图形的相似技巧及练习题含答案
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∵∠AFD=∠BAE，∠DAE=∠E，
∴△ADF∽△EBA，
∴图中共有相似三角形5对，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
【详解】
解：连接 ，如图，
为直径，
，
，
，
而 ，
，
，
，
而 ，
，
，
，
在 中， ，
，
， ，
， ，
，
，即 ，
，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
【详解】
∵AD：AF=3：5，
∴AD：DF=3：2，
∵AB∥CD∥EF，
∴ ，即 ，
解得，CE=4，
故选B．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
【解析】
试题分析：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，所以△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF∥BC，EF= BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，所以 = + =8.
11．把 三边的长度都扩大为原来的 倍，则锐角 的余弦值（）
A．扩大为原来的 倍B．缩小为原来的 C．扩大为原来的 倍D．不变
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质解答．
【详解】
三边的长度都扩大为原来的3倍，
则所得的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的余弦值不变，
故选：D．
【点睛】
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．
∴ ，即 ，解得： ．
∴BF+CM= ．
故选A．
13．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、 、 ，若S=2，则 + =（）.
A．4B．6C．8D．不能确定
【答案】C
故选D
【点睛】
该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．
5．如图，已知 ， ， ， 的长为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
∴选项C正确，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，能熟练利用相似三角形对应边成比例是解题关键．
8．如图，点A在双曲线y═ （x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于 OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【解析】
分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出 =2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．
详解：∵四边形ABCD为正方形，
由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．
7．如图，点E是 的边 上一点， ，连接 ，交 边于点 ，下列结论中错误的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质和相似三角形的性质分别判断即可．
【详解】
解：∵在 中， ， ，
∴ ,
∴ ,
∵
∴ ，选项A正确，选项D错误，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴选项B正确，
∴ ，即： ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据圆周角定理得到∠DCB=∠BAD，证明△DCE∽△DAC，根据相似三角形的性质求出AD，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
由圆周角定理得，∠DCB=∠BAD，
∴∠CAD=∠DCB，又∠D=∠D，
∵AD、CF、CB都与⊙O相切，
∴CE＝CB；OE⊥CF；FO平分∠AFC，CO平分∠BCF．
∵AF∥BC，
∴∠AFC+∠BCF＝180°，
∴∠OFC+∠OCF＝90°，
∵∠OFC+∠FOE＝90°，
∴∠OCF＝∠FOE，
∴△EOF∽△ECO，
∴ ，即OE2＝EF•EC．
设正方形边长为a，则OE＝ a，CE＝a．
【详解】
解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，
则△BEO∽△OFA，
∴ ，
设点B为（a， ），A为（b， ），
则OE=-a，EB= ，OF=b，AF= ，
可代入比例式求得 ，即 ，
根据勾股定理可得：OB= ，OA= ，
∴tan∠OAB= = =
∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.
∴△DCE∽△DAC，
∴ ，即 ，
解得，AD=8，
∴AE=AD DE=8 2=6，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
10．如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．
4．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数 、 的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（）
A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到 ；设B为（a， ），A为（b， ），得到OE=-a，EB= ，OF=b，AF= ，进而得到 ，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB= 为定值，即可解决问题．
2．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF为( )
A．2∶3B．4∶9C． ∶ D．3∶2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以 ．
【详解】
因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，
所以S△ABC：S△DEF=（ ）2= ，故选B．
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴ =2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
∴EF＝ a．
∴ ＝ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．.
16．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）
A．AF＝ CF
B．∠DCF＝∠DFC
C．图中与△AEF相似的三角形共有5个
此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
12．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）
，
∴ ，
∴OB= ，AB= ，
∴A（ ， ），
∴k= ．
故选B．
点睛：本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．如图， 为 的直径， 为 上一点，弦 平分 ，交弦 于点 ， ， ，则 的长为（）
A．2B．4C．6D．8
15．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则 ＝（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OE、OF、OC，利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF＝∠FOE，证明△EOF∽△ECO，利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】
解：连接OE、OF、OC．
【详解】
∵S△EFC＝3S△DEF，
∴DF：FC＝1：3（两个三角形等高，面积之比就是底边之比），
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴DE：BC＝DF：FC＝1：3
同理△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9，
故选：C．
【点睛】
本题查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．
【详解】
解：如图，
∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，
∴由射影定理得：AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，
CD2＝AD•BD；
∴ ；
∴CD•AC＝AD•BC，
∴A，B，C正确，D不正确．
故选：D．
【点睛】
该题主要考查了射影定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用射影定理来分析、判断、推理或解答．
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得AD//BC，AB//CD，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴△ADM∽△EBM，△ADF∽△ECF，△DFM∽△BAM，△EFC∽△EAB，
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．
3．如图，四边形 内接于 ， 为直径， ，过点 作 于点 ，连接 交 于点 .若 ， ，则 的长为()
A．10B．12C．16D．20
【答案】D
【解析】
【分析】
连接 ，如图，先利用圆周角定理证明 得到 ，再根据正弦的定义计算出 ，则 ， ，接着证明 ，利用相似比得到 ，所以 ．
A． B． C．3D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM．
∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA= OA=2．
由勾股定理得：DE= ．
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
图形的相似技巧及练习题含答案
一、选择题
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（ ）
A．1：3B．1：8C．1：9D．1：4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．
故选C．
考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．
14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则下列结论不正确的是（ ）
A．AC2＝AD•ABB．CD2＝AD•BDC．BC2＝BD•ABD．CD•AD＝AC•BC
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据射影定理来分析、判断，结合三角形的面积公式问题即可解决．
A．2B． C． D．
【答案】B
【解析】
分析：如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；
详解：如图，设OA交CF于K．
由作图可知，CF垂直平分线段OA，
∴OC=CA=1，OK=AK，
在Rt△OFC中，CF= ，
∴AK=OK= ，
∴OA= ，
由△FOC∽△OBA，可得
D．tan∠CAD＝
【答案】D
【解析】
【分析】
由AE= AD= BC，又AD∥BC，所以 ，故A正确，不符合题意；
过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE= BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；
根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；
∴△ADF∽△EBA，
∴图中共有相似三角形5对，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
【详解】
解：连接 ，如图，
为直径，
，
，
，
而 ，
，
，
，
而 ，
，
，
，
在 中， ，
，
， ，
， ，
，
，即 ，
，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
【详解】
∵AD：AF=3：5，
∴AD：DF=3：2，
∵AB∥CD∥EF，
∴ ，即 ，
解得，CE=4，
故选B．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
【解析】
试题分析：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，所以△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF∥BC，EF= BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，所以 = + =8.
11．把 三边的长度都扩大为原来的 倍，则锐角 的余弦值（）
A．扩大为原来的 倍B．缩小为原来的 C．扩大为原来的 倍D．不变
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质解答．
【详解】
三边的长度都扩大为原来的3倍，
则所得的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的余弦值不变，
故选：D．
【点睛】
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．
∴ ，即 ，解得： ．
∴BF+CM= ．
故选A．
13．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、 、 ，若S=2，则 + =（）.
A．4B．6C．8D．不能确定
【答案】C
故选D
【点睛】
该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．
5．如图，已知 ， ， ， 的长为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
∴选项C正确，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，能熟练利用相似三角形对应边成比例是解题关键．
8．如图，点A在双曲线y═ （x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于 OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【解析】
分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出 =2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．
详解：∵四边形ABCD为正方形，
由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．
7．如图，点E是 的边 上一点， ，连接 ，交 边于点 ，下列结论中错误的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质和相似三角形的性质分别判断即可．
【详解】
解：∵在 中， ， ，
∴ ,
∴ ,
∵
∴ ，选项A正确，选项D错误，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴选项B正确，
∴ ，即： ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据圆周角定理得到∠DCB=∠BAD，证明△DCE∽△DAC，根据相似三角形的性质求出AD，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
由圆周角定理得，∠DCB=∠BAD，
∴∠CAD=∠DCB，又∠D=∠D，
∵AD、CF、CB都与⊙O相切，
∴CE＝CB；OE⊥CF；FO平分∠AFC，CO平分∠BCF．
∵AF∥BC，
∴∠AFC+∠BCF＝180°，
∴∠OFC+∠OCF＝90°，
∵∠OFC+∠FOE＝90°，
∴∠OCF＝∠FOE，
∴△EOF∽△ECO，
∴ ，即OE2＝EF•EC．
设正方形边长为a，则OE＝ a，CE＝a．
【详解】
解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，
则△BEO∽△OFA，
∴ ，
设点B为（a， ），A为（b， ），
则OE=-a，EB= ，OF=b，AF= ，
可代入比例式求得 ，即 ，
根据勾股定理可得：OB= ，OA= ，
∴tan∠OAB= = =
∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.
∴△DCE∽△DAC，
∴ ，即 ，
解得，AD=8，
∴AE=AD DE=8 2=6，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
10．如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．
4．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数 、 的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（）
A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到 ；设B为（a， ），A为（b， ），得到OE=-a，EB= ，OF=b，AF= ，进而得到 ，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB= 为定值，即可解决问题．
2．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF为( )
A．2∶3B．4∶9C． ∶ D．3∶2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以 ．
【详解】
因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，
所以S△ABC：S△DEF=（ ）2= ，故选B．
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴ =2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
∴EF＝ a．
∴ ＝ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．.
16．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）
A．AF＝ CF
B．∠DCF＝∠DFC
C．图中与△AEF相似的三角形共有5个
此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
12．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）
，
∴ ，
∴OB= ，AB= ，
∴A（ ， ），
∴k= ．
故选B．
点睛：本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．如图， 为 的直径， 为 上一点，弦 平分 ，交弦 于点 ， ， ，则 的长为（）
A．2B．4C．6D．8
15．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则 ＝（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OE、OF、OC，利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF＝∠FOE，证明△EOF∽△ECO，利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】
解：连接OE、OF、OC．
【详解】
∵S△EFC＝3S△DEF，
∴DF：FC＝1：3（两个三角形等高，面积之比就是底边之比），
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴DE：BC＝DF：FC＝1：3
同理△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9，
故选：C．
【点睛】
本题查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．
【详解】
解：如图，
∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，
∴由射影定理得：AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，
CD2＝AD•BD；
∴ ；
∴CD•AC＝AD•BC，
∴A，B，C正确，D不正确．
故选：D．
【点睛】
该题主要考查了射影定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用射影定理来分析、判断、推理或解答．
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得AD//BC，AB//CD，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴△ADM∽△EBM，△ADF∽△ECF，△DFM∽△BAM，△EFC∽△EAB，
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．
3．如图，四边形 内接于 ， 为直径， ，过点 作 于点 ，连接 交 于点 .若 ， ，则 的长为()
A．10B．12C．16D．20
【答案】D
【解析】
【分析】
连接 ，如图，先利用圆周角定理证明 得到 ，再根据正弦的定义计算出 ，则 ， ，接着证明 ，利用相似比得到 ，所以 ．
A． B． C．3D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM．
∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA= OA=2．
由勾股定理得：DE= ．
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
图形的相似技巧及练习题含答案
一、选择题
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（ ）
A．1：3B．1：8C．1：9D．1：4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．
故选C．
考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．
14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则下列结论不正确的是（ ）
A．AC2＝AD•ABB．CD2＝AD•BDC．BC2＝BD•ABD．CD•AD＝AC•BC
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据射影定理来分析、判断，结合三角形的面积公式问题即可解决．
A．2B． C． D．
【答案】B
【解析】
分析：如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；
详解：如图，设OA交CF于K．
由作图可知，CF垂直平分线段OA，
∴OC=CA=1，OK=AK，
在Rt△OFC中，CF= ，
∴AK=OK= ，
∴OA= ，
由△FOC∽△OBA，可得
D．tan∠CAD＝
【答案】D
【解析】
【分析】
由AE= AD= BC，又AD∥BC，所以 ，故A正确，不符合题意；
过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE= BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；
根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；