第二章第3节3

(5) 对同一函数f ( x), 若视其为某个数列{an }的 指母函数Ge ( x ), 则有
2
xk f ( x ) Ge ( x ) ak k! k 0

若视其为某个数列{bn }的普母函数G( x), 则应为
f ( x ) G( x ) bk x
k 0 k
在一般情况下,{ak } {bk }.
2 x 3
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1 5x (e e x 2e 3 x ) 4
1 (5 x )n x n (3 x )n 2 4 n 0 n ! n! n 0 n ! n 0
1 n n x (5 1 2 3 ) 4 n 0 n!
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二、指母函数的应用
定理2.3.1 设多重集S {n1 e1 , n2 e2 , , nm em }, 且n1 n2 nm n, 则S的r 可重排列的指母函数为 ni x j n xr Ge ( x ) ar r! i 1 j 0 j ! r 0 r x 其中, r 可重排列数为 之系数ar , r 0,1, 2, , n r!
(1 x )n xn (2) Ge ( x ) 1 ex n! n 0
n x n (3) Ge ( x ) b n! n 0
(bx )n bx e n! n 0

4
注 : 组合数数列 {C(m,n)}的普母函数是
n n C ( m , n ) x (1 x ) n 0
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2 3 x x x 因 ex 1 , 1! 2! 3!
2 3 x x x x e 1 , 1! 2! 3! 2 4 x x x x e e 2 2 2 2! 4!
x2 x4 2(1 ) 2! 4!
所以 e x e x x2 x4 1 2 2! 4!
x x2 x3 y y2 Ge ( x , y , z ) (1 )(1 ) 1! 2! 3! 1! 2! z z2 z3 (1 ) 1! 2! 3! 1 1 ( x y z) 1! 1 2 ( x y 2 z 2 2 xy 2 xz 2 yz ) 2! x3 y2 z3 560 8!
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1 3x 1 x x 2x 于是 Ge ( x ) (e e )e (e e x ) 2 2
n n 1 x n x 3 2 n 0 n ! n 0 n !
3n 1 x n 2 n! n 0

3n 1 故所求排列数 an . 2
1

注：(1) an的非零项可以为有限个或无限个.
(2) 数列{an }与母函数一一对应, 即给定数列可 以得知它的指母函数,反之,求得指母函数则 数列也随之而定.
(3) 母函数只看作一个形式函数, 故不考虑 “收 敛问题” .且可 “逐项微分”和 “逐项积分” .
(4) 相应于同一数列{ak }, 一般G( x) Ge ( x).
i 从中取r 个的排列数为 ( 1)i C n ( n i )r . i 0
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n
推论3 若S {n1 e1 , n2 e2 , , nm em }, 元素ei 至 少取ki 个( ki 0), 则r 可重排列的指母函数为 ni x j Ge ( x ) j ! i 1 j ki
解 设满足条件的n位数有an 个,则{an }的指母函 数为
x x x x Ge ( x ) 1 1 2! 4! 1! 2!
2 4 2 2 3
e e ( 2
x
x
1 2x 2 x 3x ) (e ) (e e 2)e 4
解 此问题相当于求多重集S = {2 e1， 2 e2， 1 e3 } 的4排列数. 用ar 表示组成r 位数的个数,{ar }的指母函 x x2 2 x 数为 Ge ( x ) (1 ) (1 ) 1! 2! 1!
5 4 1 5 1 3x 4x 3x x x 4 4
m
xn x n1 n2 nm n1 ! n2 ! nm ! n1 ! n2 ! nm !
n! x n1 ! n2 ! nm ! n !
所以S的全排列数为 n! n1 ! n2 ! nm !
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n
例3 用红、白、蓝三色涂1 n方格,每个方格 只能涂一种颜色, 如果要求偶数个方格要涂成白色, 问有多少种方法？ 分析：用an 表示涂色的方案数. 设多重集
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其中x表示红球,y表示黄球,z 表示蓝球.例如上式 中的项 1 2 2 2 ( x y z 2 xy 2 xz 2 yz ) 2! 表示取2个球排列的9种方案分别为:
红红、黄黄、蓝蓝、红黄、黄红、
xx yy zz xy yx
红蓝、蓝红、黄蓝、蓝黄
xz zx yz zy
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例2 五个数字1， 1， 2，， 2 3能组成多少个四位数？
先从n双鞋子中不重复地选出r 双排成一列, 共有Pnr 种排列情况, 再从所选的每双鞋中抽取一 只, 有2r 种取法.由乘法原理, 所得排列数为Pnr 2r .
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本问题从分配的角度看 :
将r 个不同的球放入n个不同的盒子, 每个盒 子最多放一个球, 而且每个盒子中有两个相异的 格子, 故还需要进行二次分配.如果某个盒子中放 进一个球, 那么, 二次分配时有两种可选的方案.
x x x x x 解 Ge( x ) (1 )(1 ) 1! 2! 1! 2! 3!
2 3 4
2
2
3 2
x x x x 1 3 9 28 70 1! 2! 3! 4! 8 x 560 8!
所以,从中取4个球的排列方案有70种.
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注: 如果要具体写出各种方案,可令
m
xr 展开式中 的系数即为r 可重排列数. r! 推论4 若S {n1 e1 , n2 e2 , , nm em },
n1 + n2 + + nm = n, 则S的全排列数为 n! . n1 ! n2 ! nm !
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x n1 x n2 x nm x ni 证 Ge ( x ) n1 ! n2 ! nm ! i 1 ni !
2.3 指数型母函数
一、基本概念
定义 2.3.1 设数列 {an }, 形式幂级数 xn Ge ( x ) an n! n 0 x x2 xn a0 a1 a2 an 1! 2! n! 称为数列 {an } 的指数型母函数, 简称指母函数, 数 列{an } 称为指母函数Ge ( x )的生成序列.
2 3
x x2 x3 x4 x5 1 3 8 18 30 30 1! 2! 3! 4! 5!
故可组成30个四位数. (a4 30).
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指母函数在解决排列问题方面还有下面一些结论.
推论1 若S = {e1 ,e2 , ,en },则r 无重排列的指 母函数为
r n x x Ge ( x ) 1 P ( n, r ) 1! r! r 0 n
S { R， W ， B } 其中R代表红色, W 代表白色,B代表蓝色,则所求的 涂色方案数an 就是S的n可重排列数,但要求排列中 有偶数个W .
解 {an }的指母函数为
x2 x4 x x2 x3 Ge ( x ) (1 )(1 )2 2! 4! 1! 2! 3!
(5n 2 3n 1) x n 4 n! n 0


n
所以
1 n n an (5 2 3 1) 4
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例6 从n双互相不同的鞋中取出r 只( r n)排 成一排, 要求其中没有任何两只是成对的,问共有 多少种不同的取法？
解 此问题即是从集合 S {e11 , e12 , e21 , e22， , e n1 , e n 2 } 的n类共2n个元素中不重复地取出r 个元素排成一 列, 且同一类元素ei 1 , ei 2 不能同时出现(1 i n),因 此, 其r 个元素无重排列的指母函数应为
多重集的n可重组合数数列{C ( m n 1, n)}的 普母函数是 1 C (m n 1, n) x n (1 x ) n 0
n
这些母函数都是初等函数,使用起来非常方便.
而对于排列数数列{P(m, n)}而言, 如果采用普母
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函数 P (m, n) x n , 一般情况下它不是初等函数,所
n 0

P ( m , n) , 以使用起来不方便. 但注意到C ( m , n) n!
n x (1 x )m C (m, n) x n P (m, n) n! n0 n0 m m
n x 所以， (1 x )m 的展开式中项 的系数恰好是排列数 n! xn P ( m, n),因此排列数的母函数采用形如 an 的幂 n! n 0 级数为好.
r r x ( nx ) x Ge ( x ) e nx nr r! r! r 0 r 0 j 0 j ! xr r 排列数为 之系数n . r! 特例 若每个元素ei 至少出现一次(即r n), 则 j n
Ge ( x ) (e x 1)n ,
x 排列数为 之系数P ( n, r ). r! 证 由二项式定理以及P(n, r ) C (n, r )r !, 有
r n n x x Ge ( x ) 1 C (n, r ) x r P ( n, r ) 1! r! r 0 r 0
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r
n
推论2 若S = { e1 , e2 , , en },则r 无限可 重排列的指母函数为
n r r Ge ( x ) (1 P x ) 2 x r 0 r
1 2 n n
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n r xr 2 r ! r! r 0 r
n
n r 即不同的排列共有 2 r ! Pnr 2r 种. r
本问题的排列数从排列的角度理解 :
3
例1 求数列{an }的指母函数Ge ( x ), 其中 : (1) an P ( m , n), (2) an 1, (3) an b n ,

n 0,1, 2, n 0,1, 2, n 0,1, 2,
xn 解 (1) Ge ( x ) P ( m, n) C ( m , n) x n n ! n 0 n 0
m
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注: 一般地,S {n1 e1 , n2 e2 ,, nm em }的r 可 重排列的指母函数为
பைடு நூலகம்
ni x j Ge ( x ) i=1 j= 0 j !
m
xr 展开式中 的系数即为r 可重排列数. r!
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例1 盒中有3个红球,2个黄球,3个蓝球,从中取 4个球,排成一列, 问共有多少种不同的排列方案?
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练习： 1、由字母a,b,c,d,e组成的总字母数为n 的单词中，要求a与b的个数之和为偶数，问这 样的单词有多少个？ 2、用红、白、蓝和绿色给棋盘染色，要求有偶数 个方格被涂成红色，奇数个方格被涂成白色，求涂 色方案数。
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例4 求1，，，， 3 5 7 9五个数字组成的n位数的个 数(每个数字可重复出现), 要求其中3， 7出现的次数 为偶数，，，出现的次数 1 5 9 不加限制.