高中数学知识归纳典型试题

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数学必修4知识归纳

一、任意角(逆时针旋转→正角,顺时针旋转→负角) 1、与α终边相同的角的集合:{|2,}k k Z ββαπ=+∈ 2、弧度制

(1)

α=

l r

,l =r

α⋅

(2)180

=o

π rad

1=o ()180

π rad

1rad =180()π

o

57.3≈o (3)扇形面积S

=211

22

lr r α= 二、任意角的三角函数 1、定义 2、三角函数的值在各象限的符号 三、同角三角函数的基本关系式: 1、2

2sin

cos 1αα+=; sin tan cos α

αα

=

tan cot 1αα⋅= 2、特殊角的三角函数值:

四、诱导公式(口诀:纵变横不变,符号看象限)

五、三角恒等变换 思想方法:①切化弦、平方降幂的思想; ②化为同角、同名的思想; ③拆角的思想:如()()β

αβαααβ=+-=--,2()()ααβαβ=++-等

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、降幂公式:

()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±αβ

=−−−

→令sin 22sin cos ααα= ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=m αβ

=−−−

→令22cos 2cos sin ααα=- 2cos 22cos 1αα=- ⇒降幂公式:21+cos2cos 2

αα=

2cos 212sin αα=- 21cos2sin 2

α

α-=

()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=

m αβ

=−−−→令22tan tan 21tan ααα

=- 

2、辅助角公式(合一思想):关键是“提斜边”

sin cos )a x b x x ϕ+=+ (ϕ

是斜边)

3、正余弦“三兄妹”:

sin cos x x +、sin cos x x -、sin cos x x —— 知一求二

内在联系:2

(sin cos )12sin cos 1sin 2x x x x x ±=±=±

六、三角函数的图象与性质

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质的比较(见书) 1、会用“五点法”画出函数

sin()y A x B ωϕ=++的图象:步骤:设X x ωϕ=+,令X =30,

,,

,22

2

π

π

ππ→求相应的x 值及对应的y 值→描点作图 试一试:请用“五点法”画出函数2sin(2)

y x π

=-在一个周期内闭区间的图象

列表:

2、函数

sin()y A x B ωϕ=++的图象变换(伸缩变换与平移变换)

特别注意:

sin y x ω=→()sin y x ωϕ=+,应向左或向右平移|

ω

个单位长度 试一试:函数13sin()226

y x π

=+-的图象可以由sin y x =的图象经过怎样的变换得到?

3、函数

sin()y A x ωϕ=+表达式的确定:

几个物理量:A ——振幅 2T π

ω

=

——周期

1

f T

=

——频率

ϕ——初相 x ωϕ+ ——相位

步骤:

A 由最值确定 → ω由周期确定 → ϕ由图象上的特殊点确定,

七、解三角形:

1、内角和定理:A B C π++=,A B C π+=-,sin()sin A B C +=,cos()cos A B C +=-,sin

cos 22

A B C

+=

2、正弦定理:

2sin sin sin a b c

R A B C

===(R 为△ABC 外接圆的半径).

注意:① 正弦定理的一些变式:sin sin sin a b c A B C ::=::;sin 2a

A R

=

,sin 2b B R

=

,sin 2c C R

=

; 2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C = ② 解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解

3、余弦定理

4、面积公式:111sin ()222

a S ah a

b C r a b

c ===++(其中r 为三角形内切圆半径). 八、平面向量 1、平面向量的概念

(1)定义(2)零向量(3)单位向量(4)平行向量(共线向量) 2、平面向量的线性运算

(1)向量的加法与减法 ① 三角形法则 ② 平行四边形法则 (2)向量的模性质:

||||-

a b ≤||±a b ≤||||+a b (3)向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ,使得b a λ=

3、平面向量的数量积

(1)平面向量数量积的定义 (投影.) (注意:用几何法计算a 和b 的夹角时,必须先判断a 与b 是否共起点)

(2)夹角θ与数量积⋅a b 之间的关系 (3)数量积的三个运算律: ① 交换律⋅=⋅a b b a ;② 对实数的结合律:()()()λλλ⋅=⋅=⋅a b a b a b

③ 分配律()+⋅=⋅+⋅a

b c a c b c 由此可得:222()2±=±⋅+a b a a b b ,22()()+⋅-=-a b a b a b

注意:结合律是对实数的结合,对向量一般是不成立的,即()()⋅⋅≠⋅⋅a b c a b c

4、平面向量的坐标运算

(1)平面向量基本定理【定理2】:平面上四点、、、P A B C 满足

=+u u u r u u u r u u u r

PC xPA yPB ,1+=⇔、、x y A B C 三点共线

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