第五章_二次曲线的一般理论

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唐山师范学院本科教学大纲数学与应用数学数学与信息科学系目录《几何学》课程教学大纲3《数学分析》课程教学大纲10《高等代数》课程教学大纲31《大学物理》理论课程教学大纲43《概率论》课程教学大纲54《数学建模》课程教学大纲61《近世代数》课程教学大纲67《常微分方程》课程教学大纲71《C++程序设计（上）》课程教学大纲76《C++程序设计（下）》课程教学大纲88《复变函数》课程教学大纲96《微分几何》课程教学大纲103《数理统计》课程教学大纲109《实变函数》课程教学大纲116《泛函分析》课程教学大纲121《高等几何》课程教学大纲126《数学史》课程教学大纲132《组合数学》课程教学大纲136《数学英语》课程教学大纲142《分析方法》课程教学大纲145《代数方法》课程教学大纲154《点集拓扑学》课程教学大纲161《数值分析》课程教学大纲169《模糊数学》课程教学大纲180《数学物理方程》课程教学大纲188《数学实验》课程教学大纲194《运筹学》课程教学大纲199《差分方程》课程教学大纲206《应用随机过程》课程教学大纲212《数据库原理与应用》课程教学大纲219《Flash动画制作》课程教学大纲230《网页制作》课程教学大纲250《Photoshop》课程教学大纲270《C-Sharp程序设计》课程教学大纲279《信息与编码》课程教学大纲284《图形与图像处理》课程教学大纲290《小波分析》课程教学大纲298《密码学》课程教学大纲302《数学教学论》课程教学大纲308《教学指导与教学技能训练》课程教学大纲316数学与信息科学系教育实习教学大纲319《毕业论文》教学大纲 323《几何学》课程教学大纲课程编码：171100020课程性质：学科基础必修课程适用专业：数学与应用数学专业学时学分：60学时4.5学分所需先修课：高中数学编写单位：数信系编写人：杨景飞审定人：樊丽丽编写时间：2014年6月一、课程说明1、课程简介解析几何是大学本科数学与应用数学及信息与计算科学专业的一门重要基础课，它是数学分析、代数等许多数学分支产生和发展的基础和背景。

第五章二次曲线一般理论

第五章二次曲线的一般理论主要问题：（1）几何性质（2）化简（3）分类5.1 二次曲线与直线的相关位置（x y y x y xy x 240256102222==+--+-与）一、预备知识1、在平面上由)1(0222),(33231322212211=+++++=a y a x a y a xy a x a y x F 所表示的曲线，叫做二次曲线（系数都为常数）2、关于虚点⎩⎨⎧+==b kx y y x F 0),( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-+=+)222,222(2)222,222(122i i y x i i y x平面上建立笛卡尔坐标系后，一对有序常数),(y x 表示平面上一个点，如果y x ,中至少有一个是虚数，我们仍认为),(y x 表示平面上一个点。

（一对共轭虚点的中点是实点）3、记号33231322212211222),(a y a x a y a xy a x a y x F +++++='131211121),(x F a y a x a y x F =++= '232212221),(y F a y a x a y x F =++=3323133),(a y a x a y x F ++= 222122112),(y a xy a x a y x ++=φ容易验证：),(),(),(),(321y x F y x yF y x xF y x F ++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲线)(I 的矩阵 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*22121211a aa a A ),(y x φ的矩阵 A I a a a a I a a I ==+=322121211222111,,33232322331313111a a a a a a a a k +=例：写出下列二次曲线的矩阵321,,F F F A 及04762)3(2)2(1)1(2222222=-+-+-==+y x y xy x x y by a x二、相关位置二次曲线0),(=y x F 与过点且具有方向Y X :的直线⎩⎨⎧+=+=Yt y y Xt x x 00联立，0),(]),(),([2),(000020012=+++⇒y x F t Y y x F X y x F t Y X φ1、),(),(]),(),([,0),(002002001y x F Y X Y y x F X y x F Y X φφ-+=∆≠ 010>∆ 方程有两个不等实根⇒21,t t 有两个不同的实交点 020=∆ 方程有两个相等实根⇒21,t t 有两个相互重合的实交点 030<∆ 方程有两个共轭虚根⇒交于两个共轭的虚点2、0),(=Y X φ0),(),(10020010≠+Y y x F X y x F ，有唯一实根⇒有唯一实交点 ⇒≠=+0),(0),(),(2000020010y x F Y y x F X y x F 而没有交点⇒==+0),(0),(),(3000020010y x F Y y x F X y x F 且直线全部在二次曲线上 eg1、试确定的值k 使直线05=+-y x 与二次曲线032=++-k y x x 交于两个不同实点，043122=--+⎩⎨⎧+=+=y xy y x t k y ktx 与二次曲线交于一点注：平面直线方程：Yy y X x x 00-=- b kx y +=⎩⎨⎧+=+=Yt y y Xtx x 005.2、二次曲线的渐近方向、中心、渐近线一、渐近方向1、定义：满足Y X Y X :0),(的方向=φ叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向)1(02),(22212211=++=Y a XY a X a Y X φ 渐近方向Y X :总有确定的点 2、按渐近方向分类若112122212211110)(2)()1(,0a I a Y X a Y X a Y X a a -±-=⇒=++≠改写成若22212220a I a X Y a -±-=⇒≠ 若,02211==a a 则一定有10:1012或=⇒≠Y X a 此时00021212122<-==a a a I故02>I 二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向 02=I 二次曲线有一个渐近的实方向 02<I 二次曲线有两个渐近的实方向显然：二次曲线的渐近方向最多有两个，而非渐近方向有无穷个按渐近方向可分为三种类型（1） 02>I 椭圆形曲线 122=+y x （2） 02=I 抛物线曲线 2x y = （3） 02<I 双曲型曲线 122=-y x二、二次曲线的中心与渐近线定义：如果点c 是二次曲线通过它的所有弦的中点，称点c 是二次曲线的中心),(00y x c 是二次曲线的中心⎩⎨⎧==⇒0),(0),(002001y x F y x F推论：)0,0(是二次曲线的中心⇒曲线方程不含y x 与的一次项证：将直线方程代入，得：0),(]),(),([2),(000020012=+++y x F t Y y x F X y x F t Y X φ由于),(000y x M 是两交点的中心021=+⇒t t 0),(),(002001=+⇒Y y x F X y x F由于Y X :为任意非渐近方向⎩⎨⎧==⇒0),(0),(002001y x F y x F⎩⎨⎧=++=++003302201213012011a y a x a a y a x a（1）若有唯一中心方程有唯一解⇒⇒≠=0221212112a a a a I（2）若⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++⇒==⇒≠===—中心直线—中心上所有点都是二次曲线直线有无穷解）（无中心无解）（即0210131211231322121211231322121211221212112a y a x a a a a a a a a a a a a a a a a a I二次曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠==≠2313221212112313221212112200a a a a a a a a a a a a I I 线心曲线无心曲线非中心曲线中心曲线：定义：通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。

《解析几何》教学大纲

《解析几何》教学大纲课程编码：1512100803课程名称：解析几何学时/学分：48/3先修课程：适用专业：信息与计算科学开课教研室：代数与几何教研室一、课程性质与任务1．课程性质：本课程是信息与计算科学专业的一门重要的专业基础课。

2．课程任务：通过学习，使学生初步掌握解析几何的基本思想、基本理论和研究方法，积累必要的数学知识，培养学生抽象思维能力、建立数学模型的能力、推理和演算能力，提高学生利用解析几何知识分析问题和解决问题的能力。

二、课程教学基本要求要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论及其推导过程。

通过课程教学及习题训练等教学环节，使学生做到概念清晰、推理严密。

本课程的教学，一方面要注意培养学生从几何直观方面分析和洞察问题的能力，另一方面要使学生注意掌握必要的代数方法和计算技巧，能准确地进行计算。

成绩考核形式：期终成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％）。

成绩评定采用百分制，60分为及格。

三、课程教学内容第一章向量与坐标1．教学基本要求使学生掌握向量及其运算的概念，空间坐标系的建立。

2．要求学生掌握的基本概念、理论、技能通过本章学习，使学生理解建立空间坐标系的基本思想，会利用向量法解决一些几何问题。

掌握向量的各种运算及其运算规律。

3．教学重点和难点本章教学重点是向量的线性关系与向量的分解、两向量的数量积、两向量的向量积、三向量的混合积；教学难点是坐标系的建立，利用向量解决几何问题的基本方法。

4．教学内容第一节向量的概念1．向量的定义2．自由向量的定义3．共线向量的定义4．共面向量的定义第二节向量的加法1．向量加法的定义2．向量加法的运算规律3．向量减法的定义4．向量加法和减法的互换第三节数量乘向量1．数乘的定义2．数乘的运算规律第四节向量的线性关系与向量的分解 1．向量的线性分解定理2．向量线性相关、相性无关的定义3．向量线性相关的判定定理4．向量线性相关与两向量共线、三向量共面的关系第五节标架与坐标1．标架的定义2．坐标的定义3．用坐标进行向量的运算4．用坐标判定两向量共线、三向量共面5．线段的定比分点坐标第六节向量在轴上的射影1．向量在轴上的射影的定义2．向量在轴上的射影的计算公式第七节两向量的数量积1．两向量的数量积的定义2．两向量的数量积的运算规律3．用数量积为零来判断两向量垂直4．直角坐标系下用向量的坐标来表示数量积5．两点间的距离6．向量的方向余弦7．两向量的交角第八节两向量的向量积1．两向量的向量积的定义2．两向量的向量积的运算规律3．用向量积来判断两向量共线4．用向量积的模来计算平行四边形的面积5．直角坐标系下用向量的坐标来表示向量积第九节三向量的混合积1．三向量的混合积的定义2．利用三向量的混合积计算平行六面体的体积3．三向量的混合积的运算规律4．利用混合积为零来判断三向量共面5．直角坐标系下用向量的坐标来表示三向量的混合积★第十节三向量的双重向量积1．三向量的双重向量积的定义2．三向量的双重向量积的运算公式第二章轨迹与方程1．教学基本要求使学生掌握空间曲面方程与曲线方程的基本概念，能通过曲面或曲线上点的性质，建立曲面或曲线的方程。

完整版二次曲线的一般理论

第五章二次曲线的一般理论§ 5.1 二次曲线与直线的相关位置1. 求直线x-y-1=0与二次曲线2x2 xy y2 x 2y 1 0的交点.解：将y=x-1代入曲线方程,得2 22x x x 1 x 1 x 2 x 1 1 0,即0 0故直线在二次曲线上•2. 试决定k的值,使得(1) 直线x y 5 0与二次曲线x23x y k 0交于两不同实点；⑵直线x 1 kt与二次曲线x23y24xy y 0交于一点；y k t⑶直线x ky 1 0与二次曲线y22xy (k 1)y 1 0交于两个相互重合的实点x 1 t⑷已知直线与二次曲线2x2 4xy ky2 x 2y 0有两个共轭虚点，求ky 1 t的值解：(1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得2x 2x k 5 02Q 2 4 k 5 04k 16 0k 4时，直线与二次曲线有两个不同的实交点•1 2 0(2).二次曲线的矩阵为 2 3 1/20 1/2 0且v X，丫k,1 •, X o, y o 1,kk 1,3时,原直线与二次曲线交于一个实点k 49时，直线与二次曲线有两个共轭虚交点。

24§ 5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1. 求下列二次曲线的渐进方向，并指出曲线是属于何种类型的.1 x2 2xy y 2 3x y 0; 222 3x 4xy 2y 6x 2y 5 0;3 2xy 4x 2y 30.11 解:(1) Q X,Y X2 2XY Y 2 0时，X : Y1:1，同时 I ?0,11曲线有一个实渐进方向，是抛物型的k,1 k 2 4k 3 0,则 k 1 1,k 2 3,1)当 k . 1 时,F , X o y o X F 2 X o ，y o Y 0, 2).当 k 23时，F1X 0, y 0 X F 2X 0, y 0 Y1513 0,2(3). 二次曲线的矩阵为(1 11 (1 k)/20 k)/2 1解之, v X,Yk,1 , X o ,y o1 0,即―4k 1 1,k 25,2k0,即 k 2 6k 50,1)当 1时, X,Y k,1 2k 0, 2)当5时, 1,5 时, X,Y直线与二次曲线有二重合实交点.k,12k 0,(4).二次曲线的系数矩阵为22 1/21/ 2 1 01:( 1)取(X 0,y0)(“)，令V0,即[2(1k)(1)]2 (k 2)(3 k) 0 解得k24，且此时(1,1) 24( 1) k28282 Q X,Y 3X 2 4XY 2Y 2 0时,X :Y且i 23 2 2 o, 22曲线有两个共轭的虚渐进方向，是椭圆型的.•••曲线有两个渐进方向，是双曲型的•2. 判断下列二次曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线1 1解：(1) QI 21 0 ,故为中心曲线；1 21 2 1 2 Q A24 1711 1有I 21 2 0,且 9113]2a 1324a 12a 22a 23曲线为无心曲线；an a 12 a 13 1 ,且有一一一 3,-312a 22 a 23•••曲线为线心曲线. 3. 求下列二次曲线的中心 2 21 5x 2xy 3y 2x 3y 6 0;2 22 2x 5xy 2y 6x 3y 5 0;3 9x 2 30xy 25y 2 8x 15y 0;2 24 4x 4xy y 4x 2y 0.X;Y 0:1 或 1:0,且 *〈0,5x y 1解1由解得x13 2 2 1 x 2xy 2y 22 2 x 4xy 4y223 9x 6xy y4x 6y 3 0; 2x 2y 1 0;6x 2y 0.••中心为3 (, 13 )28 282x5 y 3 0 2 由 2解得x 1, y 2 5 2y 3 x2 2--中心为1,2 J3an ai 2 3 a134 Q ———a i2 a225 ^23 15 '2曲线没有中心.曲线为线心曲线，中心直线方程为2x-y+仁0.y y 。

高中数学二次曲线的一般方程解析及应用实例

高中数学二次曲线的一般方程解析及应用实例二次曲线是高中数学中的重要内容，它在几何形状、函数图像以及实际问题中都有广泛的应用。

本文将从一般方程的解析入手，通过具体的应用实例，深入讲解二次曲线的相关知识点和解题技巧。

一、二次曲线的一般方程解析二次曲线的一般方程为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为常数，且A、B、C不全为0。

根据系数B^2 - 4AC的正负，可以将二次曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种情况。

1. 椭圆：当B^2 - 4AC < 0时，二次曲线为椭圆。

椭圆是一个闭合曲线，具有两个轴，分别为长轴和短轴。

解析中，我们可以通过平移坐标轴的方法，将椭圆的一般方程化为标准方程。

例如，考虑方程2x^2 + 3xy + 4y^2 - 8x - 10y + 5 = 0，根据系数B^2 - 4AC =3^2 - 4(2)(4) = -23 < 0，可知该方程表示一个椭圆。

我们可以通过配方的方法将其化为标准方程，进而求得椭圆的焦点、离心率等重要参数。

2. 双曲线：当B^2 - 4AC > 0时，二次曲线为双曲线。

双曲线是一个开口的曲线，具有两个分支。

解析中，我们可以通过平移坐标轴的方法，将双曲线的一般方程化为标准方程。

例如，考虑方程3x^2 - 4xy + 2y^2 + 6x - 8y - 1 = 0，根据系数B^2 - 4AC = (-4)^2 - 4(3)(2) = 16 - 24 = -8 < 0，可知该方程表示一个双曲线。

我们可以通过配方的方法将其化为标准方程，进而求得双曲线的渐近线、焦点等重要参数。

3. 抛物线：当B^2 - 4AC = 0时，二次曲线为抛物线。

抛物线是一个开口向上或向下的曲线。

解析中，我们可以通过平移坐标轴的方法，将抛物线的一般方程化为标准方程。

例如，考虑方程x^2 + 4xy + 4y^2 - 6x - 10y + 9 = 0，根据系数B^2 - 4AC = (4)^2 - 4(1)(4) = 0，可知该方程表示一个抛物线。

解析几何(五)精品PPT课件

Ⅰ中心曲线 I2
a11 a21
a12 0 a22
Ⅱ非中心曲线 I2
a11 a21
a12 0 即 a11 a12
a22
a21 a22
ⅰ无心曲线： a11 a12 a13 a21 a22 a23
ⅱ线心曲线： a11 a12 a13 a21 a22 a23
3、二次曲线的渐进线 1、定义（渐近线）：过中心具有渐进方向的直线叫做二次曲线的渐近线。
a22
a21 a22 a21 a22 a23
若 a11 a12 a13 无数多解，中心构成一条直线 a21 a22 a23
a11X a12Y a13 0 或 a21X a22Y a23 0 这条直线叫中心直线。
定义：有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，无心二次曲线与线心二次曲线统称为中心二，
X
:Y
为渐近方向，那么
FF12
( (
X X
,Y ,Y
) )
0 且 Q(X ,Y )
0
0
渐近线⑵与二次曲线⑴的交点由方程
Q( X ,Y )t2 2[ XF1(x , y ) YF2 (x , y )]t F (x , y ) 0 的根确定。当 F ( X ,Y ) 0 ，渐
因此二次曲线的渐进方向最多有两个，而非渐进方向有无数个。
⑶二次曲线按渐进方向分类定义：没有实渐进方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐进方向的二次曲线叫做抛物型的，有两个实渐进方向的二次曲线叫做双曲型的。因此二次曲线⑴按其渐进方向可以分为三种类型：即
ⅰ椭圆型曲线： I2 0
ⅱ抛物型曲线： I2 0
2、

二次曲线的一般式-概述说明以及解释

二次曲线的一般式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次曲线是数学中重要的曲线类型之一。

它由二次方程所表示，是平面上的曲线。

在二次曲线上，点到定点的距离与点到定直线的距离的比值恒定，这是二次曲线独特的性质之一。

二次曲线广泛应用于几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域。

在几何学中，二次曲线的性质和特点被用于解决许多关于曲线的问题，如焦点、直径、切线和法线等。

在物理学中，二次曲线的运动方程被用于描述抛物线运动或者椭圆轨道等运动问题。

在工程学中，二次曲线常用于设计道路、桥梁和建筑物的曲线部分，以达到美观和结构稳定的目的。

在计算机图形学中，二次曲线被广泛应用于绘制曲线和曲面，用于创建平滑的图形效果。

本文将深入探讨二次曲线的一般式，包括其定义、性质和特点。

我们将介绍二次曲线的一般形式，并重点讨论其中的关键概念和公式。

通过学习二次曲线的一般式，读者能够更好地理解二次曲线的特性，并能够应用这些知识解决相关问题。

接下来的章节将按照以下结构展开：首先，我们将介绍二次曲线的定义和一般形式，包括其方程和基本图形。

然后，我们将深入研究二次曲线的性质和特点，例如焦点、直径和切线等。

最后，我们将总结二次曲线的一般式，并探讨其应用和意义。

在本文的剩余部分，读者将逐步了解二次曲线的复杂性和多样性，以及它们在数学和实际应用中的作用。

无论读者是初学者还是对二次曲线较为熟悉的人，本文都将为他们提供全面而深入的知识，帮助他们更好地理解和运用二次曲线的一般式。

文章1.2文章结构部分的内容可以如下编写：文章结构是指文章的整体组织和布局方式，在本文中分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分是文章的开端，概述了二次曲线的一般式的主题和背景，引起读者的兴趣。

其中，1.1小节对二次曲线的概念和定义进行解释，确保读者了解文章所涉及的数学概念。

1.2小节则介绍了本文的文章结构，提供了整篇文章的脉络，为读者理解文章内容奠定基础。

最后，1.3小节明确了本文的目的，即探究二次曲线的一般式，并说明了相关探究的意义。

解析几何课件

若、为数：
（3）若为数：
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解析几何
设
数量积的坐标表达式
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解析几何
由勾股定理
向量模的坐标表示式
向量的模与空间两点间距离公式
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解析几何
为空间两点.
空间两点间距离公式
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解析几何
空间两向量的夹角的概念：
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
定理
.
7
.
4
.
1
件是它们线性相关
三个向量共面的充要条
定理
.
8
.
4
.
1
线性相关
空间任何四个向量总是
定理
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解析几何
横轴
纵轴
竖轴
定点
空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向符合右手系.
§1.5 标架与坐标
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解析几何
Ⅶ
面
面
面
空间直角坐标系共有八个卦限
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅷ
2、坐标面与卦限
r
e
e
e
-
+
+
=
.
,
2
1
叫做平面上向量的基底
这时
e
e
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解析几何
例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.
A
B
C
D
E
F
P1
e1

《解析几何》课程教学大纲======1.doc

《解析几何》课程教学大纲课程代号：21090010总学时：讲授/理论52学时，实验/技术/技能20学时，上机/课外实践0 学时适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学先修课程：本课程是建立在中学《平面解析几何》与《立体几何》的基础上, 引进向量代数这个工具，在立体空间建立起空间坐标系，从而建立代数与空间几何的内在联系，达到用代数方法解决几何问题的目的。

一、本课程地位、性质和任务本课程为高等院校数学系各专业的一门必修的专业基础课程。

它为学习数学系的其它课程（诸如《数学分析》、《高等代数》及《微分几何》等打好基础，同时，它在自然科学与工程技术中，也有广泛的应用。

通过本课程的教学，应使学生系统地掌握空间解析几何的基础知识和基本理论；正确地理解和使用向量；在掌握几何图形性质的同时，提高运用代数方法，解决几何问题的能力；进一步培养学生的空间想象能力；能在较高的理论水平基础上，处理教学或工程技术中的有关问题。

二、课程教学的基本要求能够以向量代数为工具，用标架法建立空间直线、平面方程；掌握直线、平面的位置关系及几何量计算；掌握特殊曲面方程的推导并能利用平面截割法刻划曲面的几何性质；二次曲线（曲面）的一般理论。

三、课程学时分配、教学要求及主要内容（一）课程学时分配一览表早主要内容总学学时分配讲授讨论习题实验其他1向量与坐标181442轨迹与方程443平面与空间直线161244特殊曲面与二次曲16106面181265二次曲线的一般理论（二）课程教学要求及主要内容第一章向量与坐标教学目的和要求：向量代数及坐标法在自然科学和工程技术中有着广泛的应用。

本章是工具性的知识，是学习后面各章的基础。

本章通过向量代数与空间坐标系基本知识的教学，使学生能以向量为工具,研究并简单地解决某些几何问题。

教学重点和难点：1、透彻理解向量的有关基本概念。

2、牢固掌握向量的各种运算及其对应的几何意义与算律。

3、理解坐标系建立的依据以及向量与点坐标的意义，熟练地利用向量的坐标进行运算。

二次曲线的基本概念与性质

二次曲线的基本概念与性质二次曲线作为数学中的重要概念之一，具有广泛的应用和深入的理论研究。

它在几何学、物理学、经济学等学科中发挥着重要作用。

本文将介绍二次曲线的基本概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用二次曲线。

一、二次曲线的定义二次曲线是由二次方程所表示的曲线，其一般形式可以写成：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F是实数，且至少有一个系数不为零。

二、二次曲线的分类根据二次曲线的方程，我们可以将其分类为三种常见形式：椭圆、双曲线和抛物线。

1. 椭圆：椭圆是由平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹所形成的曲线。

椭圆的方程可以写成标准形式：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b 分别是椭圆的长半轴和短半轴。

2. 双曲线：双曲线是由平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹所形成的曲线。

双曲线的方程可以写成标准形式：(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)是双曲线的中心坐标，a和b 分别是双曲线的长半轴和短半轴。

3. 抛物线：抛物线是由平面上到定点的距离等于定直线的距离所形成的曲线。

抛物线的方程可以写成标准形式：y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)是抛物线的顶点坐标，a是抛物线的参数。

三、二次曲线的性质1. 对称性：椭圆、双曲线和抛物线都具有对称性。

椭圆具有关于x轴和y轴的对称性，双曲线具有关于坐标轴和原点的对称性，抛物线具有关于y轴的对称性。

2. 焦点和准线：椭圆和双曲线都有焦点和准线。

焦点是离心率所确定的两个定点之一，准线是离心率的长度倍的直线。

焦点和准线在二次曲线的性质中起着重要作用。

3. 弦和切线：二次曲线可以通过弦和切线来研究。

弦是连接曲线上两点的线段，切线是曲线上某点的斜率与曲线相切的直线。

4. 集中度和离心率：二次曲线的集中度和离心率是描述曲线形状的重要参数。

高等几何(第五章)

高等几何
第五章二次曲线的射影理论
➢ 这一章将用射影的观点研究二次曲线。 ➢ 首先介绍二次曲线的射影定义； ➢ 然后研究二次曲线的射影性质； ➢ 最后给出二次曲线的射影分类。
§1 二次曲线的射影定义
1.1 二次曲线的射影定义
➢我们既可以用点几何的观点讨论二次曲线又可以用线几何的观点来讨论，但是我们主要用点几何的观点讨论问题。
,
q3）
p1 p2
p3
已知点Q(q1,q2,q3)在直线p上：（q1,
q2
p3
, q3）
p1 p2
0.
p3
配极原则：若点Q在直线p上，则点Q的极线通过直线p 的极点。
A
O
K
P 在两个不同中心的射影对应
B’ S
A’ K’
M
O’
线束O(P)、O’ (P) 所构成的二
B 阶曲线上任取两点A、B，由这
两点向二阶曲线投射直线，得到两个线束A(M)、B(M).
✓ 须证明A(M) 与B(M) 射影对应，已知 O(M) 与O’ (M)
射影对应： O(A, B, P, M )O'( A, B, P, M )
➢直观上，二阶曲线的切线的集合为二级曲线，二级曲线切点的集合为二阶曲线，且这二阶曲线、二级曲线表示同一条二次曲线。
➢定理1.3 一条非退化的二阶曲线的切线的集合是一条非退化的二级曲线；反之，一条非退化的二级曲线的切点的集合是一条非退化的二阶曲线。
设S≡∑aijxixj=(x1x2x3)A(x1x2x3)T是一条非退化的二阶曲线，[u1,u2,u3]是该二阶曲线的任意一条切线，现在寻找 u1,u2,u3满足的方程。
➢定义3.2 定点P关于一条二阶曲线的调和共轭点的轨迹是一条直线，这条直线叫做点P关于此二阶曲线的极线，点P 叫这条直线关于此二阶曲线的极点。

第五章二次曲线的一般理论

§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
教学目标：
⑴理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念； ⑵掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法； ⑶能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。
教学重点：
二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法。
教学难点：
根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。
§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
Y
所以抛物线 y2 2 px的直径平行于它的渐近方向 1: 0.
例 3 求二次曲线
F (x, y) x2 2xy y2 2x 2 y 3 0
的共轭于非渐近方向 X :Y 的直径.
解 F1(x, y) x y 1, F2(x, y) x y 1, 直径方程为
X (x y 1) Y(x y 1) 0, 即 (X Y )(x y 1) 0.
(5.3-1)
显然，直径通过曲线的中心 (0,0)
例 2 求抛物线 y2 2 px 的直径.
解
F(x, y) 2 px y2 0,
F1(x, y) p, F2(x, y) y. 所以共轭于非渐近方向 X :Y 的直径为
Xp Yy 0,
即 y X p, XF1(x, y) YF2(x, y) 0, (5.3-1)
为渐近线，其中 ( x0 ,
y0
)
为
中心， X : Y 为渐近方向。
∴ ( X ,Y ) 0 且 F1(x0 , y0 ) X F2 (x0 , y0 )Y 0 ， ∴若 F ( x0 , y0 ) 0 ，则l与曲线不相交，
若 F ( x0 , y0 ) 0 ，则 l 整个在曲线上。
§5.3 二次曲线的直径
(ka22 X a22Y ) : (ka12 X a12Y ) a22 : a12

二次曲线的理论及其应用开题报告

二次曲线的理论及其应用开题报告开题报告二次曲线的理论及其应用一、选题的背景、意义解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求.文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展,思想普遍活跃的时代.机械的广泛使用,促使人们对机械性能进行研究,这需要运动学知识和相应的数学理论;建筑的兴盛、河道和堤坝的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题,这些问题的合理解决需要正确的数学计算;航海事业的发展向天文学,实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法,望远镜与显微镜的发明,提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题.在数学上就需要研究求曲线的切线问题.所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内解决,于是,人们就试图创设变量数学.作为代数与几何相结合的产物――解析几何,也就在这种背景下问世了。

1637年,法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》,这本书的后面有三篇附录,一篇叫《折光学》,一篇叫《流星学》,一篇叫《几何学》。

当时的这个“几何学”实际上指的是数学,就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。

笛卡尔的《几何学》共分三卷,第一卷讨论尺规作图;第二卷是曲线的性质;第三卷是立体和“超立体”的作图,但他实际是代数问题,探讨方程的根的性质。

后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。

从笛卡尔的《几何学》中可以看出,笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学,把算术、代数、几何统一起来。

他设想,把任何数学问题化为一个代数问题,在把任何代数问题归结到去解一个方程式。

为了实现上述的设想,笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发,指出平面上的点和实数对的对应关系。

的不同数值可以确定平面上许多不同的点,这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。

这就是解析几何的基本思想。

解析几何的核心思想是通过坐标把几何问题表示成代数形式,然后通过代数方程来表示和研究曲线.要做到这一点,得有数学自身的条件:一是几何学已出现解决问题的乏力状态;二是代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度。

解析几何中的英文单词和短语

解析几何中的英文单词和短语解析几何Analytic Geometry第一章矢量与坐标Chapter 1 Vectors and Coordinates标量scalar矢量vector坐标coordinate空间space系统system代数algebra量quantity计算calculation力学mechanics物理学physics解solution概念concept长度length面积area体积volume唯一displacement大小magnitude方向direction线段line segment又向线段line segment始点initial point终点terminal point模module等于equal to零zero 平行四边形parallelogram邻边adjacent side折线broken line法则rule共线collinear共面coplanar加法运算additive operation三角形triangle对角线diagonal平移translation交换律law of commutation结合律law of association分配率law of distribution乘法multiplication分解decomposition系数coefficient基底base等式equality三棱形triangular prism六面体hexahedron平分线bisector连线connecting line线性相关linear dependence线性无关linear independence线性组合linear combination标架frame直角right angle仿射affine左旋/手标架left-handed frame右旋/手标架right-handed frame空间矢量space vector笛卡尔坐标系cartesian coordinate system 第一象限first quadrant分母denominator分子molecular仿射坐标系affine coordinate system坐标平面coordinate plane坐标轴coordinate axis定点vertex重心barycenter中点median point中线median line射影projection解析几何中的英文单词和短语射影矢量projective vector射线ray垂直perpendicularity夹角included angle余弦cosine方向余弦direction cosine正弦sine反交换anti-commutative反矢量inverse vector垂足pedal两倍two-fold混合积mixed product数性积/内积inner product绝对值absolute value单位矢量unit vector零矢量zero vector平方square平方和sum of squares高height高线altitude距离distance分量component左手系left-handed system右手系right-handed system棱/边edge正数positive number复数complex number符号symbol初等几何elementary geometry四面体tetrahedron矢量积cross product三重向量基triple vector product实数域real number field克拉默法则Cramer rule拉格朗日恒等式Lagrange identity第二章轨迹与方程Chapter 2 Loci and Equations轨迹locus方程equation平面plane实数real number对应correspondence曲线curve曲面surface直线straight line充要条件（当且仅当）if and only if图/图标graph圆circle半径radius公式formula原点origin圆心center of circle反比proportion by inversion 参数parameter区间interval对称的symmetric定点fixed point准方程quasi-equation一次方程linear equation法矢量normal vector重合coincidence交角intersection angle交点intersection point坐标系coordinate system轴axis有向角directed angle旋轮线/摆线cycloid拱形arch尖点cusp切线tangent line切点/触点tangent point渐进切线asymptotic tangent渐伸线/切展线involvent星形线asteroid初等函数elementary function椭圆ellipse斜率slope等价equivalence抛物线parabola心形线cardioid抛物柱面parabolic cylinder虚曲面imaginary surface二次方程quadratic equation一元二次方程quadratic equation with onevariable配方complete square球/球面sphere圆柱面cylinder椭圆柱面elliptic cylinder双曲柱面hyperbolic cylinder母线generators / generatrix准线directrix质点particle角速度angular velocity维维安尼曲线viviani curve螺旋线spiral螺旋面spiral surface射影柱面projective cylinder右手坐标系right-handed coordinate system圆锥cone圆锥面cone surface因式/因子factor因式分解factoring联立方程simultaneous equations第三章平面与空间直线Chapter 3 Planes and Straight Lines in Space 方位azimuth截距式intercept form常数constant垂线vertical line径矢radius of vector异号opposite sign对边opposite side方向矢量direction vector离差dispersion相交intersection不等式inequality二面角interfacial angle相关correlate标准方程standard equation方向数direction number射影平面projective plane公垂线common perpendicular直线束pencil of lines平面束plane pencil / pencil of planes平行平面束pencil of parallel planes平行平面parallel planes平行切线parallel tangents平行移动parallel translation第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面Chapter 4 Cylinders,Cone Surfaces,Rotation Surfaces andQuadratic Surfaces二次曲面quadratic surface旋转曲面rotation surface齐次方程homogeneous equation直线族family of straight lines二次锥面quadratic cone虚锥面imaginary cone实轴real axis虚轴imaginary axis环面torus椭球面ellipsoid旋转椭球面ellipsoid of revolution旋转抛物面paraboloid of revolution单叶univalent旋转轴rotation axis定直线fixed line主平面principal plane主轴principal axis对称平面symmetry plane长半轴semi-major axis短半轴semi-minor axis虚半轴imaginary semi-axis长方体cuboid长轴major axis短轴minor axis端口/线/面section主截线/面principal section分割/切断segmentation截割cutting曲面图形surface chart双曲面hyperboloid单叶双曲面hyperboloid of one sheet双曲线hyperbola单叶旋转双曲面hyperboloid of one sheet ofrevolution双叶双曲面hyperboloid of two sheets旋转双叶双曲面hyperboloid of two sheets ofrevolution双曲抛物面hyperbolic paraboloid马鞍曲面anticlastic surface 无心二次曲面quadratic surface without center 中心center对称中心symmetric center对称轴symmetric axis焦点focus矩形rectangle弧arc直纹曲面ruled surface第五章二次曲线的一般理论Chapter 5 General Theory of Quadratic Curves二次曲线quadratic curve虚数imaginary number虚元素imaginary element虚点imaginary point共轭虚点conjugate imaginary points共轭虚数conjugate imaginary number虚矢量imaginary line虚系数imaginary coefficient偏导数partial derivative复点complex point复矢量complex vector对角元素diagonal element行列式determinant行row列column弦chord椭圆型elliptic type抛物型parbolic type双曲型hyperbolic type渐进方向asymptotic direction虚方向imaginary dirction中心直线central line中心二次曲线quadratic curve with center无心二次曲线quadratic curve without center 中心曲线central curve无心曲线noncentral curve正常点proper point切线方程tangential equation恒等式identity奇异点/奇点singular point中心轨迹midpoint chords主方向principal direction主直径principal diameter共轭方向conjugate direction共轭直径conjugate diameter共轭弦conjugate chord特征方程characteristic equation特征根characteristic value坐标变换transformation of coordinates 判别式discriminant旋转轴rotation axis虚圆imaginary ellipse二次项quadratic element旋转角angle of rotation可逆变换inverse transformation余切cotangent成比例proportional增广矩阵augmented matrix共轭虚直线conjugate imaginary line不变量invariant多项式polynomial三角函数trigonometric function柯西-施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz inequality第六章二次曲面的一般理论Chapter 6 Cenraltheory of QuadraticSurfaces二重根double root主子式principal minor determinant虚根imaginary root实根real root径面radial plane矩阵matrix切平面tangent plane主径面principal radial plane齐次线性变换homogeneous linear transform正交条件orthogonality condition交叉cross。

二次曲线的一般理论

例如，方程
x2 ? 4 xy ? 4 y2 ? 12 x ? y ? 1 ? 0
代表的图形虽然简单，但方程很复杂，若作适当坐标变换，就能化为标准方程
x2 ? 5y
它表示一条抛物线。
如何适当选择坐标系呢？建立椭圆、双曲线、抛物线的标准方程时，有对称中心的，就把坐标原点放在对称中心（例如椭圆和双曲线），没有中心的（例如抛物线），就把原点放在顶点，而把一个坐标轴放在对称轴上。
F ( x, y) ? a11 x 2 ? 2a12 xy ? a 22 y2 ? 2a13 x ? 2a 23 y ? a 33
F1 ( x, y) ? a11 x ? a12 y ? a13 F 2 ( x, y) ? a12 x ? a 22 y ? a 23
F 3 ( x, y) ? a13 x ? a 23 y ? a 33
? ? ? ? F1( x0 , y0 ) ?X ? F2 ( x0 , y0 ) ?Y 2 ? ? ( X,Y)?F ( x0 , y0 )
1? ? ? 0. 方程 (4)有两个不等的实根 t1与t2，代入 (2)得直线 (2)与二次曲线 (1)的两个不同的实交点 .
2? ? ? 0. 方程(4)有两个相等的实根 t1与t2，直线 (2)与二次曲线 (1)有两个相互重合的实交点.
? F ( x0 , y0 ) ? 0
（4）
对（3）或（ 4）可分以下几种情况来讨论：
? ? ? ( X ,Y ) ?t 2 ? 2 F1( x0 , y0 ) ?X ? F 2 ( x0 , y0 ) ?Y t （4）
? F ( x0 , y0 ) ? 0
1. ? ( X,Y) ? 0. 此时(4)是关于t的二次方程,

《解析几何》课程教学大纲

《解析几何》课程教学大纲一、课程的性质、目的与任务通过本课程的教学，使学生掌握平面曲线、空间直线、平面、柱面、锥面、旋转曲面、二次曲面等的基本性质。

提高用代数方法解决几何问题的能力，为今后学习其它课程打下必要的基础，并能在较高理论水平的基础上处理中学数学的有关教学内容，以及生产、生活中的有关实际问题。

本课程是大学专科小学教育专业数学类必修的一门重要的专业课课程，通过本课程的教学，使学生系统掌握空间解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向量；在掌握几何图形性质的同时，提高运用代数方法解决几何问题的能力和空间想象能力，能在较高理论水平的基础上处理中小学教学的有关问题。

二、课程教学内容和基础要求要求学生重点掌握空间解析几何的基本思想和基本方法；培养空间想象能力，逻辑思维能力以及运用现代各种数学方法处理几何问题的能力，运用几何结构，深入理解现行中学数学教材中的有关问题，并且具有应用几何知识解决实际问题的能力。

通过本课程的学习，为学好后续专业课程打下良好的基础。

第一章矢量与坐标教学目的：通过本章的教学,使学生掌握矢量的概念，矢量运算的定义、规律及几何意义，利用矢量的运算作为工具研究平面与空间的几何图形教学要求:理解矢量及与之有关诸概念,并能在具体问题中区分那些是矢量,那些是数量，掌握矢量的运算（矢量加（减）法）数与矢量乘法，两矢量的数性积，矢性积，混合积，二重矢性积等的定义与性质，注意与数的运算规律的异同之处，理解坐标系的建立，区分仿射坐标系与空间直角坐标系的区别，掌握在直角坐标系下，用坐标进行矢量的运算方法，会用矢量法进行有关的几何证明问题。

教学内容：§1.1矢量的概念§1.2矢量的加法§1.3数量乘矢量§1.4矢量的线性关系与矢量的分解§1.5标架与坐标§1.6矢量在轴上的射影§1.7两矢量的数性积§1.8两失量的矢性积§1.9三矢量的混合积§1.10三矢量的双重矢性积教学提示：由浅入深，采用启发式教学，并通过对比加深学生印象。

二次曲线的一般理论课件

焦准距
焦半径
二次曲线上的任意一点到焦点的距离称为焦半径，它等于该点到准线的距离。
二次曲线上的焦点到准线的距离称为焦准距，它是常数。
04 二次曲线的切线
二次曲线的切线定义
切线定义
切线是与二次曲线在某一点相切的直线，该点称为切点。
切线的几何意义
切线是唯一一条与二次曲线在切点处既相切又垂直的直线。
详细描述
二次曲线的一般方程为Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0，其中A、B、C、D、E、F为常数，且A、C不同时为0。这个方程描述了一个平面上的二次曲线，其中x和y是平面上的坐标， A、B、C、D、E、F是常数。
二次曲线的性质
总结词
二次曲线具有一些重要的性质，如对称性、中心性、离心率等。
详细描述
二次曲线具有对称性，即曲线关于x轴、y轴或原点对称。此外，二次曲线还有一个中心，即曲线的离心率指向一个固定点（称为焦点）。离心率决定了曲线的形状和大小。
二次曲线的分类
总结词
根据不同的分类标准，二次曲线可以分为不同的类型。
详细描述
根据形状和开口方向，二次曲线可以分为椭圆型、双曲线型和抛物线型。根据焦点个数，二次曲线可以分为单焦点和双焦点二次曲线。此外，根据对称性，二次曲线还可以分为中心对称和非中心对称二次曲线。
二次曲线的一般方程的推导
总结词
二次曲线的一般方程的推导基于多项式和代数的基本原理，通过将二次曲面进行参数化，可以得到一般方程。
详细描述
推导二次曲线的一般方程通常采用参数化的方法，将二次曲面表示为参数t的函数 (x(t), y(t), z(t))，然后通过代入和整理得到一般方程。这个过程需要一定的代数和微积分知识。