解析几何总结

第2章 圆锥曲线与方程

（1）椭圆

1．椭圆定义：一个动点P ，平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数 （21PF PF +=2a （a 为常数）2a ＞21F F ）的点的轨迹叫做椭圆． ⑴若2a ＞21F F ，则动点

P 的轨迹是椭圆

⑵若2a =21F F ，则动点P 的轨迹是线段F 1F 2 ⑶若2a ＜2

1F F ，则动点

P 无轨迹

2．椭圆的标准方程：焦点在x 轴上时，方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x

焦点)0,(1c F -)0,(2c F

焦点在y 轴上时，方程为)0(122

22>>=+b a b

x a y

焦点),0(1c F -),0(2c F 注:222b a c -=

椭圆的一般方程：),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+

3．椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的性质：

(1)范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤- (2)对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称

(3)顶点坐标、焦点坐标是)0(，

c ± (4)长轴长2a 、短轴长2b 、焦距2c 、长半轴a 、短半轴b 、半焦距c

(5)椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的，准线方程是c a x 2

±=，准线到中心的距离

为2a c

. 通径的长是a b 22，通径的一半(半通径)：2

b a

，焦准距（焦点到对应准线的距

离）c

b 2

．

(6)离心率O F B a

b a

c a c e 2222

22cos 1∠=-===，离心率越大，椭圆越扁

(7)焦半径：若点),(00y x P 是椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 上一点，21F F 、是

其左、右焦点，

焦半径的长：0201)(ex a c a x e PF +=+=和02

02)(ex a c

a x e PF -=-=．

4．椭圆的的内外部：

（1）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部22

00221x y a b ⇔+<

（2）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的外部22

00221x y a b

⇔+>

5．椭圆系方程：

与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>共焦点的椭圆系方程可设为：是

12

222=+++λ

λb y a x （02

>+λb ）． 与椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆系方程可设为：

λ=+2222b y a x 或λ=+22

22b

x a y . 第2章 圆锥曲线与方程 （2）双曲线

1．双曲线定义：在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常

数(小于|F 1F 2|) a PF PF 221=-（a 为常数c a <<0）的点的轨迹叫做双曲线．

⑴若2a ＜21F F ，则动点P 的轨迹是双曲线．

⑵若2a =21F F ，则动点P 的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线（在直线F 1，F 2上）．

⑶若2a ＞21F F ，则动点P 无轨迹． 2．双曲线的标准方程：

焦点在x 轴上时，方程为122

22=-b y a x )00(>>b a ， 焦点)0,(1c F -)0,(2c F

焦点在y 轴上时，方程为122

22=-b

x a y )00(>>b a ， 焦点),0(1c F -),0(2c F

注:222b a c +=（类比勾股定理）

双曲线的一般方程：)0(122<=+mn ny mx

注：方程C By Ax =+22（C B A ,,均不为0）表示双曲线的条件：

方程变形：12

2=+B

C y A C x ，考察二次项系数的正负，若A C 与B C 异号，表示双曲线；

若C B A ,,同号且B A ≠,则表示椭圆；若C B A ,,同号且

A C =B

C

，则表示圆． 3．双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的性质：

(1)范围：a x ≥或a x -≤，y R ∈．

(2)对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称．

(3)顶点坐标：双曲线和x 轴有两个交点)0,(),0,(21a A a A -，焦点坐标是)0(，c ±．

(4)实轴长2a 、虚轴长2b 、焦距2c ；实半轴a 、虚半轴b 、半焦距c ．

(5)双曲线12222=-b y a x 的准线方程是c a x 2±=，准线到中心的距离为2

a c ，

焦准距：（焦点到对应准线的距离）c

b 2

．

通径的长是a b 22，通径的一半(半通径)：2

b a

．

(6) 渐近线方程是x a

b

y ±

= ① 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>渐近线方程：令022

22=-b y a x )0,0(>>b a ，即

x a b y ±=;

② 渐近线是02222=-b y a x (或x a b

y ±=⇔0=±b y a x )的双曲线设为λ=-2222b

y a x ． (λ≠0),k 是待定系数．

③（焦渐距）焦点到渐近线的距离恒为b

．

(7) 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 定义式：a b =．

注：①等轴双曲线的渐近线方程为：x y ±= ．②渐近线互相垂直．

③等轴双曲线可设为：)0(22≠=-λλy x ．（0>λ时焦点在x 轴，0<λ时焦点在y 轴上）

(8) 离心率是22

2

21a b a c a c e +=== （1>e ）e 越大，开口越开阔；e 越小，开口越扁狭．

(9) 半径：若点),(00y x P 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上一点，21F F 、是其左、