理论力学1质点动力学

c2 c4
sin t sin t
F
v0 x
A0(b,0)
x y
c1 c3
cos t cos t
c2 c4
sin sin
t t
将通解求导：
x y
c1 c3
sin sin
t t
c2 c4
cos t cos t
将初始条件：t=0，x=b，y=0，x 0 y v0 代入得积分常数：
c1 b, c2 c3 0, c4 v0
aB cos aA sin （3）
将式（1）向铅垂方向投影，式（2）向水平方向投影：
maA mg FAB sin （4）
maB FAB cos
（5）
联立式（3）（4）（5）解得：
FAB mg sin
3 mg 2
FAB为正值，表明图中假设指向与实际一致，杆AB受压。
mg
FNA
aA
A
FAB
Fi
ma FR
o rr
x
ay
二、 直角坐标形式：
mx Fx my Fy mz Fz
三、 自然坐标形式：
ms Ft s2
m Fn
0 Fb
10
例：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度
为u , = 0。求绳作用在小球上的力F( ), 并分析小球的运动。
F
n
u mg
mg
FAB
B aB
FNB
n: ml2 F mg cos
（1）微幅摆动
l g sin 0
sin
g 0
l 2 g
l
2 0
微分方程的通解
A sin( t )
初始条件：
0 0,
0
u l
确定积分常数
A u , 0 l
运动特点：等时性 （周期与初始条件无关）
12
（2）大幅摆动
2 sin 0
解: [物块A]
mg
maA mg FNA FAB （1） [物块B]
maB mg FNB FAB （2）
FNA
aA
A
FAB
mg
FAB
B aB
A B
A
aA
[AB]运动学分析
FNB
aBAt
aB aA aBAt aBAn
aB “AB方向”： aB cos aA sin （3）
B
maA mg FNA FAB （1） maB mg FNB FAB （2）
最后得质点A的运动规律：
x b cos k t, m
y v0
m sin k
kt m
x2 k y2
消去时间t可得轨迹方程： b2 m v02 1
质点A的轨迹为椭圆。
例：小物块A和B的质量均为m，以细杆AB光滑铰接，置于光滑的
水平和铅垂面上，如图所示。如果不计细杆的质量，在=600时静
止自由释放，求此瞬时杆AB所受的力。
• 机械动力学研究方法
◎ 牛顿经典动力学方法 三大定理 ◎ 近代分析力学方法
达朗贝尔原理、动力学普遍方程、拉格朗日方程等
7
第十章 动力学基本定律 质点运动微分方程
• 研究质点的受力与运动之间的关系
牛顿第二定律：
rr ma FR
运动微分方程
矢量形式:
d2r m dt2
n i 1
Fi
• 已知运动求力
动力学
•动力学 dynamics 研究状态变量与作用量的关系
1
心脏动力学
2
药物动力学
3
经济动力学
4
机械动力学
机械动力学: 研究机械运动与作用力的关系 • 设计: 运动机构的动力学分析;承受动荷载
的结构设计 • 振动控制: 利用或消除振动
5
海洋石油钻井平台
• 机械动力学研究思路
质点－质点系 (刚体、刚体系)
解: [质点A]
由于质点A所受的力F与其初速度共面, 故质点在Oxy
平面作平面曲线运动。建立图示直角坐标系，得运动
微分方程：
mx F cos kr cos kx
my
F
sin
kr
sin
ky
y r A
O
令： 2 k m
其通解为：
x2x 0
y
2
y
0
x y
c1 c3
cos t cos t
m 10kg, c 0.02N s2 /m 2 , v0 1000 m/s,
炮 弹 运 动 轨 迹 图
0
7.7
0
4.0
15
例：质点A的质量为m，受指向原点O的引力 F kr 的作用， r 是质点A对点O的矢径，k为比例常数，如图所示。初瞬时的 质点A0的坐标为x=b，y=0，而初速度的分量vx=0，vy=v0。试求 质点A的运动规律和轨迹。
1、取研究对象受力分析、运动分析 2、对质点建立牛二矢量式 3、建立坐标系，化矢量为投影 4、建立微分方程(组)，求解
解： ma F mg
: ml mg sin
n: ml2 F mg cos
运动 微分方程
积分上式可得：
F mg(3cos 2) m u2
l
11
分析小球的运动
: ml mg sin
大
幅
摆
动
不
/ rad
具
有
等
时
性
t/s
13
例: 建立抛体的运动微分方程。（设空气阻力的 大小与速度的平方成正比，方向与速度相反。）
解：Fra Baidu bibliotek、取炮弹为研究对象,建立矢量方程
y
R
ma mg R
v ma mg (cvv)
mg
x 2、建立直角坐标形式的运动微分方程
o
v x2 y2
运动微分方程
mx cx x2 y2 my mg cy x2 y2 14
• 已知力求运动或运动轨迹
8
理论基础：牛顿定律与微积分
第一定律 第二定律 第三定律
运动微分方程
矢量形式:
d2r m
dt 2
n
Fi
i 1
适用条件？
第一、二定律： 惯性参考系 第 三 定律： 任意参考系
9
•问题: 在不同坐标系中运动微分方程都有什么形式?
一、矢量形式：
z
FR
m d2r
dt 2
n i 1