高中数学知识归纳典型试题
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数学必修4知识归纳
一、任意角(逆时针旋转→正角,顺时针旋转→负角) 1、与α终边相同的角的集合:{|2,}k k Z ββαπ=+∈ 2、弧度制
(1)
α=
l r
,l =r
α⋅
(2)180
=o
π rad
1=o ()180
π rad
1rad =180()π
o
57.3≈o (3)扇形面积S
=211
22
lr r α= 二、任意角的三角函数 1、定义 2、三角函数的值在各象限的符号 三、同角三角函数的基本关系式: 1、2
2sin
cos 1αα+=; sin tan cos α
αα
=
;
tan cot 1αα⋅= 2、特殊角的三角函数值:
四、诱导公式(口诀:纵变横不变,符号看象限)
五、三角恒等变换 思想方法:①切化弦、平方降幂的思想; ②化为同角、同名的思想; ③拆角的思想:如()()β
αβαααβ=+-=--,2()()ααβαβ=++-等
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、降幂公式:
()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±αβ
=−−−
→令sin 22sin cos ααα= ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=m αβ
=−−−
→令22cos 2cos sin ααα=- 2cos 22cos 1αα=- ⇒降幂公式:21+cos2cos 2
αα=
,
2cos 212sin αα=- 21cos2sin 2
α
α-=
()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=
m αβ
=−−−→令22tan tan 21tan ααα
=-
2、辅助角公式(合一思想):关键是“提斜边”
sin cos )a x b x x ϕ+=+ (ϕ
是斜边)
3、正余弦“三兄妹”:
sin cos x x +、sin cos x x -、sin cos x x —— 知一求二
内在联系:2
(sin cos )12sin cos 1sin 2x x x x x ±=±=±
六、三角函数的图象与性质
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质的比较(见书) 1、会用“五点法”画出函数
sin()y A x B ωϕ=++的图象:步骤:设X x ωϕ=+,令X =30,
,,
,22
2
π
π
ππ→求相应的x 值及对应的y 值→描点作图 试一试:请用“五点法”画出函数2sin(2)
y x π
=-在一个周期内闭区间的图象
列表:
2、函数
sin()y A x B ωϕ=++的图象变换(伸缩变换与平移变换)
特别注意:
sin y x ω=→()sin y x ωϕ=+,应向左或向右平移|
|ϕ
ω
个单位长度 试一试:函数13sin()226
y x π
=+-的图象可以由sin y x =的图象经过怎样的变换得到?
3、函数
sin()y A x ωϕ=+表达式的确定:
几个物理量:A ——振幅 2T π
ω
=
——周期
1
f T
=
——频率
ϕ——初相 x ωϕ+ ——相位
步骤:
A 由最值确定 → ω由周期确定 → ϕ由图象上的特殊点确定,
七、解三角形:
1、内角和定理:A B C π++=,A B C π+=-,sin()sin A B C +=,cos()cos A B C +=-,sin
cos 22
A B C
+=
2、正弦定理:
2sin sin sin a b c
R A B C
===(R 为△ABC 外接圆的半径).
注意:① 正弦定理的一些变式:sin sin sin a b c A B C ::=::;sin 2a
A R
=
,sin 2b B R
=
,sin 2c C R
=
; 2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C = ② 解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解
3、余弦定理
4、面积公式:111sin ()222
a S ah a
b C r a b
c ===++(其中r 为三角形内切圆半径). 八、平面向量 1、平面向量的概念
(1)定义(2)零向量(3)单位向量(4)平行向量(共线向量) 2、平面向量的线性运算
(1)向量的加法与减法 ① 三角形法则 ② 平行四边形法则 (2)向量的模性质:
||||-
a b ≤||±a b ≤||||+a b (3)向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ,使得b a λ=
3、平面向量的数量积
(1)平面向量数量积的定义 (投影.) (注意:用几何法计算a 和b 的夹角时,必须先判断a 与b 是否共起点)
(2)夹角θ与数量积⋅a b 之间的关系 (3)数量积的三个运算律: ① 交换律⋅=⋅a b b a ;② 对实数的结合律:()()()λλλ⋅=⋅=⋅a b a b a b
③ 分配律()+⋅=⋅+⋅a
b c a c b c 由此可得:222()2±=±⋅+a b a a b b ,22()()+⋅-=-a b a b a b
注意:结合律是对实数的结合,对向量一般是不成立的,即()()⋅⋅≠⋅⋅a b c a b c
4、平面向量的坐标运算
(1)平面向量基本定理【定理2】:平面上四点、、、P A B C 满足
=+u u u r u u u r u u u r
PC xPA yPB ,1+=⇔、、x y A B C 三点共线