概率例题

第四章 4．1

例1 设射击手甲与乙在同样条件下进行射击，其命中的环数是一随机变量．假如有历史记录可得它们分别有下面的分布律（其中0表示脱靶）．

例2 将3个球随机地放入3个盒子中去，球与盒子均可区分，以 X 表示空盒子数目，求 E (X )

例3分组验血：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验 N 个人的血， 可以有两种方法进行．（1）将每个人的血分别去验，这就需要N 次．（2）按 k 个人一组进行分组，把从k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k 个人的血都呈阴性反应，这样，这k 个人得血就只需验一次．若呈阳性，则再对这k 个人的血液分别进行化验．这样， k 个人的血总共要化验 k+1次．假如每个人化验呈阳性的概率为 p 且这些人的试验反应是相互独立的．试说明当 p 较小时，选取适当的 k ，按第二种方法可以减少化验的次数．并说明k 取什么值时最适宜．

例4 设随机变量X 的密度函数为 求 E （X ）

例5 如何确定投资决策方向?

某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?

例6 设随机变量的分布律为

例7 设随机变量(X,Y )的联合概率密度

例8

X

p

1-02

2.03

.05

.0⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其它,02

1,210,

)(x x x x x f )

1(2-+X X E 求()()

32

31 ,1

2(,) 0 1

,y x x x x y

f x y E Y E

XY ⎧<<>⎪=⎨⎪⎩其他

求数学期望。

(),X Y 设二维随机变量的联合分布律为012

00.10.250.1510.150.20.15

X Y ()

sin 2

X Y Z π+=求随机变量的数学期望。

例9 国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X （单位：吨），它服从[2000,4000]上的均匀分布．设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3千元，但如果销售不出二积压于仓库，则每吨需花费保养及其它各种损失费用1千元，问需要组织多少货源，才能使国家的收益期望最大？

例 设 ( X , Y ) 的分布律为

4．2

例1 设X 为掷一颗骰子出现的点数，试求D(X)

例2：设随机变量X 具有数学期望

例3 例4

4．3

例1 X

Y

123

1

-0

1

2.01

.01.01.01.01

.00

03

.0].)[(,)(),(),(:2Y X E X Y E Y E X E -求.),()(,,.10,2010 互独立并设各旅客是否下车相可能的下车是等设每位旅客在各个车站求表示停车的次数以客下车就不停车如到达一个车站没有旅车站可以下车个旅客有位旅客自机场开出一机场班车载有例X E X 2*

()0X D X X μσσ

-=≠=

方差，记***()0()1E X D X X X ==证明：，，称为的标准化变量}10{1023)4,60(~),1,50(~>--=Z P Y X Z Y X N Y N X 求，独立，记与，设.,,.,),04.0,50.22(~),03.0,40.22(~)cm (22的概率求活塞能装入气缸任取一只气缸任取一只活塞相互独立气缸的直径计以设活塞的直径Y X N Y N X ||)3(|;|)2()1()4,2(,5Y X D Y X E Y X N Y X ---的分布，试求：独立同分布设例.

),,,,,(~),(2

22121相关系数的与试求设Y X ρσσμμN Y X

例2

例3 设随机变量(X,Y )具有概率密度 求

第五章 5．1

例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比例与1/6 比较上下小于1%的概率.

例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 5．2

例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击 (1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率. 例2

.

}105{,,)1,0(,,)20,2,1(2020

1

的近似值求记上服从均匀分布

且都在区间机变量设它们是相互独立的随个噪声电压一加法器同时收到>==∑

=V P V V k V k k k .23,2),4,0(),3,1(,22Y X Z ρN N Y X XY +=-=设分别服从 已知随机变量⎩

⎨⎧=012),(2y y x f 其它1

0≤≤≤x y XY

Y X Cov Y E X E ρ),,(),(),(

例3 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.

例4对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数 X 超过450的概率; (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.

例5 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售了100份报时过路人的数目，求 P (280 ≤ X ≤ 320).

例6 检验员逐个检查某产品,每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个的概率.

例7 某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？

例8 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率. 例9

第四、五章习题 例1

例2从数字0, 1, 2, …, n 中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望.

).

( )( ,,2,1,)1(}{ , 1X D X E k p p k X P X k 和求它的分布律为服从几何分布设 =-==-.,1,),,,2,1()1,1(,,,,1

2

21并指出其分布参数

正态分布近似服从随机变量充分大时证当试上服从均匀分布在区间且相互独立设随机变量∑

===-n i n i n i X n Z n n i X X X X