安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试理科数学试卷含答案
安徽省合肥市2020年高三第二次质量检测理科数学试卷文字版含解析
合肥市2020年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题元效．第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．1．若集合{}{}22,0322≥=≤--=x x B x x x A ，则B A I =（ ） A ．]3,21[ B ．]1,21[ C ．]21,3[- D ．]3,2[2．欧拉公式θθθsin cos i e i +=把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数θcos 和θsin 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z 满足i z i e i =⋅+)(π，则z =（ ）A ．1B ．22C ．23 D ．2 3．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≥-+032304042y x y x y x ，则y x z -=2的最小值是（ ）A ．5-B ．4-C ．7D ．164．已知)(x f 为奇函数，当0<x 时，2)(ex ex f x -=-（e 是自然对数的底数），则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程是（ ）A ．e ex y +-=B ．e ex y +-=C ．e ex y +-=D ．e ex y +-=5．若110tan 380cos =+οοm ，则m =（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-6．已知函数)20,0)(tan()(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象关于点)0,6(π成中心对称，且与直线y=a 的两个相邻交点间的距离为2π，则下列叙述正确的是（ ） A ．函数的最小正周期为πB ．函数)(x f 图象的对称中心为))(0,6(Z k k ∈+ππC ．函数)(x f 的图象可由2tan =y 的图象向左平移6π得到 D ．函数)(x f 的递增区间为))(62,32(Z k k k ∈+-ππππ 7．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b ，宽为内接正接正方形的边长d ，由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列推理正确的是（ ）①由图1和图2面积相等得b a ab d +=； ②由AE≥AF 可得2222b a b a +≥+； ③由AD≥AE 可得b a b a 112222+≥+； ④由AD≥AF 可得ab b a 222≥+。
安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试 理科数学(含答案)
安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每题5分．满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．己知集合A={x ∈R|x 1>-1}，集合B={ x ∈R||x|>1}，则A ∩B= A ．(1,+ ∞) B ．(0,+ ∞) C ．(-∞,-1) ∪ (0,+ ∞) D ．(-∞,-1) ∪ (1,+ ∞) 2．已知复数z 满足：zi=3+4i （i 为虚数单位），则z =A. 4+3iB.4- 3iC.-4+3iD. -4-3i3．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的A ．2837 倍B ．3547倍 C. 3548倍 D ．57倍 4．函数y=sin|x|+x 在x ∈[-2，2 ]上的大致图象是5．已知双曲线C: 2222b y a x -=l （a>0，b>0）的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点O 及点A )23,23(，则双曲线C 的方程为 A ．1322=-y x B ． 16222=-y x C ．1322=-y x D. 12622=-y x 6．已知实数x,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+04404201y x y x y x ，则|3x+4y|的最小值为A. 2B. 3C. 4D. 57．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π8．《易经>包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深， 对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响，下图就是《易经》中记载的几何图形一一八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为l0m ，代表阴阳太极图的圆的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为A ．47.79m 2 B. 54.07m 2 C ．57.21m 2 D ．114.43 m 29．已知数列{a n }中，a 1=l ，a 2 =2，且当n 为奇数时，a n+2-a n =2；当n 为偶数时，a n+2+l= 3(a n +1)．则此数列的前20项的和为A ．23311-+90B ．23311-+100C ．23312- +90D ．23312-+100 10．函数)20,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，己知 3)65()0(==πg g ，函数y=f （x ）的图象可由y= g(x)图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数f(x)的解析式为A. x x f 2sin 2)(=B. )32sin(2)(π+=x x f C. x x f 2sin 2)(-= D. )32sin(2)(π+-=x x f 11．已知函数f(x)=(lnax-1)(x 2+ax-4)．若x>0时，f(x)≥0恒成立，则实数a 的值为A ．2eB ．4eC ．e e-4 D ．2-e e12．如图所示，棱长为l 的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AB 1的中点，M ，N 分别 为线段AC 1和棱B 1C 1,上任意一点，则MN PM 22+的最小值为A. 22 B ．2 C ．3 D ．2 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
安徽省合肥市2020年高三第二次教学质量检测理科数学试题(含答案)
A. -5
3.r+ 2y- 3
B. -4
C. 7
· D. 16
4.已知 f(:r） 为奇函数，当 .T < （：）时， f（�T) = e-.-r … ex2 ( e 是自然对数的底数〉 ， 则曲线
Y = f(.r）在 .T = 1处的切线方程是
A. y ＝一 町 ＋ e B. y = er +e
C. y ＝町 － e
充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥气若复数 z 满足 （eiir +
cost)
i) •
和 sin8 联系在一起，
z = i，则 I zl =
A ....
R号
已号
nD. ..!?.
2.r+y-4 注。
时崎旧隅
； ：三。 3.若实数 .T 'y 满足约束条件 x-y 十 4 ；主 0，则 z = 2x-y 的最小值是
同理得，CN 平面 ABEF ，∴ DM // CN . 又∵ DM CN ∴四边形CDMN 为平行四边形 ∴CD // MN .
∵M，N 分别是 AF，BE 的中点 ∴MN // AB
∴CD // AB .
………………………………5 分
(2)在 AB 边上取一点 P ，使得 AP DF .
由图(1)可得， ADFP 为正方形，即 AP FP . ∵M 为 AF 的中点 ∴MP MA .
合肥市 2020 年高三第二次教学质量检测
数学试题（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试理科综合试卷
后，这种软体动物体内便存在叶绿体并可以进行光合作用。在光学显微镜下观察绿叶海
蜗牛的细胞，可以分辨的结构有
A．叶绿体和核糖体
B．叶绿体和细胞壁
C．叶绿体和细胞核
D．细胞核和细胞壁
2． PTEN 是一种抑癌基因，表达的 PTEN 蛋白可以提高生物体的抗癌能力，但泛素连接酶
可导致 PTEN 蛋白被降解。西兰花经消化生成的 3-吲哚甲醇能与泛素连接酶结合，调
安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试
理科综合能力测试
注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。
种类
叶片形态
叶片厚度 叶片面积
/ mm
/ mm2
叶片被毛
渗透压 气孔开放度日均值 / kPa （/ mmol H2O·m-2·s-1）
A种 B种 C种
平展或微瓦状 瓦状 卷筒状
0.208 0.235 0.323
95.10 14.88 11.90
少许绿色柔毛 密灰色柔毛
密直立或伏贴绢毛
1 276 1 807 2 286
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 可能用到的相对原子质量：H-1，C-12，O-16，Na-23，S-32，Ca-40
一、选择题：本题共 13 小题，每小题 6 分，共 78 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1． 绿叶海蜗牛能从它的藻类食物中“偷”来叶绿体，并吸收入自己的细胞内。首次捕食绿藻
10．下列对实验现象的解释正确的是
安徽省宣城市2020届高三第二次调研考试数学理科试题(解析版)
2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．已知全集U＝R，集合A＝{x|log3x＜1}，B＝{x|x2﹣x≥2}，则A∩B＝（）A．{x|2≤x＜3}B．{x|x＜3}C．{x|2≤x≤3}D．{x|2＜x≤3} 2．设复数z满足z（1﹣i）＝2+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则等于（）A．B．C．D．4．已知，，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．国家正积极推行垃圾分类工作，教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活垃圾分类管理工作的通知》．《通知》指出，到2020年底，各学校生活垃圾分类知识普及率要达到100%某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类”的问卷调查（每个受访者只能在问卷的4个活动中选择一个）如图是调查结果的统计图，以下结论正确的是（）A．回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数多B．回该问卷的受访者中，选择“校园外宣传”的人数不是最少的C．回答该问卷的受访者中，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多30人D．回答该问卷的总人数不可能是1000人6．函数的图象大致是（）A．B．C．D．7．已知α∈（0，π），sin2α＝cos2α+1，则cosα＝（）A．或0B．C．D．或08．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（1，+∞）9．已知下列两个命题，命题甲：平面α与平面β相交；命题乙：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l，m中至少有一条与平面β相交．则甲是乙的（）A．充分且必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件10．口袋里放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n}，a n，如果S n为数列{a n}的前n项和，那么S7＝3的概率为（）A．C（）2（）5B．C（）2（）5C．C（）2（）5D．C（）2（）511．已知函数f（x）＝2lnx的值域与函数y＝f[f（x）]的值域相同，则a的取值范围为（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，]D．[，+∞）12．如图．正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线OX，OY，OZ上，则在下列命题中，错误的为（）A．O﹣ABC是正三棱锥B．二面角D﹣OB﹣A的平面角为C．直线AD与直线OB所成角为D．直线OD⊥平面ABC二、填空题：本题共4小题，每小题5分共20分13．的展开式中，x3的系数为．14．||＝1，||，•0，点C在∠AOB内，且∠AOC，设m n （m，n∈R），则．15．将正整数排成如图：试问2020是表中第行的第个数．16．若椭圆上有两点P，Q（不是长轴的端点），O为原点，若直线OP，OQ斜率分别为K1，K2，且满足，则．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60分17．在△ABC中；．（1）求sin A；（2）若△ABC的面积，求BC的边长．18．如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为AD，BP的中点，AD＝3，AP＝3，PC．（1）求证：EF∥平面PDC；（2）若∠CDP＝120°，求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．19．已知抛物线C：y2＝2px（0＜p＜8）的焦点为F点Q是抛物线C上的一点，且点Q的纵坐标为4，点Q到焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l不经过Q点且与抛物线交于A，B两点，QA，QB的斜率分别为K1，K2，若K1K2＝﹣2，求证：直线AB过定点，并求出此定点．20．某生物公司将A型病毒疫苗用100只小白鼠进行科研和临床试验，得到统计数据如表：未感染病毒感染病毒未注射10x注射40y总计5050现从所有试验的小白鼠中任取一只，取得注射疫苗小白鼠的概率为．（1）能否有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效？（2）现从感染病毒的小白鼠中任取3只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.100.010 k0 2.706 6.635 21．已知函数f（x）＝（x+2）ln（x+1）﹣mx，m∈R．（1）当m＝3时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）若x＞0时，f（x）＞0恒成立，求m的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l 的参数方程为（m为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）直线l与曲线C相交于M，N两点，若，求的值．23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若关于x的不等式|2m+1|≥f（x+3）+3|x+5|有解，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|log3x＜1}，B＝{x|x2﹣x≥2}，则A∩B＝（）A．{x|2≤x＜3}B．{x|x＜3}C．{x|2≤x≤3}D．{x|2＜x≤3}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．故选：A．【点评】本题考查了描述法的定义，对数函数的定义域和单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．设复数z满足z（1﹣i）＝2+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．解：由足z（1﹣i）＝2+i，得z，∴．则z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则等于（）A．B．C．D．【分析】根据等差数列的性质S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12也成等差数列，结合，我们易根据等差数列的性质得到S8＝3S4，S16＝10S4，代入即可得到答案．解：根据等差数列的性质，若数列{a n}为等差数列，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12也成等差数列；又∵，则数列S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12是以S4为首项，以S4为公差的等差数列则S8＝3S4，S16＝10S4，∴故选：A．【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据数列{a n}为等差数列，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12也成等差数列，然后根据等差数列的性质，判断数列S8，S16与S4的关系，是解答本题的关键．4．已知，，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】利用对数的运算性质先化为a，b，c，再利用指数函数的性质得到310、215、56的大小，结合对数函数的性质即可得到a，b，c的大小关系．解：a，b，c，∵310＝（32）5＞（23）5＝215＝（25）3＞（52）3＝56，∴ln310＞ln215＞ln56，∴，即b＜a＜c，故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5．国家正积极推行垃圾分类工作，教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活垃圾分类管理工作的通知》．《通知》指出，到2020年底，各学校生活垃圾分类知识普及率要达到100%某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类”的问卷调查（每个受访者只能在问卷的4个活动中选择一个）如图是调查结果的统计图，以下结论正确的是（）A．回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数多B．回该问卷的受访者中，选择“校园外宣传”的人数不是最少的C．回答该问卷的受访者中，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多30人D．回答该问卷的总人数不可能是1000人【分析】对于A，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数少；对于B，选择“校园外宣传”的人数是最少的；对于C，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多30%；对于D，回答该问卷的总人数不可能是1000人．解：对于A，答该问卷的受访者中，∵选择的（2）和（3）人数总和所占百分比为：15.75%+27%＝42.75%，选择（4）的人数的百分比为45.75%，∴回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数少，故A 错误；对于B，回该问卷的受访者中，由扇形统计图得选择“校园外宣传”的百分比最小，∴选择“校园外宣传”的人数是最少的，故B错误；对于C，回答该问卷的受访者中，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多30%，故C错误；对于D，回答该问卷的总人数不可能是1000人，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查扇形统计图等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．6．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由函数的奇偶性及趋近性，结合选项即可得出答案．解：函数的定义域为R，，故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项AD；又x→+∞时，f（x）→+∞，可排除选项C．故选：B．【点评】本题考查函数图象的运用，涉及了函数的奇偶性，考查数形结合思想及极限思想，属于基础题．7．已知α∈（0，π），sin2α＝cos2α+1，则cosα＝（）A．或0B．C．D．或0【分析】利用二倍角公式化简已知可得sinαcosα＝2cos2α，结合范围α∈（0，π），分类讨论可得cosα＝0，或sinα＝2cosα，进而即可求解．解：∵sin2α＝cos2α+1，∴sinαcosα＝2cos2α，∵α∈（0，π），∴cosα＝0，或sinα＝2cosα，由于sin2α+cos2α＝（2cosα）2+cos2α＝1，解得cos2α，解得cosα，或（舍去）．∴cosα＝0，或．故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数的的二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．8．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（1，+∞）【分析】若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点．则：该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率所以e2∴e故选：A．【点评】本题考查的知识点：双曲线的性质及应用及相关的运算问题．9．已知下列两个命题，命题甲：平面α与平面β相交；命题乙：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l，m中至少有一条与平面β相交．则甲是乙的（）A．充分且必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】由面面间的相互关系得到：甲⇒乙，乙⇒甲，从而甲是乙的充要条件．解：命题甲：平面α与平面β相交，命题乙：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l，m中至少有一条与平面β相交．∴由面面间的相互关系得到：甲⇒乙，乙⇒甲∴甲是乙的充要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的求法，考查空间中面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，属于基础题．10．口袋里放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n}，a n，如果S n为数列{a n}的前n项和，那么S7＝3的概率为（）A．C（）2（）5B．C（）2（）5C．C（）2（）5D．C（）2（）5【分析】推导出a n＝1的概率P1，a n＝﹣1的概率P2，S7＝3是指在7次取球中，5次取到红球，2次取到白球，由此能求出S7＝3的概率．解：口袋里放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n}，a n，S n为数列{a n}的前n项和，∴a n＝1的概率P1，a n＝﹣1的概率P2，∴S7＝3是指在7次取球中，5次取到红球，2次取到白球，∴S7＝3的概率为P．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．已知函数f（x）＝2lnx的值域与函数y＝f[f（x）]的值域相同，则a的取值范围为（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，]D．[，+∞）【分析】对函数f（x）求导，利用导数求得f（x）的单调性情况，进而得到其最值，结合题意及图象建立关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．解：，由于a＞0，故函数f′（x）在（0，+∞）上为减函数，又f′（1）＝0，故当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴，且x→+∞时，f（x）→﹣∞，故函数f（x）的值域为，作出函数f（x）的草图如下，由图可知，要使函数f（x）的值域与函数y＝f[f（x）]的值域相同，则需，解得，故选：D．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，解题的关键是理解题干意思，进而建立关于a的不等式，考查转化思想，数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．12．如图．正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线OX，OY，OZ上，则在下列命题中，错误的为（）A．O﹣ABC是正三棱锥B．二面角D﹣OB﹣A的平面角为C．直线AD与直线OB所成角为D．直线OD⊥平面ABC【分析】在A中，AC＝AB＝BC，OA＝OB＝OC，从而O﹣ABC是正三棱锥；在B中，设OB＝1，求出平面OBD的法向量（1，0，﹣1），平面OAB的法向量（0，0，1），二面角D﹣OB﹣A的平面角为；在C中，设OB＝1，求出cos，直线AD与直线OB所成角为；在D中，利用向量法求出OD⊥AB，OD⊥AC，从而直线OD⊥平面ABC．解：正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线OX，OY，OZ上，在A中，∵AC＝AB＝BC，OA＝OB＝OC，∴O﹣ABC是正三棱锥，故A正确；在B中，设OB＝1，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（1，1，1），O（0，0，0），（1，1，1），（0，1，0），设平面OBD的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，0，﹣1），平面OAB的法向量（0，0，1），cos，二面角D﹣OB﹣A的平面角为，故B错误；在C中，设OB＝1，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（1，1，1），O（0，0，0），（0，1，1），（0，1，0），cos，∴直线AD与直线OB所成角为，故C正确；在D中，设OB＝1，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（1，1，1），O（0，0，0），C（0，0，1），（1，1，1），（﹣1，1，0），（﹣1，0，1），，0，∴OD⊥AB，OD⊥AC，∵AB∩AC＝A，∴直线OD⊥平面ABC，故D正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分共20分13．的展开式中，x3的系数为8．【分析】根据式子特点，可先求出（1+2x）4的通项，然后分别求出它的展开式中的x2，x4项的系数，然后相减即可．解：对于（1+2x）4，其通项为，k＝0，1， (4)令k＝2和4，可得对应项的系数为：．故所求的x3的系数为24﹣16＝8．故答案为：8．【点评】本题考查二项展开式的通项、以及利用通项研究特定项的系数的问题，还考查了学生的计算能力与逻辑推理能力．属于基础题．14．||＝1，||，•0，点C在∠AOB内，且∠AOC，设m n （m，n∈R），则1．【分析】依题意建立直角坐标系，加上点C在∠AOB内的限制，可得点C的坐标，在直角三角形中由正切函数的定义可求解．解：因为0，所以⊥，故可建立直角坐标系，则（1，0），（0，），故m n m（1，0）+n（0，）＝（m，n），又点C在∠AOB内，且∠AOC＝60°，所以tan60°，所以1故答案为：1．【点评】本题为向量的基本运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是一种非常有效的方法，属基础题．15．将正整数排成如图：试问2020是表中第11行的第997个数．【分析】由题意得第n行有2n﹣1个数，由此利用等比数列的前n项和公式能求出结果．解：由题意得第n行有2n﹣1个数，20+2+22+23+24+25+26+27+28+291023，20+2+22+23+24+25+26+27+28+29+2102047，∴2020是表中第11行的第997个数．故答案为：11，997．【点评】本题考查表中数字的位置的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．若椭圆上有两点P，Q（不是长轴的端点），O为原点，若直线OP，OQ斜率分别为K1，K2，且满足，则7．【分析】设P、Q的坐标分别为（2cosα，sinα），（2cosβ，sinβ），通过，可知cos（α﹣β）＝0，不妨取；然后用含有α和β的式子表示出，借助诱导公式和同角三角函数的平方关系进行化简整理即可得解．解：设P、Q的坐标分别为（2cosα，sinα），（2cosβ，sinβ），∵，∴，即cos（α﹣β）＝0，∴，不妨取，∴＝4+3＝7．故答案为：7．【点评】本题考查椭圆中的计算，还涉及三角函数中的常用公式，解题的关键是用参数设点的坐标，考查学生的知识迁移能力和运算能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60分17．在△ABC中；．（1）求sin A；（2）若△ABC的面积，求BC的边长．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B，cos C的值，进而根据两角和的正弦函数公式可求sin A的值，（2）由（1）利用正弦定理可求a：b：c＝sin A：sin B：sin C＝2：3：1，设a＝2k，b＝3k，c＝k，则由三角形的面积公式解得k＝1，即可求得a的值．解：（1）∵，∴可得sin B，∵，，即sin C＜sin B，C为锐角，可得cos C，∴sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C．（2）∵sin A，sin B，，∴a：b：c＝sin A：sin B：sin C：：2：3：1，设a＝2k，b＝3k，c＝k，则由三角形的面积公式S bc sin A＝2，可得，解得k＝1，∴a＝2．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为AD，BP的中点，AD＝3，AP＝3，PC．（1）求证：EF∥平面PDC；（2）若∠CDP＝120°，求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．【分析】（1）取PC的中点为M，连结FM，DM，四边形EFMD是平行四边形，EF ∥DM，EF∥平面PDC．（2）由余弦定理求出CD＝2，以D为原点，在平面CDP内过D作DP的垂线为x轴，DP为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．解：（1）证明：取PC的中点为M，连结FM，DM，∵F，M分别为BP、PC的中点，∴FM∥BC，且FM BC，又四边形ABCD为平行四边形，ED∥BC，且ED，∴FM∥ED，且FM＝ED，∴四边形EFMD是平行四边形，∴EF∥DM，∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，∴EF∥平面PDC．（2）解：∵AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为AD，BP的中点，AD＝3，AP＝3，PC．∠CDP＝120°，∴cos120°，解得CD＝2，如图，以D为原点，在平面CDP内过D作DP的垂线为x轴，DP为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，3），B（，﹣1，3），C（，﹣1，0），D（0，0，0），E（0，0，），P（0，3，0），设平面CEP的一个法向量（x，y，z），（，4，0），（0，3，），则，取y＝1，得（），平面CDP的一个法向量（0，0，1），设二面角E﹣CP﹣D的平面角为θ，则cosθ．∴二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．19．已知抛物线C：y2＝2px（0＜p＜8）的焦点为F点Q是抛物线C上的一点，且点Q的纵坐标为4，点Q到焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l不经过Q点且与抛物线交于A，B两点，QA，QB的斜率分别为K1，K2，若K1K2＝﹣2，求证：直线AB过定点，并求出此定点．【分析】（1）由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，设Q的坐标，由题意可得p的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线AB的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而求出直线AQ，QB的斜率之积，由题意可得参数之间的关系，进而求出直线AB恒过的定点，注意直线不过Q，所以求出符合题意的定点的坐标．解：（1）由题意Q（，4），直线方程为x，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，由题意可得||＝5，解得p＝2或8，由题意可得p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x；（2）由题意设直线l的方程为：x＝my+b，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与抛物线的方程可得，整理可得y2﹣4my﹣4b＝0，则，①由（1）可得Q（4，4）可得K1•K22，即（y1﹣4）（y2﹣4）＝﹣2（x1﹣4）（x2﹣4），即（y1﹣4）（y2﹣4）＝﹣2（my1+b﹣4）（my2+b﹣4），整理可得（1+2m2）y1y2+（2mb﹣8m﹣4）（y1+y2）+2b2﹣16b+48＝0，将①代入可得：b2﹣10b+24＝16m2+8m，即（b﹣5）2＝（1+4m）2，所以b﹣5＝1+4m，或b﹣5＝﹣1﹣4m，即b＝6+2m，或b＝4﹣4m，所以直线l的方程为：x＝my+6+2m，即x﹣6＝m（y+2）恒过（6，﹣2），或者x＝my＝4﹣4m即x﹣4＝m（y﹣4）恒过（4，4），而由题意可得直线l不过Q（4，4），可证得直线AB恒过定点（6，﹣4）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线恒过定点的求法，属于中档题．20．某生物公司将A型病毒疫苗用100只小白鼠进行科研和临床试验，得到统计数据如表：未感染病毒感染病毒未注射10x注射40y总计5050现从所有试验的小白鼠中任取一只，取得注射疫苗小白鼠的概率为．（1）能否有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效？（2）现从感染病毒的小白鼠中任取3只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.100.010 k0 2.706 6.635【分析】（1）先根据题意补充完整2×2列联表，然后由K2的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，然后由超几何分布求概率的方法依次求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）由条件知，x＝40，y＝10，A＝50，B＝50，∴，故有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3）．∴ξ的分布列为ξ0123P∴数学期望E（ξ）．【点评】本题考查独立性检验、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．21．已知函数f（x）＝（x+2）ln（x+1）﹣mx，m∈一、选择题．（1）当m＝3时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）若x＞0时，f（x）＞0恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入函数解析式，求导函数，再求出f′（0）与f（0）的值，利用直线方程的点斜式得答案；（2）由f（x）＞0，得（x+2）ln（x+1）﹣mx＞0，即ln（x+1）0．设g（x）＝ln（x+1），可得g′（x）令x2+（4﹣2m）x+4﹣2m ＝0，可得△＝（4﹣2m）2﹣4（4﹣2m）＝4m（m﹣2），分0≤m≤2，m＜0，m＞2三类分析求解满足题意的m的取值范围．解：（1）当m＝3时，f（x）＝（x+2）ln（x+1）﹣3x，f′（x）＝ln（x+1）3．则f′（0）＝﹣1，又f（0）＝0，∴曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为x+y＝0；（2）由f（x）＞0，得（x+2）ln（x+1）﹣mx＞0，即ln（x+1）0．设g（x）＝ln（x+1），则g′（x）．令x2+（4﹣2m）x+4﹣2m＝0，△＝（4﹣2m）2﹣4（4﹣2m）＝4m（m﹣2）．①若△≤0，即0≤m≤2，g′（x）＞0，当x＞0时，y＝g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）＝0，∴x＞0时，f（x）＞0恒成立，满足题意；②若m＜0，g′（x）＞0，当x＞0时，y＝g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）＝0，∴x＞0时，f（x）＞0恒成立，满足题意；③若m＞2，当x＞0时，由g′（x）＝0，解得0，0．y＝g（x）在（0，x2）上单调递减，则g（x2）＜g（0）＝0，不满足题意．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l 的参数方程为（m为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）直线l与曲线C相交于M，N两点，若，求的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为，整理得，根据，转换为极坐标方程为．（2）直线l的参数方程为转换为直线的标准参数式为（t 为参数）代入圆的直角坐标方程为，所以，t1t2＝﹣12，所以．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若关于x的不等式|2m+1|≥f（x+3）+3|x+5|有解，求实数m的取值范围．【分析】（1）化简函数的解析式为分段函数，然后求解不等式的解集．（2）利用绝对值的几何意义，求出f（x+3）+3|x+5|的最小值然后求解不等式的解集．解：（1）函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+2|．可得，当x﹣3＞0时，得x＞3；当﹣3x﹣1＞0时，得；当﹣x+3＞0时，得x≤﹣2，综上可得不等式f（x）＞0的解集为．（2）依题意|2m+1|≥（f（x+3）+3|x+5|）min，令g（x）＝f（x+3）+3|x+5|＝|2x+5|+|2x+10|≥|﹣2x﹣5+2x+10|＝5．∴|2m+1|≥5，解得m≥2或m≤﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解集，分段函数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。
安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试理科综合参考答案及评分标准
理科综合（生物）解析及评分标准
1. 答案：C 解析：绿叶海蜗牛是软体动物，无细胞壁，捕食藻类后，细胞内存在叶绿体。在光学显微镜 下无法分辨核糖体，可以分辨的结构是叶绿体和细胞核，C 正确
2. 答案：D
解析：癌细胞的产生不是单一基因突变的结果，至少在一个细胞中发生 5～6 个相关的基因 突变才会导致细胞癌变，A 错误。控制细胞正常生长和分裂的进程是原癌基因的作用，抑癌 基因主要作用是阻止细胞不正常增殖，B 错误。3-吲哚甲醇与泛素连接酶结合后抑制肿瘤生 长，而泛素连接酶会导致抑制细胞癌变的 PTEN 蛋白的降解，故 3-吲哚甲醇应抑制泛素连 接酶的功能，C 错误。3-吲哚甲醇与泛素连接酶结合，可调节该蛋白质的功能，而蛋白质的 结构与功能相适应，所以推测 3-吲哚甲醇可能改变了泛素连接酶的空间结构，D 正确。
符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，
有选错的得0分。
题号
14
15
16
17
18
19
20
21
答案
D
C
B
D
B
AD
AB
BD
14. 选 D
解析： 设用光子能量为 5.0 eV 的光照射时，光电子的最大初动能为 Ekm，当反向电压 达到 U＝1.60V 以后，电流表读数为零说明具有最大初动能的光电子也达不到阳极，因此
CO32-
H2CO3 或 CO2
（2 分）
0
V（HCl）/mL
27．（14 分）
（1）坩埚（1 分） O=N-Cl （1 分）
（2）Fe(OH)3 为胶状沉淀，对[Pd(NH3)2]2+具有很强的吸附作用，若不进行此操作，[Pd(NH3)2]2+
2020-2021学年安徽省六校教育研究会高三(下)学期第二次联考数学试卷(理科)(解析版)
2020-2021学年安徽省六校教育研究会高三（下）第二次联考数学试卷（理科）（2月份）一、选择题（共12小题）.1．设全集为实数集R，集合P＝{x|x≤1+，x∈R}，集合Q＝{1，2，3，4}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4} 2．已知复数z与（z+2）2﹣8i均是纯虚数，则z的虚部为（）A．﹣2B．2C．﹣2i D．2i3．实数x，y满足不等式组，则x2+y2的最小值为（）A．B．1C．D．24．不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知x2020+y2＝2y，（x∈Z，y∈Z），则该方程的整数解有（）组．A．1B．2C．3D．45．已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．36．直线1：2x+y+3＝0倾斜角为α，则sin2α+cos2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣7．已知点M（2，y0）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，若8|MF|＝7|MO|．则p的值为（）A．1或B．或3C．3或D．1或8．函数f（x）＝sin x+x3+x，则a＞﹣1是f（a+1）+f（2a）＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2，将数列{a n}依原顺序按照第n组有2n项的要求分组，则2021在第几组（）A．8B．9C．10D．1110．已知三棱锥A﹣BCD满足：AB＝AC＝AD，△BCD是边长为2的等边三角形．其外接球的球心O满足：++＝，则该三棱谁的体积为（）A．B．C．D．111．圆O半径为1，PA，PB为圆O的两条切线，A，B为切点，设∠APO＝α，则最小值为（）A．﹣4+B．﹣3+C．﹣4+2D．﹣3+212．已知数列{a n}是公比为q的等比数列，且首项a1＞0，给出下列命题：p1：若，则（a3﹣1）（q﹣1）≤0；p2：若a1+a2＝，则．则下列说法正确的是（）A．p1为真命题，p2为假命题B．p1，p2都为真命题C．p1为假命题，p2为真命题D．p1，p2都为假命题二、填空题（共4小题）.13．从编号为1，2，…，88的88个网站中采用系统抽样的方法抽取容量为8的样本，所抽样本中有编号为53的网站，则样本中网站的最小编号为．14．若（x3+）n的展开式中的常数项为84，则n＝．15．双曲线mx2﹣ny2＝1左右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，P为双曲线渐近线上一点，若以F1F2为直径的圆经过P点，且∠APB＝．则该双曲线的渐近线方程为．16．A，B，C，D四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是（个人不投自己的票），则仅A一人是最高得票者的概率为．三、解答题：共70分．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
安徽六校教育研究会2020 届高三第二次素质测试
一、选择题：本题共 13 小题，每小题 6 分，共 78 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1． 绿叶海蜗牛能从它的藻类食物中“偷”来叶绿体，并吸收入自己的细胞内。首次捕食绿藻
A．朴消是黑火药的成分之一
理科综合试题 第2页（共 15 页）
B．上述过程发生的是置换反应 C．此记载描述的是鉴别绿矾的方法 D．“色赤”物质可能是单质铜 8. 有机物 X 的结构简式如右图所示，下列有关说法错误的是 A．X 的分子式为 C13H10O5 B．X 分子中有五种官能团 C．X 能使溴的四氯化碳溶液褪色 D．X 分子中所有碳原子可能共平面 9． NA 代表阿伏加德罗常数的值。下列叙述正确的是 A．46g 乙醇中存在的共价键总数为 7NA B．34g 硫化氢在足量的氧气中燃烧转移电子总数为 8 NA C．标准状况下，22.4 L HF 含有的原子数为 2NA D．64gCaC2 晶体中阴离子和阳离子总数为 2 NA
A．实验过程中可以检测到糖的生成
B．实验表明氧气是叶绿体在光照的条件下产生的 C．溶液颜色变化的原因是叶绿体在光照条件下生成的还原剂将 Fe3+还原为 Fe2+
D．与恩格尔曼的水绵实验相比，希尔的实验排除了细胞内其他结构的影响
理科综合试题 第1页（共 15 页）
4．下表是对某单基因遗传病进行调查后整理出的数据。下列叙述正确的是
节其功能，抑制肿瘤生长。下列叙述正确的是
A．PTEN 基因突变细胞就会癌变
B．PTEN 蛋白能控制细胞正常生长和分裂的进程
C．3-吲哚甲醇对泛素连接酶的功能起促进作用
六校教育研究会2020高三数学第二次素质测试试题理含解析
如图所示，函数 与 的图象，
因为 时， 恒成立，
于是两函数必须有相同的零点 ，
所以
，
解得 ．
故选:D
【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12.如图，棱长为 的正方体 中， 为线段 的中点， 分别为线段 和 棱 上任意一点,则 的最小值为（ ）
安徽省六校教育研究会2020届高三数学第二次素质测试试题 理（含解析）
考生须知:
1．本试卷满分150分，考试时间为120分钟。
2．答题前,考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效。
A. B.
C。 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由图根据三角函数图像的对称性可得 ,利用周期公式可得 ,再根据图像过 ，即可求出 ，再利用三角函数的平移变换即可求解.
详解】由图像可知 ，即 ，
所以 ，解得 ，
又 ，
所以 ，由 ,
所以 或 ,
又 ，
所以 , ，
所以 ， ，
即 ，
因为函数 的图象由 图象向右平移 个单位长度而得到，
则
【点睛】本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角，属于中档题。
19。已知抛物线 的焦点为 ，点 ，点 为抛物线 上的动点．
【答案】
【解析】
分析】
以 为坐标原点， 所在的直线为 轴， 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，从而可得 、 ， ， ，然后利用向量数量积的坐标运算可得 ，再根据辅助角公式以及三角函数的性质即可求解。
安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试理科数学含答案
安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学理科安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试理科数学参考答案一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A B D C B C B A A C D11．提示：考虑函数ln 1(0)y ax x =->与24(0)y x ax x =+->的图象，不难知它们有公共的零点t 时，()0f x ≥恒成立．于是，24e at t =-= 12．提示：取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111A B AEM ≌△，故PM EM =，而对固定的点M ，当11MN B C ⊥时，MN 最小．此时由MF ⊥面1111A B C D ，可知MFN △为等腰直角三角形，MF =，故122()222PM PM EM MF AA +=+=+≥=（）．三、解答题：共70分。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）【解析】（1）由题，222sin 2cos 2cos cos 22A B A B A B -+++ 1cos()1cos()2cos cos A B A B A B =--++++22cos()22cos A B C =++=-1=，解得1cos 2C =，所以60C =︒． （6分） （2）由余弦定理，22216c a b ab =+-=，再由222||38CA CB a b ab +=++= ，解得2227a b +=，11ab =，所以2()49a b +=，7a b +=，故ABC △的周长为11．（12分）18．（12分）【解析】（1）因为BC ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以BC PA ⊥，由PAB △为等腰直角三角形，所以PA PB ⊥，又PB BC B = ，故PA ⊥平面PBC ． （5分）（2）取AB 的中点O ，连接,OP OD ，因为PA PB =，AD BD =，所以PO AB ⊥，DO AB ⊥，因为BC ⊥平面PAB ，所以PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，PO OD ⊥，如图，以O 为坐标原点，,,OD OB OP 分别为,,x y z 正半轴建立 空间直角坐标系O xyz -，则1AO BO PO ===，2DO ==， 又BC AB ⊥，DO PA ⊥，所以//OD BC 且OD BC =，于是 (0,0,1)P ，(0,1,0)A -，(2,0,0)D ，(2,1,0)C ，(2,1,1)PC =- ，(0,1,1)AP = ，(2,1,0)AD = ， 设平面PAD 的法向量为(,,)n x y z = ，则 020n AP y z n AD x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1x =得平面PAD 的一个法向量(1,2,2)n =- ， 设直线PC 与平面PAD 所成的角为α，则sin cos ,||||PC n PC n PC n α⋅=<>==⋅ （12分）19．（4a =；|5PF ==，此时3a =-．综上，实数a 的值为3-或4． （6分）（2）因为MOA MAO AOF ∠=∠=∠，所以MA x ∥轴且MO MA MP ==，（12分）20．（12分）【解析】（1）2()2(sin cos )x x f 'x e e x x λ=+-，(0)2f 'λ=-，(0)f λ=-，所以直线l 方程为(2)y x λλ=--，即(2)(1)2y x λ=-+-，恒过点(1,2)--． （5分）21．（12分）【解析】（1）由题，X 的可能取值为1k 和1k k+， 1()(1)k P X p k==-，1(1(1)k k P X p k +==--，故X 的分布列为 111()(1)[1(1)]1(1)k k k k E X p p p k k k+=⋅-+⋅--=--+． （5分） （2）（ⅰ）由（1），记1()1(1)k f p p k=--+，因为0k >，所以()f p 在(0,1)p ∈上单调递增 ， 故p 越小，()f p 越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理． （8分）（ⅱ）记11()1(1)10.9k k g k p k k=--+=-+，当()1g k <且取最小值时，该方案最合理， 因为(1) 1.1,(2)0.69,(3)0.604,(4)0.594,(5)0.61g g g g g ==≈≈≈，所以4k =时平均检验次数最少，约为10000.594594⨯=次． （12分）（二）选考题：共10分。
安徽省六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学试题(理)(解析版)
安徽省六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学试题（理）一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}11,1A x B x x x ⎧⎫=∈>-=∈>⎨⎬⎩⎭R R ，则A B =（ ） A. ()1,+∞ B. ()0,∞+C. ()(),10,-∞-+∞ D. ()(),11,-∞-+∞『答案』D『解析』由11A x x ⎧⎫=∈>-⎨⎬⎩⎭R{0x x =>或}1x <-， {}1B x x =∈>R {1x x =>或}1x <-，所以AB =()(),11,-∞-+∞.故选：D.2.已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A. 43i +B. 43i -C. 43i -+D. 43i --『答案』A『解析』由34zi i =+，则3434431i i z i i +-===--， 所以z =43i +. 故选：A.3.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A.2728倍 B.4735倍 C.4835倍 D.75倍 『答案』B『解析』设贫困户总数为a ，脱贫率0000000000240952109094a aP a⨯⨯+⨯⨯==， 所以000094477035=. 故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的4735倍. 故选：B.4.函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A. B.C. D.『答案』D『解析』当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥，所以函数在[]0,2π上单调递增，令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-， 根据三角函数的性质，当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小， 当[],2x ππ∈时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥， 所以函数在[]2,0π-上单调递增， 令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大， 当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ， 故选：D.5.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C 的一条渐近线交于点O 及点3,22A ⎛⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ） A. 2213y x -=B. 22126x y -=C. 2213x y -=D. 22162x y -=『答案』C『解析』由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，则渐近线方程：by x a=±，b ∴=，连接FA，则FAb AO a ===2c =， 所以2224c a b =+=，解得223,1a b ==.故双曲线方程为2213x y -=.故选：C.6.已知实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34x y +的最小值为（ ）A.2 B. 3C.4 D. 5『答案』B『解析』作出实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的可行域，如图（阴影部分）令34z x y =+，则344z y x =-+， 作出34y x =-，平移直线，当直线经过点1,0A 时，截距最小， 故min 3103z =⨯+=， 即34x y +的最小值为3. 故选：B.7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π『答案』C『解析』由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为1的等腰三角形， 侧棱长为4，如图：由底面边长可知，底面三角形的顶角为120，由正弦定理可得24sin120AD ==，解得2AD =，三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，所以OA ==该几何体外接球的表面积为：(2432S ππ=⋅=.故选：C.8.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A. 247.79m B. 254.07mC. 257.21m D. 2114.43m 『答案』B『解析』由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为360458=，设三角形的腰为a，由正弦定理可得10135sin45sin2a=，解得1352a=，所以三角形的面积为：()211351cos135sin455022521222S⎛⎫-=⨯=⋅=+⎪⎝⎭，所以每块八卦田的面积约为：)21251454.078π-⨯⨯≈.故选：B.9.已知数列{}n a中，121,2a a==，且当n为奇数时，22n na a+-=；当n为偶数时，()2131n na a++=+．则此数列的前20项的和为（）A.1133902-+ B.11331002-+C.1233902-+ D.12331002-+『答案』A『解析』当n为奇数时，22n na a+-=，则数列奇数项是以1为首项，以2为公差的等差数列， 当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+，则数列中每个偶数项加1是以3为首项，以3为公比的等比数列. 所以201232013192420S a a a a a a a a a a =++++=+++++++()()()24201091012111102a a a ⨯=⨯+⨯++++++-()1101313100101333902-=+--+=-.故选：A.10.函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()506g g π⎛⎫==⎪⎝⎭，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ）A. ()2sin 2f x x =B. ()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C. ()2sin f x x =-D. ()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭『答案』A『解析』由图像可知522662T πππ=-⨯=，即T π=， 所以2T πω=，解得2ω=，又sin 2066g A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3k k ϕπ+=π∈Z ，由02ϕπ<<， 所以23ϕπ=或53π，又()0g =所以sin A ϕ=，()0A >， 所以23ϕπ=，2A =， 即()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为函数()y f x =的图象由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到， 所以()22sin 22sin 233y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫==-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A.11.已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ） A. 2eB. 4eC.D.『答案』D『解析』如图所示，函数()ln 10y ax x =->与()240y x ax x =+->的图象，因为0x >时，()0f x ≥恒成立， 于是两函数必须有相同的零点t ，所以2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩24at t e =-=，解得a = 故选：D.12.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11B C 上任意一点，则2PM +的最小值为（ ）A.B.C.D.2『答案』D『解析』取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，如图：则APM AEM ∆≅∆，故PM EM =，而对固定的点M ，当11MN B C ⊥时， MN 最小．此时由MF ⊥面1111D C B A ，可知MFN ∆为等腰直角三角形，MF =，故()1222222PM PM MN EM MF AA ⎛⎫=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知正项等比数列{}n a 中，247941499,22a a a a ==，则13a =__________． 『答案』1232 『解析』由247941499,22a a a a ==， 所以1055792412a a q q a a ⋅⎛⎫=⋅= ⎪⋅⎝⎭，解得12q =.2243492a a a ==，所以3232a =， 所以1010133212313222a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：1232 14.6⎛⎝__________． 『答案』160-『解析』(()5636616612rrrr rr rr T C C x ---+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝，由51362r-=，可得3r =. ∴系数为()3633612160C --⋅⋅=-.故答案为：160-15.如图，两个同心圆O 的半径分别为2，AB 为大圆O 的一条 直径，过点B 作小圆O 的切线交大圆于另一点C ，切点为M ，点P 为劣弧BC 上的任一点（不包括 ,B C 两点），则()AM BP CP +的最大值是__________．『答案』8『解析』以O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴， 建立平面直角坐标系，则()2,0A -、()2,0B ，由2,OB OM ==OM BC ⊥，所以45BOM ∠=，所以()1,1M ，即()3,1AM =又OM 平分BC ，所以90BOC ∠=，则()0,2C ,设()2cos ,2sin P θθ，则()2cos 2,2sin BP θθ=-，()2cos ,2sin 2CP θθ=-，所以()4cos 2,4sin 2BP CP θθ+=--，所以()()12cos 64sin 28AM BP CP θθθϕ+=-+-=+-()8θϕ=+-，sinϕϕ⎛== ⎝，所以()AM BP CP +的最大值是8.故答案为：8.16.已知两动点,A B 在椭圆()22211x C y a a+=>上，动点P 在直线34100x y +-=上，若APB ∠恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围为__________．『答案』0,3⎛ ⎝⎭『解析』根据题意可得，圆2221x y a +=+上任意一点向椭圆C 所引的两条切线互相垂直， 因此当直线 34100x y +-=与圆2221x y a +=+相离时， APB ∠恒为锐角，故2214a +<=，解得213a <<从而离心率0,3e ⎛= ⎝⎭.故答案为：0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答.（一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin 2cos 2cos cos 122A B A B A B -+++= （1）求角C 的大小（2）若4,38c CA CB =+=，求的周长解：()1由题222sin 2cos 2cos cos 22A B A B A B -+++()()1cos 1cos 2cos cos A B A B A B =--++++()22cos 22cos 1A B C =++=-= 解得1cos 2C =，所以60C ︒= ()2由余弦定理，22216c a b ab =+-=， 再由22238CA CB a b ab +=++= 解得：2227,11a b ab +==所以()249,7a b a b +=+=故ABC ∆的周长为1118.如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB 为等腰直角三角形，BC ⊥平面, ,2,PAB PA PB AB BC AD BD =====（1）求证：PA ⊥平面PBC ；（2）求直线PC 与平面PAD 所成的角的正弦值．()1证明：因为BC ⊥平面,PAB PA ⊂平面PAB ，所以BC PA ⊥由PAB ∆为等腰直角三角形，所以PA PB ⊥又PB BC B ⋂=，故PA ⊥平面PAB .()2解：取AB 的中点O ，连接,OP OD ，因为, PA PB AD BD ==，所以,PO AB DO AB ⊥⊥，因为BC ⊥平面PAB ，所以PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面,ABCD PO OD ⊥，如图，以O 为坐标原点，,,OD OB OP 分别为,,x y z 正半轴建立空间直角坐标系,O xyz -则 1AO BO PO ===， 2DO =，又,BC AB DO PA ⊥⊥，所以//OD BC 且,OD BC =于是 ()()()(),,0,0,10,1,02,0,02,10,,P A D C -()()()2,1,10,1,12,,,,10PC AP AD =-==，设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则·0·20n AP y z n AD x y ⎧=+=⎨=+=⎩ 令1x =得平面PAD 的一个法向量()1,2,2n =-设直线PC 与平面PAD 所成的角为α， 则6sin cos ,963PC nPC n PC n α====19.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(),3A a ，点P 为抛物线C 上的动点．（1）若PA PF +的最小值为5，求实数a 的值；（2）设线段OP 的中点为M ，其中O 为坐标原点，若MOA MAO AOF ∠=∠=∠，求OPA ∆的面积．解：()1由题，()1,0F ，若线段AF 与抛物线C 没有公共点，即94a >时， 设点P 在抛物线准线1x =-上的射影为D ，则,,D P A 三点共线时， PA PF +的最小值为()15AD a =--=，此时4;a =若线段AF 与抛物线C 有公共点，即94a ≤时， 则,,A P F 三点共线时， PA PF +的最小值为：5PF ==，此时3a =-综上，实数a 的值为3-或4.()2因为MOA MAO AOF ∠=∠=∠，所以//MA x 轴且 MO MA MP ==，设(),3M t ，则()2,6P t ，代入抛物线C 的方程解得29,t =于是 MO MA MP ===， 所以191322OPA p S MA y ∆== 20.已知函数()()2cos 1x x f x e e x R λλ=--∈，直线l 是曲线()y f x =在0x =处的切线．（1）求证：无论实数λ取何值，直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标；（2）若直线l 经过点()1,6，试判断函数()f x 的零点个数并证明．解：()()()()()2 1 '2'022,,0x x f x e e sinx cosx f f λλ=+-=-=-所以直线l 方程为()2,y x λλ=--即()()212y x λ=-+-，恒过点()1,2.--()2将()1,6代入直线l 方程，得 2.λ=-考虑方程()0,f x =即2210x x e cosxe +-=，等价于20,x x e ecosx --+= 记()2x x g x e e cosx -=-+，则()'22220,x x g x e e sinx sinx sinx -=+-≥=-≥于是函数()g x 在R 上单调递增，又()220,0202g e e g πππ-⎛⎫-=-<=> ⎪⎝⎭ 所以函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一零点， 即函数()f x 存在唯一零点. 21.某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为p ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：将产品每k 个()5k ≤一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1k +次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次 数为X ．（1）求X 的分布列及其期望；（2）（i ）试说明，当p 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii ）当0.1p =时，求使该方案最合理时k 的值及1000件该产品的平均检验次数． 解：（1）()11k P X p k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由题，X 的可能取值为 1k 和1k k+ ()111k k P X p k +⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，故X 的分布列为()()()()11111111k k k k E X p p p k k k+⎡⎤=-+--=--+⎣⎦()()2i 由()1记()()111k f p p k=--+，因为0k >， 所以 ()f p 在()0,1p ∈上单调递增 ， 故p 越小，()f p 越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理()ii 记()()11g 1110.9k k k p k k=--+=-+ 当()1g k <且取最小值时，该方案最合理，因为()()1 1.1,20.69g g ==，()()30.604,40.594g g ≈≈，()50.61g ≈所以4k =时平均检验次数最少，约为10000.594594⨯=次．（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为实数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=，曲线1C 与曲线2C 交于,A B ，两点，线段AB 的中点为M ．（1）求线段AB 长的最小值；（2）求点M 的轨迹方程．解：()1曲线2C 的方程化成直角坐标方程为228x y y += 即()22416,x y +-=圆心()20,4C ，半径4r =，曲线1C 为过定点()2,2P 的直线，易知()2,2P 在圆2C 内，当2PC AB ⊥时，线段AB 长最小为==()2当点M 与点P 不重合时，设()2,, M x y C M PM ⊥，()()()22420C M PM x x y y ∴=-+--=，化简得()()223:12x y -+-=，当点M 与点P 重合时，也满足上式，故点M 的轨迹方程为()()2213 2.x y -+-=23.已知非零实数,a b 满足a b <．（1）求证：332222a b a b ab -<-；（2）是否存在实数λ，使得2211b a a b a b λ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围； 若不存在，请说明理由解：()()()()()3322221222a b a b ab a b a ab b ab a b ---=-++--()()()2222324b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫=--+=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,0a b a b <∴-< 又223024b a b ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭ 332222a b a b ab ∴-<- ()22211b a a b a b λ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭即3322b a b a a b abλ--≥ 即()2222*b ab a a b abλ++≥ ①当0ab >时，()*即22221b ab a b a a b a bλ++≤=++恒成立 22b a b a a b a b+≥= （当且仅当a b =时取等号），故3λ≤②当时()0,*ab <22221b ab a b a a b a bλ++≥=++恒成立 22b a b a b a a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+-≤---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（当且仅当=-a b 时取等号），故1λ≥-综上，[]1,3λ∈-。
2020届安徽省合肥市高三二模(理科)数学试卷(解析版)
x ．2020 届安徽省合肥市高三二模（理科）数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分． 1．若集合 A ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x|2x ≥ A ．B ．}，则 A ∩B ═（ ）C ．D ．[2，3]2．欧拉公式 e i θ＝cos θ+isin θ 把自然对数的底数 e ，虚数单位 i ，三角函数 cos θ 和 sin θ 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数 z 满足（e i π+i ）•z ＝i ，则|z|＝（ ）A ．1B ．C ．D ．3．若实数 x ，y 满足约束条件，则 z ＝2x ﹣y 的最小值是（ ）A ．﹣5B ．﹣4C ．7D ．164．已知 f （x ）为奇函数，当 x ＜0 时，f （x ）＝e ﹣﹣ex 2（e 是自然对数的底数），则曲线 y ＝f （x ）在x ＝1 处的切线方程是（）A ．y ＝﹣ex +eB ．y ＝ex +eC ．y ＝ex ﹣eD ．5．若 m cos80°+A ．46．已知函数＝1，则 m ＝（ ）B ．2C ．﹣2D ．﹣4的图象关于点成中心对称，且与直线 y ＝a 的两个相邻交点间的距离为，则下列叙述正确的是（ ）A ．函数 f （x ）的最小正周期为 πB ．函数 f （x ）图象的对称中心为C ．函数 f （x ）的图象可由 y ＝tan2x 的图象向左平移 得到D ．函数 f （x ）的递增区间为7．《九章算术》中“勾股容方”问题： 今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图 1，用对角线将长和宽分别为 b 和 a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青） 将三种颜色的图形进行重组，得到如图2 所示的矩形，该矩形长为 a +b ，宽为内接正方形的边长 d ．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图 3．设 D 为斜边 BC 的中点，作直角三角形 ABC 的内接正方形对角线 AE ，过点 A 作 AF ⊥BC 于点 F ，则下列推理正确的是且 y D 0 B①由图 1 和图 2 面积相等可得；②由 AE ≥AF 可得 ；③由 AD ≥AE 可得 ；④由 AD ≥AF 可得 a 2+b 2≥2ab ．A ．①②③④B ．①②④C ．②③④D ．①③8．为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着 A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择 A ，B ，C 三个扶贫项目的意向如表：扶贫项目贫困户A甲、乙、丙、丁 B甲、乙、丙 C丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项， 每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有（）A ．24 种B ．16 种C ．10 种D ．8 种9．某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半径为 几何体的体积最小时，它的表面积为（ ）A ．24πB ．C ．21πD ．10．已知抛物线 C ：2＝4x 的焦点为 F ，过点 （3，）的直线交抛物线 C 于点 A ， ，若 ，则当此，则＝（ ）A ．﹣9B ．﹣11C ．﹣12D ．11．若关于 x 的不等式 ax ﹣2a ＞2x ﹣lnx ﹣4 有且只有两个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ）A ．（2﹣ln3，2﹣ln2]B ．（﹣∞，2﹣ln2）C ．（﹣∞，2﹣ln3]D ．（﹣∞，2﹣ln3）12．在三棱锥 P ﹣ABC 中，二面角 P ﹣AB ﹣C 、P ﹣AC ﹣B 和 P ﹣BC ﹣A 的大小均等于，AB ：AC ：BC＝3：4：5，设三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，直线PO与平面ABC交于点Q，则＝A．B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分13．已知向量和满足||＝|﹣2|＝，|﹣|＝1，则•＝．14．三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者，在某次三人制足球传球训练中，A队有甲、乙、丙三名队员参加．甲、乙丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人．若由甲开始发球（记为第一次传球），则第4次传球后，球仍回到甲的概率等于．15．已知双曲线C：的右焦点为点F，点B是虚轴的一个端点，点P为双曲线C左支上一个动点，若△BPF周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C的渐近线方程为．△16．已知ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA，sinB，sinC成等比数列，sin （B﹣A），sinA，sinC成等差数列，则：（1）C＝；（2）＝．三、解答题：本大题共5小题，满分60分17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝1，S7＝14，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c n＝b n cos（a nπ），求数列{c n}的前2n项和T2n．18．如图（1），在矩形ABCD中，E，F在边CD上，BC＝CE＝EF＝FD沿BE，AF将△CBE和△DAF 折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，如图（2）．（1）试判断图（2）中直线CD与AB的位置关系，并说明理由；（2）求平面ADF和平面DEF所成锐角二面角的余弦值．（B19．12分）已知椭圆C的方程为，斜率为的直线与椭圆C交于A，两点，点P在直线l的左上方．（1）若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右焦点F2，求此时直线l的方程；（2）求证：△P AB的内切圆的圆心在定直线x＝1上．20．（12分）某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案A是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案B是对原有生产线进行技术改造，由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出如表：市场销售状态市场销售状态概率（0＜p＜1）畅销2p平销1﹣3p滞销p预期平均年利润（单位：万元）方案A方案B700600400300﹣400﹣100（（1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？（2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品）的年产量为x （万件），通过核算，实行方案 A 时新产品的年度总成本 y 1（万元）为 y 1 ＝+10x+160，实行方案 B 时新产品的年度总成本y 2 （万元）为 y 2 ＝+20x+100．已知 p ＝0.2，x ≤20．若按（1）的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价 t （元）分别为 60，60﹣ x ，60﹣x ，且生产的新产品当年都能卖出去试问：当 x 取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标．21．（12 分）已知函数 f （x ）＝e x sinx （e 是自然对数的底数）．（1）求 f （x ）的单调递减区间；（2）记 g （x ）＝f （x ）﹣ax ，若 0＜a ＜3，试讨论 g （x ）在（0，π）上的零点个数．（参考数据 ）请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修 4-4：坐标系与参数方程]22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （φ 为参数）．以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为．（1）曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； 2）若直线 l 与曲线 C 交于P ，Q 两点，M （2，0），求|MP|+|MQ |的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x﹣1|+|3x﹣5|＜m的解集为足a+b+c＝m，证明：．（1）求n的值；（2）若三个正实数a，b，c满．2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵，∴．故选：A．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】由已知可得e iπ＝﹣1，再把（e iπ+i）•z＝i变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的计算公式求解．【解答】解：由e iθ＝cosθ+isinθ，得e iπ＝cosπ+isinπ＝﹣1，则由（e iπ+i）•z＝i，得z＝，∴|z|＝．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，平移直线y＝2x﹣z，由图象可知当直线y＝2x﹣z经过点A（0，4）时，直线y＝2x﹣z的截距最大，此时z最小．此时z的最小值为z＝0×2﹣4＝﹣4，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．4．【分析】根据条件求出f（x）在x＜0时的解析式，然后求出其导数，再求出f（x）在x＝1处的切线斜率f'（1），进一步得到其切线方程．x ．【解答】解：∵f （x ）为奇函数，当 x ＜0 时，f （x ）＝e ﹣﹣ex 2， ∴当 x ＞0 时，f （x ）＝﹣e x +ex 2，∴此时 f'（x ）＝）＝﹣e x +2ex ， ∴f （x ）在 x ＝1 处的切线斜率 k ＝f'（1）＝e ，又 f （1）＝0， ∴f （x ）在 x ＝1 处的切线方程为 y ＝ex ﹣e ． 故选：C ．【点评】本题考查了函数与导数的综合应用和利用导数研究曲线上某点切线方程，考查化归与转化 的数学思想，属基础题．5 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 sin20°m ＝2sin20°，进而可求 m 的值．【解答】解：∵m cos80°+＝1，∴m sin10°+＝1，可得 sin10°cos10°m+sin10°﹣cos10°＝0，∴ sin20°m ＝2sin20°，∴ m ＝2，解得 m ＝4．故选：A ．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想， 属于基础题．6．【分析】根据题意求出周期，参数，然后根据函数的性质判断选项．【解答】解：∵直线 y ＝a 的两个相邻交点间的距离为，∴函数 f （x ）的最小正周期为∴，，A 错，∵图象关于点 成中心对称，∴2×∴φ＝+φ＝．，k ∈Z ，∴函数 f （x ）图象的对称中心为（∴f （x ）＝tan （2x +），+ ，0），k ∈Z ，B 错；∴函数 f （x ）的图象可由 y ＝tan2x 的图象向左平移∵﹣+k π＜2x + ＜ +k π，∴函数 f （x ）的递增区间为故选：D ．得到，C 错；，D 对．．【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．7．【分析】根据题意求出 AD ，AE ，AF ，然后可判断②③④对，根据面积相等，可判断①对．【解答】解：由图 1 和图 2 面积相等 ab ＝（a +b ）d ，可得由题意知图 3 面积为，AF ＝，AD ＝ ，，①对；图 3 设正方形边长为 x ，由三角形相似，，解之得 x ＝ ，则 AE ＝ ；可以化简判断②③④对， 故选：A ．【点评】本题考查根据图形，证明一些不等式，属于中等题． 8．【分析】根据题意，以选 C 项目的户数 2，1，0 为标准分为 3 类，每一类中再去考虑 A ，B 两项目的选项情况，用列举的方法找出每一类的人数，再相加即可． 【解答】解：以选 C 项目的户数 2，1，0 为标准分为 3 类， （1）C 项 2 户，有 4 种选法；（2）C 项 1 户，若是丁有 6 种选法，若是丙有 3 种选法，共有 9 种选法； （3）C 项 0 户，有 3 种选法．则由加法原理共有 4+9+3＝16 种， 故选：B ．【点评】本题考查分类计数原理的运用，关键是以选 C 项的户数有 3 种情况，进而确定分类的方法． 9 【分析】设半球的内接圆柱底面半径为 r ，高为 h ；写出几何体的体积，利用导数求出体积的最小值 以及对应的 h 和 r 的值，再求该几何体的表面积．【解答】解：设半球的内接圆柱底面半径为 r ，高为 h ； 则球的半径为 R ＝ ，且 r 2+h 2＝6；此时几何体的体积为 V ＝V半球﹣V圆柱＝ • π• ﹣πr 2h ＝4 π﹣π（6﹣h 2）h ＝（h 3﹣6h +4 ）π；设 f （h ）＝h 3﹣6h +4 ，h ∈（0， ）， 则 f ′（h ）＝3h 2﹣6，令 f ′（h ）＝0，解得 h ＝ ；所以 h ∈（0， ）时，f ′（h ）＜0，f （h ）单调递减； h ∈（ ， ）时，f ′（h ）＞0，f （h ）单调递增；所以 h ＝ 时，f （h ）取得最小值为 f （ ）＝2 ﹣6 此时圆柱的底面半径为 2，高为 ；+4 ＝4 ﹣4 ．所以该几何体的表面积为 S ＝ •4π故选：D ．+π +2π•2• ＝（18+4 ）π．．【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积与表面积的应用问题，也考查了运算求解能力，是中 档题．10 ．【 分 析 】 设 直 线 AB 方 程 为 x ＝ my +3 ， 点 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）． 由⇒．联立，可得 y 2﹣4my ﹣12＝0．利用韦达定理可得 x 1x 2＝9，x 1+x 2＝7．即可得【解答】解：设直线 AB 方程为 x ＝my +3 点 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）∵ ，∴ ．⇒联立，可得 y 2﹣4my ﹣12＝0．∴y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣12．的值．∵，∴x 1x 2＝9，∴x 1+x 2＝7．则＝（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2（x 2﹣1）+y 1y 2＝x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1+y 1y 2＝﹣9．故选：A ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题． 11 【分析】设 g （x ）＝2x ﹣lnx ﹣4，h （x ）＝ax ﹣2a ，画出图象，讨论当 a ≤0 时，当 a ＞0 时，数形 结合即可得答案．【解答】解：由题意可知，ax ﹣2a ＞2x ﹣lnx ﹣4， 设 g （x ）＝2x ﹣lnx ﹣4，h （x ）＝ax ﹣2a由 g ′（x ）＝2﹣ ＝．可知 g （x ）＝2x ﹣lnx ﹣4 在（0， ）上为减函数，在（ ，+∞）上为增函数，h （x ）＝ax ﹣2a 的图象恒过点（2，0），在同一坐标系中作出 g （x ），h （x ）的图象如图， 当 a ≤0 时，原不等式有且只有两个整数解；当 a ＞0 时，若原不等式有且只有两个整数 x 1，x 2，使得 f （x 1）＞0，且 f （x 2）＞0，则 ，即 ，解得 0＜a ≤2﹣ln3， 综上可得 a ≤2﹣ln3， 故选：C ．【点评】本题考查函数图象与方程的解的关系，考查分类讨论思想和数形结合，属于中档题．12．【分析】如图所示，可得，OM∥PN，Q，M，N三点共线，则，故只需求出OM的长即可进一步得出答案，而在△ABC中，解三角形易求得，再利用OP＝OB，建立关于OM长的方程，解方程得到OM的长，进而得解．【解答】解：依题意，点P在平面ABC内的射影为三角形ABC内切圆的圆心N，设内切圆的半径为r，则，解得r＝1，又二面角P﹣AB﹣C、P﹣AC﹣B和P﹣BC﹣A的大小均等于，故，设△ABC的外接圆圆心为M，易知OM⊥平面ABC，又PN⊥平面ABC，故OM∥PN，则点O，M，P，N四点共面，且平面ABC∩平面OMPN＝MN，又Q在平面APC内，且Q在平面OMPN内，∴Q在MN上，即Q，M，N三点共线；现在研究NM的长度，如图，易知，，故，显然，设OM＝x，由OP＝OB，即解得，∴，∴．可知，，【．故选：D ．【点评】本题是对外接球，二面角以及直线与平面位置关系的综合考查，考查空间想象能力，逻辑 推理能力，运算求解能力，属于难题．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分.把答案填 在答题卡上的相应位置. 13．【分析】把所给向量的模长平方，整理即可求得结论．【解答】解：∵向量 和 满足| |＝| ﹣2 |＝，| ﹣ |＝1，∴﹣4﹣2++4 ＝2；①＝1，②＝2，③联立①②③可得： • ＝1．故答案为：1．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义和求法． 14． 分析】利用列举法求出所有的传球方法共有多少种，找出第 4 球恰好传回给甲的情况，由此能求 出经过 4 传球后，球仍在甲手中的概率． 【解答】解：所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙→甲；甲→乙→甲→乙→丙；甲→乙→甲→丙→甲；甲→乙→甲→丙→乙； 甲→乙→丙→甲→乙；甲→乙→丙→甲→丙；甲→乙→丙→乙→甲；甲→乙→丙→乙→丙； 甲→丙→甲→乙→甲；甲→丙→甲→乙→丙；甲→丙→甲→丙→甲；甲→丙→甲→丙→乙； 甲→丙→乙→甲→乙；甲→丙→乙→甲→丙；甲→丙→乙→丙→乙；甲→丙→乙→丙→乙甲．则共有 16 种方法．第 4 球恰好传回给甲的有 6 情况，∴经过 4 次传球后，球仍在甲手中的概率是 p ＝．故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 15 【分析】由题意求得 B ，F 的坐标，设出 F'，运用双曲线的定义可得|PF|＝|PF'|+2△a ，则 BPF 的周长为|PB|+|PF|+|BF|＝|PB|+|PF'|+2a +，运用三点共线取得最小值，可得 a ，b ，c 的关系式，由 a ，b ，c 的关系，推出 a 、b 的关系，然后求解渐近线方程．【 （【解答】解：由题意可得 B （0，b ），F （c ，0），设 F'（﹣c ，0）， 由双曲线的定义可得|PF|﹣|PF'|＝2a ， |PF|＝|PF'|+2a ，|BF|＝|BF'|＝，则△BPF 的周长为|PB|+|PF|+|BF||＝|PB|+|PF'|+2a +|BF'| ≥2|BF'|+2a ，当且仅当 B ，P ，F'共线，取得最小值，且为 2a +2由题意可得 8a ＝2a +2，即 9a 2＝b 2+c 2＝2b 2+a 2，即 4a 2＝b 2，可得，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±2x ． 故答案为：y ＝±2x ．，【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的定义和转化为三点共线取得最小 值，考查运算能力，属于中档题．16． 分析】 1）由已知结合等比数列的性质及等差数列的性质，和差角公式和余弦定理进行化简可求C ；（2）结合（1）及同角基本关系进行化简可求． 【解答】解：（1）由 sinA ，sinB ，sinC 成等比数列，可得 sin 2B ＝sinAsinC ， 即 b 2＝ac ， ∵sin （B ﹣A ），sinA ，sinC 成等差数列，2sinA ＝sin （B ﹣A ）+sinC ＝sin （B ﹣A ）+sin （B +A ）＝2sinBcosA ， 所以 sinA ＝sinBcosA ，所以 a ＝b∴a 2+b 2＝c 2，∴C ＝，即 b 2+c 2﹣a 2＝2ac ＝2b 2，（2）由（1）可得 A +B ＝，且 sinA ＝sinBcosA ＝cos 2A ＝1﹣sin 2A ，解可得，sinA ＝ ＝cosB ，cosA ＝sinB ＝，． （ （∴＝ ＝ ＝ ．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角基本关系在求解三角形中的应用，属于中档试 题．三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17 【分析】 1）设等差数列{a n }的公差设为 d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求 a n ；再将中的 n 换为 n ﹣1，两式相除可得 b n ；（2）求得 c n ＝b n cos （a n π）＝2n cos （ n π），结合等比数列的求和公式，可得所求和． 【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差设为 d ，由 a 2＝1，S 7＝14，可得 a 1+d ＝1，7a 1+21d ＝14，解得 a 1＝d ＝ ，则 a n ＝ + （n ﹣1）＝ n ；由，可得 b 1•b 2•b 3…b n ﹣1＝2（n ≥2），两式相除可得 b n ＝2n （n ≥2），对 n ＝1 也成立， 故 b n ＝2n （n ∈N*）；（2）c n ＝b n cos （a n π）＝2n cos （ n π）， 则 T 2n ＝2cos+22cos π+23cos+24cos （2π）+…+22n ﹣1cos （ （2n ﹣1）π）+22n cos （n π）＝22cos π+24cos （2π）+…+22n cos （n π）＝﹣ 22+24﹣26+…+（﹣ 1）n •22n ＝＝﹣．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查 方程思想和运算能力，属于中档题．18．【分析】 1）连结 CD ，分别取 AF ，BE 的中点 M ，N ，连结 DM ，CN ，MN ，推导出 DM ⊥AF ，CN ⊥BE ，DM ＝CN ，从而 DM ⊥平面 ABEF ，同理得 CN ⊥平面 ABEF ，进而 DM ∥CN ，由 DM ＝ CN ，得四边形 CDMN 为平行四边形，从而 CD ∥MN ，推导出 MN ∥AB ，由此能证明 CD ∥AB ． （2）在 AB 边上取一点 P ，使得 AP ＝DF ，推导出 MA ，MP ，MD 两两垂直，以 M 为坐标原点，直 线 MA ，MP ，MD 分别为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 ADF 和平面 DEF 所成锐角二面角的余弦值． 【解答】解：（1）CD ∥AB ，理由如下：连结 CD ，分别取 AF ，BE 的中点 M ，N ，连结 DM ，CN ，MN ， 由图（△1）可得， ADF 与△BCE 都是等腰直角三角形且全等， 则 DM ⊥AF ，CN ⊥BE ，DM ＝CN ，如图，∵平面 ADF ⊥平面 ABEF ，交线为 AF ，DM ⊂平面 ADF ，DM ⊥AF ，（∴DM ⊥平面 ABEF ，同理得 CN ⊥平面 ABEF ，∴DM ∥CN ，∵DM ＝CN ，∴四边形 CDMN 为平行四边形，∴CD ∥MN ， ∵M ，N 分别为 AF ，BE 的中点，∴MN ∥AB ， ∴CD ∥AB ．（2）在 AB 边上取一点 P ，使得 AP ＝DF ， 由图（1）得 ADFP 为正方形，即 AP ＝FP ， ∵M 为 AF 中点，∴MP ⊥MA ，由（1）知 MD ⊥平面 ABEF ，∴MA ，MP ，MD 两两垂直，以 M 为坐标原点，直线 MA ，MP ，MD 分别为坐标轴，建立空间直角坐标系， 设 AF ＝2，则 D （0，0，1），A （1，0，0），P （0，1，0），F （﹣1，0，0），∴＝（1，0，1）， ＝ ＝（﹣1，1，0），设平面 DFE 的一个法向量为 ＝（x ，y ，z ），由，得 ，取 x ＝1，得 ＝（1，1，﹣1），平面 ADF 的法向量 ＝（0，1，0），设平面 ADF 和平面 DEF 所成锐角二面角为 θ，则平面 ADF 和平面 DEF 所成锐角二面角的余弦值为：cos θ＝ ＝ ．【点评】本题考查二直线位置关系的判断与求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．【分析】 1）由题意设直线 AB 的方程，与椭圆联立求出两根之和，两根之积，判别式大于 0，求出参数的范围，再有 AB 为直径的圆恰好经过椭圆 C 的右焦点 F 2，可得＝0，可得参数的值，进而求出直线 AB 的方程；（2）由题意可计算出 k PA •k PB ＝0，可证得直线 x ＝1 平分∠APB ，即证明了△P AB 的内切圆的圆心 在定直线 x ＝1 上【解答】解（1）设 l 的方程为 y ＝ x +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线与椭圆的方程，整理可得 x 2+mx +m 2﹣3＝0，则 x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝m 2△m 2 • （﹣3，＝ ﹣4（m 2﹣3）＞0，解得﹣2＜m ＜2，又因为点 P （1， ）在直线的左上方，所以﹣2＜m ＜1，若以 AB 为直径的圆恰好经过椭圆 C 的右焦点 F 2，则﹣y 2）＝0，＝0，即（1﹣x 1，﹣y 1）（1﹣x 2，化简可得 7m 2+4m ﹣11＝0，解得 m ＝﹣所以直线 l 的方程为：y ＝ ﹣ ；（ 2 ） 证 明 ： 因 为 k P A • k PB ＝，或 m ＝1（舍），+ ＝ + ＝ 1+ （ 1 ﹣ m ）（+ ）＝1+（1﹣m ）＝1+（1﹣m ） ＝0，所以直线 x ＝1 平分∠APB ，即证明了△P AB 的内切圆的圆心在定直线 x ＝1 上．【点评】本题考查以线段的端点为直径的圆过定点的性质，及直线与椭圆的综合，属于中档题． 20．【分析】 1）根据概率的性质，求出 p 的范围，再求出 E （A ），E （B ），比较判断即可； （2）因为 p ＝0.2，根据（1），选择方案 A ，年产量为 x （万件）与新产品的年度总成本的关系为：y 1＝+10x+160，求出新产品年利润的随机变量 X 的分布列和数学期望，构造函数 f （x ），利用导数法求出函数的最大值，得出结论． 【解答】解：（1）根据概率的性质，，得 0＜p，若 E （A ）＞E （B ），400﹣200p ＞300+200p ，得 0＜p ＜；若 E （A ）＝E （B ），p ＝ ；若 E （A ）＜E （B ）， ＜p；故当 0＜p ＜ 时，选择方案 A ；若 p ＝ ，则选择方案 A 或 B ；若 ＜p，则选择方案 B ；（2）因为 p ＝0.2，根据（1），选择方案 A ，年产量为 x （万件）与新产品的年度总成本的关系为： y 1＝+10x+160，设 市 场 行 情 为 畅 销 、 平 销 和 滞 销 时 ， 新 产 品 的 年 利 润 分 别 为60x ﹣ y 1 ，（ ，，新产品年利润的随机变量 X 的分布列为：XPE （X ）＝＝60x ﹣y 10.4 0.4，（60﹣x ）x ﹣y 10.2+0.2[（60﹣x ）x ﹣y 1]设 f （x ）＝，x ∈（0，20]，由 f'（x ）＝﹣2x 2+15x +50＝﹣（2x +5）（x ﹣10）， 当 x ∈（0，10）时，f'（x ）＞0，函数递增； 当 x ∈（10，20）时，f'（x ）＜0，函数递减，故当 x ＝10（万件）时，函数 f （x ）有最大值 f （10）≈423.3（万元）， 由（1）知，E （A ）＝400﹣200p ＝360（万元）＜423.3（万元）， 故当年产量为 10 万件时，可达到或超过预期的平均年利润．【点评】本题考查了概率的性质，离散型随机变量求分布列和数学期望，用函数求导求最大值，考 查运算能力和实际应用能力，中档题．21．【分析】 1）由 f ′（x ）＝e x （sinx+cosx ）＝sin e x （x +）＜0，可得 sin （x + ）＜0，利用正弦函数的单调性质即可解得 f （x ）的单调递减区间；（2）由于 g ′（x ）＝e x （sinx+cosx ）﹣a ，令 h （x ）＝g ′（x ），可求得 h （x ）在（0， ）上单调递增，在（上的零点个数．，π）上单调递减，再对 a 分 0＜a ≤1，1＜a ＜3 两类讨论，求得 g （x ）在（0，π）【解答】解：（1）f （x ）＝e x sinx 的定义域为 R ，f ′（x ）＝e x （sinx+cosx ）＝ sin e x （x + ），由 f ′（x ）＜0，得 sin （x +）＜0，解得 2k π+＜x ＜ +2k π（k ∈Z ），∴f （x ）的单调递减区间（2k π++2k π）（k ∈Z ），（2）由已知得 g （x ）＝e x sinx ﹣ax ，∴g ′（x ）＝e x （sinx+cosx ）﹣a ，令 h （x ）＝g ′（x ），则 h ′（x ）＝2e x cosx ，∵x ∈（0，π），∴x ∈（0， ）时，h ′（x ）＞0，x ∈（ ，π）时，h ′（x ）＜0，∴h （x ）在（0，）上单调递增，在（ ，π）上单调递减．∵g ′（0）＝1﹣a ，g ′（π）＝﹣e π﹣a ＜0，①当 1﹣a ≥0，即 0＜a ≤1 时，g ′（0）≥0，∴g ′（ ）＞0，（∴∃x 0∈（，π），使得 g ′（x 0）＝0，∴当 x ∈（0，x 0），g ′（x 0）＞0，当 x ∈（x 0，π）时，g ′（x ）＜0，∴g （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，π）单调递减； ∵g （0）＝0，∴g （x 0）＞0，又∵g （π）＝﹣a π＜0，∴由零点存在定理得，此时 g （x ）在（0，π）上仅有一个零点， ②若 1＜a ＜3 时，g ′（0）＝1﹣a ＜0，又∵g ′（x ）（0，）上单调递增，在（ ，π）上单调递减，又 g ′（ ）＝ ﹣a ＞0，∴∃x 1∈（0，），x 2∈（ ，π），使得 g ′（x 1）＝0，g ′（x 2）＝0，且当 x ∈（0，x 1）、x ∈（x 2，π）时，g ′（x ）＜0，当 x ∈（x 1，x 2）时，g ′（x ）＞0，∴g （x ）在∈（0，x 1）和（x 2，π）上单调递减，在（x 1，x 2）单调递增．∵g （0）＝0，∴g （x 1）＜0，∵g （）＝ ﹣a ＞﹣ ＞0，∴g （x 2）＞0，又∵g（π）＝﹣a π＜0，由零点存在定理可得，g （x ）在（x 1，x 2）和（x 2，π）内各有一个零点， 即此时 g （x ）在（0，π）上有两个零点，综上所述，当 0＜a ≤1 时，g （x ）在（0，π）上仅有一个零点， 当 1＜a ＜3 时，g （x ）在（0，π）上有两个零点．【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性、求极值、恒成立问题等知识点，考查等价转化思想、 分类讨论思想的综合运用，涉及构造函数、多次求导等方法，有一定综合性，考查学生的分析能力 和逻辑推理能力，属于难题．请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题 目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修 4-4：坐标系与参数方 程]22．【分析】 1）曲线 C 的参数方程，利用平方关系消去参数 φ 得，可得曲线 C 的普通方程．由，可得 ，利用互化公式可得：直线 l 的直角坐标方程．（2）设直线 l 的参数方程为（t 为参数），将其代入曲线 C 的直角坐标方程并化简得 7t 2﹣6t ﹣63＝0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程 消去参数 φ 得，曲线 C 的普通方程（为．∵，∴，∴直线 l 的直角坐标方程为．………………………………（5 分）（2）设直线 l 的参数方程为（t 为参数），将其代入曲线 C 的直角坐标方程并化简得 7t 2﹣6t ﹣63＝0，∴∵点 M （2，0）在直线 l 上， ∴．．………………………………（10 分）【点评】本题考查了极坐标参数方程与普通方程的互化、根与系数的关系、弦长公式、平方关系， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题． [选修 4-5：不等式选讲]23．【分析】 1）依题意， 为方程|x ﹣1|+|3x ﹣5|＝m 的根，代入可解得 m ＝1，进而求得不等式的解集为（2 ，由此求得） 由 ；（ 1 ） 得 a +b +c ＝ 1 ， 而，由此得证．【解答】解：（1）由题意知， 为方程|x ﹣1|+|3x ﹣5|＝m 的根，∴，解得 m ＝1，由|x ﹣1|+|3x ﹣5|＜1 解得，∴；（2）证明：由（1）知，a +b +c ＝1，∴＝＝，∴成立．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，考查推理能力及计算能力，属于基础题．。
安徽省六校教育研究会2020届高三数学第二次素质测试试题 理(答案)
安徽省六校教育研究会2020届高三数学第二次素质测试试题 理一、选择题：本大题共12小题，每题5分．满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．己知集合A={x ∈R|x1>-1}，集合B={ x ∈R||x|>1}，则A ∩B= A ．(1,+ ∞) B ．(0,+ ∞) C ．(-∞,-1) ∪ (0,+ ∞) D ．(-∞,-1) ∪ (1,+ ∞)2．已知复数z 满足：zi=3+4i （i 为虚数单位），则z =A. 4+3iB.4- 3iC.-4+3iD. -4-3i3．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的A ．2837 倍 B ．3547倍 C. 3548倍 D ．57倍 4．函数y=sin|x|+x 在x ∈[-2π，2π ]上的大致图象是5．已知双曲线C: 2222by a x -=l （a>0，b>0）的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点O 及点A )23,23(，则双曲线C 的方程为 A ．1322=-y x B ． 16222=-y x C ．1322=-y x D. 12622=-y x6．已知实数x,y满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+44421yxyxyx，则|3x+4y|的最小值为A. 2B. 3C. 4D. 57．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π8．《易经>包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响，下图就是《易经》中记载的几何图形一一八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为l0m，代表阴阳太极图的圆的半径为4m，则每块八卦田的面积约为A．47.79m2 B. 54.07m2 C．57.21m2 D．114.43 m29．已知数列{a n}中，a1=l，a2 =2，且当n为奇数时，a n+2-a n=2；当n为偶数时，a n+2+l= 3(a n+1)．则此数列的前20项的和为A．23311-+90 B．23311-+100 C．23312-+90 D．23312-+10010．函数)20,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=AxAxf的部分图象如图所示，己知3)65()0(==πgg，函数y=f（x）的图象可由y= g(x)图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数f(x)的解析式为A. x x f 2sin 2)(=B. )32sin(2)(π+=x x f C. x x f 2sin 2)(-= D. )32sin(2)(π+-=x x f11．已知函数f(x)=(lnax-1)(x 2+ax-4)．若x>0时，f(x)≥0恒成立，则实数a 的值为 A ．2e B ．4e C ．ee -4 D ．2-e e12．如图所示，棱长为l 的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AB 1的中点，M ，N 分别 为线段AC 1和棱B 1C 1,上任意一点，则MN PM 22+的最小值为A.22B ．2C ．3D ．2 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
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3(an 1) ．则此数列的前 20 项的和为
311 3
A．
90
2
311 3
B．
100
2
312 3
C．
90
2
312 3
D．
100
2
5 10．函数 g(x) Asin( x )( A 0, 0,0 2 ) 的部分图象如图所示，已知 g(0) g( ) 3 ，
6
函数 y f (x) 的图象可由 y g(x) 图象向右平移 个单位长度而得到，则函数 f (x) 的解析式为
2．已知复数 z 满足： zi 3 4i （ i 为虚数单位），则 z
A． 4 3i
B． 4 3i
C． 4 3i
D． 4 3i
3．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在 2015 年以
前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为 70% ．2015 年开始，全面实施“精
准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中 2019 年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参
加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：
实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业
参加户占比 40% 40% 10% 10%
脱贫率 95% 95% 90% 90%
那么 2019 年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的
4x y 4 0
A． 2
B． 3
C． 4
D． 5
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为
A． 24
4
B． 28
C． 32 D． 36
3
3
正视图
1 侧视图
俯视图
8．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的
几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形
a2 b2
33 C 的一条渐近线交于点 O 及点 A( , ) ，则双曲线 C 的方程为
22
A． x2 y2 1 3
x2 y2 B． 1
26
C． x2 y2 1 3
x2 y2 D． 1
62
x y 1 0 6．已知实数 x, y 满足不等式组 2x y 4 0 ，则 | 3x 4 y | 的最小值为
一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1 1．已知集合 A {x R | 1} ， B {x R | x | 1} ，则 A B
x
A． (1,)
B． (0,)
C． (, 1) (0, ) D． (, 1) (1, )
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
9
9
13．已知正项等比数列{an} 中， a2 a4 24 ， a7 a9 214 ，则 a13
．
14． (2 x 1 )6 的二项展开式中，含 x 项的系数为
．
3x
15．如图，两个同心圆 O 的半径分别为 2 和 2 ， AB 为大圆 O 的一条
安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试
数 学 试 题（理）
注意事项： 1. 本试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟，请掌握好时间。 2. 试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共 4 页，“答题卷”共 6 页；请务必在
“答．题．卷．”上答题，在“试．题．卷．”上答题无效。 3. 请先将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置。 4. 注意字迹清楚，卷面整洁。
37 A． 倍
28
47 B． 倍
35
48 C． 倍
35
4．函数 y sin | x | x 在 x [2 , 2 ] 上的大致图象是
7 D． 倍
5
y
y
A．
2
O
2 x
B．
2
O
2 x
y
C．
2
O
2 x
y
D．
2
O
2 x
理科数学试题 第 1 页（共 4 页）
x2 y2 5．已知双曲线 C : 1(a 0,b 0) 的右焦点为 F ，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与双曲线
代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边
长为10m ，阴阳太极图的半径为 4m ，则每块八卦田的面积约为 A． 47.79m2 B． 54.07m2 C． 57.21m2 D．114.43m2
9．已知数列 {an} 中， a1 1 ， a2 2 ，且当 n 为奇数时， an2 an 2 ；当 n 为偶数时， an2 1
锐角，则椭圆 C 的离心率的取值范围为
．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试
题考生都必须做答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 2sin2 A B 2cos2 A B 2cos Acos B 1．
直径，过点 B 作小圆 O 的切线交大圆于另一点 C ，切点为 M ，点
A
P 为劣弧 BC 上的任一点（不包括 B,C 两点），则 AM (BP CP)
C P
M
O
B
的最大值是
．
16．已知两动点 A, B 在椭圆 C : x2 y2 1(a 1) 上，动点 P 在直线 3x 4 y 10 0 上，若 APB 恒为 a2
3
y
A． f (x) 2sin 2x
3
B． f (x) 2sin(2x )
3
C． f (x) 2sin 2x
D． f (x) 2sin(2x )
3
O
6
5
x
6
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11．已知函数 f (x) (ln ax 1)(x2 ax 4) ，若 x 0 时， f (x) 0 恒成立，则实数 a 的值为
2
2
（1）求角 C 的大小；
（2）若 c 4 ， | CA CB | 38 ，求△ABC 的周长．
A． 2e
B． 4e
e C．
4e
e D．
e 2
12．如图，棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 为线段 AB1 的中点，M , N 分别为线段 AC1 和棱
B1C1 上任意一点，则 2PM 2MN 的最小值为
A
D
2 A．
2 B． 2
C． 3BBiblioteka CP MA1
D1
D． 2
B1
N C1