理论力学1质点动力学
理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
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§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
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§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
理论力学第10章 质点动力学
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
理论力学知识总结
学生整理，时间有限，水平有限，仅供参考，如有纰漏，请以老师、课本为主。
第一章质点力学（1）笛卡尔坐标系 位置：k z j y i x ++=r速度：k z j y i x dtr d ...v ++== 加速度：k z j y i x dtv d ......a ++== （2）极坐标系坐标：j i e r θθsin cos += j i e θθθcos sin +-= r e r =r 速度：r r .v = .v θθr =加速度:2...θr r a r -= .....2θθθr r a += （3）自然坐标系（0>θd ） 坐标：ds r d e t =θd e d e t n = θρd ds = 速度：t e v v = 加速度：n t e v e v ρ2.a +=（4）相对运动（5）牛顿运动定律 牛顿第一定律：惯性定律 牛顿第二定律：)(a m v m P dtP d dt v d m F ==== 牛顿第三定律：2112F F -= （6）功、能量vF dt rd F dt dW P rFd dA ⋅=⋅=== （7）（7）有心力第二章 质点动力学的基本定理知识点总结： 质点动力学的基本方程质点动力学可分为两类基本问题:. (1) .已知质点的运动，求作用于质点的力; (2) 己知作用于质点的力，求质点的运动。
动量定理 动量：符号动量定理微分形式动量守恒定律：如果作用在质点系上的外力主失恒等于零，质点系的动量保持不变。
即：质心运动定理：质点对点O 的动量矩是矢量mv r J i ⨯= 质点系对点0的动量矩是矢量i ni nii i i v m r J J ∑∑=⨯==1若z 轴通过点0，则质点系对于z 轴的动量矩为∑==ni z z z J M J ][若C 为质点系的质心，对任一点O 有 c c c J mv r J +⨯=02. 动量矩定理∑∑=⨯=⨯=nie i i n i i i i M F r v m r dt d dt dJ )()( 动量矩守恒：合外力矢量和为零，则动量矩为常矢量。
《理论力学》第九章质点动力学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
理论力学(哈工大版)第十章：质点动力学
第六章 质点动力学6-1 惯性参考系中的质点动力学一.惯性参考系1.一般工程问题：2.人造卫星、洲际导弹问题：3.天体运动问题：二.牛顿定律1.第一定律（惯性定律）：2.第二定律（力与加速度之间的关系定律）：3.第三定律（作用与反作用定律）：三.质点的运动微分方程 将动力学基本方程)(F a m =表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。
1.矢量形式（自：会使用微分形式）) )( ( 22方程为质点矢径形式的运动式中t r r F dtr d m == 2.直角坐标形式) )()()( ( 222222运动方程为质点直角坐标形式的式中⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===t z z t y y t x x Z dty d m Y dt y d m X dt x d m 3.自然形式b n F F v m F dt s d m ===0222ρτ ), ,,)((轴上的投影轴和轴自然轴系在分别为力运动方程。
为质点的弧坐标形式的式中b n F F F F t s s b n ττ= 四.质点动力学的两类基本问题1.已知质点的运动规律，求作用于质点上的力；----求微分问题。
2.已知质点上所受的力，求质点的运动规律。
----按质点运动的初始条件和力的函数关系对运动微分方程进行求解，从数学角度看，是解微分方程或求积分，并确定相应的积分常数的问题。
第一类问题解题步骤和要点：①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。
②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。
③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。
⑤求解未知量。
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。
变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量积分dt dv 。
理论力学 质点动力学
第8章质点动力学
[例8-1]桥式起重机跑车吊挂一质量为m的重物，沿水平横梁作
ν
匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为l。
突然刹车，
重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：1）以重物为研究对象2）受力分析mg
F T
a n a t 3）运动分析4）牛顿第二定律
ϕ
sin mg ma t −=ϕ
cos mg F ma T n −=∑=t
t F ma ∑=n
n F ma 5）补充方程
ϕsin mg dt
dv
m −=ϕcos 2
mg F l
v
m T −=
mg
F T
a n a t ϕsin mg dt
dv
m −=ϕcos 2
mg F l
v
m T −=0<dt
dv 重物减速
=ϕ0
max v v =max
T T , 0F F ==时ϕ)
1(20
max
T gl
v
mg F +=
a n
F N
a t
a n
ma
mg
F N
a t a n
mg
O
解释非惯性系一些物理现象
飞机急速爬高时
飞行员的黑晕现象
爬升时：a > 5g
惯性参考系——地球
非惯性参考系——飞机
动点——血流质点
牵连惯性力向下，从心脏流向头部的血流受阻，造成大脑缺血，形成黑晕现象。
飞行员的黑晕与红视现象
在北半球的弹道偏右;在南半球的弹道偏左
a
C
F
IC。
质点动力学(理论力学课件)
在地球表面，任何物体都受到重力G的作用。在重力作用下
得到的加速度称为重力加速度，用g表示。根据第二定律有 G=mg 或 m=G/g
式中的G和g分别是物体所受的重力和重力加速度的大小， 根据国际计量委员会规定的标准，重力加速度的数值为
9.80665m/s，一般取9.80m/s。
实际在不同的地区，g的数值有些微小的差别。
车梁及柱的振动。
③在机械工程中对高速转动机械的动力分析需要应用动力学的
理论基础。
比如高速转动的转子，若重心不在转轴上（由误差引起）， 转速很高时将引起轴承破坏（此问题在制造和安装中都不容 易克服）。在动力学有关章节将进一步介绍。
④在宇宙飞行及火箭推进技术研制中都需要用到动 力学的基本理论。
第二宇宙速度就是理论指导实践的最典型的例子。 在上世纪50年代，第二宇宙速度早已在理论上得到 承认，但也有人（指理论力学专家）不相信。
,
ab 0
式中τ和n为轨迹切线和主法线的单位矢量。
a v
an
v
2
式中为轨迹的曲率半径。
于是，质点运动微分方程在自然轴上的投影式为：
ma F i
i 1 n
n
mr
F
i 1
n
i
man Fni
i 1
（11-5）
0 Fbi
i 1
n
式中 Fti、Fni、Fbi 中分别是作用于质点的各力在切线、主法线 和副法线上的投影。式（11-4）和（11-5）是两种常用的质 点运动微分方程。
⑤求解未知量。根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动
的初始条件，求出质点的运动。
29
例1、小球质量为m，悬挂于长为l的细绳上，绳重不计。
理论力学质点动力学的运动方程
消去t, 得轨迹方程 由初始条件：t＝0时，q0＝0，
代入上式得
如果已知这种变化即可确定球与棒的相互作用力。
分析: 由(1)、(2)式可得:
3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成
角。
作用下从甲板上起飞
y
eA mk 2
cos
k v0
x
1
这是第二类基本问题。
例10-3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的 小球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,
1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年 获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数 学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病， 学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二 项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种 色光构成的实验。而且由于一次躺在树下看到苹果落 地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇 家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。
初始条件为
a a t 0 :x 0 y 0 0 ,v 0 x v 0 c o s,v 0 y v 0 s i n
确定出积分常数为：
a a C 1 v 0 c o s,C 2 v 0 s i n ,C 3 C 4 0
于是物体的运动方程为：
xv0tcoas
y
v0t
1 2
gt2
轨迹方程为：
有 mr 2 F l 2 r2 l
得 F mr 2 2 l 2 r 2
这属于动力学第一类问题。
例10-2 质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强 度按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方向与电场强
度垂直,如图所示。质点在电场中受力 F eE 作用。
大学物理-质点动力学学(2024版)
在同一直线上。
(2) 分别作用于两个物体上，不能抵消。
F F
(3) 属于同一种性质的力。 (4) 物体静止或运动均适用。
四、牛顿定律的应用 例2-1. 质量为m的物体被竖直上抛，初
解题步骤： (1) 确定研究对象。隔离
速度为v0，物体受到的空气阻力数值与 其速率成正比，即f = kv，k为常数，求
曲线下面的面积表示。
F
A F dx
O xa
xb x
力 位移曲线下的面积表示力F 所作的功的大小。
一、功
元功
dA F dr
dA F dr
Fxdx Fydy Fzdz
例2-1、一质点做圆周运动 ，有一力 F F0 xi yj
作用于质点，在 质点由原点至P(0， 2R)点过程中，F 力做的功为多少？
惯性质量:物体惯性大小的量度。 引力质量: 物体间相互作用的“能 力”大小的量度。 思考：什么情况下惯性质量与引 力质量相等？
2. 牛顿第一定律(惯性定律)
任何物体都保持静止
或匀速直线运动态，直至
其它物体所作用的力迫使
它改变这种状态为止。
3. 力的数学描述： 大小、方向、作用
点—矢量
二、牛顿第二定律
L2
路 径 绕 行 一 周 ， 这 些
力所做的功恒为零，
a 若 A
F dr 0,
具有这种特性的力统
L
称为保守力。
若
A
F dr 0,
没有这种特性的力，
L
F 为保守力。 F 为非保守力。
统称为非保守力 或耗
保守力：重力、弹性力、万有引力、
散力。
静电力。
非保守力：摩擦力、爆炸力
五、势能
理论力学质点动力学的基本方程
F mg 1.96N
cos
v
Fl sin 2
m
2.1m s
这是混合问题。
例11-4 粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水
平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。
为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 0
时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n 。
已知:匀速转动。 0 时小球掉下。
gl
其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动 ,
因此 0时 , T Tmax
Tm
ax
G(1
v02 gl
)
[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。
②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力， 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。
已知: m 0.1kg, l 0.3m, 60 匀速
求: v, F
已知: m 0.1kg, l 0.3m, 600 匀速
求: v, F
解:
v2
研究小球，m
F sin
0 F cos mg
其中， l sin ，解得
第十一章 质点动力学的基本方程
第十一章 质点动力学的基本方程
§11-1 动力学的基本定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
第二定律(力与加速度之间的关系定律)
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小， 加速度的方向与力的方向相同。
ma F
质量是质点惯性的度量。 国际单位制：长度（m米），
引言
一.研究对象：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
理论力学第一章
将上式代入式（b） 得一次近似的微分方程
( gt 2 20 ) cos ， 0 ， g x y z
（f）
在式（d）的初始条件下 上式积分一次 得一次近似的速度
( gt 2 20t ) cos ，y 0 ，z gt 0 x
1 2 1 2 2 l2 r ( x ) 2 2 4
2 dx l r x 2 dt 4
（b）
上式再分离变量并积分 即 l t dx dt 1 0 2 l 2 x 2 4
求得套筒到达点A的时间t为
2 l l l2 1 4 1 ln(2 3 ) t ln 1 2 解出 将 2 rad/s 代入上式
将上式投影到轨迹的切向轴t上 得
d2s m 2 ( P FIe ) sin m( g a0 ) sin dt
当摆作微振动时 角很小 有 sin 且 s l 上式成为 d 2 m l 2 m( g a0 ) dt 令
2 0
g a0 l
将式（a）投影到
y 轴上得
t=0.2096s
F2 FIC 2m x （c） 由式（b）可得 当套筒到达端点A时 x l
2 l 2 l r x 3l 4 2
代入式（c）得
F2 3 2lm 3(2 rad/s) 2 0.5m 0.1kg 3.419N 又 对于惯性参考系 套筒运动的基本方程为
mar F FIe
mar F
（2）动参考系相对于定参考系作匀速直线平移 得 因 aC 0 和 ae 0 所以 FIe FIC 0 所有相对于惯性参考系作匀速直线平移的参考系 都是惯性参考系 发生在惯性参考系中的任何力学现象 都无助于发觉该参考系本身的运动情况 以上称为相对性原理
理论力学 质点动力学(共114张PPT)
容，本课程只作适当的复习或让学生自学。 牵连惯性力向上，使血流自下而上加速流动，造成大脑充血，形成红视现象。
动点－血流质点
上式可以化为二阶线性齐次微分方程的标准形式
分析小摆动条件下，摆的运动
牵连惯性力向下，从心脏流
确将定式一 B的个表自达由式质对点ω在求空一间次的导位数置并需令要其三等个于独零立，坐可标以，发所现以，空此间时自振由幅质B点有有极三大个值自，向由即度头在。共部振的固有血圆流频率受阻，造成大脑
研究作用在物体上的力系与物体运动的关系，主要 是建立运动物体的力学模型，亦即建立描述受力物体运 动状态变化的数学方程，称为动力学问题的根本方程和 普遍定理。
工程动力学的研究对象是质点和质点系〔包括刚体〕， 因此动力学一般分为质点动力学和质点系动力学，前者是 后者的根底。
第7章 质点动力学
研究作用在质点 上的力和质点运动之间的关系。本章主要介绍质点在惯 性与非惯性系下的运动微分方程和简单的振动问题。
v1
F v2
棒球在被球棒击打后， 其速度的大小和方向发 生了变化。如果这种变 化即可确定球与棒的相 互作用力。
v2 v1
B A
载人飞船的交会与对接
工程动力学主要研究两类问题，一类是：物体的运动，确 定作用在物体上的力；另一类是：作用在物体上的力，确定物 体的运动。实际工程问题中多以这两类问题的交叉形式出现。 总之，工程动力学研究作用在物体上的力系与物体运动的关系。
maa F
aa ae ar aC
m(ae ar aC ) F
mar F mae maC
m ar F FIe FIC
FIe m ae－称为牵连惯性力(connected inertial force) FIC m aC 2mω vr
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中的一个重要分支，研究的是质点在外力作用下的运动规律。
在学习质点动力学的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点，这些知识点对于理解质点的运动规律和解决相关问题非常重要。
本文将对质点动力学的一些重要知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
1. 质点的运动方程。
质点的运动方程是描述质点在外力作用下的运动规律的基本方程。
根据牛顿第二定律，质点所受的合外力等于质点的质量乘以加速度，即。
\[ F = ma \]其中，F表示合外力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
根据质点的运动状态不同，可以得到质点的运动方程，包括匀速直线运动、变速直线运动、曲线运动等。
2. 动量和动量定理。
质点的动量是描述质点运动状态的重要物理量，动量的大小等于质点的质量乘以速度，即。
\[ p = mv \]动量定理则描述了质点所受外力作用下动量的变化规律，即。
\[ F\Delta t = \Delta p \]其中，F表示外力，Δt表示时间间隔，Δp表示动量的变化量。
动量定理对于分析质点的碰撞、反冲等问题非常有用。
3. 动能和动能定理。
质点的动能是描述质点运动状态的另一个重要物理量，动能的大小等于质点的质量乘以速度的平方再乘以1/2，即。
\[ K = \frac{1}{2}mv^2 \]动能定理描述了质点所受外力作用下动能的变化规律，即。
\[ W = \Delta K \]其中，W表示外力所做的功，ΔK表示动能的变化量。
动能定理对于分析质点的机械能守恒等问题非常重要。
4. 势能和势能曲线。
质点的势能是描述质点在外力场中的势能状态的物理量，势能的大小与质点所处位置有关。
势能曲线描述了质点在外力场中势能随位置的变化规律，通过势能曲线可以分析质点的稳定平衡、振动、受力情况等问题。
5. 角动量和角动量定理。
质点的角动量是描述质点绕某一轴旋转运动状态的物理量，角动量的大小等于质点到轴的距离与质点的动量的乘积，即。
理论力学质点动力学PPT学习教案
凡是相对惯性参考系作匀速直线平动的参 考系也是惯性参考系
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§9-1 动力学基本定律 • 单位制
二、单位制和量纲
单位制： 国际单位制（SI）
基本量：长度（m） 时间（s） 质量（kg）
量 纲：长度 [L] 时间 [T] 质量 [M]
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d2x
dx
+初始条 件
m dt 2
F
m dt
F
mdx F dt
2）力是位移x的函数（如弹簧力）
d2x m dt 2 F
m dx F dt
m dx dx F dx dt
mx dx F dx
+初始条 件
mxdx Fdx
3）力是速度v的函数（如跳伞）
d2x m dt 2
F
m dx dt
理论力学质点动力学
会计学
1
§9-1 动力学基本定律 • 单位制
一、动力学基本定律（牛顿运动定律）
惯性定律
第一定律：
物体(
任何
质点、质点系、刚体)如不受外力作用，将保 持静止 或匀速 直线运 动状态 。
第二定律：力与加速度的关系定律
质点受到外力作用时，所产生的加速度大小
与力的大小成正比，而与质量成反比，加速
F
m dx dx
dx dt
F
mx dx dx F
mx dx
+初始条 件
dx
F
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例1
质量m的小球系于长为l的绳上，绳与铅直成θ角，
小球在水平面上作匀速圆周运动。求小球的速度和
绳中的张力。
解 1. 以小球为研究对象 ：2. 受力分析
理论力学质点动力学
˙ 、和时 质点的加速度¨ r 和作用力F 成正比。一般情况下，力可以是坐标r、速度r 间t 的函数。这里m 为惯性质量。
1.2 动量、角动量和能量
(1) 动量与冲量 动量的定义：p = mv；冲量：Fdt； 动量定理： ˙ = F(r, r ˙ , t), p dp = Fdt；动量对时间的变化率等于力。 冲量定理：p2 − p1 = p1 ，意味着动量守恒。 (2) 角动量与力矩 角动量的定义：J = r × p. 力矩：M = r × F.
Contents
1 质点动力学 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 牛顿动力学方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 动量、角动量和能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 各种坐标系下的牛顿方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 4
r
F · dr = V (r) − V (0)
0 r
=
0 r
dV ∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∇V · dr.
0
=
0 r
=
r
(F − ∇V ) · dr = 0.
0 r
(1.6)
因为路径是任意的，故F = ∇V ，可以看出V (r) = V (0) + 0 F · dr，只要知 道保守力的表达式，即可由此得到势能的表达式。注意，这里如果假定无穷远 处为能量零点，即可得F = −∇V 。 (iii) 机械能 机械能：势能和动能之和 T + V 。 对于保守力，我们有 dT = F • dr = −∇V (r) • dr = −dV 。 于是，d(T + V ) = 0，即机械能守恒。
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Fi
ma FR
o rr
x
ay
二、 直角坐标形式：
mx Fx my Fy mz Fz
三、 自然坐标形式：
ms Ft s2
m Fn
0 Fb
10
例：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度
为u , = 0。求绳作用在小球上的力F( ), 并分析小球的运动。
F
n
u mg
最后得质点A的运动规律：
x b cos k t, m
y v0
m sin k
kt m
x2 k y2
消去时间t可得轨迹方程： b2 m v02 1
质点A的轨迹为椭圆。
例：小物块A和B的质量均为m，以细杆AB光滑铰接，置于光滑的
水平和铅垂面上，如图所示。如果不计细杆的质量，在=600时静
止自由释放，求此瞬时杆AB所受的力。
动力学
•动力学 dynamics 研究状态变量与作用量的关系
1
心脏动力学
2
药物动力学
3
经济动力学
4
机械动力学
机械动力学: 研究机械运动与作用力的关系 • 设计: 运动机构的动力学分析;承受动荷载
的结构设计 • 振动控制: 利用或消除振动
5
海洋石油钻井平台
• 机械动力学研究思路
质点－质点系 (刚体、刚体系)
m 10kg, c 0.02N s2 /m 2 , v0 1000 m/s,
炮 弹 运 动 轨 迹 图
0
7.7
0
4.0
15
例：质点A的质量为m，受指向原点O的引力 F kr 的作用， r 是质点A对点O的矢径，k为比例常数，如图所示。初瞬时的 质点A0的坐标为x=b，y=0，而初速度的分量vx=0，vy=v0。试求 质点A的运动规律和轨迹。
aB cos aA sin （3）
将式（1）向铅垂方向投影，式（2）向水平方向投影：
maA mg FAB sin （4）
maB FAB cos
（5）
联立式（3）（4）（5）解得：
FAB mg sin
3 mg 2
FAB为正值，表明图中假设指向与实际一致，杆AB受压。
mg
FNA
aA
A
FAB
c2 c4
sin t sin t
F
v0 x
A0(b,0)
x y
c1 c3
cos t cos t
c2 c4
sin sin
t t
将通解求导：
x y
c1 c3
sin sin
t t
c2 c4
cos t cos t
将初始条件：t=0，x=b，y=0，x 0 y v0 代入得积分常数：
c1 b, c2 c3 0, c4 v0
• 已知力求运动或运动轨迹
8
理论基础：牛顿定律与微积分
第一定律 第二定律 第三定律
运动微分方程
矢量形式:
d2r m
dt 2
n
Fi
i 1
适用条件？
第一、二定律： 惯性参考系 第 三 定律： 任意参考系
9
•问题: 在不同坐标系中运动微分方程都有什么形式?
一、矢量形式：
z
FR
m d2r
dt 2
n i 1
解: [质点A]
由于质点A所受的力F与其初速度共面, 故质点在Oxy
平面作平面曲线运动。建立图示直角坐标系，得运动
微分方程：
mx F cos kr cos kx
my
F
sin
kr
sin
ky
y r A
O
令： 2 k m
其通解为：
x2x 0
y
2
y
0
x y
c1 c3
cos t cos t
n: ml2 F mg cos
（1）微幅摆动
l g sin 0
sin
g 0
l 2 g
l
2 0
微分方程的通解
A sin( t )
初始条件：
0 0,
0
u l
确定积分常数
A u , 0 l
运动特点：等时性 （周期与初始条件无关）
12
（2）大幅摆动
2 sin 0
• 机械动力学研究方法
◎ 牛顿经典动力学方法 三大定理 ◎ 近代分析力学方法
达朗贝尔原理、动力学普遍方程、拉格朗日方程等
7
第十章 动力学基本定律 质点运动微分方程
• 研究质点的受力与运动之间的关系
牛顿第二定律：
rr ma FR
运动微分方程
矢量形式:
d2r m dt2
n i 1
Fi
• 已知运动求力
大
幅
摆
动
不
/ rad
具
有
等
时
性
t/s
13
例: 建立抛体的运动微分方程。（设空气阻力的 大小与速度的平方成正比，方向与速度相反。）
解：1、取炮弹为研究对象,建立矢量方程
y
R
ma mg R
v ma mg (cvv)
mg
x 2、建立直角坐标形式的运动微分方程
o
v x2 y2 my mg cy x2 y2 14
1、取研究对象受力分析、运动分析 2、对质点建立牛二矢量式 3、建立坐标系，化矢量为投影 4、建立微分方程(组)，求解
解： ma F mg
: ml mg sin
n: ml2 F mg cos
运动 微分方程
积分上式可得：
F mg(3cos 2) m u2
l
11
分析小球的运动
: ml mg sin
解: [物块A]
mg
maA mg FNA FAB （1） [物块B]
maB mg FNB FAB （2）
FNA
aA
A
FAB
mg
FAB
B aB
A B
A
aA
[AB]运动学分析
FNB
aBAt
aB aA aBAt aBAn
aB “AB方向”： aB cos aA sin （3）
B
maA mg FNA FAB （1） maB mg FNB FAB （2）
mg
FAB
B aB
FNB