最新数理统计大作业题目和答案--0348资料

1、设总体X 服从正态分布),(2
σμN ，其中μ已知，2
σ未知，n X X X ,,,21 为其样本，
2≥n ,则下列说法中正确的是（ ）。

（A ）
∑=-n
i i
X
n
1
2
2
)(μσ是统计量 （B ）
∑=n
i i
X
n
1
22
σ是统计量
（C ）
∑=--n
i i X n 1
2
2
)(1μσ是统计量 （D ）
∑=n
i i X n
1
2
μ
是统计量
2、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2
χY ，则
Y
X 3服从（ ）。

)(A )1,0(N )(B )3(t )(C )9(t )(D )9,1(F
3、设两独立随机变量)1,0(~N X ，2
~(16)Y χ
）。

)(A )1,0(N )(B (4)t )(C (16)t )(D (1,4)F
4、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ ）.
)
(A ∑
-=-1
1
1
1n i i X n )(B ∑=-n
i i X n 1
11 )(C ∑=n i i X n 21 )(D ∑-=111n i i X n 5、设4321,,,X X X X 是总体2
(0,)N σ的样本，2
σ未知，则下列随机变量是统计量的是
（ ）.
（A ）3/X σ； （B ）
4
1
4
i
i X
=∑； （C ）σ-1X ； （D ）
4
221
/i
i X
σ=∑
6、设总体),(~2
σμN X ，1,,n X X L 为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则
下列正确的是（ ）.
2() ~(,)A X N μσ 2() ~(,)
B n X N μσ 222
1
1
()
()~()n
i i C X n μχσ=-∑
()
~()D t n
7、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X ⋅⋅⋅是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为（ ）
( A ) . 12X X +
( B )
{}max ,15i X i ≤≤
( C ) 52X p +
( D )
()
2
51X X -
8、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2
(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。

则2
σ的最大似然估
计量为（ ）。

（A ）∑=-n i i X n 12)(1μ （B ）()2
11∑=-n i i X X n （C ）∑=--n i i X n 1
2
)(11μ（D ）()∑=--n i i
X X n 1211 9、设总体),(~2
σμN X ，1,,n X X ⋅⋅⋅为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，
则
服从（ ）分布.
2
() (,)A N μσ 2
() (,)B N n
σμ () ()C t n () (1)D t n -
10、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2
(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。

则2
σ的置信度为
1α-的区间估计的枢轴量为（ ）。

(A)
()
2
1
2
n
i i X μσ
=-∑ (B)
()
2
1
2
n
i i X μσ
=-∑ (C)
()∑=-n
i i
X X
1
2
2
1
σ
(D)
()
2
1
20
n
i i X X σ
=-∑
11、在假设检验中，下列说法正确的是（ ）。

(A) 如果原假设是正确的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第一类错误； (B) 如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误； (C) 第一类错误和第二类错误同时都要犯；
(D) 如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误。

12、对总体
2
~(,)X N μσ的均值μ和作区间估计，得到置信度为95%的置信区 间，意义是指这个区间（ ）。

(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值
(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含μ的值 13、设ˆθ是未知参数θ的一个估计量，若ˆE θθ≠，则ˆ
θ是θ的（ ）。

(A)极大似然估计 (B) 有偏估计 (C)相合估计 (D) 矩法估计 14、设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中
正确的是( ).
（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 15、设总体2
~(,)X N μσ，2σ未知，12,,
,n X X X 为样本，2S 为修正样本方差，则检
验问题：00:H μμ=，10:H μμ≠（0μ已知）的检验统计量为（ ）. （A
）
)0X S
μ-（B
）
)
0X μσ
- （C
）
)
0X μσ
-（D
）
)0X S
μ-.
16、设总体X 服从参数为λ的泊松分布()P λ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，则=X D ．
17、设321,,X X X 为来自正态总体),(~2
σμN X 的样本，若321cX bX aX ++为μ的一个无偏估计，则=++c b a _____。

18、设),(~2
σμN X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩估计值为 。

19、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，μ未知。

n X X X ,,,
21 为来自总体的样本，
则对假设2
020σσ=：H ；2021σσ≠：H 进行假设检验时，通常采用的统计量是
____________，它服从____________分布，自由度为____________。

20、设总体)4,1(~N X ,1210, ,
, X X X 为来自该总体的样本，10
1
110i i X X ==∑,则
()D X =______.
21、我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的特点是 ． 22、已知0.9(8,20)2F =，则0.1(20,8)F = ．
23、设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为 ． 24、检验问题：()()00:H F x F x =，()()00:H F x F x ≠（()0F x 含有l 个未知参数）的皮尔逊2
χ检验拒绝域为 ．
25、设621,,,X X X 为来自正态总体)1,0(N 的简单随机样本，设
26542321)()(X X X X X X Y +++++=
若使随机变量CY 服从2χ分布，则常数=C ．
26、设由来自总体2
(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是 （0.975 1.96μ=）.
27、若线性模型为()2
0,,n Y X E Cov I βεεεεσ=+⎧⎨==⎩
，则最小二乘估计量为 ． 28、若样本观察值1,,m x x L 的频数分别为1,,m n n L ，则样本平均值为 ．
29、若样本观察值1,,m x x L 的频数分别为1,,m n n L ，则样本方差为 ． 30、设f （t ）为总体X 的特征函数，()1,,n X X L 为总体X 的样本，则样本均值X 的特征函数为 ．
31、设X 服从自由度为n 的2
χ-分布，则其数学期望和方差分别是 ． 32、设()2
i i X n χ:
，i=1，…，k ，且相互独立。

则1
k
i i X =∑服从分布 ．
33、设总体X 服从均匀分布[0,]U θ，从中获得容量为n 的样本1,,n X X L ，其观测值为
1,,n x x L ，则θ的最大似然估计量为 ．
34、根据样本量的大小可把假设检验分为 ． 35、设样本1,,n X X L 来自正态总体()2
,N
μσ，μ未知，样本的无偏方差为2
S
，则检验
问题2222
0010:,:H H σσσσ≤>的检验统计量为 ．
36、对试验（或观察）结果的数据作分析的一种常用的统计方法称为 ． 37、设1217,,
,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则
a =____________.（2
0.99(16)32.0χ=）
38、设总体X 的密度函数为 ()36(),0;
0,
.x
x x p x θθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，X 1,X 2,…,X n 为总体X 的一个
样本，则θ的矩估计量为___________.
39、设总体X 的概率密度为(),
01,
1,
12,0,.
x p x x θθ<<⎧⎪
=-≤<⎨⎪⎩
其他，其中θ是未知参数
（0<θ<1）,X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的简单随机样本，则θ的矩估计量为___________. 40、设总体X 的分布函数为
F （x ,β）=11,1,0,
1.x x
x β
⎧->⎪⎨⎪≤⎩ 其中未知参数β>1，设X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本，则β的最大似然估计量___________. 41、设测量零件的长度产生的误差X 服从正态分布2
(,)N μσ，今随机地测量16个零件，得
16
1
8i
i X
==∑，16
21
34i i X ==∑. 在置信度0.95下，μ的置信区间为___________.
0.950.975((15) 1.7531,(15) 2.1315)
t t == 42、设由来自总体2
(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是 （0.975 1.96μ=）.
43、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X L 是来自总体的简单随机样本。

指出{}()2
12551,max ,15,2,i X X X i X p X X +≤≤+-之中哪些是统计量，哪些
不是统计量，为什么？
44、设总体X 服从参数为（N ，p ）的二项分布，其中（N ，p ）为未知参数，12,,,n X X X L 为来自总体X 的一个样本，求（N ，p ）的矩法估计。

45、设12,,,n X X X L 是取自正态总体()2,N μσ的一个样本，试问()22
1
11n
i
i S X X n ==--∑是2
σ的相合估计吗？
46、设连续型总体X 的概率密度为()()2
2,0
,00, 0x
x e x p x x θθθθ-⎧⎪>=>⎨⎪≤⎩
, 12,,,n X X X L 来自
总体X 的一个样本，求未知参数θ的极大似然估计量ˆθ
，并讨论ˆθ的无偏性。

47、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13
2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布。

若已知σ=0.01（厘米），试求总体均值μ的0.9的置信区间。

（0.95 1.65u =） 48、甲、乙两台机床分别加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布()21
1
,N
μσ与
()222,N μσ，为比较两台机床的加工精度有无显著差异。

从各自加工的轴中分别抽取若干
根轴测其直径，结果如下：
（()()0.9750.9756,7 5.12,7,6 5.70.F F ==）
49、为了检验某药物是否会改变人的血压，挑选10名试验者，测量他们服药前后的血压，如下表所列：
假设服药后与服药前血压差值服从正态分布，取检验水平为0.05，从这些资料中是否能得出该药物会改变血压的结论？
50、为了研究患慢性支气管炎与吸烟量的关系，调查了272个人，结果如下表：
试问患慢性支气管炎是否与吸烟量相互独立（显著水平α=0.05）？
51、设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：
52、设总体服从泊松分布P （λ），1,,n X X L 是一样本： （1）写出1,,n X X L 的概率分布； （2）计算2
,n EX DX ES 和；
（3）设总体容量为10的一组样本观察值为（1，2，4，3，3，4，5，6，4，
8）试计算样本均值, 样本方差和次序统计量的观察值。

53、设17,,X X L 为总体X 服从()0,0.25
N 的一个样本，求7214i i P X =⎛⎫
> ⎪⎝⎭
∑.（()2
0.975716.0128χ=）
54、设总体X
其中θ(0<θ<1)为未知参数。

已知取得了样本值x 1=1，x 2=2，x 3=1，试求θ的最大似然估计值。

55、求均匀分布],[21θθU 中参数21,θθ的极大似然估计．
56、为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校A 的9个学生，得分数的平均值为31.81=A x ，方差为76.602
=A s ；随机地抽取学校B 的15个学生，得分数的平均值为61.78=B x ，方差为24.482
=B s 。

设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立。

求均值差B A μμ-的置信水平为0.95的置信区间。

（()0.975227.266t =） 57、设A ，B 二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测
量值的修正方差分别为22
0.5419,0.6065A B s s ==，设2
A σ和2
B σ分别为所测量的数据总体（设为正态总体）的方差，求方差比22
/A B σσ的0.95的置信区间。

58、某种标准类型电池的容量（以安-时计）的标准差66.1=σ，随机地取10只新类型的电池测得它们的容量如下
146，141，135，142，140，143，138，137，142，136 设样本来自正态总体),(2σμN ，2
,σμ均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设（取
05.0=α）
：2
2122066.1:,66.1:≠=σσH H 。

59、某地调查了3000名失业人员，按性别文化程度分类如下：
试在α=0.05水平上检验失业人员的性别与文化程度是否有关。

（()2
0.9537.815χ=）
60、设总体X 具有贝努里分布b （1，p ），p ∈Θ=（0，1），1,,n X X L 是一样本，试求p 的无偏估计的方差下界。

1、（D ）；
2、 )(C ；
3、)(C ；
4、)(A ；
5、（B ）；
6、() ;C
7、( C ) ；
8、（B ）；
9、() D ；10 (C) ；11、(A)；12、 (D)；13、 (B) ；14、（A ）；15、（D ）.
16、/n λ，17、1，18、1.71，19、
2
2
(1)n S σ
-，2
χ，1n -,20、2/5，21、独立性，代表性；
22、1/2；23、21X -；24、()()2
2
11ˆ1ˆr i i i i n np n l np αχ-=⎧⎫-⎪⎪>--⎨⎬⎪⎪⎩⎭
∑；25、1/3；26、(4.412, 5.588)；27、()1
ˆX X X Y β
-''=。

28、11m j j j x n x n ==∑；29、2
2n 11()m j i j s n x x n ==-∑；30、n
t f
n ⎡⎤
⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦； 31、n,2n; 32、2
1k i i n χ=⎛⎫
⎪⎝⎭∑；33、()n X ；34、大样本检验与小样本检验；35、()2
22
1n S χσ-=； 36、方差分析法；37、8；38、ˆ2X θ=；39、32
X -；40、1
ˆln n
i
i n X β==∑；41、（0.2535,1.2535-）；42、（4.412,5.588）.
43、解：{}()2
1251,max ,15,i X X X i X X +≤≤-都是统计量，52X p +不是统计量，因p 是未知参数。

44、解：因为()
()()2
2
2
,1EX Np EX DX EX Np p Np ==+=-+，只需以2
1
1,n i i X X n =∑分
别代2
,EX EX 解方程组得22
2
ˆˆ,1n n S X N p X S X
==--。

45、解：由于
()2
2
1n S σ
- 服从自由度为
n-1的2
χ-分布，故
()
()()4
4
2
2
2
2
2,2111ES DS n n n σσσ==⨯-=--， 从而根据车贝晓夫不等式有
(
)
()2
422
2
2
2001n DS P S n σσεεε→∞
≤-≥≤
=−−−→-，所以()22111n i
i S X X n ==--∑是2σ的相合估计。

46、解：似然函数为
()()2
2
1
2
1
1
221
1
,ln ln ln ,
2n
i i i n
n
x x i
i
n
n
i
i i i n
i i x
x
x L e
e
L n x θ
θ
θθθθ
θ
θ
=--
====∑==
=-+-
∏∑∏
∏
()2
1
2
ln 2n
i
i x
d L n d θθθθ
==-+∑，令()ln 0d L d θθ=，得21
ˆ2n
i
i X
n
θ==∑.由于
()2
2
222
2
21
220011ˆ222222n
x x i
i EX
x x x E EX x e dx e d n
θθθ
θθθθθθ
--∞∞======Γ=∑⎰⎰，
因此θ的极大似然估计量ˆθ
是θ的无偏估计量。

47、解：()2
2
1
0.01, 2.14 2.10 2.11 2.12516
x σ==
+++=L ，置信度0.9，即α=0.1，查正态分布数值表，知()()1/21.650.95u α-Φ=Φ=, 即()
1.6510.90P U α≤=-=,从而1/20.95 1.65u u α-==
1/2 1.650.004α-=
=，所以总体均值μ的0.9的置信区间为
[][]1/21/2, 2.1250.004,2.1250.004 2.121,2.129x x αα--⎡⎤=-+=⎢
⎥⎣⎦
. 48、解：首先建立假设：
2222
012112:,:H H σσσσ=≠
在n=8，m=7, α=0.05时,
()()
()0.0250.9750.97511
7,60.195,7,6 5.70.6,7 5.12
F F F =
=
== 故拒绝域为{}0.195, 5.70F or F <>, 现由样本求得2
1s =0.2164，2
2s =0.2729，从而F=0.793，
未落入拒绝域，因而在α=0.05水平上可认为两台机床加工精度一致。

49、解：以X 记服药后与服药前血压的差值，则X 服从()2
,N
μσ，其中2
,μσ
均未知，这
些资料中可以得出X 的一个样本观察值：6 8 3 -4 6 -2 6 -1 7 2
待检验的假设为
01:0,:0H H μμ=≠ 这是一个方差未知时，对正态总体的均值作检验的问题，因此用t 检验法
当
()1/21T t n α-=
≤-时，接受原假设，反之，拒绝原假设。

依次计算有
()()()()
22
2116872 3.1,6 3.12 3.117.6556
101x s =
++++==-++-=-L L ， 2.3228t ==，
由于()()1/20.97519 2.2622t n t α--==， T 的观察值的绝对值 2.3228 2.2622t =>. 所以
拒绝原假设，即认为服药前后人的血压有显著变化。

50、解：令X=1表示被调查者患慢性气管炎，X=2表示被调查者不患慢性气管炎，Y 表示被调查者每日的吸烟支数。

原假设0H ：X 与Y 相互独立。

根据所给数据，有
()
222
2
2
3
..211
..2
2
4414518714541145229825/2722722724414518714541145272272272
441271871274112722891627227227244127187127272272ij i j i j i j
n n n n n n n χ==⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪
-⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭==+++⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⎛
⎫⎛⎫⎛--- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝++⨯⨯∑∑
2
1.223,41127272
⎫⎪
⎭=⨯对于α=0.05，由自由度（r-1）（s-1）=（2-1）（3-1）=2，查2χ-分布表()2
0.952 5.991χ=. 因
为2
χ=1.223<5.991，所以接受0H ，即认为患慢性气管炎与吸烟量无关。

51、解：样本容量为n=100
样本均值，样本方差，样本修正方差分别为
()()2222
22222033061522031
3.85,1001 3.85 1.9275,100
100100 1.9275 1.94696930619995.
9n n x s s s ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
==-===⨯=L L L ++++++ 52、解
（1）因为(),0,1,2,,0,!
i
x
i i i i P X x e x x λλλ-==
=>L 所以1,,n X X L 的概率分布为
()()11
1
1
,1,2,,,0,1,2,.!
!n
i
i
i x x n n
n i i i i i n
i i i i i P X x i n P X x e
e x x x λ
λ
λ
λ
=--===∑======
=∏∏
∏L L （2）因为EX DX λ==，所以2
11,,.n DX n n EX EX DX ES DX n n n n
λλλ--===
=== （3）10222
222211114011104,4 3.6, 4.10109
n n i n i i n i i i x x s x x x s s n n =====
==-=-===∑∑∑ 将样本观察值依照从小到大的顺序排列即得顺序统计量()()110,,x x L 的观察值如下：（1，2，3，3，4，4，4，5，6，8）。

53、解： 因每个i X 与总体X 有相同分布，故
20.5
i i X X -=服从()0,1N ，则2
7
7
211
040.5i i i i X X ==-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑服从自由度n=7的2χ-分布。

因为
77722211144161416i i i i i i P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=>=-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，查表可知()2
0.975716.0128χ=,
故72140.025.i i P X =⎛⎫
>= ⎪⎝⎭
∑
54、解：似然函数}1{}2{}1{}{)(3213
1
======
∏=X P X P X P x X
P θL i i i
)
1(2)1(25
22θθθθθθ-=⋅-⋅=
ln L (θ )=ln2+5ln θ+ln(1－θ) 求导
011
65)(ln =--=θ
θd θL d 得到唯一解为6
5
ˆ=θ
55、解：先写出似然函数 ⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=其他若,0,1),(2)()1(112
21θθθθθθn n X X L
似然函数不连续，不能用似然方程求解的方法，只有回到极大似然估计的原始定义，由似然函数，注意到最大值只能发生在
2)(11θθ≤≤≤n X X ）（
时；而欲),;(21θθX L 最大，只有使12θθ-最小，即使2ˆθ尽可能小，1ˆθ尽可能大，只能取
1ˆθ=)1(X ，2ˆθ=)(n X ．
56、解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差B A μμ-的置信水平为0.95的置信区间为
()⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++±-)22(151917.2)2(11975.021975.021t s n n t n n s x x w w B A
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+⨯±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=0739.2151
91266.77.2)22(151917.2975.0t s w ()()05.9,65.335.67.2-=±=
57、解：n=m=10, 1-α=0.95，α=0.05,
()()()()
1/20.975/21/21
1,19,9 4.03,1,10.24181,1F n m F F n m F m n ααα----==--=
=--,
从而
()()22221/2/211
0.541910.54191,,1,11,10.60654.030.60650.241[0.2223.601]8A A B B S S S F n m S F n m αα-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥
----⎣⎦
⎣⎦，故方差比22
/A B σσ的0.95的置信区间为[0.222，3.601]。

58、这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题。

检验统计量为
2
2
2
66.1)1(S n -=χ。

代入本题中的具体数据得到2
2
(101)12
39.1931.66
-⨯χ=
=。

检验的临界值为022.19)9(2
975.0=χ。

因为2
39.19319.022χ=>，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设0H ，即认为电池容量的标准差发生了显著的变化，不再为1.66。

59、解：这是列联表的独立性检验问题。

在本题中r=2，c=4，在α=0.05下， ()()()()220.950.95
1137.815r c χχ--==, 因而拒绝域为：{}27.815W χ=≥. 为了计算统计量(3.4)，可列成如下表格计算../i j n n n ⋅：
()()()2
2
2
2
4036.82023.2625644.47.23636.8
23.2
644.4
χ---=
+
++
=L
,
由于2
χ=7.326<7.815，样本落入接受域，从而在α=0.05水平上可认为失业人员的性别与文
化程度无关。

60、由于(), 1
,,1, 0p x f x p p x =⎧=⎨-=⎩
容易验证定理2.2.2的条件满足，且
()()()()2
1
0ln ,1,1i i x f x p I p f x p p p p =∂⎛⎫==
⎪∂-⎝⎭
∑， 所以方差下限是()()11
p p nI p n
-=
. 大家知道11n i i v
X X n n ===∑ (ν表示“１”发生的频率)是p 的无偏估计，而()
1p p p D X n
-=达到罗－克拉美不等式的。