概率例题

第四章 4．1例1 设射击手甲与乙在同样条件下进行射击，其命中的环数是一随机变量．假如有历史记录可得它们分别有下面的分布律（其中0表示脱靶）．例2 将3个球随机地放入3个盒子中去，球与盒子均可区分，以 X 表示空盒子数目，求 E (X )例3分组验血：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验 N 个人的血， 可以有两种方法进行．（1）将每个人的血分别去验，这就需要N 次．（2）按 k 个人一组进行分组，把从k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k 个人的血都呈阴性反应，这样，这k 个人得血就只需验一次．若呈阳性，则再对这k 个人的血液分别进行化验．这样， k 个人的血总共要化验 k+1次．假如每个人化验呈阳性的概率为 p 且这些人的试验反应是相互独立的．试说明当 p 较小时，选取适当的 k ，按第二种方法可以减少化验的次数．并说明k 取什么值时最适宜．例4 设随机变量X 的密度函数为 求 E （X ）例5 如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?例6 设随机变量的分布律为例7 设随机变量(X,Y )的联合概率密度例8Xp1-022.03.05.0⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其它,021,210,)(x x x x x f )1(2-+X X E 求()()3231 ,12(,) 0 1,y x x x x yf x y E Y EXY ⎧<<>⎪=⎨⎪⎩其他求数学期望。

(),X Y 设二维随机变量的联合分布律为01200.10.250.1510.150.20.15X Y ()sin 2X Y Z π+=求随机变量的数学期望。

例9 国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X （单位：吨），它服从[2000,4000]上的均匀分布．设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3千元，但如果销售不出二积压于仓库，则每吨需花费保养及其它各种损失费用1千元，问需要组织多少货源，才能使国家的收益期望最大？例 设 ( X , Y ) 的分布律为4．2例1 设X 为掷一颗骰子出现的点数，试求D(X)例2：设随机变量X 具有数学期望例3 例44．3例1 XY1231-012.01.01.01.01.01.0003.0].)[(,)(),(),(:2Y X E X Y E Y E X E -求.),()(,,.10,2010 互独立并设各旅客是否下车相可能的下车是等设每位旅客在各个车站求表示停车的次数以客下车就不停车如到达一个车站没有旅车站可以下车个旅客有位旅客自机场开出一机场班车载有例X E X 2*()0X D X X μσσ-=≠=方差，记***()0()1E X D X X X ==证明：，，称为的标准化变量}10{1023)4,60(~),1,50(~>--=Z P Y X Z Y X N Y N X 求，独立，记与，设.,,.,),04.0,50.22(~),03.0,40.22(~)cm (22的概率求活塞能装入气缸任取一只气缸任取一只活塞相互独立气缸的直径计以设活塞的直径Y X N Y N X ||)3(|;|)2()1()4,2(,5Y X D Y X E Y X N Y X ---的分布，试求：独立同分布设例.),,,,,(~),(222121相关系数的与试求设Y X ρσσμμN Y X例2例3 设随机变量(X,Y )具有概率密度 求第五章 5．1例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比例与1/6 比较上下小于1%的概率.例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 5．2例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击 (1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率. 例2.}105{,,)1,0(,,)20,2,1(20201的近似值求记上服从均匀分布且都在区间机变量设它们是相互独立的随个噪声电压一加法器同时收到>==∑=V P V V k V k k k .23,2),4,0(),3,1(,22Y X Z ρN N Y X XY +=-=设分别服从 已知随机变量⎩⎨⎧=012),(2y y x f 其它10≤≤≤x y XYY X Cov Y E X E ρ),,(),(),(例3 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.例4对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数 X 超过450的概率; (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.例5 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售了100份报时过路人的数目，求 P (280 ≤ X ≤ 320).例6 检验员逐个检查某产品,每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个的概率.例7 某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？例8 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率. 例9第四、五章习题 例1例2从数字0, 1, 2, …, n 中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望.).( )( ,,2,1,)1(}{ , 1X D X E k p p k X P X k 和求它的分布律为服从几何分布设 =-==-.,1,),,,2,1()1,1(,,,,1221并指出其分布参数正态分布近似服从随机变量充分大时证当试上服从均匀分布在区间且相互独立设随机变量∑===-n i n i n i X n Z n n i X X X X例3例4例5例6例7计算器在进行加法时, 将每个加数舍入最靠近它的整数, 设所有误差相互独立且在(–0.5, 0.5)上服从均匀分布. (1) 将1500个数相加, 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少? (2) 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90?例8 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售了100份报时过路人的数目，求 P (280 ≤ X ≤ 320).例9有一批建筑房屋用的木柱, 其中 80% 的长度不小于 3m, 现从这批木柱中随机地取 100 根, 求其中至少有 30 根短于 3m 的概率.).(. ,0,21 ,2,10,)( )3(].)1[(),(π~)2()].2[ln(),(125124123620 )1( 21X E x x x x x f X X E X X E X E p X X k 求其他的概率密度为设随机变量求设求的分布律为设随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=++-λ . ),( ,0,20,10),21(76),( ),( 2数的协方差矩阵及相关系求其他函数为的联合密度设二维连续型随机变量Y X y x xy x y x f Y X ⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=.,, 22的数学期望求正态分布且都服从标准相互独立和设随机变量Y X Z Y X +=.. ,0,10 ,2)(.,0,10 ,3)(,,,,,00:13~00:12 2时间的数学期望求先到达者需要等待的其他其他的概率密度分别为已知立相互独和且设间分别是甲、乙到达的时设会面在甲、乙两人相约于某地⎩⎨⎧<<=⎩⎨⎧<<=y y y f x x x f Y X Y X Y X Y X例10第一章例3 化简事件 例1 小王参加某智力游戏节目, 他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率(3) 两类问题都答不出的概率例1 中小王他能答出第一类问题的概率为0.7 , 答出第二类问题的概率为0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是0.7*0.2 ？例2 设A , B 满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下，P (AB ) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少？例1 （分房模型）设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中（k<=N ）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率（1） 某指定的 k 个盒子中各有一球；（2） 某指定的一个盒子恰有 m 个球( m<=k ) （3） 某指定的一个盒子没有球； （4） 恰有 k 个盒子中各有一球； （5） 至少有两个球在同一盒子中； （6） 每个盒子至多有一个球.例5 “分房模型”的应用生物系二年级有 n 个人，求至少有两人生日相同（设为事件A ) 的概率.例2 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取m 个球（m<=a+b), 求其中恰有 k 个 （k<=a,k<=m ）白球的概率例3 在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数，求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.例4 在1,2,3, ,9中重复地任取 n (n>=2)个数, 求 n 个数字的乘积能被10整除的概率.例5 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少 ?.30)2(;50~40)1(9.,5,的概率人多于人人个月内接受的患者求一年中前相互独立接受破伤风患者的人数各月的泊松分布它服从参数个随机变量风患者的人数是一某医院一个月接受破伤=λACC B A )(例6 某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12 次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的例8某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率例9 (会面问题)甲、乙两人相约在0 到T 这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的, 且两人到达的时刻互不牵连. 求甲、乙两人能会面的概率.例9 甲、乙两人相约在0 到T 这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的, 且两人到达的时刻互不牵连. 求甲、乙两人能会面的概率.例10 两船欲停同一码头, 两船在一昼夜内独立随机地到达码头. 若两船到达后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.例将15 名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽样. 设事件A为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率P(B|A).例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽样. 设事件A为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率P(B|A).例3某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率.例4从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.例5盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求（1）取两次，两次都取得一等品的概率;（2）取两次，第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率例 6 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.例7 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?例8 每100件产品为一批, 已知每批产品中次品数不超过4件, 每批产品中有 i 件次品的概率为i 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格,否则就认为这批产品合格. 求(1) 一批产品通过检验的概率;(2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率. 例9例10（选择题的合理性）现在几乎所有的考试试卷中，都会有选择题．一般地，每个选择题有4个答案，其中只有1个是正确的．当学生不会做时可以随机猜测，假如一个学生会做题与不会做题的概率相等．现在从卷面上看该题答对了，求此学生确实会做该题的概率．例11例1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中有放回地取球两次,每次取1球.设第 i 次取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) .求例 3 一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色，第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以 A ， B ，C 分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问 A ，B ，C 是否相互独立? 例4 已知事件 A , B , C 相互独立,证明事件).(,005.0)(,005.0,.95.0)(,95.0)(,,:,A C P C P C A P C A P C A 试求即的概率为设被试验的人患有癌症进行普查现在对自然人群有则有癌症”表示事件“被诊断者患以为阳性”表示事件“试验反应若以验具有如下的效果某种诊断癌症的试根据以往的临床记录===?,.%95,.%55,,%98,,概率是多少机器调整得良好的品时早上第一件产品是合格试求已知某日机器调整良好的概率为时每天早上机器开动其合格率为种故障时而当机器发生某产品的合格率为良好时当机器调整得明对以往数据分析结果表,)(,)(21A P A P ,)(12A A P ,)(12A A P例5 同时抛掷一对骰子,共抛两次,求两次所得点数分别为7与11的概率.例7 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.例8 要验收一批(100件)乐器.验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的),如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01.如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少?例3 设随机变量X 的分布函数为 试求常数A ，B例4 一个靶子是半径为2m 的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X 表示弹着点与圆心的距离。