高联班几何测试
高联班几何测试题23
从而，∠OBF=∠ABE-∠OBA=∠A-(90°-∠C)= 90°-∠B=∠BCH.
同理∠DCF=∠CBH.
∠OBH=∠OBC-∠HBC=90°-∠A-(90°-∠C)= ∠C-∠A=∠BCF.
同理∠OCH=∠CBF.
故式○1 成立，证毕.
23-5 锐角△ABC 内接于☉O，点 E、D 分别在边 BC 的延长线上及其反向延 长线上，使得 CE=BD.作 DF⊥BC,EK⊥BC，点 F、K 与 A 直线 BC 的同侧,且∠BAF= ∠CAK.AM 为☉O 的直径.求证: ∠DFM=∠AMK.
则点 M、T 在以 BD 为直径的圆☉O1 上，点 N、L 在以 CE 为直径的圆☉O2 上.
因 B、C、N、M 四点共圆. 则 H1M·H1B=H1N·H1C， 即 H1 对圆☉O1、☉O2 的幂相等，H1 在☉O1、 ☉O2 的根轴上. 又 D、E、L、T 四点共圆. 则 H2T·H2D=H2L·H2E， 即 H2 对圆☉O1、☉O2 的幂相等，H2 在☉O1、 ☉O2 的根轴上. 因 BO1=CO2,∠O1BK=O2CK,BK=CK, 则△BO1K≌△CO2K,KO1=KO2.
证明 如图，设直线 MB 交 AF、FD 分别于 X、N, MC 与 AK 交于点 Y，点 X、A、 O、M、Y 在直线 BC 上的投影分别为 U、H、P、G、V.
因 XU∥FD∥AH,则 㐶 = ,
因 XU∥MG, Rt△BMG∽Rt△AMC,
则= = .
t
t
所以， 㐶 = t ,
同理，Biblioteka =㤲 t.
高联班几何测试题（23）
时间：150 分钟
命题人：万喜人
23-1 在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，且 BD=CE，BE 与 CD 交于点 F.
高联班几何测试题
高联班几何测试题（11）时间：180分钟 命题人：万喜人11-1 在△ABC中，点D、E均在边BC上，BD=CE，点F、G，分别在AB、AC上，直线FE与GD交于点K.FD与GE交于点V，直线AK、AV分别与BC交于点L、T.求证：BL=CT.11-2 已知△ABC的外接圆⨀O，∠BAC的平分线交⨀O于点D(D≠A)，过B、C两点的圆与边CA、AB的第二个交点分别为E、F，BE与CF交于点P，过A、E、F三点的圆与⨀O交于点A、K，DK与BC交于点T.求证：PT//AD.11-3 △ABC的外接圆为⨀O，点D在⨀O上，点E、F分别在AB、AC上，⨀O中的弦MN使得AD//EF//MN//BC.直线AM与EF交于点P，直线DP与⨀O的第二个交点为K.求证：E、F、N、K四点共圆.11-4 圆Γ为△ABC 的外接圆，点D 为BAC 的中点，点E 、F 在直线AD 上，使得DE=DF ，点E 、B 在线段BC 的中垂线的同侧，ET ⊥AB 于点T ，点P 是点T 关于AB 的中点的对称点，FV ⊥AC 于点V ，点K 是点V 关于AC 的中点的对称点，EK 与FP 交于点N ，直线DN 与圆Γ的第二个交点为M.求证：P 、N 、K 、M 四点共圆.11-5 △ABC内接于⨀O，点P是BC的中点，点D、E分别在射线PB、PC上，使得PD=PE，⨀O的弦MN//BC，点M、B在线段BC的中垂线的同侧，点F、G分别在直线AM、AN上，且FD⊥BC，GE⊥BC，作FL⊥AC于点L，GT⊥AB于点T，DL与ET交于点K，求证：AK⊥BC.GF高联班几何测试题（12）时间：180分钟 命题人：万喜人12-1 在△ABC中，AB+AC=2BC，P为∠BAC的角平分线上一点，PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点 E，PF⊥AB于点 F，直线 DP与 EF交于点 K.求证：EK∙FK= 3PK3.12-2 已知△ABC ，直线d 、t 分别平分∠BAC 及其外角，点D 在直线d 上，直线DB 与t 交于点E ，直线DC 与t 交于点F ，作MN//BC 交AB 、AC 分别于点M 、N.直线EM 与FN 相交于点K ，DK 与BC 相交于点P .求证：BP=PC.t12-3 锐角△ABC 中，H 为垂心，过点B 、C 的⨀P 交CA 、AB 分别于点D 、E ，BD 与CE 交于点F ，点P 关于BC 的对称点为K.求证：FP//HK.B12-4 △ABC 内接于⨀O ，点P 是BC 的中点，点D 、E 分别在射线PB 、PC 上，使得PD=PE.⨀O 的弦MN//BC ，点M 、B 在线段BC 的中垂线的同侧，点F 、G 分别在直线AM 、AN 上，且FD ⊥BC ，GE ⊥BC.作FT ⊥AB 于点T ，GL ⊥AC 于点L ，直线DT 、EL 交于点K.求证：AK ⊥BC.G12-5 点P 、Q 是△ABC 内部的等角共轭点，延长AP 交△ABC 的外接圆圆Γ于点D ，过点P 、D 的一个圆交BC 于点E 、F ，直线DE 、DF 与圆Γ的第二个交点分别为M 、N.求证：M 、Q 、N 三点共线.。
高联班几何测试题63
高联平面几何测试（63）
时间：120分钟命题人：万喜人
63-1已知△ABC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=BC=CE,T 为△ABC的∠A内的旁心，直线AT交△ABC的外接圆φ于点F(F≠A),交△ADE的外接圆ε于点K(K≠A).求证：TF=TK.
63-2已知△ABC，垂心H,外心O,H关于O的对称点K,直线AK与BC交于D,DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F.求证：AD、BE、CF三线共点或互相平行.
63-3锐角△ABC中，AB≠AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE与CF交于点H.取点B关于AC的对称点T,点C关于AB的对称点V,M、N分别为BC、TV 的中点.MN与AH交于点K.求证：AK=KH.
63-4在△ABC中，P为BC的中点，点M、N分别在射线PB、PC上，PM=PN,点E、F满足∠BAE=∠CAF,EM⊥BC,FN⊥BC,作EU⊥AB于点U,FV⊥AC于点V,直线UM与VN交于点K.求证：AK⊥BC.
63-5在△ABC中，AB≠AC,点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，AE=AF,AD、BE、CF三线共点于P,DT⊥EF于点T,TP与BC交于点N.△ABC的外接圆φ与△AEF 的外接圆ε交于点A、K,M为BC的中点.求证：直线AM与KN的交点在圆φ上.。
高联班几何测试6图片调整打印了
高联班几何测试题（6）时间：150 分钟命题人：万喜人6-1 圆ε与圆δ相交于点 A、B,直线 CD 交圆ε于点 C、D,交圆δ于点 E、F,点C、E、F、D 在直线 CD 上顺次排列，直线 AE 与BD 交于点 G,BF 与AC 交于点 H.求证：HG∥CD.证明如图，联结AB、AD、AF、BE、BC.因为∠DAF=180°-∠ADF-∠AFD=180°-（180°-∠ABC）-∠ABE=∠CBE,又∠FAE =∠FBE, ∠DAC = ∠DBC,所以，∠GAH =∠GBH,从而，A、B、H、G 四点共圆.所以，∠AHG =∠ABG =∠ACD,故HG∥CD.6-2. 已知△ABC,点D、E 分别在 AB、AC 上，∠AED=∠ABC,圆（BD）（表示以 BD 为直径的圆）与圆（ABC）(表示过 A、B、C 三点的圆)交于点 B、F, 圆（CE）与圆（ABC）交于点 C、T,圆（ADE）与圆（BD）交于点 D、P, 圆（ADE）与圆（CE）交于点 E、K.求证：P、K、T、F 四点共圆.证明联结线段如图所示.因∠FPK=360°-∠FPD-∠DPK= 360°-∠FBD-(180°-∠DEK)=180°-(∠FBC-∠ABC)+∠AEK-∠AED=180°-(180°-∠FTC)+180°-∠CEK(因∠AED=∠ABC)=180°-(∠CTK-∠FTC)=180°-∠FTK,即∠FPK+∠FTK=180°,所以，P、K、T、F 四点共圆.D 㠳6-3. 在△ABC 中，∠BAC 为锐角，P 为△ABC 的外接圆☉O 上一点（不与 A 、B 、C 重合），直线 AB 与 CP 交于 E,AC 与 BP 交于 F,线段 BC 的中垂线交 BC 、B ˆC (不含点 A)、EF 分别交于点 M 、D 、N.求证：D 䘐 D 㠳 =cos ²BtC .证明 设☉O 过点 B 、C 的切线交于点 N /，联结 BD 、CD.对圆内接六边形 ABBPCC,由帕斯卡定理知：E 、N /、F 三点共线，即点 N /在直线 EF 上.又 N /B=N /C,点 N /在 BC 中垂线上，所以，点 N /与 N 重合，因∠NCD=∠DBC=∠DCM,则 D 䘐= C 䘐 = cos ²㠳C 䘐 = cos ²BtCD 㠳 C 㠳 注：若∠BAC 为钝角，则D 䘐 =− cos ²BtC.6-4. 四边形 ABCD 外切于圆 I,AC 与BD 交于点 E,P 为IE 的中点，过点 I 作FK⊥AC交AB、AD 分别于点 F、K,过点 P 作GH⊥AC交AB、AD 分别于点 G、H.求证：BG·DH=FG·KH.证明设AB、BC、CD、DA 与圆I 分别切于点M、N、L、T,IB、ID 分别与GH交于点U、V.设直线MT 与BD 交点X1(可能X1是无穷远点)，NL 与BD 交点X2.由梅涅劳斯定理得BX1 ·DT ·t䘐 = 1 = BX2 ·DL ·C㠳,X1D Tt 䘐 B X2D LC 㠳 B因 DT=DL,TA=AM,LC=CN,MB=NB，则BX1 = BX2 .X1D X2D从而，X1 与 X2重合，统一记为 X.因 X 在点 A 关于圆 I 的极线 MT 上，由配极原理知点 A 在点X 的极线上.同理，点 C 在点X 的极线上.所以，直线 AC 是点X 关于圆 I 的极线.故IX⊥AC.又过 I 的直线FK⊥AC,所以，F、K、X 三点共线.因AB、AC、AD、AX 是调和线束，则B、E、D、X 是调和点列，从而 IB、IE、ID、IX 是调和线束，因为GH∥IX(都与 AC 垂直)所以，PU=PV.又 PI=PE,则四边形 IUEV 是平行四边形，从而，UE∥ID,EV∥BI.故B= Bt = BE = I‴ = KѸ ,F It DE D‴DѸ所以，BG·DH=FG·KH.sin α+þ sin α+y IT· cot α+þ IT· cot α+y cos α+þ sin α+þ sin α+y cos α+y sin α+þ · sin þ sin α+y sin y sin α+y sin þ sin α+þ sin yIT· sin α cos 2α+2y sin α+þ sin y 6-5. 在△ABC 中，AB=AC,点 D 、E 不在直线 BC 上，使得 BD=AB,CE=AC, ∠DBC 和∠ECB 两角的平分线交于点 I,过点 I 作 IF⊥AD 交直线 DB 于点 F,过点 I 作 IK⊥AE 交直线 EC 于点 F.直线 BK 与 CF 交于点 P.求证：IP⊥BC.证法 1 如图，点 D 、E 和 A 均在直线 BC 的同侧（若点 D 、E 均和 A 在直线 BC 的异侧，或点 D 、E 位于直线 BC 的两侧，证明类似. ）可设∠ABC=∠ACB=2α，∠ABD=2β，∠ACE=2γ.因 BD=AB,IF⊥AD,则∠BFI=β，∠BIF=∠DBI -∠BFI=α，同理，∠CKI=γ，∠CIK=α. 由正弦定理得 IC = CK , IB = BF ,IC = ，sin y sin α sin þ sin α IB 所以，CK= sin α+þ · sin þ.BF sin α+y · sin y 作 IT⊥BC 于点 T,IT 交 BK 、CF 分别于点 P 1、P 2,作 FM⊥BC 于点 M,KN⊥BC 于点 N.只要证明 P 1 与 P 2 重合即可， 这只要证明TP 1=TP 2.因 TP 1∥KN, TP 2∥FM,所以，TP 1 =BT·K 㠳 B 㠳 ,TP 2 =CT·F 䘐 . C 䘐TP =TPBT·K 㠳 = CT·F 䘐 1 2 B 㠳 C 䘐B T·K 㠳= B 㠳 ○1 CT·F 䘐C 䘐 BT·K 㠳= · CT·F 䘐= · · ·= ○2 因 CN=CK cos 2α + 2y =IC· sin α· c os 2α + 2y sin y=，则 CT+CN=IT·cos α+y sin α+y+ IT· CK· sin 2α+2y BF· sin 2α+2þsin 2α+2y sin 2α+2þ sin α cos 2α+2ysin α+y sin ycos α+þsin α+þsin α+y sin þsin α+þ sin y=IT·cos α+y sin y+sin α cos 2α+2ysin α+y sin y=IT·sin α+2y −sin α+sin 3α+2y −sin α+2y2 sin α+y sin y=IT·cos 2α+y.sin y从而，BN=BT+CT+CN=IT·+=IT·sin α+þ+y −sin α+þ−y +sin 3α+þ+y −sin α−þ+y，2 sin α+þ sin y同理，CM=IT·sin α+þ+y −sin α−þ+y +sin 3α+þ+y −sin α+þ−y2 sin α+y sin þ所以，B㠳= ○3C䘐由式○2 、○3 知式○1 成立.证毕.证法2 如图，点D、E 和A 均在直线BC 的同侧（若点D、E 均和A 在直线BC 的异侧，或点 D、E 位于直线 BC 的两侧，证明类似）可设∠ABC=∠ACB=2α，∠ABD=2β，∠ACE=2γ.因BD=AB,IF⊥AD,则∠BFI=β，∠BIF=∠DBI-∠BFI=α，同理，∠CIK=α.设直线 BD 与CE 交于点 Q(Q 可能是无穷远点).点 S 在直线 IQ 上，且在∠BIC 内部.对四边形 IBQC,由∠BIF=∠CIK（都=α）知，IP、IQ 是∠BIC 的等角共轭线，即∠BIP=∠CIS=90°-（α + β）（注意 I 为△QBC的旁心或内心）又∠IBC=α + β,所以，∠BIP=∠IBC=90°.故IP⊥BC.cos 2α+ysin y。
高联班几何测试54-5 题
高联班几何测试题（54）
时间：120分钟命题人：万喜人
54-1在四边形ABCD中，△ABC、△ADC的垂心分别为H
1、H
2
,直线BH
1
与AD
交于点M,直线DH
2与CB于点N,MN与AC交于点P.求证：H
1
、P、H
2
三点共线.
54-2I为△ABC的内心，过B、C两点的圆交AB、AC分别于点D、E.F为AD的中点，J为△ADE的内心，直线FJ与DE交于点K,KP∥AB交直线AJ于点P.求证：I、P、C、E四点共圆.
54-3锐角△ABC内接于圆φ，点D、E、F、分别在边BC、CA、AB上，满足BF=DF,CE=DE,点M在圆φ上，满足AM⊥BC，直线MD交圆φ于点M、K，求证A、F、E、K四点共圆.
54-4延长☉O的直径AB至点P，过点P作一直线交☉O于点C、D（PC<PD）.作PE⊥AB于点E，PF⊥AB于点F，CF、DE与☉O的第二个交点分别于点M、N.求证：M、N、P三点共线.
54-5△ABC内接于圆Γ，P为△ABC内一点，P在边BC、CA、AB上的射影
、BAC 分别于点M、N,AM交直线EP、FP分别于T、分别为D、E、F.直线DP交BC
K.☉(ANT)与AB交于点A、U.☉（ANK）与AC交于点A、V.求证：UV∥BC。
高联班几何测试20 (2)
高联班几何测试（20）
时间：150 分钟命题人：万喜人
20-1在锐角△ABC的外接圆φ中，弦DE∥BC,直线 BD 与CE 交于点 F,BE 与CD 交于点 K.求证：∠BAK=∠CAF.
20-2定☉O的定弦 AB,动点 C 在☉O上（不与点 A、B 重合），BD⊥AC于点D,E 为BD 的中点，直线 CE 交☉O于C、F.求证：点
F 为定点.
20-3已知△ABC 中，过点 B、C 的圆与 AB、AC 还分别交于点 D、E,过 A 作直线交D⌃t、B⌃㴘分别于点 F、K,任意直线 X Y∥AC,交 CK、CF、EK、EF、BC、D E 分别于点 X、Y、U、V、M、N.求证：MX = NV.
MY NU
20-4等腰△ABC中，AB=AC,过点 B、C 的一个圆φ还与 AB、AC 相交于点 D、E.点 F 在D⌃t上，作 DN∥CF，交直线 AF、AC 分别于点 M、N.作 BV∥EF,交直线AF、AC 分别于点 U、V.DN 与BV 相交于点 P.求证：
BU·DM=PV·PN.
20-5四边形 ABCD 内接于圆φ，且AD∥BC,AC与BD 交于点 P,E 为A⌃D（不含点B、C）的中点，F 在BA 的延长线上，直线 FE 与DC 交于点 K,直线 FC 与BK 交
于点 N.求证：直线 PN 与 FK 的交点在圆φ上.。
高联班几何测试题
KE A
F
C B
M
D
2
长沙万喜教育
5. 如图，凸四边形 ABCD 内接于圆，AC 与 BD 交于点 P，作 PE∥DA，PF∥CB， PE、PF 交不含点 C 的弧������������分别于点 E、F，直线 EF 交 DA、CB 分别于点 M、N.
求证：������������ = ������������
D
lA
F
lA
F
D
E
E
B
C
B
C
1
长沙万喜教育
3. 在△ABC 中，∠BAC= 600 ，D 是△ABC 外接圆弧 AB （不含点 C）的中点. 延长 CB 至 E，使 BE=AB. 求∠BED 的度数.
A
D
E
B
C
4. 从⊙O 外一点 P 作⊙O 的两条切线，A、B 为切点，再过 P 作⊙O 的一条 割线，交⊙O 于点 C、D（PC﹤PD）. K 是 AC 上一点， KB 交 AC 于点 E，作 EF ∥CD，交 KD 于点 F. 直线 AF 与 CD 交于点 M. 求证：CM=MD.
������������ ������������
.
M
A
E D
F P
N
B
C
6. 已知△ABC，内切圆☉I 与 BC 切于点 T，D 为边 BC 上一点，△ABD 和△ACD 的内切圆☉I1 和圆☉I2 不同于 BC 的外公切线 PQ 与☉I1、☉I2 分别切于点 P、Q, 直线 BP 与 CQ 交于点 K. 求证：TK、PQ、AD 三线共点.
A
K
P
Q I
I1
I2
B
TD
C
高联班几何测试题1811
高联班几何测试题（18）时间：120分钟命题人：万喜人的中点，点D关于BC的对称点为K,延18-1点D为△ABC的外接圆的弧 th长AB至E,使BE=AC,延长AC至点F,使CF=AB.求证：E、F、K三点共线.证明当AB=AC时，易知结论成立.当AB≠AC时，不妨设AB＜AC.如图，作平行四边形BACP.因BP=AC=BE,∠EBP=∠A,则∠BPE=90°- ∠A.同理，∠CPF=90°- ∠A.又∠BPC=∠A,所以，∠BPE+∠BPC+∠CPF=∠180°点P在直线EF上.且∠BPE=∠CPF,EF是∠BPC的外角平分线.作△BCP的外接圆交EF于点P、K/,联结BK/、CK/、BD、CD.则∠K/BC=∠CPF=90°- ∠A=∠BPE=∠K/CB.又∠DBC=∠DCB=90°- ∠A，所以，△K/BC≌△DBC.从而，点K/、D关于BC对称.故点K/与K重合.于是，E、F、K三点共线.注：类似命题在△ABC中，AB＜AC,延长AB至E,使BE=AC,在AC上取点F,（不含A）的中点，点使CF=AB,点D为△ABC的外接圆的弧 hD关于BC的对称点为K.求证：E、F、K三点共线.18-2已知△ABC，AB≠AC,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于D（D不同于A），点D关于BC的对称点K.点E、F分别在AB、AC上，使得BE=CF,BF与CE交于点P.求证：PK∥AD.证明如图，可设DK与BC互相垂直平分于点T,联结AT并延长至点S,使TS=TA,联结KS、PS、SC、SB.延长SB、CE使之交于点V.因TD=TK,TA=TS,则SK∥AD.因为四边形ABSC是平行四边形，则 h ㌰= 〸 ㌰=h뵸 ㌰=ht t㌰SP平分∠CSB.又因AD平分∠BAC由平行四边形ABSC的性质得SP∥AD.所以，S、P、K三点共线，且PK∥AD.18-3已知△ABC，AB≠AC,AD⊥BC于点D,作DE∥AC交AB于点E,EF∥BC交AD于点F,DK⊥BF于点K,M、N分别为BC、AD的中点.求证：D、M、K、N四点共圆.证明如图AB＞AC,联结KM、KN.因M、N分别为BC、AD的中点，则2DM=BD-CD,2FN=DF-AF.因DE∥AC,EF∥BC,则 体h体= 〸t〸=体뵸t뵸 体体뵸=h体t뵸= 体㔮h体体뵸㔮t뵸=体t뵸賀又因Rt△BDK≌Rt△DFK,则体㘹뵸㘹= 体体뵸=体t뵸賀.结合∠MDK=∠NFK得△DKM∽△FKN.∠DKM=∠FKN∠MKN=∠DKF=90°=∠NDC,故D、M、K、N四点共圆.18-4在△ABC中,O为外心,点D在边B C上，过点A作直线d⊥AD,作BE ⊥BC交d于点E,作CF⊥BC交d于点F,作EP⊥AB,FP⊥AC,EP与FP相交于点P.求证：点O为线段PD的中点.证明如图，设直线AD、d与△ABC的外接圆☉O的第二个交点分别为M、N.因d⊥AD,则MN为☉O的直径.设BE、CF与☉O的第二个交点分别为T、L,则四边形BCLT为矩形，BL为☉O的直径.=賀 .所以， t作NP/⊥EF交TL于点P/,联结TN、EP/.则E、T、P/、N四点共圆.故∠P/EN=∠P/TN=∠BAM.结合EA⊥AM知EP/⊥AB.同理FP/⊥AC,所以，点P/与P重合.联结BM、CN,作MK⊥BC于点K,KV∥BC交BE于点V.因∠PEF=∠BAM=∠MCB,同理∠PFE=∠MBC,所以，△PEF∽△MCB,PN、MK是对应边上的高，从而，t賀t㘹=〸뵸 h.因MD⊥EF由MK⊥BC,BC∥FV知MK⊥FV，则∠EFV=∠DMK.所以，Rt△FVE∽Rt△MKD,从而，t体t㘹=〸뵸뵸㌰=〸뵸 h.故PN=MD,且PN∥MD.注意到O为MN的中点得P、O、D三点共线，且点O为线段PD的中点.、 th 的中点，D为直线BC一点，18-5△ABC内接于☉O，M、N分别为 hDE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,ND与☉O的第二个交点为K,联结EF、AK,作KP⊥AK交AM于点P.求证：PD⊥EF.证明如图，不妨设AB＜AC(当AB=AC时，证明更容易).作△AKP的外接圆☉T,AB、AC的第二个交点分别为V、U,VU与BC交于点D/,AD与EF交于点X,联结线段如图所示.因∠AKP=90°，则T是AP的中点.的中点，则∠VAP=∠UAP,AV=AU.因M为 h考虑△ABC被直线VD/U所截，由梅涅劳斯定理得体 体 h·h t·t賀㌰ = ，体体 h=㌰ h .的中点，则KD平分∠BKC.因N为 th体体h=BK h㘹.因∠KVB=∠KUC，∠VBK=∠UCK,则△KVB∽△KUC.㌰ h = 㘹h㘹.故 体 体 h= 体体h D/与D重合，即V、D、U三点共线.所以，∠FDU=∠AVU=∠FUD.又四边形AEDF是平行四边形，于是，AE=DF=UF.又AT=UT,∠EAT=∠TAU=∠FUT.所以，△TAE≌△TUF TE=TF.注意X为EF的中点，得TX⊥EF.又TX为△APD的中位线，TX∥PD,所以，PD⊥EF.。
高联班几何测试题题目(9)
高联班几何测试题（9）
时间 180 分钟命题人：万喜人
9-1过⨀O外一点 P 作⨀O的两条切线 PA、PB，A、B 为切点.再作⨀O的割线PCD(PC<PD)，弦 CE//PB，直线 AE 与 PB 交于点 F，DE 与 PB 交于点 G.求证：GF=GB.
9-2⨀O中的弦 AB、DC 延长线交于点 P，AC 与 BD 交于 E.F 是 BD 的中点，PF 与 BC 交于 G，作 GH//BD 交 CD 于点 H，HE 与 AB 交于点 N，M 是 AB 的中点.求证：C、D、M、N 四点共圆.
9-3在△ABC中，在边 BC 上取点 D，延长 AD 交△ABC 的外接圆⨀O于点E，直线 EO 交 BC 于点 F，与⨀O交于点 E、P，过点 D 作 DK//EO 交 AO 于点 K，直线 PK 与 BC 交于点 T.求证：∠FAD=∠TAD.
9-4在△ABC中，O为外心，点 D 在∠BAC 的角平分线上，DE⊥AB于点 D，DF⊥AC于点 F，DL⊥BC于点 L.过 E、F、L 三点的圆交 BC 于点 L、K.直线 KE 与CA 交于点 M，KF 与 BA 交于点 N.T 是 FM 的中点，V 是 EN 的中点.求证：OD⊥ TV.
9-5在△ABC中，AB>AC，外接圆⨀O的弧BC（不含点 A）的中点为点 D，直线 AB 与 CD 交于点 E，AC 与 BD 交于点 F，过 A、E、F 三点的圆与⨀O交于点A、P,过点 P 作PK⊥AP，交直线 OD 于点 K.求证：∠BAC=2∠OCK.
A
P
O
B K C
D
F
E。
高联班几何测试题(14)题目
高联班几何测试题（14）
时间：50 分钟命题人：万喜人
14-1在△ABC 中，AD⊥BC 于点D，E、F 分别为CA、AB 的中点，BE 与CF 交于点G，直线DG 与EF 交于点P.求证：点P 在线段BC 的中垂线上.
14-2⊙ O与⊙ P交于点A、B，点C 在⊙ O上，直线AC、BC 与⊙ P的第二个交点分别为D、E，直线DE 交⊙ O于点F、G.证明：CF=CG.
D
14-3四边形ABCD 内接于⊙ O，且∠ABC=90°，点E 在AB 上，CE 的延长线交⊙ O于点F.直线AF 与CB 交于点K，KE 与AD 交于点T，求证：D、K、F、T 四点共圆.
14-4O 为锐角△ABC 的外心，在射线上AO 取点D（不同于O），点E、F 分别在AB、AC 上，使得DE=DB，DF=DC.求证：EF//BC.
C
14-5在△ABC 中，AB≠AC，延长BC 边上的中线AD 交△ABC 的外接圆⊙ O于点E，以D 为圆心，DE 长为半径的⊙ D与⊙ O交于点E、F.求证：EF//BC.。
高联班几何测试29-5题目
高联班几何测试题（29）
时间：150分钟命题人：万喜人
29-1在△ABC中，点E、F在CA、AB上，AE=AF,BE与CF交于点P,直线AP与BC交于点D,DT⊥EF于点T,△ABC、△AEF的外接圆交于点A、K.求证：∠AKT=90°.
29-2过圆φ外一点E作圆φ的两条割线EBA和ECD(EB＜EA、EC＜ED),使得
(不含B、C)上一点，点G、H分别在线段PA、AB=CD,AC与BD交于点F,点P为
PD上.求证：∠GFH= ∠AFD⟺∠GEH= ∠AED.
29-3四边形ABCD内接于☉O，对角线AC与BD交于点E,延长AD、BC使之相交于点F,作EH⊥OF于点 = .
29-4已知△ABC,形内一点P在边BC、CA、AB上的射影分别为点D、E、F,过D、E、F三点作☉K,DL是☉K的直径，AL与☉K的第二个交点为V,直线DV与EF交于点X.求证：AX∥BC.
(不含点A、B)外切于点P, 29-5四边形ABCD内接于圆φ，圆ε与圆φ的弧
直线BC、AD与圆ε的交点之一分别为E、F.直线BP、CP与圆ε的第二个交点分别为M、N.直线MF与AB交于点T,FN与CD交于点V.求证：∠FET=∠CEV.。
高联难度几何题100道(无图版)
第一题：证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。
求证：PCE PCD ∠=∠。
第二题：证明四点共圆如图，AB 是⊙O 的直径，C ,D 是圆上异于A 、B ,且在AB 同侧的两点，分别过C 、D 作⊙的O 切线，它们交于点E ,线段AD 与BC 的交点为F , 线段AB 与EF 的交点为M ,求证：E 、C 、M 、D 四点共圆。
第三题：证明角的倍数关系如图，PE 、PF 是以AB 为直径圆的切线E 、F 是切点，PB 交圆于C 点，AF 、BE 交于D 点，AB 是直径。
求证：ACD DPE ∠=∠2。
第四题：证明线与圆相切已知：ABC ∆中，︒=∠90A ，AD 切⊙ABC ，AD 交BC 延长线于D ，E 是A 关于BC 的对称点，BE AY ⊥于Y ，X 是AY 中点，延长BX 交⊙ABC 于J ，求证：BD 切AJD ∆外接圆第五题：证明垂直已知四边形ABCD 内接于以BD 为直径的圆，设'A 为A 关于BD 为对称点，'B 是B 关于AC 对称点，直线AC 交'DB 于Q ，直线DB 交'CA 于P 。
求证：AC PQ ⊥。
第六题：证明线段相等已知：BC 、BD 是⊙O 切线，C 、D 是切点，BJA 是割线，A 、J 在圆上，J 离B 较近，AO DE ⊥于E ，交AB 于F ，AC 交DE 于G ，求证：FG DF =。
第七题：证明线段为比例中项已知ABC ∆中，BC AC =，M 是AB 的中点，FG 经过点M ，且CFG ∆与ABC ∆有相同的内心。
求证：GM FM AM ⨯=2。
第八题：证明垂直已知：ABC ∆为非直角三角形，AD 平分BAC ∠，D 在BC 上，AC DF ⊥于F ，AB DE ⊥于E ，CE 交BF 于P 。
求证：BC AP ⊥。
高联班平面几何测试题目(75)(1)
高联班平面几何测试（75）
时间：150分钟命题人：万喜人
75-1 在△ABC中，∠BAC=60°，O为外心，点D、E在边BC上，满足BD=CE，分别过点D、E作∠BAC的角平分线AX的垂线交直线AO分别于点F、K.求证：
OF+OK=OA.
C
75-2四边形ABCD中，延长AB、DC交于点E,延长BC、AD交于点F,圆（BCE）与圆（CDF）交于点C、M,BM与CE交于点K.圆（CDF）过点D的切线交AM于点T.求证：TK∥AB.
F
C
75-3 在△ABC中，点D 在AB 上，☉P过B 、C 、D 三点，点E 在☉P上，直线ED 与CA 交于点F.△CEF的外心为T, 直线PT 与BC 交于点K.求证(1)B 、E 、P 、K 四点共圆；(2)∠BAC=90°⟺点T 在直线BC 上.
75-4在△ABC中，AB=AC,D为AB的中点，BE⊥AC于点E,BF⊥CD于点F.F☉P 过D、E、F三点.求证：AP∥BC.
75-5☉O的二弦AC、BD所在的直线交于点E,且AC=BD,直线AB与DC交于点F,M 为☉O上一点，直线ME再次交☉O于点N,交☉（AFM）于点P, 直线AP再次交☉O于点K.求证：NC=NK.
D。
高联班几何测试题
高联班几何测试题（28）
时间：120分钟命题人：万喜人
28-1定☉O与☉P相交点A、B,过点A任作一直线另交☉O、☉P分批于点C、D.求证：线段CD的中垂线t过一个定点.
28-2点P在△ABC内，PD⊥BC于点D,PE⊥CA于点E,PF⊥AB于点F,过D、E、F三点的圆☉K,还交BC、CA、AB分别于点M、N、L,AD还交☉K于点V,VX ⊥AD交直线NL于点X,MK与AX交于点Y.求证:X、Y、V、M四点共圆.
28-3△ABC的内切圆☉I与BC切于点D,点D关于B、C的对称点分别为M、N.AD交☉I于点P(不同于D).求证:PD平分∠MPN.
28-4在△ABC中，AP⊥BC于点P，AD是外接圆☉O的直径，延长CA至点E,延长BA至点F,使得BE∥CF,作DK⊥EF于点K.求证:B、P、K、E四点共圆.
28-5△ABC的内接于☉O,在直线AB、AC分别取点D、E,使得DE⊥OB,过点E作一直线交圆☉O,于点F、G,直线BF、BG交直线DE分别于点M、N,直线AM、CN与☉O的第二个交点分别为T、V，直线AN、CM与☉O的第二个交点分别为L、K.求证：TV∥LK.。
高联班几何测试17-18
则∠BPE=90°- ∠A.
同理，∠CPF=90°- ∠A.
又∠BPC=∠A, 所以，∠BPE+∠BPC+∠CPF=∠180°
点 P 在直线 EF 上. 且∠BPE=∠CPF,EF 是∠BPC 的外角平分线. 作△BCP 的外接圆交 EF 于点 P、K/,联结 BK/、CK/、BD、CD. 则∠K/BC=∠CPF=90°- ∠A=∠BPE=∠K/CB.
因∠BNE=∠BCE=∠EAC, 则 BN∥AC ∠NBX=∠BAC. 因∠ MBC=∠MDC=∠DAC+∠ACD=∠DAC+ ∠BAD=∠BAC, 所以，∠NBX=∠MBC. 同理 ∠NCY=∠MCB. 故点 N、M 是△ABC 的等角共轭点.
∠ EAB=∠DAC. 从而，∠EBC=∠EAB=∠DAC=∠DBA. 所以，点 D、E 是△ABC 的等角共轭点.
证明 如图，设直线 AD、d 与△ABC 的外接圆☉O 的第二个交点分别为 M、N. 因 d⊥AD,则 MN 为☉O 的直径.
设 BE、CF 与☉O 的第二个交点分别为 T、L,则四边形 BCLT 为矩形，BL 为 ☉O 的直径.
所以，ꌐt = .
作 NP/⊥EF 交 TL 于点 P/,联结 TN、EP/.则 E、T、P/、N 四点共圆. 故∠P/EN=∠P/TN=∠BAM. 结合 EA⊥AM 知 EP/⊥AB. 同理 FP/⊥AC, 所以，点 P/与 P 重合. 联结 BM、CN,作 MK⊥BC 于点 K,KV∥BC 交 BE 于点 V. 因∠PEF=∠BAM=∠MCB, 同理∠PFE=∠MBC, 所以，△PEF∽△MCB,PN、MK 是对应边上的高，
DE∥AC 交 AB 于点 E,DF∥AB 交 AB 于点 F,ND 与☉O 的第二个交点为 K,联结 EF、 AK,作 KP⊥AK 交 AM 于点 P.求证：PD⊥EF.
高联难度几何题100道-打印整理版
高联难度平面几何100题第一题：证明角平分 (5)第二题：证明四点共圆 (6)第三题：证明角的倍数关系 (7)第四题：证明线与圆相切 (8)第五题：证明垂直 (9)第六题：证明线段相等 (10)第七题：证明线段为比例中项 (11)第八题：证明垂直 (12)第九题：证明线段相等 (13)第十题：证明角平分 (14)第十一题：证明垂直 (15)第十二题：证明线段相等 (16)第十三题：证明角相等 (17)第十四题：证明中点 (18)第十五题：证明线段的二次等式 (19)第十六题：证明角平分 (20)第十七题：证明中点 (21)第十八题：证明角相等 (22)第十九题：证明中点 (23)第二十题：证明线段相等 (24)第二十一题：证明垂直 (25)第二十二题：证明角相等 (26)第二十三题：证明四点共圆 (27)第二十四题：证明两圆相切 (28)第二十五题：证明线段相等 (29)第二十六题：证明四条线段相等 (30)第二十七题：证明线段比例等式 (31)第二十八题：证明角的倍数关系 (32)第二十九题：证明三线共点 (33)第三十题：证明平行 (34)第三十一题：证明线段相等 (35)第三十二题：证明四点共圆 (36)第三十三题：证明三角形相似 (37)第三十四题：证明角相等 (38)第三十五题：证明内心 (39)第三十六题：证明角平分 (40)第三十七题：证明垂直 (41)第三十八题：证明面积等式 (42)第三十九题：证明角平分 (43)第四十题：证明角相等 (44)第四十一题：证明中点 (45)第四十二题：证明中点 (46)第四十三题：证明角相等 (47)第四十四题：证明垂直 (48)第四十五题：证明角相等 (49)第四十六题：证明垂直 (50)第四十七题：证明四点共圆 (51)第四十八题：证明四点共圆 (52)第四十九题：证明四点共圆 (53)第五十题：证明角平分 (54)第五十一题：证明线段相等 (55)第五十二题：证明两圆外切 (56)第五十三题：证明垂直 (57)第五十四题：证明垂直 (58)第五十五题：证明垂直 (59)第五十七题：证中点 (61)第五十八题：证明角相等 (62)第五十九题：证明角相等 (63)第六十题：证明四点共圆 (64)第六十一题：证明四点共圆 (65)第六十二题：证明四点共圆 (66)第六十三题：证明角相等 (67)第六十四题：证明角的倍数关系 (68)第六十五题：证明中点 (69)第六十六题：伪旁切圆 (70)第六十七题：证明垂直 (71)第六十八题：证明平行 (72)第六十九题：证明圆心在某线上 (73)第七十题：证明三线共点 (74)第七十一题：证明垂直 (75)第七十二题：证明垂直 (76)第七十三题：证明中点 (77)第七十四题：证明垂直 (78)第七十五题：证明垂直 (79)第七十六题：证明三线共点 (80)第七十七题：证明平行 (81)第七十八题：证明平行 (82)第七十九题：证明三线共点、证明垂直 (83)第八十题：证明三点共线（牛顿定理） (84)第八十一题：证明角平分 (85)第八十二题：证明角相等 (86)第八十三题：证明三点共线 (87)第八十四题：证明四圆共点 (88)第八十六题：证明线段相等 (90)第八十七题：证明角相等 (91)第八十八题：证明线段相等 (92)第八十九题：证明线段相等 (93)第九十题：证明线段相等 (94)第九十一题：证明中点 (95)第九十二题：证明四点共圆 (96)第九十三题：证明西姆松定理及逆定理 (97)第九十四题：证明线段的和差关系等式 (98)第九十五题：证明角相等 (99)第九十七题：证明线段的和差关系等式 (100)第九十八题：证明角相等 (101)第九十九题：证明四点共圆 (102)第一百题：证明两三角形共内心 (103)第一题：证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。
高联31-5
高联班几何测试题（31）
时间：120分钟命题人：万喜人
31-1△ABC外接圆为☉O，延长BC至点P,过点P作☉O的一条切线PD,切 上，过点P作直线PE∥AD,交 、 分别于点E、F,交边AB、AC分别点D在
于点M、N.求证：EM=FN.
31-2在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，AD、BE、CF相交于点P,DE、DF的中点分别为M、N,直线MN交AB于点K.求证:DK∥CF.
注：下列网红题是本题的特例.
在△ABC中，内切圆与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F,DE、DF的中点分别为M、N,直线MN交AB于点K.求证：DK∥CF.
的中点，内心I，过I作EF⊥AI交31-3△ABC的外接圆为☉O，D为
AB、AC分别为E、F,BF与CE交于点K,直线AK交BC于点M.求证：D、I、M三点
共线.
31-4在△ABC中，点P、K是形内的等角共轭点，延长AK交△ABC的外接
圆☉O于点D,点K关于BC的对称点为E,直线DE与☉O的第二个交点为F.求证：
PA=PF.
31-5△ABC内接于☉O，☉O的过点B、C的切线相交于点P,AP交☉O于点M,过点B、C作☉S交AB、AC分别于点D、E,BE与CD交于点F,直线AF交BC 于点X，交☉O于点A、N.直线MX交与PN交于点K.求证：A、D、E、K四点共圆.。
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则 A⟶ E,B⟶ F,C⟶ G,D⟶ H,L⟶ T,U⟶ V. 于是 UL∥VT. 由熟知结论得点 K 关于☉O2 的极线为 UL,从而，UL⊥KO2. 故 VT⊥KO2.
高联班几何测试题（52）
时间：120 分钟
命题人：万喜人
52-1 在△ABC 中，AB≠AC,点 D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上，AE=AF,AD、 BE、CF 三线共点于 P,DT⊥EF 于 T,△ABC 的外接圆φ与△AEF 的外接圆ε相交于点 A、K,直线 AT 交圆φ交于点 A、V, 圆φ的过 BC 的切线相交于点 X.求证：K、V、X 三点共线.
证明 如图，作 BL⊥EF 于点 L, CJ⊥EF 于 点 J,联结线段如图所示.
对△ABC 及点 P,由塞瓦定理得 Ⰸ · tt
Ⰸt t
又 AF=EA
所以，tt tⰈ .
t
又因 BL∥DT∥CJ,
由 AE=AF 得∠BFL=∠CEJ
⟹ Rt△BFL∽Rt△CEJ.
所以， t tt tⰈ Ⰸ
t㔠Ⰸ
tt
52-3 ☉O1 与☉O2 外切于点 P,点 K 在☉O1 上，过点 K 任作一直线交☉O2 于 点 A、B,直线 AP、BP 与☉O1 的第二个交点分别为 E、F. 过点 K 作另一直线交☉ O2 于点 C、D,直线 CP、DP 与☉O1 的第二个交点分别为 G、H,直线 EH 与 FG 交于点 T, 直线 EG 与 FH 交于点 H.求证：VT⊥KO2.
证明 如图，设直线 BE、CF 分别交直线 AD 于点 T、K，设直线 FE 交 AD 于点 P,AM 交 BC 于点 N.
因 AE⊥BM,AF⊥CM,AD⊥AM. 则 A、E、M、F 四点共圆.AD 为其 切线. 因∠PET=∠MEF=∠MAF=∠K, 则 E、F、K、T 四点共圆. 于是，AP2=PE·PF=PT·PK. 因(B,C;N,D）为调和点列， 则 M(B,C;N,D）为调和线束. 从而，(T,K;A,D）为调和点列， 于是，P 为 AD 的中点，即直线 FE 平分线段 AD.
证明 （1）如图，过点 P 作☉O 的另一切线（ 上一点.联结线段如图所示.
因 OK⊥PK,OA⊥PA,OE⊥PE,则 P、A、O、K、E 五点共圆. 所以，∠PEA=∠PKA=∠KBA, 又∠PAB=∠T, 则∠APE=180°-∠PAB=180°-∠T=∠AKB 从而△APE∽△AKB, 故∠EKP=∠EAP=∠BAK. 又因∠MKC=∠CAK, 所以，∠EKC=∠CAB=∠EDC.
52-5 PA 与☉O 相切于点 A,AB 是☉O 的弦，PB 交☉O 于点 B、C,PD∥AB 交 AC 的延长线于点 D,作 OE⊥PD 于点 E, ☉(CDE) (表示过 C、D、E 三点的圆)与☉ O 点 C、F,PF 交☉(CDE) 于点 F、M，点 N 为 PA 的中点.求证：（1） PF 是☉O 的 切线；（2） D、M、N 三点共线.
52-4 在△ABC 中，点 E、F 均在形内，且∠ABE=∠CBF, ∠ACF=∠BCE,点 A 在直线 BE、CE、BF、CF 上的射影分别 为 M、N、U、V,直线 MN 与 UV 交于点 P,AP 与 BC 交于点 K.求证：（1） AK⊥EF,( 2) AP=PK.
证明 （陕西省西安市铁一中杨运新解答） （1）因 AM⊥BE,AN⊥CE,则 A、M、E、N 四点共圆，此圆圆心为 AE 的中点 S, 简记☉S. 因 AU⊥BF,AN⊥CF, 则 A、F、U、V 四点共圆，此圆圆心为 AF 的中点 T,简记 ☉T. 因 E、F 为△ABC 内的等角共轭点，则可设∠BAE=∠CAF=α,∠ABE=∠CBF=β， ∠ACF=∠BCE=γ,△ABC 的三内角简记为∠A、∠B、∠C. 因 A、M、E、N,A、B、U、M 分别为四点共圆， 则∠PMU=∠NME+∠BMU=∠NAE+∠BAU=90°-∠CAE-∠ACE+90°-∠ABF = 90°-（∠A-α）-（∠C-γ）+90°-（∠B-β）=α + β + γ . 类似地，∠PUM、∠PVN、∠PNV 都等于α + β + γ .
于是，四边形 MVNU 是等腰梯形或矩形. 从而，M、V、N、U 四点共圆⟹ PM·PN =PV·PU, 即点 P 对☉S 与☉T 的幂 相等，P 在☉S 与☉T 的根轴上. 又点 A 是☉S 与☉T 的公共点，点 A 在☉S 与☉T 的根轴上. 所以，直线 AK 是☉S 与☉T 的根轴，AK⊥ST. 又因 ST 是△AEF 的中位线，ST∥EF. 故 AK⊥EF.
(2)设 AB、AC 的中点分别为 J、L. 因四边形 MVNU 是等腰梯形或矩形，则 MU 与 VN 有公共的中垂线 g,点 P 在直 线 g 上.
因 JM= AB=JU,则点 J 在直线 g 上.
同理，点 L 在直线 g 上. 从而，g 是△ABC 中平行于 BC 的中位线所在的直线. 所以，AP=PK.
t㔠
Ⰸt sin Ⰸ t t .
t sin t
因∠ABK=∠ACK, ∠AFK=∠AEK⟹∠BFK=∠CEK, 则△BFK∽△CEK
故tt tⰈ t .
t
因为 XB、XC 为圆φ的切线. 所以，K、V、X 三点共线.
52-2 在△ABC 中，AB＞AC,∠BAC 的外角平分线交 BC 于点 D,点 M 在∠BAC 的平分线上，AE⊥BM 于点 E,AF⊥CM 于点 F.求证：直线 FE 平分线段 AD.
点 K 在☉(CDE)上. 于是，点 K 是☉(CDE)与☉O 除点 C 外的第 二个交点，点 K 与 F 重合. 所以，PF 是☉O 的切线. （2）因∠DPC=∠ABC=∠PAC, 则 DP2=DC· DA,即点 D 对点圆 P 与☉O 的幂相等，点 D 在点圆 P 与☉O 的根 轴上. 又∠MDC=∠MFC=∠FAC,则 DM∥AF. 因点圆 P 与☉O 的根轴是过 PA、PF 中点的直线，平行于 AF,也就是说，过点 圆 P 与☉O 根轴上一个点且平行于 AF 的直线就是根轴. 所以，D、M、N 三点共线，此直线为点圆 P 与☉O 的根轴.