计算机图形学04-图形几何变换
计算机形学几何变换基础知识全面解析
计算机形学几何变换基础知识全面解析计算机形学几何变换是计算机图形学中一项非常重要的技术，它可以对图像进行平移、旋转、缩放等变换操作，从而实现图像的变形和动画效果。
本文将全面解析计算机形学几何变换的基础知识，包括变换的概念、常见的变换操作及其数学原理等内容。
一、概念介绍计算机形学几何变换是指通过一定的数学变换方法，改变图像或对象的形状、大小和位置。
常用的几何变换包括平移、旋转、缩放和错切等。
以下将逐个介绍这些变换操作的原理及应用。
二、平移变换平移变换是指将一个对象沿着指定方向平行移动一定的距离。
平移变换可以通过对对象中的每个顶点坐标进行相同平移量的加减操作来实现。
设对象的原始坐标为(x,y)，平移量为(tx,ty)，则平移变换后的新坐标为(x+tx,y+ty)。
三、旋转变换旋转变换是指将一个对象绕着指定的旋转中心点按照一定角度进行旋转。
旋转变换可以通过将对象中的每个顶点坐标绕旋转中心点进行相应角度的旋转来实现。
设对象的原始坐标为(x,y)，旋转角度为θ，旋转中心点为(cx,cy)，则旋转变换后的新坐标为：x' = (x-cx)*cosθ - (y-cy)*sinθ + cxy' = (x-cx)*sinθ + (y-cy)*cosθ + cy四、缩放变换缩放变换是指将一个对象的大小按照一定比例进行缩放。
缩放变换可以通过将对象中的每个顶点坐标按照指定比例进行缩放来实现。
设对象的原始坐标为(x,y)，缩放比例为(sx,sy)，缩放中心点为(cx,cy)，则缩放变换后的新坐标为：x' = (x-cx)*sx + cxy' = (y-cy)*sy + cy五、错切变换错切变换是指将一个对象的各个顶点坐标按照一定的错切因子进行变换。
错切变换可以分为水平错切和垂直错切两种形式。
水平错切变换可以通过将对象中的每个顶点的y坐标按照指定的错切因子进行变换来实现；垂直错切变换则是将对象中的每个顶点的x坐标按照指定的错切因子进行变换。
几何变换的认识和基本原理
几何变换的认识和基本原理几何变换是指通过对平面上的点、线、面进行位置、形状或尺寸上的改变，从而得到一个新的图形。
在计算机图形学和计算机视觉等领域，几何变换是非常重要的基础知识。
本文将介绍几何变换的认识和基本原理。
一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着某个方向平行移动一定的距离。
平移变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x + dx, y + dy]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，(dx, dy)是平移的距离，(x', y')是平移后得到的新点的坐标。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕着某个中心点按照一定的角度旋转。
旋转变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ + y*cosθ]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，θ是旋转的角度，(x', y')是旋转后得到的新点的坐标。
三、缩放变换缩放变换是指将一个图形按照一定的比例因子放大或缩小。
缩放变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [s*x, s*y]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，s是缩放的比例因子，(x', y')是缩放后得到的新点的坐标。
四、对称变换对称变换是指将一个图形关于某一直线或某一点进行对称。
对称变换可以分为关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
不同类型的对称变换具体的公式略有不同，但原理都是将图形上的点映射到其关于对称轴的对称位置。
五、仿射变换仿射变换是指将一个图形通过平移、旋转和缩放等基本变换来进行综合变换。
仿射变换可以用以下矩阵表示：[x', y'] = [a*x + b*y + c, d*x + e*y + f]其中，a、b、c、d、e、f为变换矩阵中的参数，(x, y)是原始图形上的一个点，(x', y')是变换后得到的新点的坐标。
图形的几何变换
图形的几何变换图形的几何变换是指对于一个图形，在平面上或空间中进行比例、旋转、平移、对称等操作后，得到的新图形。
这种操作可以改变图形的大小、方向、位置等特征，广泛运用于数学、物理、美术、计算机图形等领域。
以下从不同变换类型的角度分析图形的几何变换。
一、比例变换比例变换是指将一个图形沿着某个中心点或轴线进行等比例伸缩的变换。
其结果通常是一个形状相似但大小不同的新图形。
比例变换可以分为放大和缩小两种情况，当比例因子大于1时，为放大；比例因子小于1时，为缩小。
比例变换常见的应用包括模型制作、图形的等比例缩放等。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形沿着某个轴心或轴线进行旋转的变换。
旋转变换可分为顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，其结果是一个相似但方向不同的新图形。
旋转变换的角度通常用弧度制表示，旋转角度为正时为逆时针旋转，为负时为顺时针旋转，常见的应用包括风车的运动、建筑设计的转角变换等。
三、平移变换平移变换又叫做移动变换，是指将一个图形沿着某个方向进行平移的变换。
平移变换可以将图形整体沿着平移向量的方向进行移动，其结果是一个与原图形相同但位置不同的新图形。
平移变换常见的应用包括机器人的运动、物体的位移等。
平移变换也可以看作是比例变换的特殊情况，比例因子为1，即不改变图形的大小。
四、对称变换对称变换是指将一个图形沿着某个轴线进行翻折的操作。
对称变换可以分为对称、反对称和正交对称三种类型。
对称变换的结果通常是一个与原图形相等但位置镜像对称的新图形。
对称变换在分形几何、美术设计等领域都有着广泛的应用。
五、仿射变换仿射变换是指图形在平面上或空间中进行非等比例伸缩、旋转、平移和投影等操作时的变换。
仿射变换的结果通常是一个与原图形相似但有略微变形的新图形。
仿射变换包括平移变换、旋转变换、比例变换和剪切变换等。
其应用领域包括医学图像处理、计算机图形学等。
总结图形的几何变换在现代科技和艺术中有着广泛的应用。
比例变换常用于造型、模型制作和图形的等比例缩放；旋转变换常用于旋转花纹、风车运动、建筑转角的变化等；平移变换常用于运动控制、物体的位移等；对称变换常用于几何分形、美术设计等领域；仿射变换则是结合了以上变换操作的高级变换，其应用范围更加广泛。
计算机图形学第4章图形变换
反射变换
总结词
反射变换是将图形关于某一平面进行镜像反射的变换。
详细描述
反射变换可以通过指定一个法向量和反射平面来实现。法向量垂直于反射平面，指向反射方向。在二 维空间中，反射变换可以将图形关于x轴或y轴进行镜像反射；在三维空间中，反射变换可以将图形关 于某一平面进行镜像反射。
03
复合图形变换
组合变换
01
02
03
04
组合变换是指将多个基本图形 变换组合在一起，形成一个复
杂的变换过程。
组合变换可以通过将多个变换 矩阵相乘来实现，最终得到一
个复合变换矩阵。
组合变换可以应用于各种图形 变换场景，如旋转、缩放、平
移、倾斜等。
组合变换需要注意变换的顺序 和矩阵的乘法顺序，不同的顺 序可能导致不同的变换结果。
矩阵变换
矩阵变换是指通过矩阵运算对图形进 行变换的方法。
常见的矩阵变换包括平移矩阵、旋转 矩阵、缩放矩阵和倾斜矩阵等。
矩阵变换可以通过将变换矩阵与图形 顶点坐标相乘来实现，得到变换后的 新坐标。
矩阵变换具有数学表达式的简洁性和 可操作性，是计算机图形学中常用的 图形变换方法之一。
仿射变换
仿射变换是指保持图形中点与 点之间的线性关系不变的变换。
05
应用实例
游戏中的图形变换
角色动画
通过图形变换技术，游戏中的角 色可以完成各种复杂的动作，如
跑、跳、攻击等。
场景变换
游戏中的场景可以通过图形变换 技术实现动态的缩放、旋转和平 移，为玩家提供更加丰富的视觉
体验。
特效制作
图形变换技术还可以用于制作游 戏中的特效，如爆炸、火焰、水
流等，提升游戏的视觉效果。
THANKS
计算机图形学-变换
第3章 变换
基本的二维几何变换 二维复合变换 其他二维变换 三维几何变换 OpenGL几何变换函数 三维图形的显示流程 投影 裁剪
2
几何变换
应用于对象几何描述并改变它的位置、方 向或大小的操作称为几何变换（geometric transformation） 基本的二维几何变换包括平移、旋转和缩 放
8
矩阵表示和齐次坐标
许多图形应用涉及到几何变换的顺序 需要用一个通式来表示平移、旋转和缩放
P M1 P M 2
将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，可以把二维几 何变换的乘法和平移项组合为单一矩阵表示
9
二维平移矩阵
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
三维坐标轴旋转
X轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕x轴旋转的公式
z
y ' y cos z sin
y
z ' y sin z cos x' x
x
35
三维坐标轴旋转
y轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕y轴旋转的公式
x
z
y
z ' z cos x sin x' z sin x cos y' y
glMatrixMode (GL_MODELVIEW); glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示蓝色矩形
glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); glTranslatef (-200.0, -50.0, 0.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示红色、平移后矩形
数学几何变换的方法
数学几何变换的方法几何变换是数学中一项重要的研究内容，通过对图形进行不同的操作，可以实现平移、旋转、缩放等效果。
这些变换方法不仅在几何学中有着广泛的应用，还在计算机图形学、机器人学等领域发挥着重要作用。
本文将介绍几何变换的常见方法及其应用。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着指定方向上移动一定距离的操作。
其数学表达式为：平移后的坐标 = 原坐标 + 平移矢量平移矢量的大小和方向决定了平移的距离和方向。
平移变换常用于游戏开发、图像处理等领域，可以实现图形的移动、平移动画效果等。
二、旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个中心点按一定角度进行旋转的操作。
其数学表达式为：旋转后的坐标 = 中心点坐标 + R * (原坐标 - 中心点坐标)其中，R为旋转矩阵，通过矩阵乘法将原坐标进行旋转。
旋转变换常用于计算机图形学中，实现图像的旋转、三维模型的变换等。
三、缩放变换缩放变换是指改变图形的尺寸大小的操作。
其数学表达式为：缩放后的坐标 = 原坐标 * 缩放因子缩放因子可以是一个比例因子，用于确定缩放的大小，也可以是一个矩阵，对各个坐标轴进行不同程度的缩放。
缩放变换常用于计算机辅助设计、图像处理等领域，可以实现图形的放大、缩小、图像的拉伸等效果。
四、对称变换对称变换是指将图形绕着中心轴进行镜像翻转的操作。
其数学表达式为：对称后的坐标 = 中心轴坐标 + S * (原坐标 - 中心轴坐标)其中，S为对称矩阵，通过矩阵乘法将原坐标进行对称。
对称变换常用于图像处理中，实现图像的镜像翻转、对称图案的生成等。
五、投影变换投影变换是指将三维物体投影到二维平面上的操作，常见的有透视投影和正交投影两种形式。
投影变换常用于计算机图形学中，实现三维物体的绘制和显示。
总结：数学几何变换的方法包括平移、旋转、缩放、对称和投影等。
这些变换方法在各个领域中都有重要应用，比如游戏开发、图像处理、计算机辅助设计等。
掌握几何变换的方法对于理解和应用相关领域的技术具有重要意义。
计算机图形学之图形变换
4 T
3
2 p
1
0
012 34 567 8
线段和多边形的平移可以通过顶点的
平移来实现。同样线段和多边形的其它几 何变换也可以通过对顶点的几何变换来实 现。
2. 旋转变换(Rotation) 二维旋转有两个参数：
旋转中心： 旋转角：
？
6 P’
5
4
3
P
2
1
0
012 34 567 8
设OP与x轴的夹角为 则：
由于采用齐次坐标矩阵表示几何变换， 多个变换的序列相应地可以用矩阵链乘来表 示。
需要注意：先作用的变换其矩阵在右边， 后作用的变换其矩阵在左边。
变换函数
平移变换 void glTanslate{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z);
旋转变换 void glRotate{fd}(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z); 绕矢量v=(x,y,z)T逆时针方向旋转angle指定的角度。 旋转角度的范围是0~360度。当angle=0时， glRotate()不起作用。
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
上述变换可以分解为三个基本变换：
•平移：
•旋转：
•平移： 回原位。
使旋转中心移到坐标原点； 使旋转中心再移
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
因此上述变换可以写成矩阵乘积形式：
4. 5 基本三维几何变换(Basic three-dimensional geometric transformation)
1. 矩阵表示(Matrix representation) 前面三种变换都可以表示为如下的矩
阵形式
几何变换的基本概念
几何变换的基本概念几何变换是一种将几何图形通过平移、旋转、缩放或镜像等操作进行改变的方式。
在数学和计算机图形学中，几何变换被广泛应用于图形、图像处理和计算机辅助设计等领域。
本文将介绍一些几何变换的基本概念，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、平移变换平移变换是指将几何图形沿着给定的方向和距离进行移动。
在平移变换中，图形的形状、大小及内部结构都不发生改变，仅仅是位置发生了变化。
平移变换通常通过向图形的每个顶点添加一个位移向量来实现。
在二维平面中，位移向量由横向和纵向的移动距离组成。
在三维空间中，位移向量可以由三个方向的移动距离确定。
平移变换的重要性在于可以实现图像的平移效果，使得图形能够在平面或空间中沿任意方向移动，为后续的变换操作提供了基础。
二、旋转变换旋转变换是指将几何图形绕着一个给定的中心点进行旋转。
旋转变换可以通过改变图形各个顶点的位置来实现。
在二维平面中，旋转变换可以根据旋转角度计算出每个顶点的新位置；在三维空间中，旋转变换涉及到更复杂的计算。
旋转变换可以改变图形的朝向、方向和形状，使得图形能够绕中心点作各种角度的旋转。
旋转变换是许多图形和动画效果的基础，如旋转木马、旋转相框等。
它还在计算机辅助设计中起着重要作用，使得三维模型能够在不同角度进行观察和编辑。
三、缩放变换缩放变换是指改变几何图形的大小比例。
缩放变换可以通过改变图形各个顶点的位置，并相应调整线段的长度和角度来实现。
缩放变换可以使图形变大或变小，可以在一个轴上进行放大或缩小，也可以在两个轴上同时进行放大或缩小。
缩放变换在图形和图像处理中广泛应用。
通过缩放变换，可以实现图形的放大和缩小，对于网页设计、印刷、动画制作等都有重要意义。
四、镜像变换镜像变换是指将几何图形按照某一轴进行对称反转。
镜像变换可以通过改变图形各个顶点的位置来实现。
镜像变换可以是水平镜像或垂直镜像，也可以是关于某一倾斜轴的镜像。
镜像变换常用于图像处理和计算机游戏中，例如制作对称的道路、建筑物或人物形象等。
几何变换的基本概念和性质
几何变换的基本概念和性质几何变换是指平面或空间中的图形在不同的变化规则下发生的形态变化。
在数学和计算机图形学中，几何变换是一个重要的概念，它被广泛应用于各种领域，包括计算机视觉、机器人学、游戏开发和工程设计等。
几何变换包括平移、旋转、缩放和镜像四种基本类型。
每种变换都有其独特的性质和特点。
1. 平移（Translation）平移是指将图形沿着平行于原来位置的方向移动一定距离。
平移不改变图形的大小、形状和方向，只改变了其位置。
平移的变换规则是通过坐标的加减运算来实现的。
2. 旋转（Rotation）旋转是指将图形绕着某个点进行旋转运动。
旋转可以使图形沿着一个轴线旋转一定角度。
旋转不改变图形的大小和形状，但会改变其方向。
旋转的变换规则是通过坐标的旋转公式来实现的。
3. 缩放（Scaling）缩放是指将图形按照一定的比例进行放大或缩小。
缩放可以改变图形的大小和形状，但不改变其方向。
缩放的变换规则是通过坐标的乘除运算来实现的。
4. 镜像（Reflection）镜像是指将图形按照某条直线或平面进行对称反转。
镜像可以改变图形的方向，但不改变其大小和形状。
镜像的变换规则是通过坐标的变号来实现的。
这些几何变换具有一些重要的性质。
例如，平移和旋转是可逆的，即可以通过逆变换将图形恢复到原来的位置和方向；缩放和镜像也是可逆的，但镜像时需要注意选择合适的对称轴；任意两个几何变换都可以通过组合来实现更复杂的变换效果。
总之，几何变换是数学和计算机图形学中的重要概念，通过平移、旋转、缩放和镜像等变换可以实现对图形的形态变化。
掌握几何变换的基本概念和性质对于理解和应用相关领域的知识具有重要意义。
参考资料：。
几何变换的计算
几何变换的计算几何变换是数学中研究物体位置、形状和尺寸改变的方法。
通过几何变换，我们可以对图像进行平移、旋转、缩放和裁剪等操作，以达到我们预期的效果。
在计算机图形学、计算机视觉和计算机图像处理等领域中，几何变换被广泛应用。
一、平移变换平移变换是指将目标图像在平面上按照给定的坐标偏移量进行移动。
平移变换只改变图像的位置，不改变其形状和尺寸。
平移变换的矩阵表示如下：| 1 0 dx |T=| 0 1 dy || 0 0 1 |其中，dx和dy分别表示在x轴和y轴方向上的平移距离。
二、旋转变换旋转变换是指将目标图像按照给定的角度绕着旋转中心进行旋转。
旋转变换可以使图像发生旋转，改变其方向。
旋转变换的矩阵表示如下：| cosθ -sinθ 0 |R=| sinθ cosθ 0 || 0 0 1 |其中，θ表示旋转的角度。
三、缩放变换缩放变换是指将图像按照给定的比例因子进行放大或缩小。
缩放变换可以改变图像的尺寸，但不改变其形状和位置。
缩放变换的矩阵表示如下：| sx 0 0 |S=| 0 sy 0 || 0 0 1 |其中，sx和sy分别表示在x轴和y轴方向上的缩放比例。
四、裁剪变换裁剪变换是指通过去除目标图像的某些部分，将图像的大小剪裁为所需的区域。
裁剪变换可以改变图像的形状和位置，同时改变其尺寸。
裁剪变换的矩阵表示如下：| 1 0 0 |C=| 0 1 0 || cx cy 1 |其中，cx和cy表示裁剪中心的坐标。
五、仿射变换仿射变换是指将图像进行位置、形状和尺寸的综合变换。
仿射变换可以实现平移、旋转、缩放和倾斜等操作。
仿射变换的矩阵表示如下： | a b 0 |A=| c d 0 || tx ty 1 |其中，a、b、c和d分别表示缩放、旋转和倾斜变换的参数，tx和ty表示平移变换的坐标。
六、透视变换透视变换是指将图像在三维空间中进行形状和位置的改变。
透视变换可以改变图像的尺寸、角度和倾斜等效果。
几何变换的基本概念
几何变换的基本概念几何变换是指对图形进行平移、旋转、缩放或者投影等操作，以改变图形在平面或空间中的位置、形状或尺寸。
这些变换在几何学和计算机图形学中被广泛应用，能够帮助我们理解和分析图形的性质，并在各种实际应用中发挥重要作用。
一、平移变换平移变换是指保持图形形状不变的情况下，将其整体沿着平行于某个方向的直线移动一段距离。
平移变换由平移向量来描述，平移向量定义了平移的方向和距离。
在平面坐标系中，平移向量可以表示为(Tx, Ty)，其中Tx为水平方向上的移动距离，Ty为垂直方向上的移动距离。
对于三维空间中的平移变换，平移向量则由(Tx, Ty, Tz)来表示。
平移变换可以通过将图形上的每个点都向平移向量方向移动对应的距离来实现。
这种变换不改变图形的形状和尺寸，只是改变了图形的位置。
二、旋转变换旋转变换是指围绕某一点或某一轴线将图形进行旋转。
旋转变换可以按照时针或逆时针方向进行，并由旋转角度来描述。
在二维平面中，旋转角度通常用正负度数来度量，正角表示逆时针旋转，负角表示顺时针旋转。
而在三维空间中，旋转角度可以用欧拉角、四元数或旋转矩阵等方式来表示。
旋转变换可以通过将图形上的每个点都绕旋转中心按照指定的旋转角度进行旋转来实现。
这种变换保持了图形的形状，但改变了图形在空间中的方向。
三、缩放变换缩放变换是指按照比例因子改变图形的尺寸。
缩放因子可以是大于1的正数，表示扩大图形的尺寸；也可以是小于1的正数，表示缩小图形的尺寸。
在二维平面中，缩放变换通常由水平和垂直方向上的缩放因子来描述。
对于一个二维图形，缩放变换可以通过将图形上的每个点都按照指定的水平和垂直方向上的缩放因子进行相应比例的拉伸或压缩来实现。
缩放变换保持了图形的形状，但改变了图形的尺寸。
四、投影变换投影变换是指将三维空间中的图形投影到二维平面上。
在实际应用中，我们常常需要将三维物体用二维图像来表示，以便于显示和计算。
投影变换中最常见的是透视投影变换，它通过直线与投影平面的相交关系来进行计算。
几何变换的基本定义
几何变换的基本定义几何变换是指通过改变图形的位置、形状、大小或方向来实现对图形的转换。
在数学和几何学中，几何变换是广泛应用于图像处理、计算机图形学和几何推理等领域的重要概念。
本文将简要介绍几何变换的基本定义，包括平移、旋转、缩放和对称变换。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着平行于原始位置的直线方向移动一定距离。
平移变换不改变图形的形状和大小，只改变了其位置。
设图形上的点坐标为(x, y)，平移变换后的新坐标为(x', y')，则有以下公式：x' = x + ay' = y + b其中，a和b分别表示平移的水平和垂直距离。
在平面几何中，平移变换可以通过将所有点坐标加上相同的位移矢量来实现。
二、旋转变换旋转变换是指将图形绕某一点或绕原点按一定角度旋转。
旋转变换改变了图形的方向和位置，但不改变其大小和形状。
设图形上的点坐标为(x, y)，旋转中心为(cx, cy)，旋转角度为θ，则旋转变换后的新坐标为(x', y')，可以通过以下公式计算：x' = (x - cx) * cosθ - (y - cy) * sinθ + cxy' = (x - cx) * sinθ + (y - cy) * cosθ + cy其中，cosθ和sinθ分别表示旋转角度的余弦和正弦值。
通过调整旋转角度可以实现图形的顺时针或逆时针旋转。
三、缩放变换缩放变换是指通过改变图形的尺寸来实现对图形的变换。
缩放变换可以使图形变大或变小，但图形的形状和位置保持不变。
设图形上的点坐标为(x, y)，缩放中心为(cx, cy)，水平和垂直缩放比例分别为sx和sy，则缩放变换后的新坐标为(x', y')，计算公式如下：x' = (x - cx) * sx + cxy' = (y - cy) * sy + cy通过调整sx和sy的值，可以实现图形的水平或垂直方向上的缩放。
计算机图形学简明教程_第4章
u x U u y u x e1 u y e2 u z e3 u z
2 2 2 U ux u y uz
计算机处理图形的过程
模型坐标系：为了方便建立图形的数字模型，常常 根据它的几何形状选择坐标系，因此在图形的处理 过程中，每个图形模型都有自己的坐标系，这个坐 标系称为模型坐标系或局部坐标系 世界坐标系：一个图形场景往往有多个图形组成， 为了描述它们之间的关系，需要把它们置于一个统 一的坐标系中，该坐标系称为世界坐标系。
(4.3)
0 x 0 y sz z
U V 0 U V
V 图4.3 U· V即U在V上的投影乘以V 的模
由以上可得点乘的如下性质: 也就是说两个互相垂直的矢量(矢量正交)的点乘为0
4.1.2 矢量-矢量的叉乘
(6)矢量别为ox,oy,oz轴的单位向量.
cij ail blj
l 1 n
4.1.3 矩阵－单位矩阵和矩阵的转置
（4）单位矩阵
– n阶矩阵主对角线元素均为1, – 其余各元素均为0, – 该矩阵为n阶单位矩阵,记为In.
1 0 I4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（5）矩阵的转置
4.1.2 矢量-矢量和、数乘
设有任意两个三维矢量 (1)矢量和见图4.2
u x v x U V u y v y u z v z
u x U u y u z
V U+V θ (0,0,0)
v x V v y v z
计算机图形学--实验四-几何变换
贵州大学实验报告
学院：计算机科学与信息学院专业：软件工程班级： 102班姓名学号实验组实验时间指导教师成绩实验项目名称实验四几何变换
实
验目的掌握二维图形的几何变换的基本原理。
二维图形的基本几何变换：位置改变（平移、旋转）和变形（缩放、错切，反射、投影等）以及复合变换。
了解三维图形的错切变换
实验要求根据本实验的特点、要求和具体条件，掌握二维图形的几何变换的基本原理，了解三维图形的错切变换，并成功编写测试代码进行实验。
1.设有一三角形ABC,其中三个顶点为A(5,10),B(1,2),C(8,5)，如三角形的顶点A不变，将AB和AC边缩小一倍后，求缩小后的三角形对于直线-2x+4y+3=0的对称变换后的结果图。
2．将一四边形以原点为中心，以15°为间隔旋转。
3.在三维坐标中，对长度为1的标准立方体做错切变换，错切单位为2；
实验原理一、实验原理：标准齐次坐标(x,y,1) 二维变换的矩阵表示
平移变换
旋转变换
[][][]),(
1
1
1
1
1
1
y
x
y
x
t
t
T
y
x
t
t
y
x
y
x⋅
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
'
'记为
[][][]
cos sin0
1x y1sin cos01()
001
x y x y R
θθ
θθθ
⎡⎤
⎢⎥
''=-=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
记为。
计算机图形学第讲图形变换详解演示文稿
3
第3页，共46页。
本讲内容
齐次坐标表示法
常见的二维图形几何变换
平移变换 比例变换 旋转变换 对称变换 错切变换
变换矩阵的功能分区 图形的复合变换
4
第4页，共46页。
齐次坐标表示法
将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量表示
(x1, x2 ,..., xn )
a
1
0
y
y
ax
1 0 0 1 1 1
➢ 简写为： p = Tp
x
26
第26页，共46页。
本讲内容
齐次坐标表示法 常见的二维图形几何变换
平移变换 比例变换 旋转变换 对称变换 错切变换
变换矩阵的功能分区
图形的复合变换
27
第27页，共46页。
变换矩阵的功能分区
变换矩阵可用3×3矩阵来描述
连续平移变换
得到连续平移变换的复合矩阵T为：
1 0 tx2 1 0 tx1 1 0 tx2 tx1
T T2T1 0
1
t
y
2
0
1
t
y1
0
1
tx
2
t
y1
0 0 1 0 0 1 0 0 1
即连续的平移变换是平移量的相加
37
第37页，共46页。
连续比例变换
设点P(x,y)经过第一次比例变换T1(Sx1,Sy1)和第二次比 例变换T2(Sx2,Sy2)后的坐标为P'' (x'',y'')
y
'
y
Ty
0
1
Ty
y
1 1 0 0 1 1
几何变换的基本概念与操作
几何变换的基本概念与操作几何变换是计算机图形学中的重要概念，它可以将一个图形对象从一个位置、方向或大小变换到另一个位置、方向或大小，通过不同的变换操作，可以实现各种形状和位置的变化。
本文将介绍几何变换的基本概念和操作，包括平移、旋转、缩放和反射四种变换。
一、平移平移是指将图形对象按照指定的向量在平面内沿着直线移动，其作用是改变图形对象的位置而不改变其形状和大小。
平移操作可以用一个向量表示，向量的坐标分别表示在x轴和y轴方向上的移动距离。
平移操作的数学表达式如下：```P' = P + T```其中，P表示原始点的坐标，P'表示平移后点的坐标，T表示平移向量的坐标。
二、旋转旋转是指将图形对象按照指定的角度围绕一个中心点旋转，其作用是改变图形对象的方向而不改变其形状和大小。
旋转操作可以用一个角度表示，角度的正负决定了旋转的方向。
旋转操作的数学表达式如下：P' = R * P```其中，P表示原始点的坐标，P'表示旋转后点的坐标，R表示旋转矩阵。
三、缩放缩放是指将图形对象按照指定的比例在水平和垂直方向上进行放大或缩小，其作用是改变图形对象的大小而不改变其形状。
缩放操作可以用一个缩放因子表示，缩放因子大于1表示放大，缩放因子小于1表示缩小。
缩放操作的数学表达式如下：```P' = S * P```其中，P表示原始点的坐标，P'表示缩放后点的坐标，S表示缩放矩阵。
四、反射反射是指将图形对象按照指定的轴线进行镜像翻转，其作用是改变图形对象的位置和方向而不改变其形状和大小。
反射操作可以用一个轴线表示，轴线可以是水平、垂直或任意一条直线。
反射操作的数学表达式如下：P' = M * P```其中，P表示原始点的坐标，P'表示反射后点的坐标，M表示反射矩阵。
综上所述，几何变换是计算机图形学中的重要概念，通过平移、旋转、缩放和反射四种基本操作，可以实现对图形对象的位置、方向和大小的变化。
几何变换的应用
几何变换的应用几何变换是数学中一个重要的概念，它用于描述在几何空间中的图形在某种变化下的形态和位置的变化。
几何变换具有广泛的应用，既能够解决实际问题，又能够帮助我们理解几何形态和结构的特性。
在本文中，我们将探讨几何变换在计算机图形学、计算机视觉、遥感技术和艺术设计等领域中的应用。
一、计算机图形学中的几何变换在计算机图形学中，几何变换是实现图形变形和动画效果的重要手段之一。
常见的几何变换包括平移、旋转、缩放和错切等操作，通过对图形的顶点坐标进行变换，可以实现图形在屏幕上的位置和形态的改变。
平移是一种简单的几何变换，通过改变图形的位置，可以使其在屏幕上沿特定方向平移。
旋转是将图形绕固定点进行旋转的操作，可以实现图形的旋转效果。
缩放是通过改变图形的尺寸，可以使其变大或变小。
错切是将图形沿着特定方向进行拉伸的操作，可以实现图形的错切效果。
这些几何变换在计算机图形学中广泛应用于三维建模、计算机动画和虚拟现实等领域。
通过变换矩阵的运算，可以高效地实现各种复杂的图形变换和动画效果，使得计算机生成的图像更加逼真和生动。
二、计算机视觉中的几何变换在计算机视觉领域，几何变换常常用于图像处理和模式识别任务中。
例如，通过对图像进行平移、旋转和缩放等几何变换，可以实现图像的对齐和校正，提高图像处理和模式识别算法的准确性和鲁棒性。
几何变换还可以应用于图像拼接和全景图像生成等任务中。
通过将多幅图像进行几何变换和融合，可以生成具有更广视角和更高分辨率的全景图像。
这在旅游、地理信息系统和虚拟现实等领域具有重要的应用价值。
三、遥感技术中的几何变换遥感技术是通过对地球表面进行感知和观测，获取地球表面信息的技术。
其中，几何变换是遥感图像处理的重要环节之一。
遥感图像通常受到不同观测角度、地形起伏和大气扰动等因素的影响，因此需要进行几何校正和几何变换，以实现图像的精确配准和几何校正。
几何变换在遥感图像处理中的主要应用包括地表变形分析、地物提取和图像融合等任务。
几何变换的认识与计算方法
几何变换的认识与计算方法几何变换是指通过一系列的转换操作对几何图形进行位置、形状或大小的改变。
在计算机图形学和计算机视觉中，对几何图形进行变换是非常重要的。
本文将介绍几何变换的基本认识和常用的计算方法。
一、几何变换的基本认识1. 平移变换：平移变换是将图形沿着平行于原来位置的方向移动，只改变了图形的位置不改变其形状和大小。
平移变换的计算方法是将图形的每个点的坐标都加上一个平移向量来实现。
2. 旋转变换：旋转变换是将图形绕某个旋转中心按一定角度进行旋转，改变了图形的位置和形状。
旋转变换的计算方法可以使用旋转矩阵或三角函数来实现。
3. 缩放变换：缩放变换是通过改变图形的大小实现的。
缩放变换可以按照比例进行放大或缩小，也可以按照不同方向进行不等比例变换。
缩放变换的计算方法是将图形的每个点的坐标都乘上一个缩放因子来实现。
4. 对称变换：对称变换是通过图形的镜像对称来实现的。
对称变换可以是关于一个点、一条直线或一个平面的对称。
对称变换的计算方法是将图形的每个点的坐标按照对称轴进行变换来实现。
二、几何变换的计算方法1. 点的表示：在进行几何变换计算时，需要使用点的坐标来表示图形的位置。
通常使用二维坐标系中的(x, y)来表示点的位置，或者使用齐次坐标来表示点的位置。
2. 矩阵表示：几何变换可以通过矩阵的形式来表示和计算。
不同的几何变换对应着不同的变换矩阵，通过将变换矩阵与点的坐标进行相乘，可以得到变换后的点的坐标。
3. 坐标变换：在进行几何变换计算时，需要将图形的坐标系进行变换，使得变换后的点和变换前的点保持相对位置不变。
常见的坐标变换包括平移变换、旋转变换和缩放变换。
4. 变换顺序：多个几何变换可以按照不同的顺序进行组合，得到不同的效果。
在进行几何变换时，需要注意变换的顺序对最终结果的影响。
5. 变换矩阵的求解：针对不同的几何变换，可以通过数学方法求解得到相应的变换矩阵。
例如，对于平移变换，只需要将平移向量作为变换矩阵的一部分；对于旋转变换，可以使用旋转矩阵或三角函数来求解变换矩阵。
几何变换的概念与分类
几何变换的概念与分类几何变换（Geometric transformation）是指在几何空间中，通过一系列数学操作改变图形的形状、大小、位置或方向的过程。
几何变换是解决计算机图形学、计算机视觉和几何建模等领域中的重要问题之一。
本文将介绍几何变换的概念与分类，以及具体的应用案例。
一、概念几何变换是通过对图形进行一系列数学操作来改变其属性的方法。
常见的几何变换包括平移（Translation）、旋转（Rotation）、缩放（Scaling）和翻转（Reflection）等。
其中，平移是指在平面或者空间中保持图形大小和形状不变的情况下，仅改变图形的位置；旋转是指绕某一点或某一轴将图形按一定角度进行旋转；缩放是指通过乘以一个比例因子来改变图形的大小；翻转是指将图形关于某一轴进行对称。
二、分类根据几何变换的性质和特点，可以将几何变换分为刚体变换和仿射变换两大类。
1. 刚体变换刚体变换（Rigid transformation）是指变换过程中保持图形大小、形状和相对位置不变的几何变换。
常见的刚体变换包括平移和旋转。
平移是通过改变图形的位置来实现，旋转则是通过围绕某一点进行旋转来实现。
刚体变换可以应用于很多领域。
例如，在计算机动画中，通过对角色模型进行平移和旋转，可以实现动作的平移和旋转效果；在机器人运动规划中，通过对机器人进行平移和旋转来规划其路径。
2. 仿射变换仿射变换（Affine transformation）是指在变换过程中图形的边长比例和平行性质保持不变的几何变换。
除了平移和旋转，仿射变换还包括缩放和翻转。
缩放是通过改变图形的大小来实现，翻转则是通过关于某一轴进行对称来实现。
仿射变换是计算机图形学、计算机视觉和几何建模等领域中非常重要的变换方式。
例如，在图像处理中，通过对图像进行仿射变换可以实现图像的旋转、缩放和翻转效果；在地理信息系统（GIS）中，通过对地图进行仿射变换可以实现地图的伸缩和旋转。
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10
§4.1.1 基本变换：平移变换
齐次坐标 Homogeneous Coordinate
二次矩阵变换:
a T c
b d
•
二次矩阵变换不能进行平移变换，所以需要齐次矩阵变换
其中T 为：
[x
y
a 1] c k
b d [ax cy k m
0 d1 * d1 1
0 0 0
22
§4.1.2 二维复合变换
(3)复合旋转
T T1 *T2
cos1 sin 1 0 sin cos 0 1 1 0 1 0
cos 2 sin 2 0
sin 2 cos 2 0
U
V
U· V即U在V上的投影乘以V的模
5
变换的数学基础
矢量的叉积
i vx
j uy vy
k u z b1i b2 j b3k vz
U V ux
b1 u y vz vyuz , b2 vxuz uxvz , b3 uxvy vxu y
叉乘的性质如下: (1). U V U V sinθ (2). 矢量 U×V垂直于矢量U 和V，三矢量的方向遵从右手系。
由于矩阵乘法不满足交换率, A B B A 级联的顺序不同,最终的图形不同
24
§4.1.2 二维复合变换
(5)绕平面上任意点P(m,n)的二维旋转变换
P(m,n)
P(m,n)
P(m,n)
P(m,n)
0
0
（ 1）
0
（ 2）
0
（ 3）
25
§4.1.2 二维复合变换
绕平面上任意点P(m,n)的二维旋转变换矩阵
a T 0
0 d
15
§4.1.1 基本变换：缩放变换
缩放变换
Translate
Scale
Restore
16
§4.1.1 基本变换：反射变换
Method：1. 对坐标轴的对称变换
[ X Y] T = [-X Y] = [X’ Y’]
2. 对原点对称变换
[ X Y] T = [-X -Y] = [X’ Y’]
关于任意轴的对称变换
30
第4章：图形几何变换
1 2 • 二维几何变换
• 三维几何变换 • 图形几何变换的模式
3
Computer Graphics
31
§4.3.1 三维基本变换
（1）平移变换 指空间的立体从一个位置移动到另一位置时，其形状、大 小都不发生变换的变换。
y’ y y
1 0 0 1 T 0 0 l m
(6)对任意直线的对称变换 3.图形对直线的对称变换 变成对x轴的对称变换 4.让直线绕原点逆时针旋转角， 恢复到原来的倾斜位置
1 0 0 T3 0 1 0 0 0 1
5.将直线平移回原来的位置 组合变换矩阵
cos T4 si n 0
0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 m1 m2 n1 n2 m2 n2 1
0 0 1
T T1 *T2
a1 0 0 0 d 0 1 0 0 1
a2 0 0 a1 * a2 0 d 0 2 0 0 0 1 0
x ' ax cy
y ' bx dy;
变换后的位置矢量矩阵
x'
y' x
a b y ax cy bx dy c d
9
位置矢量矩阵
§4.1 二维几何变换
基本变换的种类有：
平移 旋转 缩放 反射 错切
Translation Rotation Scaling Reflection Shear (Skew)
vx V v y vz
矢量和
u x vx U V u v y y u z vz
3
变换的数学基础
矢量的数乘
kux k U ku y kuz
矢量的点积 性质
* 先旋转,再平移
cos sin 0 1 0 0 T1 sin cos 0 0 1 0 0 1 0 m n 1 cos sin 0 sin cos 0 n 1 m
sin cos
13
§4.1.1 基本变换：旋转变换
旋转变换
14
§4.1.1 基本变换：缩放变换
Method:
[ X Y] T = [aX dY]= [X’ Y’]
Implementation:
for ( int i=0;i<m_PN;i++) { // translate to screen centre ( 400,300) p[i].x = p[i].x-400; p[i].y = 300-p[i].y; p[i].x = p[i].x*sdlg.m_ScaleX; p[i].y = p[i].y*sdlg.m_ScaleY; // restore the original coordinate. p[i].x = p[i].x+400; p[i].y = 300-p[i].y; } PolyLine(p,m_PN); // draw the scaled poly line.
计算机图形学
Computer Graphics
第4讲：图形几何变换
1
目录
CONTENTS
01 绪论
02 图形系统 03 二维图形生成
04 图形几何变换 05 二维观察
06 三维观察
07 三维对象 08 真实感图形技术 09 交互技术 10 计算机动画
2
变换的数学基础
矢量
u x U u y u z
其中T 为：
1 T c
b 1
c 和 b 之一为 0。
19
§4.1.1 基本变换：错切变换
错切变换
原图
c 3/3
30º
错切 c = tan
20
§4.1.1 基本变换：变换通式
33齐次变换矩阵：仿射变换
该矩阵可实现： 比例、对称、错切、旋转等基本变换。 [k m] 可实现平移变换。 [p q]T 还可实现透视变换。
bx dy m]
11
§4.1.1 基本变换：平移变换
平移变换
原图
移动后
12
§4.1.1 基本变换：旋转变换
Method：
[ x y] T = [x cos -y sin x sin +y cos ] = [x’ y’]
其中T 为：
cos T sin
sin cos 0
sin cos
0 0 1
1 0 0 0 1 0 m n 1
0 0 1
n m sin n cos
27
(6)对任意直线的对称变换 F’ 设直线方程 Ax+By+C =0 E’ 则：x轴上的截距为 -C/A y轴上的截距为 -C/B 斜率为 -A/B E
26
§4.1.2 二维复合变换
绕平面上任意点 p(m,n)的二维旋转变换的总变换矩阵
0 0 cos 1 sin T＝ T1*T2*T3 = 0 1 0 0 m n 1
cos sin = m m cos n sin
0 0 1
cos(1 2 ) sin(1 2 ) 0 sin( ) cos( ) 0 1 2 1 2 0 0 1
23
§4.1.2 二维复合变换
(4)级联顺序对组合变换的影响 * 先平移,再旋转
1 0 0 cos T1 0 1 0 sin m n 1 0 cos sin m cos n sin sin cos 0 sin cos m sin n cos 0 0 1 0 0 1
a b p T c d q k m 1
21
§4.1.2 二维复合变换
复合变换:由多个基本变换的连续实施而成的复杂变换,又称基本变换的级连.
(1)复合平移
T T1 *T2
(2)复合比例
1 0 0 0 1 0 m1 n1 1
0 0 1 1.将图形从点P(m,n)平移到原点O T1 0 1 0 m n 1 cos sin 0 2.绕原点旋转 T2 sin cos 0 0 1 0
3. 将图形从原点平 0 m n 1
U×V V
力F
A作用点
h U
θ
支点O
力臂l
6
变换的数学基础
矩阵的含义 矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个整体，简称m×n矩阵。
a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... a m 1 a m 2 ... a mn
U V uxvx u y vy uz vz
U V V U U V 0 U V U U 0 U 0
4
变换的数学基础
矢量的长度
2 2 U U U ux u y uz 2
单位矢量 矢量的夹角
U V cos U V
θ
si n cos 0