用导数研究三次函数样本

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应用导数研究三次函数课件

3a 3a
知识点2 切线条数切点的个数
数学思想方法数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般性结论吗？
谢谢！

高中数学论文集导数在三次函数中的应用

导数在三次函数中的应用新课程的高考增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考察的要求逐渐加强，导数已经由前两年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。

三次函数是中学数学研究导数的一个重要载体，三次函数的问题涉及高中数学中较多的知识点和数学思想方法，近几年多个省高考数学试卷中都出现了以三次函数为载体，通过研究其图象性质，从而来考察学生的创新能力和探究能力的试题。

本人结合教学实践，就导数在三次函数中的应用及应用中的误区作初步的探讨。

一、关于三次函数的切线问题函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率。

也就是说，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率是)(0'x f ，相应的，切线的方程为))((00'0x x x f y y -=-例1：已知曲线13:23--=x x y S ，过原点作S 的切线，求切线方程。

误解：x x y 63'2-=，根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率0/'0===x y k ，所以所求的切线方程为0=y分析：此种解法错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率应该是在切点处的导数，而原点（0，0）不在曲线S 上，所以本题应该先设切点，再求斜率，最后求出切线方程。

正解：设切点为)13,(20300--x x x ，则切线的斜率02063x x k -=所以切线方程为：))(63()13(00202030x x x x x x y --=---因为原点在切线上，得到0)12()1(020=+-x x所以10=x 或210-=x 所以所求的切线方程为x y 3-=或x y 415= 例2：已知曲线233:x x y S -=，求过原点O （0，0）的切线方程。

误解：x x y 63'2-=，根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率0/'0===x y k ，所以所求的切线方程为0=y分析：此种解法少了一条切线，错误的原因在于混淆了两个不同的概念：“点O处的切线”与“过点O 的切线”。

4导数研究三次函数的性质

4导数研究三次函数的性质复习目标：掌握三次函数的图象和性质，尤其是利用导数研究单调性、极值情况，以及三次函数的零点。

复习重点难点：（1）三次函数的图象的四种情况；（2）三次函数的极值情况；【典型例题】题型一：三次函数单调性的讨论例1．已知函数32()2f x ax x x =++在R 上恒为增函数，求实数a 的取值范围.例2．已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a ,（I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．题型二：三次函数极值，最值的讨论例3. 已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-；（1）若'(1)3f =，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[]2,0上的最大值．例4．已知函数()f x 的导数2()33,f x x ax '=-(0).f b =,a b 为实数，12a <<.（1）若()f x 在区间[1, 1]-上的最小值、最大值分别为2-、1，求a 、b 的值；（2）设函数2()(()61)x F x f x x e '=++⋅，试判断函数()F x 的极值点个数．【课后作业】1.过曲线y ＝x 3+x-2上的点P 0的切线平行于直线y ＝4x-1,则切点P 0的坐标为2．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．3．函数f (x )=x 3＋x 2－x 在区间［－2，1］上的最大值和最小值分别是4.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为5．设函数b x a ax x x f +-+-=2233231)( (0<a <1)． (1)求函数)(x f 的单调区间； (2)当x ∈[]2,1++a a 时，不等式|()x f/ |≤a ，求a 的取值范围．6.已知函数3221()21(0)32a f x x x a x a =--+> （1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()y f x =的图象与值线0y =恰有三个交点，求实数a 的取值范围；（3）已知不等式2'()1f x x x <-+对任意(1,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.7.已知函数()()a x x f -=2()x b -,b a ,为常数,(1)若a b ≠,求证:函数()x f 存在极大值和极小值(2)设()x f 取得极大值、极小值时自变量分别为12,x x ,令点A 11(,()x f x ),B 22(,()x f x ),若a >b ，直线AB 的斜率为12-,求函数()x f 和/()f x 的公共递减区间的长度.答案：【典型例题】1． 61≥a . 2．（I ） 0)(,963)(2<'++-='x f x x x f 令，解得x <－1或x >3所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）)}2(),2(max{)(,5)1()(,3212m ax m in f f x f a f x f -=+-=-=∴<<-<-)2()2(,22)2(,2)2(->∴+=+=-f f a f a f 于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．3. 解析：（1）2'()32f x x ax =-．因为'(1)323f a =-=，所以0a =．又当0a =时，(1)1,'(1)3f f ==，所以曲线()(1,(1))y f x f =在处的切线方程为3x y --2=0．（2）令'()0f x =，解得1220,3a x x ==．当203a ≤，即a ≤0时，()f x 在[0，2]上单调递增，从而max (2)84f f a ==-．当223a ≥时，即a ≥3时，()f x 在[0，2]上单调递减，从而max (0)0f f ==．当2023a <<，即03a <<，()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而max 84,0 2.0,2 3.a a f a -<≤⎧⎪=⎨<<⎪⎩综上所述，max 84, 2.0, 2.a a f a -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩4.解（Ⅰ）由已知得，323()2f x x ax b =-+；由()0f x '=，得10x =，2x a =． ∵[1, 1]x ∈-，12a <<，∴ 当[1, 0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 递增；当(0, 1]x ∈时，()0f x '<，()f x 递减．∴ ()f x 在区间[1, 1]-上的最大值为(0)f b =，∴1b =．又33(1)11222f a a =-+=-，33(1)1122f a a -=--+=-，∴ (1)(1)f f -<．由题意得(1)2f -=-，即322a -=-，得43a =．故43a =，1b =为所求．（Ⅱ） 2222()(3361)33(2)1x x F x x ax x e x a x e ⎡⎤=-++⋅=--+⋅⎣⎦． ∴ []222()63(2)233(2)1x x F x x a e x a x e '⎡⎤=--⋅+--+⋅⎣⎦22[66(3)83]x x a x a e =--+-⋅．二次函数266(3)83y x a x a =--+-的判别式为22236(3)24(83)12(31211)123(2)1a a a a a ⎡⎤∆=---=-+=--⎣⎦，令0∆≤，得：21(2),22333a a -≤-≤≤+令0∆>，得2,233a a <->+或 ∵20x e >，12a <<，∴当22a ≤<时，()0F x '≥，函数()F x 为单调递增，极值点个数为0；当12a <<()0F x '=有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数()F x 有两个极值点．【课后作业】1.(1,0)或(-1,-4)2.解：f (x )＝a·b ＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，……4分∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t . …………7分∵f (x )在(－1,1)上是增函数，∴－3x 2＋2x ＋t ≥0在x ∈(－1,1)上恒成立．∴t ≥3x 2－2x ， ……………11分令g (x )＝3x 2－2x ，x ∈(－1,1)．∴g (x )∈⎣⎡⎭⎫－13，5，∴t ≥5. ……………15分3． f (x )max =1,f (x )min =－2。

用导数研究三次函数

用导数研究三次函数一、知识点解析1定义:定义1、形如y =ax3∙bx2∙ CX ∙d(a =0)的函数，称为“三次函数”。

定义2、三次函数的导函数为二次函数：f / (x) = 3ax2 2bx c(a = 0),我们把2 2=4b -12ac=4(b -3ac),叫做三次函数导函数的判别式。

2、三次函数图象与性质的探究：1、单调性2 3 2一般地，当b -3ac二0时，三次函数y = ax bx ∙cχ∙d(a=0)在R上是单调函数；当b -3ac 0时，三次函数y = ax bx CX d(a 0)在R上有三个单调区间。

2、对称中心3 2三次函数f (x) = ax bx CX d (^∙-z 0)是关于点对称，且对称中心为点b b(—I f (—))，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

3a 3ay= f(x)图象的对称中心在导函数y=∕'O)的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。

3、三次方程根的问题(1)当.∙, =b2 _3ac乞0时，由于不等式「(X)恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

■ 0时，由于方程f(X)= 0有两个不同的实根x1, X2,不妨设(2)当厶=b2 _3acX i ：：：x2, 可知，(χ1,f(χj)为函数的极大值点,(X2, f(x2))为极小值点，且函数y = f(x)在(」：，X1)和(x2, ■--)上单调递增，在"x1,x2 I上单调递减。

此时：①若f (x1) f (x2) 0 ,即函数y = f (x)极大值点和极小值点在X轴同侧，图象均与X轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

②若f (χ1) f (χ2) ：：：0 ,即函数y = f (x)极大值点与极小值点在X轴异侧，图象与X轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。

③若f(X1) f(X2^0 ,即f(X1)与f(X2)中有且只有一个值为0,所以，原方程有三个实根，其中两个相等。

导数与三次函数的关系

导数计算方法
通过乘法法则和链式法则，将原函数进行求导，得到导数表达式。
注意事项
在计算过程中，需要注意各项的系数和变量的指数变化。
三次函数导数的性质
单调性
通过导数的符号判断函数的单调性，若导数大于0，函数单调递增；若导数小于0，函数单调递减。
极值点
导数为0的点称为临界点或驻点，是函数值可能发生变化的点，即极值点。
数学教育改革
在数学教育领域，如何更好地教授导数与三次函数的关系，将直接影响学生理解和应用数学的能力。
未来研究方向
对于导数与三次函数关系的深入研究，将推动数学理论和应用的不断发展，为解决复杂问题提供更多有效工具。
THANKS
谢谢
凹凸性
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，二阶导数大于0，函数为凹函数；二阶导数小于0，函数为凸函数。
三次函数导数的几何意义
切线斜率
导数在某一点的值表示该点处切线的斜率。
函数变化率
导数表示函数在某一点附近的变化率，即函数值增量与自变量增量的比值。
单调区间
通过导数的符号变化，可以确定函数的单调区间。
优化问题求解
导数在优化问题中扮演关键角色，如最大值和最小值问题，通过求导可以找到使函数取得极值的点。
近似计算
在科学、工程和经济学中，经常需要估算函数的近似值，导数有助于更精确地估计这些值。
导数与三次函数关系在数学中的地位
连接初等与高等数学
导数与三次函数的关系是初等数学与高等数学之间的桥梁，帮助学习者逐
VS
极值判断
在找到极值点后，我们可以进一步判断这些点是极大值还是极小值。如果函数在极值点左侧递增，右侧递减，则该点为极大值；如果函数在极值点左侧递减，右侧递增，则该点为极小值。

三次多项式函数的性质研究与应用举例

中学数学杂志２１００年第７期
三次多项式函数的性质研究与应用举例
北京市六一中学
１教学中学习思考
１０４０１２
康志山
ｙ（）Ｘ有两个不同的零点为、且。０，））＜．Ａｘ１１新课标学习．（ Ⅲ ）只有两个不同的零点的充要条件是：ｘ有。）＝０．高中数学理科选修（＿２（２）文科选修（１—１）ｆ（）两个不同的零点为、且。：）导数及其应用一章，学课程标准中指出：用导数数会证明（Ｉ）充分性：１若厂（．）没有零点或只有一个零点，求不超过三次多项式函数的极值（大值、极极小值）单调区间以及闭区间上的最值（、最大值、最小
瓢毛％９为
综上）只有一个零点，厂（则）无零点或只个的零点与由（ Ⅱ
中学数学杂志２１００年第７期
２思考中性质探究
）＞０则），
１当．）Ｒ上单调时，在即任 ∈Ｒ有厂（）
≥ ０或厂（）≤ ０恒成立，以厂（）零点或有一所戈无个零点．
２当在Ｒ上）．不单调时，则存在 ∈Ｒ使得
厂（＞０，）还存在 ∈ Ｒ使得厂（）＜０成立所以厂（）必有零点，因为厂（）为二次函数，所以厂（）必有两个不同的零点，为。，以设、所，）（）（和，为）的极值，因为）只有一个零点，以，）的零点只能在（所（一∞ ，。（：）或，

导数法解“三次”函数问题

导数法解“三次”函数问题新教材中导数内容的介入，为研究函数的性质提供了新的活力，通过求导可以研究函数的单调性和极值，其操作的步骤学生易掌握，判别的方法也不难。

特别地，当f(x)为三次函数时，通过求导得到的f /(x)为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点P （00,y x ）处的切线的斜率)(0/x f k =，可得到斜率 k 为关于0x 的二次函数。

根据这些特点，一般三次函数问题，往往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。

下面笔者从课堂或试卷上出现的这一类型题目中选择几例，同时结合学生产生的问题，略作说明。

例1：已知f(x)=d cx bx x +++23在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为α、2、β.（1）求c 的值；（2）求证：f(1)≥2（3）求｜α-β｜的取值范围。

解：（1）,23)(2/c bx x x f ++= 由题意可得：x=0为f(x)的极值点， ∴0,0)0(/=∴=c f（2）令023)(2/=+=bx x x f ，得32,021b x x -==∵f(x)在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数， ∴232≥-b ，即3-≤b又∵b d d b f 48,048,0)2(--=∴=++∴=∴.2371)1(≥--=++=b d b f（3）∵方程f(x)=0有三个根α、2、β. ∴设),)(2()(223n mx x x d cx bx x x f ++-=+++= 由待定系数法得2,2d n b m -=+=∴α、β为方程02)2(2=-++d x b x 的两根，∴ α+β=-（b+2），αβ=-d/2；∴｜α-β｜2=16)2(1242)2(222--=--=++b b b d b ∵3-≤b ，∴｜α-β｜2≥9， ∴｜α-β｜ ≥3一般地，若已知三次函数f(x)=)0(23>+++a d cx bx ax 在（—∞，m ）上是增函数，在[m ，n]上是减函数，在（n,+∞）上是增函数,则二次方程f /(x)=0即0232=++c bx ax 的两个根为m ，n ；且当),(),(+∞⋃-∞∈n m x 时f /(x)>0，当),(n m x ∈时f /(x)<0，反之亦然。

导数之三次函数图像与性质ppt

5 5 ，极小值-1，当 a 或 a 1 时 27 27
函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 只有一个交点，所以当 a ( ，
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
本课小结
3
几何画板
f ( x) ax bx cx d (a 0)
3 2
2 f ( x) 3ax 2bx c
4b -12ac 4(b -3ac)
2 2
a 0, 0
y y
x1 O
x2
x2 x x1
f ( x) ax bx cx d (a 0)
1 )上 3
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
方法二：将 f ( x ) 与 x 轴交点问题转化为函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 的交点个数问题
y=-a
y
5 27
x
-1
易求函数 g ( x ) x 3 x 2 x 的极大值
方法一: 转化为a>0利用图像方法二: 利用图象
例 3 设 a 为实数，函数 f ( x ) x 3 x 2 x a 。（Ⅰ）求 f ( x ) 的极值；（Ⅱ）当 a 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x )与x 轴仅有一个交点。
解法分析：
1 5 对于问题（Ⅰ）易得 f(x)的极大值是 f ( ) a ，极小值是 f (1) a 1 3 27
三次函数图像与性质
复习:二次函数的图象与性质
函数二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0） a>0

用导数研究报告三次多项式曲线

用导数研究报告三次多项式曲线引言在数学中，多项式函数是一类重要的函数。

其中，三次多项式函数的特点是在自变量的三次方次项与一次方次项之间存在关系。

因此，研究三次多项式函数的性质对于数学理论的发展具有重要意义。

导数的定义导数是用来描述函数变化率的工具。

对于函数$f(x)$，它的导数$f'(x)$可以通过以下公式计算：$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$三次多项式函数的导数对于三次多项式函数$P(x)$，它的一般形式可以表示为：$$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$其中$a$，$b$，$c$和$d$为常数。

为了研究三次多项式函数的性质，我们需要计算它的导数。

根据导数的定义，可以得到三次多项式函数$P(x)$的导数$P'(x)$：$$P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$三次多项式曲线的特点通过对三次多项式函数的导数$P'(x)$进行分析，我们可以得到三次多项式曲线的一些特点：1. 曲线的斜率：导数$P'(x)$描述了曲线在不同点上的斜率。

当导数为正时，曲线上升；当导数为负时，曲线下降；当导数为零时，曲线达到极值点。

2. 曲线的拐点：拐点是指曲线从凸向上凹或从凹向上凸变化的点。

在三次多项式曲线上，拐点的位置可以通过导数$P'(x)$的二阶导数来确定。

3. 曲线的极值点：极值点是曲线上最高或最低的点。

在三次多项式曲线上，极值点可以通过导数$P'(x)$的一阶导数为零的点来确定。

结论通过导数的研究，我们可以了解到三次多项式曲线的斜率、拐点和极值点的位置，进而对曲线的形状和性质进行分析。

这为进一步研究和应用三次多项式函数提供了重要的理论基础。

需要注意的是，在实际应用中，有时会出现多个极值点或拐点的情况。

此外，导数可以应用于许多其他数学领域，如最优化问题和微分方程的求解等。

三次函数的像与性质

三次函数的像与性质三次函数是一类常见的函数形式，它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中 a、b、c、d 都是实数，且a ≠ 0。

三次函数的像像是指函数的值域，也就是函数在自变量的取值范围内所能取得的所有可能的值。

对于三次函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，我们可以通过一些方法来确定它的像。

1. 寻找函数的最值点：三次函数是一个连续的曲线，在定义域内一定存在最值点。

我们可以通过求导数来寻找最值点的横坐标。

对函数f(x) 进行求导得到 f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c，然后解方程 f'(x) = 0，得到横坐标为 x0 的最值点。

将 x0 代入原函数 f(x) 中，得到纵坐标 y0，即可确定最值点的坐标 (x0, y0)。

通过比较 y0 和函数在定义域两端的值，可以确定函数的像的范围。

2. 观察函数的导函数：通过观察函数的导函数的图像，我们也可以确定三次函数的像。

对于函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，它的导函数为 f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c。

通过观察导函数的图像，我们可以确定函数的增减性和凹凸性，从而确定像的范围。

三次函数的性质除了像的确定外，我们还可以通过一些性质来了解三次函数的特点。

1. 零点个数：对于三次函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，它的零点个数可能为 0、1 或 3。

根据韦达定理，零点的个数与系数的符号有关。

如果 a、b、c、d 的正负性不同，那么零点个数为 1；如果 a、b、c、d的正负性完全一致，那么零点个数为 3；如果 a、b、c、d 中至少有两个相邻的系数为 0，那么零点个数为 2。

因此，通过系数的正负性可以初步判断零点的个数。

2. 对称轴和顶点：三次函数也可以是对称的，它可能存在对称轴和顶点。

对称轴可以通过函数的最值点来确定，对称轴的方程为 x = x0，其中 x0 是函数的最值点的横坐标。

三次函数的图像和性质

对函数f ( x) ax3 bx2 cx d (a 0)的图像性质研究
导数是新课标下高考的必考内容之一，利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、极值和最值等，这些年来也是高考的重点.考纲的主要要求有：(1)导数的概念及其意义；(2)导数的运算；(3)导数在研究函数中的应用.其中第（3）点有两个小点：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).括号中的内容：其中多项式函数一般不超过三次. 这提示着我们，如果考与多项式有关的导数问题，多项式函数中一元三次函数是重点.从近几年各地的高考题来看这一点也是值得肯定的，特别是文科的高考题.基于导数高考大纲多项式函数中一元三次函数的重要地位，因此我们有必要着重于对一元三次函数的图象进行深入的研究，其目的在于通过研究函数
y
f ( x)
y
f / ( x)
o
x
图1
o
图1中函数f ( x)在x R
x
y
严格递增,没有极值点;
y
f ( x)
f / ( x)
图2中函数f ( x)在x R 严格递增,有一拐点x0 ;
o x0 x
图2
o
y
x1
图3
x0
x
y
x1o x2
f ( x)
f / ( x) 图3中函数f ( x)有两个
f ( x) x 3x.
3
4.已知f ( x) ax3 bx 2 3x在x 1处取得极值. (1)求函数f ( x)的解析式. 求实数m的取值范围.

导数在三次函数研究中的应用

导数在三次函数中的应用泉州现代中学陈永生【摘要】导数是一个特殊函数，导数的概念、意义与运算；利用导数研究初等函数——图象特征（单调性、最值、函数零点、凹凸性、图象的切线及两函数图象间的关系），导数是分析和解决问题的有效工具。

【关键词】导数函数的切线单调性极值和最值。

通过求导可以研究函数的单调性和极值，其操作的步骤学生易掌握，判别的方法也不难。

特别地，当()f x 为三次函数时，通过求导得到的()f x 为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点00(,)P x y 处的切线的斜率0()k f x '=，可得到斜率 k 为关于0x 的二次函数。

根据这些特点，一般三次函数问题，往往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。

一、用导数求函数某点处的切线与过某点的切线例1、（I ）求曲线32x x y -=在点)1,1(A 处的切线方程。

（II ）求曲线32x x y -=过点)1,1(A 的切线方程。

分析：（I ）由32x x y -=得232x y -='，1|1-='=x y ，所以曲线在点)1,1(A 处的切线方程为)1(1--=-x y ，即02=-+y x 。

（II ）设切点为)2,(3000x x x P -，又232x y -='，所以切线斜率为2032|0x y x x -='=，则曲线在P 点的切线方程为))(32()2(020300x x x x x y --=--．又)1,1(A 在切线上，于是就有)1)(32()2(1020300x x x x --=--，即01322030=+-x x ，解得10=x 或210-=x ；当10=x 时，切点就是)1,1(A ，切线为02=-+y x ；当210-=x 时，切点就是)87,21(--P ，切线斜率为45|21='-=x y ，切线为0145=--y x ．评注：只有曲线在某点处的切线斜率才是函数在该点处的导函数值，此时切线是唯一的；过某点作曲线的切线，无论该点是否在曲线上，都要设切点坐标，从而求出切点处的切线，满足条件的切线可能不唯一。

三次函数的性质及导函数研究函数的应用

专题一：三次函数的中心、单调性、极值、零点和恒成立问题前言：研究三次函数的性质，实质上是研究导函数对应的二次函数的性质。

一、三次多项式函数的中心理论：①若))(,(00x f x 是三次函数的中心，则0)(0//=x f 且0212x x x =+时，有)(2)()(021x f x f x f =+。

②若三次函数)(),(x f x g 的中心分别是))(,()),(,(0000x f x x g x ，则)()(x f x g y +=的中心为))()(,(000x g x f x +。

例1：（1）若()323f x x x =-，则1220122012f f ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4022...2012f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭40232012f ⎛⎫+=⎪⎝⎭A -8046B -4023C -2013D -2012（2）若321151()3132122g x x x x x =-+-+-，则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g +++++= （A ）2010 （B ）2011 （C ）2012 （D ）2013 二、三次函数的极值理论：函数有极值⇔函数不单调⇔导函数二次函数的0>∆；函数无极值⇔函数单调⇔导函数二次函数的0≤∆。

例2：（1）若a ＞0，b ＞0，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于【】 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9（2）已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为【】A ．c ＜14B ． c ≤14C ．c ≥14D ．c ＞14（3）133)(23++-=x ax x x f 。

（i ）2=a 时，求)(x f 的单调区间；（ii ）若)(x f 在)3,2(中至少有一个极值点，求a 的范围。

导数在三次函数中的应用

类似于二次函数的图像和性质表：
b2 3ac 0
b2 3ac 0
图像
f (x1 ) f (x2 ) 0
f (x1 ) f (x2 ) 0
f (x1 ) f (x2 ) 0
根的个数与x轴的
交点单调性
极值
Байду номын сангаас
3实根 3
2实根 2
1实根 1
在(, x1) (x2 ,) 上为增函数在 (x1, x2 ) 上为减函数
导数在三次函数中的应用
必要性
学习目标 1.掌握三次函数的图像和性质 2.掌握利用导数研究三次函数单调性，求极值(最)值的通性通法 3.体会数形结合、分类讨论、化归数学思想的应用
优秀学案展示
优秀学案展示
优秀学案展示
优秀学案展示
优秀学案展示
f '(x) 3ax2 2bx c(a 0） f '(x)
有两个极值，一个极大值
，一个极小值
1实根
1
在R上为增函数无极值
一、探索之旅
问题1
思考:引起含参三次函数单调性的讨论原因有哪些？能否进行归纳？
问题2
问题3
问题4
二、小试牛刀
问题5
三、感悟总结
通过本节课学习你有什么收获和感悟？还有什么困惑？

导数专题一：三次函数的图像和性质及应用

导数专题一：三次函数的图像和性质及应用一. 基础知识：(一)引例：1.函数 ()76223+-=x x x f 的单增区间 , 单减区间 , 极值是否存在,如有,极大值是 , 极小值是 .2.函数 ()123++=x x x f 的单增区间 , 单减区间 , 极值是否存在,如有,极大值是 , 极小值是 . 3.函数 ()2323++-=x x x f 的单增区间 , 单减区间 , 极值是否存在,如有,极大值是 , 极小值是 . 4.函数()23+--=x x x f 的单增区间 , 单减区间 , 极值是否存在,如有,极大值是 , 极小值是 .探讨：1.你能根据上述各题的单调性和极值情况画出它们的草图吗?2.能根据上述草图归纳总结三次函数的图像吗？3.能根据上述图像归纳总结三次函数的性质吗？(二)三次函数f(x)=ax ³+bx ²+cx+d(a ≠0)的图象Δ≤0 Δ>0 Δ≤0 Δ>0 a<0 a>0 '()f x ()f x(三)三次函数的性质1.设三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，它的导函数为c bx ax x f ++=23)(2' 且它的判别式)3(434)2(22ac b c a b -=⋅⋅-=∆.,,0)(,02121'x x x x x f <=>∆且的两根分别为设当（1）的单调递增区间是)(,0,0x f a ≤∆> ，无单减区间，极值（填有或无）(2) 的单调递减区间是)(,0,0x f a ≤∆< ，无单增区间，极值（填有或无）（3）的单调递增)(,0,0x f a >∆>区间是，单减区间是，极大值是，极小值是。

（4）的单调递增区间)(,0,0x f a >∆<是，单减区间是，极大值是，极小值是。

2. 方程()0f x =根的个数设三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，它的导函数为x f (2'且它的判别式)3(434)2(22ac b c a b -=⋅⋅-=∆.,,0)(,02121'x x x x x f <=>∆且的两根分别为设当 (1) 若032≤-ac b ，则0)(=x f 恰有个实根； (2) 若032>-ac b ,且0)()(21>⋅x f x f ，则0)(=x f 恰有个实根；(3) 若032>-ac b ,且0)()(21=⋅x f x f ，则0)(=x f 有个不相等的实根；(4) 若032>-ac b ,且0)()(21<⋅x f x f ，则0)(=x f 有个不相等的实根.3.函数的对称性函数y=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)的对称中心是二.典型例题:例1. (1)已知函数ƒ(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如右图, 则( )（A ） ()0,∞-∈b （B ） ()1,0∈b （C ）()2,1∈b （D ）()+∞∈,2b,()33b b f a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0(3)已知函数ƒ(x)=x 3+ax 2+bx+c,x ∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x ＝±1处的切线斜率均为-1,有以下命题:①f(x)的解析式为ƒ(x)=x 3-4x,x ∈[-2,2]②ƒ(x)的极值点有且仅有一个;③ƒ(x)的最大值与最小值之和等于零.其中正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个例2：已知函数 )(,3)(23R a x ax x x f ∈-+=，且0)1('=f（1）求a 的值及函数的单调区间（2）若[]3,2-∈x ，都有k x f ≤)(恒成立，求实数k 的取值范围。