专题：几何证明选讲

专题：几何证明选讲
【知识梳理】
1.相似三角形的判定定理：
判定定理1.两角对应相等的三角形相似。

判定定理2.三边对应成比例的两个三角形相似。

判定定理3.两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似。

2.相似三角形的性质
性质定理1.相似三角形对应边上的高、中线和它们的周长的比都等于相似比。

性质定理2.相似三角形的面积比等于相似比的平方。

3.平行截割定理
三条平行线截任意两条直线，所截出的对应线成比例。

4.射影定理
直角三角形中，每一条直角边是这条直线边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项。

5.圆周角与弦切角
圆的切线判定定理：经过圆的半径的外端切垂直于这条半径的直线，是圆的切线。

圆的切线的性质定理：圆的切线垂直过圆的半径。

推论1.从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等。

推论2.经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这个点向圆所做的两条切线所夹的角。

6.圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。

推论1.直径所对的圆周角都是直角
推论2.同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论3.等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径。

7.弦切角定理
弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

推论：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。

8.圆幂定理
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线短长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

圆幂定理：（不用掌握）
9.圆内接四边形的性质
定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

10.圆内接四边形的判定
定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆。

【知识梳理】
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理
平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

相似三角形的判定及性质
相似三角形的判定：
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。

所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；
（2）相似三角形周长的比等于相似比；
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

直角三角形的射影定理
射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

圆周定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形的性质与判定定理
定理1：圆的内接四边形的对角互补。

定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

圆的切线的性质及判定定理
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

弦切角的性质
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

与圆有关的比例线段
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

图3
N O C B
A 【典型例题】
几何证明选讲
1．在梯形ABCD 中，AD//BC ，2AD =，5BC =，点E 、F 分别在AB 、CD 上，
且EF//AD ，若3
4
AE EB =，则EF 的长为
23
7
． 解析：方法一：在梯形ABCD 中，AD//BC ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF//AD ，若n
m
EB AE =，则(m+n)EF =mBC+nAD
方法二：延长BA 与CD 相交于点P,设PA=x, 利用两对三角形相似来求X ,和EF.
2． 已知圆的直径10AB =，C 为圆上一点，过C 作CD AB ⊥于D （AD BD <），若4CD =，则AC 的长为
3．如图3，四边形ABCD 内接于⊙O ，
BC 是直径，MN 与⊙O 相切, 切点为A ，M AB
∠35︒
=
则D ∠= 125︒
.
4．若BE 、CF 是ABC ∆的高，且ABC
BCEF S S ∆=四边形，则A ∠= 090 ．
5.如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P. 若PB=2，PD=6，则
BC AD 的值为 1
3。

解析：由平几知识可得：PAD PCB ∆∆ ，则
26BC PB AD PD ==1
3
=
6、如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，若
PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O 的半径为__ 2__．
7.(几何证明选讲选做题) 如右图，A 、B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，
D 和
E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知10,4==BE AC ，
且AD BC =，则DE =
8．（几何证明选讲选做题）如图，已知,45OA OB OC
ACB ==∠=︒，
D B
E
A
C
第7题图
则OBA ∠的大小为 45︒ .
9.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别作圆 的切线和割线交圆于
,A B ,且7PB =，C 是圆上一点使得
5BC =，则AB = .
2:,,,
,,7535,PA BAP BCA BAC APB AB PB
BAP BCA CB AB
AB PB CB AB ∴∠=∠∠=∠∴∆∆=∴=⋅=⨯=∴=解析是圆的切线又与相似从而
10．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一
点，且::4:2:1.DF
CF AF FB BE ==若CE 与圆相切，则
线段CE 的长为_
2
14_. 解析：⊿AD F ≌⊿CBF 则
AF FC DF EB = 设BE=x, FB=2x, AF=4x 则x
x 422= x=22
由切割线定理得：CE 2
=BE ×AE
11. 如图，⊙O 和⊙'O 都经过A 、B 两点，AC 是⊙'O
的切线，交⊙O 于点C ，AD 是⊙O 的切线，交⊙'O 于 点D ，若BC= 2，BD=6，则AB 的长为
解析：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 则∠CAB=∠ADB ∠DAB=∠ACB 则⊿ACB ～⊿DAB 则
BD
AB
AB BC = 12.（几何证明题选讲选做题）
如图P 是圆O 的直径AB 延长线上一点，PC 与圆O 相切于点C ，∠APC 的角平分线交AC 于点Q ，则∠AQP 的大小为_135
°_。

解析：连接OC ∵PC 为圆O 的切线 ∴∠OCP=90°∴∠COP+∠APC=90° ∵PQ 为∠APC 的角平分线 ∴∠APQ=21∠APC 在圆O 中∠BAC=2
1
∠COP ∴∠APQ+∠BAC=45° ∴∠AQP=135°
1.(2011年高考天津卷文科13)如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F,E 是AB 延长线上一点,且
若CE 与圆相切,则线段CE 的长为 .
【答案】2
【解析】设AF=4x,BF==2x,BE=x,则由相交弦定理得:2DF AF FB =⋅,即2
82x
=,即21
4
x =,由切割线定
理得:2
CE
EB EA =⋅=2774x =,
所以2
CE =
2．(2011年高考广东卷文科15)（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，
CD ＝2，E 、F 分别为AD 、BC 上点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为 ． 【答案】
.7
5 【解析】由题得EF 是梯形的中位线，7
5)43(2
1)32(21
=∙+∙+=∴
h h S S EFCD ABFE 梯形梯形 3.（2011年高考陕西卷文科15) B.（几何证明选做题）如图，,
B D AE ∠=∠ 且6AB =，4A
C =，12,A
D =则A
E =_______. 【答案】2
【解析】：Rt ABE Rt ADC ≅ 所以AB AE
AD AC
=， 即64
212AB AC AE AD ⨯⨯=
==
【巩固练习】
一、填空题(每小题6分，共计54分)
1．如图1，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的半径R ＝________.
图1 图2
解析：如图2所示，连接OA 、OB ，
则∠AOB ＝90°， ∵AB ＝4，OA ＝OB ，
∴OA ＝22，即R ＝2 2. 答案：2 2
图3
2．如图3，AB 、CD 是圆O 内的两条平行弦，BF ∥AC ，BF 交CD 于点E ，交圆O 于点F ，过A 点的切线交DC 的延长线于点P ，若PC ＝ED ＝1，PA ＝2，则AC 的长为________．
解析：∵PA 是⊙O 的切线，∴由切割线定理得：PA 2
＝PC ·PD ，∵PA ＝2，PC ＝1，∴PD ＝4，
又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2，由题意知四边形ABEC 为平行四边形，∴AB ＝CE ＝2.连接BC ，∵PA 是⊙O 的切线，
∴∠PAC ＝∠CBA ，∵AB 、CD 是圆的两条平行弦， ∴∠PCA ＝∠CAB ，∴△PAC ∽△CBA ， ∴
PC CA ＝CA AB
，∴AC 2
＝PC ·AB ＝2，∴AC ＝ 2. 答案： 2
3．如图4，已知圆O 的半径为3，PAB 和PCD 为圆O 的两条割线，且O 在线段AB 上，若PB ＝10，PD ＝8，则线段CD ＝________；∠CBD ＝________.
图4
解析：因为PA ＝10－2OA ＝4，PC ·PD ＝PA ·PB ＝40，所以PC ＝5，CD ＝PD －PC ＝3，连接OC ，OD ，则△OCD 为正三角形，所以∠COD ＝60°，则∠CBD ＝30°. 答案：3 30°
图5
4．如图5，△ABC 的外角∠EAC 的平分线AD 交BC 的延长线于点D ，若AB 是△ABC 外接圆的直径，且∠EAC ＝120°，BC ＝6，则线段AD 的长为________．
解析：因为AB 为直径，所以∠ACB ＝90°，又∠EAC ＝120°，所以∠BAC ＝60°，又BC ＝6，得AC ＝23，又∠ACD ＝90°，∠CAD ＝60°，则在Rt△ACD 中可得AD ＝4 3. 答案：4 3
图6
5．如图6，已知点C 在⊙O 的直径BE 的延长线上，CA 切⊙O 于点A ，若AB ＝AC ，则AC BC
＝________.
解析：因为∠B ＝∠EAC ，∠ACB ＝∠ACB ，所以△ACE ∽△BCA ，则AC BC ＝AE
AB
，在△ABC 中，又因为AB ＝AC ，
所以∠B ＝∠ACB ＝30°，在Rt△ABE 中，AE AB ＝tan B ＝tan30°＝33.故AC BC ＝3
3
.
答案：
3
3
图7
6．如图7，⊙O 与⊙P 相交于A 、B 两点，圆心P 在⊙O 上，⊙O 的弦BC 切⊙P 于点B ，CP 及其延长线交⊙P 于D ，E 两点，过点E 作EF ⊥CE ，交CB 的延长线于点F .若CD ＝2，CB ＝22，则由B 、P 、E 、F 四点所确定的圆的直径为________． 解析：连接PB .∵BC 切⊙P 于点B ，∴PB ⊥BC .又∵EF ⊥CE ，∴B 、P 、E 、F 四点共圆，连接PF ，又∵EF ⊥CE ，PB ⊥BC ，∴B 、P 、E 、F 四点所确定的圆的直径就是PF .∵BC 切⊙P 于点B ，且CD ＝2，CB ＝22，∴由切
割线定理得CB 2
＝CD ·CE ，∴CE ＝4，∴DE ＝2，∴BP ＝1.又易知Rt△CBP ∽△Rt△CEF ，∴EF BP ＝CE CB
，得EF ＝2，则在Rt△FEP 中，PF ＝PE 2
＋EF 2
＝3，即由B 、P 、E 、F 四点确定的圆的直径为 3. 答案： 3
图8
7．如图8，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，AD ＝2，AC ＝25，则AB ＝________. 解析：由射影定理可知， AC 2＝AD ·AB ，
所以AB ＝252
2
＝10.
答案：10
图9
8．如图9所示，圆的内接三角形ABC 的角平分线BD 与AC 交于点D ，与圆交于点E ，连接AE ，已知ED ＝3，BD ＝6，则线段AE 的长＝________.
解析：∵∠E ＝∠E ，∠EAD ＝∠EBA ，∴△EDA ∽△EAB ，得AE BE ＝ED AE
，即AE 2
＝ED ·BE ＝3×9，AE ＝3 3. 答案：3 3
图10
9．如图10，正△ABC 的边长为2，点M ，N 分别是边AB ，AC 的中点，直线MN 与△ABC 的外接圆的交点为P ，Q ，则线段PM ＝________.
解析：设PM ＝x ，则QN ＝x ，由相交弦定理可得PM ·MQ ＝BM ·MA ，即x ·(x ＋1)＝1，解得x ＝5－1
2.
答案：5－1
2。