12.7分数指数幂教案
高中数学《分数指数幂》精品公开课教案
分数指数幂（教师叙述：同学们，这一节课我们来学习分数指数幂.这一节课的主要活动还是大家先自学，自己归纳出结论，老师再提示，希望同学们能集中精力，集中注意力，认真学习） （教师叙述：我们知道，有理数分为整数和分数，我们在初中的时候学习过整数指数幂，也学习了它的有关性质，这一节课我们来学习分数指数幂，来研究它的一些性质.我们这一节课的目的就是把指数幂从整数指数幂推广到有理数指数幂） 一、【学习目标】（约2分钟）（教师注意：这一节课还是主要是学生自我的讨论，最后自己总结归纳出结论，老师重要的是引导，而不是讲解）（自学引导：这一节课关键是理解、认知分数指数幂含义，做好预习是关键） 1、初步理解认知分数指数幂的含义；2、会利用分数指数幂的基本知识解决简单的计算推理问题；3、渗透从特殊到一般的数学归纳思想.【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生明确任务，认真学习. 二、【自学内容和要求及自学过程】（约25分钟）（自学引导：通过整数指数幂逐步归纳出分数指数幂的运算性质）（教师注意：下面的学习过程是通过整数指数幂逐步的归纳出分数指数幂的过程，如果把握的好的话，那么整个课程将是行云流水一般的顺畅，要是把握不好就只能流于形式，这关键是老师的一个定力问题）阅读教材第50—51页内容，回答下列问题（约15分钟） <1>整数指数幂的运算性质是什么？ <2>观察以下式子,并总结出规律：(a ＞0) ①510a =552)(a =a 2=a510；②8a =24)(a =a 4=a 28；③412a=443)(a =a 3=a412；④210a=225)(a =a 5=a210.<3>利用<2>的规律,你能表示下列式子吗？435,357,57a ,n m x (x>0,m,n ∈N *,且n>1).<4>你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？<5>你能推广到一般的情形吗？ 结论：<1>整数指数幂的运算性质：a n=a ·a ·a ·…·a,a 0=1(a ≠0)；00无意义；a -n=n a1(a ≠0)；a m ·a n =a m+n ；（a m )n =a mn；(a n )m=a mn；(ab)n=a n b n；<2>①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根. 实质上①510a=a510,②8a =a 28,③412a=a412,④210a=a210结果的a 的指数是2,4,3,5分别写成了510,28,412,510,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）；<3>利用<2>的规律,435=543,357=735,57a =a 57,n mx =x nm<4>53的四次方根是543,75的三次方根是735,a 7的五次方根是a 57,x m的n 次方根是x nm ,结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.<5>如果a>0,那么a m的n 次方根可表示为na m=a n m ,即a nm =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1).【综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义】规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1).思考：<1>类比正数的正分数指数幂，正数的负分数指数幂的意义是什么？零的分数指数幂的意义是什么？<2>指数的概念从整数指数推广到了有理数指数后，有理数指数幂的运算性质是什么？结论：<1>正数的负分数指数幂的意义是 amn =mn a1=nma 1(a>0,m,n ∈N *,n>1)；零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.<2>有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:①a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ),②(a r )s =a rs(a>0,r,s ∈Q ),③(a ·b)r=a r b r(a>0,b>0,r ∈Q ).(教师注意：这一部分学生可能会问到为什么要规定a>0。
《分数指数幂》教学设计
教学设计：《分数指数幂》教学目标〖知识与技能〗（1） 理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。
（2） 会对根式、分数指数幂进行互化。
（3） 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。
〖情感、态度与价值观〗通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。
教学重难点根式、分数指数幂的概念及其性质。
教学情景设计1、复习讨论（1）根式的相关概念（2）整数指数幂：a a a a n⨯⨯⨯= 运算性质：n n n mn n m nm nmb a ab a a a a a ===⋅+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。
2、问题情境设疑问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP =，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。
例如：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为21，2)21(，3)21(，…… 21，2)21(，3)21(，……是正整数指数幂。
当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(。
设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ 问题2：如何计算：322⨯？ 分析：66236263332222222=⨯=⨯=⨯，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？3、分数指数幂 实例引入：5102552510)(a a a a===，4123443412)(a a a a===问题：1、从以上两个例子你能发现什么结论？当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成根指数被开方数的指数a的形式2、4532,,c b a 如何表示？ 结论：规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm问题3、正数的负分数指数幂是：)1,,,0?(*>∈>=-n N n m a a nm分析：)1,,,0(1*00>∈>===--n N n m a a aa a anmnm nm nm如：3434515=-，)0(13232>=-a aa。
12.7 分数指数幂(1)
12.7 分数指数幂（1）教学目标1、理解分数指数幂的意义；能将方根与指数幂互化，体会转化思想.2、能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算. 教学重点及难点重点：理解分数指数幂的意义，能将方根与指数幂互化. 难点：能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算. 教学用具准备教具、学具、多媒体设备 教学流程设计教学过程设计一、 情景引入1．回顾加法与减法互为逆运算，按照“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减法可以转化为加法；同样，除法也可以转化为乘法.那么对互为逆运算的乘方与开方，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算呢？ 2．思考：把32表示为2的m 次幂的形式解：假设m 223=成立，那么333)2()2(m = 左边=21，右边=m 32要使 左边=右边 成立，则13=m ，即31=m所以31322=[说明] 因为2的任何整数指数幂都是有理数，而32是一个无理数，可知m 不是整数.因此必须将指数的取值范围扩大，才有可能把32表示为m 2的形式. 3．讨论通过31322=的转化，学生讨论方根与幂的形式如何互化？二、学习新课1．概念辨析（1）分数指数幂)0(1)0(>=≥=-a a aa a a nm nmn m nm （其中m 、n 为整数，1>n ）.上面规定中的nm a 和nm a -叫做分数指数幂，a 是底数. [说明] 指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.方根与幂的形式互化过程，以如下表格说明注意事项：整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂. （3）有理数指数幂的运算性质：设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么 （ⅰ）q p q p a a a +=⋅，q p q p a a a -=÷ （ⅱ）pq q p a a =)(（ⅲ）pppb a ab =)(，p pp ba b a =)(2．例题分析例1 把下列方根化为幂的形式： （1）35； （2）3251；（3）435； （4）49 解：（1）31355=（2）3232551-=（3）434355=（4）)3339(992142424414＝＝＝或=例2 计算：（1）4181； （2）31)81(；解：（1）333)3(81141441441====⨯（2）21)21(])21[()81(31331331===⨯3．问题拓展例3 计算：（1）31)278(⨯； （2）212182⨯ 解：（1）6632)32()278(313313313331＝＝）＝（⨯⨯⨯⨯=⨯ （2）44416828221221221212121＝＝）＝（＝）＝（⨯⨯⨯[说明] 在教学中，要注意以下几点：（1）例1为开方运算向乘方运算转化.在方根转化为幂指数的形式中，根指数在幂指数中作分母，这是学生容易出错的地方，应引起注意. （2）例2利用有理数指数幂的运算法则进行计算，与整数指数幂的运算法则进行比较，这样学生比较容易理解.（3）例3是为了熟练有理数指数幂的运算性质，两小题分别是积的乘法公式互逆运用的举例，其中（1）题解法也可以化成（2）题进行这样计算：632)3()2(2783133133131=⨯=⨯=⨯.三、巩固练习1、课本P 练习12.7（1）2、把下列方根化为幂的形式： （1）46 （2）537 （3）4331（4）325-3、计算： （1）62131)23(-⨯ （2）384323)52(⨯（3）2146)53(⨯ （4）313193⨯四、课堂小结带领学生总结本课知识的过程中，提出两点要求：1、在理解分数指数幂意义的基础上能熟练将方根与指数幂互化；2、能在简单运算中熟练地综合运用有理数指数幂的性质（同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方）进行计算，法则不变.五、作业布置练习册P12-13，习题12.7（1）教学设计说明分数指数幂的产生是运用转化思想获得成功的范例.本节开头所述，减法可转化为加法运算，除法可以转化为乘法运算，因此试图将开方运算转化为乘方运算.在保持整数幂运算性质的前提下，探讨指数的范围，从而产生了分数指数幂.在教学中例题的选择上由浅入深，由概念的理解到运算性质的熟练运用，计算题的设计也是由易到难，并与整数指数幂的运算法则进行比较，这样学生比较容易理解，能够轻松掌握此部分知识点.。
12.7(2).分数指数幂
§12.6 实数的运算（2）一．智慧航标 姓名________ 预习等级____【学习目标】1、初步掌握有理数指数幂的法则和运算性质，初步会用幂的运算性质进行计算；2、会利用计算器进行有关幂的运算。
【学习重点、难点】运用有理数指数幂的运算性质进行计算。
二、智慧启航：（一）复习旧知（1）__________33710=⨯，运用的性质名称： 。
（2）__________33710=÷，运用的性质名称： 。
（3）___________3(210=），运用的性质名称： 。
（4）_____________)3(310=x ，运用的性质名称： 。
（5）__________313=⎪⎭⎫ ⎝⎛--，()___________120=-（二）阅读课本p33~p34，认真思考下列问题。
1、有理数指数幂同样有下列的运算性质：设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么（1） =⋅qp a a ， =÷qpa a（2）=qp a )(（3）=pab )( ，=pba )(2、例题分析和巩固练习 例题1：计算（1）()31278⨯ ()2121822⨯（3）3313264-⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷ （4）314323255⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-练习1、计算（1）4212153⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ ()23234532⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯（3）()212232÷ （4）6213132⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷例题2、计算（结果表示为含幂的形式）（1）213255⨯ （2）6631÷()413283-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （4）()6133412⨯练习2、计算：（结果表示为含幂的形式）（1）326199⨯ （2）24177⨯ （3）324127-⎪⎪⎭⎫⎝⎛（4）()615523⨯ （5）212155⨯-（6）3212132-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷三、小结。
分数指数幂的教案
分数指数幂的教案(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--分数指数幂的教案分数指数幂的教案教学目标：1．理解正数的分数指数幂的含义，了解正数的实数指数幂的意义；2．掌握有理数指数幂的运算性质，会进行根式与分数指数幂的相互转化，灵活运用乘法公式幂的运算法则进行有理数指数幂的运算和化简．教学重点：分数指数幂的含义及有理数指数幂的运算和化简．教学难点：分数指数幂含义的`理解；有理数指数幂的运算和化简．教学过程：一、情景设置1．复习回顾：说出下列各式的意义，并说出其结果（1）?（2）（3）（4）2．情境问题：将25，24推广到一般情况有：（1）当为偶数时，；（2）当为n的倍数时，．如果将表示成2s的形式，s的最合适的数值是多少呢？二、数学建构1．正数的正分数指数幂的意义：（）2．正数的负分数指数幂的意义：（）3．有理数指数幂的运算法则：，?，三、数学应用（一）例题：1．求值：（1）；（2）；（3）（4）2．用分数指数幂的形式表示下列各式（式中a＞0）（1）；（2）；（3）（4）小结：有理数指数幂的运算性质．3．化简：；4．化简：（1）（2）．5．已知求的值．（二）练习：化简下列各式：1．；2．；3．(a＞0，b＞0)4．当时，求的值四、小结：1．分数指数幂的意义；2．有理数指数幂的运算性质；3．整式运算律及乘法公式在分数指数幂运算中仍适用；4．指数概念从整数指数幂推广到有理数指数幂，同样可以推广到实数指数幂．五、作业：课本P63习题（1）2，4，5．。
沪教版(上海)数学七年级第二学期12.7分数指数幂(第一课时) 教案
12.7分数指数幂（第一课时）一、教学目标1.理解乘方和开方运算可以相互转化，理解分数指数幂的意义.2.经历乘方和开方运算相互转化的过程，感受从整数指数幂到分数指数幂，拓展到有理数指数幂.3.掌握方根和分数指数幂相互转化的方法，体会转化思想.二、教学重点、难点1. 重点：方根和分数指数幂相互转化的方法2. 难点：负分数指数幂的理解；三、教学方法观察发现、启发引导、探索相结合的教学方法。
启发、引导学生积极的思考并对学生的思维进行调控，帮助学生优化思维过程；在此基础上，提供给学生交流的机会.四、教学过程教学环节教学过程设计意图（一）复习旧知1. 幂运算：()03-；()2-3；()322-⎥⎦⎤⎢⎣⎡2. 根据实数运算的性质，完成计算（1）()55--53-（2）3555÷配合媒体由学生表述思考的过程.教师引导学生总结减法运算可转化为加法，除法运算可转化.为乘法，那么对32对2开立方这样的开方运算能否转化为乘方形式的运算？通过简单的计算低起点的引入，让每一位学生都能听明白。
总结减法与加法；除法与乘法之间的转化，自然而然引出开方与乘方之间的转化，引发学生的思考.（二）探究新知1. 把32表示为2的m次幂的形式小组讨论：m的值可能为整数吗？为什么？启发引导师生共同完成：假设32=2m成立，那么333(2)(2)m=思路一：322m=，31m=，13m=，所以31322=思路二：113331333(2)2, (2)222⨯====，所以31322=经历开方运算转化为乘方运算的过程，体会转化思想.让学生感受到根式可以表示成幂的形式，并且幂的指数是一个分数.用不同的思路解决322m=的形式，让学生感受到数学知识的严密性，认识到整数指数幂的运算法则在有理数指数幂中同五、板书设计12.7分数指数幂（1）规定: 例1()()1010>⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫>=≥=-n n m a a a a a a n m n m nm nm是正整数，，其中分数指数幂。
12.7 分数指数幂(2)
12.7 分数指数幂（2）教学目标1、熟练运用有理数指数幂的性质进行计算.2、通过分数指数幂的学习，能进一步掌握乘方与开方的相关运算. 教学重点及难点重点：熟练运用有理数指数幂的性质进行计算. 难点：运用方根与幂的互化进行乘方与开方运算. 教学用具准备教具、学具、多媒体设备 教学流程设计教学过程设计一、 复习引入（1）分数指数幂)0(1)0(>=≥=-aa aaa a n m nmn m nm （其中m 、n 为整数，1>n ）.其中nma 和nm a -叫做分数指数幂，a 是底数.（2）有理数指数幂整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂.（3）有理数指数幂的运算性质：设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么 （ⅰ）q p q p a a a +=⋅，q p q p a a a -=÷ （ⅱ）pq q p a a =)(（ⅲ）pppb a ab =)(，p pp ba b a =)(二、学习新课1．例题分析例1 用计算器，计算（保留三位小数）： （1）313254⨯； （2）322328÷； （3）4212153）＋（； （4）2314346）（⨯解：（1）309.454543323132≈⨯⨯＝（2）254.1428283233223≈÷÷＝（3）935.2475353442121≈）＋＝（）＋（ （4）034.37464646323322323143≈⨯=⨯=⨯）（例2 计算（结果用幂的形式表示）： （1）213255⨯； （2）6631÷；（3）4132)8(-； （4）6133)412(⨯解：（1）67213221325555==⨯+（2）32131316666--==÷（3）61)41(32413288)8(--⨯-==（4）21361613348)412()412(=⨯=⨯⨯例3 利用幂的运算性质计算：（1）366⨯； （2）43)22(⨯； （3）3274⨯； （4）3218÷ 解：（1）6653121312137776666666===⨯=⨯+；（2）431421431214322)22()22(⨯⨯⨯=⨯=⨯313342222+=⨯=33132822=⨯=（3）452143214134333)3(327==⨯=⨯+4411333==+（4）31213121332232)23(218÷⨯=÷⨯=÷6613121232323=⨯=⨯=-2．问题拓展例4、利用幂的运算性质计算： （1）312121)9121(- （2）22121)32(+（3）43)24(⨯ （4）3723÷解：（1）283119121)9121(333312121==-=-=-（2）6253622)32()32(222121+=++=+=+（3）4674213242132432)2()22()24(⨯+==⨯=⨯33244162==+另解：原式=33122311421431416424)2()4(==⨯=⨯++（4）213221312333323)32(372÷⨯=÷⨯=÷6612132323232=⨯=⨯=-[说明]1、例1为幂运算化简后再转化为方根，用计算器得到结果.是利用方根的运算方法，对指数幂进行近似计算.结果按精确度要求完成.2、例2是为了熟练有理数指数幂的运算性质，其中（3）、（4）结果可以不作进一步化简.3、例3利用幂的性质解决根式的运算问题，让学生体验运用有理数指数幂进行计算的便捷.4、例4在学生能运用幂的性质解题时，给出（1）（2）两小题进行区别，强调解题时审题清楚，概念明确.5、对含有方根的算式，利用幂的运算性质进行计算时，所得结果中如有分数指数幂一般应化为方根.三、巩固练习1、课本P34练习12.7(2)2、计算：（1）22121)32(- （2）2212122121)32()32(-+ （3）312121312121)32()32(-+ （4）2212122121)32()32(--+3、利用幂的运算性质计算：（1）3723⨯ （2）43)216(÷四、课堂小结带领学生总结本课知识的过程中，提出两点要求： 1、熟练运用有理数指数幂的性质进行计算.2、通过运用方根与幂的互化，进一步掌握乘方与开方的相关运算.五、作业布置练习册P13-14习题12.7(2) 教学设计说明实数的运算，是初中数学的基本知识和基本技能的重要组成部分.分数指数幂的出现为n 次方根的计算提供了新的途径.在教学中例题的选择上由浅入深，首先学生要掌握使用计算器进行分数指数幂的加减乘除、乘方运算，例题解法提供了转化为方根形式用计算器计算取近似值，也可以介绍利用计算器中乘方、分数按钮进行直接计算.幂的运算性质的熟练运用，计算题的设计也是分两类，一类是题目给出就是分数指数幂的形式，直接利用幂的运算性质；另一类是题目给出方根形式，但由于根指数不同，不能直接用前面所学的公式：ab b a =⋅，bab a =，其中0>a ，0>b ，但被开方数相同，或被开方数中含有相同的因数，因此这类题需转化分数指数幂的形式，利用运算性质解题.最后，在问题拓展中给出其它类型的题与前面的例题加以区别，要求学生能够具体问题具体分析.。
分数指数幂运算教案
分数指数幂运算教案Teaching plan of fractional exponential power operation编订：JinTai College分数指数幂运算教案前言：本文档根据题材书写内容要求展开，具有实践指导意义，适用于组织或个人。
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2.1.1.2 分数指数幂的运算一、内容及其解析（一）内容：分数指数幂的运算。
（二）解析：本节课要学的内容有分数指数幂的概念以及运算，理解它关键就是能够利用次方根概念转化到分数指数幂的形式。
学生已经学过了根式概念和运算性质，对于转化到分数指数幂的形式难度不大，本节课的内容分数指数幂就是在此基础上的发展。
由于它还与有理数指数幂有必要的联系,所以在本学科有着比较重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的一般内容内容。
教学的重点是利用次方根的性质转化成分数指数幂的形式，在利用有理数指数幂的运算性质化简指数幂的算式，所以解决重点的关键是利用分数有理指数幂的运算性质的'运算性质，计算、化简有理数指数幂的算式。
二、目标及其解析（一）教学目标1.理解分数指数幂的概念;2.掌握有理指数幂的运算性质;（二）解析1.理解分数指数幂的概念就是指通过复习已学过的整数指数幂的概念和根式的概念，推导出分数指数幂的概念;2.学会有理指数幂的运算性质，能够化简一般有理指数幂的算式。
三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是分数指数幂的运算性质，产生这一问题的原因是：学生对根式化简到分数指数幂的形式熟练程度低，对于整数指数幂的运算性质不够熟练，不能很好的结合从特殊到一般的思想。
要解决这一问题，就要在在练习中加深理解。
四、教学过程设计1、导入新课同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢?答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题分数指数幂2、新知探究提出问题（1）整数指数幂的运算性质是什么?（2）观察以下式子，并总结出规律：① ;② ;③ ;④ .（3）利用（2）的规律，你能表示下列式子吗?，且n1）（4）你能用方根的意义来解释（3）的式子吗?（5）你能推广到一般情形吗?活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比（2）的规律表示，借鉴（2）（3），我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他同学鼓励提示.讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结果和分数指数幂是相通的.综上我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是 .提出问题（1）负整数指数幂的意义是怎么规定的?（2）你能得出负分数指数幂的意义吗?（3）你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义?（4）综合上述，如何规定分数指数幂的意义?（5）分数指数幂的意义中，为什么规定，去掉这个规定会产生什么样的后果?（6）既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?活动：学生回顾初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明的必要性，教师及时作出评价.讨论结果：有了人为的规定后指数的概念就从整数推广到了有理数.有理数指数幂的运算性质如下：对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质：① ② ③变式训练求值：（1） ; （2）拓展提升五.小结（1）分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是，正数的负分数指数幂的意义是零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义.（2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.（3）有理数指数幂的运算性质：① ②【总结】20xx年已经到来，新的一年数学网会为您整理更多更好的文章，希望本文高一数学教案：分数指数幂的运算能给您带来帮助！-------- Designed By JinTai College ---------。
12.7分数指数幂教案.doc
例1把下列方根化为幂的形式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
每一题问：如何转化？谁做分数指数幂中指数的分母？
师：刚才将方根转化为分数指数幂，反过来分数指数幂可以转化为方根进行开方运算.
例2计算：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
小结：可将分数指数幂转化为方根的形式再求值，最后写成分数指数幂的形式.
2．思考：
把 表示为2的 次幂的形式.
引导分析：
（1）解决这个问题之前，先口答：（用幂的形式表示）
（2）这是以前所学的整数指数幂，负整数指数幂可以转化为正整数指数幂.到目前为止2的任何整数指数幂都是有理数，而 是一个无理数，可知 不是整数.因此必须将指数的取值范围扩大，才有可能把 表示为 的形式.
（3）假设 成立，问：在等式成立的前提下，如何消除根号进行转化呢？
通过练习掌握幂向方根形式的转化，体会方根与幂之间相互转化的关系，体现转化的数学思想．
利用分数指数幂的意义求幂的值，帮助学生进一步体会分数指数幂与方根的联系.同时提醒学生，当分数指数幂转化为方根形式时，如果根指数是偶数时，对应的是正的偶次方根；如果根指数是奇数时，则对应的是奇次方根．
熟练识记重用数的平方根和立方根．
2.将方根与指数幂互化.
问题引入，引发学生思考，为新知教学做铺垫.
温故而知新，让学生在已有知识的基础上体会从整数指数幂到分数指数幂，是幂的概念的又一次扩展.
让学生在已有经验的基础上体会：在扩大指数的范围时，原有的幂的运算性质应该保持不变.从过程中体会转化的数学思想.
感受方根与幂的形式的转化过程.
通过观察得出方根与幂的形式的转化，从而得出分数指数幂的意义.
分数指数幂公开课教案
分数指数幂公开课教案《分数指数幂》教学设计陈炜明(2013/3/5公开课)一、教学目标：知识与技能：理解分数指数幂的含义，了解分数指数幂的运算性质，掌握根式与分数指数幂的互化。
通过具体实例了解实数指数幂的意义。
过程与方法：回顾整数指数幂的定义过程，学生通过观察，模仿，并进行合作交流，对整数指数幂进行推广，寻求分数指数幂最合理自然的规定方式。
情感、态度与价值观：通过对指数的推广，感受从特殊到一般的思想方法，提高数学的基本运算能力，体会数学的理性精神以及数学的美学意义。
二、教学重点：分数指数幂的意义和运算性质三、教学难点：分数指数幂的概念四、教学过程：发震时刻：2013年02月19日 17:31:16 纬度：39.6°经度：77.2°深度：8 千米震级：3.1参考位置：新疆维吾尔自治区喀什地区伽师县引导学生提出问题：当指数为分数时，应该如何定义？又该如何计算？（此时教师在黑板上画出函数2,xy x Z=∈的图像辅助说明该问题的提出）【温故知新】问题一：ma 表示什么含义（当m 为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数的运算都有哪些运算性质？答：m 个a 相乘。
,,(,0)(),()m n m n m m nn m n mn m m ma a a a a m n a aa a ab a b +-==>≠== （此处板书）在这里,m n 均为正整数。
问题二：若在计算m na -时，遇到m n =时，有无意义？怎样计算？得出什么结果？若m n <呢？答：当扩展到整数指数幂时候，若要求维持原来的运算性质，可以得到01a=(0)a ≠。
同理，可以对负分数指数幂进行规定。
小结：负整指数幂的实质是分式（或分数）形式。
在将正整数指数幂推广到整数指数幂时，保持了原有的运算性质不变。
（对刚刚运算性质的板书修改）。
问题三：为什么对于熟悉的分式还需要用负指数幂来表示呢？答：引入负指数幂可以使我们对许多数学问题书写方便，计算简单。
12.7(1)分数指数幂
2
教学内容
教学过程
教后记
新课探索一（2） 1．教师边说边点击：整数指数幂 m 3 假 设 2 2 成 立 ， 那 么 的运算性质仍然适用． (3 2 ) 3 (2 m ) 3 . 2．学生计算得到 m 的值． 我们在保持原来整数指数幂 的运算性质的原则上，扩大指数 的取值范围。 由 (3 2 ) 3 (2 m ) 3 ，可得 21 2 3m . 即 3m 1, m . 或
初中数学电子教案
年级
七年级（下）
课题
12.7（1） 分数指数幂
日期
2009.3
知识与技能
理解乘方和开方运算可以互相转化，掌握乘方和开方运 算互相转化的方法，理解分数指数幂、有理数指数幂的概念. 经历乘方和开方运算互相转化的过程，经历运用公式进
教学 目标 过程与方法
行计算的过程，感受从整数指数幂到分数指数幂，拓展到有 理数指数幂.
教学过程
教后记
（2） (a p )q a pq . （3） (ab) p a pb p , ( ) p 分数指数幂的运算.
a b ap . bp
布置作业 1. 填空： （1） 25 （2） 81 （3 ） 8 （4 ） (
27 ) 125
1 3
1 3
1 2
1．让学生在回家作业本上完成． ； ； ； ；
3 5 (5 5 )
（2）
乘方与开方互为逆运算，能 否将开方运算转化为某种乘方形 式的运算，给运算带来方便？ 新课探索一（1） 将开方运算转化为某种乘方 1．教师边说边点击：把 3 2 表示 n n 要 不 断 ( 2) 2 为 2 的 m 次方幂形式，可知 m 不 渗透。 形式的运算： 是整数． 思考 把 3 2 表示为 2 的 m 次方幂 2．教师提问：3 2 通过什么运算， 形式。 可以得到 2． 因为 2 的任何整数指数幂都 3．学生回答： (3 2 )3 (2m )3 ． 是有理数，而 3 2 是一个无理数， 可知 m 不是整数。 因此必须将指数的取值范围 扩大， 才有可能把 3 2 表示为 2 m 的 形式。
高一数学教案：分数指数幂
【课题】分数指数幂【教学目标】1.理解分数指数幂的概念.2.掌握有理指数幂的运算性质.3.会对根式、分数指数幂进行互化.4．培养学生用联系观点看问题 .【教学重点】分数指数幂的概念.分数指数幂的运算性质.【教学难点】对分数指数幂概念的理解。
【教学过程】一．复习引入1．整数指数幂的运算性质：a m an a mn(m,nZ)(a m )na mn(m,nZ )(ab)nanbn(nZ)2．根式的运算性质：①当n为任意正整数时，(n a)n= a.②当n为奇数时，n a n =a；当n为偶数时，nan=|a|=a(a).a(a)3．引例：当a＞0时1 01 2①(a2)5a15a10a2a5②(a4)3a123a12a4a3 m推广：naman二．讲解新课1．正数的正分数指数幂的意义mnm,且n＞1)(a0,m,n注意：⑴分数指数幂是根式的另一种表示形式；第1页共4页⑵根式与分数指数幂可以进行互化.⑶“a>0〞为什么？另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 规定：m1(1)a *n m(a＞0，m,n∈N,且n＞1) a n( 2)0的正分数指数幂等于0.(3)0的负分数指数幂无意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r ,s,均有下面的运算性质.有理指数幂的运算性质:a ma n a mn(m,nQ)(a m)na mn(m,n Q)(ab)nanbn(n Q)说明：假设a＞0，P是一个无理数，那么a p表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.三、讲解例题：213例1求值：83,1002,(1)3,(16)4.81例2用分数指数幂的形式表示以下各式： a 2 a, a 3 3a 2, a a ， 4(a b)3(式中a ＞0)例3计算以下各式〔式中字母都是正数〕2 1 1 5(1)(2a 3b 2 )(6a2b 3(3a 6b 6);1)8.(2)(m 4n 8第2页 共4页a 2( a0 );(3)a 3a 2(4)32 5125)45例4．计算⑴(a22a2)(a2a 2)1111⑵a2b2a2b2 1111 a2b2a2b2 11例5．x2x25，求以下各式的值：3311⑴xx1⑵x2x2⑶x2x2例6．解以下方程34⑴2x4115⑵x31 6【课堂小结】【课后作业】【教学后记】第3页共4页第4页共4页。
分数指数幂教案及反思
12.7分数指数幂教学目标：1、理解分数指数幂的意义，能将方根与分数指数幂互化。
2、了解幂指数从正整数到整数到有理数的发展过程，并能用分数指数幂解决简单的计算问题。
3、亲历分数指数幂意义的推导过程，体验数域拓展的一般规律和数学知识的内在逻辑。
教学重点及难点理解分数指数幂的意义，能将方根与指数幂互化. 教学过程设计一、 复习练习（口答）（1）101522=⨯ （2）532=（） （3）1π-= （4）2=（ （5）6= （6）6= 复习整数指数幂的运算性质： （1）同底数幂的乘除 m n m n a a a += （2）幂的乘方 ()m n mn a a = （3）积的乘方 ()m m m ab a b =二、新课探索思考：?=通过分析引出分数指数幂的意义：（其中m 、n 为整数，1>n ）.(0)(0)m nmna a a a -=≥=>上面规定中的nm a 和nm a -叫做分数指数幂，a 是底数.指导学生浏览教材上的概念并做圈划。
2．例题例1 把下列方根化为幂的形式: （1）35； （2）435； （3）3251； （4（5；例2 把下列幂化为方根的形式：（1）137； （2）137-； （3）437； （4）437-；三、巩固练习1、课本P32练习12.7 1、22、计算：（1）)()412343810.027---① ② ③（2）()1122112124-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭1123①427 ②（3）1113228116⎛⎫- ⎪⎝⎭回顾思考引例. 四、拓展练习利用分数指数幂计算（结果用方根形式表示）（1÷（2五、课堂小结1、在理解分数指数幂意义的基础上能熟练将方根与指数幂互化；2、体会数学的内在逻辑.五、作业布置教学反思：分数指数幂这节课是在学生在已经学过了整数指数幂和n次方根的基础上，从具体的实例出发，和学生共同亲历分数指数幂的指数从正整数到整数再到有理数的发展过程和推导过程，让学生能体验数域拓展的一般规律和内在逻辑联系，在教学过程中由于从问题出发，采取了分数指数幂和整数指数幂的类比，学生在原有认知的基础上进行了探究，其学习是主动的、积极的，知识的形成也是自然的，同时在学习和探究的过程中，从解决问题到方法使用，让学生体会到从特殊到一般的数学思想，同时也培养了学生缜密的数学逻辑思维能力，引导和帮助学生在这样的数学学习过程中高效、有序地学习数学，让学生真正体会到在问题解决中学习，在交流中学习，使之成为一种学习习惯。
分数指数幂教案
分数指数幂教案教案标题：分数指数幂教案教学目标：1. 理解分数指数幂的概念和性质。
2. 掌握计算分数指数幂的方法。
3. 能够应用分数指数幂解决实际问题。
教学重点：1. 理解分数指数幂的定义和运算规则。
2. 掌握分数指数幂的计算方法。
3. 能够运用分数指数幂解决实际问题。
教学难点：1. 理解分数指数幂的概念和性质。
2. 掌握计算分数指数幂的方法。
教学准备：1. 教材：包含有关分数指数幂的知识点和例题的教材。
2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教案、练习题、实例题。
3. 学具：计算器。
教学过程：Step 1：导入新知1. 引入分数指数幂的概念，通过实例引发学生对分数指数幂的思考。
2. 提问学生：你们对分数指数幂有什么了解？它们与整数指数幂有何异同？Step 2：概念解释与讲解1. 通过示意图和实例，解释分数指数幂的定义和性质。
2. 引导学生理解分数指数幂的运算规则，并进行实例演示。
Step 3：练习与巩固1. 分发练习题，让学生进行个人或小组练习。
2. 指导学生解答练习题，解答过程中注重引导学生运用分数指数幂的计算方法。
Step 4：拓展与应用1. 提供一些实际问题，引导学生运用分数指数幂解决实际问题。
2. 鼓励学生思考并讨论其他应用场景，并进行分享和讨论。
Step 5：归纳总结1. 综合学生的学习情况，对分数指数幂的概念、性质和运算规则进行归纳总结。
2. 强调分数指数幂的重要性和应用价值。
Step 6：作业布置1. 布置相关的作业题目，巩固学生对分数指数幂的掌握程度。
2. 鼓励学生自主学习，通过课外阅读或网络资源进一步了解分数指数幂的应用。
教学延伸：1. 针对学生的学习情况，可以提供更多的练习题和拓展问题，以加深对分数指数幂的理解和应用。
2. 可以组织学生进行小组讨论或展示，分享他们在实际生活中发现的分数指数幂的应用案例。
教学评价：1. 课堂练习：通过学生在课堂上的练习情况，评估他们对分数指数幂的掌握程度。
12.7(1)分数指数幂
有以上思考讨论：如何将 表示为2的m次幂的形式：
结合小组发言，教师补充证明：因为2的任何整数指数幂都是有理数，而 是一个无理数，可以m不应该是一个整数.
因此必须将指数的取值范围扩大.
假设 成立，那么两边同时做3次方得：
化简可得： 由此可得
3．归纳总结
4．新知应用
例1、把下列方根化为幂的形式：
解：
例2、计算：
解：
例3、用计算器，计算（保留三位小数）：
解：
5、课堂小结
1、
2、
完成练习，回顾指数幂、尤其是负指数幂的运算法则.
思考：指数可不可以是分数？与开方运算存在什么关系？
小组讨论，讨论结果由小组代表交流发言.
体会数域扩充的理论推导过程,由猜想-验证.
理解分数指数幂的意义.
可以抽取1-2位同学板演,其余同学自行完成.
利用计算器求值.
进一步巩固本节课的知识点、使学得的新知系统化.
通过已学过的相关知识引出课题.
由这两个思考，体会从整数指数幂到分数指数幂，，是幂的概念又一次扩展.引导学生认识两个基本问题：一是为什么要扩展幂的概念；二是怎样合理规定分数指数幂的意义.
使学生体会数学猜想-验证的学习方式，培养严密的数学学习习惯.
体会乘方与开方运算的互相转化.
本例是分数指数幂概念的直接运用.使学生初步建立“方根的根指数”是分数指数中的分母；“方根的倒数”表示为负分数指数幂.
本例是利用分数指数幂的意义求幂的值，帮助学生进一步体会分数指数幂与方根的联系.
进一步熟悉求分数指数幂的值与相应的乘法、开方运算之间的关系，如
养成归纳总结新知的学习习惯.
12.7（1）分数指数幂
《分数指数幂》教学设计
能参加小组活动，与同学合作愉快。30分
达不到以上要求。
20分或以下
总评
80分以上评优，70-80评良，50-60评合格，50分以下评不合格。
总分：
等级：
教学反思
在教学过程中，对任何细节，都应鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其他事物之间的联系，，运用类比联想去主动的发现问题、解决问题，从而更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习，使它逐渐成为学生的一种根深蒂固的习惯。
通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。
教学重点和难点
根式、分数指数幂的概念及其性质。
教学过程
教学环节
教师活动
预设学生行为
设计意图
复习讨论
教师提问：
（1）根式的相关概念
（2）整数指数幂的运算性质：
引发学生进行思考
通过讨论，让学生复习本节所需的基础知识。
引入
新课
问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系 ，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值。
15分或以下
作业
完成
20分
按时保质保量独立完成，并有独特见解。
20分
按时保质保量独立完成。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ15分
基本能按时完成。
10分
有不交作业或抄袭等的现象。
5分或以下
小组
活动
40分
积极参加小组活动，有独立见解，动手、动口、动脑能力强，与同学合作愉快。40分
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把 表示为2的 次幂的形式.
引导分析：
（1）解决这个问题之前，先口答：（用幂的形式表示）
（2）这是以前所学的整数指数幂，负整数指数幂可以转化为正整数指数幂.到目前为止2的任何整数指数幂都是有理数，而 是一个无理数，可知 不是整数.因此必须将指数的取值范围扩大，才有可能把 表示为 的形式.
（3）假设 成立，问：在等式成立的前提下，如何消除根号进行转化呢？
*3.把下列方根化为幂的形式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
4.计算（口答）：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） ．
四、课堂小结
学生自主小结：你学到了什么?
你有什么体会或想法?
数学思想：化归思想.
预设回答：两边同时立方运算.
答：1
，
预设回答：被开方数中的底数转化为了幂的底数，被开方数中的指数转化为幂的指数中的分子，根指数转化为幂的指数中的分母.预设：
通过练习复习巩固方根向幂的形式的转化，体会两者的联系，正确理解分数指数幂的概念．
通过练习复习巩固幂向方根形式的转化，体会方根与幂之间相互转化的关系．
特别注意：
的灵活应用．
在实际计算时，先乘方后开方，往往由于数值较大，增加了开方的难度，所以常采用先开方后乘方的方法，既保证了计算的合理性，又提高了计算的速度和正确性．
2.将方根与指数幂互化.
问题引入，引发学生思考，为新知教学做铺垫.
温故而知新，让学生在已有知识的基础上体会从整数指数幂到分数指数幂，是幂的概念的又一次扩展.
让学生在已有经验的基础上体会：在扩大指数的范围时，原有的幂的运算性质应该保持不变.从过程中体会转化的数学思想.
感受方根与幂的形式的转化过程.
通过观察得出方根与幂的形式的转化，从而得出分数指数幂的意义.
通过练习掌握幂向方根形式的转化，体会方根与幂之间相互转化的关系，体现转化的数学思想．
利用分数指数幂的意义求幂的值，帮助学生进一步体会分数指数幂与方根的联系.同时提醒学生，当分数指数幂转化为方根形式时，如果根指数是偶数时，对应的是正的偶次方根；如果根指数是奇数时，则对应的是奇次方根．
熟练识记重用数的平方根和立方根．
（其中 、 为整数， ）.
【说明】在说明 同样适用后，导出后一个负分数指数幂.
上面规定中的 和 叫做分数指数幂， 是底数.
揭示课题：12.7分数指数幂
[说明]指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.
2.有理数指数幂
整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂.
3．例题分析
例1把下列方根化为幂的形式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
每一题问：如何转化？谁做分数指数幂中指数的分母？
师：刚才将方根转化为分数指数幂，反过来分数指数幂可以转化为方根进行开方运算.
例2计算：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
小结：可将分数指数幂转化为方根的形式再求值，最后写成分数指数幂的形式.
§12.7分数指数幂(1)
教学目标：
1.理解分数指数幂的意义.
2.能将方根与分数指数幂互化，体会化归的数学思想.
教学重点及难点:将方根与分数指数幂互化.
教学过程：
教师活动
学生活动
设计意图
一、复习引入
1.引言：加法与减法互为逆运算，按照“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减法可以转化为加法；同样，除法也可以转化为乘法.那么对互为逆运算的乘方与开方，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算呢？
对本节课所学知识进行初步的梳理.
课后作业
试题
解答
设计意图
A组
1.填空：
（1） =_____；（2） =_____；
（3） =______；（4） =_____．
（练习册P12）
2.把下列方根形式写成幂的形式：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ．
（练习册P12）
*3.把下列幂化为方根的形式：
（1） ；（2） ；
也可以利用幂的运算性质进行计算，对于这样的学生教师应给予充分的鼓励和表扬．
对比分析方根与幂的互化过程，体会两者间的联系. 体会从特殊到一般的研究方法.
帮助学生理解分数指数幂的概念，学生能够直接应用概念.
若学生写 也行.
利用分数指数幂的意义求幂的值，帮助学生进一步体会分数指数幂与方根的联系.
书上例3是用计算器运算，现在这样设计目的是让学生将分数指数幂和方根进行熟练转化.
培养学生自主解题及评价能力.通过练习掌握方根向幂的形式的转化，体会两者的联系，正确理解分数指数幂的概念．
那么
说明：原有的幂的运算性质应该保持不变.
左边=21，右边=
要使 左边=右边 成立，则 ，即
所以
追问1：被开方数中2的指数是几？
（师可用红色粉笔标注出指数）
问2：猜想 =？
3. 讨论
通过 ， ， 的转化，讨论方根与幂的形式如何互化？（学生讨论）
二、学习新课
1．分数指数幂概念
师：把指数的取值范围扩大到分数，我们规定
（3） ；（4） ．
4.计算：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ．
（练习册P13）
1.解：
（1）5；（2）9；
（3）2；（4） ．
2.解：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
3.解：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
4.解：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
．
通过将分数指数幂转化成方根的形式进行简单的计算，复习巩固转化的方法．
解：（1）
（2）
（3）
（4）
师生共同完成.
师生共同完成.
学生独立练习.
1.解：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
2.解：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
3.解：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
4.解：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ．
预设：
1.分数指数幂意义;
例3将幂的形式转化为方根形式：
（1） ；（2） ；（3） ；（4）
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
小结：分数指数幂中指数的分母是方根中的根指数.
三、巩固练习
1.把下列方根化为幂的形式：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ．
*2.把下列幂化为方根的形式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．