第五章_二次曲线的一般理论

y0 ) y0 )
a11 a12
x0 x0
a12 a22
y0 y0
a13 a23
0 0
(*)(5.2 1)
二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：
FF21((
x, x,
y) y)
a11 a12
x x
a12 a22
y y
a13 a23
0 0
(5.2 2)
如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心坐标
如果I2＝0，分两种情况：
当a11 a12 a13 时 ，(5.2 2)无 解 ， 没 有 中 心. a12 a22 a23
当a11 a12 a13 时，(5.2 2)无数多解，直线上所有点 a12 a22 a23
都 是 二 次 曲 线 的 中 心 ，这 条 直 线 叫 中 心 直 线 。
(a11X a12Y )x (a12 X a22Y ) y a13X a23Y 0.
(a11X a12Y )x (a12 X a22Y ) y a13X a23Y 0.
方向矢量 (a12 X a22Y ) : (a11X a12Y )
a11 a12 k a12 a22
(1)
因此方程(5.3-1)为一族平行于某一非渐近方向 X ,Y
的弦的中点轨迹方程. 得到了结论－－定理！
定理 5.3.1 二次曲线的一族平行弦的中点 轨迹是一条直线.
下面引进二次曲线直径的概念
定义 5.3.1
二次曲线的平行弦中点的轨迹
叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫
做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于
XF1(x, y) YF2 (x, y) 0,
例1
求椭圆或双曲线
x2 a2
y2 b2
1
的直径.
解
x2 y2 F (x, y) a2 b2 1 0,
F1 ( x,
y)
x a2
,
F2
(
x,
y
)
y b2
.
根据(5.3-1),共轭于非渐近方向 X :Y 的直径方程是
X a2
x
Y b2
y
0,
XF1(x, y) YF2(x, y) 0,
即:⑴椭圆型:I2>0；⑵抛物型:I2＝0；⑶双曲型:I2<0 2. 二次曲线的中心与渐近线
定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦 的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次 曲线的中心。
定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其充 要条件是：
FF21((
x0 , x0 ,
平行弦方向的直径.
有多少条直径?
推论 如果二次曲线的一族平行弦的方向为 X :Y，那
么共轭于这族平行弦的直径方程是
XF1(x, y) YF2 (x, y) 0. （5.3-4）
中心与非中心二次曲线的直径
1. 中心二次曲线
中心满足: F1(x, y) a11x a12 y a13 0, (2) F2 (x, y) a11x a22 y a23 0, (3)
1.二次曲线的渐近方向
定义5.2.1 满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二
次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向。
命题：任一二次曲线至多有二渐近方向，具体地
⑴当
wk.baidu.com
I2
a11 a 21
a12 0 时，曲线没有实渐近方向； a 22
⑵当 I 2 0 时，曲线有二不同实渐近方向；
⑶当 I 2 0 时，曲线有二相同实渐近方向。
③ 二次曲线为线心二次曲线
I 2 0, 且 a12 : a22 a13 : a23
定义5.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为 方向的直线叫做二次曲线的渐近线。
可见：椭圆型二次曲线没有实渐近线;双曲型二次曲线 有二不同实渐近线;而对抛物型二次曲线,若其为无心的, 则其没有渐近线,若其为线性的,则由于其渐近方向为
为渐近线，其中 ( x0 ,
y0
)
为
中心， X : Y 为渐近方向。
∴ ( X ,Y ) 0 且 F1(x0 , y0 ) X F2 (x0 , y0 )Y 0 ， ∴若 F ( x0 , y0 ) 0 ， 则l与曲线不相交，
若 F ( x0 , y0 ) 0 ，则 l 整个在曲线上。
§5.3 二次曲线的直径
如果点(x0 , y0 ) 满足方程(5.3-1)
XF1(x0 , y0 ) YF2 (x0 , y0 ) 0, (5.3-1)
那么方程(1)中将有绝对值相等而符号相反的两个根，
(X ,Y )t2 2[XF1(x0, y0 ) YF2 (x0, y0 )]t F(x0, y0 ) 0
点 (x0 , y0 ) 就是具有方向 X ,Y 的弦的中点，
事实上， X :Y 为渐近方向 ( X ,Y ) 0
或 X :Y 1:a01(1或X02:1) 2a(1a21X2 Y0, aa1122Y02, a120 0)
1
可见，对椭圆
x2 y2 a2 b2
1 ，∵
I2
a2 0
∴它没有实渐近方向；
0 1
1 a2b2
0
b2
对双曲线
x2 a2
y2 b2
a12 a22 a23
F1(x, y) a11x a12 y a13 0, (2) F2 (x, y) a11x a22 y a23 0, (3)
又分两种情形
无心曲线： a11 a12 a13 直径平行渐近方向 a12 a22 a23
因直径方程: XF1(x, y) YF2(x, y) 0,
(a11X a12Y )x (a12 X a22Y ) y a13X a23Y 0.
可以化为
F1(x, y) a11x a12 y a13 0,
或 F2 (x, y) a12 x a22 y a23 0
因此当 a11 a12 ，即二次曲线为中心曲线时, a12 a22
事实上，X :Y 为渐近方向 (X ,Y ) 0
a11 X 2 2a12 XY a22Y 2 0
a11 X 2 2a12 XY a22Y 2 0
a11
(
X Y
)2
2a12
X Y
a22
0
(a11 0)
或命题a2：2 (任YX一)2二次2a曲12线YX至多a有11 二 渐0 近(方a2向2 ，0具) 体地
(5.3-1)
显然，直径通过曲线的中心 (0,0)
例 2 求抛物线 y2 2 px 的直径.
解
F(x, y) 2 px y2 0,
F1(x, y) p, F2(x, y) y. 所以共轭于非渐近方向 X :Y 的直径为
Xp Yy 0,
即 y X p, XF1(x, y) YF2(x, y) 0, (5.3-1)
解 设 XX::YY 是二次曲线的一个非渐近方向，
即 (X ,Y) 0 ，
而(x0, y0 ) 是平行于方向 X :Y 的弦的中点，
那么过 (x0, y0 ) 的弦的方程为
x
y
x0 y0
Xt, Yt.
它与二次曲线 F(x, y) 0 的两交点(即弦的两端点) 由下列二次方程
(X ,Y )t2 2[XF1(x0, y0) YF2(x0, y0)]t F(x0, y0) 0
它的全部直径属于一个中心直线束，这个直线束的
中心就是二次曲线的中心；当 a11 a12 a13 ，即 a12 a22 a23
二次曲线为无心曲线时，直径属于一个平行线束；
定理 5.3.2 中心二次曲线的直径通过曲线 中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向, 线心二次曲线的直径只有一条,就是曲线的中心直线.
(1)
两根 t1与 t2 所决定,因为 (x0, y0)为弦的中点，所以有
t1 t2 0,
从而有 XF1(x0, y0 ) YF2 (x0, y0 ) 0.
这就是说平行于方向 X ,Y 的弦的中点 (x0, y0 ) 的
坐标满足方程
XF1(x, y) YF2 (x, y) 0, (5.3-1)
⑴当或I 2
a12
Xa1Y1 a 21
a012 a 22
(a011时，0,曲a1线2 有0二, a共12轭复0)渐近方向；
⑵当XI 2:Y 0 时(，a12曲线有 I二2 不) :同a11实渐(a近11 方 向0)；
⑶当或I 2Y:
0 时，曲线有二相同实渐近方向。 X (a12 I2 ) : a22 (a22 0)
定义5.2.4 有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线,没 有中心的二次曲线叫无心二次曲线,有一条中心直线的二 次曲线叫线心二次曲线,无心二次曲线和线心二次曲线统 称为非中心二次曲线。
二次曲线分类：
① 二次曲线为中心二次曲线
I2 0
② 二次曲线为无心二次曲线
I 2 0, 且 a12 : a22 a13 : a23
(ka22 X a22Y ) : (ka12 X a12Y ) a22 : a12
容易验证 a22 : a12 是渐近方向;因为此时：
(X ,Y ) a11X 2 2a12 XY a22Y 2 0
线心曲线：a11 a12 a13 k 直径就是其中心直线 a12 a22 a23
因为直径方程 XF1(x, y) YF2(x, y) 0,
X :Y a12 : a22 ，而这正是中心直线的方向，
∴它的渐近线即为中心直线。
渐近线求法：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐 近线的参数方程。
定理5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有
交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的 组成部分。
事实上，设
l
:
x
y
x0 y0
tX tY
1. 二次曲线的直径 在§5.1中我们已经讨论了直线与二次曲线相交
的各种情况，当直线平行于二次曲线的某一非渐近方 向时，这条直线与二次曲线总交于两点(两个不同实的， 两重合实的或一对共轭虚的),这两点决定了二次曲线的 一条弦. 现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹.
求二次曲线的一族平行弦的中点轨迹.
§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
教学目标：
⑴理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念； ⑵掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法； ⑶能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。
教学重点：
二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法。
教学难点：
根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。
§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
直径方程: XF1(x, y) YF2 (x, y) 0,
X (a11x a12 y a13) Y (a12x a22 y a23) 0,
所以, 直径过中心.
所有直径都过中心
1. 非中心二次曲线
非中心二次曲线满足 a11 a12 a13 或 a11 a12 a13
a12 a22 a23
因为已知曲线 F (x, y) 0的渐近方向为 X ' :Y ' 1:1, 所以对于非渐近方向 X :Y 一定有 X Y ,
因此曲线的共轭于非渐近方向 X :Y 的直径为
1 ，∵
I2
1 a2b2
0
∴它有二不同实渐近方向；
对双曲线 xy 1 ，∵
I2
1 4
0
∴它也有二不同实渐近方向；
对抛物线 y2 2 px ，∵
0 I2 1
0 0
0
∴它有二相同的实渐近方向；
定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆 型的,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的, 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的。
Y
所以抛物线 y2 2 px的直径平行于它的渐近方向 1: 0.
例 3 求二次曲线
F (x, y) x2 2xy y2 2x 2 y 3 0
的共轭于非渐近方向 X :Y 的直径.
解 F1(x, y) x y 1, F2(x, y) x y 1, 直径方程为
X (x y 1) Y(x y 1) 0, 即 (X Y )(x y 1) 0.
a11X a12Y a12 X a22Y 0
则 ( X ,Y ) a11X 2 2a12 XY a22Y 2 (a11X a12Y )X (a12 X a22Y )Y 0,
这与 X :Y 是非渐近方向的假设矛盾，所以(5.3-3)或(5.3-1)
是一个二元一次方程，它是 一条直线. 反过来，
XF1(x, y) YF2 (x, y) 0, (5.3-1)
即 X (a11x a12 y a13) Y (a12x a22 y a23) 0, (5.3-2)
或 (a11X a12Y )x (a12 X a22Y ) y a13X a23Y 0.
上列方程的一次项系数不能全为零，这时因为若 (5.3-3)