数学理科试卷

武威六中2011年高三第一次诊断考试
数 学 试 卷（理）
命题人：武威六中高考数学命题组
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1.已知全集U ＝R ，且A ＝{x||x-1|＞2}，B ＝{x|x 2-6x+8＜0}，则(A)∩B 等于 （ ） A.［-1，4) B.(2，3) C.(2，3］ D.(-1，4) 2．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的 （ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．若c b a ,,为实数，则下列命题正确的是 （ ） A ．若b a >，则22bc ac > B ．若0<<b a ，则
b
a
11<
C ．若0<<b a ，则
b
a a
b < D ．若0<<b a ，则2
2
b ab a >>
4.若圆x 2+y 2-2x-4y ＝0的圆心到直线x-y+a ＝0的距离为2
2，则a 的值为 （ ）
A.-2或2
B.
2
1或
2
3 C.2或0 D.-2或0
5．函数tan()42
y x π
π
=-的部分图象如图所示，则()O A O B AB +⋅=
A ．6
B ．4
C ．4-
D ．6-
6.公差不为0的等差数列{}n a 中，237
11220a a a -+=，数列{}n b 是等比
数列，且77b a =，则68b b 等于 （ ） A.2 B.4 C.8 D.16
7.方程2
9x -=k(x-3)+4有两个不同的解时，实数k 的取值范围是 （ ）
A.)24
7,
0( B.(
24
7，+∞) C.(3
2,
31) D.]3
2,
24
7(
8．点(,)M a b 在函数1y x
=的图象上，点N 与点M 关于y 轴对称且在直线30x y -+=
上，则函数2()()1f x abx a b x =++-在区间[)2,2-上 （ ）
A ．既没有最大值也没有最小值
B ．最小值为-3，无最大值
C ．最小值为-3，最大值为9
D ．最小值为134
-
，无最大值
9.已知{}{}7,4,3,2-==→
→
b a ，则→
a 在→
b 上的射影为 （ ） A. 13 B.
5
13 C.
5
65 D. 65
10.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2,3
2cos -=⋅=
CB AC C 且
则,26=
+b a c 等于 （ ）
A ．5
B ．13
C ．4
D ．17
11．椭圆
2
2
125
16
x
y
+
=的左右焦点分别为12,F F ，
弦AB 过1F ，若2A B F ∆的内切圆周长为π，,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，
则12y y -值为 （ ） A ．53
B ．103
C ．
203
D 3
12.已知点P 为双曲线
12
22
2=-
b
y a
x )0,0(>>b a 的右支上一点,1F 、2F 为双曲线的左、右
焦点，使0)(22=⋅+−→
−−→
−−→
−P F OF OP (O 为坐标原点),且213PF PF =
,则双曲线离率为（ ）
A.
2
16+ B.16+ C. 2
13+ D. 13+
二、填空题（只要求写出最后结果，并把结果写在答卷页的相应位置上，每题5分，共20分）
13．已知点(,)(0,4)(2,0)P x y A B -到和的距离相等，则24x y
+的最小值为 .
14.设双曲线22
1x y -=
的两条渐近线与直线2
x =
围成的三角形区域（包含边界）为D ，
点(,)P x y 为D 内的一个动点，则目标函数2z x y =-的最小值为 ．
15．已知 a >0，定义在 D 上的函数 f (x ) 以及函数 g (x ) 的值域依次是[-(2a +3)π3,
a +6]和 ⎡⎢⎣a 2+254, ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2+254π3⎤
⎥⎦，若存在x 1, x 2∈D ，使得| f (x 1)-g (x 2)|<14
，则a 的取值范围为
16．已知函数11,()221()21,(1),21,(1)x x f x x x x x ⎧
+≤⎪⎪
⎪
=-<<⎨⎪
-≥⎪⎪⎩
若数列{}n a 满足
*
112006*********,(),,3
n n a a f a n N a a a +=
=∈++则=
三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ．b ．c ，且满足
032
2
2
=+
--bc c b a ，2
cos
sin sin 2
C B A =，BC 边上中线AM 的长为7．
（Ⅰ）求角A 和角B 的大小； （Ⅱ）求ABC ∆的面积．
18.（本题12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为
12
，且经过点
3(1,
)2
M ，过点(2, 1)P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存直线l ，满足2
PA PB PM ⋅= ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，
请说明理由．
19．（本小题满分12分）已知向量b a ,
1==，
且)0(>-=
+k a k ，
令b a k f ∙=)(,（1）求)(k f （用k 表示）；（2）当0>k 时，2
12)(2
--≥tx x k f 对
任意的]1,1[-∈t 恒成立，求实数x 的取值范围.
20．（本小题满分12分）已知椭圆2212
2
:
1(0)x y C a b a
b
+
=>>的离心
率为
3
，直线
l :2y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切.
（I ）求椭圆1C 的方程；
（II ）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直
线2l 垂直1l 于点P ，线段2P F 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；
（III ）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0,Q R RS ⋅=
求Q S 的
取值范围.
21.（本小题满分12分）已知函数),0[12)(2+∞-+=在x x n x f 上最小值是*)(N n a n ∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：
2
1111222
21
<
+
++
n
a
a
a
；
（Ⅲ）在点列A n （2n ，n a ）中是否存在两点*),(,N j i A A j i ∈，使直线j i A A 的斜率为1？若存在，求出所有的数对),(j i ；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分12分）
数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意n N *∈，总有2,,n n n a S a 成
等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2ln n
n n x b a
=
，求证：对任意实数(1,](x e e ∈是
常数，e =2．71828…）和任意正整数n ，总有2n T <；
（3）在正数数列{}n c 中，11(),()n n n a c n N +*+=∈．求数列{}n c 中的最大项．
高三数学理答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项
二、填空题（只要求写出最后结果，并把结果写在答卷页的相应位置上，每题5分，共20分）
13. －
2
2 15. （-1,1） 16.
116
三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：（Ⅰ）由032
22=+
--bc c b a 得bc c
b a 32
22-=--
222
cos 22
b c a
A bc
+-∴==.6
A π
= ………… 3分 由2
cos sin sin 2
C B A =，得2
cos 1sin 2
1C
B +=即sin 1cos B
C =+…………5分
则0cos <C ，即C 为钝角，故B 为锐角，且π6
5=+C B
则ππ
π3
21)3
cos(cos 1)6
5sin(=⇒-=+
⇒+=-C C C C
故6
π
=
B ．………7分
（Ⅱ）设x AC =， 由余弦定理得2
2
2
2
7)2
1(2
24
=-
⋅⋅
-+
=x x x
x AM
解得2=x ，故32
3222
1=⋅
⋅⋅=
∆ABC S ……………………10分
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221(0)x y
a b a b +=>>，由题意得22222191,
41,2.
a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩
解得24a =，2
3b =，故椭圆C 的方程为
2
2
14
3
x
y
+
=． ……………………4分
（Ⅱ）若存在直线l 满足条件，由题意可设直线l 的方程为(2)1y k x =-+，
由22
1,43
(2)1,x y
y k x ⎧+=⎪
⎨⎪=-+⎩
得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=.………5分 因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，设,A B 两点的坐标分别为
1122(,),(,)x y x y ，
所以222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---⋅+⋅-->. 整理得32(63)0k +>. 解得12
k >-
．………………………………………………………………8分
又122
8(21)34k k x x k
-+=
+，2
122
16168
34k k x x k
--=
+，
且2
PA PB PM ⋅= ，即12125
(2)(2)(1)(1)4
x x y y --+--=，
所以 22125(
2)(
2)(1)||4x x k P M --+=
=.
即 2
12125[2()4](1)4
x x x x k -+++=.
所以 2
22
2
2
2
16168
8(21)445[
2
4](1)3434344
k k k k k k k
k
k
---+-++=
=
+++，解得12
k =±
.
所以12
k =．于是存在直线l 满足条件，其的方程为12
y x =. ………………12分
19．（1） a k -=+1== ∴22)(3)(b k a b a k -=+2 分
∴
)0(412
>+=
∙k k
k b a 4 分
b a k f ∙=)(
∴
)(k f )0(412
>+=
k k
k 5 分
（2）当0>k 时，2
12)(2
--≥tx x k f 对任意的]1,1[-∈t 恒成立。

∴2
12)]
([2
min
-
-≥tx x k f 对任意的]1,1[-∈t 恒成立7 分 由（1）得：0>k ，)(k f 2
14
2412
=
≥
+=k k
k 当且仅当1=k 时“=”成立；8 分
∴
2
122
12
-
-≥tx x 对任意的]1,1[-∈t 恒成立，
即0122≤--tx x 对任意的]1,1[-∈t 恒成立
令212)(x xt t g -+= 则0)(≥t g 对任意的]1,1[-∈t 恒成立。

∴
⎩⎨⎧≥≥-0)1(0)1(g g 即⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-+-0120122
2
x x x x ，解得：1221-≤
≤-x 10 分
∴
]12,
21[--
∈x 12 分
20．解：
（Ⅰ）∵22
2
2
22
2
2
1,233
3
c a b e e a b a
c
-=
∴=
=
=
∴=
∵直线2
2
2
02:b y x y x l =+=--与圆相切， ∴
2,2,2
22
==
∴=b b b ∴32
=a …………3分
∵椭圆C 1的方程是
12
3
2
2
=+
y
x
………………4分
（Ⅱ）∵MP=MF 2，
∴动点M 到定直线1:1-=x l 的距离等于它到定点F 1（1，0）的距离， ∴动点M 的轨迹是C 为l 1准线，F 2为焦点的抛物线 ………………6分
∴点M 的轨迹C 2的方程为 x y 42
= …………8分
（Ⅲ）Q （0，0），设),4
(),,4
(22
212
1y y S y y R
∴),4
(),,4
(
122
1
2
212
1y y y y RS y y QR --==
∵0=⋅RS QR ∴
0)(16
)
(1212
12
22
1=-+-y y y y y y
∵0,121≠≠y y y ，化简得
∴)16(112y y y +
-= ………………10分 ∴6432256232256
2
1
2
122=+≥++
=y y y
当且仅当 4,16,25612
12
1
21±===y y y
y 时等号成立
∵6464)8(4
1)4
(||2
22222222
2≥-+=
+=
y y y y QS ，又
∴当||58||8,64min 22
2QS QS y y ，故
时，=±==
的取值范围是),58[+∞……12分
21.（Ⅰ）由()2()1f x x f x '==
得………………………………2分
1
41
41
41,),0[)(0
)(,),1
41(
)(,)141,0(,
1
410)(2
2
2
2
2
2
-=
∴--=+∞∴>'+∞-∈<'-∈-=
='n a n n x x f x f n x x f n x n x x f n 时取得最小值当上在时当时当得令
（Ⅱ）)1
21121(2114112
2+--=-=n n n a n 2
1)
1
21
1(21)]
1
211
21(
)5
13
1()311[(2
11112
2
2
2
1
<
+-
=+-
-++-
+-
=+
++
n n n a a a n
………………7分
（Ⅲ）不存在，假设存在两点A I , A j 满足题意，即1=j i A A k
.
,144)(21
414)(21
414)(2)
(4)(21
414)
(2),(),,2(),,2(,:.
1,,,
1,,)1,2(1),()2(1,,22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
故不存在则其中设不存在另解矛盾故在双曲线上其斜率为方程为而双曲线的一条渐近线上在曲线点则令=-
+>
-+
-+-+
---=
---
-=
--=
∈<=≥≥=-≥-===*
j
i j i j i j i j i j i j i j i j i j i a a k N j i a j A a i A k A A x y y x y x y x x x y a y n x j i A A j j i i A A j i n j
i
j
i
22.解：由已知：对于n N *∈，总有2
2n n n S a a =+成立 (1)
2
1112(2)n n n S a a n ---∴=+≥ （2） ………………………………2分
（1）—（2）得22
112n n n n n a a a a a --∴=+--
111()()n n n n n n a a a a a a ---∴+=+-
1,n n a a - 均为正数， 11(2)
n n a a n -∴-=≥ ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 ………………………………3分
又1n =时，2
1112S a a =+，解得11a =
()n a n n N *
∴=∈ ……………………………………………………4分
（2）证明： 对任意实数(]1,x e ∈和任意正整数n ，总有2
2
ln 1n
n n
x b a n
=
≤
……6分
2
2
2
111111...1 (1)
2
12
23
(1)n T n
n n
∴≤
+
++
<+
+
++
⋅⋅-⋅
111
1
111(1)(
) (222)
2
31n n n ⎛⎫=+-
+-
++-=-< ⎪-⎝⎭
………………8分 （3
）解：由已知22112a c c ==⇒=
33223a c c ==⇒=
，4
4334a c c ==⇒=
=
554
45a c
c ==⇒=
易得12234,......c c c c c <>>>
猜想2n ≥时，{}n c 是递减数列 …………………………………………10分
令ln ()x f x x
=
，则2
2
1
ln 1ln ()x x x x
f x x
x
⋅--'==
∴当3x ≥时，ln 1x >，则1ln 0x -<，即()0f x '< ∴()f x 在[)3,+∞内为单调递减函数，
由1
1n n n a c ++=知ln(1)ln 1
n n c n +=
+
2n ∴≥时，{}ln n c 是递减数列，即{}n c 是递减数列 又12c c <，∴数列{}n c
中的最大项为2c = …………………………12分。