人教新课标版数学高二选修1-1导学案 双曲线及其标准方程

2.2.1双曲线及其标准方程

【教学目标】

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.

2.掌握双曲线的标准方程及其求法.

3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．

【教学过程】

一、创设情景

教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《2.2.1双曲线及其标准方程》课件“新课导入”部分，通过一首有趣而形象的诗歌及几幅美观的图片，引入本节课要学习的双曲线及其标准方程的知识.

二、自主学习

知识点一双曲线的定义

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；

(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；

(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支；

(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．

知识点二双曲线的标准方程

(1)两种形式标准方程

焦点所在的坐标轴x轴y轴

标准方程x2

a2－

y2

b2＝1

(a>0，b>0)

y2

a2－

x2

b2＝1

(a>0，b>0)

图形

焦点坐标

F1(－c,0)，

F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)

a 、

b 、

c 的关系式

a 2＋

b 2＝

c 2

(2)如果含x 2项的系数为正数，那么焦点在x 轴上，如果含y 2项的系数是正数，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 与b 无截然的大小关系，因而不能像椭圆那样，通过比较a 与b 的大小来确定其焦点位置．

三、合作探究

问题1 若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？

答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF 1|－|MF 2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF 2|－|MF 1|＝常数，可得到另一条曲线．

问题2 双曲线的标准方程的推导过程是什么？

答案 (1)建系：以直线F 1F 2为x 轴，F 1F 2的中点为原点建立平面直角坐标系． (2)设点：设M (x ，y )是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (3)列式：由|MF 1|－|MF 2|＝±2a ， 可得

x ＋c

2＋y 2－

x －c 2＋y 2＝±2a .①

(4)化简：移项，平方后可得(c 2－a 2)x 2－a 2y 2＝a 2(c 2－a 2)． 令

c 2－a 2＝b 2，得双曲线的标准方程为

x 2a 2－y 2

b 2

＝1(a ＞0，b ＞0)．② (5)验证：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x ，y )为坐标的点到双曲线两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线的标准方程．(此步骤可省略)

问题3 双曲线中a ，b ，c 的关系如何？与椭圆中a 、b 、c 的关系有何不同？ 答案 双曲线标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，即c 2＝a 2＋b 2，其中c >a ，c >b ，a 与b 的大小关系不确定；而在椭圆中b 2＝a 2－c 2，即a 2＝b 2＋c 2，其中a >b >0，a >c ，c 与b 大小不确定．

探究点1 双曲线定义的理解及应用

例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )

A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3

B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4

C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5

D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4

(2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．

答案 (1)A

(2)x 2－

y 2

8

＝1(x ≤－1)

解析 (1)当|PF 1|－|PF 2|＝±3时，||PF 1|－|PF 2||＝3<|F 1F 2|＝4，满足双曲线定义， P 点的轨迹是双曲线．

(2)如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |, 因为|MA |＝|MB |，

所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝2，这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2.

根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点

M 的坐标为(x ，y )，其轨迹方程为

x 2－

y 2

8

＝1 (x ≤ －1)．

反思与感悟 双曲线定义的两种应用：

(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线．

(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量.其基本步骤为：

①寻求动点M 与定点F 1，F 2之间的关系；

②根据题目的条件计算是否满足||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数，a >0)；

③判断：若2a <2c ＝|F 1F 2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c ＝|F 1F 2|，b 2

＝c 2－a 2，进而求出相应a ，b ，c ；

④根据F 1，F 2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程． 探究点2 待定系数法求双曲线的标准方程

例2 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程；

(2)求与双曲线x 216－y 2

4

＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．

解 (1)由已知可设所求双曲线方程为y 2

a 2

－x

2

b 2

＝1(a >0，b >0)，则⎩⎨⎧

32a 2

－9

b 2

＝1，

25a 2

－81

16b 2

＝1，