[工学]达朗伯原理

14
对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：
X 0 ,
X (e) RQx 0
Y 0 ,
Y (e) RQy 0
mC (F )0 , mC (F (e) ) M QC 0
实质上：
M
d 2 xC dt 2

X (e)
,
M
d 2 yC dt 2

Y (e)
a g tg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也 不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
计的原理。
5
例2 质量为m的物块A，沿半径为R的光滑圆形轨道从最高点 无初速滑下，求在图示位置轨道对物块A的约束力。
解：视物块A为质点
切向惯性力 法向惯性力
FI
tg
1
a2 sin a1 a2cos
35
3. 匀质轮重为P，半径为 r ，在水平面上作纯滚动。某瞬时角
速度 ，角加速度为 ，求轮对质心C 的转动惯量，轮的动量、
v2 2gR(1 cos )
FN mg (3cos 2)
§10-2 质点系的达朗伯原理
对平面任意力系： 对于空间任意力系：
X i(e) Qix 0 Yi(e) Qiy 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
X i(e) Qix 0 , mx (Fi(e) )mx (Qi )0 Yi(e) Qiy 0 , my (Fi(e) )my (Qi )0 Zi(e) Qiz 0 , mz (Fi(e) )mz (Qi )0
(2)
M A (F ) 0 M IA Fs r 0
(3)
求解未知量


2M 33mr 2
, A

3

2M 11mr 2
Fs

M IA r

3 2
mr
2
d
o
r

3 2
mr
o
M 11r
课堂练习
思考题：
1. 物体系统由质量均为m的两物块 A和B组成，放在光滑水平面上， 物体A上作用一水平力F，试用动静 法说明A物体对B物体作用力大小是 否等于F ？
解： 方法1 用达朗伯原理求解 取系统为研究对象
24
虚加惯性力和惯性力偶：
RQ1 m1a1 , RQ2 m2a2 , M QO IO I
由动静法：
mO (F )0 ,
m1gr1 m2 gr2 RQ1r1 RQ2r2 M QO 0
m1gr1 m2 gr2 m1a1r1 m2a2r2 I 0
8
一、刚体作平动 RQ Mac
9
二、定轴转动刚体 对于具有垂直于转轴的质量对称平面的
简单情况。
主矢： 主矩：
RQ MaC
M QO mO (Qi )mO (Qi n ) ri miri 0 miri2 IO
(负号表示与反向)
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向O点简化： RQ MaC
,
JC
d 2
dt 2

mC (F (e) )
质点系达朗伯原理的平衡方程实际上是动量定理和以固 定点为矩心的动量矩定理的另一形式。
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§10-3 达朗伯原理的应用
应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上 的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。 因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就 方便得多。
由质心运动定理：
ma

R
A
mg
cos 0
a

lε
2

3g 4
cos
0
0ma n mg sin0 RAn
RAn mgsin0
,
RA

mg 4
c
os0
21
[例2] 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道
滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力
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应用动静法求动力学问题的步骤及要点：
①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。 ③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出
方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要
在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
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⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑥建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 ⑦求解求知量。 [注] RQ , MQO 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时， 只需按 RQ maC , M QO IO 代入即可。
(1)
Y 0 , N PS 0
(2)
mC (F )0 , M FR M QC 0 (3)
由(1)得 RQ mR F T
所以


F T mR
代入(3) 得
O
M

FR

M
QC

FR

m
2
F T mR
M FR 2 (F T )F ( 2 R)T 2 (4)
力 FS ，轮A的角加速度 A 。
解：1、取曲柄OA为研究对象
杆质心的加速度为
aC

aC

3r
2
杆OA的惯性力为 RIO maC 杆OA的惯性力偶为 M IO J

o
3 mr
2
1
m(3r)
3
2

列平衡方程
Mo(F) 0
,
M M IO 3rFYA 0 (1)
2、取轮为研究对象。轮作平面运动，由静止开始运动
轮心A的加速度
aA

a
A
3r
轮的角速度 A

aA r
3
轮的惯性力 RIO ma A 3mr
轮的惯性力偶
M IA

J A A

1 mr 2 (3 )
2

3 mr 2
2
列平衡方程
M H (F ) 0 M IA RIAr FYAr 0
g
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度例相等1 ，均与质水矩平形线板的重夹为角FP为，边。长求为水b、平h绳，3绳突1然和被绳剪2平断行时，，长板
的加速度，及绳1，绳2的拉力。
解：绳3突然断裂，板开始平动。
初瞬时板上任一点的速度v 0 。
加速度 aC 0 板的惯性力为 RI 列平衡方程
MaC

Fp g
aC
Fx 0 Fp cos RI 0
（主矢、主矩均为零）
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三、刚体作平面运动 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。
此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。
刚体平面运动可分解为
随基点（质点C）的平动： RQ MaC
绕通过质心轴的转动：MQC IC
RQ MaC
M QC IC
作用于质心
MA(F) 0 ,
FBb sin

Fp
b 2

RI
cos
b 2

RI
sin
h 2

0
Fy 0 FA FB Fp sin 0
aC g cos
解得
FB

Fp 2
(sin

h cos)
b
FA

Fp 2
(sin

h b
cos )
例3 机构在水平面内运动，轮A半径为r，曲柄OA长为3r。 轮A与曲柄OA都是均质的，质量同为m。轮A在圆形轮道上作 纯滚动。机构由静止开始运动。求该瞬时轮A与轨道间的摩擦
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡 方程求解。
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§10-3 刚体惯性力系的简化
简化方法:将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得
到一个惯性力 RQ 和一个惯性力偶 MQO 。
RQ Q ma MaC MQO mO (Q )
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。

ma
m dv dt
FIn

ma n

v2 m
r
将惯性力假想地加在质点上
列静力学平衡方程
F 0
Fn 0
mg sin FI 0
mg cos Fn FIn 0
g sin dv 0
mg
cos
dt Fn
v2 m
R
0
dv dv d v dv g sin dt d dt R d
S
、T
及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回
转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑
动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。
解： 取轮为研究对象
虚加惯性力系：
RQ maC mR
MQC IC m 2
O
由动静法，得：
22
X 0 , F T RQ 0
M QO IO
作用在O点
向质点C点简化： RQ MaC
M QC IC
作用在C点
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讨论： ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。RQ me2
②转轴过质点C，但0，惯性力偶 M Q IC （与反向）
12
讨论： ③刚体作匀速转动，且转轴过质心，则 RQ 0 , M QC 0
列补充方程： a1 r1 , a2 r2 代入上式
得：


m1r1 m2r2 m1r12 m2r22
I
g
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方法2 用动量矩定理求解 取系统为研究对象
LO m1v1r1 m2v2r2 I (m1r12 m2r22 I )
M O (e) m1gr1 m2 gr2
根据动量矩定理：
d dt
[( m1r12

m2r22

I
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
]

m1gr1

m2
gr2



m1r1 m2r2 m1r12 m2r22
I
g
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方法3 用动能定理求解
取系统为研究对象，任一瞬时系统的
T

1 2
m1v12

1 2
m2
v2
2

1 2
I
2

2
2
(m1r12

m2
r2
2

I
)
解：
F RQ N 0
N F ma F
N' N F
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2. 质量为M的三棱柱体A 以加速度 a1 向右移动，质量为m的滑 块B以加速度 a2 相对三棱柱体的斜面滑动，试问滑块B的惯性
力的大小和方向如何？
解：
RQ m a12 a22 2a1a2 cos


R
R
R
由(2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动，
必须 F<f N =f (P+S) (5)
把(5)代入(4)得：M f (PS)( 2 R)T 2
R
R
可见，f 越 大越不易滑动。
Mmax的值 为上式右端的 值。
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[例1] 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分 别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于 转轴O的转动惯量为I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的 角加速度。
由(2)得: RAn mgsin0 ;
由( 3)得:


3g 2l
c
os
0
;
代入(1)得:
R
A


mg 4
c
os
0
。
20
用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：
解：选AB为研究对象
由
I A

mg
cos

l 2
得：


mg
l 2
cos

3g
cos
1 3
ml
2
2l
t 0时 , 0 , 32gl cos0 , 此时 0
质点的达朗伯原理
3
例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
4
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Q ma ( Q ma ) 由动静法, 有
X 0 , mg sin Qcos 0
解得
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[例1] 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位
置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。
解： 选杆AB为研究对象
虚加惯性力系：
RQ

ml
2
RQn man 0
,
M
QA

I
A

ml 2
3
根据动静法，有
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F 0 , RA mgcos0 RQ 0 (1) Fn 0 , RAn mgsin0 RQn 0 (2) mA (F )0 , mgcos0 l/2M QA 0 (3)
元功 W F m1gds1 m2 gds2
m1gr1d m2 gr2d
(m1r1-m2r2 )gd
由
dT δW F
得
d[ 2
2
(m1r12
m2
r2
2

I
)](m1r1
m2
r2
)gd
两边除以dt，并求导数，得


m1r1 m2r2 m1r12 m2r22
I
理论力学
第十章 达朗伯原理 §10–1 质点的达朗伯原理 §10–2 质点系的达朗伯原理 §10–3 刚体惯性力系的简化
达朗伯原理的应用举例
§10-1 质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F， 约束反力 N ，合力 R F N ma
F N ma 0
F N Q 0