导数研究函数性质样本

1．导数与导函数的概念

(1)设函数y＝f(x)在区间(a, b)上有定义, x0∈(a, b), 若Δx无限趋近

于0时, 比值Δy

Δx＝

f x0＋Δx－f x0

Δx无限趋近于一个常数A, 则

称f(x)在x＝x0处可导, 并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative), 记作f′(x0)．

(2)若f(x)对于区间(a, b)内任一点都可导, 则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化, 因而也是自变量x的函数, 该函数称为f(x)的导函数, 记作f′(x)．

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义, 就是曲线y＝f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率k, 即k＝f′(x0)．

3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0

f(x)＝xα(α为常数)f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝e x f′(x)＝e x

f(x)＝a x(a>0, a≠1)f′(x)＝a x ln_a

f(x)＝ln x f′(x)＝1 x

f(x)＝log a x(a>0, a≠1)f′(x)＝

1 x ln a

4.导数的运算法则

若f′(x), g′(x)存在, 则有

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x);

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x);

(3)[f x

g x]′＝f′x g x－f x g′x

g2x(g(x)≠0)．

5．复合函数的导数

若y＝f(u), u＝ax＋b, 则y′x＝y′u·u′x, 即y′x＝y′u·a.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打”√”或”×”)

(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．()

(2)求f′(x0)时, 可先求f(x0)再求f′(x0)．()

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()

(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．()

1．(教材改编)f′(x)是函数f(x)＝1

3x

3＋2x＋1的导函数, 则f′(－1)的值

为________．

2．如图所示为函数y＝f(x), y＝g(x)的导函数的图象, 那么y＝f(x), y ＝g(x)的图象可能是________．

3．设函数f(x)的导数为f′(x), 且f(x)＝f′(π

2)sin x＋cos x, 则f′(

π

4)＝

________.

4．已知点P在曲线y＝4

e x＋1上, α为曲线在点P处的切线的倾斜角, 则α的取值范围是__________．

5．( ·陕西)设曲线y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y＝1

x(x＞0)上点P

处的切线垂直, 则P的坐标为________．

题型一导数的运算

例1求下列函数的导数:

(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1);

(2)y＝x2sin x;

(3)y＝3x e x－2x＋e;

(4)y＝

ln x x2＋1

;

(5)y＝ln(2x－5)．

思维升华(1)求导之前, 应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简, 然后求导, 这样能够减少运算量, 提高运算速度, 减少

差错; 遇到函数的商的形式时, 如能化简则化简, 这样可避免使用商的求导法则, 减少运算量．(2)复合函数求导时, 先确定复合关系, 由外向内逐层求导, 必要时可换元．

(1)f(x)＝x(2 016＋ln x), 若f′(x0)＝2 017, 则x0＝________.

(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2, 则f′(－1)＝________.题型二导数的几何意义

命题点1已知切点的切线方程问题

例2(1)函数f(x)＝ln x－2x

x的图象在点(1, －2)处的切线方程为

__________．

(2)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．

命题点2未知切点的切线方程问题

例3(1)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是__________．

(2)已知函数f(x)＝x ln x, 若直线l过点(0, －1), 而且与曲线y＝f(x)相切, 则直线l的方程为____________．

命题点3 和切线有关的参数问题

例4 已知f (x )＝ln x , g (x )＝12x 2＋mx ＋7

2(m <0), 直线l 与函数f (x ), g (x )的图象都相切, 且与f (x )图象的切点为(1, f (1)), 则m ＝________. 命题点4 导数与函数图象的关系

例5 如图, 点A (2,1), B (3,0), E (x,0)(x ≥0), 过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S , 则函数S ＝f (x )的图象为下图中的________(填序号)．