《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标
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自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析
图 3.2(d)所示， δ (t) 函数的定义为
δ
(t)
=
⎧ ⎨
0
⎩∞
t≠0 t=0
(3.6)
∫ ∞ δ (t)dt = 1 −∞
显然， δ (t) 函数是一种理想脉冲信号，实际上它是不存在的。工程实践中常常用实际
脉冲近似地表示理想脉冲。如图 3.2(e)所示，当 ε 远小于被控对象的时间常数时，这种单位 窄脉冲信号常近似地当作 δ (t) 函数来处理。
第 3 章 控制系统的时域分析
·39·
2. 稳态响应
如果一个线性系统是稳定的，那么从任何初始条件开始，经过一段时间就可以认为它 的过渡过程已经结束，进入了与初始条件无关而仅由外作用决定的状态，即稳态响应。所 以稳态响应是指当 t 趋于无穷大时系统的输出状态。稳态响应表征系统输出量最终复现输 入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能来描述。
的单位阶跃响应曲线。典型形状如图 3.1 所示。各项动态性能指标也示于图中。
(1) 延迟时间 td ：指响应曲线第一次达到其稳态值一半所需的时间，记作 td ； (2) 上升时间 tr ：指响应曲线首次从稳态值的 10%过渡到 90%所需的时间；对于有振 荡的系统，亦可定义为响应曲线从零首次达到稳态值所需的时间，记作 tr 。上升时间是系
在分析和设计线性控制系统时，究竟采用哪一种典型输入信号取决于系统常见的工作
状态；同时，在所有可能的输入信号中，往往选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。
这种处理方法在许多场合是可行的。在一般情况下，如果系统的实际输入信号大部分为一
个突变的量，则应取阶跃信号为实验信号；如果系统的输入大多是随时间逐渐增加的信号，
数代表匀加速度变化的信号，故抛物线函数又称为等加速度函数，如图 3.2(c)所示。单位抛
自动控制原理课后答案第3章
第3章 控制系统的时域分析【基本要求】1. 掌握时域响应的基本概念，正确理解系统时域响应的五种主要性能指标；2. 掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数；3. 掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼情况下的性能指标和结构参数；4. 掌握稳定性的定义以及线性定常系统稳定的充要条件，熟练应用劳斯判据判定系统稳定性；5. 正确理解稳态误差的定义，并掌握系统稳态误差、扰动稳态误差的计算方法。
微分方程和传递函数是控制系统的常用数学模型，在确定了控制系统的数学模型后，就可以对已知的控制系统进行性能分析，从而得出改进系统性能的方法。
对于线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。
本章研究时域分析方法，包括简单系统的动态性能和稳态性能分析、稳定性分析、稳态误差分析以及高阶系统运动特性的近似分析等。
根轨迹分析法和频域分析法将分别在本书的第四章和第五章进行学习。
这里先引入时域分析法的基本概念。
所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。
由于系统的输出变量一般是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法被称为时域分析法。
当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
3.1 系统的时域响应及其性能指标为了对控制系统的性能进行评价，需要首先研究系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。
下面先介绍常用的典型输入信号。
3.1.1 典型输入信号由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。
为了便于对系统进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行评价和比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。
自动控制原理第三章时域分析法
0.135/T 0.05/T 0.018/T
0
T 2T 3T 4T
t
单位脉冲响应曲线
精选课件
19
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s2 s2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
Ct (t) (t T) Tet/T (t 0) 其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
%h(tp)h( )10% 0
h( )
精选课件
9
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量 大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的 工作条件下，而且使调节时间加长。
▪ 五.振荡次数N
在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速 性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。 即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要
精选课件
20
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
t
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e hh( )
ss
0 精选课件
21
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
c(t) 0 0.63 0.86 0.950 0.98 0.99
1
25
2
3
c(0)1 T
精选课件
14
特点： （1）初始斜率为1/T； （2）无超调 （3）稳态误差ess=0 。
0
T 2T 3T 4T
t
单位脉冲响应曲线
精选课件
19
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s2 s2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
Ct (t) (t T) Tet/T (t 0) 其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
%h(tp)h( )10% 0
h( )
精选课件
9
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量 大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的 工作条件下，而且使调节时间加长。
▪ 五.振荡次数N
在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速 性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。 即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要
精选课件
20
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
t
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e hh( )
ss
0 精选课件
21
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
c(t) 0 0.63 0.86 0.950 0.98 0.99
1
25
2
3
c(0)1 T
精选课件
14
特点： （1）初始斜率为1/T； （2）无超调 （3）稳态误差ess=0 。
自动控制原理第3章
arctan 9 3
1.25rad
则响应为 y(t) 1 2 e 3t 0.95e j1.25e (1 j)t 0.95e j1.25e (1 j)t 5
1 2 e 3t 0.95e t e j(t1.25) e j(t1.25) 5 1 2 e 3t 1.9e t cos(t 1.25)
平衡位置：力学系统中，当系统外的作 D
用力为零时，位移保持不变的位置。
此时位移对时间的各阶导数为零。 A点和D点是平衡位置， B点和C点不是平衡位置。
O
B
C
A
稳定的平衡位置：若在外力作用下，系统偏离了平衡位置，但 当外力去掉后，系统仍能回到原来的平衡位置，则称这一个平 衡位置是稳定的平衡位置。
所以A点是稳定的平衡位置，而D点不是稳定的平衡位置。
注意：输入信号为非单位阶跃信号时，依齐次性，响应 只是沿纵轴拉伸或压缩，基本形状不变。所以ts 、 tr、 tp 、 σ并不发生变化。
当t < ts时，称系统处于动态；当t > ts时，称系统处于稳态。
3.2 一阶系统的单位阶跃响应
一阶系统（惯性环节）
G(s) 1 Ts 1
单位阶跃响应为
t
y(t) 1 e T
设零初始状态，y(0)=0 r (t)=1(t)时，y(t)的响应曲线为
y(t)
1.05 y(∞)
ym
y(∞)
0.95 y(∞)
tr tp
ts
ym：单位阶跃响应的最大偏离量。 y(∞)：单位阶跃响应的稳态值。并非期望值。 ts：调节时间。y(t)进入0.5*y(∞)或0.2* y(∞)构成的误差带 后不再超出的时间。 tr：上升时间。 y(t) 第一次达到 y(∞)的时间。
自动控制原理课件之第三章 (一) 时域性能指标,时域分析 (1)
５－4 频域稳定裕度
根据系统的开环频率特性可以判定系统稳定性 (-1，j0)为临界点，偏离临界点的程度，反映系统的相对稳定性 频域的相对稳定性即稳定裕度常用相角裕度γ和幅值裕度A（ω）来度量
自动控制原理教案
相角裕度γ和幅值裕度A（ω）定义
相角裕度γ 设ωc为系统的截止频率
A ( c ) G ( j c ) H ( c ) 1
1 G ( j x ) H ( x )
对数坐标下 h 20 lg G ( j x ) H ( x )
幅值裕度h的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍， 则系统将处于临界稳定状态
自动控制原理教案
例5—12
已知单位反馈系统
G (s) K ( s 1)
3
设k分别为4和10时，试确定系统的稳定裕度。 解 系统开环频率特性
180 G ( j c ) H ( c )
相角裕度γ的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再 滞后γ度，则系统将处于临界稳定状态。 幅值裕度 设ωx为系统的穿越频率 定义幅值裕度为
h
( x ) G ( j x ) H ( x ) ( 2 k 1)
上例中减小开环增益可以增大系统的相角裕度,
但会增大系统的稳态误差,一般要求相角裕度达到 45º ~70º ,为满足这一要求在截止频率附近的斜率大 于-40dB/dec,且有一定的宽度. 若兼顾系统的稳态误差和过度过程的要求,有 必要应用校正方法
自动控制原理教案
自动控制原理教案
例5—13 典型二阶系统相角裕度γ
典型二阶系统如图所示，试确定系统的相角裕度γ。 解 典型二阶系统的开环频率特性为
G ( j )
根据系统的开环频率特性可以判定系统稳定性 (-1，j0)为临界点，偏离临界点的程度，反映系统的相对稳定性 频域的相对稳定性即稳定裕度常用相角裕度γ和幅值裕度A（ω）来度量
自动控制原理教案
相角裕度γ和幅值裕度A（ω）定义
相角裕度γ 设ωc为系统的截止频率
A ( c ) G ( j c ) H ( c ) 1
1 G ( j x ) H ( x )
对数坐标下 h 20 lg G ( j x ) H ( x )
幅值裕度h的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍， 则系统将处于临界稳定状态
自动控制原理教案
例5—12
已知单位反馈系统
G (s) K ( s 1)
3
设k分别为4和10时，试确定系统的稳定裕度。 解 系统开环频率特性
180 G ( j c ) H ( c )
相角裕度γ的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再 滞后γ度，则系统将处于临界稳定状态。 幅值裕度 设ωx为系统的穿越频率 定义幅值裕度为
h
( x ) G ( j x ) H ( x ) ( 2 k 1)
上例中减小开环增益可以增大系统的相角裕度,
但会增大系统的稳态误差,一般要求相角裕度达到 45º ~70º ,为满足这一要求在截止频率附近的斜率大 于-40dB/dec,且有一定的宽度. 若兼顾系统的稳态误差和过度过程的要求,有 必要应用校正方法
自动控制原理教案
自动控制原理教案
例5—13 典型二阶系统相角裕度γ
典型二阶系统如图所示，试确定系统的相角裕度γ。 解 典型二阶系统的开环频率特性为
G ( j )
自动控制原理第3章
本方法是分析系统的最早、也是最基本的分析 方法，时域分析法直覌、物理概念清晰。
2
一、典型的输入信号
1、阶跃信号 数学表达式
r(t) A t 0
拉氏变换式
R(s) A s
当A=1时，称为单位阶跃信号！
r(t) 1
2.斜坡信号 数学表达式
r(t)
R(s) 1 s
At t 0 0 t0
3
典型的输入信号
y(tr ) 1
经整理得
tr
n
1
2
25
二阶系统分析
t tp
2、超调量 ：
暂态过程中被控量的最大值超过稳态值的百分数。
即
%
y(t
P ) y y
100
%
峰值时间 t t p
在 t 时t p刻对 求y导t，令其等于零，经整理得
tp 1 2n
将其代入超调量公式得
% e 1 2 100%
r(t)
A 0t 0 t0 t
拉氏变换式 R(s) A
5
典型的输入信号
当A=1时， 称为单位理想脉冲信号
r(t) (t) R(s) 1
5、正弦信号 数学表达式
r(t) Asin t t 0
拉氏变换式
R(s)
A s2 2
6
二、时域性能指标
以单位阶跃信号输入时，系统输出的一些特征值来表示。
系统对输入信号微分（积分）的响应，就等于该输入 信号响应的微分（积分）。
例3-1(解释)
14
第三节 二阶系统分析 一、二阶系统
用二阶微分方程描述的系统。 二、二阶系统典型的数学模型
先看例：位置跟踪系统
15
二阶系统分析 系统结构图：
2
一、典型的输入信号
1、阶跃信号 数学表达式
r(t) A t 0
拉氏变换式
R(s) A s
当A=1时，称为单位阶跃信号！
r(t) 1
2.斜坡信号 数学表达式
r(t)
R(s) 1 s
At t 0 0 t0
3
典型的输入信号
y(tr ) 1
经整理得
tr
n
1
2
25
二阶系统分析
t tp
2、超调量 ：
暂态过程中被控量的最大值超过稳态值的百分数。
即
%
y(t
P ) y y
100
%
峰值时间 t t p
在 t 时t p刻对 求y导t，令其等于零，经整理得
tp 1 2n
将其代入超调量公式得
% e 1 2 100%
r(t)
A 0t 0 t0 t
拉氏变换式 R(s) A
5
典型的输入信号
当A=1时， 称为单位理想脉冲信号
r(t) (t) R(s) 1
5、正弦信号 数学表达式
r(t) Asin t t 0
拉氏变换式
R(s)
A s2 2
6
二、时域性能指标
以单位阶跃信号输入时，系统输出的一些特征值来表示。
系统对输入信号微分（积分）的响应，就等于该输入 信号响应的微分（积分）。
例3-1(解释)
14
第三节 二阶系统分析 一、二阶系统
用二阶微分方程描述的系统。 二、二阶系统典型的数学模型
先看例：位置跟踪系统
15
二阶系统分析 系统结构图：
第三章 自动控制系统的时域分析(1)《自动控制原理与系统》
第二节 一阶系统的动态响应
凡是以一阶微分方程作为运动方程的控制系统，成为一阶系统
一、一阶系统的数学模型
一阶系统的时域微分方程为
T dc (t ) c(t ) r (t ) dt
式中c（t）和r（t）分别为系统的输出、输入量；T为时间 常数，具有时间“秒”的量纲，此外时间常数T也是表征系 统惯性的一个主要参数，所以一阶系统也称为惯性环节 在初始条件为零时两边取拉氏变换，可得其闭环传递函数为
)] T
这里，输入信号t是输出量的期望值。上式还表明，一阶系统在 跟踪单位斜波输入信号时，输出量与输入量存在跟踪误差，其 稳态误差值与系统的“T”的值相等。一阶系统在跟踪斜波输入 信号，所带来的原理上的位置误差，只能通过减小时间常数T来 降低，而不能最终消除它
第三章 自动控制系统的时域分析
4.单位冲激响应 单位脉冲函数是单位阶跃函数的一阶 导数。因此其单位脉冲响应是单位阶 跃响应的一阶导数
r(t)＝A sinωt
周期性输入信号
第三章 自动控制系统的时域分析
二、动态过程与稳态过程
在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都是由 动态过程和稳态过程组成 1.动态过程
又称为过渡过程或暂态过程，是指系统从初始状态到接近最终 状态的响应过程。 2.稳态过程
稳态过程是指时间t趋于无穷时的系统输出状态。
第三章 自动控制系统的时域分析
第三节 二阶系统的动态响应
凡是由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。在控制工程 中的许多系统都是二阶系统，如电学系统、力学系统等。即使 是高阶系统，在简化系统分析的情况下有许多也可以近似成二 阶系统。因此，二阶系统的性能分析在自动控制系统分析中有 非常重要的地位。
一、二阶系统的数学模型
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90 arctg
2 n
根据定义
1 c 4 2 2 ( 4 1 2 ) n
相角裕度γ
180 G ( jc )
180 90 arctg
4
c 2 n arctg 2 n c
2 1 2
arctg[2 ( 4 1 2 ) ]
故 20lg ( j) 3(dB)
b
系统带宽频率与带宽
一阶和二阶系统，带宽和系统参数具有解析关系。
自动控制原理教案
一阶系统的带宽: 一阶系统: 因为
1 (s) Ts 1
， 按带宽定义1 1 Fra bibliotekT 2b2
( j 0) 1
20lg ( jb ) 20lg
( ) 180 ( )
其中γ(ω)表示相角相对于-180º的相移。 开环频率特性可以表示为
G( j ) A( )e j[180 ( )] A( )[ cos ( ) j sin ( )]
自动控制原理教案
系统闭环和开环频域指标的关系 闭环幅频特性
自动控制原理教案
系统闭环和开环频域指标的关系 1.系统开环指标截止频率ωc与闭环指标带宽频率ωb有着密切的关系。
ωc 大的系统 ωb大
2. 闭环振荡性能指标谐振峰值Mr和开环指标相角裕度γ都能
表征系统的稳定程度. 证明 设系统开环相频特性可以表示为
1 1 M r M (r ) sin (r ) sin
解 因为该系统为I型系统，单位速度输入下的稳态误差为 查表
1 K 9 K
60
0.62 % e
/ 1 2
7.5%
K 2 1 n , 2n n 2 K 11.6 T T 3.5 ts 0.506
自动控制原理
28
3.3 二阶系统的阶跃响应
输出量的时间函数：
xc (t ) 1 ent (1 nt ), t 0
xc (t ) L1 X c ( s) 1 e 1
nபைடு நூலகம்t
( s a)2 2 sa at L e cos t ( s a)2 2
sin d t cos d t 2 1
2
自动控制原理
第3章 自动控制系统的时域分析
第3章 自动控制系统的时域分析
系统的分析方法
时域、频域
时域分析的目的
不必准确地把微分方程解出来，而是 从微分方程判断出系统运动的主要特征— —从工程角度分析系统运动规律。
2
控制系统的性能指标
在典型信号作用下，控制系统的时间响应是由动态 过程和稳态过程两部分组成。所以控制系统的性能 指标，通常由动态性能和稳态性能两部分组成。 1.动态过程和动态性能 动态过程（过渡过程、暂态过程）：在典型输入 信号作用下，系统从初态到终态的响应过程。
8
3.1 自动控制系统的时域指标
（2）斜坡函数
0，t 0 xr (t ) At，t 0
A=1时称为单位斜坡函数
1 X r ( s) 2 s
单位斜坡信号的拉氏变换
等速度函数
9
3.1 自动控制系统的时域指标
（3）抛物线函数
0，t 0 xr (t ) 2 At ，t 0
特征根的性质取决于阻尼比 的大小；二阶系统的时间 响应取决于 和 n 两个参数，按以下情况来研究二阶系 统的时间响应。
1 1
0 1
0
0
自动控制原理第3章总结
一阶系统特点：
1. 响应曲线在[0，） 的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响
应称为非周期响应。无振荡 2.一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为0，以指数规律上升到终值1的
曲线。 3. ※实验中求取时间常数的方法--输出响应为0.632时对应的时间。 4.一阶系统可以跟踪单位阶跃信号，因为无稳态误差。
Td
n
2 1 2
ln( 1 )
p
2 (ln 1 )2
p
ts
3.5
n
ts
4.4
n
2.2 1 2
N
, 0.02
1.75 1 2
N
, 0.05
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.4 二阶系统的动态性能指标 总结：
c(t) 1
1
1 2
ent
sin(dt ), t
0
c(t)
% e 1 2 100%
n s1j
j
j n 1 2
s1
0
s2
s1,2 j n (d) 0
0
j n 1 2
n
s2
s1,2 n j n 1 2
(e) 1 0
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1 (c) 1
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1
(f ) 1
3-3 二阶系统的时域分析来自s2 2n s n2 R C
2L
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.1 二阶系统的数学模型
标准化二阶系统的结构图为：
R(s)
+﹣
n2
C(s)
s(s+2ξn)
n2
控制系统的时域分析-自动控制原理-自动化专业-03
4 3 2
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解： 作劳斯表如下
s4 s3 s2 s1 s0 1 2 1 -6 5 3 4 5 5
b1 2 3 4 1 1 2
，
2 5 0 1 b2 5 2
系统不稳定。
例：已知系统的闭环特征方程为
s 2s s 2 0
3 2
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解： 系统临界稳定
劳斯判据的第一种特殊情况
---第一例有零值出现：用极小的正数 代
替。如果第一列中的元素除了出现的零值 外，其余全部大于零，则说明系统有临界 即不稳定根个数。
稳定的特征根。第一列系数改变符号的次数，
例 s 3s 2 0
3
(s 1) (s 2) 0
•单位斜坡响应
三种响应之间的关系
3.控制系统的性能指标(Performance Index)
性能指标：是在分析一个控制系统的时候，评价
统性能好坏标准的定量指标。
c(t ) ct (t ) css (t )
性 能 指 标
暂态性能指标
稳态性能指标
以阶跃输入作用下系统的输出衡量系统的优劣
暂 态 性 能 指 标
响应的速度逐渐加快，但振荡加剧。
3. 二阶系统性能指标的计算
上升时间 tr
3. 二阶系统性能指标的计算
峰值时间 tp
3. 二阶系统性能指标的计算
超调量 Mp
超调量只与阻尼比有关，
且与阻尼比成 反 比。
3. 二阶系统性能指标的计算
调节时间 ts
包络线
性能指标的讨论
由超调量确定阻尼比， 再由其它条件确定无阻 泥振荡角频率。
m2
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解： 作劳斯表如下
s4 s3 s2 s1 s0 1 2 1 -6 5 3 4 5 5
b1 2 3 4 1 1 2
，
2 5 0 1 b2 5 2
系统不稳定。
例：已知系统的闭环特征方程为
s 2s s 2 0
3 2
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解： 系统临界稳定
劳斯判据的第一种特殊情况
---第一例有零值出现：用极小的正数 代
替。如果第一列中的元素除了出现的零值 外，其余全部大于零，则说明系统有临界 即不稳定根个数。
稳定的特征根。第一列系数改变符号的次数，
例 s 3s 2 0
3
(s 1) (s 2) 0
•单位斜坡响应
三种响应之间的关系
3.控制系统的性能指标(Performance Index)
性能指标：是在分析一个控制系统的时候，评价
统性能好坏标准的定量指标。
c(t ) ct (t ) css (t )
性 能 指 标
暂态性能指标
稳态性能指标
以阶跃输入作用下系统的输出衡量系统的优劣
暂 态 性 能 指 标
响应的速度逐渐加快，但振荡加剧。
3. 二阶系统性能指标的计算
上升时间 tr
3. 二阶系统性能指标的计算
峰值时间 tp
3. 二阶系统性能指标的计算
超调量 Mp
超调量只与阻尼比有关，
且与阻尼比成 反 比。
3. 二阶系统性能指标的计算
调节时间 ts
包络线
性能指标的讨论
由超调量确定阻尼比， 再由其它条件确定无阻 泥振荡角频率。
m2
自动控制原理课件之第三章 (一) 时域性能指标,时域分析(w)
自 动 控 制 原 理 第 三 章
42
因此，怎样选择适中的阻尼比，以兼 顾系统的稳定性和快速性，便成了研究自 动控制系统的一个重要的课题。
控制工程中一般希望具有适度的阻尼, 较快的响应速度和较短的调节时间.二阶系 统一般取0.4~0.8，最佳阻尼0.707
欠阻尼二阶系统的动态过程分析
自 动 控 制 原 理 第 三 章
26
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自 动 控 制 原 理 第 三 章
系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。
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自 动 控 制 原 理 第 三 章
32
自 动 控 制 原 理 第 三 章
40
et / T1 et / T2 h(t ) 1 ,t 0 T2 / T1 1 T2 / T1 1
自 动 控 制 原 理 第 三 章
41
由以上的分析可见，典型二阶系统在不 同的阻尼比的情况下，它们的阶跃响应输出 特性的差异是很大的。 若阻尼比过小，则系统的振荡加剧，超 调量大幅度增加； 若阻尼比过大，则系统的响应过慢，又 大大增加了调整时间。
t
第 三 章
44
% e
1 2
(5) 调节时间ts:
100% 3 . 5 3 .5 ts
n
欠阻尼二阶系统的动态分析小结
自 动 控 制 原 理
n G(S ) 2 2 S 2 n S n
2
R(S)
0 1
C(S)
n 2 s(s 2n )
自动控制原理第3章 自动控制系统时域分析
3.6
控制系统稳态误差分析
3.6
控制系统稳态误差分析
3.6
3.6.4
控制系统稳态误差分析
扰动输入作用下的稳态误差
3.6
控制系统稳态误差分析
3.6
3.6.5
控制系统稳态误差分析
减小稳态误差的方法
通过上面的分析，下面概括出为了减小系统给定或扰动作用下的稳 态误差，可以采取以下几种方法。 (1)保证系统中各个环节（或元件），特别是反馈回路中元件的参 数具有一定的精度和恒定性，必要时需采用误差补偿措施。 (2)增大开环放大系数，以提高系统对给定输入的跟踪能力；增大 扰动作用前系统前向通道的增益，以降低扰动稳态误差。增大系统开环放 大系数是降低稳态误差的一种简单而有效的方法，但同时会使系统的稳定 性降低，为了解决这个问题，在增加开环放大系数的同时附加校正装置， 以确保系统的稳定性。
3.4
高阶系统时域分析
（3）如果所有的闭环极点都具有负实部，由式（3-19）可知，随着时
间的推移，系统的暂态分量不断的衰减，最后只剩下由极点所决定的稳态分
量。此时的系统称为稳定系统。稳定性是系统正常工作的首要条件，下一节 将详细探讨系统的稳定性。 （4）假如高阶系统中距虚轴最近的极点的实部绝对值仅为其它极点的 1/5或更小，并且附近又没有闭环零点，则可以认为系统的响应主要由该极 点（或共轭复数极点）来决定。这种对高阶系统起主导作用的极点，称为系 统的主导极点。因为在通常的情况下，总是希望高阶系统的暂态响应能获得
3.3.1 3.3.2
3.3
二阶系统时域分析
系统的动态性能指标
3.3.3
1. 上升时间 tr 2. 峰值时间 tp
3. 超调量
4. 调节时间 ts
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i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
由辅助方程导数系数构成
解辅助方程： s4 3 s2 2 (s2 1 )(s2 2 ) 0
j, j 2,1
[例] 开环传递函数 Gk(s)s(0.1s1)K0 (.2s51)单位负反馈.
求实系统稳定 K的的取值范围
a n4
a n5 b3
an an2
b1
an1 an3 an1
s c c c n 3 |
1
2
3
an1 an3
|
s1 |
c1
b1 b2 b1
s0 |
a i是实
an an4
b2
an1 an5 an1
an1 an5
c2
b1 b3 b1
劳斯判据:
系统稳定的充分必要条件: 特征方程的全部系数都是正数, 且劳斯表第一列元素都是正数
自动控制系统的时 域分析和性能指标
24.04.2《02自1 动控制原理》第三章
1
本章主要内容
稳定性、劳斯（Routh）稳定判据； 典型输入信号、阶跃响应性能指标； 一、二阶系统动态性能指标； 闭环主导极点； 稳态误差分析； 基本控制规律（P、PI、PD、PID）。
第一节 稳定性和代数稳定判据
一、稳定的概念 一个自动控制系统必须是稳定的
在劳斯表中,同一个正整数去除或乘某一行,不会改变劳 斯判据的结论
位于右半S平面根的个数=劳斯表第一列元素符号改变的 次数
三.劳斯稳定判据的应用
例: a3s3a2s2a 1sa00 判稳s3a3Fra biblioteka10
s2
a2
a0
0
s1 a1a2 a3 a0 0 a2
s0
a0
三阶系统稳定的充要条件是: a i0 且 a 1a 2a 3a 00
[例] s42s33s24 s50判稳
解: s 4 |
1
3
5
s3 |
2
4
0
13
15
s2 |
24 1
2
20 5
2
24
s1 |
15 6
1
0
15
s0 |
6 0 5
6
Routh表第一列元素符号改变2次, 有2个正实部的根, 系统不稳定
[例] s4 3 s3 3 s2 3 s 2 0判稳
解: s 4 | 1 3 2 s3 | 3 3 s2 | 2 2 s1 | s0 | 2
用ε代表0, 此时有一虚根存在,系统是不稳定的. 根为: +j, -j, -1, -2
[例] S5+ S4+3S3+3S2+2S +2 =0 判稳
解: S 5 | 1 3 2 S4 | 1 3 2 S 3 | 0 0 0 系统不稳定，若要了解根的分布
则作辅助方程 Q (s)s43s220
求导 4s36s0
K
C(s)
-
s(0.1s1)(0.25s1)
解：
系统方程
列劳斯表
根据劳斯判据，令劳斯表第一列各元均大于0，解出K 的取值范围
0<K<14
例 （华东理工大学2000年）某控制系统如下图 所示，试确定K1，K2使系统闭环稳定。
R(s) + +
-
-
100 s2 4
K2s
C(s)
解：
K1s
系统方程
解:
GB
(s)
GK (s) 1GK (s)
,
1GK (s)闭环特征方程
s(0.1s 1)(0.25s 1) K 0
s3 14s2 40s 40K 0
K 0 1440140K 0
0 K 14
例 （哈尔滨工业大学2000年）系统结构图如下。 求：为使系统闭环稳定，确定K的取值范围。
R(s) +
1
0
t
r(t)
s t
r(t) 0
tt 0 0L[r(t)]12
1
0
1
t
3.单位抛物线函数(加速度阶跃函数)
r(t)
(t) 1 2t2 t0
0 t0
L[1 2t2]s13 0
t
二. 阶跃响应的性能指标
C (t) C max C() 1 C () 2
td tr t p
1、延迟时间 t d
2 、上升时间 t r
C (s)
C(s) 1 1 Ts1 s
C(t)1etT Ct(t)Css(t)
R(s) 1 s
K K0 , 1 K0
T T0 1 K0
e C 瞬 C 态 t tT , 稳( 态 t) 1 ( t) ss
C t (t)
C ss (t)
C (t)
+
=
二.一阶系统的动态性能指标
e e C(t)t3T(1
自动控制系统稳定的定义：
设系统处于某一起始的平衡状态，在外作用影响下它离 开平衡状态，当外作用消失后，若经过足够长的时间它能回 复到原来的平衡状态，则称这样的系统是稳定的，或称系统 具有稳定性，否则是不稳定的或不具有稳定性。
线性系统的稳定的充要条件是：
系统特性方程的根（即闭环极点）均为负实数（实部）。
列劳斯表
根据劳斯判据，令劳斯表第一列各元均大于0，解出 K1，K2的取值范围
第四次作业
P133
3-1(1) 3-2(5) 3-3(1)
第二节 典型输入信号和阶跃响应性能指标
一. 典型输入信号
1(t)
1.单位阶跃函数
1 t0 1(t) 0 t0
L[1(t)]1 s
2.单位斜坡函数(速度阶跃函数)
t
T)t3T1
3T
T0.95
ts3T
ts 是一阶系统的动态性能指标。
T T0 1 K0
增大系统的开环放大系数K0 都会使T 减小，使ts 减小。
第四节 二阶系统的动态性指标
一、二阶系统的动态响应
2
(s) 2 2