导数研究函数性质样本
利用导数研究函数的性质
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3．(人 A 选必二 P91 例 5)函数 f(x)＝13x3－4x＋4 的极大值为__2_38__，极小值为__－__43___．
【解析】 因为 f(x)＝13x3－4x＋4，所以 f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令 f′(x)＝0，解 得 x＝－2 或 x＝2． 当 x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，当 x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，当 x∈(2，＋∞)时， f′(x)＞0，因此，当 x＝－2 时，f(x)有极大值，并且极大值为 f(－2)＝238；当 x＝2 时，f(x)有极小值，并且极小值为 f(2)＝－43．
1 (1)已知f(x)＝3x2＋6x－6ex＋5，则函数f(x)的单调递减区间为
A．(1，＋∞)
B．(ln3，＋∞)
C．(－∞，ln3)
D．(－∞，＋∞)
( D)
【解析】 由题可知f(x)的定义域为R，且f′(x)＝6x＋6－6ex＝6(x＋1－ex)． 令 g(x) ＝ x ＋ 1 － ex ， 则 g′(x) ＝ 1 － ex ， x ∈ R ． 当 x ∈ ( － ∞ ， 0) 时 ， g′(x) ＞ 0 ； 当 x∈(0，＋∞)时，g′(x)＜0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调 递减，则g(x)的最大值为g(0)＝0，故g(x)≤0恒成立，故f′(x)≤0在R上恒成立，所 以f(x)在R上单调递减，即函数f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)．
利用导数研究函数的性质
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1．若函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，
高中数学二轮复习专题二利用导数研究函数的性质
专题二——利用导数研究函数的性质2009-2-24高考趋势导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大．常利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值，这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题以解答题的形式出现，通常是整个试卷的压轴题。
试题主要先判断或证明函数的单调区间，其次求函数的极值和最值，有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。
考点展示1.二次函数y f x =()的图象过原点且它的导函数y f x ='()的图象是如图所示的一条直线，则y f x =()图象的顶点在第 一 象限2．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = 2 ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= -2 ．3.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 45° 4.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a 15.设R a ∈，若函数ax e y x +=，R x ∈有大于零的极值点，则a 的取值范围1-<a6.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 2 ． 7.已知函数3()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -=__32_ _8.过点P （2，8）作曲线3x y =的切线，则切线方程为_ 12x-y-16=0或3x-y+2=0 样题剖析例1、设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数。
（Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）已知不等式'2()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。
利用导数研究函数的性质
利用导数研究函数的性质
知识梳理
1． f′( x)>0 在( a， b)上成立是 f (x)在 (a， b)上单调递增的充分不必要条件． 2． f(x)在 (a， b)上是增函数的充要条件是 f′( x)≥ 0，且 f′ (x) ＝0 在有限个点处取到． 3．对于可导函数 f(x) ，f′( x0)＝ 0 并不是 f( x)在 x＝x0 处有极值的充分条件
变式 2： 已知 f (x)＝ x3－ ax2－ 3x. (1)若 f (x)在 [2，＋∞ )上是增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若 x＝ 3 是 f(x)的极值点，求 f(x) 在[1 ，a ]上的最小值和最大值．
例 2： 设函数 f (x)＝ x(ex－ 1)－12x2，求函数 f(x)的单调增区间．
变式 2： 若函数 f (x)＝ 3x＋ln x 在区间 (m， m＋ 2)上单调递减，则实数 m 的范围是 ________．
变式 3 ：若函数 f(x)＝1x3－1ax2＋ (a－ 1) ·x＋ 1 在区间 (1,4)上是减函数，在区间 (6，＋∞ )上是 32
增函数，则实数 a 的取值范围是 ________．
变式 4.函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数， f (3) 0，且 x 0时， xf '( x) f ( x) ，则不等 式 f (x) 0的解集是 变式 5.函数 f (x 1) 是定义在 R 上的偶函数， f ( 2) 1 ，且 f ' (x) f (x) ，则不等式 f ( x) ex 的解集是
2020年中学数学08 利用导数研究函数的性质(解析版)
考点08 利用导数研究函数的性质1、了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次函数的多项式函数的单调性。
2、了解函数极大（小）值、最大（小）值与导数的关系，会求不超过三次函数的多项式函数的极大（小）值、最大（小）值。
利用导数研究函数的单调性、奇偶性、极值和最值是近几年高考的热点和难点，在考查中主要以压轴题的方式出现，难度较大。
纵观这几年江苏高考不难发现主要利用导数研究函数的单调性以及零点和不等式等知识点的结合。
因此在复习中要注意加强函数的性质的研究和学习。
1、利用导数研究函数的单调性要注意一下两点：（1）求函数的单调性不要忘记求函数的定义域。
（2）给定区间的单调性不要忽略等号；2、利用导数求函数的单调区间，这类问题常于含参的不等式结合，要重视分类讨论的思想和数形结合的思想的应用。
3、求参数的取值范围，这类问题可以转化为研究函数的极值或者最值问题；1、【2020年江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________．【答案】【解析】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则||1AB PC ==所以11)2PABSd ≤⋅+=令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去）当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为故答案为：2、【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立，令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】【解析】，所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ， 函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.4、【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤， 即实数a 的取值范围是(],0-∞. 5、【2018年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________． 【答案】–3【解析】由()2620f x x ax =-='得0x =或3ax =， 因为函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以0,033a a f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 因此32210,33a a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得3a =.从而函数()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，所以()()max 0,f x f =()()(){}()min min 1,11f x f f f =-=-，则()()max min f x f x +=()()0+114 3.f f -=-=- 故答案为3-.6、【2020年全国1卷】.已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围. 【解析】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()21x f x e x '=+-，由于()20xf x e ''=+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减， 当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增. (2)由()3112f x x ≥+得，23112x e ax x x +-+，其中0x ≥， ①.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②.当0x >时，分离参数a 得，32112x e x x a x ----， 记()32112x e x x g x x ---=-，()()231212x x e x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-， 令()()21102xe x x h x x ---≥=， 则()1xh x e x '=--，()10xh x e ''=-≥，故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=， 故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=， 由()0h x ≥可得：21102xe x x ---恒成立， 故当()0,2x ∈时，0g x ，()g x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，0g x ，()g x 单调递减；因此，()()2max724e g x g -⎡⎤==⎣⎦, 综上可得，实数a 的取值范围是27,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 7、【2020年天津卷】.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．【解析】(Ⅰ) (i) 当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. (ii) 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-， 整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x xx x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭. ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--∈+∞. 当x >1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t >1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t tt ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故32336ln 10t t t t-++-> ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ''-+-->.所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 8、【2020年山东卷】已知函数1()eln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围． 【解析】（1）()ln 1x f x e x =-+，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-. (1)1f e =+，∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --, ∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--; （2）解法一：1()ln ln x f x ae x a -=-+,11()x f x ae x-'∴=-，且0a >. 设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x-'=+> ∴g(x )在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增， 当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a < ，111a e -<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a-''∴=--<,∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x aex -'=-=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，011x ae x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-， 因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a -==-+001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =++-+≥-+=+>1, ∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞). 解法二：()111x lna x f x aelnx lna e lnx lna -+-=-+=-+≥等价于11lna x lnx e lna x lnx x e lnx +-++-≥+=+,令()xg x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥,显然()g x 为单调增函数，∴又等价于1lna x lnx +-≥，即1lna lnx x ≥-+， 令()1h x lnx x =-+,则()111x h x x x-=-=' 在()0,1上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减， ∴()()10max h x h ==,01lna a ≥≥，即，∴a 的取值范围是[1,+∞).9、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3a x =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-． （ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =或a =-或a =0，与0<a <3矛盾． 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1． 10、【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+. 令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =.又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-，即y x =与6427y x =-.（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-.由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-. 令()0g'x =得0x =或83x =.(),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0. 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-.11、【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)ex ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数．【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =->．3()4f 'x x =-=， 所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a≤，得04a <≤．当04a <≤时，()f x ≤2ln 0x -≥．令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =≥则2()2ln g t t x=-．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-==.故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()1g t g x ⎛+= ⎝令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦， 则()10q'x=+>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭．由（i ）得，11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，()<0q x ．因此1()10g t g x ⎛+=>⎝． 由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞， 即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2xf x a． 综上所述，所求a 的取值范围是4⎛ ⎝⎦．题型一 函数的单调性1、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数()()()ln 10f x x a x a a =+-+>,若有且只有两个整数12,x x 使得()10f x >,且()20f x >,则a 的取值范围是( )A ．3ln 30,2+⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,2ln 2+C ．3ln 3,2ln 22+⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．2ln 243ln 3,32++⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】()()()ln 10f x x a x a a =+-+>，()()1'1f x a x=+-，()()1ln111f a a =+-+= 当1a ≤时，函数单调递增，不成立； 当1a >时，函数在10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上单调递增； 有且只有两个整数12,x x 使得()10f x >,且()20f x >，故()20f >且()30f ≤ 即ln 2220,ln 22a a a +-+>∴<+；ln 33ln 3330,2a a a ++-+≤∴≥ 故选：C .2、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】根据题意设()()cos f x g x x =，则2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x'+'=，又当02x π<<时，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<，所以()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是偶函数，所以()()()()cos()cos f x f x g x g x x x--===-，所以()g x是偶函数，所以()()4()cos 4cos 4cos cos 4f f x f x f x x x x ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭<→<⇒<⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，又()g x 为偶函数，且在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，且定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有||4x π>，解得24x ππ-<<-或42x ππ<<，即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B.3、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）设函数()2xxf x e ex -=--，则不等式()()2210f x f x -+≤的解集为_____________.【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为()2xxf x e ex -=--,所以()2(2)()x x x x f x e e x e e x f x ---=-+=---=-,所以函数()f x 为奇函数,因为()()()(2)2xxxxf x e e x e e--''''=--=+-2220≥=-=(当且仅当0x =时,等号成立)所以函数()f x 为R 上的递增函数,所以不等式()()2210f x f x -+≤可化为()2(21)f x f x -≤-,所以根据函数()f x 为奇函数可化为2(21)()f x f x -≤-,所以根据函数()f x 为增函数可化为221x x -≤-, 可化为2210x x +-≤, 可化为(21)(1)0x x -+≤, 解得:112x ≤≤-, 所以不等式()()2210f x f x -+≤的解集为:1[1,]2-.故答案为1[1,]2-4、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）. （1）讨论()g x 的单调性；【解析】（1）解：()g x 的定义域为()0,∞+，()a g x x bx'=-， 当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >，0b >时，令()0g x '>，得b x a >，令()0g x '<，得0b x a <<，则()g x 在0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减； 当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a <<，令()0g x '<，得b x a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明：设函数()()()31h x f x x =-+，则()2cos 31x x h x '=+-+. 因为0x ≥，所以(]20,21x ∈+，[]cos 1,1x ∈-， 则()0h x '≤，从而()h x 在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()3100h x f x x h =-+≤=，即()31f x x ≤+.5、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）已知实数0a ≠，设函数()e ax f x ax =-． （1）求函数()f x 的单调区间； 【解析】(1)由()(1)=0ax ax f x a e a a e =-'=⋅-,解得0x =．①若0a >,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,故()f x 在(,0)-∞内单调递减．②若0a <,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,故()f x 在(,0)-∞内单调递减． 综上所述,()f x 在(,0)-∞内单调递减,在(0,)+∞内单调递增．6、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）设a R ∈，函数()32221f x x ax a x =-+-，()f x '为函数()f x 的导函数.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x '与函数()f x 存在相同的零点，求实数a 的值； （3）求函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值. 【解析】（1）因为()32221f x x ax a x =-+-所以()()()22343f x x ax a x a x a '=-+=--，当0a =时，()0f x '≥，所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a <时，当x a <或3ax >时，()0f x '>，当3a a x <<时，()0f x '<， 所以函数()f x 在(),a -∞和在,3a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在,3a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 同理当0a >时，函数()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和在(),a +∞上单调递增，在,3a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.（2）当0a =时，函数()f x '的零点是0，而()01f =-，所以不合题意，舍去； 当0a ≠时，函数()f x '的零点是a 和13a ， 因为()10f a =-≠，所以由函数()f x '与函数()f x 存在相同的零点，得03a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即3332102793a a a -+-=，解得a =（3）由（1）得，当1a ≤时，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，此时函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()212f a a =-；当13aa ≤<，即13a 时， 函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()1f a =-； 当13a>，即3a >时， 因为()212f a a =-，()1f a =-，所以()()1f f a >，此时函数的最小值为()1f a =-.所以函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为22,1,1, 1.a a a a ⎧-≤⎨->⎩ 题型二 利用导数研究函数的极值与最值1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上有极值点，实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．()()2,00,2- C ．()0,4 D ．()()4,00,4-【答案】C【解析】2()a x af x xx x-'=-=,由于函数()f x在(0,2)上有极值点，所以()f x'在(0,2)上有零点.所以2a>⎧⎪<，解得(0,4)a∈.故选：D.2、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若函数3()()3f x x a x b=--+的极大值是M，极小值是m，则M m-( )A．与a有关，且与b有关B．与a有关，且与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，且与b有关【答案】C【解析】∵3()()3f x x a x b=--+，∴2()3()3f'x x a=--，令2()3()30f'x x a=--=，得1x a=-，或1x a=+，当x变化时，'()f x、()f x的变化如下表：∴()(1)13123f a a bM a b-=---+=-+=，()(1)13123m f a a b a b=+=-++=--+，∴4M m-=，故选：C．3、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知0.5log5a=、3log2b=、0.32c=、212d⎛⎫= ⎪⎝⎭，从这四个数中任取一个数m ，使函数()32123x mx x f x =+++有极值点的概率为（ ） A ．14B ．12 C ．34D ．1【答案】B【解析】f ′（x ）＝x 2+2mx +1，若函数f （x ）有极值点，则f ′（x ）有2个不相等的实数根， 故△＝4m 2﹣4＞0，解得：m ＞1或m ＜﹣1，而a ＝log 0.55＜﹣2，0＜b ＝log 32＜1、c ＝20.3＞1，0＜d ＝（12）2＜1， 满足条件的有2个，分别是a ，c ， 故满足条件的概率p 2142==， 故选：B ．4、（2019年北京101中学月考）如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()g x kx m(0)m >，则函数()()()F x g x f x =-（ ）A ．有极小值，没有极大值B ．有极大值，没有极小值C ．至少有两个极小值和一个极大值D ．至少有一个极小值和两个极大值【答案】C 【解析】如图，由图像可知，直线y kx =与曲线()y f x =切于a ，b ， 将直线向下平移到与曲线()y f x =相切，设切点为c ，当x a <时，()f x 单调递增，所以有'()0f x >且()()f x f a k ''>=．对于()()()F x g x f x =-=()kx m f x +-，有()()0F x k f x ''=-<，所以()F x 在x a <时单调递减；当a x c <<时，()f x 单调递减，所以有'()0f x <且()()f x f a k ''<=．有()()0F x k f x ''=->，所以()F x 在a x c <<时单调递增； 所以x a =是()F x 的极小值点．同样的方法可以得到x b =是()F x 的极小值点，x c =是()F x 的极大值点． 故选C ．5、（2019年北京人民大学附属中学月考）已知0a >且1a ≠，函数32232,0()1,0xx x x f x a x ⎧++≤=⎨+>⎩在[2,2]-上的最大值为3，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)(1,2] B ．2] C ．(0,1)[2,)+∞ D ．(0,1)(1,2)【答案】A【解析】当0x ≤时，32()232f x x x =++，2'()666(1)f x x x x x =+=+，由'()0f x >得0x >（舍）或21x -≤<-，此时()f x 为增函数，由'()0f x <得10x -<≤，此时()f x 为减函数， 则当1x =-时，()f x 取得极大值，极大值为(1)3f -=， 当2x =-时，()f x 取得最小值，最小值为(2)2f -=-， ∵()f x 在[2,2]-上的最大值为3，∴当02x <≤时，函数()1xf x a =+的最大值不能超过3即可，当1a >时，()f x 为增函数，则当02x <≤时，函数()1xf x a =+的最大值为2(2)13f a =+≤，即22a ≤，得1a <≤当01a <<时，()f x 为减函数，则0()1112f x a <+=+=，此时满足条件．综上实数a 的取值范围是01a <<或1a <≤故选A ．6、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数2()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，以下几个结论中正确的是（ ） A ．010x e<< B ．01x e>C ．00()20f x x +<D ．00()20f x x +>【答案】AC【解析】函数2()l (),n 0f x x x x x =+>,()ln 12f x x x '∴=++,∵0x 是函数()f x 的极值点，∴()'00f x =，即00ln 120x x ∴++=，120f e e'⎛⎫∴=> ⎪⎝⎭,0,()x f x '→→-∞,010x e∴<<,即A 选项正确,B 选项不正确;()()()2000000000002ln 2l 21n 0f x x x x x x x x x x x +=++==-+++<,即C 正确,D 不正确.故答案为:AC.7、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知函数()[)2,bf x x a x a x=++∈+∞，，其中0a >，b R ∈，记(),m a b 为()f x 的最小值，则当(),4M a b =时，b 的取值范围为___________.【答案】()2-∞，【解析】函数()[2)bf x x a x a x++∈+∞＝，，， 导数()221bf x x '-＝， 当0b ≤时，()0f x '＞，()f x 在[)x a ∈+∞，递增，可得()f a 取得最小值， 且为22b a a +，由题意可得22400ba ab a+≤＝，＞，方程有解；当0b ＞时，由()2210bf x x'-＝＝，可得x 负的舍去)，当a ≥()0f x '＞，()f x 在[)x a ∈+∞，递增，可得()f a 为最小值， 且有22400ba ab a+＝，＞，＞，方程有解；当a ()f x 在[a 递减，在)+∞递增，可得f 为最小值，且有4a +，即40a -＝，解得02b ＜＜.综上可得b 的取值范围是()2-∞，. 故答案为：()2-∞，. 8、（江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)）已知a R ∈，实数x ，y 满足方程22ln 0x x y -+=，则()()222a x a y -+--的最小值为______.【答案】0【解析】设(),2A a a -，(),B x y ，则()()2222a x a y AB -+--=(),2A a a -在直线2y x =-上，(),B x y 在曲线22ln y x x =-+，∴求AB 的最小值，即为求曲线22ln y x x =-+上的点到直线2y x =-上的点的距离的最小值。
分析二次函数的导数性质,探讨二次函数的特征。
分析二次函数的导数性质，探讨二次函数的特征。
分析二次函数的导数性质，探讨二次函数的特征1. 导数性质导数是描述函数变化率的重要概念，在分析二次函数的导数性质时，我们可以探讨以下几点：1.1 导数定义二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的导数表示为$f'(x)$，其定义为：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Deltax}$$其中$\Delta x$表示自变量的变化量。
1.2 导数的几何意义导数可以解释为函数曲线在某一点处的斜率。
对于二次函数，导数表示了函数曲线在每一点处的切线的斜率。
1.3 导数的符号和增减性对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$来说：- 当$a > 0$时，导数$f'(x)$在定义域内恒为正，表示函数是上凸的，即开口向上的抛物线；- 当$a < 0$时，导数$f'(x)$在定义域内恒为负，表示函数是下凸的，即开口向下的抛物线。
2. 二次函数的特征对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，我们可以讨论以下几个特征：2.1 零点二次函数的零点是函数曲线与$x$轴相交的点，即满足$f(x) =0$的$x$的值。
对于二次函数，我们可以使用求根公式来计算零点：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$其中$b^2 - 4ac$称为判别式，可以决定二次函数的零点情况：- 当判别式大于0时，二次函数有两个不同的实数根；- 当判别式等于0时，二次函数有一个重根，即两个相等的实数根；- 当判别式小于0时，二次函数没有实数根，但可能有复数根。
2.2 顶点二次函数的顶点是函数曲线的最高点（当$a<0$时）或者最低点（当$a>0$时）。
顶点坐标可以通过求导数为0的点来确定：$$x = -\frac{b}{2a}$$$$y = f(x)$$2.3 对称轴二次函数的对称轴是通过顶点的一条垂直线，可以通过$x = -\frac{b}{2a}$来表示。
10导数研究函数的性质
／ 产 知识点扫描 。 。
１ ．关 于 ｚ的 函 数 ｆ（ １ ｚ ） 一 ＋３ ｚ ＋３ — ｎ的 极
＋ｃ ｘ 。 ） ， 所以本题就是要求 厂（ － ｚ ） ≤ｏ 在（ ｏ ， ＋ｃ ｘ 。 ） 上有
实数解．
值点 的个数有
一
时， ｇ （ ） ≤Ｏ ， 因此 当 ｘ Ｅ Ｅ ｏ ， １ ］ 时， ｇ （ ｚ ） 为减 函数 ， 从
而当ｘ Ｅ［ ｏ ， １ ］ 时， ｇ （ ｚ ） Ｅ［ ｇ （ １ ） ， ｇ （ Ｏ ） ３ ．
有解 ， 从 而导致错误． 在研究 函数 的有关性 质时 ， 一定 要注意优先考虑定义域． 例 ２ 将 函 数 ｙ— ｌ ｎ ｘ一 ２的 图 象 按 向量 ｎ 一
／（ ｚ ） ≤０有实数解 ， 考 虑到 函数 的定义 域为 （ ０ ，
（ 一１ ， ２ ） 平移 得到函数 一， （ ） 的图象 ， 求证： 当 ＞
平 移 得 到 函 数 一 ’ （ ） 一ｌ ｎ （ ＋ １ ） ． 令 ｇ（ ｚ） 一 （ ｚ） 一 兰 ± ２ 二 兰一
（ ＋ ２ ） 。
２ ］ 单调递增 ， 又 由于 厂 （ ｚ ） 在［ 一２ ， 一１ ］ 上单调递减 ， 因此 ＿ 厂 （ ２ ） 和厂 （ ～１ ） 分别是 ＿ 厂 （ ｚ ） 在 区间［ 一２ ， ２ ］ 上 的最 大值和
因为 函数 的定义域 为（ Ｏ ， ＋ｃ ｏ ） ， 则ａ Ｘ ＋２ ｚ 一１ ≥Ｏ应
有ｘ ＞ Ｏ的解 ．
３ ． ／（ ｏ ） 一０ 是可导函数 一， （ ｚ ） 在点ｚ —ｚ ｏ 处
有极值 的 条件．
， ， ｙ ＝ ）
（ １ ）当 ａ ＞Ｏ时 ， ＝ｎ 。 ＋２ 一１ 为开 口向上的抛
高考数学母题题源系列专题18应用导数研究函数的性质
专题十八应用导数研究函数的性质【母题原题1】【2018浙江，22】已知函数f(x)=−ln x．（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】分析: （Ⅰ）先求导数，根据条件解得x1，x2关系，再化简f(x1)+f(x2)为，利用基本不等式求得取值范围，最后根据函数单调性证明不等式，（Ⅱ）一方面利用零点存在定理证明函数有零点，另一方面，利用导数证明函数在上单调递减，即至多一个零点.两者综合即得结论. 详解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数，由得，因为，所以．由基本不等式得．因为，所以．由题意得．设，则，所以所以g （x ）在[256，+∞）上单调递增， 故，即．设h （x ）=，则h ′（x ）=，其中g （x ）=．由（Ⅰ）可知g （x ）≥g （16），又a ≤3–4ln2， 故–g （x ）–1+a ≤–g （16）–1+a =–3+4ln2+a ≤0，所以h ′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f （x ）–kx –a =0至多1个实根． 综上，当a ≤3–4ln2时，对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有唯一公共点． 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 【母题原题2】【2017浙江，7】函数()()y y f x f x ==，的导函数的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是A. B.C. D.【答案】Dx=位于增区间内，因此选D．【解析】原函数先减再增，再减再增，且0【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x轴的交点为0x，且图象在0x两侧'f x 附近连续分布于x轴上下方，则0x为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()f x的单调区间．的正负，得出原函数()【命题意图】考查导数的概念、导数公式求导法则导数的几何意义及导数的应用，考查数学式子变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想及分析问题与解决问题的能力．【命题规律】从全国看，高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.浙江卷2018年作为压轴题，其考查的灵活性可见一斑.【答题模板】求解应用导数研究函数的性质问题的一般思路：第一步：牢记求导法则，正确求导.在函数与导数类解答题中，通常都会涉及求导，正确的求导是解题关键，因此要牢记求导公式，做到正确求导，解题时应先写出函数定义域．第二步：研究（1）（2）问的关系，注意利用第(1)问的结果.在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决．第三步：根据条件，寻找或构造目标函数，注意分类讨论.高考函数与导数解答题，一般都会涉及分类讨论，并且讨论的步骤也是得分点，所以一定要重视分类讨论．第四步：选择恰当的方法求解，注意写全得分关键：在函数与导数问题中，求导的结果、分类讨论的条件、单调区间、零点等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚． 【方法总结】1.导数法证明函数()f x 在(,)a b 内的单调性的步骤 (1)求'()f x ；(2)确认'()f x 在(,)a b 内的符号；(3)作出结论：'()0f x ≥时为增函数；'()0f x ≤时为减函数．2.图象法确定函数()f x 在(,)a b 内的单调性：导函数的图象在哪个区间位于x 轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)．3.已知函数单调性，求参数范围的两个方法：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f(x)在(a ，b)上单调，则区间(a ，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解． 4.求函数f(x)极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x 0处取极小值．【温馨提醒】导数值为0的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的必要不充分条件．找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数的零点就是极值点(如y ＝x 3)，还要保证该零点为变号零点．6.求函数f(x)在[a ，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【温馨提醒】函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端点或极大值点取得，最小值一般是在端点或极小值点取得．极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性．(2)从个数上看，最值若存在，则必定是惟一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)．(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值．7. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理． 8.关于最值问题：①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；②对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式()f x ≤（≥）()g a （x 是自变量，a 是参数）恒成立问题，()g a ≥max ()f x （≤min ()f x ），转化为求函数的最值问题，注意函数最值与极值的区别与联系.1．【2018届河北省衡水中学三轮复习系列七】已知函数(为自然对数的底)，则的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：求出导函数，利用导函数判断函数的单调性，根据数形结合，利用零点存在定理判断极值点位置，结合，利用排除法可得结果.详解：函数的极值点就是的根，相当于函数和函数交点的横坐标，画出函数图象如图，由图知函数和函数有两个交点，因为,.所以，可排除选项；由，可排除选项，故选C.点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.2．【2018届浙江省杭州市第二中学仿真】设函数，，（Ⅰ）求曲线在点（1,0）处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．【答案】（1）（2）（Ⅱ）,,因为，所以.令，，则在单调递减，因为，所以在上增，在单调递增.,,因为，所以在区间上的值域为.3．【浙江省杭州市学军中学2018年5月模拟】已知函数，其中.（Ⅰ）若函数在区间上不单调，求的取值范围；（Ⅱ）若函数在区间上有极大值，求的值.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）先求导，再分离参数转化为在上有解，再求a的取值范围.(2)先对a分类讨论求函数在区间上极大值，得，再求和a的值.详解：（1）∵=在上有解，所以在上有解，设g(x)=所以函数g(x)在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数.所以∴所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由极大值，得（*）又∵，∴代入（*）得设函数，则所以函数在上单调递增，而所以，所以∴当时，函数在由极大值.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值、极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力.(2)解答本题的难点求得极大值，得（*）后，如何求的值.这里又利用了构造函数和求导解答.4．【2018届浙江省温州市9月一模】已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）当时，求证：．【答案】(1) 的单调递增区间为和；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出，解不等式即可得的单调增区间；（2）等价于，利用导数研究函数的单调性，证明，从而可得结果.试题解析：（1）∵，令，解得或，又由于函数的定义域为，∴的单调递增区间为和．（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，，因此，当时，恒有，即．5．【2018届山东省潍坊市青州市三模】已知(1)求的单调区间;(2)设，为函数的两个零点，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）由函数，求得，通过讨论实数的取值范围，即可求出函数的单调区间；（2）构造函数，与图象两交点的横坐标为，问题转化为，令，根据函数的单调性即可作出证明.详解：（1）∵，∴当时，∴，即的单调递增区间为，无减区间；当时，∴，由，得，时，，时，，∴时，易知的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为，不妨设，由条件知，即构造函数，与图象两交点的横坐标为由可得而，∴知在区间上单调递减，在区间上单调递增，可知欲证，只需证，即证，考虑到在上递增，只需证由知，只需证令，则，所以为增函数，又，结合知，即成立，即成立.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.6．【2018届江苏省盐城中学全仿真】已知函数，.(I)若，求函数的单调区间；(Ⅱ)若存在极小值点，且，其中，求证: ；(Ⅲ)试问过点可作多少条直线与的图像相切?并说明理由.【答案】(Ⅰ)单调减区间为单调增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)答案见解析.【解析】分析：（1）对进行求导计算即可得到单调区间；（2）若存在极小值点，，则，由可得，化简代入，即可得到证明；解析：(1) ，所以的单调减区间为单调增区间为；(2) ，存在极小值点，则.，则，所以代入所以，则，又，所以；(3) 时，有1条切线；时，有2条切线.设切点坐标是，依题意：即，化简得：设，故函数在上零点个数，即是曲线切线的条数.，①当时，，在上恰有一个零点1；②当时，在上恒成立，在上单调递减，且，故在上有且只有一个零点，当时，在上恰有个零点；③时，在上递减，在上递增，故在至多有两个零点，且又函数在单调递增，且值域是，故对任意实数，必存在，使，此时由于，函数在上必有一零点；先证明当时，，即证若，，而，由于若，构建函数，在为增函数，综上时，，所以，故又，，所以在必有一零点.当时，在上有两个零点综上：时，有1条切线；时，有2条切线.点睛：导数在研究函数零点中的作用(1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等．(2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．7．【2018届湖南省长沙市长郡中学模拟卷（二）】已知函数，（，且）. （1）当时，若对任意，恒成立，求实数的取值范围；（2）若，设，是的导函数，判断的零点个数，并证明.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）由题意，求导，若k≤0，则g′（x）＞0，根据函数的单调性即可求得g（x）最大值，即可求得实数k的取值范围；（2）构造辅助函数，求导，根据函数的单调性及函数零点的判断，即可求得f'（x）的零点个数．详解: （1）当时，对任意，恒成立，令，求导，由，则，若，则，所以在上是增函数，所以，符合题意，当时，令，解得，，则在上是减函数，当时，，不符合题意，综上可知的取值范围为.其中，则，，，当时，，由零点存在定理及单调性可知在上存在唯一的零点，取，则，令，知在上是减函数，故当时，，即，由零点存在定理及单调性可知在上存在唯一，，由的单调递减区间是，则在上仅存在唯一的零点，综上可知共有三个零点.点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理.8．【2018届四川省成都市龙泉驿区第二中学校3月市“二诊”】设a >0，已知函x >0)．(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)试判断函数()f x 在()0,+∞上是否有两个零点，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2) 函数()f x 没有两个零点【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）假设2个零点，推出矛盾即可． 试题解析：()()22'0220f x x a x a <⇔+-+<，设()()2222g x x a x a =+-+，则()161a ∆=-，①当1a ≥时， 0∆≤， ()0g x ≥，即()'0f x ≥， ∴()f x 在()0,+∞上单调递增；②当01a <<时， 0∆>，由()0g x =得可知120x x <<，由()g x 的图象得：()f x 在()f x 在（Ⅱ）解法：函数()f x 在()0,+∞上不存在两个零点 假设函数()f x 有两个零点，由（Ⅰ）知， 01a <<， 因为()0ln 0f a =->，则()20f x <，即由()2'0f x =知 ，则()ln 2t t <（＊），，得()1,2t ∈， 设()()ln 2h t t t =-，得所以()h t 在()1,2递增，得()()11ln20h t h >=->，即()ln 2t t >， 这与（＊）式矛盾，所以上假设不成立，即函数()f x 没有两个零点． 9．【2018届安徽亳州市涡阳一中最后一卷】已知.（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围； （2）当，时，证明：函数只有一个零点；（3）若的图像与轴交于，两点，中点为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】分析：（1）在上递增， ∴ 对恒成立即对恒成立，∴只需即可；（2）利用导数研究函数的单调性，可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴当时，函数取得最大值，其值为，当时，，即，从而可得结果；（3）由已知得，化为，可得，，，只需证明即可得结论.（2）当，时，，其定义域是，∴ ，∵ ，∴ 时，；当时，∴ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减∴ 当时，函数取得最大值，其值为当时，，即∴ 函数只有一个零点（3）由已知得两式相减，得，由及，得令，，∵ ，∴ 在上递减，∴∵ ，∴10．【2018届河南省洛阳市第三次统一考试】已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：不等式恒成立（其中，）.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证明恒成立．设，则上式等价于，要证明对任意，恒成立，要证明g（x1+x2）＞g（x1-x2）对任意x1∈R，x2∈（0，+∞）恒成立，即证明在上单调递增，根据函数的单调性证明即可．详解：（1）由于.1）当时，，当时，，递增，当时，，递减；2）当时，由得或.当时，，当时，，递增，当时，，递减，当时，，递增；当时，，递增；③当时，.当时，，递增，当时，，递减，当时，，递增.综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在，上是增函数，在上是减函数；当时，在上是增函数；当时，在，上是增函数，在上是减函数.（2）依题意恒成立.设，则上式等价于，要证明对任意，恒成立，即证明在上单调递增，又，只需证明即可.令，则，当时，，当时，，∴，即，，那么，当时，，所以；当时，，，∴恒成立.从而原不等式成立.11．【2018届四川省南充市三诊】函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求单调递减区间和极值（其中为自然对数的底数）；（Ⅱ）若对任意，恒成立.求的取值范围.【答案】（Ⅰ）的单调递减区间为，极小值为2，无极大值.（Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出k的值，然后利用导数求该函数单调区间及其极值；（Ⅱ）由题意可知，函数f（x）-x在（0，+∞）上递增，即该函数的导数大于等于零在（0，+∞）恒成立，然后转化为导函数的最值问题来解．详解：（Ⅰ）由，知，.因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，即，得.所以.当时，，在单调递减；当时，，在单调递增.所以当时，有极小值，且极小值为.综上，的单调递减区间为，极小值为2，无极大值.（Ⅱ）因为对任意，恒成立所以对任意恒成立，令，则在单调递减，所以在恒成立，所以恒成立.令，则.所以的取值范围是.点睛：利用函数的导数研究函数的单调性有两种题型，一种是求单调区间，只需令导数大于0求增区间，令导数小于0求减区间；另一种是已知函数的单调性求参数，若已知函数单增，只需函数导数在区间上恒大于等于0即可，若已知函数单减，只需函数导数小于等于0即可.注意等号！12．【2018届安徽省合肥市高三三模】已知函数有两个极值点，（为自然对数的底数）. （Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：(Ⅰ) 函数有两个极值点，只需有两个根，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理与函数图象可得当时，没有极值点；当时，当时，有两个极值点；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，为的两个实数根，，在上单调递减，问题转化为，要证，只需证，即证，利用导数可得，从而可得结论.详解：(Ⅰ)∵，∴.设，则.令，解得.∴当时，；当时，.∴.当时，，∴函数单调递增，没有极值点；当时，，且当时，；当时，. ∴当时，有两个零点.不妨设，则.∴当函数有两个极值点时，的取值范围为.∵函数在上也单调递减，∴.∴要证，只需证，即证.设函数，则.设，则，∴在上单调递增，∴，即.∴在上单调递增，∴.∴当时，，则，∴，∴.。
利用导数研究函数的性质
利用导数研究函数的性质1． 函数的单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：① 确定函数)(x f 的 ；② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴ 极值的概念设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；② 求方程)(x f '＝0的 ；③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .3．函数的最大值与最小值： ⑴ 设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行：① 求y ＝)(x f 在(a ,b )内的 值；② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递增，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递减，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 . 例1. 已知f(x)=e x-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解：)(x f '=e x-a.（1）若a ≤0，)(x f '=e x-a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增.若a>0,e x -a ≥0,∴e x≥a,x ≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). （2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴)(x f '≥0在R 上恒成立.∴e x-a ≥0，即a ≤e x在R 上恒成立.∴a ≤（e x ）min ，又∵e x>0，∴a ≤0.（3）方法一 由题意知e x-a ≤0在（-∞，0］上恒成立.∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立.∵e x在（-∞，0］上为增函数.∴x=0时，e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x-a ≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a ≤e x在［0，+∞）上恒成立.∴a ≤1，∴a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0('f =0,即e 0-a=0,∴a=1.变式训练1. 已知函数f(x)=x 3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x 3-ax-1的图象不可能总在直线y=a 的上方.（1）解 由已知)(x f '=3x 2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴)(x f '=3x 2-a ≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立.∵3x 2≥0,∴只需a ≤0,又a=0时，)(x f '=3x 2≥0,故f(x)=x 3-1在R 上是增函数，则a ≤0.（2）解 由)(x f '=3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立，得a ≥3x 2,x ∈(-1,1)恒成立.∵-1<x<1,∴3x 2<3,∴只需a ≥3.当a=3时，)(x f '=3(x 2-1),在x ∈(-1,1)上，)(x f '<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a ≥3. 故存在实数a ≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明 ∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a 的上方.例2. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x ）有极值.（1）求a,b,c 的值；（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x 3+ax 2+bx+c,得)(x f '=3x 2+2ax+b,当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a+b=0 ①当x=32时，y=f(x)有极值，则⎪⎭⎫ ⎝⎛'32f =0,可得4a+3b+4=0 ②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x 3+2x 2-4x+5,∴)(x f '=3x 2+4x-4, 令)(x f '=0,得x=-2,x=32.当x 变化时，y,y ′的取值及变化如下表：x-3 (-3,-2)-2⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,232⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 1y′ + 0 - 0 + y8单调递增 ↗ 13 单调递减 ↘ 2795 单调递增↗4∴y=f （x ）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.2795 变式训练2. 函数y=x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.解 先求导数,得y ′=4x 3-4x,令y ′=0,即4x 3-4x=0.解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1. 导数y ′的正负以及f(-2),f(2)如下表:x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y′ - 0 + 0 - 0 +y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4.例3. 已知函数f(x)=x 2e -ax(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.解 ∵f （x ）=x 2e -ax （a ＞0）,∴)(x f '=2xe -ax +x 2·（-a)e -ax =e -ax (-ax 2+2x). 令)(x f '>0,即e -ax (-ax 2+2x)>0,得0<x<a2. ∴f(x)在（-∞,0),⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a上是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,0上是增函数.①当0<a2<1,即a>2时,f(x ）在（1，2）上是减函数, ∴f （x ）max =f （1）=e -a. ②当1≤a2≤2,即1≤a ≤2时， f(x)在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2,1上是增函数，在⎪⎭⎫⎝⎛2,2a上是减函数，∴f(x)max =f ⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2=4a -2e -2.③当a2>2时，即0<a<1时，f(x)在（1，2）上是增函数， ∴f （x ）max =f （2）=4e -2a.综上所述，当0<a<1时，f(x)的最大值为4e -2a,当1≤a ≤2时，f(x)的最大值为4a -2e -2,当a>2时，f(x)的最大值为e -a.变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(x ∈R ),其中a ∈R .（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程； （2）当a ≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x 3+2x 2-x,f(2)=-2,)(x f '=-3x 2+4x-1, =')2(f -12+8-1=-5,∴当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为 5x+y-8=0.（2）f(x)=-x(x-a)2=-x 3+2ax 2-a 2x,)(x f '=-3x 2+4ax-a 2=-(3x-a)(x-a), 令)(x f '=0,解得x=3a或x=a. 由于a ≠0，以下分两种情况讨论.①若a>0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表：x(-∞,3a ) 3a (3a ,a) a (a,+∞) )(x f '- 0+ 0 - f(x)↘3274a - ↗↘因此，函数f(x)在x=3a 处取得极小值f （3a）， 且f （3a ）=-;2743a函数f(x)在x=a 处取得极大值f(a),且f(a)=0.②若a<0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表： x(-∞,a) a (a,3a ) 3a (3a,+∞) )(x f '- 0 + 0 -f(x)↘↗-3274a ↘因此，函数f(x)在x=a 处取得极小值f(a),且f(a)=0； 函数f(x)在x=3a 处取得极大值f （3a）, 且f （3a ）=-3274a .例4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）.解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x ∈［9,11］.(2))(x L ' =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x). 令'L =0得x=6+32a 或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a ≤5,∴8≤6+32a ≤328. 在x=6+32a 两侧L ′的值由正变负.所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a ＜29时，L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). ②当9≤6+32a ≤328，即29≤a ≤5时，L max =L(6+32a)=(6+32a-3-a)［12-(6+32a)］2=4(3-31a)3.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<≤-=.529,3134,293),6(9)(3a a a a a Q答 若3≤a ＜29，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a)（万元）；若29≤a ≤5，则当每件售价为(6+32a)元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q(a)=33134⎪⎭⎫ ⎝⎛-a (万元).变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x 2-10x 3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本） （2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ （3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解：（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x 2+3 240x-5 000(x ∈N *，且1≤x ≤20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2+60x+3 275 (x ∈N *,且1≤x ≤19).（2）)(x P '=-30x 2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ∵x>0,∴)(x P '=0时,x=12，∴当0<x<12时，)(x P '>0,当x>12时，)(x P '<0,∴x=12时，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.（3）MP(x)=-30x 2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305. 所以，当x ≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为［1，19］，且x ∈N *.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.研究可导函数)(x f 的单调性、极值（最值）时，应先求出函数)(x f 的导函数)('x f ，再找出)('x f ＝0的x 取值或)('x f >0()('x f <0)的x 的取值范围．。
导数与函数的象变换性质研究
导数与函数的象变换性质研究函数是数学中的重要概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
在研究函数的性质时，导数是一个不可忽视的工具。
导数可以描述函数在某一点的斜率，同时也包含了函数的信息。
而函数的象变换性质则表示了函数在自变量发生变化时，函数值的变化情况。
本文将研究导数与函数的象变换性质，探究它们之间的关系。
一、导数的定义及性质首先，我们回顾一下导数的定义。
设函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，那么导数$f'(x_0)$表示了函数$f(x)$在$x_0$处的斜率，即函数曲线在该点的切线斜率。
导数的定义如下：$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$导数具有以下一些性质：性质1：如果函数在某点可导，则该点连续。
性质2：如果函数在某点可导，则该点的导数存在唯一值。
这些性质保证了导数在函数研究中的重要作用，并为我们研究导数与函数的象变换性质奠定了基础。
二、导数与函数的象变换性质在函数的研究中，我们经常需要分析自变量发生变化时函数值的变化情况。
这涉及到函数的象变换性质，而导数可以帮助我们更好地理解函数的象变换。
1. 函数的平移变换考虑函数$y=f(x)$，如果将$x$的值整体加上一个常数$h$，那么函数的图像将向左（若$h>0$）或向右（若$h<0$）平移。
我们研究这样一个问题：平移变换是否会改变函数的导数？设平移前的函数为$y=f(x)$，平移后的函数为$y=f(x-h)$，其中$h$为常数。
我们来研究平移前后函数的导数之间是否存在关系。
根据导数的定义，可得:$$f'(x)=[f(x-h)]'=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x-h+\Delta x)-f(x-h)}{\Delta x}$$注意到$f(x)$的自变量$x$变成了$x-h$，因此$f'(x)$就变成了$[f(x-h)]'$。
《利用导数研究函数的性质》典型例题
− + ( ∈ ).在直线
= 上是否存在点,使得过点至少有两条直线与曲线 = ()相切?若存
在,求出点坐标;若不存在,说明理由.
点拨
这是一道考查导数的实际应用问题,了解数学模型中的参数、结论的实际含义.与
存在性有关的不等式证明或求参数取值范围的问题转化为函数最值问题,把图形位
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+ − = − + − ,
典型例题
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题型3 求导数应用中“存在性”问题(数学建模)
典例3
[简单问题解决能力]已知函数() =
− + ( ∈ ).在直线
= 上是否存在点,使得过点至少有两条直线与曲线 = ()相切?若存
解析 由() ≥ + + ,得 − ( + ) − ≥ 在 ∈ 上恒成立.
设() = − ( + ) − ,则′() = − ( + ).
由′() = − ( + ) = ,得 = ( + ), ( > −).
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人教B版同步教材名师课件
利用导数研究函数的性质
---典型例题
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考情分析
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导数与函数内容的结合命题已成为高考的热点题型,应引起足够的重视.理解
函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数单调性,掌握利用导数求函
数极值、最值的方法,会利用导数解决某些实际问题.以导数为研究函数的重
《利用导数研究函数的性质》知识探究
在区间(, )内可导,如果在(, )内,′() > ,则()在此区间是单调增加的;
如果在(, )内,′() < ,则()在此区间是单调减少的.
如果函数 = ()在的某个开区间内,总有′() > ,则()在这个区间上
严格增加,这时该函数在这个区间为严格增函数;如果函数自变量在某个开
(3)把函数()的间断点(即()的无定义点)的横坐标和(2)中各个实根按从小
到大的顺序排列起来,然后用这些值把函数()的定义域分成若干个小区间;
(4)用′()的值的符号判定函数()在各个相应小开区间的单调性.可列出自
变量变化时,(),′()的变化情况表,这样可使问题一目了然.
+ ′ = .
(7)′() + () ⇒ () = ().(8)′() + () ⇒ () = ().
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典型例题
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推测解释能力
典例4 已知定义在上的函数(),其导函数为′(),若′() − () <
− , () = ,则不等式() > + 的解集是( C )
A.(−∞, −]
B.(, +∞)
C.(−∞, )
D.(, +∞)
解析 利用函数的单调性解不等式,关键掌握常见的构造函数的模型,对其进行直接推理.
构成函数() =
则′() =
()
′()−()
C.() > () > ()
D.() > () > ()
解析
利用导数图象判断函数的增减性,导函数图象看正负,原函数图象看增减,结合函数
导数在研究函数中的应用教学设计及说明样本
教案: 函数的单调性与导数教学设计中卫市第一中学: 俞清华2月12日授课班级高二(5)班授课教师俞清华学科数学课型新课课题函数的单调性与导数( 第一课时)授课方法启发和探究教学相结合现代化教学辅助手段多媒体课件教学目的要求1、知识与技能目标:能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间;能由导数信息绘制函数大致图象。
2、过程与方法目标:经过本节的学习, 掌握用导数研究函数单调性的方法。
3、情感、态度与价值观目标:经过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结, 引导学生养成自主学习的学习习惯。
教学重点难点重点:探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。
难点:利用导数信息绘制函数的大致图象。
学习过程学海泛舟学海拾贝( 一) 复习引入问题1: ( 让学生思考)求下列函数的单调区间?(1) f (x) = x2－4x－5(2) f (x) = 2x3+3x2－24x+1( 引出课题)问题2:某点处导数的几何意义?这一点处的导数即为这一点处切线的斜率以问题形式复习相关的旧知识, 同时引出新问题: 三次函数判断单调性, 定义法、图象法很不方便, 有没有捷径? 经过创设问题情境, 使学生产生强烈的问题意识, 积极主动地参与到学习中来。
( 二) 讨论研究( 让学生先作图, 再根据flash动画, 归纳出定理)定理:一般地, 函数y＝f( x) 在某个区间(a,b)内1) 如果恒有f′(x)>0, 那么y=f( x)在这个区间( a,b)内单调递增;2) 如果恒有f′(x)<0, 那么y=f( x) 在这个区间(a,b)内单调递减。
注意:①应正确理解” 某个区间” 的含义, 它必是定义域内的某个子区间。
教师对具体例子进行动态演示, 学生对一般情况进行实验验证。
由观察、猜想到归纳、总结, 让学生体验知识的发现、发生过程, 变灌注知识为学生主动获取知识, 从而使之成为课堂教学活动的主体。
②如果在某个区间内恒有 f /(x)＝0 ,则f(x) 为常数函数.( 三) 演练反馈:例1、已知导函数 f /(x)的下列信息:当1<x<4时, f /(x)>0;当x>4,或x<1时, f /(x)<0;当x=4,或x=1时, f /(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状。
利用导数研究函数性质
山西师范大学现代文理学院本科毕业论文利用导数研究函数性质姓名院系数学与计算机科学系专业数学与应用数学班级 0803班学号0890110320指导教师答辩日期成绩论文题目：利用导数研究函数性质内容摘要导数作为研究函数性质极其重要而有力的工具，为我们解决许多函数问题提供了一种更简单易行的方法和途径，极大地丰富了数学思想方法。
本文通过结合具体的例子，论述了导数在研究函数性质时的一些应用：比如利用导数处理函数图像的切线问题、利用导数研究函数的单调性、解决极值最值问题、以导数为工具探讨函数零点个数、应用导数证明不等式、进行近似计算。
【关键词】导数函数的性质函数的零点不等式近似计算Title:The study of function by using derivativeA bstractResearch on the properties of function derivate as extremely important and powerful tool,for us to solve many function provides a more simple metheod and the way,greatly enriched the mathematical thought and methed.In this paper,through a combination of specific examples,discuss the research on the properties of function derivative in the application: Such as the use of the derivative function image tangent promblem,using derivative of monotonicity of functions,solving the most value problem with the derivative extremum,as a tool to examine zero number of functions,application of the derivative to prove inequality ,approximate calculation. 【Key Words】derivative properties of function zero of a function inequalityapproximate calculation目录引言 (1)一、导数的相关概念 (1)二、函数基本性质的研究 (2)（一）利用导数处理函数图像的切线问题 (2)（二）利用导数判断函数的单调性 (3)（三）利用导数求函数的极值、最值 (5)三、函数零点个数的探讨 (7)四、不等式的证明 (9)五、利用导数解决近似计算问题 (10)结束语 (11)参考文献 (11)致谢 (12)利用导数研究函数性质学生姓名：马江莲 指导老师：任辛喜 引言导数是联系初、高等数学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具，它的工具已经渗透到数学的很多分支，这在函数的研究中更是得到了体现。
利用导数研究函数的性质复习优秀课件
解析：f ′(x)＝3x2－2a，令 f ′(x)＝0 得，a＝32x2，∵f(x) 在(0,1)内有极小值，∴f ′(x)＝0 在(0,1)内有解，∴f ′(0)<0 且 f ′(1)>0，∴a∈(0，32)，故选 B.为 x＝x0，x0∈(0,1)，则 x ∈(0，x0)时，f ′(x)＝3x2－3x20＝3(x＋x0)(x－x0)<0，x∈ (x0,1)时，f ′(x)>0，∴f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0,1) 上单调递增，因此 x0 是 f(x)的极小值点．由于是选择题， 故解答过程中上述验证 f(x)能够取得极小值的过程可省 略，若是解答题，省去上述过程则解答过程不完整．
2．函数的极值 (1)函数极值的定义 已知函数 y＝f(x)，设 x0 是定义域(a，b)内任一点， 如果对 x0 附近的所有点 x，都有 f(x)<f(x0)(f(x)>f(x0))，则 称 f(x)在点 x0 取得极大(小)值，称 x0 是 f(x)的一个极大(小) 值点．
3．函数的最大值与最小值 函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]内可导的函 数 f(x)必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内可导的 函数 f(x)不一定有最大值与最小值．
第 4 步 将 f(x)的各极值及 f(a)、f(b)比较，其中最 大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
注：据新课标的要求，有关函数最大值、最小值的 实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题 中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与 端点值比较，就可以知道这一点就是最大(小)值点．
当 0<k－1<1，即 1<k<2 时，
由(1)知 f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单 调递增，所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k－1)＝－ek －1；
同济大学高等数学2.5导数在研究函数性态上的应用
进一步，如果在实际问题中根据问题的性质可 以判定可导函数 f (x) 确有最值，且一定在定义区间 内部取得，则唯一的驻点 x0 必是 f (x)的最值点。
怎样选择它的直径与高，使得所用的材料最省？
解 设圆柱体的底面直径为 d，高为h，表面积为S，则有：
S
d
h
d2
V d 2h 4
S 4V d 2，
d 0
4
d4
令S 0，解得唯一驻点 d 23 V 。
又由问题的实际意义可 知最小表面积 S一定存在，
所以唯一驻点d 23 V 就是最小点，
此时 h 4V 3 V
()
(2) f (x) 0 f (x) 在区间 I 上严格单调增加
()
（减少）.
定理 2 设函数 f 在区间 I 上可导，则 f 在区间 I 上 严格单调增加（减少）充要条件是
(1) 对x I,有 f (x) 0（ 0）； (2) 在I的任一部分区间上f (x) 都不恒等于零.
例1 讨论下列函数的单调性,并指出单调区间：
当 x ( x , x ) 时， f (x) 0 ， 则 f (x) 在点 x 取得极小值； （3）若 f (x) 在点 x 的左、右邻域内保持同号， 则 f (x) 在点 x 处无极值。
例5 求函数 f (x) (x 1) 3 x2的极值.
解：f ( x) 3 x 2 2( x 1) 5x 2
几点说明： （1）极值是指函数的值，而极值点是指自变量的值，
两者不要混淆。 （2）函数极值的概念是局部性的，它不一定是函数在
利用导数研究函数的性质
又 g(x)是奇函数，所以 g(x)在 R 上单调递减，因为 20.6>1，0<ln 2<1，log218
＝－3<0，所以
1 log28<0<ln
2<1<20.6，又
a＝g(20.6)，b＝g(ln
2)，c＝glog218，
所以 c>b>a.故选 B.
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考向二
解析
角度 同构法构造函数
例 3 (1)(2022·新高考Ⅰ卷)设 a＝0.1e0.1，b＝19，c＝－ln 0.9，则(
在(0，＋∞)上恒成立，则
k>f(x)＋x12＝ln
x＋1 x2 在(0，＋∞)上恒成立．
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考向二
解析
ln x＋1
－2ln x－1
令 g(x)＝ x2 ，故 k>g(x)max，因为 g′(x)＝ x3 ，令 g′(x)＝0，
解得 x＝ 1e，当 0<x< 1e时，g′(x)>0，则 g(x)单调递增，当 x> 1e时，g′
A．2－ln 4
B．2＋ln 4
C．e－ln 2
D．e＋ln 2
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考向二
答案
解析 由题意，设 x1ln x1＝x2ex2＝ex2ln ex2＝t，即 f(x1) ＝f(e x2)＝t，由 f′(x)＝1＋ln x，得在0，1e上，f′(x)<0， f(x)单调递减；在1e，＋∞上，f′(x)>0，f(x)单调递增， f(x)≥f1e＝－1e，且 f(1)＝0，f(x)的图象如图所示．由图可知，当 t∈(0， ＋∞)时，x1＝e x2，即 x2＝ln x1，且 x1>1，
利用导数研究函数的性态
利用导数研究函数的性态目录标题 (1)中文摘要 (1)1. 函数的单调性 (1)1.1单调性判别法 (1)1.2单调区间的划分 (2)1.3典型例题分析 (2)2. 函数的极值 (3)2.1极值的概念 (3)2.2极值存在的条件 (4)2.3典型例题解析 (4)3. 函数的最大值、最小值问题 (5)3.1闭区间上连续函数的最大值、最小值求法 (6)3.2应用问题的最值的求法 (6)4. 函数的凸凹性 (7)4.1概念 (7)4.2定理 (8)4.3解题步骤 (8)4.4经典题型 (9)5. 曲线的渐近线 (9)5.1水平渐近线 (9)5.2垂直渐近线 (9)5.3斜渐近线 (9)6. 描绘函数图像 (10)6.1简单介绍及描绘图像步骤 (10)6.2典型例题分析 (11)参考文献 (12)致谢 (13)外文页 (14)利用导数研究函数的性态摘要导数的广泛应用为我们解决函数问题提供了有力的工具.下面通过六部分内容:可导函数单调性判别法、函数的极值、函数的最大（小）值、函数的凹凸性、渐近线、讨论函数图像.对运用导数研究函数性态进行了讨论,其中研究的性质有函数的单调性、极值、最值及函数的凹凸性与拐点,并由这些性质和中学所学的函数的定义域、周期性和奇偶性等等来讨论函数的图像.关键词导数函数单调性凹凸性拐点渐近线Research on the use of derivative function of stateZhuang Wenjie Directed by Prof. Liu LimeiAbstract Extensive use of derivatives, in order to solve the function. Through the six Sparts: 1. Monotonicity derivative discriminant function method; 2. Extremal function；3. Function of the maximum, minimum; 4. Function with the inflection point of the convex-concave；5.Inflection point；6.To discuss the image function.Research on the use of derivative function of state were discussed. including the nature of the study of monotone functions, extreme value, the most value and function with the inflection point of the convex-concave, and these schools have learned the nature and definition of the function domain, cycle and parity and so on to discuss the function of the image.Key words Derivative Function Monotonicity Bump Inflection point Asymptote导数是数学的重要基础,是联系初、高等数学的纽带.它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野, 是研究函数性质、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些问题的有力工具.应借助于导数在函数中的应用,深刻领会在利用导数探究函数的单调性、极值(与最值)这一过程中的原理. 运用导数来研究函数的性态,它包括如下内容：单调性、极值、最值及函数的凹凸性与拐点、渐近线、函数的图像.下面我们通过六部分内容来详细说明一下.⒈函数的单调性中学《数学》用代数的方法讨论了一些函数的性态如单调性、极值性、奇偶性、周期性等.由于受方法的限制讨论得既不深刻也不全面,且计算繁琐,也不易掌握其规律.而导数为我们深刻、全面地研究函数的性态提供有力的数学工具.回顾以前知识可以知道,导数的几何意义也就是切线的斜率,导数的实际意义就是变化率(如同上坡的变化率是坡度等),而物理意义如同位移之如速度、速度之如加速度等等.1.1 单调性判别法定理1 若函数)(x f 在),(b a 内可导,则⑴)(x f 在),(b a 内单调递增⇔0)(≥'x f ,((,))x a b ∀∈; ⑵)(x f 在递减⇔0)(≤'x f ,)),((b a x ∈∀. 定理2 若函数)(x f 在),(b a 内可导,则),(b a 内单调.⑴ )(x f 在),(b a 内严格递增⇔ ①),(b a x ∈∀,有0)(≥'x f ;②在),(b a 内的任何子区间上)(x f '不恒等于0.⑵ )(x f 在),(b a 内严格递减⇔ ①),(b a x ∈∀,有0)(≤'x f ;②在),(b a 内的任何子区间上)(x f '不恒等于0.推论 设函数()f x 在),(b a 内可导.若0)(>'x f (0)(<'x f ),则()f x 在),(b a 内严格递增(严格递减).但仍需注意,本推论只是严格单调的充分条件.例如3)(x x f =在R 上是严格单调的,但23)(x x f ='并不是在R 上恒大于0的,因为003)0(2=⨯='f ,即允许个别离散的点使得0)(='x f .满足方程0)(='x f 的点0x 为函数()f x 的稳定点(又称驻点).1.2 单调区间的划分⑴ 函数单调区间的分界点可能是: 驻点或不可导点. ⑵ 求单调区间的步骤:①求出函数的定义域;②求出可能的分界点:驻点或不可导点;③用上述各点将定义域分成若干个小区间;④判断每个小区间上)(x f '的符号, 从而得出结论.1.3 典型例题分析例1 求x xx y ln 426-+=的单调区间. 分析：先求函数的定义域，再利用一阶导数为零的点和导数不存在的点将定义域划分为几个部分区间，然后分别确定函数在这些区间上的单调性。
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1．导数与导函数的概念
(1)设函数y＝f(x)在区间(a, b)上有定义, x0∈(a, b), 若Δx无限趋近
于0时, 比值Δy
Δx＝
f x0＋Δx－f x0
Δx无限趋近于一个常数A, 则
称f(x)在x＝x0处可导, 并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative), 记作f′(x0)．
(2)若f(x)对于区间(a, b)内任一点都可导, 则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化, 因而也是自变量x的函数, 该函数称为f(x)的导函数, 记作f′(x)．
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义, 就是曲线y＝f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率k, 即k＝f′(x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数导函数
f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0
f(x)＝xα(α为常数)f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝e x f′(x)＝e x
f(x)＝a x(a>0, a≠1)f′(x)＝a x ln_a
f(x)＝ln x f′(x)＝1 x
f(x)＝log a x(a>0, a≠1)f′(x)＝
1 x ln a
4.导数的运算法则
若f′(x), g′(x)存在, 则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x);
(3)[f x
g x]′＝f′x g x－f x g′x
g2x(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
若y＝f(u), u＝ax＋b, 则y′x＝y′u·u′x, 即y′x＝y′u·a.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打”√”或”×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．()
(2)求f′(x0)时, 可先求f(x0)再求f′(x0)．()
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()
(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．()
1．(教材改编)f′(x)是函数f(x)＝1
3x
3＋2x＋1的导函数, 则f′(－1)的值
为________．
2．如图所示为函数y＝f(x), y＝g(x)的导函数的图象, 那么y＝f(x), y ＝g(x)的图象可能是________．
3．设函数f(x)的导数为f′(x), 且f(x)＝f′(π
2)sin x＋cos x, 则f′(
π
4)＝
________.
4．已知点P在曲线y＝4
e x＋1上, α为曲线在点P处的切线的倾斜角, 则α的取值范围是__________．
5．( ·陕西)设曲线y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y＝1
x(x＞0)上点P
处的切线垂直, 则P的坐标为________．
题型一导数的运算
例1求下列函数的导数:
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1);
(2)y＝x2sin x;
(3)y＝3x e x－2x＋e;
(4)y＝
ln x x2＋1
;
(5)y＝ln(2x－5)．
思维升华(1)求导之前, 应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简, 然后求导, 这样能够减少运算量, 提高运算速度, 减少
差错; 遇到函数的商的形式时, 如能化简则化简, 这样可避免使用商的求导法则, 减少运算量．(2)复合函数求导时, 先确定复合关系, 由外向内逐层求导, 必要时可换元．
(1)f(x)＝x(2 016＋ln x), 若f′(x0)＝2 017, 则x0＝________.
(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2, 则f′(－1)＝________.题型二导数的几何意义
命题点1已知切点的切线方程问题
例2(1)函数f(x)＝ln x－2x
x的图象在点(1, －2)处的切线方程为
__________．
(2)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．
命题点2未知切点的切线方程问题
例3(1)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是__________．
(2)已知函数f(x)＝x ln x, 若直线l过点(0, －1), 而且与曲线y＝f(x)相切, 则直线l的方程为____________．
命题点3 和切线有关的参数问题
例4 已知f (x )＝ln x , g (x )＝12x 2＋mx ＋7
2(m <0), 直线l 与函数f (x ), g (x )的图象都相切, 且与f (x )图象的切点为(1, f (1)), 则m ＝________. 命题点4 导数与函数图象的关系
例5 如图, 点A (2,1), B (3,0), E (x,0)(x ≥0), 过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S , 则函数S ＝f (x )的图象为下图中的________(填序号)．。