人教新课标版数学高二选修1-1导学案 双曲线及其标准方程
人教版高中数学选修1-1第二章双曲线的定义与标准方程
上面 两条合起来叫做双曲线
人教版高中数学选修1-1第二章双 曲线的定义与标准方程
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
y
M
F1 O F2 x
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
4.化简
人教版高中数学选修1-1第二章双 曲线的定义与标准方程
1．已知双曲线的一个焦点坐标为( 6，0)，且经过点(－5,2)，
则双曲线的标准方程为
()
A.x52－y2＝1
B.y52－x2＝1
C.2x52 －y2＝1
D.x42－y22＝1
解析：依题意可设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1.a=4,b=3,焦点在x轴上; 2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5) 3.a=4,过点(1, 4 1 0 )
3
人教版高中数学选修1-1第二章双 曲线的定义与标准方程
例2:如果方程 x2 y2 1 表示双曲
2m m1
线，求m的取值范围.
解: 由 (2m )(m 1)0得 m2或 m1 ∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, )
a>b>0，a2=b2+c2 a>0，b>0，但a不一
双曲线及其标准方程教学设计.doc
《双曲线及其标准方程》教学设计贵阳39中李明新课程教学,更强调学生的主体性,突出学生的主体性,采用“合作、自主、探究”的学习,又要还给学生更大的自主学习空间。
所以如何充分利用课堂时间,调动学生的积极性,提高课堂效益是数学教师面临的一个重要问题。
我想从我自己的实践来谈谈如何设计一节课，使我的教学更适应时代的发展，使我的课堂更加有效。
双曲线及其标准方程教案教学目标知识目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。
能力目标：通过与椭圆类比获得双曲线的知识，培养学生类比、分析、归纳、推理等能力和善于寻找数学规律的能力。
德育目标：在类比探究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣及培养学生认真参与积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。
重点：双曲线的定义及其标方程和简单应用。
难点：对双曲线定义的理解，正确运用双曲线定义推导方程。
教学过程：一.复习提问，引入新课。
问题1.椭圆的定义是什么？问题2.椭圆的标准方程是怎样的？c、关系如何？a、b1F 2FM问题3. 类比，联想如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？师：（多媒体演示动点轨迹）。
探究：通过上面的实验，回答下面问题：问题1：随着M 点的移动，|MF1|与|MF2|之间的差是常数吗？为什么？ 问题2：|MF1|与|MF2|哪一个大？ 问题3：这个常数可以大于或等于 21F F 吗？理由呢？ 问题4：你能概括双曲线的定义吗？二.形成概念，推导方程。
师：双曲线上的点应满足的条件是什么？ 生：常数=-21MF MF （小于21F F ）。
师：类比椭圆的定义，请同学概括双曲线的定义。
1.双曲线的定义。
（投影）分析讨论双曲线的定义中关键词和条件：师：定义中的“平面内”，“绝对值”等条件去掉，能否表示双曲线？ 生：不能，为双曲线的一支。
师：定义中的常数21F F =，轨迹是什么？常数21F F >呢? 生：以21F F 、为端点的两条射线。
人教新课标版数学高二B版选修1-1学案 双曲线及其标准方程
§2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一双曲线的定义观察图形，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案||MF1|－|MF2||＝常数(常数|F1F|或|F2F|)且0＜常数<|F1F2|.思考2若||MF1|－|MF2||＝|F1F2|，则动点M的轨迹是什么？答案以F1或F2为端点的两条射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点二双曲线的标准方程思考1双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？答案双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴．当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．思考2如图，类比椭圆中a，b，c的意义，对于双曲线，你能在y轴上找一点B，使|OB|＝b吗？答案 以双曲线与x 轴的交点A 为圆心，以线段OF 2为半径画圆交y 轴于点B .梳理焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距|F 1F 2|＝2c ，c 2＝a 2＋b 2(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( × )(3)在双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( × )类型一 求双曲线的标准方程 例1 求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆y 225＋x 216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5，且焦点在坐标轴上． 考点 求双曲线的标准方程题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)方法一 椭圆x 216＋y 225＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧10a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.方法二 由椭圆方程x 216＋y 225＝1知焦点在y 轴上，设所求双曲线方程为y 225－λ－x 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为双曲线过点(－2，10)，所以1025－λ－4λ－16＝1， 解得λ＝20或λ＝7(舍去)， 故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.(2)因为双曲线经过点M (0,12)，所以M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，所以c ＝13，所以b 2＝c 2－a 2＝25. 所以双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． 因为点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116，n ＝19.故所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2＜k ＜a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练1 根据条件求双曲线的标准方程． (1)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上； (2)经过点P (4，－2)和点Q (26，22)；(3)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)．考点 求双曲线的标准方程题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝6－a 2. 由题意知25a 2－4b 2＝1，∴25a 2－46－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍)． ∴b 2＝1.∴双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. (2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． ∵点P (4，－2)和点Q (26，22)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝1，24m ＋8n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝18，n ＝－14，∴双曲线的方程为x 28－y 24＝1.(3)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a 2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.类型二 双曲线的定义及应用例2 (1)如图，已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，点A ，B 均在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为双曲线的左焦点，则△ABF 1的周长为_______．(2)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________． 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 (1)4a ＋2m (2)163解析 (1)由双曲线的定义，知|AF 1|－|AF 2|＝2a ， |BF 1|－|BF 2|＝2a . 又|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |，所以△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB | ＝4a ＋2|AB |＝4a ＋2m .(2)由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64， 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 引申探究本例(2)中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积． 解 由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5， 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36.①在Rt △F 1PF 2中，由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝100.② 将②代入①得|PF 1|·|PF 2|＝32， 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝16.反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式12PF F S＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积． (2)方法二：利用公式12PF F S＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积． 特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|·|PF 2|间的关系．跟踪训练2 已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)． 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形解 设双曲线的另一个焦点为F 2，连接PF 2，ON 是三角形PF 1F 2的中位线， 所以|ON |＝12|PF 2|，因为||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，|PF 1|＝10， 所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9.类型三 与双曲线有关的轨迹问题例3 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________． 考点 双曲线的定义题点 由双曲线的定义确定轨迹方程 答案x 2－y 28＝1(x ≤－1) 解析 如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |, 因为|MA |＝|MB |，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2且2<6＝|C1C2|.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．反思与感悟定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．跟踪训练3在△ABC中，已知A(－22，0)，B(22，0)，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，求顶点C的轨迹方程．考点双曲线的定义题点由双曲线的定义确定轨迹方程解由正弦定理，得sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R(R为△ABC的外接圆半径)．因为2sin A＋sin C＝2sin B，所以2a＋c＝2b，即b－a＝c2，从而有|CA|－|CB|＝12|AB|＝22<|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．因为a＝2，c＝22，所以b2＝c2－a2＝6，即所求轨迹方程为x22－y26＝1(x>2).1．到两定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线考点 双曲线的定义题点 由双曲线的定义确定轨迹 答案 D解析 由题意知|F 1F 2|＝||MF 1|－|MF 2||＝6， 所以点M 的轨迹是两条射线． 2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．83 C ．24D ．48考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10，可得△PF 1F 2是直角三角形， 则12PF F S＝12|PF 1|×|PF 2|＝24. 3．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1考点 圆锥曲线的综合应用 题点 椭圆与双曲线的综合应用 答案 D解析 由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D.4．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－3<k <－2B ．k <－3C．k<－3或k>－2 D．k>－2考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案A解析由题意知，k＋3>0且k＋2<0，∴－3<k<－2.5．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)．考点求双曲线的标准方程题点待定系数法求双曲线的标准方程解(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为x29－y27＝1.(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上，因为点A(－5,6)在双曲线上，所以2a＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.所以所求双曲线的标准方程为y216－x220＝1.1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式求解．一、选择题1．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 考点 双曲线的定义题点 由双曲线的定义确定轨迹方程 答案 D解析 由题意知动点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，b ＝4，故选D. 2．若k ∈R ，则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k －2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 A解析 当k >5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k >5或k <2.故选A. 3．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m 的值是( )A ．1B ．－1C ．－105 D.105考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 B解析 由焦点坐标知，焦点在y 轴上，∴m <0， ∴双曲线的标准方程为y 2－3m －x 2－m＝1，∴－m －3m ＝4，∴m ＝－1.4．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2s －y 2t ＝1(s ，t >0)有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( ) A ．m －s B.12(m －s ) C ．m 2－s 2 D.m －s考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 A解析 如图所示，设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2m ，x －y ＝2s ， ∴x ＝m ＋s ，y ＝m －s ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝xy ＝m －s .5．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 考点 双曲线的标准方程题点 待定系数法求双曲线的标准方程 答案 B解析 据已知条件得焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝5.①∵线段PF 1的中点坐标为(0,2)，∴点P 的坐标为(5，4)，将其代入双曲线的方程， 得5a 2－16b2＝1.② 由①②解得a 2＝1，b 2＝4， ∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 6．已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x ＝0 B.x 22－y 214＝1(x ≥2) C.x 22－y 214＝1 D.x 22－y 214＝1或x ＝0 答案 D考点 双曲线的定义题点 由双曲线的定义确定轨迹方程解析 动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，有四种情况： ①动圆M 与两圆都外切； ②动圆M 与两圆都内切；③动圆M 与圆C 1外切，与圆C 2内切； ④动圆M 与圆C 1内切，与圆C 2外切．在①②情况下，显然动圆圆心M 的轨迹方程是x ＝0；在③的情况下，如图，设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2， 故得|MC 1|－|MC 2|＝22； 在④的情况下，同理， 得|MC 2|－|MC 1|＝2 2.由③④得||MC 1|－|MC 2||＝22<8＝|C 1C 2|，根据双曲线定义，可知点M 的轨迹是以C 1(－4,0)，C 2(4，0)为焦点的双曲线， 且a ＝2，c ＝4，b 2＝c 2－a 2＝14，所以此时动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1.故选D.7．设F 1，F 2分别是双曲线x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为1时，PF 1→·PF 2→的值为( ) A ．0 B ．1 C.12D ．2考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 A解析 不妨设P (x P ，y P )(x P ，y P ＞0)，由12×2c ×y P ＝1，得y P ＝55，∴P ⎝⎛⎭⎫2305，55， ∴PF 1→＝⎝⎛⎭⎫－5－2305，－55，PF 2→＝⎝⎛⎭⎫5－2305，－55， ∴PF 1→·PF 2→＝0. 二、填空题8．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点F 1(5,0)的距离为15，则点P 到点F 2(－5,0)的距离为________． 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 7或23解析 由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，而由双曲线方程知a ＝4，则点P 到F 2的距离为23或7.9．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为____________． 考点 双曲线的标准方程题点 待定系数法求双曲线的标准方程 答案 x 216－y 29＝1解析 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)， 则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1， ∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5. 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则32a 2－9b2＝1， 又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9， ∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6，0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B ＝________. 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 56解析 由双曲线的定义可得a －c ＝10， 由正弦定理得sin A －sin C sin B ＝a －c b ＝1012＝56.11．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出下列判断：①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆； ②当t >4或t <1时，曲线C 表示双曲线； ③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4. 其中正确的是________．(填序号) 考点 双曲线的标准方程 题点 已知方程判断曲线的类型 答案 ②③④解析 ①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若曲线C 为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，∴t <1或t >4；③正确，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t >t －1>0，∴1<t <52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t <0，t －1>0，∴t >4.三、解答题12.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的曲线方程．考点 双曲线的定义题点 由双曲线的定义确定轨迹方程 解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线(左支)， 且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝914.∴双曲线方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32. 13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设M 点在双曲线的右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23， 又|MF 1|＋|MF 2|＝63，解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝25， 因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长， 而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形． 四、探究与拓展14．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，则m 的取值范围为________．考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 {－2,7}解析 (1)当焦点在x 轴上时，有m ＞5， 则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7；(2)当焦点在y 轴上时，有m ＜0，则c 2＝－m ＋5－m ＝9， ∴m ＝－2.综上所述，m ＝7或m ＝－2.15．已知△OFQ 的面积为26，且OF →·FQ →＝m ，其中O 为坐标原点． (1)设6＜m ＜46，求OF →与FQ →的夹角θ的正切值的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ，如图所示，|OF →|＝c ，m ＝⎝⎛⎭⎫64－1c 2，当|OQ →|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．考点 双曲线的标准方程题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)因为⎩⎨⎧12|OF→|·|FQ →|sin (π－θ)＝26，|OF →|·|FQ →|cos θ＝m ，所以tan θ＝46m.又6＜m ＜46，所以1＜tan θ＜4. 即tan θ的取值范围为(1,4)．(2)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，Q (x 1，y 1)，则FQ →＝(x 1－c ，y 1)，所以S △OFQ ＝12|OF →|·|y 1|＝26，则y 1＝±46c .又OF →·FQ →＝m ，即(c,0)·(x 1－c ，y 1)＝⎝⎛⎭⎫64－1c 2，解得x 1＝6c4， 所以|OQ →|＝x 21＋y 21＝3c 28＋96c 2≥12＝23，当且仅当c ＝4时取等号，|OQ →|最小， 这时点Q 的坐标为(6，6)或(6，－6)． 因为⎩⎪⎨⎪⎧6a 2－6b 2＝1，a 2＋b 2＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12.所以双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.。
人教a版数学【选修1-1】2.2.1双曲线及其标准方程(含答案)
§2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为 __________________________________________．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F 1________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是____________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b (ab <0)，则这个曲线是( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D ．x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y 23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A ．12B ．1或3C ．1＋22D ．2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C ．x 22－y 23＝1 D ．x 23－y 22＝1题号 1 2 3 4 5 6 答案7．设F 1、F 2是双曲线 x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝______.8．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝______.三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B (4,0)、C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F(－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞) 13．已知双曲线的一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程答案知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) (－c,0) (c,0) (2)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙，只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以b a<0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)． 由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4. ①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b 2＝1. ② 由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.] 4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.] 5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以 x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4， 又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2.8．－1<k <1解析 因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线， 所以(1＋k )(1－k )>0.所以(k ＋1)(k －1)<0.所以－1<k <1.9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0. ∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27 ＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 11．解 设A 点的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 代入sin B －sin C ＝12sin A ， 得|AC |2R －|AB |2R ＝12·|BC |2R，又|BC |＝8， 所以|AC |－|AB |＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以 a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x >2)． 12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设P (x ，y )(x ≥3)，∴ OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2 ＝x 2＋2x ＋x 23－1 ＝43x 2＋2x －1(x ≥3)． 令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增．g (x )min ＝g (3)＝3＋2 3. OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1， 且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.① 由MN 中点的横坐标为－23知， 中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1， ∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.。
新人教A版数学选修1-1《2.2.1双曲线及其标准方程》导学案
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程；2.掌握双曲线的标准方程；3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【重点难点】双曲线定义及其标准方程【学习过程】一、问题情景导入：1.太空中飞过太阳系的彗星，其轨道就是双曲线，彗星从无穷处飞来，又飞到无穷远处，双曲线是不封闭的圆锥曲线，它不同于抛物线，也不是两个抛物线构成双曲线的两支，最明显的差别是双曲线有渐近线，而抛物线没有.初中学过的反比例函数图象是双曲线，它以坐标轴为渐近线.2.我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？3.你能类比椭圆的标准方程的推导过程推导出双曲线的标准方程吗？二、自学探究：（阅读课本第45-47页，完成下面知识点的梳理）1.双曲线的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离的 等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 双曲线的定义用集合语言表示为{}21212,2F F a a MF MF M P <=-=思考:双曲线定义中212F F a <,如果212F F a =轨迹是什么图形呢？能否有212F F a <的轨迹图形呢？ 2.焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图象 标准方程焦点坐标c b a ,,的关系思考：⑴方程13222=-y x 与13222=-x y 分别表示焦点在哪个坐标轴上的双曲线？焦点坐标分别是什么？⑵方程122=+ny m x ，当参数n m ,的取值怎样时，方程分别表示焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的双曲线？三、例题演练：例 1.若一个动点()y x P ,到两个定点()()0,1,0,1B A -的距离之差的绝对值为定值()0≥a a 时，讨论点P 的轨迹.例 2.已知双曲线两个焦点分别为()()0,5,0,521F F -,双曲线上一点P 到21,F F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式：求适合下列条件的双曲线的标准方程：⑴5,4==c a ，焦点在x 轴上；⑵4=a ，经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3104,1A ; ⑶求与双曲线141622=-y x 有共同的焦点，且过点()2,23的双曲线的标准方程.例3.在ABC ∆中，已知4=BC ,且A B C sin 21sin sin =-，求动点A 的轨迹方程.变式：已知定圆02410:221=+++x y x C ，定圆:C 091022=+-+x y x ，动圆C 与定圆21,C C 都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值. ①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y2．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程3．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程4．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同5．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或237．椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 98．已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________9．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为( )A 1 B55 C 2 D 510．P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（）A 内切B 外切C 外切或内切D 无公共点或相交。
人教课标版高中数学选修1-1《双曲线的简单几何性质》教案-新版
2.2.2双曲线的简单几何性质一、教学目标 1.核心素养培养直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析素养 2.学习目标（1）类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，了解它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长、虚轴长等）．（2）理解渐近线和离心率的定义、范围，掌握参数,,,a b c e 间的关系 （3）能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题． （4）了解直线与双曲线的位置关系 3.学习重点双曲线的几何性质． 4.学习难点双曲线性质的应用，渐近线的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1预习教材4953P P - ，类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的哪些性质?如何研究这些性质? 任务2 完成53P 的练习 2.预习自测1.已知双曲线2213x y m m-=的一个焦点为()2,0，则此双曲线的实轴长为（ ） A ．1 B ．3C ．2D ．23 答案：C解析：考查双曲线简单几何性质.2. .已知双曲线()222103x y a a -=>的离心率为2，则a =（ ） A ．2 B ．62C ．52D ．1 答案：D解析：考查双曲线简单几何性质.3.椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有共同的焦点，则双曲线的离心率为（ ） A ．415B ．53C ．43D ．不能确定 答案：B解析：考查双曲线简单几何性质. （二）课堂设计 1.知识回顾1.焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =+；2.焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，焦点()()120,,0,F c F c -其中222c a b =+.3.()0l y kx b C F x y 直线:,与圆锥曲线:,=+=相交于1122()()A x y B x y ,,,两点,则：222121212114AB k x x k x x x x =+-=+(+)-或21212122211114AB y y y y y y k k=+-=+(+)- 2.问题探究问题探究一 双曲线的几何性质根据双曲线的标准方程()222210,0x y a b a b-=>>研究它的性质1．（1）从形的角度看：双曲线位于直线x a =和x a =-的外侧，即在不等式x a ≤-与x a ≥所表示的平面区域内.（2）从数的角度看：利用方程研究，双曲线上点的坐标满足222210x y a b -=≥，故22x a ≥，即x a ≤-或x a ≥；这说明双曲线在不等式x a ≤-或x a ≥与所表示的平面区域内.2. （1）从形的角度看：双曲线与椭圆一样，既是中心对称图形，也是轴对称图形．（2）从数的角度看：在双曲线方程中，以－x 、－y 代替x 、y 方程不变，因此双曲线是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图象；也是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心叫做双曲线的中心.3．双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的顶点是(,0)a ±，这两个顶点之间的线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ,同时在另一条对称轴上作点()()120,,0,B b B b -，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b ，a 、b 分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长．4. 双曲线()222210,0x y a b a b -=>>各支向外延伸时，与两条直线y ＝±b a x 逐渐接近，但永不相交，我们把这两条直线称为双曲线的渐近线，方程为y ＝±ba x. 5．双曲线的半焦距c 与实半轴长a 的比叫做双曲线的离心率，其取值范围是(1,)+∞．问题探究二 能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题例1.求双曲线22194x y -=的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．【知识点：双曲线的几何性质】详解：222229,4,13,3,2,13a b c a b a b c ===+====， 顶点()()123,0,3,0A A -，焦点()()1213,0,13,0F F -，实轴长26a =，虚轴长24b = 离心率133c e a ==， 在方程22194x y -=中将1换成0，得22094x y -=，即032x y ±=． ∴23y x =±为双曲线的渐近线方程．变式引伸：已知双曲线的渐近线方程为43y x =±，并且焦点都在圆22100x y +=上，求双曲线方程．解法一：（1）当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为22221x y a b -=，因为渐近线方程为43y x =±，则43b a =．又由焦点在圆22100x y +=上知10c =，所以222100a b c +==，可求得6a =，8b =．所求双曲线方程为2213664x y -=．（2）当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为22221y x a b-=．由题设得22210043a b c a b ⎧+==⎪⎨=⎪⎩，解得：8,6a b ==．焦点在y 轴上时，双曲线方程为2216436y x -=．综上所述，所求双曲线方程为2213664x y -=或2216436y x -=． 解法二：因为双曲线的渐近线方程为43y x =±．设双曲线方程为222234x y λ-=(0)λ≠． 又焦点都在圆22100x y +=上，所以2100c =．则22(3)(4)100λλ+=．解得4λ=±．所求双曲线方程为2222434x y -=±．即：2213664x y -=±． 点拔：双曲线与其渐近线的关系是：以0x ya b ±=为渐近线的双曲线系方程为2222(0)x y a b λλ-=≠；双曲线2222(0)x y a b λλ-=≠的渐近线方程为0x y a b ±=． 例2.求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3,23)M -的双曲线的方程．【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】详解：设所求双曲线方程为22(0)916x y λλ-=≠，由于双曲线过点(3,23)M -，有：22(3)(23)19164λ-=-=．故双曲线方程为2219164x y -=，即：221944x y -=． 点拔：与双曲线22221x y a b-=有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠的形式．当λ的值为正时，焦点在x 轴上，为负时焦点在y 轴上．例3.设双曲线22221x y a b-=(0)a b <<的半焦距为c ，直线l 过(,0)(0,)a b 、两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：由直线l 过(,0)(0,)a b 、两点，得l 的方程为0bx ay ab +-=． 由点到l 的距离为34c ，得2234ab c a b=+．将22b c a =-代入，平方后整理得：2222216()1630a a c c -⨯+=．令22a x c=，则：2161630x x -+=，解得34x =或14x =． 由c e a =得，1e x=．故233e =或2e =． 因为0a b <<，故222212c a b b e a a a+===+>．所以应舍去233e =． 故所求离心率为2e =．点拔：此题易得出错误答案2e =或233e =，其原因是未注意到题设条件0a b <<，从而离心率2e >，而2323<，应舍去． 问题探究三 直线与双曲线的位置关系1.设直线方程为y kx m =+，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，联立方程得22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并化简()22222222220b a k x a mkx a m a b ----=①当2220b a k -=，即bk a =±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点.②当2220b a k -≠，即bk a ≠±时，0∆>⇔直线与双曲线相交⇔直线与双曲线有两个公共点； 0∆=⇔直线与双曲线相切⇔直线与双曲线有且只有一个公共点0∆<⇔直线与双曲线相离⇔直线与双曲线无公共点 2.弦长问题设直线方程为y kx m =+，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>于点()()111222,,P x y P x y 两点，则()()22121212PP x x y y =-+-()221212121y y x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=-+ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()22121x x k =-+2121k x x =+-()22121214kx x x x =++-同理可得1212211PP y y k =+-()212122114y y y y k=++-()0k ≠3.双曲线的通径过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线截得的弦称为双曲线的通径，通径长为22b a.例4.过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程．【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系】详解一：设A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ．则：221144x y -= ① 222244x y -= ② ①－②得：12121212()()4()()0x x x x y y y y +--+-=． ∵Ｐ是线段AB 的中点， ∴121216,2x x y y +=+= ． ∴1212121224()y y x xx x y y -+==-+．∴直线AB 的斜率为2． ∴直线AB 的方程为12(8)y x -=-． 即2150x y --=．详解二：设A (,)x y ，则B (16,2)x y --． ∵A 、B 为双曲线上的点， ∴2244x y -= ①22(16)4(2)4x y ---= ② ①－②得2321616160x y --+=． 整理得2150x y --=．例5.已知曲线C ：221x y -=及直线l ：1y kx =-． （1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A 、B 两点，O 是原点，且△OAB 的面积为2，求实数k 的值．【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系】 详解：(1)曲线Ｃ与直线l 有两个不同的交点．则方程组2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩有两个不同的解，整理得：22(1)220k x kx -+-=，此方程必有两个不等的实根1x 、2x ．∴22210△48(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨=+->⎪⎩． 解得22k -<<且1k ≠±时，曲线C 与直线l 有两个不同的交点． (2)设交点A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，直线l 与y 轴交于点D （0,－1）．∴1221222121k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-⎨-⎪⋅=⎪-⎩． ∵△△△121()2OAB OAD OBD S S S x x =+=+12122x x =-=．∴2212()(22)x x -=， 即22228811k k k-⎛⎫+= ⎪--⎝⎭．解得0k =或62k =±． 又∵22k -<<且1k ≠±，∴0k =或62k =±时，△OAB 的面积为2． 3.课堂总结 【知识梳理】椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下 椭圆双曲线方程()2222+10,0x y a b a b=>> ()222210,0x y a b a b-=>> 图形范围 b y a ≤≤||,|x | R y a x ∈≥,||对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点顶点 轴长 ,0,0(0,)0,a a b b （）、（）、（）--长轴长2a ，短轴长2b,0,0a a （）、（）-实轴长2a虚轴长2b离心率 ,(01)ce e a=<< ,(1)ce e a=> 渐近线无 有两条，其方程为b y x a=±【重难点突破】 1．双曲线的渐近线(1)对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，画双曲线时应先画出它的渐近线．(2)要明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线．(3)“渐近”两字的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的．(4)根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法：把标准方程中“1”用“0”替换得出的两条直线方程，即双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 即b y x a =±；双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线方程为22220y x a b-=，即a y x b =±. (5)渐近线是刻画双曲线的一个重要概念，根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为n y x m =的双曲线方程可设为：2222(0);x y m nλλ-=≠如果两条渐近线的方程为0Ax By ±=那么双曲线的方程可设为2222(0);A x B y m m -=≠与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线方程可设为.02222）（≠=-λλby a x 2．双曲线上两个重要的三角形(1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形，边长满足222c a b =+称为双曲线的特征三角形．(2)焦点,F 过F 作渐近线的垂线，垂足为D ，则||,||,||,O F c F D b O D a O F D Δ===|亦是直角三角形，满足,||||||222OD FD OF +=也称为双曲线的特征三角形． 3．学习双曲线中应注意的几个问题：(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线只有两个顶点，离心率1e >；(3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为2，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；(4)注意双曲线中a b c e 、、、的等量关系与椭圆中a b c e 、、、的不同． 4.随堂检测1.已知双曲线221ax y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则a =（ ）A ．14-B ．4-C ．4D ．14答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线相互垂直，则双曲线的离心率为（ ）A．3 B．2C．5 2D．2 2答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆2212516x y+=的长轴端点、焦点，则双曲线的渐近线方程为（）A．430x y±=B．340x y±=C．450x y±=D．540x y±=答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】4. 过双曲线2212yx-=的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若4AB=，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条．答案：C解析：【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的标准方程及几何性位置】5. 已知,,,a b c分别为双曲线的半实轴长、半虚轴长、半焦距，且方程20ax bx c++=无实根，则双曲线离心率e的取值范围是()A ． 152e <<-B ．12e <<C ．13e <<D ．152e <<+ 答案：D解析：【知识点：双曲线的几何性质】 由已知，04b 2<-=∆ac2222c 40,()4()10,410.c ca ac e e a a∴--<∴--<--<即2525,1,125e e e ∴-<<+><<+又故. （三）课后作业 基础型 自在突破1.双曲线221916x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ) A.3 B.3 C.4 D.2 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -=B ．22144y x -=C ．22148y x -=D ．22184x y -= 答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3．双曲线与椭圆2211664x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线为y x =-，则双曲线的方程为（ ） A ．2296x y -= B ．22160y x -= C ．2280x y -=D ．2224y x -= 答案：D解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，椭圆的几何性质】4．中心在原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ）A ．54y x =±B ．45y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±答案：D解析：【知识点：双曲线的几何性质】5. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.22154x y -=B.22145x y -= C.22136x y -=D.22163x y -= 答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，圆的几何性质】6．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两焦点分别为12F F 、，以12F F 为边作等边三角形，若双曲线恰平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为( ) A ．1＋ 3B ．4＋2 3C ．23－2D ．23＋2解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】 答案：A 能力型 师生共研7．设12F F 、分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( ) A ．450x y ±= B ．340x y ±= C ．430x y ±= D ．540x y ±= 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】8.双曲线221x y -=与直线y kx =没有公共点，则k 的取值范围是______________． 答案： 11k k ≤-≥或解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】9.设1a >，则双曲线()222211x y a a -=+的离心率的取值范围是_________. 答案：25e <<解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】10.求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3,23)M -的双曲线的方程．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】设所求双曲线方程为22(0)916x y λλ-=≠，由于双曲线过点(3,23)M -，有： 22(3)(23)19164λ-=-=．故双曲线方程为2219164x y -=，即：221944x y -=． 探究型 多维突破11. 已知F 1和F 2是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，P 在双曲线右支上，且124PF PF =，求双曲线的离心率的取值范围． 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】点P 在双曲线右支上，故有1212||||2,||4||,PF PF a PF PF 又-==所以21121228||,||.||||||,33a aPF PF PF PF F F ==+≥当且仅当三点共线时取等号．所以28102,333a a a c +=≥即53c a ≤，双曲线的离心率1e >.所以双曲线离心率的取值范围为]351，（. 12. 设双曲线C ：2221x y a -=（0a >）与直线l ：1x y +=相交于不同的两点A 、B ．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围； (2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =．求a 的值． 答案：见解析解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】(1)由C 与直线l 相交于不同的两点A 、B 得方程：22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩有两个不同的实数解．消去y 并整理得2222(1)220a x a x a -+-=． ①所以22221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩解得02a <<且1a ≠． 双曲线的离心率22111a e a a +==+． ∵02a <<且1a ≠，∴62e >且2e ≠． (2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(0,1)P ．∵512PA PB =， ∴11225(,1)(,1)12x y x y -=-由此得12512x x =．由于1x 、2x 是方程①的两根，且210a -≠，所以222172121a x a =--，222252121a x a=--． 消去2x 得222289160a a -=-， 由0a >得1713a =．(四) 自助餐1．双曲线2233x y -=的渐近线方程是（ ） A ．3y x =±B ．13y x =±C ．3y x =±D ．33y x =± 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2． 已知点P 在双曲线221916x y -=上，则P 到双曲线焦点距离的最小值是（ ）A ．9B ．3C ．2D ．无最大值和最小值 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3．经过点1(,2)2P 且与双曲线2241x y -=仅有一个公共点的直线有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 答案：A解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】4. 若双曲线221x y -=的右支上一点(,)P a b 到直线y x =的距离为2，则a b +的值为（ ）A ．12-B．1 2C．1 2±D．2±答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】5. 双曲线2214x yb+=的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是（）A．012b<<B．102b-<<-C．120b-<<D．80b-<<答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】6．已知双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>的离心率152e+=，A与F分别是左顶点和右焦点，B点的坐标为(0,)b，则∠ABF等于（）A．120B．90C．60D．30答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】7.若过双曲线2213yx-=的右焦点2F，作直线l与双曲线的两支都相交，则直线l的倾斜角α的取值范围是______________.答案：233,,⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭πππ解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】8.双曲线221169x y -=上有点P ，1F 、2F 是双曲线的焦点，且123F PF π∠=，则△12F PF 的面积是__________． 答案：93解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】9．已知PQ 为过双曲线的一个焦点F 且垂直于实轴的弦，F '是另一个焦点，若90PF Q '∠=，则双曲线的离心率为__________． 答案：12+解析：【知识点：双曲线的几何性质】10.若双曲线的渐近线方程为230x y ±=，且两顶点间的距离为6，求该双曲线的标准方程. 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】设所求双曲线方程为()22094x y λλ-=≠ 分00λλ><与讨论，焦点在x 轴上双曲线标准方程为22194x y -=，焦点在y 轴上双曲线标准方程为2241981y x -= 11．已知双曲线的中心在原点，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率为2，且过点(4,10)-．（1）求此双曲线的方程；（2）若直线系30kx y k m --+=（k 为参数）所过定点Ｍ恰在双曲线上，求证：12F M F M ⊥． 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系】 ①2222222212c a b b e a a a +===+=， ∴1b a=．设双曲线的方程为22x y λ-=． ∵点(4,10)-在双曲线上，∴24106λ=-=．∴双曲线的方程为：226x y -=．②证明：直线系方程为：(3)()0k x m y -+-=过定点(3,)M m ．∵M 在双曲线上，∴2236m -=， ∴3m =±．∴(3,3)M ±． 又∵双曲线的焦点为1(23,0)F -、2(23,0)F ．∴121F M F M k k ⋅=-， ∴12F M F M ⊥．12．已知直线1y ax =+与双曲线2231x y -=交于A 、B 两点．（1）若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；（2）是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系】（1）由22131y ax x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得： 22(3)220a x ax ---= ①依题意得：230△0a ⎧-≠⎨>⎩，解得：66a -<<且3a ≠± ② 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则：1221222③32④3a x x a x x a ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪∙=⎪-⎩∵以AB 为直径的圆过坐标原点．∴OA ⊥OB ． ∴12120x x y y += ⑤2121212()1y y a x x a x x =+++．由③④⑤得：22222(1)1033a a a a a -+⋅+⋅+=--． 解得1a =±满足②∴1a =±(2)假设存在实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称．则直线1y ax =+与12y x =垂直． ∴112a ⋅=-，即2a =-．直线l 的方程为21y x =-+． 将2a =-代入③得124x x +=．∴A 、B 中点的横坐标为2，纵坐标为2213y =-⨯+=-．但A 、B 中点（2，－3）不在直线12y x =上． 故不存在实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称． 三、 数学视野回顾椭圆定义的拓展，我们在教材第46页双曲线标准方程的推导过程中，对()()2222x c y x c y a ++--+=±和()()22222222c a x a y a c a --=-分别进行变形整理，类似可以得到.双曲线的第二定义：点P 满足,1,PF e e F l d=>∉，则P 点的轨迹为椭圆.其中F 为定点，l 为定直线，e 为离心率，d 为点P 到直线l 的距离.双曲线的第三定义：点P 满足21,1PA PB k k e e ⋅=->，则P 点的轨迹为椭圆，其中,k k分别表示点P与两定点A,B连线的斜率，e为离心率. PA PB。
人教课标版高中数学选修1-1：《双曲线及其标准方程(第1课时)》教案-新版
2.2.1双曲线及标准方程（第1课时）一、教学目标 1.核心素养发展数学抽象、直观想象素养,培养解析法解题能力,提高数学运算素养. 2.学习目标（1）了解双曲线的定义、图象、标准方程,会求双曲线的标准方程.（2）进一步理解坐标法的应用,并在研究双曲线的过程中注意与椭圆比较,明确两者的联系与区别. 3.学习重点双曲线的定义及其标准方程. 4.学习难点双曲线与椭圆的联系与比较. 二、教学设计 （一）课前预习 1.预习任务任务1 预习教材4548P P -,双曲线的定义应该注意什么?双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有那些区别?双曲线的,,a b c 与椭圆的,,a b c 有何区别? 任务2 完成48P 相应练习题 2.预习自测1.已知两定点1(5,0)F -、2(5,0)F ,动点P 满足122PF PF a -=,则当3a =和5时,P 点的轨迹为（ ） A.双曲线与一条直线B.双曲线与一条射线C.双曲线一支和一条直线D.双曲线一支和一条射线 答案:D解析:考查双曲线定义2. 已知点(,)P x y 的坐标满足2222(1)(1)(3)(3)4x y x y -+--+++=±,则动点P 的轨迹为（ ）A.椭圆B.双曲线C.两条射线D.以上都不对 答案:B解析:考查双曲线定义3. 已知两定点1(5,0)F -、2(5,0)F ,求与两定点1F 、2F 的距离差的绝对值等于6的点的轨迹方程______________.答案:221916x y -= 解析:由题意可知,所求点的轨迹是双曲线,其方程可设为22221x y a b -=,这里26a =,210c =,∴3a =,5c =,由此得4b =.从而求得双曲线的方程为221916x y -=.（二）课堂设计 1.知识回顾(1)已知点()111222,,(,)P x y P x y 则()()22121212PP x x y y =-+-(2)我们预习本课的双曲线的标准方程得两种形式是怎样的? 2.问题探究问题探究一 双曲线的定义●活动一 什么是双曲线?与之相关的概念有哪些?在平面内到两个定点21,F F 距离之差的绝对值等于定值a 2(大于0且小于||21F F )的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.●活动二 12F F 与a 之间有何大小关系?去掉定义中“绝对值”三个字,对结论有影响吗?在双曲线的定义中,条件||2021F F a <<不应忽视,若||221F F a =,则动点的轨迹是两条射线;若｜21|2F F a >,则动点的轨迹不存在.双曲线定义中应注意关键词“绝对值”,若去掉定义中“绝对值”三个字,动点轨迹只能是双曲线一支. 问题探究二 双曲线的标准方程●活动一 焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>其中a 、b 、c 的关系为222c a b =+●活动二 椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系. 椭圆双曲线定义a MF MF 2||||21=+定义a MF MF 2||||21±=-0a c >>,222(0)a c b b ∴-=>0a c <<Q ,222(0)c a b b ∴-=>2222222211(0)x y y xa b a b a b 或+=+=>> 2222222211x y y x a b a b 或-=-= (a b a ,0,0>>不一定大于b )★▲问题探究三 确定双曲线的标准方程,掌握运用待定系数法,定义法求双曲线的标准方程例1.过双曲线22144x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于,M N 两点,2F 为其右焦点,则22MF NF MN +-=________. 【知识点:双曲线的定义及标准方程】分析: 由双曲线定义及条件知212124MF NF NF NF a -=-==. 详解: 根据双曲线的定义,有22MF NF MN +-2221=()()=2248MF NF NF NF a a a -+-+==例2.（1）双曲线的一个焦点坐标是），（60-,经过点)6,5(-A , 求双曲线的标准方程.【知识点:双曲线的定义及标准方程】(1) 详解一:由已知得,6=c ,且焦点在y 轴上,则另一焦点坐标是()0,6.因为点)6,5(-A 在双曲线上,所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数a 2,即2222222222|(5)(66)(5)(66)||135|8,4,6420.a abc a =-++--+-=-=∴==-=-=因此,所求的双曲线标准方程是221.1620x y -= 详解二:由焦点坐标知,36,6c 22=+∴=b a∴双曲线方程为22221.36y x a a -=- ∵双曲线过点)6,5(-A ,222236251,16,20.36a b a a∴-=∴==- 双曲线方程为221.1620y x -= （2）已知双曲线通过(1,1)M 、(2,5)N -两点,求双曲线的标准方程. 【知识点:双曲线的定义及标准方程】详解一:若焦点在x 轴上,则设双曲线的标准方程为22221x y a b-=.∵(1,1)M 、(2,5)N -在双曲线上,∴222222111(2)51a b a b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩,解得22787a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 若焦点在y 轴上,设双曲线的标准方程为22221y x a b -=.同理有2222221115(2)1a b a b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩,解得22778a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩,舍去. 故所求双曲线的标准方程为221778x y -=.详解二:设所求双曲线的方程为()2210Ax By AB +=<. 将点(1,1)M 、(2,5)N -代入上述方程,得14251A B A B +=⎧⎨+=⎩,解得:8717A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 故所求双曲线的标准方程为221778x y -=. 点拔:求双曲线的标准方程时,可以根据其焦点位置设出标准方程的形式,然后用待定系数法求出a ,b 的值;若双曲线的焦点位置难以确定,可设出双曲线方程的一般式()2210Ax By AB +=<,利用条件,通过待定系数法求出系数的值,从而可写出双曲线的标准方程.例3.求与双曲线221164x y -=共焦点,且过点(32,2)的双曲线方程 【知识点:双曲线的定义及标准方程】详解:由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为221164x y k k-=-+. 由于点(32,2)在所求的双曲线上,从而有1841164k k-=-+. 整理得210560k k +-=,∴4k =或14k =-. 又160,40k k ->+>,∴416k -<<.从而仅有4k =.故所求双曲线的方程为221128x y -=. 点拔:与22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为()2222221x y b k a a k b k -=-<<-+,然后根据条件确定待定系数k 即可. 3.课堂总结【知识梳理】（1）平面内点M 到两定点12,F F 的距离之差的绝对值为常数,即122MF MF a -=当122a F F <时,点M 的轨迹是双曲线; 当122=a F F 时,点M 的轨迹是两条射线; 当122a F F >时,点M 的轨迹不存在（2）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>,()222210,0y x a b a b -=>>的相同点为它们的形状、大小都相同,都有222c a b =+,不同点为它们在坐标系中位置不同,焦点坐标也不相同。
高中数学人教A版(选修1-1)课时同步教案：2.2.1双曲线及标准方程
教学目标：1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程.2. 使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化、数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.3. 通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想.教学重点与难点双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立是难点.教学方法：实验发现法、电化教学法、启导法、类比教学法教学用具：CAI课件、演示教具课时安排：一课时教学过程：一、课题导入师：椭圆的定义是什么?(学生口述椭圆的定义，教师利用CAI课件把椭圆的定义和图象放出来.)师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)（2a>｜F1F2｜）的动点P的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验：（同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题）师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”（板书课题）二、定义探究师：我们知道满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)的动点P的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点P满足什么几何条件的轨迹呢？（引导学生从刚才的演示实验中寻找答案：｜PF1｜-｜PF2｜=2a或｜PF2｜-｜PF1｜=2a）师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下.(播放双曲线flash生成动画，验证几何条件)师：实验证明当点P满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果｜PF1｜＞｜PF2｜,则得到曲线的右支，如果｜PF2｜＞｜PF1｜则得到曲线的左支，能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？三、方程推导师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？（学生口述教师板书椭圆的标准方程）师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程.(学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程)建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P(x 、y),｜F 1F 2｜=2c ，并设F 1(-c,0),F 2(c,0).由两点间距离公式，得｜PF 1｜=22)(y c x ++,｜PF 2｜=22)(y c x +-由双曲线定义，得｜PF 1｜-｜PF 2｜=±2a 即22)(y c x ++-22)(y c x +-=±2a化简方程22)(y c x ++=±2a+22)(y c x +-两边平方，得(x+c)2+y 2=4a 2±4a 22)(y c x +-+(x-c)2+y 2化简得：cx-a 2=±22)(y c x +-两边再平方，整理得(c 2-a 2)x 2-a 2y 2=a 2 (c 2-a 2)(为使方程简化，更为对称和谐起见)由2c-2a ＞0，即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0设c 2-a 2=b 2 (b ＞0)，代入上式，得b 2x 2-a 2y 2=a 2b2也就是x 2/a 2-y 2/b 2=1师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质.这一简化的方程称为双曲线的标准方程.结合图形再一次理解方程中a ＞0，b ＞0的条件是不可缺少的.b 的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有特殊的几何意义.具有c 2=a 2+b 2，区别其与椭圆中a 2=b 2+c 2的不同之处.（师生共析：双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相应的坐标轴为焦点所在坐标轴.用一句话概括“以正负定焦点”）四、巩固内化例：已知两定点())0,5(,0,521F F -，求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。
人教A版1第二章第2节《双曲线及其标准方程》的教学设计
双曲线及其标准方程（人教A版选修1－1第二章第2节）一、教学设计教学内容与内容解析本节课为《普通高中课程标准实验教科书数学·选修1—1》(人教A版)第二章“圆锥曲线与方程”中第二节双曲线的第一课时．本节课是在学生学习了直线、圆和椭圆的基础上进一步研究学习的，为后面的抛物线及其标准方程做铺垫．双曲线是继椭圆之后的另一种圆锥曲线，无论是定义的探索或是问题的解决或是学生的学法、教师的教法等等方面，这两者都具有极强的相似性，是渗透学法指导（如类比学习）的良好载体．新课程强调教师要创造性使用教材，这就需要教师对教材的精心解读．由椭圆的距离之和引发对距离之差的思考，再对常数的考虑，引起学生对教材双曲线定义不严密性．．．．．．．．（常数必须大于．．．0．）．的思考，培养学生思维的缜密．解析几何的教育价值在于通过坐标法，利用代数方法解决几何问题，为此，在推导双曲线的标准方程时，仍需让学生类比思考：怎样建立坐标系，为什么这样建立，这对文科的学生而言，“知其所以然”是需要反复强调，方可内化的．教学目标与目标解析1．学生能了解双曲线的定义、双曲线标准方程的推导及化简过程．2．在定义的探索或问题的解决中，学生能类比椭圆进行双曲线的学习．3．学生在经历双曲线定义的获得过程，能类比发现问题、不断完善、解决问题．教学问题诊断分析1．学生的知识储备分析:学生已经学习直线、圆和椭圆,基本掌握了求曲线方程的一般方法,能对含有两个根式的方程进行化简，对分类讨论、类比推理的思想方法有一定的体会．2．学生的数学能力分析:通过一年多的高中学习,学生已具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力．但是他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展,仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系．3．本节课是一节2012年泉州市“送教送研下乡”活动中的一节公开课，由于借班上课，拿不准永春侨中高二年文科的学生的水平．“以不变应万变”，本节课重点在于“类比”学习双曲线，考虑文科学生计算能力相对弱，故难点在于双曲线标准方程的推导．教学支持条件分析课本以拉链问题呈现双曲线的定义，虽然直观，但实际操作性难．，于是弃之不用，选择当场制作课件，让学生直接感受．同时通过列表的形式，让学生更为直观理解椭圆与双曲线的差异，且通过对题目合理变式让学生明白椭圆与双曲线不仅定义可类比、解题同样可以类比，对学生学法指导（如“类比”学习）做了很好的铺垫与引导．教学过程设计（一）复习引入1．椭圆的定义:平面内与两个定点12F ,F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．设M 是椭圆上的动点，则需满足()121222MF MF a a F F =>＋2．椭圆的标准方程: (1) 焦点在x 轴：()222210x y a b a b+=>>． (2)焦点在y 轴：(222210y x a b a b+=>> 其中222c a b =-． 3．导入新课:问题：我们知道，差是和的逆运算，那么，平面内与两个定点12F ,F 距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？为了研究方便，设动点M ，则问题即为研究满足12MF MF -=常数C 的轨迹问题． 解析：实数C 可以分为000C ,C ,C =><． 【学情预设】由于学生事先有预习，所以急着给出答案：双曲线．果真是双曲线吗？一石激起千层浪！【设计意图】从“差是和的逆运算”，引导学生思考问题，过渡自然，且在“发现问题”做了较好的引导．对学生的答案及时加以肯定，但“果真是双曲线吗？”，又引起学生对实数C 的讨论，渗透分类讨论思想．（二）新课学习1．展示知识形成过程（几何画板揭示动点轨迹形成） 在()120MF MF C C -=>的解决中，关键在于M 动，但12MF MF -定，为此，可联想到圆的性质，圆上任一点到圆心的距离相等，可构造两相交圆．（教师当场利用几何画板作图，如图1，2）教师借助直观，说明作图依据：如图1，设两定点12A ,A ，B 为以2A 为端点的射线上的一点，则有1212A B A B A A -=＝定值． 以1F 为圆心，1A B 为半径作圆，以2F 为圆心，2A B 为半径作圆，设两圆的交点为M ，则121212MF MF A B A B A A -=-=＝常数．【学情预设】学生对“轨迹的形成”充满好奇，却不知其原因，对知识形成充满好奇．【设计意图】教师当场利用几何画板作图，可以让学生直观感受双曲线定义的形成，深刻理解定义的形成过程，避免出现学生“知其然，不知其所以然”的局面．（2）“形”“数”两方面揭示定义从形．的方面，我们可以看到图2中的两条曲线有完美的对称性（关于线段12F F 的中垂线对称），我们把这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．从数．的方面，可以统一为：1212MF MF A A -=，类比椭圆，不妨记为()1220MF MF a a -=>【设计意图】虽然解析几何强调坐标法，但对形的认识也是必不可少的，借助几何画板，可以直观展示双曲线定义形成过程．从形的直观提炼数的特征再到定义的归纳（即图形语言、符号语言、文字语言之间的转化）又是学生认识的一个提升．2．尝试、完善双曲线的定义（1）类比椭圆定义，获得双曲线定义：把平面内与两个定点1F ,2F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．即双曲线上的动点M 满足()1212202MF MF a a F F -=<<．注：容易忽略的地方:①“距离的差的绝对值”；②“常数小于21F F ”． 思考：若122a F F =：两条射线；若122a F F >：无轨迹．（2）师生共同阅读课本让学生解释拉链问题．【学情预设】学生是有能力类比椭圆的定义得到双曲线的定义，但对“距离的差的绝对值”；“常数小于21F F ”认识不够，常忽视！【设计意图】让学生尝试、完善双曲线的定义，培养学生思维的慎密．3．探究双曲线的标准方程(1)回顾椭圆标准方程的推导过程:“建系、设点、列式、化简”（为了使学生更好类比椭圆标准方程的推导，教师引导学生回归课本，再次熟悉课本推导过程）【设计意图】引导学生回归课本，再次熟悉椭圆标准方程的推导过程，是为了更好地类比到双曲线！(2)教师引导学生类比椭圆推导双曲线的标准方程建系:取过焦点21F F ，的直线为x 轴,线段21F F 的垂直平分线为y 轴设点:设()M x,y 为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c (0>c )则 )0,(),0,(21c F c F -,1MF =2MF =列式:()1220MF MF a a -=>，122MF MF a ∴-=±a y c x y c x 2)()(2222±=+--++∴,2a =±整理得：)()(22222222a c a y a x a c -=--，由定义c a 22<022>-∴a c ，令222c a b -=代入,得:222222b a y a x b =-， 两边同除22b a 得:12222=-b y a x ，此即为双曲线的标准方程． 它所表示的双曲线的焦点在x 轴上,焦点是)0,(),0,(21c F c F -,其中222b a c +=【学情预设】学生对方程的整理还是存在一定的困难，需要一定的时间处理问题．【设计意图】让学生再次熟悉课本椭圆标准方程推导过程，不仅可以回顾旧知，而且可以较顺利解决新知．让学生尝试推导双曲线标准方程，能进一步落实计算处理．（3）若坐标系的选取不同,可得到双曲线的不同的方程．类比焦点在y 轴上的椭圆方程以及类比刚才的推导过程，如图可得到：焦点在y 轴上则焦点是),0(),,0(21c F c F -,将y x ,互换,得到12222=-bx a y ，此也是双曲线的标准方程 【设计意图】呈现焦点在y 轴上双曲线的形状，从形帮助学生的理解．4．找不同（让学生发现椭圆、双曲线标准方程的不同点）椭圆0a b >> 双曲线00a ,b >>焦点在x 轴：22221x y a b+= 焦点在y 轴：22221y x a b+= 焦点在x 轴：22221x y a b-= 焦点在y 轴：22221y x a b -= 方程形式 ＋ －a,b 大小a b > a 不一定大于b 2c222c a b =- 222c a b =+ 焦点判断 看分母的大小（看大的） 看系数的正负（看正的）【设计意图】把信息表格化，能直观区分椭圆与双曲线的差异，能快速建立新知与旧知的联系．5．演练反馈1．判断下列方程是否表示双曲线？若是,求出c b a ,,及焦点坐标．（1）22142x y -=（2）22148x y -=- 【设计意图】强调双曲线标准方程（尤其（2）：把非标准方程化为标准方程）及基本量c b a ,,的计算．2．课本第47页例1：已知双曲线两个焦点分别为()()125050F ,,F ,-，双曲线上一点P 到12F ,F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线两个焦点分别为()()125050F ,,F ,-，(6P ,在双曲线上，求双曲线的标准方程．解法一：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：()2222100x y a ,b a b -=>>． 则有2236481a b-=，即22223648b a a b -=，又2225a b +=， 代入消去2b 有4210936250a a -+⨯=，即()()2210090a a --=，所以29a =（舍去2100a =）． 即所求双曲线的标准方程为221916x y -=． 解法二：（教师先引导学生把课本翻到第34页，共同回顾例1的解题过程）因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：()2222100x y a ,b a b -=>>由双曲线的定义有122a MF MF =-=137=-=6 所以3a =，又因为5c =，所以22216b c a =-=，因此，所求双曲线的标准方程为221916x y -=． 【解题反思】求标准方程常见方法有二：①待定系数法，立足基本量的运算：设方程、代入、消参；②利用定义，注意：两焦点，用定义．【学情预设】多数的学生会采用解法一：待定系数法，涉及基本量的计算，解法二对学生的理解要求较高，学生比较难以第一时间想到，让他们回顾椭圆中的解法，有利于建立新知与旧知的联系．【设计意图】解法二的介绍目的在于让学生明白椭圆与双曲线不仅定义可类比、解题同样可以类比．解完题，及时引导学生进行反思，有利知识的梳理与深化．（三）课堂小结（1）通过表格总结椭圆与双曲线的定义和标准方程．（2）关注双曲线与椭圆之间的类比学习,如定义、方程推导、解题等．（四）课后作业课本第48页：练习1、2；课本第54页：A组1、2．二、教学实践心得基于解析几何教学价值的学法指导“高中数学课程应注重学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一．人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比……等思维过程”．只有学生掌握了一定的数学学习方法，才有可能从繁杂多样的“题海”中解脱，才有可能实现“减负”，因此，注重学生学法的指导是课堂教学的一个重要、长期的教学任务．这也就要求教师在日常的教学中，能善于抓住教学时机，对学生渗透学习方法的指导，并逐渐实现潜移默化，使教学效率得以提高．1．学法指导要有针对性即要结合数学学科的特征、学习内容，针对学生的实际情况进行指导，这是学法指导的根本原则．比如双曲线与椭圆，无论是定义的探索或是问题的解决或是学生的学法、教师的教法等等方面，这两者都具有极强的相似性，这样无论是双曲线在定义形成、标准方程的推导、解题方法，都适合与椭圆进行类比，当然这种类比在抛物线的学习同样适用．2．学法指导要有实用性学法指导的最终目的是通过让学生掌握科学的学习方法，提高学习能力，培养良好的学习习惯，增强学习效果．所以，学法指导应避免摆花架子，不切实际，死搬硬套，要立足日常的课堂教学，以常规的学习方法为重点．椭圆、双曲线、抛物线是进行学法指导的良好载体，因此在双曲线（抛物线）的定义形成、方程推导、解题的学习要让学生体会“通过类比，可以解决诸如此类的问题”，让他们学以致用，用以生效．更深层次可以引导学生归纳提炼它们的解决都是围绕着“练、思、算”，即圆锥曲线学习离不开“一定量的练习、勤于反思总结类比、合理简化运算”三步曲．3．学法指导要循序渐进学法指导过程中，要按照数学学科的逻辑系统和学生认知发展的规律，结合学法指导的内在规律，持续、连贯、有系统地进行指导，要循序渐进、逐步提高．三种圆锥曲线适合类比学习，但并不意味着学生类比学习就能把它们学好，在一些具体的环节上仍需教师加以引导，比如为什么椭圆要求122a F F >，而双曲线则要求122a F F <，再如直线代入椭圆方程一般只须考虑判别式∆，而双曲线除了考虑判别式∆，还要考虑二次项前面的系数是否为0等等．因此，师生对学习方法的掌握过程要有一定的“心理价位”，不可操之过急．三、专家点评 本节课作为新授课的教学，能凸显概念教学中重要而有效的突破点：经历概念的发生发展过程，提炼概念本质．圆锥曲线的学习中，不仅要让学生深深体会、理解“坐标法”的核心思想，同时要让学生掌握学习的方法，即三种圆锥曲线之间的类比学习，本节课在学法指导方面下足功夫，教学顺畅，体现了授课教师很好的业务素质，教学效果良好，学生能得到很好的启发与引导．本节课有如下几个亮点：1．体现学科教育价值授课教师教学过程中能落实数学教育的任务．数形结合思想是解析几何的重要思想之一，本节课在双曲线标准的推导中，能引导学生类比椭圆标准方程的推导，思考如何建系，如何整理方程，并通过表格使得椭圆与双曲线的差异直观呈现．其次，教学中，教师舍得花时间让学生进行演算（而非直接给出双曲线的标准方程，计算能力的突破是解析几何教学的难点），能较好落实学生的计算能力的提升．2．能注重学法指导授课教师在双曲线定义的呈现上，以几何画板当场呈现，让学生直观感受动点轨迹的形成；在例题、习题上设置上能凸显教学目标，凸显对学生学法的指导，可见授课教师在备课上下足了功夫，能很好的研读教材，能理清教材内容之间的纵横联系，并且在教学的过程中，能有所取舍（舍去拉链问题的操作，突出对拉链问题背后的数学说理，强化学生对双曲线定义的理解），突出教学重点，化解教学难点．同时，在例题1的讲解上，能进行适当的变式，能以此为契机，让学生明白双曲线与椭圆的类比不仅仅是定义、方程的类比，也可以是解题方法上的类比，对学生及时进行学法的指导，实现“授之以渔”的教育目标．（洪丽敏）。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程课堂导学案新人教B版选修1_1
2.2.1 双曲线及其标准方程课堂导学三点剖析一、双曲线的定义【例1】 已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程.解析：若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式.由题意得2a =24,2c =26,∴a =12,c =13,b 2=132-122=25.由于双曲线的焦点在x 轴上，双曲线的方程为2514422y x -=1. 若以线段F 1、F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，则双曲线的方程为2514422x y -=1. 温馨提示求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，求双曲线的标准方程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴.双曲线的焦点所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2的系数的正、负.二、求双曲线的标准方程【例1】 求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)经过点A (1，3104)，且a =4; (2)经过点A (2，332)、B (3，-22). 解析：(1)若所求双曲线方程为12222=-by a x (a ＞0,b ＞0),则将a =4代入，得22216b y x -=1,又点A (1,3104)在双曲线上，∴29160161b -=1, 解得b 2＜0,不合题意，舍去.若所求双曲线方程为2222bx a y -=1(a ＞0,b ＞0),同上，解得b 2=9,∴双曲线的方程为91622x y -=1. (2)设双曲线方程为mx 2+ny 2=1(mn ＜0),∵点A (2,332)、B (3，-22)在双曲线上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.41,31.189,1344n m n m n m 解之，得 ∴所求双曲线的方程为4322y x -=1. 温馨提示求双曲线的标准方程首先要做的是确定焦点的位置.如果不能确定，解决方法有两种：一是对两种情形进行讨论，有意义的保留，无意义的舍去；二是设双曲线方程为mx 2+ny 2=1(mn＜0),解出的结果如果是m ＞0,n ＜0,那么焦点在x 轴上，如果m ＜0,n ＞0,那么焦点在y 轴，在已知双曲线的两个焦点及经过一个点时，可以用双曲线的定义，直接求出a .应加强练习，注意体会.三、确定方程表示的曲线类型【例3】 已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型.解析：(1)当k =0时，y =±2,表示两条与x 轴平行的直线.(2)当k =1时，方程为x 2+y 2=4，表示圆心在原点，半径为2的圆.(3)当k ＜0时，方程为kx y 4422--=1，表示焦点在y 轴上的双曲线. (4)当0＜k ＜1时，方程为4422y kx +=1，表示焦点在x 轴上的椭圆. (5)当k ＞1时，方程为4422y kx +=1，表示焦点在y 轴上的椭圆. 温馨提示本题是判定方程所表示的曲线类型.对参数k 讨论时首先要找好讨论的分界点，除了区别曲线类型外，同一类曲线还要区别焦点在x 轴和y 轴的情况.各个击破类题演练1已知点F 1(-2，0)、F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|-|PF 1|=2，当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是( )A.26B.23C.3D.2解析：由题意知，P 点的轨迹是双曲线的左支，c =2,a =1,b =1,∴双曲线的方程为x 2-y 2=1.把y =21代入双曲线方程，得x 2=1+41=45,∴|OP |2=x 2+y 2=,464145=+∴|OP |=.26 答案：A变式提升1在△MNG 中，已知NG =4.当动点M 满足条件s in G -s in N =21s in M 时，求动点M 的轨迹方程. 解析：如右图所示，以NG 所在的直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系.∵sin G -sin N =21sin M ∴由正弦定理，得|MN |-|MG |=21×4 ∴由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以N 、G 为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点) ∴2c =4,2a =2,c =2,a =1,∴b 2=c 2-a 2=3.∴动点M 的轨迹方程为x 2-32y =1(x ＞0，且y ≠0)类题演练2 双曲线2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0)与直线x =6的一个交点到两焦点的距离分别是30和20，求该双曲线的方程.解：将x =6代入双曲线方程，得22226by a -=1. 则y =±226a ab -, 设一个交点P 的坐标为(6，226a ab -),则由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-++-=,,30)6()6(,20302222222222b a c a a b c a 解之得a =5,b 2=.3658925⨯ 故所求的双曲线方程为.136589252522=⨯-y x变式提升2在面积为1的△PMN 中，tan∠PMN =21,tan∠MNP =2,建立适当坐标系，求以M 、N 为焦点且过点P 的双曲线方程.解：以MN 所在直线为x 轴，M N 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设P (x 0,y 0)、M (-c ,0)、N(c ,0)(y 0＞0,c ＞0),如图.则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯⨯=-=+,1221,2,2100000y c cx y c x y 解得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==--==.23,143,332,635222200c a y a x y x 设双曲线方程为 将点P (332,635)代入，可得a 2=125.∴所求双曲线方程为13112522=-y x =1(y ＞0).类题演练3已知F 1(-8，3)，F 2(2，3)，动点P 适合|PF 1|-|PF 2|=2a ，当a 为3和5时，P 点的轨迹为( )A.双曲线和一直线B.双曲线和一射线C.双曲线一支和一直线D.双曲线一支和一射线解析：当a =3时，2a =6＜|F 1F 2|=10，点P 的轨迹是双曲线的右支.当a =5时，2a =10=|F 1F 2|,点P 的轨迹是以F 2为端点的一条射线.故选D.答案：D变式提升3 如果112||22-=-+-ky k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距C 的取值范围是( )A.(1，+∞)B.(0，2)C.(2，+∞)D.(1，2) 解析：由题意得,02||01⎩⎨⎧>-<-k k 解得k ＞2,则c =.132)2|(|)1(>-=-+-k k k 答案：A。
高中数学 双曲线及其标准方程导学案 新人教A版选修1-1 学案
陕西省榆林市育才中学高中数学 双曲线及其标准方程导学案 新人教A 版选修1-1学习目标：1.理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；2.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；重点、难点：理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义；会用双曲线的定义解决实际问题.自主学习复习旧知:1. 把平面内与两个定点，的距离之和等于＿＿＿（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做＿＿＿＿＿，两定点间的距离叫做＿＿＿＿＿＿．即当动点设为时，椭圆即为点集．2.平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做＿＿＿定点F 不在定直线l 上)．定点F 叫做抛物线的＿＿＿，定直线l 叫做抛物线的＿＿＿.3.抛物线的＿＿＿在一次项对应的轴上，其数值是一次项系数的＿＿倍，准线方程与焦点坐标相反；反之可以逆推。
合作探究1.由教材探究过程容易得到双曲线的定义．叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P = 。
2.双曲线标准方程的推导过程思考：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法自己建立直角坐标系．类比椭圆：设参量b 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义．类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程()222210,0y x a b b a-=>>．推导过程：3.已知双曲线两个焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，双曲线上一点P 到1F ，2F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．4.已知A ，B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．练习反馈1.求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）a=3,b=4,焦点在x 轴上；（2）焦点为（0，-10），（0，10），双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是16；（3）焦点为（0，-5），（0,5），经过点（2，253）。
人教A版高中数学选修1-1 2.2.1双曲线及其标准方程教学设计
基于核心问题的“学思课堂”教学设计
具体的要求呢？
合作探究质疑（学）1.定义的挖掘、
2.标准方程的推导、
3.方程的对比
1、首先，我设置了这样两个问题：
（1）类比椭圆寻找双曲线定义中的关
键字；
（2）若分别去掉这几个关键字曲线会发
生怎样变化？
然后让学生带着问题进行合作探究，教
师可适当引导，对于学生难以理解的地
方适时给予帮助指导。
2、标准方程的推导
这一环节是本节课的难点，为了突破它，我
了这样几个问题让其贯穿推导过程以将难
解：
(1)回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法；
(2)类比椭圆试着推导双曲线的标准方程；
(3)换元处理与椭圆有没有区别？
(4)猜证双曲线焦点在y轴上的标准方程。
（
然后让学生独立完成推导过程。
3.方程的对比
此时，学生接触的方程已比较多，很容易混
有必要加以对比。
我引导学生进行以下两组对比：
（1）双曲线方程的两种形式的对比；
（2）椭圆方程与双曲线方程的对比。
对比时会让学生注意方程结构的区别和联系
如说：到底是平方差还是平方和。
另外，还
意椭圆方程和双曲线方程都涉及到的三个量
b、c它们的区别和联系。
，。
高二数学 (人教a版)选修1-1教案：2.2.1双曲线的及其标准方程
§2．2．1双曲线的及其标准方程,6802340=⨯=-PB PA 即2a =680,a =340.又,800=AB ∴2c =800,c =400, b 2=c 2－a 2=44400.∵,0680>=-PB PA ∴x >0.所求双曲线的方程为：14440011560022=-y x (x >0).思考1：该例表明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的则是爆炸点的准确位置，那么我们如何解决这个问题呢？如果再增设一个观测点C ，利用B 、C （或A 、C ）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.思考2：如果A 、B 两点同时听到爆炸声，说明爆炸点到A 、B 的距离相等，那么爆炸点应在怎样的曲线上？AB 的中垂线。
3．补充例题：已知动圆P 与定圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝49,C 2：(x －5)2＋y 2＝1 都相切，求动圆圆心的轨迹的方程分析：外切有|PC 1|＝7＋r, |PC 2|＝1＋r ，∴|PC 1|－|PC 2|＝6，内切有|PC 1|＝r －7, |PC 2|＝r －1，∴|PC 2|－|PC 1|＝6故点P 的轨迹是双曲线x 2/9－y 2/16＝1四、小结1、 提问：我们已经学习了双曲线，双曲线是怎样的点的轨迹？2、 双曲线的标准方程是怎样的？3、 双曲线标准方程中a 、b 、c 之间的关系是什么？你能通过它们求出双曲线的标准方程吗？五、作业教科书习题2.2 1、2、练习与测试：1．一动圆P 过定点M （－4，0），且与已知圆N ：(x －4)2＋y 2＝16相切，求动圆圆心P 的轨迹。
分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线，则可直接求出其轨迹方程来内切时，定圆N 在动圆P 的内部，有|PC|＝|PM|－4， 外切时，有|PC|＝|PM|＋4，故点P 的轨迹是双曲线x 2/4－y 2/12＝1。
最新高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程导学案(1)新人教A版选修1-1
最新人教版数学精品教学资料高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程（1）导学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1．掌握双曲线的定义；2．掌握双曲线的标准方程．【自主学习】（预习教材P45~ P47）复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程．问题：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？新知1：双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ；2a >12F F 时，轨迹 ．试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ．新知2：双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴） 其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？【合作探究】例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为 ．:【目标检测】1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ）．A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线2．双曲线2255x ky +=的一个焦点是(6,0)，那么实数k 的值为（ ）．A ．25-B ．25C ．1-D ．13．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b =（ ）． A. 5 B. 13 C. 5 D. 134. 求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x 轴上，4a =，3b =；（2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．学习反思：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些我没学懂？。
教案双曲线及其标准方程
(2)代数方程
∵ ， ，
∴ ．
(3)化简方程
将这个方程移项，两边平方得：
两边再平方，整理得：
．
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)
由双曲线定义，2c＞2a即c＞a，所以 .
设 (b＞0)，代入上式得：
这就是双曲线的标准方程.
将x、y互换得到焦点在y轴上的形式： .
（4）椭圆的标准方程.
思考：我们知道与两个定点的距离的和为非零常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么与两定点距离的差为非夫零常数的点的轨迹是什么？
合作探究、精讲点拨
如图：2.2-1，取一拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点分别固定在 、 上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线是满足下面条件的点的集合：P={M| |-| ||=常数}，如果使点M到点 的距离减去到 的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线，这条曲线是满足下面条件的点的集合：P={M|| |-| ||=常数}这两条曲线合起来就叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支.
教师用多媒体展示问题，并让学生做学案中的例题．
老师补充.
学生回答老师作点评．
让学生用自己做的教具进行操作，观察分析，思考，同桌间相互讨论，相互交流结论.
让学生先自己推导，在小组间交流结论．
让学生去探究和思考．
由每个学习小组组长在黑板上板书并讲解思维过程．
由数学科代表总结这节课的主要知识点的解题过程中的方法和技巧以及知识误区．
教学目标
1.理解和掌握双曲线的定义及标准方程；会应用定义求简单的双曲线的标准方程.
2.通过双曲线定义及标准方程的学习，培养学生的自学能力、自主探究能力、是合作探究精神、数形结合思想、用代数的方法解决几何问题和实际生活问题的能力.
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2.2.1双曲线及其标准方程【教学目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《2.2.1双曲线及其标准方程》课件“新课导入”部分，通过一首有趣而形象的诗歌及几幅美观的图片，引入本节课要学习的双曲线及其标准方程的知识.二、自主学习知识点一双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支；(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．知识点二双曲线的标准方程(1)两种形式标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a 、b 、c 的关系式a 2＋b 2＝c 2(2)如果含x 2项的系数为正数，那么焦点在x 轴上，如果含y 2项的系数是正数，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 与b 无截然的大小关系，因而不能像椭圆那样，通过比较a 与b 的大小来确定其焦点位置．三、合作探究问题1 若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF 1|－|MF 2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF 2|－|MF 1|＝常数，可得到另一条曲线．问题2 双曲线的标准方程的推导过程是什么？答案 (1)建系：以直线F 1F 2为x 轴，F 1F 2的中点为原点建立平面直角坐标系． (2)设点：设M (x ，y )是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (3)列式：由|MF 1|－|MF 2|＝±2a ， 可得x ＋c2＋y 2－x －c 2＋y 2＝±2a .①(4)化简：移项，平方后可得(c 2－a 2)x 2－a 2y 2＝a 2(c 2－a 2)． 令c 2－a 2＝b 2，得双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．② (5)验证：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x ，y )为坐标的点到双曲线两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线的标准方程．(此步骤可省略)问题3 双曲线中a ，b ，c 的关系如何？与椭圆中a 、b 、c 的关系有何不同？ 答案 双曲线标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，即c 2＝a 2＋b 2，其中c >a ，c >b ，a 与b 的大小关系不确定；而在椭圆中b 2＝a 2－c 2，即a 2＝b 2＋c 2，其中a >b >0，a >c ，c 与b 大小不确定．探究点1 双曲线定义的理解及应用例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4(2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．答案 (1)A(2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 (1)当|PF 1|－|PF 2|＝±3时，||PF 1|－|PF 2||＝3<|F 1F 2|＝4，满足双曲线定义， P 点的轨迹是双曲线．(2)如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |, 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝2，这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，其轨迹方程为x 2－y 28＝1 (x ≤ －1)．反思与感悟 双曲线定义的两种应用：(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线．(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量.其基本步骤为：①寻求动点M 与定点F 1，F 2之间的关系；②根据题目的条件计算是否满足||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数，a >0)；③判断：若2a <2c ＝|F 1F 2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c ＝|F 1F 2|，b 2＝c 2－a 2，进而求出相应a ，b ，c ；④根据F 1，F 2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程． 探究点2 待定系数法求双曲线的标准方程例2 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．解 (1)由已知可设所求双曲线方程为y 2a 2－x2b 2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)方法一 设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意易求得c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，∴322a 2－4b2＝1. 又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8. 故所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.方法二 设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4，∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)． ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2＜k ＜a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程． 探究点3 双曲线定义的综合应用例3 已知A ，B 两地相距2000m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4s ，且声速为340m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．解 如图，建立直角坐标系xOy ，使A ，B 两点在x 轴上，并且坐标原点O 与线段AB 的中点重合．设爆炸点P 的坐标为(x ，y )， 则|P A |－|PB |＝340×4＝1 360. 即2a ＝1 360，a ＝680. 又|AB |＝2 000，所以2c ＝2 000，c ＝1 000，b 2＝c 2－a 2＝537 600. 因为|P A |－|PB |＝340×4＝1 360>0，所以x >0.因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为x 2462 400－y 2537 600＝1(x >0)．反思与感悟 结合双曲线的定义，解决综合问题，诸如：实际应用题，焦点三角形问题等，要充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，利用化归思想，重点考查综合运用能力与求解能力．四、当堂测试1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1(x ≤－4) B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案 D解析 |PF 1|－|PF 2|＝6<|F 1F 2|＝10，根据双曲线的定义可得D 正确． 2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1答案 D解析 由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D. 3．若方程x 210－k ＋y 25－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．(5,10)B ．(－∞，5)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，5)∪(10，＋∞) 答案 A解析 由题意得(10－k )(5－k )<0，解得5<k <10.4．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.答案 16解析 由已知条件知m ＋9＝52，所以m ＝16.5．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．答案343解析 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，将x M ＝5，代入双曲线方程可得|y M |＝163，即为点M 到右焦点 的距离，由双曲线的定义知M 到左焦点的距离为163＋2×3＝343.五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?(1)椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别与联系：程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a ，b 的值．。