拉普拉斯变换表

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拉普拉斯变换表

拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，它在物理、工程、数学、经济等领域均有广泛的应用。

本文将详细介绍拉普拉斯变换的定义、性质、公式表、逆变换及其应用方面的内容。

一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将一个函数f(t)在复数域上进行变换。

拉普拉斯变换L{f(t)}的定义如下：L{f(t)}=F(s)=∫_0^∞e^(-st)f(t)dt其中，s是复数域上的变量，f(t)是定义在[0,∞)上的函数。

式中的e^-st可以看作是一个因子，它起到了对f(t)作拉普拉斯变换的影响作用。

二、拉普拉斯变换的性质(1)线性性：L{af(t)+bg(t)}=aL{f(t)}+bL{g(t)}其中，a和b为任意常数。

(2)时移性：L{f(t-k)}=e^(-ks)F(s)其中，k为任意实数。

(3)尺度变换：L{f(at)}=1/aF(s/a)其中，a为任意实数，a≠0。

(4)复合性：若F(s)=L{f(t)}，G(s)=L{g(t)}，则L{f(g(t))}=F(G(s))。

(5)初值定理：lim_(t→0^+)f(t)=lim_(s→∞)sF(s)(6)终值定理：lim_(t→∞)f(t)=lim_(s→0^+)sF(s)三、拉普拉斯变换表以下是一些常用的函数的拉普拉斯变换表。

f(t) F(s)t^n n!/s^(n+1)e^at 1/(s-a)sin(at) a/(s^2+a^2)cos(at) s/(s^2+a^2)1 1/st 1/s^2(t^n)e^at n!/(s-a)^(n+1)u(t-a) e^(-as)/sexp(-at)u(t) 1/(s+a)1-exp(-at)u(t) 1/(s(s+a))1/(a+t) exp(-as)δ(t-a) e^(-as)t^n u(t) n!/s^(n+1)t^n exp(-at)u(t) n!/(s+a)^(n+1)(t^n sin(bt))u(t) nb^s/(s^2+b^2)^(n+1)(t^n cos(bt))u(t) s^n/(s^2+b^2)^(n+1)其中，δ(t)表示狄拉克函数，u(t)即单位阶跃函数。

Laplace变换表

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29
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(完整版)拉普拉斯变换表

拉普拉斯变换及反变换1. 表 A-1 拉氏变换的基本性质1齐次性线性定理叠加性2微分定一般形式理L[af ( t)] aF (s)L[ f1 (t ) f 2 ( t )] F1 ( s) F2 ( s) L[ df (t ) ] sF (s) f (0)dtL[d 2 f (t) 2f（）dt 2 ] s F (s) sf (0) 0n nd f (t ) n n k ( k 1 )L dt n s F (s) k 1 s f (0) f ( k 1) (t ) d k 1 f (t )dt k 1初始条件为 0 时一般形式3积分定理初始条件为 0 时4延迟定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理7初值定理8卷积定理L[d n f (t) ndt n ] s F (s)L[ f (t)dt]F (s) [ f (t)dt] t 0s sL[ f (t)(dt)2 ] F (s)[ f (t )dt]t 0[ f (t)( dt) 2 ] t 0s2 ss2共 n个n共 n个nF (s) 1 nL[ f (t )(dt) ] 1 [ f (t)( dt) ] t 0nk 1 sn ks共 n个F (s)L[ f (t )( dt) n ]s nL[ f (t T )] e Ts F ( s)L[ f ( t)e at ] F (s a)lim f (t ) lim sF (s)t s0lim f (t ) lim sF ( s)t 0 st 1 ( ) 2 ( ) ] [ t 1 ( ) 2 ( ) ] 1() 2()[ f d L f f t dL f t t F s F s0 012．表 A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表拉氏变换E(s)111 e Ts1s12s13s1s n 11s a1( s a) 2as( s a)b a( s a)(s b)s2 2ss2 2( s a) 2 2s a( s a)2 21s (1 / T ) ln a 时间函数 e(t)δ(t)T (t )(t nT )n01(t )tt 22ntn!e atte at1 e ate at e btsin tcos te at sin te at cos ta t / T23．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

拉普拉斯变换和Z变换常用表格

拉普拉斯变换和z 变换常用表格1.拉氏变换的基本性质附表1 拉氏变换的基本性质1()1()([n n k F s f t dt s s−+=+∑⎰个2．常用函数的拉氏变换和z变换表附表2 常用函数的拉氏变换和z变换表3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式，即1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==−−−− （m n >）式中，系数n n a a a a ,,...,,110−和011,,,,m m b b b b −都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

（1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即∑=−=−++−++−+−=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()ii i s s c s s F s →=− （F-2）或iss is A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==∑=−−n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝1in s ti i c e =∑ (F-4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F −−−=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c −++−++−+−++−+−++−− 11111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r −个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1−r c ，…，1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r −=→11lim[()()]ir r s s dc s s F s ds−→=−)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr −=→− (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s −−=−−→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f −=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−++−+−++−+−=++−−−n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=−−−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++−+−=1122111)!2()!1( （F-6）。

拉普拉斯变换表.

附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质4222．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表4224223．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=ni iin n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4)② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+422=nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为[])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。

Laplace拉氏变换公式表

419附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1拉氏变换的基本性质1线性定理齐次性)()]([s aF t af L =叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式=−=][ ′− −=−=−−−−=−∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([k k k k nk k n n nn dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ⋮）（初始条件为0时)(])([s F s dtt f d L n nn =3积分定理一般形式��∑∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫==+−===+=++=+=nk t n n k n n nn t t t dt t f s s s F dt t f L sdt t f s dt t f s s F dt t f L sdt t f s s F dt t f L 101022022]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共⋯⋯⋮初始条件为0时�nn n ss F dt t f L )(]))(([=∫∫个共⋯4延迟定理（或称t 域平移定理）)()](1)([s F e T t T t f L Ts −=−−5衰减定理（或称s 域平移定理）)(])([a s F e t f L at +=−6终值定理)(lim )(lim 0s sF t f s t →∞→=7初值定理)(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→=8卷积定理)()(])()([])()([21021021s F s F d t f t f L d f t f L tt =−=−∫∫τττττ4202．表A-2常用函数的拉氏变换和z 变换表序号拉氏变换E(s)时间函数e(t)Z 变换E(z)11δ(t)12Tse −−11∑∞=−=0)()(n T nT t t δδ1−z z 3s1)(1t 1−z z 421s t2)1(−z Tz 531s 22t 32)1(2)1(−+z z z T 611+n s !n t n )(!)1(lim 0aTn n n a e z z a n −→−∂∂−7as +1at e −aTe z z−−82)(1a s +atte−2)(aT aT e z Tze −−−9)(a s s a +ate−−1))(1()1(aT aT e z z z e −−−−−10))((b s a s a b ++−bt at e e −−−bT aT e z ze z z −−−−−1122ωω+s t ωsin 1cos 2sin 2+−T z z Tz ωω1222ω+s s tωcos 1cos 2)cos (2+−−T z z T z z ωω1322)(ωω++a s t e atωsin −aTaT aT e T ze z Tze 22cos 2sin −−−+−ωω1422)(ω+++a s a s teatωcos −aTaT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos −−−+−−ωω15aT s ln )/1(1−Tt a /az z −4213．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表

拉普拉斯变换及其反变换表3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式11n 1n nn11m 1m mmas a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- （m n >）式中系数n1n 1a ,a ,...,a ,a-，m1m 1b ,b ,b ,b - 都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=n1i iinnii2211ss cs s c s s c s s c s s c )s (F 式中，Sn 2S 1S ，，，是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c is s i-=→或is s i)s (A )s (B c='=式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]t s n 1i i n 1i i i 11i e c s s cL )s (F L )t (f -==--∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())s s ()s s ()s s ()s (B s F n1r r 1---=+=nnii1r 1r 111r 11r r 1rss cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)s (F )s s (lim c r1s s r-=→)]s (F )s s ([dsdlim c -=)s (F )s s (dsd lim !j 1c -=)s (F )s s (dsdlim )!1r (1c --=原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=s s cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c L e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-= （F-6）。

拉普拉斯变换表

拉普拉斯变换的基本性质
由于拉普拉斯变换是傅里叶变换在复频域(即s域)中的推广，因而也具有与傅里叶变换的性质相应的一些性质。

这些性质揭示了信号的时域特性与复频域特性之间的关系，利用这些性质可使求取拉普拉斯正、反变换来得简便。

关于拉普拉斯变换的基本性质在表5-1中列出。

对于这些性质，由于读者在工程数学课中已学习过了，所以不再进行证明，读者可复习有关的工程数学书籍。

表5-1 拉普拉斯变换的基本性质
利用式(5-5)和拉普拉斯变换的性质，可以求出和导出一些常用时间常数的拉
普拉斯变换式，如表5-2中所列。

利用此表可以方便地查出待求的像函数
或原函数
表5-2 拉普拉斯变换表
()()t U t f ()s F ()t f。

拉普拉斯变换及其逆变换表

拉普拉斯变换及其反变换表可编辑修改可编辑修改可编辑修改3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式11n 1n nn11m 1m mmas a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==----ΛΛ （m n >）式中系数n1n 1a ,a ,...,a ,a-，m1m 1b ,b ,b ,b -Λ都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=n1i iinnii2211ss cs s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中，Sn 2S 1S ，，，Λ是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c is s ii-=→或is s i)s (A )s (B c='=式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]t s n 1i i n 1i i i 11i e c s s cL )s (F L )t (f -==--∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为可编辑修改())s s ()s s ()s s ()s (B s F n1r r 1---=+Λ=nnii1r 1r 111r 11r r 1rss cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)s (F )s s (lim c r1s s r1-=→)]s (F )s s ([dsdlim c r1s s 1r 1-=→-M)s (F )s s (dsd lim !j 1c r1)j ()j (s s jr 1-=→-)s (F )s s (dsdlim )!1r (1c r1)1r ()1r (s s 11--=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---nnii1r 1r 111r 11r r1r1s s cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c L ΛΛΛ ts n1r i its 122r 1r 1r r1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=Λ （F-6）。

Laplace拉氏变换公式表

Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。

2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。

3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。

4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。

5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。

6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。

7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。

8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。

9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。

10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。

Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。

12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。

13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。

14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。

完整版拉普拉斯变换表

完整版拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是探究信号和系统之间关系的重要工具，它在工程和科学领域中得到广泛应用。

本文将为读者详细介绍完整的拉普拉斯变换表，并讨论其应用。

拉普拉斯变换表如下所示：1. 常数函数L{1} = 1/s2. 单位阶跃函数L{u(t)} = 1/s3. 单位冲激函数L{δ(t)} = 14. 指数函数L{e^at} = 1/(s-a)5. 正弦函数L{sin(ωt)} = ω/(s^2+ω^2)6. 余弦函数L{cos(ωt)} = s/(s^2+ω^2)7. 常数乘以函数L{c*f(t)} = c*F(s)8. 函数相加L{f(t)+g(t)} = F(s) + G(s)9. 函数乘以指数L{e^at*f(t)} = F(s-a)10. 函数的积分L{∫f(t)dt} = F(s)/s11. 函数的导数L{df(t)/dt} = sF(s)-f(0)12. 积分的拉普拉斯变换L{∫F(s)ds} = f(t)13. 周延函数L{f(t)} = F(s)|s=jω14. 高斯函数L{e^(-a^2t^2)} = √π/a*e^(-(s^2)/(4a^2))15. 狄利克雷函数L{D(t-a)} = e^(-as)16. 波尔图-特拉潘函数L{e^(-as)/s} = 1/(s+a)拉普拉斯变换表是通过将函数从时间域转换到复频域来描述信号的性质。

每个函数在拉普拉斯域中都具有一个对应的表达式，使得我们可以分析和处理各种复杂的信号和系统。

接下来，我们将讨论拉普拉斯变换的一些应用。

1. 系统分析拉普拉斯变换可用于对线性时不变（LTI）系统进行分析。

通过将输入信号和系统的响应转换到拉普拉斯域，我们可以通过观察系统函数的性质来预测系统的输出。

这对于控制系统和信号处理中的滤波器设计非常有用。

2. 解决微分方程拉普拉斯变换也可用于求解线性常微分方程（ODEs）。

通过将微分方程转换为代数方程，我们可以通过求解代数方程得到原始微分方程的解。

(完整版)拉普拉斯变换表

拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质12．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表233．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=ni iin n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ （F-1）式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或is s i s A s B c ='=)()(（F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts ni i i e c -=∑1(F-4)4② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r r s s s s s s s B s F ---=+Λ=n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r ss r -=→ )]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。

完整版拉普拉斯变换表

完整版拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它能将时间域上的函数转换为频率域上的函数，为信号处理、电路分析等领域的数学建模和分析提供了极大的便利。

下面是完整版的拉普拉斯变换表，列出了常用的函数及其对应的拉普拉斯变换公式。

1. 常数函数：f(t) = 1，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/s2. 单位阶跃函数：f(t) = u(t)，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/s3. 指数函数：f(t) = e^-at，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/(s + a)4. 正弦函数：f(t) = sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/(s^2 + ω^2)5. 余弦函数：f(t) = cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = s/(s^2 + ω^2)6. 指数衰减正弦函数：f(t) = e^-at sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/( (s+a)^2 + ω^2 )7. 指数衰减余弦函数：f(t) = e^-at cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = (s+a)/( (s+a)^2 + ω^2 )8. 阻尼正弦函数：f(t) = e^-αt sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/( (s+α)^2 + ω^2 )9. 阻尼余弦函数：f(t) = e^-αt cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = (s+α)/( (s+α)^2 + ω^2 )10. 给定函数f(t)的导数Laplace变换：f'(t) 的Laplace 变换 F(s) 为：F(s)= s*F(s) - f(0)11. 给定函数f(t)的不定积分Laplace变换：∫f(t)dt 的 Laplace 变换 F(s) 为：F(s)= 1/s*F(s)12. Laplace变换与乘法定理：L{f(t) g(t)} = F(s)G(s)13. Laplace变换与移位定理：L{f(t-a) u(t-a)} = e^-as F(s)14. Laplace变换与初值定理：f(0+) = lims→∞ sF(s)f'(0+) = lims→∞ s^2F(s) - sf(0+)f''(0+) = lims→∞ s^3F(s) - s^2f(0+) - sf'(0+)15. Laplace变换与终值定理：limt→∞ f(t) = lims→0 sF(s)limt→∞ f'(t) = lims→0 s^2F(s) - sf(0+)limt→∞ f''(t) = lims→0 s^3F(s) - s^2f(0+) -sf'(0+)这是完整版的拉普拉斯变换表，其中列出了常用的函数及其对应的拉普拉斯变换公式，以及常见的拉普拉斯变换定理和公式。

常用拉普拉斯变换公式表

常用拉普拉斯变换公式表拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它可以将一个函数从时域转换到频域，从而方便地进行分析和处理。

在工程、物理、数学等领域中，拉普拉斯变换都有着广泛的应用。

本文将介绍常用的拉普拉斯变换公式表。

1. 基本公式拉普拉斯变换的基本公式如下：$$F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$其中，$f(t)$是时域函数，$F(s)$是频域函数，$s$是复变量。

2. 常用公式(1) 常数函数$$\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}$$(2) 单位阶跃函数$$\mathcal{L}\{u(t)\}=\frac{1}{s}$$(3) 指数函数$$\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}$$(4) 正弦函数$$\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^2+a^2}$$(5) 余弦函数$$\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^2+a^2}$$(6) 阶跃函数$$\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\frac{e^{-as}}{s}$$(7) 带指数的函数$$\mathcal{L}\{te^{at}\}=\frac{1}{(s-a)^2}$$(8) 带阶跃的函数$$\mathcal{L}\{(t-a)u(t-a)\}=\frac{e^{-as}}{s^2}$$(9) 带正弦的函数$$\mathcal{L}\{t\sin(at)\}=\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$$(10) 带余弦的函数$$\mathcal{L}\{t\cos(at)\}=\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$$ 3. 总结本文介绍了常用的拉普拉斯变换公式表，包括基本公式和常用公式。

这些公式在工程、物理、数学等领域中都有着广泛的应用，可以方便地将时域函数转换到频域进行分析和处理。

拉式变化公式表

拉式变化公式表拉普拉斯变换（Laplace Transform）公式表：一、基本函数的拉普拉斯变换。

1. 单位阶跃函数。

- 函数定义：u(t)=0, t < 0 1, t≥0- 拉普拉斯变换：L[u(t)]=(1)/(s), Re(s)>02. 冲激函数（狄拉克δ函数）- 函数定义：δ(t)，满足∫_-∞^∞δ(t)dt = 1且δ(t)=0 for t≠0 - 拉普拉斯变换：L[δ(t)] = 13. 指数函数。

- 函数定义：f(t)=e^at，其中a为常数。

- 拉普拉斯变换：L[e^at]=(1)/(s - a), Re(s)>a4. 正弦函数。

- 函数定义：f(t)=sin(ω t)，其中ω为角频率。

- 拉普拉斯变换：L[sin(ω t)]=(ω)/(s^2)+ω^{2}, Re(s)>0 5. 余弦函数。

- 函数定义：f(t)=cos(ω t)- 拉普拉斯变换：L[cos(ω t)]=(s)/(s^2)+ω^{2}, Re(s)>0二、拉普拉斯变换的性质。

1. 线性性质。

- 若L[f_1(t)] = F_1(s)，L[f_2(t)]=F_2(s)，则对于任意常数a和b，L[af_1(t)+bf_2(t)]=aF_1(s)+bF_2(s)2. 时移性质。

- 若L[f(t)] = F(s)，则L[f(t - t_0)u(t - t_0)]=e^-st_0F(s)，其中t_0>03. 频移性质。

- 若L[f(t)] = F(s)，则L[e^atf(t)]=F(s - a)4. 尺度变换性质。

- 若L[f(t)] = F(s)，则L[f(at)]=(1)/(a)F((s)/(a))，a>05. 微分性质。

- 一阶导数：若L[f(t)] = F(s)，则L[f^′(t)]=sF(s)-f(0)- 二阶导数：L[f^′′(t)] = s^2F(s)-sf(0)-f^′(0)- 一般地，n阶导数：L[f^(n)(t)]=s^nF(s)-s^n - 1f(0)-s^n - 2f^′(0)-·s - f^(n - 1)(0)6. 积分性质。

(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表.doc

拉普拉斯变换及其反变换表1. 表 A-1 拉氏变换的基本性质1齐次性线性定理叠加性2微分定理一般形式初始条件为0 时L [ af ( t )] aF ( s )L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] F 1 ( s ) F 2 ( s )L [df ( t )sF ( s ) f ( 0 )dt ]d2f 2 ( t )L [dt] s 2 F ( s ) sf ( 0 ) f （0 ）L dnf n ( t ) s n F ( s )ns n k f ( k 1 ) ( 0 )kdt 1f ( k 1 ) ( t )d k1 f ( t )dt k 1L [d nf n ( t ) ] s n F ( s )dt一般形式3积分定理L[ f (t )dt] F (s)[f (t )dt]t 0s s2F (s) [ f (t)dt]t 0 [L[ f (t)( dt) ] s2 s2共n个n共 n个nF (s) 1L[ f (t)(dt) ] [s n k 1 s n k 1共n个2f (t )(dt) ]t 0f (t)(dt)n ]t 0初始条件为0 时4延迟定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理7初值定理8卷积定理L[ f ( t)( dt) n ] F ( s)s nL[ f (t T )1(t T )] e Ts F ( s)L[ f (t )e at ] F ( s a)lim f ( t) lim sF ( s)t s 0lim f (t ) lim sF (s)t 0 stf1(t ) f2 ( )d ]tL[ L[ f1(t) f2 (t )d ] F1 (s)F2 (s)0 02．表 A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表序号1 2 3 4 5 6 7 拉氏变换F(s)111 e Ts1s12s13s1s n 11s a时间函数f(t)δ(t)T (t)(t nT )n 01(t )tt 22t nn!e atZ 变换 F(z)1zz 1zz 1Tz(z 1)2T 2 z(z 1)2(z 1) 3lim( 1) n nzn ( aT)a 0 n! a z ezaTz eaT8 1( s a) 2 te at Tze( z e aT )2aT91011121314as(s a)b a(s a)(s b)s2 2ss2 2(s a)2 2s a(s a)2 211 e ate at e btsin tcos te at sin te at cos t(1 e ) z(z 1)( z e aT )z zz e aT z e bTz sin Tz2 2zcos T 1z( z cos T )z2 2 zcos T 1ze aT sin Tz2 2ze aT cos T e 2 aTz2 ze aT cos Tz2 2ze aT cos T e 2 aTz15 s (1 / T ) ln a a t / Tz a3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

拉普拉斯变换表及一些性质

4194204213．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数422[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4) ② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。