数学教育的误区与盲点

郑毓信：数学教育的误区与盲点

分类：数学史话

这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念——尽管其基本含义没有什么错，但由于人们在接受这些理念时往往没有经过认真思考，接受以后又很少会对自己是否真正领会了精神实质，包括对其局限性做出深入反思，因此就很容易出现理解上的片面性与做法上的简单化；所谓“盲点”，则是指人们实践中不仅没能事先有所警惕与预防，在出现以后也往往视而不见、听之任之的问题。以下就针对数学教育的现实情况谈谈这个领域的误区和盲点。

一、聚焦“过程的教育”。

1．由“动态数学观”到数学学习的“活动化”。

20世纪90年代起在世界范围内先后开展的新一轮数学课程改革运动的一个共同理念，就是突出强调了由“静态数学观”向“动态数学观”的转变及其对于数学教育的重要含义。这就正如美国著名数学教育家伦伯格所指出的：“两千多年来，数学一直被认为是与人类的活动和价值观念无关的无可怀疑的真理的集合。这一观念现在遭到了越来越多的数学哲学家的挑战，他们认为数学是可错的、变化的，并和其它知识一样都是人类创造性的产物……这种动态的数学观具有重要的教育涵义。”①

数学教育界普遍认为，“动态数学观”最为直接的教育含义就在于：数学教育不应唯一集中于作为数学活动最终产物的知识性

成分，而且也应高度关注相应的数学活动。这显然就是“结果与过程”这一对范畴近年来何以在数学教育(乃至一般教育)领域内获得普遍重视的主要原因，特别是，对于“过程”的突出强调更可看成世界范围内新一轮数学课程改革的又一重要特征。

从这一角度去分析，我们也可更好地理解我国2001年颁布的义务教育《数学课程标准(实验稿)》(以下简称“《标准》”)何以在传统的“知识技能目标”之外，又专门引入所谓的“过程性目标”：“《标准》中不仅使用了‘了解(认识)、理解、掌握、灵活运用’等刻画知识技能的目标动词，而且使用了‘经历(感受)、体验(体会)、探索’等刻画数学活动水平的过程目标动词”；进而，突出强调“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。

但是，究竟什么是“数学活动”的基本形式或具体内涵?这是否可等同于动手实践与自主探究?什么又是“动态数学观”的主要教育含义，特别是，这是否就意味着我们应由所谓的“结果的教育”转向“过程的教育”?这一做法在实践中是否会造成一定的问题或消极后果?我们应如何去避免或纠正?笔者以为，如果对这些问题我们始终未能作出深入的思考，而只是停留于对“动态数学观”或“过程的教育”的突出强调，或是满足于对学生动手实践与主动探究的特别推崇，就很容易在这方面陷入认识的误区。

应当强调的是，国际上的相关实践已在这一方面为我们提供了直接启示。如“探究学习”在20世纪60年代的美国就曾得到积极提倡，但最终是一次失败的努力。尽管存在多种“外部”的原因，

但最为重要的一个原因，是认为学生无需通过系统学习，也即对于已有文化的认真继承就可相对独立地做出各项重要的科学发现，包括建立起相应的系统理论。另外，国际数学教育界通过对20世纪80年代以“问题解决”为主要口号的数学教育改革运动进行总结与反思，得出的一个主要结论是：与对于过程的片面强调相对立，数学教学应

当“过程与结果并重”②。

当然，上述共识的形成在一定意义上也可看成课程改革逐步深入的一个具体标志，但我们显然又不应以此去取代对于“数学活动”各个问题的深入分析。作为“四基”之一，“基本活动经验”已被正式纳入到了修改后的《数学课程标准》之中。这一事实更加凸显了认真做好这方面工作的重要性和紧迫性。

3．转向“实践性智慧”。

如何才能同时做好“大众数学”与“20％最好的学生在数学上的更好发展”?笔者以为，就当前而言，应当积极倡导这样一个立场：直面现实，积极实践，并能通过认真的总结与反思不断发展自己的实践性智慧。

为了清楚地说明这二点，让我们重新回到上面提到的贲友林老师的一个教学实例：“鸡兔同笼”问题的教学。

由于很多学生在上课前都已学过这一内容，因此，任课教师必须面对的一个问题是，在教学中应当如何去处理学生中存在的

巨大差异——“学生现在在哪里?学生将走向哪里?学生如何走向那里?”

当然，使各种学生都能有所收获，应是教学的主要目标，特别是，我们既不应让“先进”学生事实上充当了“陪读”的角色，也不应使“后进生”越掉越远。

由此可见，我们在这一方面的基本立场：第一，明确承认学生间存在的巨大差距；第二，努力使各种学生都能有所收获。

文章作者贲友林老师提出：“孩子的‘已有’、‘已知’，就是教学资源，应当充分地加以利用。教师引导学生将自己原有的认识外化出来与全班交流，这是更有效的‘导’。于是，我组织‘兵教兵’。而我，关键处追问……从而让学生的思考走向深入，认识得到提升。”

由于这一堂课的主要目标是帮助学生较好掌握“假设”这一解题策略(如假设“全部都是鸡”，或“全部都是兔子”，再根据误差作出调整……)，因此，这里的首要问题就在于：我们应当如何去处理学生的其他做法，特别是一些学生所采用的方程解法?

贲友林老师指出：“我以为，方程解法与算术解法应当并驾齐驱。不过，本节课侧重‘假设’。于是，我在学生试做之后，让学生先是展示方程解法，并对‘如何设未知数’以及‘列方程所依据的等量关系’着重让学生理解。继而，交流‘假设’思路。在学生对‘假设’有了充分的认识之后，我又杀了个‘回马枪’，学生的思维豁然开朗：方程，其实也是假设。”

另外，贲友林老师的以下论述则关系到了教学中的另一“敏感问题”：“课中，我呈现了一个二年级学生的解题思考过程(因为这是二年级的学生，又是该班班主任老师的儿子)，全班学生兴致盎然。但我如果呈现另外一位同学所采用的‘一一列举’方法，那是否会被班级中的其他同学认为他的方法比较‘笨’而遭嘲笑?……我不能因为某一个学生的解法被呈现而受到伤害。”由此可见，我们在教学中应当充分注意学生的特殊性，帮助所有学生都能取得积极的进步。

4．一些更为基本的教育思想。

最后，应当强调指出，除去具体的教学方法与教学思想以外，这里所说的问题还直接关系到了一些更为基本的教育思想，包括“数学教育哲学”。

首先，我们究竟应以何者作为教育特别是基础教育的基本目标，是承认学生间必然存在的差异，并主要着眼于这一基础之上的个人发展，还是应当努力缩小学生间可能存在的差距?应当指出，这两种立场集中反映了东西方教育思想的一个重要区别。从而，我们也就应当不断增强自身在这一方面的自觉性。

其次，东西方数学教育(乃至一般教育)思想的又一重要区别，是如何看待“打好基础”与“积极创新”之间的关系。这就正如别格斯所指出的：“在西方，我们相信探索是第一位的，然后再发展相关的技能；但中国人则认为技能的发展是第一位的，后者通常则又包括了反复练习，然后才能谈得上创造。”0显然，认识的这