拉普拉斯变换表

c1 s − s1
+
c2 s − s2
+L+
ci s − si
+
L
+
s
cn − sn
=
n i =1
ci s − si
（F-1）
式中， s1 , s2 ,L, sn 是特征方程 A(s)＝0 的根。 ci 为待定常数，称为 F(s)在 si 处的留数，可
按下式计算：
ci
=
lim(s
s→si
−
si
)
F
(s)
z(z − cosωT ) z 2 − 2z cosωT + 1
ze−aT sin ωT z 2 − 2ze −aT cosωT + e −2aT
z 2 − ze −aT cos ωT z 2 − 2ze −aT cos ωT + e −2aT
420
15
1 s − (1/ T ) ln a
at /T
L[ L
f
(t)(dt)n ]
=
F (s) sn
+
n k =1
1 sn−k +1
共}n个 [L
f (t)(dt)n ]t=0
∫ ∫ 共}n个
L[ L
f
(t)(dt)n ]
=
F (s) sn
4 延迟定理（或称 t 域平移定理） L[ f (t − T )1(t − T )] = e−Ts F (s)
5 衰减定理（或称 s 域平移定理） L[ f (t)e−at ] = F (s + a)
7
1
s+a
8
1 (s + a)2
9
a s(s + a)
10
b−a (s + a)(s + b)
11
ω
s2 +ω2
12
s
s2 +ω2
13
ω (s + a)2 + ω 2
14
s +a (s + a)2 + ω 2
tn n! e −at te −at 1 − e −at e −at − e −bt
sin ωt cos ωt
sn
σ>-∞
3
σ>0
424
4
e-αtε(t)
5
sin(ω0t)ε(t)
6
7
e-αt sin(ω0t)ε(t)
8
e-αtcos(ω0t)ε(t)
9
10
11
σ>-α
σ>0
σ>0 σ >α σ >α σ>0
σ>-α
σ>0
425
序 号 拉氏变换 E(s)
时间函数 e(t)
1
1
2
1 1 − e−Ts
3
1
s
δ(t)
∞
δT (t) = ∑δ (t − nT ) n=0 1(t )
4
1
t
s2
Z 变换 E(z)
1
z z −1
z z −1
Tz (z − 1) 2
5
1
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t2
s3
2
T 2 z(z + 1) 2(z − 1)3
6
1 s n+1
(r − 2)!
+ L + c2t
+
c1
⎤ ⎥e
s1t
⎦
n
+
c e sit i
i=r +1
（F-6）
422
4.2.10 性质表及常用变换表
为了便于查阅和应用，最后，将单边拉普拉斯变换的性质和常用单边拉普拉 斯变换分别列于表 4.1 和 4.2 表中。
表 4.1 单边拉普拉斯变换的性质
性质 序号 名称
6 终值定理 7 初值定理
lim f (t) = lim sF (s)
t→∞
s→0
lim f (t) = lim sF (s)
t→0
s→∞
419
8 卷积定理
∫ ∫ L[
t 0
f1(t
−τ )
f2(τ )dτ ]
=
L[
t 0
f1 (t )
f2 (t
−τ )dτ ] =
F1(s)F2 (s)
2．表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表
② A(s) = 0 有重根
设 A(s) = 0 有 r 重根 s1 ，F(s)可写为
F(s) =
B(s)
(s − s1 )r (s − sr+1 )L(s − sn )
421
= cr (s − s1 )r
+
(s
cr −1 − s1 )r−1
+L+
c1 + (s − s1 )
cr +1 s − sr+1
+L+
ci s − si
+L+
cn s − sn
式中， s1 为 F(s)的 r 重根， sr+1 ，…, sn 为 F(s)的 n-r 个单根； 其中， cr+1 ，…, cn 仍按式(F-2)或(F-3)计算， cr ， cr−1 ，…, c1 则按下式计算：
cr
=
lim(s
s → s1
−
s1
)
f (t) = [ L−1 F (s) ]
=
L−1
⎡ ⎢ ⎣
(s
cr − s1
)
r
+
(s
c r −1 − s1 ) r−1
+L+
c1 + (s − s1 )
c r +1 s − sr+1
+L+
ci s − si
+L+
s
cn − sn
⎤ ⎥ ⎦
∑ =
⎡ ⎢⎣
(r
cr −
1)!
t
r
−1
+
c t r−1
r−2
附录 A 拉普拉斯变换及反变换
1.表 A-1 拉氏变换的基本性质 1 齐次性 线性定理 叠加性
2 微分定理 一般形式
L[af (t)] = aF (s) L[ f1 (t) ± f 2 (t)] = F1 (s) ± F2 (s)
L[ df (t)] = sF (s) − f (0) dt
d2 L[
e−at sin ωt e−at cosωt
(−1)n ∂ n
z
lim
a→0
n!
∂a n
( z
−
e −aT
)
z z − e −aT
Tze −aT (z − e−aT )2
(1 − e −aT )z (z −1)(z − e −aT )
z z − e −aT
−
z
z − e −bT
z sin ωT z 2 − 2z cosωT + 1
f (t)] =
s 2 F(s) −
sf (0)ٛ−
f
′（ 0）
dt 2
M
∑ L[ d n f (t) ] = s n F (s) − n s n−k f (k −1) (0)
dt n
k =1
f
(k −1) (t)
=
d
k −1 f (t) dt k −1
初始条件为 0 时
L[ d
n
f
(t) ]
=
s
n
r
F
(s)
c r −1
=
lim
d [(s ds
−
s1 ) r
F (s)]
s→s1
M
cr− j
=
1
d ( j)
lim
j! s→s1 ds ( j)
(s − s1 )r F (s)
M
c1
=
(r
1 lim
− 1)! s→s1
d (r−1) ds (r−1)
(s
−
s1 ) r
F (s)
(F-5)
原函数 f (t) 为
或
（F-2）
ci
=
B( s) A′(s)
s = si
（F-3）
式中， A′(s) 为 A(s) 对 s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
[ ] ∑ ∑ f (t) = L−1
F (s)
=
L−1
⎡ ⎢
n
⎣ i=1
s
ci − si
⎤ ⎥ ⎦
＝
n i =1
ci e −sit
(F-4)
（n > m）
式中系数 a0 , a1,..., an−1, an ， b0 , b1,Lbm−1, bm 都是实常数； m, n 是正整数。按代数定理可 将 F (s) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
① A(s) = 0 无重根
这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
∑ F (s) =
z z−a
3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行
反变换。设 F (s) 是 s 的有理真分式
F (s)
=
B(s) A(s)
=
bm s m an s n
+ bm−1s m−1 + L + b1s + b0 + an−1s n−1 + L + a1s + a0
0 定义
信号
1 线性
尺度 2 变换
f(at), a>0
3 时移 复频
4移
f(t-t0)ε(t-t0), t0>0
5
时域 微分
f(1)(t)=
f(n)(t)=
时域 6 积分
拉普拉斯变换
t≥0 > max(σ1,σ2)
, σ> σ0 σ
F( ) , σ> aσ0 e-st0F(s), σ> σ0 F(s-sa), σ> σa+σ0
sF(s)-f(0-), σ> σ0
snF(s)-
,σ> σ0
， σ> max(σ1 ，0)
423
f(-1)(t)=
+
f(-n)(t)= 时域 7 卷积 f1(t)*f2(t) f1(t),f2(t)为因果信号
+ F1(s)F2(s), σ> max(σ1 ,σ2)
时域 8 相乘
f1(t)f2(t)
F (s)
dt n
一般形式 3 积分定理
初始条件为 0 时
∫ L[ f (t)dt] = F (s) + [ f (t)dt]t=0
∫s
s
∫ ∫∫ L[ f (t)(dt)2] = F (s) + [ f (t)dt]t=0 + [ f (t)(dt)2 ]t=0
∫∫ s2
s2
s
M
∫ ∫ ∑ ∫ ∫ 共}n个
s域 9 微分
(-t)nf(t)
s域 10 积分
初值 11 定理
终值 12 定理
f(0+)= f(∞)=
σ> σ1+σ2,σ1<c< σ-σ2
F（n）(s), σ> σ0 , σ> σ0
, s=0 在收敛域内
表 4.2 常用单边拉普拉斯变换
序
号
信号
1
δ(t)
2
δ(n)(t)
收敛 拉普拉斯变换 域
1
σ>-∞