第八章 系统状态变量分析
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《信号与系统》第8章
) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
信号与系统(精编版)第8章 系统的状态变量分析
第8章 系统的状态变量分析
6
8.1.2 由电路引出系统的状态方程与输出方程
先从一个具体电路(系统)的例子看方程的列写。图8.1-2(a) 为二阶电路(系统)，图中is(t)为激励源(输入)，u(t)、iC(t)为两 个响应(输出)。从系统的观点看，该电路属于单输入两个输 出的系统，如图8.1-2(b)所示。
可将状态方程与输出方程分别写为更简洁的矢量矩阵形式，
即
(8.1-14)
(8.1-15)
第8章 系统的状态变量分析
19
式中
第8章 系统的状态变量分析
20
分别为状态矢量、状态矢量的一阶导数矢量、输入矢量
和输出矢量。其中上标T表示转置运算。
第8章 系统的状态变量分析
21
2. 离散系统的动态方程
图8.1-4是n阶离散系统的示意框图，它同样有p个输入， q个输出。对于离散系统，有关状态、状态变量的概念与连续 系统类似，因为离散信号定义的特殊性，致使状态变量、输
选择了uC、iL作为状态变量列写了状态方程式(8.1-8)， 我们亦可选择iC、uL作为该电路的状态变量列写出另外形式 旳状态方程。事实上，对于二阶系统，如果它的状态变量用
x1，x2来表示，则这组变量的各种线性组合
(8.1-18a)
(8.1-18b)
第8章 系统的状态变量分析
26
(3) 状态空间与状态轨迹概念。 为了使读者能够形象直观地接受状态轨迹概念，我们 对图8.1-2(a)电路简化配置参数：令RL=RC=0，L=0.5 H， C=0.5 F，uC(0)=0，iL(0)=0，is=1 A，解得状态变量
入、输出都是序列，状态方程表现为状态变量的一阶前向差
分方程组；输出方程更是与连续系统的输出方程形式上类似，
第八章 系统的状态变量分析法
x1
-an-1 -an-2
b0
-am
-a2
-a1
-a0
Y(s)
输出方程：
y ( t ) b 0 x 1 b 1 x 2 b 2 x 3 . . b n . 1 x n b n x n
状态方程不变。 输出方程：
y(t)(b0bna0)x1(b1bna1)x2(b2bna2)x3 ...(bn1bnan1)xnbne(t)
. . .
x n 1 a n 1 x 1 x n ( b 1 a 1 b n ) e ( t) x n a 0 x 1 (b 0 a 0 b n )e (t)
称为Kalman形式2。
Ex. 1 写出系统的状态方程。
H(s)s36ss241s15
...
1
xn1
0
... an1 xn 1
x1 A
B
y(t)b0,b1,b2..b.m0..0. ...
C
xn
D0
当m=n时： bn
E(s) 1
S 1
xnS
1
xn-1
xm+1
x3
b2
S 1x2
b1 S
1
解：
x1 0 1 0 0
x20 0 1 x20e(t)
x3 5 116 x3 1
x1
y(t) 4
1
0
x2
x3
或：
x1 6 1 0 x1 0
C
xn
0 x1 0
0
x2
0
.. ...... e(t)
1
xn1
b1
第八章 系统的状态变量分析
画出并联形式的信号流图
设状态变量x1(t)、 x2(t)
1
x1 s x2s
1
6
x1 x1 f x2 2 x2 f
x1
-1
f(t)
1
1
-4
y(t)
x1 1 0 x1 1 x 0 2 x 1[ f ] 2 2
1 1 L x1 (t ) L 1 x (t ) 2 0 R2 C
0 u (t ) s1 1 u (t ) s2 R2 C
二、由输入-输出方程建立状态方程 这里需要解决的问题是：
一、授课内容 1 、授课科目：信号与系统 2、 授课内容：§8.1-5 系统的状态方程的建立和求解 3、 授课类型：讲 授 4、 授课时间：4学时 5、 主讲教师：邵建设 二、教学目的要求 1、掌握状态方程的建立方法； 2、掌握状态方程的求解方法。 三、教材分析 1、概述：状态变量法用一组状态变量的一阶微分或差分方程来描述系统，它 能完成揭示系统的内部特性，便于处理多输入输出系统，便于进行计算机求解，还 容易推广到时变系统和非线性系统。 2、教学重点：1）.状态方程的建立；2）.状态方程的求解。 3、教学难点：状态方程的求解方法。 四、教学设想 1、教学方法设想：讲授与MATLAB仿真和实验演示法相结合，使之更具有说 服力。 2、教具运用设想：计算机、投影仪。 五、教学过程 [步骤一] 导入新课：输入-输出法，仅仅限于研究系统的外部特性。 [步骤二] 讲授新课：
二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
设状态变量x1(t)、 x2(t)
1
x1 s x2s
1
6
x1 x1 f x2 2 x2 f
x1
-1
f(t)
1
1
-4
y(t)
x1 1 0 x1 1 x 0 2 x 1[ f ] 2 2
1 1 L x1 (t ) L 1 x (t ) 2 0 R2 C
0 u (t ) s1 1 u (t ) s2 R2 C
二、由输入-输出方程建立状态方程 这里需要解决的问题是：
一、授课内容 1 、授课科目：信号与系统 2、 授课内容：§8.1-5 系统的状态方程的建立和求解 3、 授课类型：讲 授 4、 授课时间：4学时 5、 主讲教师：邵建设 二、教学目的要求 1、掌握状态方程的建立方法； 2、掌握状态方程的求解方法。 三、教材分析 1、概述：状态变量法用一组状态变量的一阶微分或差分方程来描述系统，它 能完成揭示系统的内部特性，便于处理多输入输出系统，便于进行计算机求解，还 容易推广到时变系统和非线性系统。 2、教学重点：1）.状态方程的建立；2）.状态方程的求解。 3、教学难点：状态方程的求解方法。 四、教学设想 1、教学方法设想：讲授与MATLAB仿真和实验演示法相结合，使之更具有说 服力。 2、教具运用设想：计算机、投影仪。 五、教学过程 [步骤一] 导入新课：输入-输出法，仅仅限于研究系统的外部特性。 [步骤二] 讲授新课：
二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
信号与系统分析第八章 系统的状态变量分析
对于一般情况而言， 连续动态系统在某一时刻t0的状 态， 是描述该系统所必需的最少的一组数x1(t0)， x2(t0)， …， xn(t0), 根据这组数和t≥t0时给定的输入就可以唯一地确定在 t≥t0的任一时刻的状态及输出。 这组描述系统状态随时间变 化所必需的数目最少的一组变量x1(t)、x2(t)、 …、 xn(t), 就 称为系统的状态变量。 状态变量
8.1 状 态 方
8.1.1
在状态变量分析法中， 首先需要选择一组描述系统的 关键性变量， 这组关键性变量称为描述系统的状态变量。 状态变量的选择必须使系统在任意时刻t的每一输出都可由 系统在t
为了说明状态变量和状态方程的概念， 首先分析图8.1 所示的包含两个动态元件的二阶系统， 输入us (t)为电压源， 输出为uL(t)
第八章 系统的状态变量分析
输入-输出分析法和状态变量分析法都是分析、 研 究系统特性的基本方法， 只是分析的角度不同。 一个 是从系统外部特性进行分析， 而另一个则是对系统内 部变量进行分析研究， 两种方法互为补充。 本章仅研 究线性时不变系统状态方程的建立、 求解以及可控制 性和可观测性。
第八章 系统的状态变量分析
y1(t) c11
y2 (t)
c21
y p (t) cq1
c12 c22
cq2
c1n
c2n
cqn
x1(t)
x2 (t
)
d11 d 21
xn (t) dq1
d12 d 22 dq2
d1 p d2p
f1 (t ) f2 (t)
dqp f p (t)
类似地， 对于线性离散系统， 也可以写出系统的状态方程
设一个n阶多输入 - 多输出线性离散系统， 它的p个输入为
8.1 状 态 方
8.1.1
在状态变量分析法中， 首先需要选择一组描述系统的 关键性变量， 这组关键性变量称为描述系统的状态变量。 状态变量的选择必须使系统在任意时刻t的每一输出都可由 系统在t
为了说明状态变量和状态方程的概念， 首先分析图8.1 所示的包含两个动态元件的二阶系统， 输入us (t)为电压源， 输出为uL(t)
第八章 系统的状态变量分析
输入-输出分析法和状态变量分析法都是分析、 研 究系统特性的基本方法， 只是分析的角度不同。 一个 是从系统外部特性进行分析， 而另一个则是对系统内 部变量进行分析研究， 两种方法互为补充。 本章仅研 究线性时不变系统状态方程的建立、 求解以及可控制 性和可观测性。
第八章 系统的状态变量分析
y1(t) c11
y2 (t)
c21
y p (t) cq1
c12 c22
cq2
c1n
c2n
cqn
x1(t)
x2 (t
)
d11 d 21
xn (t) dq1
d12 d 22 dq2
d1 p d2p
f1 (t ) f2 (t)
dqp f p (t)
类似地， 对于线性离散系统， 也可以写出系统的状态方程
设一个n阶多输入 - 多输出线性离散系统， 它的p个输入为
第八章系统的状态变量分析
特性。 2.适用于多输入-多输出系统。 3.可用来描述时变系统，非线性系统。 4.易于利用计算机求解。 三.本章主要内容 1.状态方程的普遍形式。 2.连续时间系统状态方程得建立及求解。 3.离散时间系统状态方程得建立及求解。 4.系统的可控性和可观性。
四.简单实例：串联谐振电路。
1.只关心激励e(t)与电容两端电压vc (t) 之间的关系列输入输出
即可利用以下幂次的各项之和表示矩阵a的特征值代人上式中的a之后方程仍满足平衡可求系数利用把无限和化成有限项之和方阵所以可把次数高于k次的项化为幂阿次的各项之和
第八章 系统的状态变量分析
§8.1 引言 §8.2 连续时间系统状态方程的建立 §8.3 连续时间系统状态方程的求解 §8.4 离散时间系统方程的建立 §8.5 离散时间系统状态方程的求解 §8.7 系统的可控性和可观性
一般取 t0 0 。系统为n阶系统，就有n个状态。
2.状态变量：能够表示系统状态的那些变量。n阶系统有n个 状态变量。对电路系统来说，通常选电容两端电压和经电感 电流为状态变量。
3、状态向量(矢量)：将n阶系统的n个状态变量 x1(t) ，x2 (t) ，… xn (t) 排成一个n*1阶的列变量x(t)，即：
(t (t
) )
f1[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t] f2[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
..
d dt
k
(t
)
fk [1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
1 1 0 0
四.简单实例：串联谐振电路。
1.只关心激励e(t)与电容两端电压vc (t) 之间的关系列输入输出
即可利用以下幂次的各项之和表示矩阵a的特征值代人上式中的a之后方程仍满足平衡可求系数利用把无限和化成有限项之和方阵所以可把次数高于k次的项化为幂阿次的各项之和
第八章 系统的状态变量分析
§8.1 引言 §8.2 连续时间系统状态方程的建立 §8.3 连续时间系统状态方程的求解 §8.4 离散时间系统方程的建立 §8.5 离散时间系统状态方程的求解 §8.7 系统的可控性和可观性
一般取 t0 0 。系统为n阶系统，就有n个状态。
2.状态变量：能够表示系统状态的那些变量。n阶系统有n个 状态变量。对电路系统来说，通常选电容两端电压和经电感 电流为状态变量。
3、状态向量(矢量)：将n阶系统的n个状态变量 x1(t) ，x2 (t) ，… xn (t) 排成一个n*1阶的列变量x(t)，即：
(t (t
) )
f1[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t] f2[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
..
d dt
k
(t
)
fk [1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
1 1 0 0
第八系统的状态变量分析
对于离散系统也可以用状态变量分析。设有阶多输入多输出 离散系统如图：
... f1 k
f2 k fn k
{xi k0 }
...
y1 k
... y2 k yn k
其状态方程和输出方程为
第9页/共47页
§8.2 状态方程的建立
一.电路状态方程的列写 （1）选所有的独立电容电压和电感电流作为状态变量；
t
f
t
uC
t
1 C
t -
iL
t
dt
d dt
uC
t
1 C
iL
t
d
dt d
dt
iL
t
-
R L
iL
t
uC
t
1 C
iL
t
-
1 L
uC
t
1 L
e t
第5页/共47页
写为矩阵形式：
d dt
iL
t
R L
d dt
vC
t
1 C
-
1 L
0
iL t
vC
t
1
L
0
f
t
iL t、uc t
一．状态方程的时域解
求解矢量差分方程的方法之一是迭代法或递推法。但用 递推法一般难以得到闭合形式的解，所以，一般而言可 用迭代法解状态方程式。
例题 某离散系统的状态方程为
1
x1 x2
k k
1 1
2 1
4
0
1
x1 k
x2
k
1 0
c1n c2n
c nn
x1 x2 x3
k k k
d11 d21 dn1
第八章 系统的状态变量分析
二、由模拟框图建立状态方程
(1) 选取积分器的输出作为状态变量； 选取积分器的输出作为状态变量 积分器的输出作为状态变量； (2) 围绕加法器列写状态方程和输出方程。 围绕加法器列写状态方程 输出方程。 加法器列写状态方程和
三、由微分方程或系统函数建立状态方程
(1) 由微分方程或系统函数，画出相应的模拟框图。 由微分方程或系统函数，画出相应的模拟框图 模拟框图。 (2) 再由模拟框图建立系统的状态方程。 再由模拟框图建立系统的状态方程 模拟框图建立系统的状态方程。
b12 b 22 ⋅⋅⋅ bn2
d 12 d 22 ⋅⋅⋅ d p2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
b1 m b2m ⋅⋅⋅ b nm
d 1m d 2m ⋅⋅⋅ d pm
连续时间系统状态方程的建立
由电路建立状态方程 由模拟框图建立状态方程 由微分方程或系统函数建立状态方程 状态方程的规范型实现
b11 b 21 ⋅⋅⋅ bn1
b12 b22 ⋅⋅⋅ bn 2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
(n*m阶)
b1m x1 b2 m x 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ bnm xm
(m维)
一、连续时间系统状态方程的一般形式
& & q3 (t ) = 2.5q2 + q2 − 4q3 = 2q1 (t ) − 0.5q2 (t ) − 4q3 (t ) y (t ) = q3 (t )
例2 已知一个LTI系统的系统函数为 LTI系统
2s + 5 H (s) = 3 s + 9 s 2 + 26 s + 24
信号与系统第八章系统的状态变量分析
X(s)
H(s)
Y(s)
看出简单的方框图，变成流图形式是用一有始有终的 线段表示。起始点标为X(s),终点标为Y(s).
4、流图中的名词
结点：表示系统中变量或信号的点。 线段（支路）：两个结点之间的定向线段，表示信 号传输的路径。 箭头：表示信号的传输方向；
转移函数： 两个结点之间的增益称为转移函数，标 注在箭头附近。
三状态方程引入??t??????t????1111lldrdtddlll0ietit????????????????????????????????????????????????????????????状态方程?在状态空间分析方法中将状态方程以矢量和矩阵形式表示
第八章 系统的 状态变量分析
本章的主要内容
有二种方法。第一种方法：把所有输入支路增益除以 -G H （1+G2H2）
1 2
1 G2 H 2
X
H1 H 2 1 G2 H 2
1
X2 X3
-G3
X5 X4 H4 -G 4
1
H3
Y
另一种方法是把输出支路增益除以（1+G2H2）。
这两种方法等同。
H1 H 2
-G1 H 2 -G3
1
X2
X5 X4 H4 -G 4
H1 H 2 H 3 H 4 (1+G 2 H 2 ) (1+G3 H 3 )
1
X
Y
G4H 4 1+G3 H 3
并联环路增益相加。
H1 H 2 H 3 H 4 (1+G 2 H 2 ) (1+G3 H 3 ) -G1 H 2 H 3 H 4 G4 H 4 (1 G2 H 2 ) (1 G2 H 2 )(1 G3 H 3 )
第八章 状态变量分析法
iL (t )
iL max
t 1
0
t 0
t
1
vc (t )
0
图8-5
0
1
R 10 时状态矢量 的轨迹图
8-2 连续时间系统状态方程的建立
8-2-1 连续时间系统状态方程的普遍形式
状 x1 (t ) g1 ( x1 (t ), x2 (t ), xn (t ), f1 (t ), f 2 (t ), f m (t )) 态 x2 (t ) g 2 ( x1 (t ), x2 (t ), xn (t ), f1 (t ), f 2 (t ), f m (t )) 方 程 xn (t ) g n ( x1 (t ), x2 (t ), xn (t ), f1 (t ), f 2 (t ), f m (t ))
些物理量可以用状态矢量的一个分量来表示。
(2) 这种以矢量和矩阵表示的系统的数学模型适用于 描述多输入-多输出系统。 (3) 由于系统的状态方程都是一阶微分方程或一阶差 分方程，便于采用数值解法，便于计算机求解。
【例题8-2】如果在例题8-1中，取 L 2mH， 80pF ， C
vs (t ) (t ) 。并且 vc (0 ) 0 ，L (0 ) 0 。分析在 R 0 i
状态空间： 状态矢量λ(t)所在的空间。如果一个系统需要n个状态变
量来描述，则状态矢量是n维矢量，对应的状态空间就
是n维空间。 状态轨迹： 在状态空间中状态矢量端点随时间变化所描出的路径称 为状态轨迹。
8-1-3 状态变量分析法的优点
用状态变量分析系统的优点在于： (1) 便于研究系统内部的一些物理量的变化规律，这
y (t ) C x (t ) D f (t )
系统的状态变量分析
形式与连续时间系统的形式相同。
用状态变量分析法研究系统具有如下优点。
(1) 便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化。这些物理量可以用状态矢
量的一个分量表现出来，从而便于研究其变化规律。
361
(2) 系统的状态变量分析法与系统的复杂程度无关，它和简单系统的数学模型相似，都表 现为一些状态变量的线性组合，因而这种分析法更适用于多输入多输出系统。
(3) 状态变量分析法还适用于非线性和时变系统，因为一阶微分方程或差分方程是研究非 线性和时变系统的有效方法。
(4) 状态变量分析法可以用来定性地研究系统的稳定性及如何控制各个参数使系统的性能 达到最佳等。
(5) 由于状态方程都是一阶联立微分方程组或一阶联立差分方程组，因而便于采用数值解 法，从而为使用计算机进行分析系统提供有效的途径。
时间信号。
上述关于状态变量和状态方程的基本概念，可用于讨论系统状态方程和输出方程的一般形
式。
1. 连续时间系统状态方程和输出方程的一般形式
一个动态连续时间系统的时域数学模型都是用输入、输出信号的各阶导数来描述的。作为
连续时间系统的状态方程表现为状态变量的一阶联立微分方程组，对于线性时不变系统，状态
方程和输出方程简化为状态变量和输入信号的线性组合，即线性时不变系统的状态方程和输出
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
（8-8）
第8章 系统的状态变量分析
x1(t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ).
8.1 系统的状态空间描述
说明：系统状态的数目是一定的,但状态的选择不唯一。
例：设二阶系统的初始状态为x1(t0 ), x2 (t0 )并且
g1(t0 ) a1x1(t0 ) a2 x2 (t0 )
g
2
(t0
)
b1
x1
(t0
用系统的状态方程和输出方程描述系统输入、状态变量、 输出之间的关系。
状态方程：表示系统状态变量与输入之间的关系/方程。 对n阶系统，状态方程是由n个一阶微分方程（差分方程）组 成的方程组。
输出方程：表示系统输出与输入和状态变量之间的关系/ 方程。
对n阶系统，若有q个输出，输出方程是由q个代数方程组 成的方程组。
（1）初始状态：设初始时刻 K0 0 ，对n阶系统， 初始状态通常指：y(1) , y(2) , , y(n) .
K0 时刻状态的一般定义： K0 时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数
和 K0, K 区间上的输入，就可完全确定系统在K时
刻的输出。
8.1 系统的状态空间描述
（2）状态变量、状态矢量： 状态变量：表示状态随时间变化的一组变量。
C
R
f1
L2 uL2
f2
b
列状态方程:
选状态变量:
x1 iL1 , x2 iL2 , x3 iC。
设输出为:
y1 uL2 , y2 uab
第一步: 关于L1x1, L2 x（2 电感电压）列KVL方程： L1x1 uL1 f1 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f1 f2 L2 x2 uL2 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f2
8.1 系统的状态空间描述
说明：系统状态的数目是一定的,但状态的选择不唯一。
例：设二阶系统的初始状态为x1(t0 ), x2 (t0 )并且
g1(t0 ) a1x1(t0 ) a2 x2 (t0 )
g
2
(t0
)
b1
x1
(t0
用系统的状态方程和输出方程描述系统输入、状态变量、 输出之间的关系。
状态方程：表示系统状态变量与输入之间的关系/方程。 对n阶系统，状态方程是由n个一阶微分方程（差分方程）组 成的方程组。
输出方程：表示系统输出与输入和状态变量之间的关系/ 方程。
对n阶系统，若有q个输出，输出方程是由q个代数方程组 成的方程组。
（1）初始状态：设初始时刻 K0 0 ，对n阶系统， 初始状态通常指：y(1) , y(2) , , y(n) .
K0 时刻状态的一般定义： K0 时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数
和 K0, K 区间上的输入，就可完全确定系统在K时
刻的输出。
8.1 系统的状态空间描述
（2）状态变量、状态矢量： 状态变量：表示状态随时间变化的一组变量。
C
R
f1
L2 uL2
f2
b
列状态方程:
选状态变量:
x1 iL1 , x2 iL2 , x3 iC。
设输出为:
y1 uL2 , y2 uab
第一步: 关于L1x1, L2 x（2 电感电压）列KVL方程： L1x1 uL1 f1 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f1 f2 L2 x2 uL2 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f2
信号与系统_张华清_第八章系统的状态变量分析
其特征根 1 2 2 是二重根。
齐次解的函数表达式为：
yh (k) (C1k C2 )(2)k， k 0
在特征根是共轭复根的情况下，齐次解的形式可以是等 幅、增幅或衰减等形式的正弦（或余弦）序列。
假设 1, 2 e j 是一对共轭复根，则在齐次解中，相
应部分齐次解为： C1 cos(k) C2 sin(k) k
k
例3.2-5
信号与系统 第三章例题
例3.2-5 已知某线性时不变离散系统的差分方程如下式所示，
试写出其齐次解的函数形式。
y(k) 4y(k 1) 4y(k 2) e(k) 3e(k 1)
解
此差分方程所对应的特征方程为
2 4 4 0 ( 2)2 0
法。
离散系统的数学模型为差分方程，所谓离散系统的时域 分析，就是在时间域（简称时域）中求解差分方程，以及求 解系统的单位序列响应、阶跃响应等。
求解差分方程与求解微分方程有许多相似之处，其经典 解法的全解也可分为齐次解和特解。
离散系统按照响应的不同来源也可分为零输入响应和零 状态响应；求零状态响应也可利用卷积计算求解。
其特征根为： 1 2，2 3 则其齐次解可写为： yh (k) C1(2)k C2 (3)k， k 0
将 y(0) = 1， y(1) = 0，代入上式，可得
C1 C2 1 2C1 3C2
0
C1 C2
3 2
所以
yh (k) 3(2)k 2(3)k， k 0
解
此齐次差分方程所对应的特征方程为
4 23 22 2 1 0 ( 1)2 (2 1) 0
第八章系统的状态变量分析-
四.简单实例：串联谐振电路。
1.只关心激励e(t)与电容两端电压 v c (t ) 之间的关系列输入输出
模型
iRL(Lit)(t)CLdddvcdLi(tt()tt)vc(t)e(t)
(1) (2)
Ld C 2 d vc 2 (tt)Rd C d c(v t)tvc(t)e(t)
2. iL(t)vc(t)在 e(t)的作用下，是一些随时间变化的量，若知道
部特性。 2.适于单输入单输出系统。 3.经典线性理论的系统函数概念不能用来处理非线性，时变系统。 二.现代理论的优点 1.引入描述系统内部特性的状态变量，建立状态方程，可以揭示系统的内部
特性。 2.适用于多输入-多输出系统。 3.可用来描述时变系统，非线性系统。 4.易于利用计算机求解。 三.本章主要内容 1.状态方程的普遍形式。 2.连续时间系统状态方程得建立及求解。 3.离散时间系统状态方程得建立及求解。 4.系统的可控性和可观性。
3、状态向量(矢量)：将n阶系统的n个状态变量 x1 (t) ，x2 (t) ，… xn (t) 排成一个n*1阶的列变量x(t)，即：
x (t)
x1 (t)
x
2
(t
)
...
x n ( t )
= x1(t)...x.n.(t.).T
Байду номын сангаас
每两个状态都为状态向量的一个分量，或称坐标。
4、状态空间：以n个状态变量为坐标轴而构成的n维空间称为状 态空间。任意状态x(t)都可用状态空间中的一个点来表示。
例：若有两个状态 x1 (t) , x2 (t ) ，则状态向量
x(t)
x1 x2
(t) (t)
状态空间是由 x1 (t) , x2 (t) 为轴构成的二维空间。 5、状态轨迹：在状态空间中状态矢量随时间变化而描出的路径。
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习题八
8-1对图8-1所示电路，列写出以)(t u C 、)(t i L 为状态变量x 1、x 2，以)(1t y 、)(2t y 为输出的状态方程和输出方程。
8-2 描述某连续系统的微分方程为
)(2)()(2)()(5)()1()1()2()3(t f t f t y t y t y t y +=+++
写出该系统的状态方程和输出方程。
8-3 描述连续系统的微分方程组如下，写出系统的状态方程和输出方程。
（1）)()()(2)(3)(211)
1(1)2(1t f t f t y t y t y +=++
)(3)()()(4)(212)
1(2)2(2t f t f t y t y t y -=++ （2）)()()(12)
1(1t f t y t y =+
)()()()()(21)
1(2)
1(1)
2(2t f t y t y t y t y =+++
8-4 以x 1、x 2、x 3为状态变量，写出图8-3所示系统的状态方程和输出方程。
8-5 如图8-7所示连续系统的框图。
（1）写出以x 1、x 2为状态变量的状态方程和输出方程。
（2）为使该系统稳定，常数a ，b 应满足什么条件？
8-6 描述某连续系统的系统函数为
12
492)(22+++=s s s
s s H
画出其直接形式的信号流图，写出相应的状态方程和输出方程。
8-7 某离散系统的信号流图如图8-13所示。
写出以x 1（k ）、x 2（k ）为状态变量的状态方程和输出方程。
8-8 如图8-14所示离散系统，状态变量x 1、x 2、x 3如图8-14所示。
列出系统的状态方程和输出方程。
习题八答案8-1
8-2
8-3
8-4
解： 将系统函数)(s H 改写成
2
11
124192)(---+++=s
s s s H 由此可画出直接形式的信号流图，如图8-10所示。
选取图8-10中积分器的输出作为状态变量。
由图8-10可写出如下方程 21x x =•
① f x x x +--=•
212412 ②
f x x x x y 224922122++-=+=•
③
将式①和式②写成矩阵形式，得状态方程
将式③写成矩阵形式，得输出方程
8-7。