第六章定积分的应用

解 设 x为积分变量，积分 y
y 2a
区间为0,2a, 在 0,2a
上任取小区间x, x dx,
则体积元素为
o x x dx
2a x
dV 2a2 dx 2a y2 dx 4ay y 2 dx
4a 2 1 cos t a 2 1 cos t 2 a1 cos t dt
一段距离r y, 外力所做的功 ，即功元素为
dW r y
2
r 2 y 2 dy
其中 9.8kN / m 3
10
将整个球移出水面所做的功为
W r r y r 2 y2 dy r
奇函数
r r
r
r2
y2
dy
r r
y
r2
y2
dy
r
2 r 3 y 1 ry 3
a 3 3 5cos t cos 3 t cos 2 t dt
V 2 a 3 3 5cos t cos 3 t cos 2 t dt 7 2a 3 0 6
P351 9、证明：由平面图形 0 a x b,0 y f x 绕 y 轴
旋转所成的旋转体的体积为
y
y f x
平行截面面积已知 V b Axdx a
旋转体
V
b
a
f
x2 dx
1
3、弧长
直角坐标 s b 1 y'2 dx a
参数方程 s '2 (t ) '2 (t )dt
极坐标系
s
r 2 r'2 d
平均值
y
b
1
a
b
a
f
xdx
4、
均方根 D 1 b f 2 xdx
ba a
三、在物理上的应用
2
2
d
cot
2
a
2
cot
2
1 3
cot
3
2
2
2
8a 2
y
3
a
min S 2
4axd x 8
0
3
8a 2
3a
ax2
0
•
O F a,0 x
3
5
P351 5（4）由摆线 x at sint, y a1 cos t 及 y 0
所围成的图形绕直线 y 2a 旋转所得旋转体的体积。
1、功的计算 2、水的压力 3、引力 4、有效值
2
P344 10.求由抛物线 y 2 4ax与过焦点的弦所围成的图形面积
的最小值。
y
解 由 y 2 4ax 知， 抛物线焦点
到准线的距离为2a 建立适当的极坐标系如图， 则在
•
O F a,0 x
该极坐标系下，抛物线的极坐标方程为
r 2a r cos
3 0
4 r 4
3
11
P368 8. 边长为 a和 b 的矩形薄板，与液面成 角斜沉于
液体内，长边平行于液面而位于深 h 处，设 a b, 液体的比
重为 , 试求薄板每面所受到的压力。
o
解 如图所示薄板与液面成 角， h
•h
建立如图所示的坐标系。
b
设 x 为积分变量，
a
x
h
s in
,
b
h
当
在
2
的右侧附近取值时，S ' 0;
所以 是函数取得极小值的点，也是它取得最小值的点。
2
4
min S 2a2
3
2
2
1 d 2a 2
1 cos 2
3
2
2
1 4 sin4
d
2
a2 2
3
2
2
csc4
2
d
a2
3
2
2
csc4
2
d
2
3
a 2
3 2 2
1
cot
密度为常数 。在圆心处有一质量为m 的质点 M，试求这细棒
即
r 2a
1 cos
所求图形的面积为
2
S
1 2
1
2a
cos
d ,
0, .
2a 2
1
d ,
1 cos 2
r, •
•
•O
x
3
S
'
2a
2
1
1
cos
2
1
1 cos 2
8a 2 cos
1 cos 2 1 cos 2
令 S ' 0, 得 .
2
当 在 2 的左侧附近取值时，S ' 0;
-2 o
2x
解得抛物线与圆的两个交点
2,1、 2,1 。
y' x
所以所求弧长为
2
L 2 2 1 x 2 dx 2 x 1 x 2 1 ln x 1 x 2
0
2
2
0
6 ln 2 3
9
P369 7.半径为 r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的 比重与水相同，现将球从水中取出，需做多少功？
解 建立如图所示的直角坐标系，
y
则圆的方程为 x 2 y 2 r 2
y r, r, 在 r, r 上任取小区间 y, y dy, 2r
要将球提到水面上， 与 y, y dy
对应的部分需移动 2r , 由于球的
oy dy
y
x
比重与水相同， 在水中运动的一段
距离 r y, 外力不做功，出水面所移动的
7
P369 5.圆盘x 22 y 2 1 绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积。
解 由P351 9. 知，所求体积为
V 2 2
3
x
1 x 22 dx
1
y y 1 x 22
令 x 2 sint,
则 x 2 sint,dx costdt.
o1
•
2
3x
x : 1 3;t : .
第六章 定积分的应用
一、定积分的元素法
1、选取积分变量 x 及积分区间[a,b]
2、在[a,b]上任取小区间 [x, x+ dx]，求出 U 的近似表达式
U dU f xdx
3、
U
b
a
f
xdx
二、在几何上的应用
（即积分元素）
1、面积
直角坐标
A
b
a
f
xdx
参数方程 （略）
极坐标系
A
1 2
2
d
2、体积
V
2
b
a
xf
xdx
解 设 x为积分变量，积分区间为
a,b, 在 a,b上任取小区间 x, x dx, 则体积元素为
dV 2xf xdx
V
2
b
a
xf xdx
o a x x dx b x
V x dx2 f x x 2 f x 2xf xdx f xdx2 2xf xdx
dx
f x
2x
22
V
4
2
2
sint
cos2
tdt
2
奇函数
4
2
2 cos 2
tdtwk.baidu.com
2
2
2
s
in
t
cos
2
tdt
8
2 1 cos 2tdt
0
8
t
1 2
sin2t
2 0
4
2
8
P369
6.求抛物线
y
1 x2 2
被圆
x2
y2
3所截下的有限
部分的弧长。
y
解
由
y 1 x2 2
x 2 y 2 3
sin
,
在
h
s in
,
b
h
sin
sin
x
x dx
•b h
x sin
上任取小区间x, x dx, 则压力元素为
dp x sin adx
所受压力为
p a sin
b h sin
h
xdx
1 ab 2h b sin
2
sin
12
P364 12. 设有一半径为R 、中心角为 的圆弧形细棒，其线