四川省木里县中学中考数学专题讲座抛物线及几何问题复习

抛物线与几何问题【知识纵横】抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2y ax bx c =++(a ≠0)；2、顶点式：y=a(x —h) 2-＋k ；3、交点式：y=a(x —x 1)(x —x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。

解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。

【典型例题】【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。

平移二 次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A ，B 。

（1）是否存在这样的抛物线F ，OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。

【思路点拨】（1）由关系式OC OB OA ⋅=2来构建关于t 、b 的方程；(2)讨论t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。

【例2】(江苏常州)如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点.（1）求点A 的坐标;（2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;（3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范围.【思路点拨】（3）可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时，x<0、 ②当点P 在第四象限是，x>0这二种情况。

【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．（1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ,①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短；（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（2）构建关于PB 的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点Q 落在直线OA 的下方时、当点Q 落在直线OA 的上方时讨论。

【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝31．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ， 使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，yBOA P Mx2x =请说明理由．（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图2，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上 一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.【思路点拨】（2）可先以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形时，求F 点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。

（3）讨论①当直线MN 在x 轴上方时、②当直线MN 在x 轴下方时二种情况。

（4）构建S 关于x 的二次函数，求它的最大值。

【例5】（山东济南）已知：抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)，顶点C (1，3-)，与x 轴交于A 、B 两点，(10)A -，． （1）求这条抛物线的解析式．（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB 上一个动点(P 与A 、B 两点不重合)，过点P 作PM ⊥AE 于M ， PN ⊥DB 于N ，请判断PM PNBE AD+是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． （3）在(2)的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG ⊥EP ，FG 分别与边．AE 、BE 相交于点F 、G (F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合)，请判断PA EFPB EG=是否成 yxOED CBAGA B CD O xy立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【思路点拨】（2）证△APM ∽△ABE ，PM APBE AB=同理:PN PBAD AB=（3）证PH =BH 且△APM ∽△PBH 再证△MEP ∽△EGF 可得。

【学力训练】1、（广东梅州）如图所示，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ，AD =DC =CB ，AB =4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标； （2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ．（3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使∆PDB 为等腰三角形的点P 有几个?（不必求点P 的坐标，只需说明理由）2、（广东肇庆）已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252+=上.（1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.3、（青海西宁）如图，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．（1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A，，yM为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4、（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中，直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线223(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．5、（四川资阳）如图，已知点A 的坐标是（－1，0），点B 的坐标是（9，0），以AB 为直径作⊙O′，交y 轴的负半轴于点C ，连接AC 、BC ，过A 、B 、C 三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是AC 延长线上一点，∠BCE 的平分线CD 交⊙O′于点D ，连结BD ，求直线BD 的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得∠PDB ＝∠CBD?如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．6、（辽宁沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的 负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，3OB =，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7、（苏州市）如图，抛物线y ＝a(x ＋1)(x －5)与x 轴的交点为M 、N ．直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于P(－2，0)，与y 轴交于C ．若A 、B 两点在直线y ＝kx ＋b 上，且AO =BO =2，AO ⊥BO ．D 为线段MN 的中点，OH 为Rt △OPC 斜边上的高．(1)OH 的长度等于___________；k ＝___________，b ＝____________；(2)是否存在实数a ，使得抛物线y ＝a(x ＋1)(x －5)上有一点E ，满足以D 、N 、E 为顶y ODEC FA BAO xyBFC点的三角形与△AOB 相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E 点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E 点，直线NE 与直线AB 的交点G 是否总满足PB ·PG ＜210，写出探索过程．抛物线与几何问题的参考答案【典型例题】【例1】 (浙江杭州)（1）∵ 平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q , ∴ 抛物线F 对应的解析式为:b t x t y +--=2)(. ∵ 抛物线与x 轴有两个交点，∴0>b t . 令0=y , 得-=t OB t b，+=t OC tb , ∴ -=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b )|-=2|t 22|OA t tb == , 即22t t tb ±=-, 所以当32t b =时, 存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=.-- 2分(2) ∵BC AQ //, ∴ b t =, 得F : t t x t y +--=2)(,解得1,121+=-=t x t x . 在∆Rt AOB 中,1) 当0>t 时,由 ||||OC OB <, 得)0,1(-t B , 当01>-t 时, 由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t , 解得3=t , 此时, 二次函数解析式为241832-+-=x x y ;当01<-t 时, 由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t , 解得=t 53, 此时，二次函数解析式为-=y 532x +2518x +12548.AH C By-2M OD N xP2) 当0<t 时, 由 ||||OC OB <, 将t -代t , 可得=t 53-, 3-=t , （也可由x -代x ，y -代y 得到） 所以二次函数解析式为 =y 532x +2518x –12548或241832++=x x y . 【例2】(江苏常州) （1）∵4)2(422-+=+=x x x y ∴A(-2,-4)（2）四边形ABP 1O 为菱形时，P 1(-2,4)四边形ABOP 2为等腰梯形时，P 1(5452-，) 四边形ABP 3O 为直角梯形时，P 1(5854，-)四边形ABOP 4为直角梯形时，P 1(51256-，)（3）由已知条件可求得AB 所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l 的函数关系式是y=-2x①当点P 在第二象限时，x<0,△POB 的面积x x S POB 4)2(421-=-⨯⨯=∆ ∵△AOB 的面积84421=⨯⨯=∆AOB S ，∴)0(84<+-=+=∆∆x x S S S POB AOB ∵286264+≤≤+S ，∴⎪⎩⎪⎨⎧+≤+≥286264S S即⎪⎩⎪⎨⎧+≤+-+≥+-2868426484x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≥22412232S x∴x 的取值范围是22322241-≤≤-x ②当点P 在第四象限是，x>0,过点A 、P 分别作x 轴的垂线，垂足为A ′、P ′ 则四边形POA ′A 的面积44)2(21)2(224+=⋅⋅-+⋅+=-='∆'''x x x x x S S S O P P A A P 梯形P A A PO ∵△AA ′B 的面积42421=⨯⨯='∆B A A S ∴)0(84>+=+='∆'x x S S S B A A A A PO ∵286264+≤≤+S ，∴⎪⎩⎪⎨⎧+≤+≥286264S S 即⎪⎩⎪⎨⎧+≤++≥+2868426484x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≥21242223S x ∴x 的取值范围是21242223-≤≤-x【例3】（浙江丽水）（1）设OA 所在直线的函数解析式为kx y =，∵A （2，4），∴42=k , 2=∴k , ∴OA 所在直线的函数解析式为2y x =（2）①∵顶点M 的横坐标为m ，且在线段OA 上移动， ∴2y m =（0≤m ≤2）.∴顶点M 的坐标为(m ,2m ).∴抛物线函数解析式为2()2y x m m =-+.∴当2=x 时，2(2)2y m m =-+224m m =-+（0≤m ≤2）. ∴点P 的坐标是（2，224m m -+）. ② ∵PB =224m m -+=2(1)3m -+， 又∵0≤m ≤2， ∴当1m =时，PB 最短（3）当线段PB 最短时，此时抛物线的解析式为()212+-=x y . 假设在抛物线上存在点Q ，使Q M A P M AS S =. 设点Q 的坐标为（x ，223x x -+）. ①当点Q落在直线OA的下方时PC AO y C 3PB =4A B =1A P =1OC =C 1-∵点P 函数解析式为12-=x y . ∵Q M A P M AS S =，∴点Q 落在直线12-=x y 上. ∴223x x -+=21x -. 解得122,2x x ==，即点Q （2，3）. ∴点Q 与点P 重合.∴此时抛物线上不存在点Q ，使△QMA 与△AP M 的面积相等. ②当点Q 落在直线OA 的上方时， 作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE AO y E 1A P =1E OD A ==E D DE 12+=x y ∵Q M A P M AS S =，∴点Q 落在直线12+=x y 上. ∴223x x -+=21x +. 解得：12x =22x =代入12+=x y ，得15y =+25y =-∴此时抛物线上存在点(12Q ，()225,222--Q 使△QMA 与△PM A 的面积相等.综上所述，抛物线上存在点(12Q ，()225,222--Q 使△QMA 与△PM A 的面积相等.【例4】（广东省深圳市）（1）方法一：由已知得：C （0，－3），A （－1，0）将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y （2）存在，F 点的坐标为（2，－3） 易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y∴E 点的坐标为（－3，0） ∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形∴F 点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合∴存在点F ，坐标为（2，－3）（3）如图，①当直线MN 在x 轴上方时，设圆的半径为R （R>0），则N （R+1，R ）， 代入抛物线的表达式，解得2171+=R ②当直线MN 在x 轴下方时，设圆的半径为r （r>0）， 则N （r+1，－r ），代入抛物线的表达式，解得2171+-=r ∴圆的半径为2171+或2171+-．（4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ， 易得G （2，－3），直线AG 为1--=x y ．设P （x ，322--x x ），则Q （x ，－x －1），PQ 22++-=x x ．3)2(212⨯++-=+=∆∆∆x x S S S GPQ APQ APG 当21=x 时，△APG 的面积最大 此时P 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-415,21，827的最大值为APG S ∆．【例5】（山东济南）(1)设抛物线的解析式为2(1)3y a x =-- 将A (－1，0)代入: 20(11)3a =--- ∴ 34a =∴ 抛物线的解析式为23(1)34y x =--，即：2339424y x x =--（2）是定值，1PM PNBE AD+= ∵ AB 为直径，∴ ∠AEB =90°，∵ PM ⊥AE ，∴ PM ∥BE ∴ △APM ∽△ABE ，∴ PM APBE AB=① 同理:PN PB AD AB = ② ① + ②:1PM PN AP PBBE AD AB AB+=+=（3）∵ 直线EC 为抛物线对称轴，∴ EC 垂直平分AB∴ EA =EB ∵ ∠AEB =90°∴ △AEB 为等腰直角三角形．∴ ∠EAB =∠EBA =45° ........... 7分 如图，过点P 作PH ⊥BE 于H ，由已知及作法可知，四边形PHEM 是矩形， ∴PH =ME 且PH ∥ME 在△APM 和△PBH 中∵∠AMP =∠PHB =90°， ∠EAB =∠BPH =45° ∴ PH =BH 且△APM ∽△PBH ∴ PA PMPB BH=∴PA PM PMPB PH ME==① 在△MEP 和△EGF 中，∵ PE ⊥FG ， ∴ ∠FGE +∠SEG =90° ∵∠MEP +∠SEG =90° ∴ ∠FGE =∠MEP∵ ∠PME =∠FEG =90° ∴△MEP ∽△EGF ∴PM EFME EG=② 由①、②知：PA EFPB EG=【学力训练】 1、（广东梅州）（1） DC ∥AB ，AD =DC =CB ，∴ ∠CDB =∠CBD =∠DBA ，∠DAB =∠CBA ， ∴∠DAB =2∠DBA ，∠DAB +∠DBA =90 ， ∴∠DAB =60 ，∠DBA =30， AB =4， ∴DC =AD =2，R t ∆AOD ，OA =1，OD =3，∴A （-1，0），D （0， 3），C （2， 3）．（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A （－1，0），B （3，0）， 故可设所求为 y =a （x +1）（ x -3） 将点D （0， 3）的坐标代入上式得， a =33-． 所求抛物线的解析式为 y =).3)(1(33-+-x x 其对称轴L 为直线x =1． （3） ∆PDB 为等腰三角形，有以下三种情况：①因直线L 与DB 不平行，DB 的垂直平分线与L 仅有一个交点P 1，P 1D =P 1B ，∆P 1DB 为等腰三角形；②因为以D 为圆心，DB 为半径的圆与直线L 有两个交点P 2、P 3，DB =DP 2，DB =DP 3， ∆P 2DB ，∆P 3DB 为等腰三角形；③与②同理，L 上也有两个点P 4、P 5，使得 BD =BP 4，BD =BP 5．由于以上各点互不重合，所以在直线L 上，使∆PDB 为等腰三角形的点P 有5个．2、（广东肇庆）（1）由5x x 122+=0， （1分）得01=x ，5122-=x ．∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（512-，0）． （3分）（2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81）， 分别过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则有ABC S ∆=S ADFC 梯形 -ADEB S 梯形 -BEFC S 梯形=22)8117(⨯+-21)4417(⨯+-21)8144(⨯+=5（个单位面积）（3）如：)(3123y y y -=．事实上，)3(12)3(523a a y ⨯+⨯= =45a 2+36a ．3（12y y -）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2+12a ）] =45a 2+36a ．∴)(3123y y y -=． 3、（青海西宁）（1）圆心1O 的坐标为(20)，，1O 半径为1，(10)A ∴，，(30)B ，……1分二次函数2y x bx c =-++的图象经过点A B ，，∴可得方程组10930b c b c -++=⎧⎨-++=⎩解得：43b c =⎧⎨=-⎩∴二次函数解析式为243y x x =-+- （2）过点M 作MF x ⊥轴，垂足为F ．OM 是1O 的切线，M 为切点，1O M OM ∴⊥（圆的切线垂直于经过切点的半径）．在1Rt OO M △中，1111sin 2O M O OM OO ∠== 1O OM ∠为锐角，130O OM ∴∠=13cos3023OM OO ∴===， 在Rt MOF △中，33cos30322OF OM ===． 13sin 30322MF OM ===． ∴点M 坐标为3322⎛ ⎝⎭，y A H F MOP 1P 2 O 1B设切线OM 的函数解析式为(0)y kx k =≠32k =，k ∴=∴切线OM的函数解析式为3y x =（3）存在．①过点A 作1AP x ⊥轴，与OM 交于点1P ．可得11Rt Rt APO MO O △∽△（两角对应相等两三角形相似）113tan tan 303P A OAAOP =∠==11P ⎛∴ ⎝⎭②过点A 作2AP OM ⊥，垂足为2P ，过2P 点作2P H OA ⊥，垂足为H ． 可得21Rt Rt AP O O MO △∽△（两角对应相等两三角开相似）在2Rt OP A △中，1OA =，23cos302OP OA ∴==， 在2RtOP H △中，223cos 4OHOP AOP =∠==， 2221sin 224P H OP AOP =∠=⨯=2344P ⎛⎫∴ ⎪⎪⎝⎭，∴符合条件的P 点坐标有1⎛⎝⎭，34⎛ ⎝⎭4、（辽宁12市） 解：（1）直线y =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．(10)A ∴-，，(0C ，点AC ，都在抛物线上，03a c c ⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩ 3a c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为233y x x =-顶点1F ⎛ ⎝⎭（2）存在1(0P2(2P （3）存在 理由： 解法一：延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F '交直线AC 于 点M ，则点M 就是所求的点． 过点B '作B H AB '⊥于点H ．B点在抛物线2y x x =(30)B ∴， 在Rt BOC △中，tan 3OBC ∠=， 30OBC ∴∠=，BC =在Rt BB H '△中，12B H BB ''==6BH H '==，3OH ∴=，(3B '∴--，设直线B F '的解析式为y kx b =+3k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨=+⎪⎩解得6k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y x ∴=62y y x ⎧=⎪∴⎨=-⎪⎩解得377x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭ ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时37M ⎛- ⎝⎭，．5、（四川资阳） (1) ∵以AB 为直径作⊙O′，交y 轴的负半轴于点C ， ∴∠OCA+∠OCB=90°， 又∵∠OCB+∠OBC=90°，x图10答案图1∴∠OCA =∠OBC，又∵∠AOC = ∠COB=90°， ∴ΔAOC∽ ΔCOB， ∴OA OC OC OB=． 又∵A(–1，0)，B(9，0)，∴19OC OC =，解得OC=3(负值舍去)． ∴C(0，–3)，设抛物线解析式为y=a(x+1)(x –9)， ∴–3=a(0+1)(0–9)，解得a=13，∴二次函数的解析式为y=13(x+1)(x –9)，即y=13x 2–83x –3．(2) ∵AB 为O′的直径，且A(–1，0)，B(9，0)， ∴OO′=4，O′(4，0)，∵点E 是AC 延长线上一点，∠BCE 的平分线CD 交⊙O′于点D ，∴∠BCD =12∠BCE =12×90°=45°，连结O′D 交BC 于点M ，则∠BO′D =2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=12AB=5． ∴D(4，–5)．∴设直线BD 的解析式为y=kx+b （k≠0） ∴90,4 5.k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得1,9.k b =⎧⎨=-⎩∴直线BD 的解析式为y=x –9.(3) 假设在抛物线上存在点P ，使得∠PDB=∠CBD，设射线DP 交⊙O′于点Q ，则BQ CD =． 分两种情况(如答案图1所示)：①∵O′(4，0)，D(4，–5)，B(9，0)，C(0，–3)．∴把点C 、D 绕点O′逆时针旋转90°，使点D 与点B 重合，则点C 与点Q 1重合，因此，点Q 1(7，–4)符合BQ CD =， ∵D(4，–5)，Q 1(7，–4)，∴用待定系数法可求出直线DQ 1解析式为y=13x –193．解方程组21193318 3.33y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得11941229416x y ⎧-=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，；2294122941.6x y ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩， ∴点P 1坐标为(9412+，29416-+)，[坐标为(9412-，29416--)不符合题意，舍去]．②∵Q 1(7，–4)，∴点Q 1关于x 轴对称的点的坐标为Q 2(7，4)也符合BQ CD =． ∵D(4，–5)，Q 2(7，4)．图10∴用待定系数法可求出直线DQ 2解析式为y=3x –17．解方程组2317183.33y x y x x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩，得1138x y =⎧⎨=-⎩，；221425.x y =⎧⎨=⎩， ∴点P 2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]．∴符合条件的点P 有两个：P 1(941+，2941-+)，P 2(14，25)．6、（辽宁沈阳）（1）点E 在y 轴上 理由如下：连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =，3BO =，2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=，30AOB ∴∠= 由题意可知：60AOE ∠=306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+= 点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． （2）过点D 作DM x ⊥轴于点M 1OD =，30DOM ∠=∴在Rt DOM △中，12DM =，32OM =点D 在第一象限，∴点D 的坐标为312⎫⎪⎪⎝⎭，由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上 ∴点E 的坐标为(02)， 点A 的坐标为(31)， 抛物线2y ax bx c =++经过点E ，2c ∴=由题意，将(31)A ，，3122D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得 33213312422a b a ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩ 解得89539a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴所求抛物线表达式为：2853299y x x =--+（3）存在符合条件的点P ，点Q ．10分理由如下：矩形ABOC 的面积3AB BO ==∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB 为此平行四边形一边， 又3OB =OB ∴边上的高为2依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P在抛物线2829y x x =-+上282299m m ∴--+=解得，10m =，2m =1(02)P ∴，，228P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，PQ OB == ∴当点1P 的坐标为(02)，时，点Q的坐标分别为1(Q，2Q ；当点2P的坐标为2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，点Q的坐标分别为32Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，42Q ⎫⎪⎪⎝⎭．7、（苏州市） (1)OH ＝1；k ＝33，b ＝332；(2)设存在实数a ，是抛物线y ＝a(x ＋1)(x －5)上有一点E ，满足以D 、N 、E 为顶点的三角形与等腰直角△AOB 相似∴以D 、N 、E 为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN 为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN 为斜边的等腰直角三角形． ①若DN 为等腰直角三角形的直角边，则ED ⊥DN ． 由抛物线y ＝a(x ＋1)(x －5)得：M(－1，0)，N(5，0)∴D(2，0)，∴ED ＝DN ＝3，∴E 的坐标是(2，3)． 把E(2，3)代入抛物线解析式，得a ＝31-∴抛物线解析式为y ＝31-(x ＋1)(x －5)即y ＝31-x 2＋34x ＋35②若DN 为等腰直角三角形的斜边，则DE ⊥EN ，DE ＝EN ． ∴E 的坐标为，把E ，代入抛物线解析式，得a ＝92-．∴抛物线解析式为y ＝92-(x ＋1)(x －5)，即y ＝92-x 2＋98x ＋910当a ＝31-时，在抛物线y ＝31-x 2＋34x ＋35上存在一点E(2，3)满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的E 点，不妨设为E ’点，那么只有可能△DE ’N 是以DN 为斜边的等腰直角三角形，由此得E ’，．显然E ’不在抛物线y ＝31-x 2＋34x ＋35上，因此抛物线y＝31-x 2＋34x ＋35上没有符合条件的其他的E 点．当a ＝92-时，同理可得抛物线y ＝92-x 2＋98x ＋910上没有符合条件的其他的E 点．当E 的坐标为(2，3)，对应的抛物线解析式为y ＝31-x 2＋34x ＋35时．∵△EDN 和△ABO 都是等腰直角三角形，∴∠GNP ＝∠PBO ＝45°． 又∵∠NPG ＝∠BPO ，∴△NPG ∽△BPO ． ∴PBPNPO PG =，∴PB ·PG ＝PO ·PN ＝2×7＝14，∴总满足PB ·PG ＜210．当E 的坐标为，，对应的抛物线解析式为y ＝92-x 2＋98x ＋910时，同理可证得：PB ·PG ＝PO ·PN ＝2×7＝14，∴总满足PB ·PG ＜210．。