《函数模型的应用》指数函数与对数函数
指数型、对数型函数模型的应用举例 课件
(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为 226×2%.再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226×2%× 2x，由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg2+lg2-2+ xlg2≤8，解得x≤6，即再经过6天必须注射药物，即第二次最 迟应在第33天注射该种药物.
【归纳】解决连续增长问题应建立的数学模型及解应用题的基 础和关键. 提示：(1)对于连续增长的问题一般情况下可建立指数型函数 模型y=a(1+p)x. (2)解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正 确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义.
Hale Waihona Puke 1 2log3θ 100
,单位是m/s,θ是表示
鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是______；
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的单位数是
原来的_______倍.
2.衡量地震级数的“里氏”是指地震强度(即地震时震源释放 的能量)的常用对数值，显然里氏级别越高，地震的强度也就 越大.如日本1923年的地震是里氏8.9级，美国旧金山1906年的 地震是里氏8.3级，试计算一下，日本1923年的地震强度是美 国旧金山1906年的地震强度的多少倍？
a≈2.2，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型：y=2.2+1.8x，作出函数图象 如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较 好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系. (3)由y=2.2+1.8×25，求得y=47.2，即当积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.2公顷.
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解 题启示总结如下：(注：此处的①②见解析过程)
人教高中数学必修一A版《函数的应用》指数函数与对数函数说课复习(函数模型的应用)
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问题导学 预习教材 P148－P154，并思考以下问题： 1．一次、二次函数的表达形式分别是什么？ 2．指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
几类常见的函数模型
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(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1)，则 a(1－x)10＝12
a，即(1－x)10＝12，解得 x＝1－12110.
(2)设经过 m 年后森林剩余面积为原来的 22，则 a(1－x)m＝ 22a，
即121m0＝1212，则1m0＝12，解得 m＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了 5 年．
是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，
已知到今年为止，森林剩余面积为原来的
2 2.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
【解】
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(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 900 个单位时，它的游速是多少？ (2)某条鲑鱼想把游速提高 1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原 来的多少倍．
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【解】 (1)由 v＝12log31θ00可知， 当 θ＝900 时，
指数函数与对数函数在数学建模中的作用
指数函数与对数函数在数学建模中的作用在数学建模过程中，指数函数与对数函数是非常重要的工具。
它们在各种实际问题的求解中发挥着重要的作用，无论是描述增长模型还是解决复杂的方程，都可以通过这两种函数来进行建模和求解。
本文将从指数函数和对数函数的定义、性质以及在数学建模中的具体应用等方面进行探讨。
一、指数函数的定义与性质1.1 指数函数的定义指数函数是自然对数函数的反函数，一般表示为y=a^x，其中a为底数，x为指数，y为对应的函数值。
指数函数的底数a通常为正实数且不等于1。
1.2 指数函数的性质指数函数具有以下性质：a) 当底数a＞1时，指数函数是严格递增函数，即随着自变量x的增大，函数值y也逐渐增大；b) 当0＜a＜1时，指数函数是严格递减函数，即随着自变量x的增大，函数值y逐渐减小；c) 当指数x取0时，指数函数始终等于1，即a^0 = 1；d) 当指数x取负无穷大时，指数函数的值趋近于0。
二、对数函数的定义与性质2.1 对数函数的定义对数函数是指数函数的反函数，一般表示为y=logax，其中a为底数，x为真数，y为对应的函数值。
对数函数的底数a通常为正实数且不等于1。
2.2 对数函数的性质对数函数具有以下性质：a) 当底数a＞1时，对数函数是严格递增函数；b) 当0＜a＜1时，对数函数是严格递减函数；c) 当真数x取1时，对数函数始终等于0，即loga1 = 0；d) 当真数x取正无穷大时，对数函数的值趋近于正无穷大。
三、指数函数与对数函数在数学建模中的应用3.1 指数函数在增长模型中的应用指数函数常常用来描述具有指数型增长特征的模型。
例如，在人口增长模型中，可以用指数函数来描述人口数量随时间的变化。
另外，指数函数还可以用于描述生物学中的物种增长模型，经济学中的经济增长模型等。
3.2 对数函数在解决方程中的应用对数函数在解决各种类型的方程时起着重要的作用。
通过对数函数的性质，可以将复杂的指数方程转化为简单的对数方程，从而更容易求解。
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数指数函数和对数函数是数学中常见的函数类型，它们在各个领域都有重要的应用。
本文将介绍指数函数和对数函数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、指数函数指数函数是以某个正数为底数的幂函数，其自变量是指数。
一般形式表示为：y = a^x，其中a是底数，x是指数，y是函数值。
1. 定义与性质指数函数的底数一般为正数且不等于1，指数可以是任意实数。
当底数大于1时，指数函数呈现递增趋势；当底数在0和1之间时，指数函数呈现递减趋势。
指数函数的特点包括：- 当指数为0时，指数函数的函数值恒为1，即a^0 = 1。
- 当指数为正数时，函数值递增；当指数为负数时，函数值递减。
- 当指数趋于正无穷大时，函数值趋于正无穷大；当指数趋于负无穷大时，函数值趋于0。
2. 应用示例指数函数的应用非常广泛，其中一些常见的应用领域包括：- 经济学中的复利计算：复利计算可以用指数函数模型来描述。
- 生物学中的种群增长：种群增长也可以用指数函数模型来描述。
- 物理学中的放射性衰变：放射性元素的衰变过程也符合指数函数的规律。
二、对数函数对数函数是指数函数的逆运算，用来求解以某个正数为底数的对数。
一般形式表示为：y = logₐx，其中a是底数，x是真数，y是对数值。
1. 定义与性质对数函数的底数一般为正数且不等于1，真数和对数值可以是任意正数。
对数函数的一些性质包括：- a^logₐx = x，即对数函数和指数函数互为逆运算。
- logₐa = 1，即对数函数以底数为底的底数对数等于1。
- logₐ1 = 0，即以任何正数为底的1的对数都等于0。
2. 应用示例对数函数在实际问题中也有广泛的应用，以下是一些例子：- 测量震级：地震的震级可以通过对数函数来计算。
- 计算pH值：化学中，pH值可以通过对数函数来计算。
- 评估信息量：信息论中，信息量可以用对数函数来度量。
结论指数函数和对数函数是数学中重要的函数类型，它们在各个领域都有广泛的应用。
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数函数模型的应用课件新人教A版必修第一册ppt
并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结
果保留两位有效数字).
解:以投入额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中作出散
点图,如图所示(图①为 A 商品,图②为 B 商品).
①
②
由散点图可以看出,A 种商品所获纯利润 y 与投入额 x 之间的变化规
较为接近,
所以用 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数较好.
方法规律
选择函数模型的标准
函数模型的优劣,一般可用其他数据进行验证,若差
距较小,则说明选择正确,主要考查数学抽象、数学建模
的核心素养.
【跟踪训练】
4.某农产品从 5 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得
到该农产品种植成本 Q(单位:元/百千克)与上市时间 t(单
据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y -0.99 0.01 0.98
则对 x,y 最适合的拟合函数是 (
A.y=2x
B.y=x2-1
C.y=2x-2
D.y=log2x
2.00
)
解析:将x=0.50,y=-0.99代入计算可以排除选项A.
将x=2.01,y=0.98代入计算可以排除选项B,C,故选D.
所以
x
g(x)= ×( ) -3.
利用 f(x),g(x)对 2019 年的 CO2 浓度比 2015 年增加的
单位数作估算,
则其数值分别为 f(4)=10,g(4)=10.5.
因为|f(4)-12|>|g(4)-12|,
故 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数与 2019 年的实际数据
函数模型及其应用_PPT课件
设在公路通车的后 5 年中，每年用 x 万元投资于本地的销售，
而用剩下的(60－x)万元投资于外地的销售，则其总利润为
W2＝
[－
1 160
(x－
40)2＋
100]×5＋
(－
159 160
x2＋
119 2
x)×5＝
－
5(x
－30)2＋4950.
当 x＝30 时，(W2)max＝4950(万元)．从而 10 年的总利润为27875
例 1 西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，
当地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得 利润 P＝－1160(x－40)2＋100 万元．当地政府拟在新的十年发展
规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该 项目每年都投入 60 万元的销售投资，在未来 10 年的前 5 年中， 每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路，5 年修成， 通车前该特产只能在当地销售；
【解】 设温室的左侧边长为 xm，则后侧边长为80x0m.
∴蔬菜种植面积
y
＝
(x
－
4)(
800 x
－
2)
＝
808
－
2(x
＋
16x00)(4<x<400)，
∵x＋16x00≥2 x·16x00＝80，∴y≤808－2×80＝648(m2)．
当且仅当 x＝16x00，即 x＝40，此时80x0＝20(m)，y 最大＝648m2.
∴当矩形温室的左侧边长为 40m，后侧边长为 20m 时，蔬菜
的种植面积最大，为 648m2.
变式迁移 2 某工厂有一段旧墙长 14m，现准备利用这段旧 墙为一面建造平面图形为矩形，面积为 126m2 的厂房，工程条件 是：①建 1m 新墙的费用为 a 元；②修 1m 旧墙费用是a4元；③拆 去 1m 旧墙，用所得的材料建 1m 新墙的费用为a2元，经讨论有两 种方案：(1)利用旧墙的一段 xm(x<14)为矩形厂房一面的边长；
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容，也是应用数学中常见的数学模型。
指数函数与对数函数既有相似之处又有一些不同点，下面是对这两个函数的一些基本特点进行总结。
一、指数函数指数函数的定义形式为：y=a^x，其中a为底数，x为指数，a>0，且a≠1。
1. 基本性质：（1）当a>1时，指数函数是增函数；当0<a<1时，指数函数是减函数。
（2）当x>0时，指数函数是正值函数；当x<0时，指数函数是正值函数。
（3）当x=0时，指数函数的值为1。
（4）当x为无穷大时，指数函数可能趋于无穷大或者趋于0。
2. 反函数：指数函数的反函数称为对数函数，记作y=logₐx，其中a为底数，x为真数，a>0，且a≠1。
3. 基本性质：（1）对数函数y=logₐx是定义在（0，+∞）上的减函数。
（2）当x=1时，对数函数的值为0。
（3）当x>1时，对数函数是正值函数；当0<x<1时，对数函数是负值函数。
（4）当x趋近于0时，对数函数趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，对数函数趋近于无穷大。
4. 常用公式：（1）换底公式：logₐb=logₐc·log_cb，可用于将对数函数的底数换成我们熟悉的底数，如换底公式常用来求解以10为底和以e为底的对数函数。
（2）指数函数的复合函数性质：如果f(x)是指数函数y=a^x，g(x)是一个函数，那么(f°g)(x)=a^(g(x))。
二、对数函数对数函数是指数函数的反函数，对数函数的定义形式为：y=logₐx，其中a为底数，x为真数，a>0，且a≠1。
1. 基本性质：（1）对数函数y=logₐx是定义在（0，+∞）上的减函数。
（2）当x=1时，对数函数的值为0。
（3）当x>1时，对数函数是正值函数；当0<x<1时，对数函数是负值函数。
（4）当x趋近于0时，对数函数趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，对数函数趋近于无穷大。
指数函数与对数函数 函数模型的应用
3
自主预习 探新知
4
1．常用函数模型
常用 函数 模型
(1)一次函数 模型
(2)二次函数 模型
(3)指数函数 模型
y＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0) y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) y＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
5
常用 函数 模型
(4)对数函数 模型
18
[解] 设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，
所以y＝－ t2－t2＋ 14020t＋t＋480000002<5t≤<2t5≤，30. (t∈N*) ①当0<t<25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900， 所以当t＝10时，ymax＝900(元)． ②当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900， 所以当t＝25时，ymax＝1 125(元)． 结合①②得ymax＝1 125(元)． 因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售 金额达到最大．
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图：
8
1．如表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此判断它最可能
的函数模型是( )
x
4
5
6
7
8
9 10
y 15 17 A.一次函数模型
19 21 23 B．二次函数模型
25 27
C．指数函数模型
D．对数函数模型
A [自变量每增加 1 函数值增加 2，函数值的增量是均匀的，故为一
35
1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般 方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的 研究，从而间接求出所需要的结论．
高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.4函数的应用3.4.2函数模型及其应用第1课时函数模型
12/9/2021
第二十一页，共三十九页。
数据如下表
2.四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 的变化的
x 1 5 10 15
20
25
y1 2 y2 2
26 101 226 401 1.05×
32 1 024 32 768 106
626 3.36×
107
y3 2 10 20 30
40
50
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644
第十六页，共三十九页。
解：(1)C1 对应的函数为 g(x)＝0.3x－1， C2 对应的函数为 f(x)＝lg x. (2)当 0<x<x1 时，g(x)>f(x)；当 x1<x<x2 时，f(x)>g(x)；当 x>x2 时，g(x)>f(x)；当 x＝x1 或 x＝x2 时，f(x)＝g(x)．
1
x2，曲线 C3 对应的函数是 g(x)＝ln x＋1. 由题图知，当 0<x<1 时，f(x)>h(x)>g(x)； 当 1<x<e 时，f(x)>g(x)>h(x)； 当 e<x<a 时，g(x)>f(x)>h(x)； 当 a<x<b 时，g(x)>h(x)>f(x)； 当 b<x<c 时，h(x)>g(x)>f(x)； 当 c<x<d 时，h(x)>f(x)>g(x)； 当 x>d 时，f(x)>h(x)>g(x)．
12/9/2021
第十八页，共三十九页。
【解】 建立生产量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1， 8)，(2，18)，(3，30)． (1)构造二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 将点坐标代入，
指数函数与对数函数的计算与应用
指数函数与对数函数的计算与应用指数函数与对数函数是数学中常见的两类函数，它们在计算和应用中都具有重要的地位。
本文将介绍指数函数与对数函数的计算方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、指数函数的计算与性质指数函数是以常数e为底的幂函数，其一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数。
指数函数具有以下重要的性质：1. 常数e的定义：常数e是一个无理数，约等于2.71828。
它可以通过极限的方法定义，即lim(1+1/n)^n，其中n趋向于无穷大。
2. 自然指数函数：自然指数函数是底数为e的指数函数，表示为f(x) = e^x。
自然指数函数在微积分、概率统计等领域有广泛的应用。
3. 指数函数的性质：（1）指数函数在定义域内是递增函数，即当x1 < x2时，有a^x1 < a^x2。
（2）指数函数的图像与底数a的关系密切，当a>1时，函数图像上升较快；当0<a<1时，函数图像下降较快。
（3）指数函数的性质还包括指数函数与其它函数的运算性质，例如指数函数的乘法性质和指数函数的幂函数性质。
二、对数函数的计算与性质对数函数是指对数方程y=log_a(x)中的函数，其中a为底数，x为对数函数的自变量，y为因变量。
对数函数具有以下重要的性质：1. 对数的定义：对数是指数运算的逆运算。
对于正数x和底数a(a>0且a≠1)，log_a(x)表示满足a的多少次幂等于x的数，即a^y=x。
2. 自然对数函数：自然对数函数是底数为e的对数函数，表示为y = ln(x)。
自然对数函数在计算和概率统计等领域有广泛的应用。
3. 对数函数的性质：（1）对数函数的定义域是正实数集合，值域是实数集合。
（2）对数函数在定义域内是递增函数，即当x1 < x2时，有log_a(x1) < log_a(x2)。
（3）对数函数的图像与底数a的关系密切，当a>1时，函数图像上升较快；当0<a<1时，函数图像下降较快。
《5.5 指数函数与对数函数的应用》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21基础模
《指数函数与对数函数的应用》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 掌握指数函数与对数函数的性质及其应用；2. 能够运用指数函数与对数函数解决实际问题；3. 培养数学建模和逻辑推理的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：指数函数与对数函数的性质及其图像；2. 教学难点：将实际问题转化为指数函数或对数函数模型，并解决实际问题。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、几何画板等；2. 准备教学资料：相关例题、习题及实际应用案例；3. 设计教学流程：引入课题、讲解知识、组织讨论、总结反馈。
四、教学过程：本节课是中职数学课程《指数函数与对数函数的应用》教学的第一课时。
以下是具体的教学过程：1. 导入新课：首先，通过展示一些实际生活中的指数函数和对数函数图像和应用案例，引导学生思考这些函数在现实生活中的应用，并引出本节课的主题——指数函数与对数函数的应用。
2. 讲解指数函数的概念和性质：通过实例讲解指数函数的定义、图像和性质，让学生了解指数函数的特征和变化规律。
同时，结合实际生活中的应用案例，让学生更好地理解指数函数的应用价值。
3. 讲解对数函数的概念和性质：对数函数是本节课的另一个重点，通过实例讲解对数函数的定义、图像和性质，让学生了解对数函数的特征和变化规律。
同时，结合指数函数的应用，让学生更好地理解对数函数的重要性。
4. 实践操作：组织学生进行实践操作，通过绘制指数函数和对数函数的图像、分析图像特征和变化规律，让学生更加深入地理解这两个函数的概念和性质。
同时，结合实际生活中的应用案例，让学生学会如何运用指数函数和对数函数解决实际问题。
5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，讨论指数函数和对数函数在实际生活中的应用，以及如何运用这两个函数解决实际问题。
通过小组讨论，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
6. 课堂总结：对本节课的内容进行总结，强调指数函数和对数函数在现实生活中的应用价值，并鼓励学生将所学知识应用到实际生活中去。
322函数模型的应用举例第2课时指数型、对数型函数模型的应用举例
下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份
人数／ 万人
1950 55 196
1951 56 300
1952 57 482
1953 58 796
1954 60 266
1955 61 456
1956 62 828
1957 64 563
1958 65 994
1959 67 207
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期 的人口增长率（精确到0.000 1），用马尔萨斯人口增长 模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验 所得模型与实际人口数据是否相符.
⑴根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模 型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性 体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函 数模型的解析式．
⑵若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍 为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这一地区一名 身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重 是否正常？
解：1期后本利和为：y 1 a a r a (1 r)
2期后本利和 y2 a(1r)2
为：
……
x期后，本利和为：yx a(1r)x
将a=1 000元，r=2.25%，x=5代入上式：
y 5 1 0 0 0 ( 1 2 . 2 5 % ) 5 1 0 0 0 1 . 0 2 2 5 5
由计算器算得：y≈1 117.68（元）
2.函数应用的基本过程
（1）收集数据. （2）作出散点图. （3）通过观察图象判断问题所适用的函数模型. （4）用计算器或计算机的数据拟合功能得出具体的 函数解析式. （5）用得到的函数模型解决相应的问题.
勇气产生在斗争中，勇气是在每天对困难 的顽强抵抗中养成的。
《函数模型的应用》(第2课时)
函数模型的应用（第2课时）一、内容和内容解析（一）内容教科书例5和例6，用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程．（二）内容解析函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．本节课是函数模型的应用的第2课时，是在学生学习了函数的概念和性质，学习了幂函数、指数函数、对数函数后的综合应用．结合对投资回报和选择奖励模型两个问题的分析，通过比较指数函数、对数函数、线性函数等函数模型的增长速度的差异，进一步理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，并依此选择合适的函数类型构建数学模型、刻画现实问题的变化规律．本节课的学习，既是前面学习过的函数有关知识的综合应用，也可以让学生体会建立数学模型解决实际问题的一般过程，在此过程中，激发应用数学的意识，逐步形成分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象、数学建模等素养．根据上述分析，确定本节教学的教学重点：选择合适的函数类型构建数学模型，体会建立数学模型解决实际问题的一般过程．二、目标和目标解析1．目标能将具体的实际问题化归为函数问题，并能通过分析函数图象及表格数据了解相应的对数函数、线性函数、指数函数的变化差异，正确选择合适的函数模型解决实际问题，提升数学抽象、数学建模等素养．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）能明确教科书例5中的数量关系，指出每个方案的函数模型，为将实际问题抽象为数学问题并化归为函数模型做准备；（2）能从教科书中的例题条件出发，根据“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义，数形结合地辨别三种函数的增长差异，从而选择不同的函数模型；（3）在选择或建立函数模型解决实际问题的过程中，围绕“是什么数学问题”“选什么函数模型”“为什么要选某个函数模型”“怎么解答实际问题”，提升学生的数学抽象和数学建模素养．三、教学问题诊断分析首先，学生在本节课之前已经结合实例学习了几类函数的概念、图象和性质，并应用它们解决学科内的一些问题和一些简单的实际问题．但是面对较复杂的实际问题，如何将其转化为数学问题，特别是如何选择函数模型来刻画实际问题，大多数学生既缺乏这方面的经验，也缺乏数学抽象的能力，以及对不同函数模型增长差异的深刻认识．教学可以多从两个方面帮助学生克服困难，一是根据实际问题的条件建立等量关系，从而将实际问题抽象为数学问题；二是从数和形出发，定性和定量地分析实际问题的变化规律，从而选择合适的函数模型．其次，在利用函数模型解决问题的过程中，大多数学生还没有养成利用信息技术根据函数模型进行运算求解的良好习惯．在教学中，可以鼓励学生使用信息技术进行复杂的运算求解，作图画表，多元联系地表示数学对象并分析问题，从而逐步形成利用信息技术研究实际问题的意识．本节课的教学难点是如何选择合适的函数类型建立实际问题的数学模型．四、教学支持条件分析为了帮助学生克服选择实际问题的函数模型，并利用所得函数模型解决问题的困难，教学应充分利用信息技术的计算、作图、列表功能，处理实际数据，便捷地求解，让学生将主要精力投入到定性和定量地分析问题上，针对不同函数模型动态地研究其变化规律．五、教学过程设计（一）例题教学例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？问题1：请初步选择一种你认为合适的投资方案．追问：（1）你能根据例题提供的三种投资方案的描述，分析出其中的常量、变量及其相互关系，并建立三种投资方案所对应的函数模型吗？（2）三个方案的本质是三个不同的函数模型，如何选择一个标准来比较它们的差异，从而选择合适的函数模型？（3）根据例1中的表格提供的数据，你对三种投资方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？（4）你能借助计算工具作出函数图象，并根据图象描述一下三种方案的特点吗？师生活动：教师可提出进一步的问题，指导学生分析其中的数量关系，引导学生正确写出三种投资方案所对应的每天回报金额关于天数的函数关系式．再利用表格和图象比较分析三种函数模型的增长情况，作出需要分投资天数进行选择的初步判断．设计意图：例题教学除了关注例题本身承载的教学目的外，还要注意不同层次的学生在学习上的差异，本例设问意在分层次、有针对性地给出不同的台阶，做到“总体引导，分层指导”，结合学生的实际情况，利用追问逐步深入．追问（1）意在指导学生将实际问题转化为数学问题；追问（2）意在引导学生根据不同函数的增长差异选择合适的函数模型；追问（3）意在引导学生利用数表对三种模型的增长情况进行分析，借助增加量初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，尤其是引导学生通过观察增加量体会指数函数的增长速度；追问（4）意在借助计算结果与图象直观理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的实际含义，并通过描述三种方案的特点，为下一个问题埋下伏笔．问题2：仅仅分析每天的回报数就能准确作出选择吗？请结合教科书152页边空的问题进一步思考：关于三种投资方案的选择，你应当如何判断？追问：教科书152页边空的问题中，是根据投资天数作出不同方案的选择，划分天数的标准是什么？这种划分正确吗？师生活动：教师可根据学生的思考，指出计算每月回报的增加量（或增长率）是对数据的基本处理方法，本例提供的表格和图象都可以直观看出三种函数模型的增长差异，但要具体到投资的天数，回报的增加量还不足以作为选择投资方案的依据，然后利用下述追问引导学生选择累计的回报数进行判断，作出正确的回答．最后，在问题2的基础上，给出本题的完整解答．设计意图：教师进一步引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要作出正确选择，除了考虑每天的收益外，还要考虑一段时间内累计的回报．最后借助计算工具，得出总收益并作出正确判断．例2某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．三个奖励模型：y=0.25x，，其中哪个模型能符合公司的要求？问题3：根据题目条件，你认为应该选择哪个奖励模型才符合公司的要求？追问：（1）公司提出的要求与函数的什么性质有关？这对选择函数模型有什么帮助？（2）函数图象能直观反映函数的性质特征，从而可以直观判断函数模型是否符合公司的要求．为此，你能否作出函数图象，并通过观察作出初步的判断吗？师生活动：教师可以在学生思考问题1的基础上，提出追问中的问题，进一步指导学生结合题目条件，分析例题中隐藏的数量关系，引导学生根据函数的图象与性质确定符合公司要求的函数模型．设计意图：这里依然关注教学的生成，继续在总体指导下有针对性地给出不同台阶的分层问题．追问（1）意在引导学生关注实际问题的变化规律，并建立与函数性质的联系，为选择合适模型做好准备；追问（2）意在引导学生作出函数图象，并结合函数性质作出初步判断，从而实现将实际问题向函数模型转化．问题4：你能说明选择模型的理由，并给出本题的解答吗？追问：（1）你是如何判定所选择的奖励模型是否符合要求？（2）能否给出本题的解答过程？师生活动：教师在学生尝试给出解答的基础上，通过追问中的问题作进一步的指导，帮助学生从画函数图象入手，通过观察函数的图象，得出初步的判断，再通过具体计算求解得出正确结果．设计意图：教师进一步引导学生分析实际问题，并根据函数性质选择合适的函数模型，给出正确解答．追问（1）意在引导学生指出判断依据；追问（2）意在指导学生确认解题基本思路，从而学习运用函数观点分析问题．（二）课堂练习问题：完成教科书第154页练习1，2．师生活动：教师结合两道例题的教学情况让学生进行练习，并根据学生的解答情况，给出应有的指导，或提供正确的解答．设计意图：促进学生进一步应用函数解决实际问题，并从中评价学生达成教学目标的情况．（三）小结问题5：通过解答以上两道例题的实际问题，并结合教科书中的例3和例4，你能归纳出用建立函数模型解决实际问题的基本过程吗？设计意图：总结用建立函数模型解决实际问题的基本过程，提升解决实际问题的能力．（四）布置作业必做题：教科书习题4.5第11，12题；选做题：教科书习题4.5第14题．六、目标检测设计1．为了能在规定时间内完成预期的运输量，某运输公司提出了五种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图所示．运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的图象编号是______________．设计意图：考查在具体背景下，根据不同函数模型的增长特点选择合适的函数图象刻画实际问题．2．某工厂今年前三个月生产某种产品的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件．现有三种函数模型用于描述产量y（单位：万件）关于月份x的关系：y=ax+b，y=ax2+bx+c，．若4月份的产量为1.37万件，请问哪个体质量为m kg，当燃料质量为m kg 时，该火箭的最大速度为2ln2 km/s，当燃料质量为m(e－1) kg时，该火箭的最大速度为2 km/s．（1）写出该火箭最大速度y与燃料质量x的函数关系式；（2）当燃料质量为多少时，火箭的最大速度可达12km/s？设计意图：考查建立函数模型，并利用所得函数模型解决实际问题．。
5.3函数模型的应用 一等奖创新教学设计
5.3函数模型的应用一等奖创新教学设计4.5.3 函数模型的应用一、教学内容分析本节课的教学内容选自《人教版2019 年高中数学教科书必修第一册(A 版)》第四章指数函数第五节第三课时.函数是描述客观世界中变量关系和规律的最基本的数学语言和工具，函数模型在生活中有广泛的应用．《函数模型的应用》是在学生学习了函数、指数函数、对数函数和幂函数的概念与性质后进行的一次综合应用，学生已经掌握了多种函数模型，具备了一定的建模基础．本节课选择了“城市机动车保有量情况”为研究背景，这是各地的热点问题，具有实际意义，不仅能调动学生的积极性，也能体现数学的应用价值．二、学情分析1 ．学生前在状态分析学生当前已经掌握了函数的概念以及简单的性质，如单调性、奇偶性等，在函数类型上，初中就学习了一次函数、二次函数以及反比例函数，到了高中又学习了指数函数、对数函数以及幂函数等初等函数模型，因此学生具备一些函数方面的基本前在知识，此外从小学开始接触的应用题也是数学模型的简单应用基础，这些知识为学生学习本课时提供了经验上的可能.2 ．学生潜在状态分析学习本课时的学生是刚进入高中阶段的学生，在生理、心理方面逐渐趋于成人，此外学生的智力也日趋成熟，抽象逻辑思维由“经验型”向“理论型”转化. 函数部分作为整个中学数学的重难点，在初中学习的二次函数，可能对一部分学生的学习造成了不少困难，而到了高中函数集合概念的抽象性可能再次让学生困惑，甚至产生一定的恐惧心理.本课时的学习是对以前函数学习的一个巩固和应用，用函数知识解决问题，通过实际应用加深学生对函数理解的同时，也为后面进一步学习函数相关知识打下坚实基础.此外，本课时也涉及数学建模的初步思想，可以利用学生对于数学实践的兴趣来进行教学，使学生达到教学目标.三、目标及目标解析1 ．目标(1)了解函数模型在实际生活中的应用；通过生活实例问题解决的学习，初步理解数学建模的基本过程.(2)经历实际问题解决的完整过程，归纳利用函数模型解决实际问题的一般思维过程；能建立适当函数模型解决简单的生活问题.(3)通过实际问题的函数解决，体会数学的实际应用功能；经历实际问题的函数模型解决过程，增强解决问题的自信心，学会用数学的眼光观察生活.2 ．目标解析达成上述目标的标志是：(1)能够想到用函数的思想解决问题，对于不同的实际情况，会选择不同的函数模型针对性的加以解决.(2)在总结部分可以自己总结得到数学建模的一般步骤：实际问题→提出问题→建立模型→求解模型→检验结果→实际结果；通过合作探究的方式完成问题2，并能够评价问题与反思求解过程.(3)通过对所在城市与首都北京的实际问题—“机动车保有量”的解决，感受到函数并不只是存在于课本的这一章，而是真切的可以应用于生活中；在解决问题过后对问题的反思中，能够通过言语以及语气感受到对实际问题得到成功解决这一行为的自豪感.四、教学重点与难点1 ．教学重点：学会通过建立函数模型解决实际问题.2 ．教学难点：能针对不同问题灵活的选取模型，会对数据进行适当的处理.五、方法与策略1.教学方法(1)问答法(2)讨论法(3)探究法2.教学策略为了突出重点，本课时采用了问题导向式教学.(1)课程标准对本课时的要求为“体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义. ”而教师仅仅通过对教材例题的讲解很难达成目标，采用问题导向式教学可以让学生始终保持对问题的探究，从而在解决实际问题中学会数学建模的基本过程.(2) 教材上的例题虽多但都与学生的生活有一定距离，而通过问题导向式教学可以使得教学富有生活化气息，学生能被激发兴趣，主动探究数学问题.(3)问题导向式教学还能够正确建立学生合作氛围，激励学生相互探究，参研逻辑，整理思路，取得合作能力、沟通能力、表达能力的同步提升.为了突破难点，本课时采用了合作探究的学习方式．(1)首先，通过合作互助，学生能及时发现解题过程中的困难并予以克服，突破学习的难点．(2)其次，在合作探究的过程中，学生能及时交流解题思路并在Geogebra 软件的支持下进行充分探索，有利于发展学生的创新思维．六、教学过程(一) 前测评估，了解学情在本节课之前，对班级学生进行前测，以评估他们的学习情况．前测如下：近几年，芜湖市机动车保有量急剧增长，为了研究芜湖市机动车保有量的发展情况，小明调查了三年的机动车保有量数据：年份(x) 第1 年第2 年第3 年机动车保有量(y) (单位：万辆) 39 45 54若机动车保有量y 是年份x 的二次函数，请解答下面的问题：(1)到第4 年，芜湖市机动车保有量将达到多少万辆？(2)芜湖市机动车保有量将在哪一年超100 万辆？题后反思：你如何评价这个应用问题？【设计意图】前测的条件清楚准确，原始问题数学化的过程比较简单，学生只需要利用待定系数法确定函数模型即可解决相关问题．但在题后反思中，大部分同学可能无法作出清晰的评价或仅能作出如“挺实用的”等简单评价．由此可以看出，学生的基本知识和基本技能掌握得较好，但是应用数学的意识不强，也缺乏对问题进行评价与反思的经验．(二) 设计教学，开展实践基于对学生学情的把握，本节课的教学分四个环节进行．1.复习交流，引出问题在引入阶段，师生共同回顾前测并交流题后反思．学生认识到常见的应用问题往往条件有限、数据量少、函数模型唯一确定，与现实生活有一定的差距，引出后续的探究活动．2.分析问题，探求方法在学生交流的基础上，展示本节课的问题情境，并引导学生自主探究问题1．阅读材料———北京机动车保有量作为一个人口约为2000 万的特大城市，北京市的交通拥堵问题一直比较严重．为了缓解拥堵，2010 年12 月，北京市公布了《关于进一步推进首都交通科学发展加大力度缓解交通拥堵工作的意见》，其中一条重要的措施就是实施小客车(含私人小客车和非私人小客车)限购政策．2011 年，小客车限购政策正式实施，从2011 到2015 年，小客车限购指标分别为24 万、24 万、24 万、12 万、12 万．在未来几年中，小客车限购指标将减少至每年10 万．通过调控，北京市机动车(包含摩托车，小客车，货车等)增长趋势得到了一定的控制(见下图)，截至2015 年年底，北京市机动车保有量为562 万．市交通委此前发布规划：力争到2025 年将全市机动车保有量控制在730 万辆以内．根据材料中的信息，请你尝试解决下面的问题．问题1 请你估计若不实行限购，2015 年底北京市机动车保有量约为多少？【设计意图】阅读材料比前测更贴近实际，包含的数据和信息量较大，材料中的可用信息有待学生自己挖掘，学生需要对信息进行分析、筛选并利用不同的函数模型进行数据拟合和结果预测.预设：为了落实教学重点，采用自主探究、展示交流、讨论小结三个学习活动，引导学生逐步掌握建立函数模型解决实际问题的步骤.(1)自主探究在这个环节中，学生借助Geogebra 软件进行自主探究．多数学生能正确的(函数模型2：y =aX3+bX2+ CX + d预测结果：1207) (函数模型4 ：y=a.Xb预测结果：470 万)选择数据(2002—2010 年机动车保有量) 并利用不同的函数模型进行拟合，得到相应的预测结果如下：(函数模型1：y=aX+b预测结果：607 万)(函数模型3 ：y =a .b预测结果：789 万)(2)展示交流在自主探究的基础上，请一名同学从数据提取、函数拟合、结果预测等方面展示他的研究过程，并鼓励其他同学进行补充．【设计意图】一方面，这是对问题进行再分析的过程．学生在阐述方案的同时，有意识的分析方案的合理性，探究能力得到提高；另一方面，通过交流，学生直观的感受到现实问题结论的多样性．(3)讨论小结①为什么会有不同的预测结果？②是不是所有的预测结果都是合理的？预设：利用模型y ＝a ·Xb 预测的结果(470 万) 比实行限购后的实际数据(562 万)小，不合常理，利用三次函数进行拟合的预测数据过大(1207 万)，不符合实际.【设计意图】问题①让学生认识到每种函数模型都只是近似的反映机动车保有量与年份之间函数关系，从而提供了对结果的不同预测．在对结果合理性的讨论中，学生结合实际对结果进行了评价，学生对问题的认识得到提升，反思的意识得到加强．3.应用方法，解决问题在问题1 的基础上，向学生展示问题2．问题2 请你预测一下按照现行的小客车限购政策，2025 年北京市机动车保有量控制在730 万以内的目标能否达到？题后反思：请你评价一下这个应用问题．预设：要解决问题2，学生需要理解机动车、小客车、私人小客车之间的关系，并对数据进行适当的处理，这为本节课的难点．为了突破难点，本阶段学生采用了合作探究的学习方式．在充分的探究后，学生从数据选取和函数模型两方面交流了他们的方案．方案一：对2002-2014 年机动车保有量数据进行函数拟合；方案二：对2011-2014 年机动车保有量数据进行函数拟合；方案三：将2015 年机动车保有量加上每年的小客车限购指标；方案四：对每年小客车保有量增量与限购指标的比值进行函数拟合；……对学生的探究成果教师予以肯定，并引导他们对方案进行评价和改进．在这个过程中，学生对问题的认识逐步深入，也提出了一个相对更合理的方案．改进方案：(1)根据相关数据，计算2002 年到2015 年非小客车(不限购部分) 保有量，选择适当的函数模型进行拟合，预测2025 年的非小客车数量；(2)计算出2015 年小客车(限购部分) 保有量并以此为基础，根据之后每年的小客车限购指标预测2025 年的小客车数量；(3)将(1)(2)的结果相加，得到最后的预测结果(约720 万)，并得出结论——基本能完成630 万的控制目标．【设计意图】通过对问题2 的探究，学生获得了将数学知识运用于实际问题的成功体验，本节课的难点得以突破．之后，通过“请你评价一下这个应用问题”这一设问，学生再次经历了题后反思的过程．与前测相比，学生已经能有意识的从问题背景、解题方法、探究结果等方面来评价这个问题，反思的层次得到提升.4.总结收获，提升认识师生共同总结建立数学模型解决实际问题的基本步骤：在此基础上，教师指出，由于所学知识的限制，在问题解决的过程中，并未考虑更多的影响因素.并留下拓展作业——上网搜集与芜湖市交通有关的数据，提出相应的问题，并尝试利用所学的知识解决问题．七、板书设计§4.5.3 函数模型的应用①为什么会有不同的预测结果？②是不是所有的预测结果都是合理的？多媒体投影区y = aX + b 607 万y = aX 3 + bX 2 + CX + d 1207 万y = a . b 789 万y = a . X b 470 万八、设计理念说明1.在数学建模活动中，学生是认知活动的主体，教师是帮助者、促进者、引导者．在建模的教学中，方案的探索、实施、调整和反思应尽量由学生自主或合作探究完成，同时在评价学习效果时，无需过多的强调结果的正确性，应主要考查学生使用的数学方法是否得当，求解过程是否合乎常理，建模的结果是否有一定的实际意义．2.数学建模本质上是一个问题解决的过程，因此问题的设置是教学中关键的一环．数学建模的问题应来自于学生熟悉的日常生活、现实世界等多方面．同时，解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系．由于课堂教学面对的是全体学生，因此问题的设计应该有梯度，以使所有学生都能有所收获．本节课中，“前测——问题1——问题2——拓展作业”难度逐渐加大，不同发展水平的学生都可以在适当的层次上获得数学建模的经验．3. 《普通高中数学课程标准(2017 年版)》指出，“教师应整体设计、分步实施数学建模活动与数学探究活动，引导学生从类比、模仿到自主创新，从局部实施到整体构想，……”．考虑到高一学生数学建模的经验不足，在本节课中，“发现和提出问题”这个环节主要由教师课前完成，在呈现问题情境时，也剔除了一些复杂的现实因素．随着学生数学知识的扩充，数学能力的发展，我们还可以开展以数学应用和数学建模为主题的课外活动，让学生进一步经历数学建模的全过程．4. 由于数学建模的问题的来源更生活化，可用信息和数据量很大，因此，在问题解决的过程中，信息技术(如Geogebra 等)的使用是必要的．利用Geogebra ，学生能从多角度、多层次研究问题，为发展他们的创新思维提供了支持．史宁中教授指出：“抽象、推理、模型”是高中阶段的数学核心素养中最重要的三个要素”，数学建模的教学应当贯穿高中数学教育教学的全过程．作为学科教学的硕士，我们应当积极研究教学内容，在未来的课堂教学中为学生提供适于数学建模的素材和课题，让学生积累发现和提出问题，分析和解决问题的经验，促进学生核心素养的发展．。
高一数学：3.2.1《线性函数、对数函数和指数函数模型》课件
知识探究（二）：有条件函数模型的选择
问题: 某公司为了实现1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售人员的奖励方案: 在 销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖 励，且奖金y(单位: 万元)随销售利润x(单位: 万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万 元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖 励模型:
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思考4:分析上述三个函数的图象，你对指数 函数模型与线性函数模型的增长速度有何看 法？你对“指数爆炸”的含义有何理解？
y（元）
o
x（天）
思考5:到第30天，三个方案所得的回报分别 是多少元？
y = 0.25x, y = log7 x +1, y = 1.002x.
其中哪个模型能符合公司的要求?
思考1:根据问题要求，奖金数y应满足哪几个 不等式？
思考2:销售人员获得奖励，其销售利润x(单 位: 万元)的取值范围大致如何？
思考3:确定三个奖励模型中哪个能符合公司 的要求，其本质是解决一个什么数学问题？
y=ax2+bx+c或y=a·bx+c.已知4月份该产品的 产量为1.37万件，试选用一个适当的模拟函 数.