 1D 1―C 1的平面角在RT △OC 1E 中，∵111tg C E C OE OC ∠== 所以，二面角E ―B 1D 1―C 1的平面角为 10．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，E 为DC 的中点，沿AE 将△AED 折起，使二面角D －AE －B 为60 ．（Ⅰ）求DE 与平面AC 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角D －EC －B 的大小．答案：如图1，过点D 作DM ⊥AE 于M ，延长DM 与BC 交于N ，在翻折过程中DM ⊥AE ，MN ⊥AE 保持不变，翻折后，如图2，∠DMN 为二面角D －AE －B 的平面角，∠DMN ＝60 ，AE ⊥平面DMN ，又因为AE ⊂平面AC ，则AC ⊥平面DMN ．A D BC E A B C ED第10题（Ⅰ）在平面DMN 内，作DO ⊥MN 于O ， ∵平面AC ⊥平面DMN ， ∴DO ⊥平面AC ．连结OE ，DO ⊥OE ，∠DEO 为DE 与平面AC 所成的角． 如图1，在直角三角形ADE 中，AD ＝3，DE ＝2，,1323DE AD AE 2222=+=+=.134AE DE ME ,136AE DE AD DM 2===⋅=如图2，在直角三角形DOM 中，,133360sin DM DO =︒⋅=在直角三角形DOE 中，13233DE DO DEO sin ==∠，则.26393arcsin DEO =∠ ∴DE 与平面AC 所成的角为.26393arcsin（Ⅱ）如图2，在平面AC 内，作OF ⊥EC 于F ，连结DF ，∵DO ⊥平面AC ，∴DF ⊥EC ，∴∠DFO 为二面角D －EC －B 的平面角．如图1，作OF ⊥DC 于F ，则Rt △EMD ∽Rt △OFD ，,DEEMDO OF = ∴.DEEMDO OF ⋅=如图2，在Rt △DOM 中，OM ＝DMcos ∠DMO ＝DM ·cos60 ＝133．如图1，.1318OF ,139MO DM DO ==+= 在Rt △DFO 中，,213OF DO DFO tg ==∠ ∴二面角D －EC －B 的大小为213arctg ．11．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝CB ＝AA 1＝2，∠ACB ＝90°，E 是BB 1的中点，D ∈AB ，∠A 1DE ＝90°.（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角D－A1C－A的大小.分平面，平面平面，平面，平面知，平面－由直三棱柱，分的中点是），，（，即，有①、②由②，又①，）（，∥），，（，），，（），，（），，（则分，），，（，可设，），，（，），，（又），，（，），，（则坐标系如图，为原点，建立空间直角以2..2..111.19022222222212222.12221111111111111⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⊥∴=⋂⊂⊥⊥∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴===∴=⋅∴︒=∠=+∴=+-∴-=-=∴--=--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈→-→--→-→-→-→-→--→-AABBCDABAABBABCABCCDAABBABCCBAABCABCDCBACABDDnmmnEDDADEAnmnmABADABnmADnmDAnmEDnmDABDBAEAC（Ⅱ）解：分的大小为－－二面角＞，＜分），，（的法向量，故可取平面平面显然），，（可取，可得令，即，且则有，），，（的法向量为设平面），，（，），，（3.33arccos.33131||||cos 4.010.111.11.0.022000.20201112121212111111111⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴=⋅=⋅∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⊥-=∴==-==+∴⎩⎨⎧=+=+=⋅=⋅===→→→→→→→-→→-→→→--→-A C A D n n nn n n n CA A CA A CB n z y x z x z x y x CA n CD n z y x n C DA CA CD12．如图，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，AC=BC=a ，点A 1在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，BA 1⊥AC 1。