数理统计试卷及答案

数理统计考试试卷

一、填空题（本题15分，每题3分）

1、设n X X X ,,,21 是取自总体)1,0(~2

N X 的样本,则 n

i i X Y 1

2

~________。

2、设总体),(~2 N X ，X 是样本均值，则)(X D ________。

3、设总体),(~2

N X ，若 未知,2

已知，n 为样本容量，总体均值 的置信水平为

1的置信区间为),(

n

X n

X

，则 的值为________。

4、设总体),(~2 N X ,2

已知，在显著性水平下，检验假设0100:,:u H u H ，

拒绝域是________。

5、设总体0],,0[~ U X 为未知参数，n X X ,,1 是来自X 的样本，则未知参数 的矩估计量是______。

二、选择题（本题15分，每题3分）

1、设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则（

）

（A ）Y X 服从正态分布

（B ）2

2

Y X 服从2

布 （C ）2

2

Y X 和都服从2

分布

（D ）2

2

/Y X 都服从F 分布

2、设)9,1(~N X ，921,...,,X X X 为取自总体X 的一个样本，则有（ ）。 （A ）)1,0(~11N X （B ）)1,0(~31

N X （C ）

)1,0(~91

N X （D ）

)1,0(~3

1N X 3、设X 服从参数为p 的(0-1)分布，0 p 是未知参数，n X X X ,...,,21为取自总体X 的样本，

X

为样本均值，21

2

)(1X X n S i n

i n

，则下列说法错误的是（ ）。 （A ）X 是p 的矩估计

（B ）2

n S 是)(X D 的矩估计

（C ）2X 是)(2X E 的矩估计

（D ）)1(X X 是)(X D 的矩估计

4、设总体)4,(~ N X ,由它的一个容量为25的样本，测得样本均值10 x ，在显著性水平

下进行假设检验， 975.0)96.1( ，则以下假设中将被拒绝的是（ ）。

（A ）90 ：H （B ）5.90 ：H （C ）100 ：H （D ）5.100 ：H 5、设总体),(~2 N X ,样本容量为n ，已知在显著性水平下，检验00: H ,

01: H 的结果是拒绝0H ，那么在显著性水平下，检验0100:,:u H u H

的结果（ ）。

（A ）一定接受0H （B ）一定拒绝0H （C ）不一定接受0H （D ）不一定拒绝0H 三、（本题14分） 设灯泡寿命X 服从参数为 的指数分布，其中0 未知，抽取10只测得寿命（单位：h ）990 x ，求：（1） 的极大似然估计量；（2）}1290{ X P 的矩估计值。

四、（本题14分）假设,,,是来自总体X 的样本值，已知X Y ln )1,(~ N 。（1）求 的置信水平为的置信区间；（2）求)(X E 的置信水平为的置信区间；（645.105.0 z ，96.1025.0 z ）。 五、（本题10分）为了考查某厂生产的水泥构件的抗压强度（kg/cm 2），抽取了25件样品进行测试，得到平均抗压强度为415（kg/cm 2），根据以往资料，该厂生产的水泥构件的抗压

强度)20(~2，

N X ，试求 的置信水平为的单侧置信下限； （645.105.0 z ，96.1025.0 z ）。

六、（本题14分）随机地从一批钉子中抽取16枚，测得：125.2 x （以厘米计）， 设钉长服从正态分布，求总体均值 的90%的置信区间： （1）若已知01.0 厘米；（2）若 为未知。

（645.105.0 z ，96.1025.0 z ，7531.1)15(05.0 t , 1315.2)15(025.0 t ）。

七、（本题10分）在漂白工艺中要考察温度对针织品断裂强度的数据，在70℃和80℃下分别重复作了8次试验，设两种温度下断裂强度分别为X ，Y ，测得数据（单位：kg ）为：

8.5,4.19,2.6,4.2022 Y X S y S x ；问是否可以认为70℃下的断裂强度与80℃下的断裂强

度有相同的方差（99.4)7.7(,05.0025.0 F ）

八、（本题8分）设总体X 服从[ 2,]上的均匀分布，证明：

ˆ为参数 的无偏估计。

一、填空题（本题15分，每题3分）

1、)(2

n ； 2、n 2

； 3、2

Z ； 4、05.0z z ； 5、X 2。

二、选择题（本题15分，每题3分） 1、C ； 2、A ； 3、C ； 4、A ； 5、B.

三、（本题14分）解：

(1) 似然函数为 01

),(1

i

x n

i i x

e

x L i

，

n

i i x n L 11

ln ln ，令 01)(ln 21

n i i x n d L d ，

得x x n n i i 1

1ˆ ， 即 的极大似然估计量为X ˆ。 （2）由于 )(X E ，得990ˆ x

，而)1(1}{1}{

x

e x X P x X P

，

所以}1290{ X P 的矩估计值为33

43990

1290

e

e 。

四、（本题14分）解：

（1） 的置信区间为

221,1 z n y z n y 。0)2ln 8.0ln 25.1ln 5.0(ln 41 y , 故总体均值 的置信区间为, 。 （2）dy e

e y d e e y d y

f e e E X E y y y

y Y 2

)]1([21

22

)(2

2

2121)()()(

2

1

e

；

由于2

1

e

是 的单调增加函数，所以2

1)( e

X E 的置信区间为)(2

1

21

e e

，，