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(精选试题附答案)高中数学第十章概率知识点总结全面整理

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第十章概率知识点总结全面整理单选题1、若随机事件A,B 满足P (AB )=16，P (A )=23，P (B )=14，则事件A 与B 的关系是（） A ．互斥B ．相互独立C ．互为对立D ．互斥且独立答案：B分析：利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可解：因为P (A )=23， P (B )=14，又因为P (AB )=16≠0，所以有P (AB )=P (A )P (B )，所以事件A 与B 相互独立，不互斥也不对立故选：B.2、龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数中随机抽取2个，则被抽到的2个数的数字之和超过10的概率为（）A ．25B ．12C ．310D ．35 答案：A解析：利用古典概型的概率进行列举所有情况，然后即可求解依题意，阳数为1、3、5、7、9，故所有的情况为(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,7)，(5,9)，(7,9)，共10种，其中满足条件的为(3,9)，(5,7)，(5,9)，(7,9)，共4种，故所求概率P =410=25 故选A ．小提示：关键点睛：利用古典概型的概率进行求解，主要考查考生数学建模、数学运算、逻辑推理等能力，属于基础题3、2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34，那么三人中恰有两人通过的概率为（） A ．2180B ．2780C ．3380D ．2740 答案：C分析：根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件A,B,C ，显然A,B,C 为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件ABC +ABC +ABC ，且ABC,ABC,ABC 互斥，∴所求概率P(ABC +ABC +ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)P (B )P (C )+P (A )P(B)P (C )+P (A )P (B )P(C) =15×34×34+45×14×34+45×34×14=3380.故选：C.4、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（） A ．62%B ．56% C ．46%D ．42% 答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+ B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.5、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件A=“向上的点数为3”，B=“向上的点数为6”，C=“向上的点数为3或6”，则有（）A．A⊆B B．C⊆B C．A∩B=C D．A∪B=C答案：D分析：根据事件的关系、和事件、积事件的定义逐一判断四个选项的正误，即可得出正确选项对于A：事件A=“向上的点数为3”发生，事件B=“向上的点数为6”一定不发生，故选项A不正确；对于B：事件C=“向上的点数为3或6”发生，事件B=“向上的点数为6”不一定发生，但事件B=“向上的点数为6”发生，事件C=“向上的点数为3或6”一定发生，所以B⊆C，故选项B不正确；对于C：事件A和事件B不能同时发生，A∩B=∅，故选项C不正确；对于D：事件A=“向上的点数为3”或事件B=“向上的点数为6”发生，则事件C=“向上的点数为3或6”发生，故选项D正确；故选：D6、生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23B ．35C ．25D ．15答案：B分析：本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．设其中做过测试的3只兔子为a,b,c ，剩余的2只为A,B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B}，{b,c,A},{b,c,B},{b,A,B},{c,A,B}共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B}, {b,c,A},{b,c,B}共6种，所以恰有2只做过测试的概率为610=35，选B ．小提示：本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错． 7、若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（） A ．15B ．310C ．35D ．12答案：B分析：由古典概率模型的计算公式求解.样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为310 . 故选：B.8、某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（） A ．124B ．1124C ．23D ．34答案：D分析：利用相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解．解：由题意，该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为P =1−(1−12)×(1−13)×(1−14)=34，故选：D.9、抛掷一颗均匀骰子两次，E 表示事件“第一次是奇数点”，F 表示事件“第二次是3点”，G 表示事件“两次点数之和是9”，H 表示事件“两次点数之和是10”，则（） A ．E 与G 相互独立B ．E 与H 相互独立 C ．F 与G 相互独立D ．G 与H 相互独立答案：A分析：先根据古典概型的概率公式分别求出四个事件的概率，再利用独立事件的定义P(AB)=P(A)P(B)判断个选项的正误. 解：由题意得：P(E)=1836=12，P(F)=636=16，P(G)=436=19，P(H)=336=112对于选项A ：P(EG)=236=118，P(E)P(G)=12×19=118，P(EG)=P(E)P(G)，所以E 和G 互相独立，故A 正确；对于选项B ：P(EH)=136，P(E)P(H)=12×112=124，P(EH)≠P(E)P(H)，所以E 和H 不互相独立，故B 错误；对于选项C ：P(FG)=136，P(F)P(G)=16×19=154，P(FG)≠P(F)P(G)，所以F 和G 不互相独立，故C 错误；对于选项D ：P(GH)=0，P(G)P(H)=19×112=1108，P(GH)≠P(G)P(H)，所以G 和H 不互相独立，故D 错误；故选：A10、甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a,b ∈{1,2,3,4}，若|a −b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A ．38B ．58C ．316D ．516答案：B分析：利用列举法根据古典概型公式计算即可.B 两人分别从1，2，3，4四个数中任取一个，共有16个样本点，为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)， (2，1)，(2，2)，(2，3) ，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2) (4，3)，(4，4)，这16个样本点发生的可能性是相等的．其中满足|a −b|≤1的样本点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为P =1016=58．故选：B 填空题11、某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为_______________. 答案：16分析：先计算出该班有既选考物理又选考地理的人数，再除以班级总人数即可求解设选考物理的学生为集合A ，选考地理的同学为集合B ，由题意可得：Card (A ∪B )=Card (A )+Card (B )−Card (A ∩B )，即28=21+14−Card (A ∩B )，解得：Card (A ∩B )=7，所以该班有7人既选考物理又选考地理，所以从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为742=16，所以答案是：16.12、甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为34，乙同学一次投篮命中的概率为23，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是___________. 答案：1112分析：考虑两个人都不命中的概率，从而可求至少有一个人命中的概率. 两个都不命中的概率为(1−34)×(1−23)=112，故至少有一人命中的概率是1112，所以答案是：1112.13、某人抛掷硬币100次，正面向上的有53次，反面向上的频率为___________.答案：0.47##47100分析：直接利用频率公式求解.由题得反面朝上的频率为47次，=0.47.所以反面向上的频率为47100所以答案是：0.4714、为防控新冠疫情，很多公共场所要求进人的人必须佩戴口罩．现有3人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为____________．答案：3##0.310分析：利用列举法和古典概型的概率计算公式可得答案.从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中选3只不同颜色的口罩，样本点列举如下：（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），（蓝，红，黑），（蓝，红，绿），（蓝，黑，绿），（白，红，黑），（白，红，绿），（白，黑，绿），（红，黑，绿），共有10个样本点，其中蓝、白色口罩同时被选中的样本点有（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），共3个样本点，所以蓝、白色口罩同时被选中的概．率为310．所以答案是：31015、假设P(A)=0.5,P(B)=0.6，且事件A与B相互独立，则P(A+B)=________.答案：0.8##45分析：先算出P(AB)，再利用P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)求解即可.P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.3，则P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.5+0.6−0.3=0.8.所以答案是：0.8.解答题16、判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中，任取1张.（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.答案：（1）是互斥事件，不是对立事件，理由见解析；（2）既是互斥事件，又是对立事件，理由见解析；（3）不是互斥事件，也不是对立事件，理由见解析.分析：本题可根据互斥事件与对立事件的定义得出结果.（1）是互斥事件，不是对立事件.理由：“抽出红桃”与“抽出黑桃”不可能同时发生的，是互斥事件，不能保证其中必有一个发生，还可能抽出“方块”或者“梅花”，不是对立事件.（2）既是互斥事件，又是对立事件.理由：“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生，且其中必有一个发生，则它们既是互斥事件，又是对立事件.（3）不是互斥事件，也不是对立事件.理由：“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”可能同时发生，如抽得点数为10，故不是互斥事件，也不可能是对立事件.17、某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．（1）写出该试验的样本空间Ω；（2）设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，试用集合表示M．答案：（1）答案见解析；（2）答案见解析．分析：（1）从6名同学中随机选出2人，那么每个人都有可能被选到，将所有的组合列出来即可；（2）找出所有组合中，既满足2人来自不同年级，又满足恰有1名男同学和1名女同学的所有情况即可.解（1）Ω＝{AB，AC，AX，AY，AZ，BC，BX，BY，BZ，CX，CY，CZ，XY，XZ，YZ}．（2）M＝{AY，AZ，BX，BZ，CX，CY}．18、某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6,11)，[21,26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查.（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率.答案：（1）a=0.03，平均时长为13.5小时；（2）15.28分析：（1）由频率分布直方图概率的性质，可求得a的值，再结合平均数的计算公式，即可求解；（2）由频率分布直方图，得到落在[6,11)内数据个数为25，落在[21,26]内数据个数为15，按分层抽样，得到在[6,11)内抽取5人，在[21,26]内抽取3人，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件包含基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.（1）由频率分布直方图的数据，可得(0.020+0.50+0.070+a+a)×5=1，解得a=0.03，又由平均数的计算公式，可得x=0.1×3.5+0.25×8.5+0.35×13.5+0.15×18.5+0.15×23.5=13.5.即估算这100位学生学习的平均时长为13.5小时.（2）由频率分布直方图，可得落在[6,11)内数据个数为5×0.05×100=25，落在[21,26]内数据个数为5×0.03×100=15.按照分层抽样方法抽取8人，则[6,11)内抽取5人，记为a1，a2，a3，a4，a5，在[21,26]内抽取3人，记为b1，b2，b3，从这8位学生中每次抽取2人，可能的情况有：(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,a4)，(a1,a5)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)；(a2,a3)，(a2,a4)，(a2,a5)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)；(a3,a4)，(a3,a5)，(a3,b1)，(a3,b2)，(a3,b3)；(a4,a5)，(a4,b1)，(a4,b2)，(a4,b3)；(a5,b1)，(a5,b2)，(a5,b3)；(b1,b2)，(b1,b3)；(b2,b3)，共有28种结果，且各结果等可能，其中2位学生来自不同组别的取法有15种，.所以抽取的2位学生来自不同组别的概率为p=152819、科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为16O，17O，18O，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为16O占99.759%，17O占0.037%，18O占0.204%．现有3个16O，2个17O，n个18O，若从中随机选取1个氧元素，这个氧元素不是17O的概率为2．3(1)求n；(2)若从中随机选取2个氧元素，求这2个氧元素是同一种同位素的概率．答案：(1)1；.(2)415分析：（1）求出随机选取1个氧元素是17O的概率，再利用对立事件概率公式计算作答.（2）对给定的16O ，17O ，18O 进行编号，列举出选取2个氧元素的所有结果，再借助古典概率公式计算作答. （1）依题意，从这些氧元素中随机选取1个，这个氧元素是17O 的概率P 1=2n+5，则有1−2n+5=23，解得n =1，所以n =1.（2）记3个16O 分别为a ，b ，c ，2个17O 分别为x ，y ，1个18O 为m ，从中随机选取2个，所有的情况为：(a,b )，(a,c )，(a,x )，(a,y )，(a,m )，(b,c )，(b,x )，(b,y )，(b,m )，(c,x )，(c,y )，(c,m )，(x,y )，(x,m )，(y,m )，共15种，它们等可能，其中这2个氧元素是同一种同位素的情况有(a,b )，(a,c )，(b,c )，(x,y )，共4种，其概率为P 2=415，所以这2个氧元素是同一种同位素的概率是415.。

(精选试题附答案)高中数学选修一知识点归纳总结(精华版)

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一知识点归纳总结(精华版)单选题1、已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点与抛物线y 2=2px(p >0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD|=√2|AB|．则双曲线的离心率为（）A ．√2B ．√3C ．2D ．3答案：A分析：设公共焦点为(c,0)，进而可得准线为x =−c ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得a 2=12c 2，再由双曲线离心率公式即可得解. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与抛物线y 2=2px(p >0)的公共焦点为(c,0)，则抛物线y 2=2px(p >0)的准线为x =−c ，令x =−c ，则c 2a 2−y 2b 2=1，解得y =±b 2a ，所以|AB|=2b 2a , 又因为双曲线的渐近线方程为y =±b a x ，所以|CD|=2bc a ，所以2bc a =2√2b 2a ，即c =√2b ，所以a 2=c 2−b 2=12c 2，所以双曲线的离心率e =c a =√2.故选：A. 2、已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，CM CB =13，PN =ND ，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，则向量MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 用{a ,b ⃑ ,c }为基底表示为（）A ．a +13b ⃑ +12cB ．−a +16b ⃑ +12c C ．a −13b ⃑ +12c D ．−a −16b ⃑ +12c 答案：D分析：由图形可得MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +CD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，根据比例关系可得MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12DP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再根据向量减法DP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，代入整理并代换为基底向量．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +CD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12DP ⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AP ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −16AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 即MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−a −16b ⃑ +12c 故选：D ．3、已知直线l 的倾斜角为60∘，且经过点(0,1)，则直线l 的方程为（）A ．y =√3xB ．y =√3x −2C ．y =√3x +1D ．y =√3x +3答案：C分析：先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.由题意知：直线l 的斜率为√3，则直线l 的方程为y =√3x +1.故选：C.4、在矩形ABCD 中，O 为BD 中点且AD =2AB ，将平面ABD 沿对角线BD 翻折至二面角A −BD −C 为90°，则直线AO 与CD 所成角余弦值为（）A ．√55B ．√54C ．3√525D ．4√225 答案：C分析：建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AO 与CD 所成角余弦值.在平面ABD 中过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ；在平面CBD 中过C 作CF ⊥BD ，垂足为F .由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ，所以AE ⊥平面BCD ，CF ⊥平面ABD ，设AB =1,AD =2，12×BD ×AE =12×AB ×AD ⇒AE =√5OE =√OA 2−AE 2=2√5，同理可得CF =√5OF =2√5，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2√5√5),√52√50),D(−√52,0,0)， CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√510,2√50)，设AO 与CD 所成角为θ，则cosθ=|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ ||=320√52×12=3√525.故选：C5、如果AB >0且BC <0，那么直线Ax +By +C =0不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C分析：通过直线经过的点来判断象限.由AB >0且BC <0，可得A,B 同号，B,C 异号，所以A,C 也是异号；令x =0，得y =−C B >0；令y =0，得x =−C A >0；所以直线Ax +By +C =0不经过第三象限.故选：C.6、在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ,AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，则a ⋅(b ⃑ +c )的值为（）A ．1B ．0C ．-1D ．-2答案：B分析：由正方体的性质可知AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 两两垂直，从而对a ⋅(b ⃑ +c )化简可得答案由题意可得AB ⊥AD,AB ⊥AA 1,所以a ⊥b ⃑ ,a ⊥c ，所以a ⋅b ⃑ =0,a ⋅c =0，所以a ⋅(b ⃑ +c )=a ⋅b ⃑ +a ⋅c =0，故选：B7、动点P 在抛物线x 2=4y 上，则点P 到点C (0,4)的距离的最小值为（）A ．√3B ．2√3C ．12√3D ．12答案：B分析：设出点P 坐标，用两点间距离公式表达出点P 到点C (0,4)的距离，配方后求出最小值.设P (x,x 24)，则|PC |=√x 2+(x 24−4)2=√116(x 2−8)2+12，当x 2=8时，|PC |取得最小值，最小值为2√3 故选：B8、如图，在直三棱柱ABC −AB 1C 1中，AC =3,BC =4,CC 1=3,∠ACB =90∘ ，则BC 1与A 1C 所成的角的余弦值为（）A ． 3√210B ． √33C ． √24D ． √55答案：A分析：建立空间直角坐标系，写出CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，由夹角公式可得结果.如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A 1(3,0,3)，B (0,4,0)，C 1(0,0,3)，所以CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,0,3)，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−4,3)，所以cos⟨CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3√2×5=3√210，所以直线BC 1与A 1C 所成角的余弦值为3√210．故选：A.9、如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝a ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ,OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，点M 在OA 上，且OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，N 为BC 中点，则MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ （）A ．12a −23b ⃑ +12cB ．−23a +12b ⃑ +12c C ．12a +12b ⃑ −12c D ．−23a +23b ⃑ −12c 答案：B分析：由向量的加法和减法运算法则计算即可．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +OC ⃑⃑⃑⃑⃑ )−23OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =−23a +12b ⃑ +12c 故选：B10、若圆x 2+y 2=1上总存在两个点到点(a,1)的距离为2，则实数a 的取值范围是（） A ．(−2√2,0)∪(0,2√2)B ．(−2√2,2√2)C ．(−1,0)∪(0,1)D ．(−1,1)答案：A分析：将问题转化为圆(x−a)2+(y−1)2=4与x2+y2=1相交，从而可得2−1<√a2+12<2+1，进而可求出实数a的取值范围.到点(a,1)的距离为2的点在圆(x−a)2+(y−1)2=4上，所以问题等价于圆(x−a)2+(y−1)2=4上总存在两个点也在圆x2+y2=1上，即两圆相交，故2−1<√a2+12<2+1，解得−2√2<a<0或0<a<2√2，所以实数a的取值范围为(−2√2,0)∪(0,2√2)，故选：A．填空题11、过圆C:(x−1)2+y2=1外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若△PAB为等边三角形，则过D(2，1)的直线l被P点轨迹所截得的最短弦长为________.答案：2√2分析：先根据∠APC＝30°，可得P点轨迹方程为圆，再数形结合可知当l与CD垂直时，l被圆所截得的弦长最短，结合垂径定理计算即可=2，所以P点轨迹的由题意知C(1,0)，连接PC，因为△PAB为等边三角形，所以∠APC＝30°，所以|CP|=1sin30∘方程为(x−1)2+y2=4.因为(2−1)2+12=2<4，所以点D(2，1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部.连接CD，结合图形可知，当l与CD垂直时，l被圆(x−1)2+y2=4所截得的弦长最短，最短弦长为2√4−CD2=2√4−2=2√2所以答案是：2√212、已知集合A={(x,y)|2x−(a+1)y−1=0}，B={(x,y)|ax−y+1=0}，且A∩B=∅，则实数a的值为___________.答案：1分析：利用已知条件可得直线2x−(a+1)y−1=0与直线ax−y+1=0平行，利用线线平行的结论，代入求解即可.∵集合A={(x,y)|2x−(a+1)y−1=0}，B={(x,y)|ax−y+1=0}，且A∩B=∅，∴直线2x−(a+1)y−1=0与直线ax−y+1=0平行，即−2=−a(a+1)，且2≠−a，解得a=1.所以答案是：1.13、点P为直线3x−4y+2=0上任意一个动点，则P到点(3,−1)的距离的最小值为___________.答案：3分析：先判断出当点P和点(3,−1)的连线和直线3x−4y+2=0垂直时距离最小，再由点(3,−1)到直线的距离求解即可.由题意得当点P和点(3,−1)的连线和直线3x−4y+2=0垂直时距离最小，此时距离等于点(3,−1)到直线3x−4y+2=0的=3，故P到点(3,−1)的距离的最小值为3.距离√32+(−4)2所以答案是：3.14、如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点Р到直线CC1的距离的最小值为_______.答案：4√55##45√5 分析：建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点Р到直线CC 1距离的函数关系，再求其最小值作答. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,4,0),D 1(0,0,4),E(2,4,0),C 1(0,4,4)，CE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0),CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,4),ED 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−4,4)，因点P 在线段D 1E 上，则λ∈[0,1]，EP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λED 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2λ,−4λ,4λ)，CP ⃑⃑⃑⃑⃑ =CE ⃑⃑⃑⃑⃑ +EP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2−2λ,−4λ,4λ)，向量CP ⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 上投影长为d =|CP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=4λ，而|CP⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(2−2λ)2+(−4λ)2+(4λ)2，则点Р到直线CC 1的距离 ℎ=√|CP ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−d 2=2√5λ2−2λ+1=2√5(λ−15)2+45≥4√55，当且仅当λ=15时取“=”，所以点Р到直线CC 1的距离的最小值为4√55. 所以答案是：4√55 15、在直角坐标系中，若A (2,1)、B (1,2)、C (0,y )(y ∈R )，则|AC |+|BC |的最小值是______．答案：√10分析：作点A 关于y 轴的对称点M (−2,1)，由对称性可得|AC |=|MC |，再利用当点C 为线段BM 与y 轴的交点时，|AC |+|BC |取最小值可得结果.由题意可知，点C 在y 轴上，点A 关于y 轴的对称点为M (−2,1)，由对称性可得|AC |=|MC |，所以，|AC |+|BC |=|MC |+|BC |≥|MB |=√(1+2)2+(2−1)2=√10，当且仅当点C 为线段BM 与y 轴的交点时，等号成立，故|AC |+|BC |的最小值为√10.所以答案是：√10.解答题16、如图，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是AD 1，BD ，B 1C 的中点，利用向量法证明：（1）MN ∥平面CC 1D 1D ；（2）平面MNP ∥平面CC 1D 1D ．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.分析：（1）建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量的数量积为0进行证明；（2）证明两个平面有相同的一个法向量即可..（1）证明：以D 为坐标原点，DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，DC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，DD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A (2，0，0)，C (0，2，0)，D (0，0，0)，M (1，0，1)，N (1，1，0)，P (1，2，1).由正方体的性质，知AD ⊥平面CC 1D 1D ，所以DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量.由于MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(0，1，－1)，则MN →·DA →＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥DA ⃑⃑⃑⃑⃑ . 又MN ⊄平面CC 1D 1D ，所以MN ∥平面CC 1D 1D.（2）证明：因为DA⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量，由于MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(0，2，0)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(0，1，－1)，则{MP →·DA →=0MN →·DA →=0，即DA⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(2，0，0)也是平面MNP 的一个法向量，所以平面MNP ∥平面CC 1D 1D.17、已知x 21−k −y 2|k|−3=−1，当k 为何值时：(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在x 轴上的双曲线；(3)表示焦点在y 轴上的双曲线．答案：(1)k ＜－3或1＜k ＜3；(2)1＜k ＜3；(3)k ＜－3.分析：利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论．（1）∵x 21−k −y 2|k|−3=−1，即x 2k−1+y 2|k |−3=1，方程表示双曲线，∴(k －1)(|k |－3)＜0，可得k ＜－3或1＜k ＜3；（2）∵x 21−k −y 2|k|−3=−1，即x 2k−1+y 2|k |−3=1，焦点在x 轴上的双曲线，则{k −1＞03−|k|＞0， ∴1＜k ＜3；（3）∵x 21−k −y 2|k|−3=−1，即x 2k−1+y 2|k |−3=1，焦点在y 轴上的双曲线，则{|k|−3＞01−k ＞0， ∴k ＜－3．18、已知圆C 过点A (3,1),B (5,3)，圆心在直线y =x 上.（1）求圆C 的方程.（2）判断点P (2，4)与圆C 的关系答案：（1）(x −3)2+(y −3)2=4；（2）P 在圆C 内部.分析：(1)由给定条件设出圆心C (a,a )、半径r ，进而写出圆的标准方程，再列出关于a ，r 的方程组即可得解(2)求出点P 与点C 的距离，再将它与r 比较即可得解.（1）由题意设圆心为C (a,a )，半径为r ，则圆的标准方程为(x −a)2+(y −a )2=r 2，由题意得{(3−a)2+(1−a )2=r 2(5−a)2+(3−a )2=r2 ，解得{a =3r =2 ，所以圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4；（2）由(1)知|PC |=√(3−2)2+(3−4)2=√2<rP (2，4)在圆C 内.19、如图，四边形ABCD 中，满足AB //CD ，∠ABC =90°，AB =1，BC =√3，CD =2，将△BAC 沿AC 翻折至△PAC ，使得PD =2.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PAD 所成角的正弦值.答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）√155. 分析：（Ⅰ）过B 作BO ⊥AC ，垂足为O ，连PO ，DO ，作DE ⊥AC ，垂足为E ，易得PO ⊥AC ，通过勾股定理可得PO ⊥OD ，即可得PO ⊥平面ACD ，进而可得结果；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，平面PAD 的法向量，利用向量法即可得结果.（Ⅰ）过B 作BO ⊥AC ，垂足为O ，连PO ，DO ，则PO ⊥AC ，作DE ⊥AC ，垂足为E ，则DE =√3，OE =12，DO =√132所以PO 2+DO 2=PD 2，即PO ⊥OD又AC ∩DO =O ，所以PO ⊥平面ACD ，又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）以O 为坐标原点，OC ，BO 所在的直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系则A (−12,0,0)，C (32,0,0)，D (12,√3,0)，P (0,0,√32)， AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,√3,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,0,√32) 设平面PAD 的法向量为n ⃑ =(a,b,c)，则{AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =12a +√32c =0AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =a +√3b =0 取法向量n ⃑ =(√3,−1,−1)，CD⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,√3,0) 设直线CD 与平面PAD 所成角为θ，则sinθ=|cos <CD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >|=√155.。

(精选试题附答案)高中数学选修一知识集锦

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一知识集锦单选题1、如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，从F 2发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且cos∠BAC =−35，AB ⊥BD ，则E 的离心率为（）A ．√52B ．√173C ．√102D ．√5 答案：B分析：利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用|BF 2|表示|BF 1|,|AF 1|,|AB|，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.依题意，直线CA,DB 都过点F 1，如图，有AB ⊥BF 1，cos∠BAF 1=35，设|BF 2|=m ，则|BF 1|=2a +m ，显然有tan∠BAF 1=43，|AB|=34|BF 1|=34(2a +m)，|AF 2|=32a −14m ，因此，|AF 1|=2a +|AF 2|=72a −14m ，在Rt △ABF 1，|AB|2+|BF 1|2=|AF 1|2，即916(2a +m)2+(2a +m)2=(72a −14m)2，解得m =23a ，即|BF 1|=83a,|BF 2|=23a ，令双曲线半焦距为c ，在Rt △BF 1F 2中，|BF 2|2+|BF 1|2=|F 1F 2|2，即(23a)2+(83a)2=(2c)2，解得ca =√173，所以E 的离心率为√173. 故选：B小提示：方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a,c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法，由已知条件得出关于a,c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.2、平面α的一个法向量是n ⃗ =(12,−1,13)，平面β的一个法向量是m ⃗⃗ =(−3,6,−2)，则平面α与平面β的关系是（） A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直答案：C分析：由题设知m ⃗⃗ =−6n ⃗ ，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. ∵平面α的一个法向量是n ⃗ =(12,−1,13)，平面β的一个法向量是m ⃗⃗ =(−3,6,−2)， ∴ m ⃗⃗ =−6n ⃗ ，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．3、已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为（） A ．√2a B ．√3a C ．√23a D ．√33a 答案：D分析：建立空间直角坐标系，用空间向量求解由正方体的性质，AB 1∥DC 1,D 1B 1∥DB ，AB 1∩D 1B 1=B 1，DC 1∩DB =D ，易得平面AB 1D 1∥平面BDC 1，则两平面间的距离可转化为点B 到平面AB 1D 1的距离．以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，B (a,a,0)，A 1(a,0,a )，C (0,a,0)，B 1(a,a,a )，D 1(0,0,a ) 所以CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−a,a )，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−a,0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a,a )，B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−a,0)．连接A 1C ，由CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−a,a )⋅(0,a,a )=0，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−a,a )⋅(−a,−a,0)=0，且AB 1∩B 1D 1=B 1，可知A 1C ⊥平面AB 1D 1，得平面AB 1D 1的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,1)，则两平面间的距离d =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗ |n ⃗ ||=√3=√33a ．故选：D4、已知圆C ：x 2+y 2=4，直线L ：y =kx +m ，则当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，则m 的取值为（）A ．±2B ．±√2C ．±√3D ．±3 答案：C分析：由直线L 过定点M(0,m)，结合圆的对称性以及勾股定理得出m 的取值.直线L ：y =kx +m 恒过点M(0,m)，由于直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，即当直线L 与直线OM 垂直时（O 为原点），弦长取得最小值，于是22=(12×2)2+|OM|2=1+m 2，解得m =±√3.故选：C5、若直线l 的斜率k =−2，又过一点(3，2)，则直线l 经过点（） A ．(0，4)B ．(4，0) C ．(0，−4)D ．(−2，1) 答案：B分析：利用斜率公式逐个验证即可对于A ，k =4−20−3=−23≠−2，不符合题意；对于B ，k =2−03−4=−2，所以B 正确；对于C ，k =2−(−4)3−0=2≠−2，不符合题意；对于D ，k =2−13−(−2)=15≠−2，不符合题意，故选：B6、若圆C 1:x 2+y 2−2ay =0(a >0)与圆C 2:x 2+y 2−4x +3=0相外切，则a 的值为（） A ．12B ．23C ．1D ．32答案：D分析：确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.由x 2+y 2−2ay =0(a >0)可得x 2+(y −a )2=a 2，所以圆C 1的圆心为(0,a )，半径为a ，由x 2+y 2−4x +3=0可得(x −2)2+y 2=1，所以圆C 2的圆心为(2,0)，半径为1，因为两圆相外切，所以√4+a 2=a +1，解得a =32，故选：D7、已知F 1，F 2是椭圆x 236+y 29=1的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，过F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（）A．5B．4C．3D．2答案：C分析：由|PM|＝|PF1|可知|MF2|＝|PM|+|PF2|，又已知OQ是△F1F2M的中位线，点Q与y轴重合时，Q与短轴端点距离最近.解：设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，则由题意知|PM|＝|PF1|∵|PF1|+|PF2|＝2a＝12∴|MF2|＝|PM|+|PF2|＝2a＝12由题意知OQ是△F1F2M的中位线∴|OQ|＝a＝6∴Q点的轨迹是以O为圆心，以6为半径的圆∴当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离d＝a−b＝6−3＝3故选：C．8、若椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（）A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6 B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为√3 C．存在点P，使PF1⊥PF2D．|PF1|的取值范围是[1,3]答案：C分析：根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点P位于上下顶点时，△PF1F2面积的最大即可判断选项B；当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大与90∘比较即可判断选项C；当点P为椭圆C的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.由椭圆方程可知a=2，b=√3，从而c=√a2−b2=1．对于选项A；根据椭圆定义，|PF1|+|PF2|=2a=4，又|F1F2|=2c=2，所以△PF1F2的周长是2a+2c=6，故选项A正确；对于选项B：设点P(x1,y0)(y0≠0)，因为|F1F2|=2，则S△PF1F2=12|F1F2|⋅|y0|=|y0|．因为0<|y0|≤b=√3，则△PF1F2面积的最大值为√3，故选项B正确；对于选项C：由椭圆性质可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大．此时，|PF1|=|PF2|=a=2，又|F1F2|=2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2=60°，所以不存在点P，使PF1⊥PF2，故选项C错误；对于选项D：由椭圆的性质可知，当点P为椭圆C的右顶点时，|PF1|取最大值，此时|PF1|=a+c=3；当点P为椭圆C的左顶点时，|PF1|取最小值，此时|PF1|=a−c=1，所以|PF1|∈[1,3]，故选项D正确．故选：C.小提示：名师点评椭圆中焦点三角形的有关结论以椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(−c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2=θ，则（1）焦点三角形的周长为2a+2c；（2）当点P为椭圆短轴的一个端点时，∠F1PF2=θ为最大；（3）S△PF1F2=12PF1×PF2×sinθ，当|y0|=b时，即点P为椭圆短轴的一个端点时S△PF1F2取最大值，为bc；（4）S△PF1F2=b2tanθ2.9、设F 1,F 2是椭圆x 212+y 224=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且cos∠F 1PF 2=13.则△PF 1F 2的面积为（） A ．6B ．6√2C ．8D ．8√2 答案：B分析：利用椭圆的几何性质，得到|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3，进而利用cos∠F 1PF 2=13得出|PF 1|⋅|PF 2|=18，进而可求出S △PF 1F 2 解：由椭圆x 212+y 224=1的方程可得a 2=24,b 2=12，所以c 2=a 2−b 2=12，得a =2√6,c =2√3 且|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2−2|PF 1||PF 2|−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=4a 2−4c 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4b 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4×12−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|，而cos∠F 1PF 2=13，所以，|PF 1|⋅|PF 2|=18，又因为，cos∠F 1PF 2=13，所以sin∠F 1PF 2=2√23，所以，S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|⋅sin∠F 1PF 2=12×18×2√23=6√2故选：B10、过点P(√3,−2√3)且倾斜角为135∘的直线方程为（） A ．3x −y −4√3=0B ．x −y −√3=0 C ．x +y −√3=0D ．x +y +√3=0 答案：D分析：由倾斜角为135∘求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程解：因为直线的倾斜角为135∘，所以直线的斜率为k =tan135°=−1，所以直线方程为y +2√3=−(x −√3)，即x +y +√3=0，故选：D填空题11、若三点A(2,2),B(a,0),C(0,6)共线，则a的值为_________．答案：3分析：由三点共线得k AB=k BC，即可求出答案.由三点A(2,2),B(a,0),C(0,6)共线故k AB=k BC2−0 2−a =6−20−2⇒a=3所以答案是：3.12、已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2−8x+6y+m=0外切，此时直线l:x+y=0被圆C2所截的弦长_________．答案：√34分析：将圆C2的方程写成标准形式，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得m，接着计算C2到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.由题可知：C1:x2+y2=4C2:x2+y2−8x+6y+m=0，即(x−4)2+(y+3)2=25−m且25−m>0⇒m<25由两圆向外切可知√(4−0)2+(−3−0)2=2+√25−m，解得m=16所以C2:(x−4)2+(y+3)2=9C2到直线的距离为d=√12+12=√2，设圆C2的半径为R则直线l:x+y=0被圆C2所截的弦长为2√R2−d2=2√9−12=√34所以答案是：√3413、如图，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF 2与椭圆交于点Q ，若|PF 1|=4|QF 2|，则直线PF 2的斜率为_______．答案：−2分析：连接QF 1，设|QF 2|=x （x >0），则|PF 1|=4x .利用椭圆的定义表示出|PF 1|,|PQ|,|QF 1|，由勾股定理求出a =3x ，即可得到tan∠PF 2F 1=|PF 1||PF 2|=2，进而求出直线PF 2的斜率.如图，连接QF 1.设|QF 2|=x （x >0），则|PF 1|=4x .因为|PF 1|+|PF 2|=2a ，|QF 1|+|QF 2|=2a ，所以|PF 2|=2a −4x ，|QF 1|=2a −x .在△PF 1Q 中，∠F 1PQ =90°，所以|PF 1|2+|PQ|2=|QF 1|2，即(4x)2+(2a −4x +x)2=(2a −x)2，整理得a =3x ，所以tan∠PF 2F 1=|PF 1||PF 2|=4x 2a−4x=4x 6x−4x=2，所以直线PF 2的斜率为k =tan (180°−∠PF 2F 1)=−2．所以答案是：-2. 14、已知双曲线x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，若双曲线上一点P 使∠PF 2F 1=60°，则F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______．答案：3分析：在△PF 1F 2中，设PF 2=x ，则PF 1=x +2或PF 1=x −2．分别运用余弦定理可求得答案. 解：由已知得F 2F 1=2c =4．在△PF 1F 2中，设PF 2=x ，则PF 1=x +2或PF 1=x −2．当PF 1=x +2时，由余弦定理，得(x +2)2=x 2+42−2×4x ×12，解得x =32，所以F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32×4×12=3．当PF 1=x −2时，由余弦定理，得(x −2)2=x 2+42−2×4x ×12，无解．故F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3．所以答案是：3.15、如图，在棱长为4的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点Р到直线CC 1的距离的最小值为_______.答案：4√55##45√5 分析：建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点Р到直线CC 1距离的函数关系，再求其最小值作答. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,4,0),D 1(0,0,4),E(2,4,0),C 1(0,4,4)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,4),ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−4,4)，因点P 在线段D 1E 上，则λ∈[0,1]，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,−4λ,4λ)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2λ,−4λ,4λ)，向量CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上投影长为d =|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4λ，而|CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2−2λ)2+(−4λ)2+(4λ)2，则点Р到直线CC 1的距离 ℎ=√|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−d 2=2√5λ2−2λ+1=2√5(λ−15)2+45≥4√55，当且仅当λ=15时取“=”，所以点Р到直线CC 1的距离的最小值为4√55. 所以答案是：4√55 解答题16、已知直线l 1与直线l 2:3x +4y −5=0平行，直线l 1与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线l 1的方程. 答案：3x +4y ±12√2=0分析：设直线的方程为3x +4y +c =0，求出截距后可求面积，从而可求直线的方程.设直线l 1的方程为3x +4y +c =0.令y =0，得x =−c 3；令x =0，得y =−c 4. 由题设得12|−c 3|⋅|−c 4|=12.解得c =±12√2，因此直线l 1的方程为3x +4y ±12√2=0. 17、已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)一个顶点A(0,−2)，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为4√5．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．答案：（1）x 25+y 24=1；（2）[−3,−1)∪(1,3]．分析：（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求a,b ，从而可求椭圆的标准方程.（2）设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)，求出直线AB,AC 的方程后可得M,N 的横坐标，从而可得|PM |+|PN |，联立直线BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简|PM |+|PN |，从而可求k 的范围，注意判别式的要求.（1）因为椭圆过A (0,−2)，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为4√5，故12×2a ×2b =4√5，即a =√5，故椭圆的标准方程为：x 25+y24=1.（2）设B(x1,y1),C(x2,y2)，因为直线BC的斜率存在，故x1x2≠0，故直线AB:y=y1+2x1x−2，令y=−3，则x M=−x1y1+2，同理x N=−x2y2+2.直线BC:y=kx−3，由{y=kx−34x2+5y2=20可得(4+5k2)x2−30kx+25=0，故Δ=900k2−100(4+5k2)>0，解得k<−1或k>1.又x1+x2=30k4+5k2,x1x2=254+5k2，故x1x2>0，所以x M x N>0又|PM|+|PN|=|x M+x N|=|x1y1+2+x2y2+2|=|x1kx1−1+x2kx2−1|=|2kx1x2−(x1+x2)k2x1x2−k(x1+x2)+1|=|50k4+5k2−30k4+5k225k24+5k2−30k24+5k2+1|=5|k|故5|k|≤15即|k|≤3，综上，−3≤k<−1或1<k≤3.18、如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度AD为6√3m，行车道总宽度BC为2√11m，侧墙高EA，FD为2m，弧顶高MN为5m.（1）以EF 所在直线为x 轴，MN 所在直线为y 轴，1m 为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为0.5m ，问车辆通过隧道的限制高度是多少？答案：（1）x 2+(y +3)2=36；（2）3.5m .分析：（1）设出圆的方程，代入F,M 即可求解；（2）设限高为ℎ，作CP ⊥AD ，求出点P 的坐标，即可得出答案.（1）由题意，有E(−3√3,0)，F(3√3,0)，M(0,3).∵所求圆的圆心在y 轴上，∴设圆的方程为(x −0)2+(y −b)2=r 2（b ∈R ，r >0），∵F(3√3,0)，M(0,3)都在圆上，∴{(3√3)2+b 2=r 202+(3−b )2=r 2，解得{b =−3r 2=36 . ∴圆的标准方程是x 2+(y +3)2=36.（2）设限高为ℎ，作CP ⊥AD ，交圆弧于点P ，则CP =ℎ+0.5.将点P 的横坐标x =√11代入圆的方程，得(√11)2+(y +3)2=36，得y =2或y =−8（舍去）.∴ℎ=CP −0.5=(2+2)−0.5=3.5(m ).故车辆通过隧道的限制高度为3.5m .19、已知圆C：x2+y2−4x=0，直线l恒过点P(4,1).(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=2√3时，求l的方程.答案：(1)x=4或3x+4y−16=0(2)y=1或4x−3y−13=0分析：(1)分类讨论直线l的斜率存在与不存在，利用圆心到直线l的距离等于圆的半径计算即可；(2)由题意知直线l的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的垂径定理计算即可. （1）由题意可知，圆C的圆心为(2,0)，半径r=2，①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为x=4时，此时直线与圆相切，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，∴直线l的方程为y−1=k(x−4)，化为一般式：kx−y+1−4k=0，若直线l与圆相切，则d=√k2+1=2，即1−4k+4k2=4k2+4，解得k=−34，∴l：−34x−y+4=0，即l：3x+4y−16=0，综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为x=4或3x+4y−16=0；（2）由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，∴直线l的方程为y−1=k(x−4)，即kx−y+1−4k=0，设圆心到直线l的距离为d，则d=√k2+1，由垂径定理可得，d2+(|AB|2)2=4，即(2k−1)2k2+1+3=4，整理得，3k2−4k=0，解得k=0或k=43，则直线l的方程为y=1或4x−3y−13=0.。

高中数学选修二综合测试题知识点归纳超级精简版(带答案)

高中数学选修二综合测试题知识点归纳超级精简版单选题1、函数f(x)=13x 3−x 2+ax −5在区间[-1，2]上不单调，则实数a 的取值范围是（） A ．(-∞，-3]B ．(-3，1)C ．[1，+∞)D ．(-∞，-3]∪[1，+∞)答案：B分析：利用导数求出函数f(x)=13x 3−x 2+ax −5在区间[-1，2]上单调时a 的范围，再根据补集思想可得答案. f ′(x)=x 2−2x +a =(x −1)2+a −1，如果函数f(x)=13x 3−x 2+ax −5在区间[-1，2]上单调，那么a -1≥0或{f ′(−1)≤0f ′(2)≤0 ，即{1+2+a ≤04−4+a ≤0，解得a ≥1或a ≤-3，所以当函数f(x)=13x 3−x 2+ax −5在区间[-1，2]上不单调时，−3<a <1. 故选：B2、已知数列{a n }、{b n }都是等差数列，设{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n .若S n T n =2n+13n+2，则a5b 5=（） A ．1929B ．1125C ．1117D ．23 答案：A分析：由题意利用等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，得出结论．∵S n T n =2n+13n+2， ∴a 5b 5=2a 52b 5=a 1+a 9b 1+b 9=9(a 1+a 9)29(b 1+b 9)2=S 9T 9=2×9+13×9+2=1929，故选：A3、函数f(x)=3x +ln2的导数为（）A ．3x ln3B ．3x ln3+12C ．3x +12D ．3x答案：A分析：利用导数的计算公式，直接判断选项.f′(x)=(3x)′+(ln2)′=3x ln3.故选：A4、函数f(x)=e x−e−xx2的图象大致为（）A．B．C．D．答案：B分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由f(1)=e−e−1>0排除不正确的选项，从而得出答案..详解：∵x≠0,f(−x)=e−x−e xx2=−f(x)∴f(x)为奇函数，排除A,∵f(1)=e−e−1>0，故排除D.∵f′(x)=(e x+e−x)x2−(e x−e−x)2xx4=(x−2)e x+(x+2)e−xx3,，当x>2时，f′(x)>0，所以f(x)在(2，+∞)单调递增，所以排除C；故选：B.5、北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块答案：C分析：第n 环天石心块数为a n ，第一层共有n 环，则{a n }是以9为首项，9为公差的等差数列，设S n 为{a n }的前n 项和，由题意可得S 3n −S 2n =S 2n −S n +729，解方程即可得到n ，进一步得到S 3n . 设第n 环天石心块数为a n ，第一层共有n 环，则{a n }是以9为首项，9为公差的等差数列，a n =9+(n −1)×9=9n ，设S n 为{a n }的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为S n ,S 2n −S n ,S 3n −S 2n ，因为下层比中层多729块，所以S 3n −S 2n =S 2n −S n +729，即3n(9+27n)2−2n(9+18n)2=2n(9+18n)2−n(9+9n)2+729即9n 2=729，解得n =9，所以S 3n =S 27=27(9+9×27)2=3402. 故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.6、已知定义在R 上的函数f(x)的导函数为f ′(x )，且满足f ′(x )−f(x)>0，f(2022)−e 2022=0，则不等式f (14lnx)<√x 4的解集为（） A ．(e 6063,+∞)B ．(0,e 2022)C ．(e 8088,+∞)D ．(0,e 8088)答案：D分析：由题设F(x)=f(x)e x ，由已知得函数F(x)在R 上单调递增，且F (14lnx)<1=F(2022)，根据函数的单调性建立不等式可得选项.由题可设F(x)=f(x)e x ，因为f ′(x )−f(x)>0，则F ′(x)=f ′(x)e x −f(x)e xe 2x =f ′(x)−f(x)e x >0，所以函数F(x)在R 上单调递增，又F(2022)=f(2022)e 2022=1，不等式f (14lnx)<√x 4可转化为f(14lnx)e 14lnx<1，∴F (14lnx)<1=F(2022)，所以14lnx <2022，解得0<x <e 8088，所以不等式f (14lnx)<√x 4的解集为(0,e 8088)．故选：D.7、等比数列{a n }中，若a 2=116，a 5=12，则a 8=（）A ．12B ．10C ．8D ．4答案：D分析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5=a 2×q 3=12，求得公比即可.设等比数列{a n }的公比为q ，则a 5=a 2×q 3=12，解得q 3=8，即q =2，所以a 8=a 5×q 3=12×8=4，故选：D.8、用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n +y n 能被x +y 整除”时，第二步归纳假设应写成（）A ．假设当n =2k +1(k ∈N ∗)时成立，再推出当n =2k +3时成立B ．假设当n =2k −1(k ∈N ∗)时成立，再推出当n =2k +1时成立C ．假设当n =k (k ∈N ∗)时成立，再推出当n =k +1时成立D ．假设当n =k (k ≥1)时成立，再推出当n =k +2时成立答案：B分析：根据数学归纳法的步骤，即可判断选项.第二步假设当n =2k −1(k ∈N ∗)时成立，再推出当n =2(k +1)−1=2k +1时成立.故选：B.多选题9、已知函数f(x)=xln(1+x)，则（）A ．f(x)在(0,+∞)单调递增B ．f(x)有两个零点C ．曲线y =f(x)在点(−12,f (−12))处切线的斜率为−1−ln2 D ．f(x)是偶函数答案：AC解析：根据函数的定义域可判断D ，利用函数的导数的正负可判断A ，利用导数的几何意义可判断C ，根据函数值的情况及零点定义可判断B.由f(x)=xln(1+x)知函数的定义域为(−1,+∞)，f ′(x)=ln(1+x)+x 1+x ，当x ∈(0,+∞)时，ln(1+x)>0,x 1+x >0，∴f ′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)单调递增，A 正确；由f(0)=0，当−1<x <0时，ln(1+x)<0,f(x)=xln(1+x)>0，当ln(1+x)>0,f(x)>0，所以f(x)只有0一个零点，B 错误；令x =−12，f ′(−12)=ln 12−1=−ln2−1，故曲线y =f(x)在点(−12,f (−12))处切线的斜率为−1−ln2，C 正确；由函数的定义域为(−1,+∞)，不关于原点对称知，f(x)不是偶函数，D 错误.故选：AC小提示：关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题.10、设f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，f ′（x ），g '（x ）为其导函数，当x ＜0时，f ′（x）⋅g（x）+f（x）⋅g'（x）＜0且g（﹣3）＝0，则使得不等式f（x）⋅g（x）＜0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞,﹣3）B．（﹣3,0）C．（0,3）D．（3,+∞）答案：BD解析：由当x＜0时，f′（x）⋅g（x）+f（x）⋅g'（x）＜0可得[f(x)g(x)]′<0，故可构造函数h（x）＝f（x）•g（x），由f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h（x）在R上单调递减且为奇函数，结合图像即可得解.∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），令h（x）＝f（x）•g（x），则h（﹣x）＝﹣h（x），故h（x）＝f（x）•g（x）为R上的奇函数，∵当x＜0时，f′（x）•g（x）+f（x）•g'（x）＜0，即x＜0时，h′（x）＝f′（x）•g（x）+f（x）•g'（x）＜0，∴h（x）＝f（x）•g（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，∴奇函数h（x）在区间（0，+∞）上也单调递减，如图：由g（﹣3）＝0，∴h（﹣3）＝h（3）＝0，∴当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，h（x）＝f（x）•g（x）＜0，故选：BD.小提示：本题考查了导数在研究函数中的应用，考查了构造法，同时考查了函数的奇偶性，本题属于中档题.11、“中国剩余定理”又称“孙子定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，其前n项和为S n，则下面对该数列描述正确的是（）A．a1=1B．S3=33C．a4−a3=7D．共有202项答案：AB分析：利用等差数列的定义、通项公式、前n项和公式进行逐一判断即可.将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列为：1，11，21，31 ，⋯2021，该数列是以1为首项，10为公差的等差数列，所以a n=10n−9，所以a1=1，因此选项A正确；S3=3×1+12×3×2×10=33，因此选项B正确；a4−a3=10，所以选项C不正确；10n−9≤2021，∴n≤203．∴共有203项，所以选项D不正确，故选：AB填空题12、已知函数f(x)=13x3+a2x2+ax+b，当x=−1时函数f(x)的极值为−712，则f(2)=__________．答案：53分析：先求导,再根据f′(−1)=0,f(−1)=−712联立方程组求出系数,分情况讨论系数是否符合题意,确定符合题意的系数,即可求出f(2)的值.解：已知函数f(x)=13x3+a2x2+ax+b,所以f′(x)=x2+2a2x+a ,由题意知f′(−1)=0，f(−1)=−712，即{1−2a 2+a =0,−13+a 2−a +b =−712, 解得{a =1,b =−14. 或{a =−12,b =−1.当{a =1,b =−14.时f′(x )=x 2+2x +1=(x +1)2≥0, 此时函数在R 上是增函数,函数f (x )没有极值,不合题意;当{a =−12,b =−1. 时f′(x )=x 2+12x −12=12(x +1)(2x −1), 令f′(x )=0,解得x =−1,x =12, 当x <−1或x >12时, f′(x )>0;当−1<x <12时, f′(x )<0;所以函数f (x )在(−∞,−1)和(12,+∞)上是增函数,函数f (x )在(−1,12)上是减函数,当x =−1时f (x )取得极大值,符合题意,所以{a =−12,b =−1. ,所以f (x )=13x 3+14x 2−12x −1 所以f (2)=53. 故答案为: 53 小提示：解含参数的极值问题要注意：①f′(x 0)=0是x 0为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验； ②若函数y =f (x )在区间(a,b)内有极值，那么y =f (x )在(a,b)内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值．13、数列{a n }满足a n+2+(−1)n a n =3n −1，前16项和为540，则a 1= ______________.答案：7分析：对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用a 1表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立a 1方程，求解即可得出结论.a n+2+(−1)n a n =3n −1，当n 为奇数时，a n+2=a n +3n −1；当n 为偶数时，a n+2+a n =3n −1.设数列{a n}的前n项和为S n，S16=a1+a2+a3+a4+⋯+a16=a1+a3+a5⋯+a15+(a2+a4)+⋯(a14+a16)=a1+(a1+2)+(a1+10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+(a1+102)+(a1+140)+(5+17+29+41)=8a1+392+92=8a1+484=540，∴a1=7.所以答案是：7.小提示：本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.14、设函数f(x)=e xx+a ．若f′(1)=e4，则a=_________．答案：1分析：由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值由函数的解析式可得：f′(x)=e x(x+a)−e x(x+a)2=e x(x+a−1)(x+a)2，则：f′(1)=e1×(1+a−1)(1+a)2=ae(a+1)2，据此可得：ae(a+1)2=e4，整理可得：a2−2a+1=0，解得：a=1.所以答案是：1.小提示：本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题. 解答题15、已知函数f(x)=ax3−ax+b,f(1)=2,f′(1)=2．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在(−1,f(−1))处的切线方程．答案：(1)f(x)=x3−x+2；(2)2x−y+4=0.分析：(1)对函数f(x)求导，利用给定条件列式计算即可得解.(2)利用(1)的结论求出切点坐标、切线斜率，再由直线的点斜式方程即可求出切线方程.. （1）由f(x)=ax3−ax+b求导得：f′(x)=3ax2−a，，解得a=1,b=2，又f(1)=2,f′(1)=2，则{b=22a=2所以f(x)的解析式为f(x)=x3−x+2.（2）由(1)得，f′(x)=3x2−1，则f′(−1)=2,f(−1)=2，f(x)在(−1,f(−1))处的切线方程为y−2=2(x+1)，即2x−y+4=0，所以f(x)在(−1,f(−1))处的切线方程是：2x−y+4=0.。

(精选试题附答案)高中数学选修一知识点归纳超级精简版

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一知识点归纳超级精简版单选题1、已知直线l 过定点A (2,3,1)，且方向向量为s ⃑=(0,1,1)，则点P (4,3,2)到l 的距离为（）A ．3√22B ．√22C ．√102D ．√2 答案：A分析：本题首先可根据题意得出AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，然后求出|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|与|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅s ⃑|s ⃑||，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果. 因为A (2,3,1)，P (4,3,2)，所以AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(2,0,1)，则|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√5，|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅s ⃑|s ⃑||=√22，由点到直线的距离公式得d =√|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅s ⃑|s ⃑||2=3√22，故选：A.2、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案：D分析：平移直线AD 1至BC 1，将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC 1,PC 1,PB ，因为AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1或其补角为直线PB 与AD 1所成的角，因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥PC 1，又PC 1⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1=B 1，所以PC 1⊥平面PBB 1，所以PC 1⊥PB ，设正方体棱长为2，则BC 1=2√2,PC 1=12D 1B 1=√2，sin∠PBC 1=PC 1BC 1=12，所以∠PBC 1=π6.故选：D3、已知F 1,F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2=60°,|PF 1|=3|PF 2|，则C 的离心率为（）A ．√72B ．√132C ．√7D ．√13答案：A分析：根据双曲线的定义及条件，表示出|PF 1|,|PF 2|，结合余弦定理可得答案.因为|PF 1|=3|PF 2|，由双曲线的定义可得|PF 1|−|PF 2|=2|PF 2|=2a ，所以|PF 2|=a ，|PF 1|=3a ；因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理可得4c 2=9a 2+a 2−2×3a ⋅a ⋅cos60°，整理可得4c 2=7a 2，所以e 2=c 2a 2=74，即e =√72.故选：A小提示：关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c 间的等量关系是求解的关键.4、如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑＝a ⃑,OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑,OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=c ⃑，点M 在OA 上，且OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，N 为BC 中点，则MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑（）A ．12a ⃑−23b ⃑⃑+12c ⃑B ．−23a ⃑+12b ⃑⃑+12c ⃑ C ．12a ⃑+12b ⃑⃑−12c ⃑D ．−23a ⃑+23b ⃑⃑−12c ⃑ 答案：B分析：由向量的加法和减法运算法则计算即可．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)−23OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−23a ⃑+12b ⃑⃑+12c ⃑ 故选：B5、已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，其中F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A ．(0,14]B ．(14,1)C ．(12,1)D ．[12,1)答案：D分析：先由椭圆的定义结合已知求得|PF 1|,|PF 2|，再由|PF 1|−|PF 2|≤|F 1F 2|求得a,c 的不等关系，即可求得离心率的取值范围.由椭圆的定义得|PF 1|+|PF 2|=2a ，又∵|PF 1|=3|PF 2|，∴|PF 1|=32a ，|PF 2|=12a ，而|PF 1|−|PF 2|≤|F 1F 2|=2c ，当且仅当点P 在椭圆右顶点时等号成立，即32a −12a ≤2c ，即a ≤2c ，则e =c a ≥12，即12≤e <1.故选：D ．6、如图，下列各正方体中，O 为下底面的中心，M ，N 为顶点，P 为所在棱的中点，则满足MN ⊥OP 的是（）A ．B ．C ．D ．答案：A 分析：根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点O (1,1,0)，对于A ，M (0,0,2),N (2,0,0),P (2,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,-1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，MN ⊥OP ，A 是；对于B ，M (2,0,2),N (0,2,2),P (0,2,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,2,0),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(-1,1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =4≠0，MN 与OP 不垂直，B 不是；对于C ，M (0,2,2),N (0,0,0),P (2,1,2)，MN →=(0,-2,-2),OP →=(1,0,2)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，C 不是；对于D ，M (2,2,2),N (0,2,0),P (0,0,1)，MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，D 不是.故选：A7、已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB:DC =2:1，则三角形ABD 面积的最小值是（）A ．43(√3−1)B ．43(√3+1)C ．4√33D ．√33 答案：A分析：建立直角坐标系，设D(x,y)，写出A,B,C 的坐标，利用DB:DC =2:1列式得关于x,y 的等式，可得点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算|AB |和点D 距离直线AB 的最小距离d −r ，代入三角形面积公式计算.以BC 的中点O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,√3)，B (−1,0)，C (1,0)，设D (x,y )，因为DB:DC =2:1，所以(x +1)2+y 2=4(x −1)2+4y 2，得(x −53)2+y 2=169，所以点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大，已知直线AB 的方程为：√3x −y +√3=0，|AB |=2，点D 距离直线AB 的最小距离为：d −r =|5√33+√3|2−43=4√33−43，所以△ABD面积的最小值为S△ABD=12×2×(4√33−43)=43(√3−1).故选：A8、已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2−4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C．√3D．√5答案：C分析：由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=√|PD|2−1，所以当|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果如图，连接PD，圆D：(x−2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=√|PD|2−1，所以当四边形PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=−2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．故(S四边形PADB )min=(√|PD|2−1)min=√3．故选：C9、如果复数z满足|z+1−i|=2，那么|z−2+i|的最大值是（）A．√13+2B．2+√3C．√13+√2D．√13+4答案：A分析：复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离．∵|CM|=√32+22=√13．∴|z−2+i|的最大值是√13+2．故选：A．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z+1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2．10、动点P，Q分别在抛物线x2=4y和圆x2+y2−8y+13=0上，则|PQ|的最小值为（）A．2√3B．√3C．12√3D．32√3答案：B分析：设P(x0,14x02)，根据两点间距离公式，先求得P到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.设P(x0,14x02)，圆化简为x2+(y−4)2=3，即圆心为（0,4），半径为√3，所以点P到圆心的距离d=√(x0−0)2+(14x02−4)2=√116(x02)2−x02+16，令t=x02，则t≥0，令f(t)=116t2−t+16，t≥0，为开口向上，对称轴为t=8的抛物线，所以f(t)的最小值为f(8)=12，所以d min=√12=2√3，所以|PQ|的最小值为d min−√3=2√3−√3=√3.故选：B填空题11、已知圆x2+y2+2x−4y−5=0与x2+y2+2x−1=0相交于A､B两点，则公共弦AB的长是___________. 答案：2分析：两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.解：由题意AB所在的直线方程为：(x2+y2+2x−4y−5)−(x2+y2+2x−1)=0，即y=−1，因为圆x2+y2+2x−1=0的圆心O(−1,0)，半径为r=√2，所以，圆心O(−1,0)到直线y=−1的距离为1，所以|AB|=2√2−12=2.所以答案是：212、与双曲线x29−y216=1有共同渐近线，且经过点A(−3,2√3)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为___________.答案：2分析：由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.解：根据题意，设双曲线方程为x 29−y216=λ，将点(−3,2√3)代入双曲线方程，解得λ=14.所以，经过点A(−3,2√3)的双曲线方程为：4x 29−y24=1，故4x 29−y24=1的一个焦点坐标为(52,0),一条渐近线方程为y=43x，即4x−3y=0，所以，焦点到一条渐近线的距离是√9+16=2，所以答案是：213、设点M在直线2x+y−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________．答案：(x−1)2+(y+1)2=5分析：设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.[方法一]：三点共圆∵点M在直线2x+y−1=0上，∴设点M为(a,1−2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴√(a−3)2+(1−2a)2=√a2+(−2a)2=R，a2−6a+9+4a2−4a+1=5a2，解得a=1，∴M(1,−1)，R=√5，⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.所以答案是：(x−1)2+(y+1)2=5[方法二]：圆的几何性质由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线2x+y−1=0的交点(1,-1).R=√5, ⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.所以答案是：(x−1)2+(y+1)2=514、已知椭圆C:x24+y23=1的左､右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|−|MF1|的最小值为___________.答案：2√2−5分析：首先根据椭圆的定义将|MN|−|MF1|的最小值转化为|MN|+|MF2|−4，再根据|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），最后根据|ME|+|MF2|≥|EF2|求得|MN|−|MF1|的最小值.如图，由M为椭圆C上任意一点，则|MF1|+|MF2|=4又N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴|MN|−|MF1|=|MN|−(4−|MF2|)=|MN|+|MF2|−4≥|ME|+|MF2|−5≥|EF2|−5，当且仅当M、N、E、F2共线时等号成立.∵F2(1,0)，E(3,2)，则|EF2|=√(3−1)2+(2−0)2=2√2，∴|MN|−|MF1|的最小值为2√2−5．所以答案是：2√2−5．小提示：思路点睛；本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，考查学生的转化与化归思想，属于较难题.15、如图，已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l 与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为______．答案：(4,+∞)分析：设A, B 坐标和直线AB 的方程，让直线AB 方程与抛物线进行联立可得x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1，接着利用弦长公式求出|AB |，再求出点D 到直线AB 的距离，最后利用三角形的面积公式即可求出答案由抛物线C:y 2=4x 可得焦点F (1,0)，准线方程为x =−1，D (−1,0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，直线AB 的方程为y =k (x −1)(k ≠0)，由{y =k (x −1)y 2=4x，可得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，则x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1，所以|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(2+4k 2)2−4=4(1+k 2)k 2，直线AB 的一般方程为kx −y −k =0，点D (−1,0)到直线AB 的距离d =√k 2+1，所以S =12d ⋅|AB |=√1+k 2⋅4(1+k 2)k 2=4√1k 2+1>4，所以△DAB 的面积S 的取值范围为(4,+∞)，所以答案是：(4,+∞)解答题16、已知△ABC 的三个顶点分别为A(−2，0)，B(2，0)，C(0，2)．（1）若过P(1，2)的直线y =ax +b 将△ABC 分割为面积相等的两部分，求b 的值；（2）一束光线从E(1，0)点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射到x 轴上的F 点，最后再经x 轴反射，反射光线所在直线为l ，证明直线l 经过一定点，并求出此定点的坐标．答案：（1）b =2−23√3；（2）证明见解析，(−1，−4)．分析：（1）结合图形分析可得直线y =ax +b 的斜率大于直线PA 的斜率，由此可得直线y =ax +b 只能与BC 、AB 相交，设其与BC 的交点为Q 点，与x 轴的交点为R ，根据题设条件得到比例关系，列方程求b ；（2）设F(m ，0)，结合光线反射的性质求出直线ED 的斜率，由此可得直线l 的方程，进而可得定点坐标.（1）直线BC 的方程为：x +y―2=0，直线y =ax +b 只能与BC 、AB 相交，其与BC 的交点为Q 点，由{y =ax +b x +y =2得y Q =b+2a 1+a ，y Q >0，直线y =ax +b 与x 轴交点为R (−b a ，0)，−20，∴b =2−23√3．（2）设F(m ，0)，直线AC 的方程为：x −y +2=0，直线BC 的方程为：x +y −2=0，设F(m ，0)关于直线AC 的对称点为F 1(x 1，y 1)，则{m+x 12−y 12+2=0y 1x 1−m =−1 ，解得F 1(−2，m +2)，同理可得F 1关于直线BC 的对称点为F 2(−m ，4)，则F 2在直线ED 上，所以直线ED 的斜率为4−m−1，∴l 的斜率为4m+1，l 方程为y =4m+1(x −m )，即m (y +4)=4x −y ，∴l 过定点(−1，−4)．17、如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC =BC =BB 1，D 为AB 的中点．试用向量的方法证明：(1)BC 1⊥AB 1；(2)BC 1//平面A 1CD ．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量的方法证得结论成立.（2）利用向量的方法证得结论成立.（1）建立如图所示空间直角坐标系，设AC =BC =BB 1=2，则B (0,2,2),C 1(0,0,0),A (2,0,2),B 1(0,2,0)，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(0,−2,−2),AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−2,2,−2),BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0，所以BC 1⊥AB 1.（2）BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(0,−2,−2)，D (1,1,2),A 1(2,0,0),C (0,0,2),DA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1,−1,−2),A 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−2,0,2)，设平面A 1CD 的法向量为n ⃑⃑=(x,y,z )，则{n ⃑⃑⋅DA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=x −y −2z =0n ⃑⃑⋅A 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−2x +2z =0，故可令n ⃑⃑=(1,−1,1)， BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅n⃑⃑=0，所以BC 1//平面A 1CD .18、已知抛物线T ：y 2=2px （p ∈N +）和椭圆C ：x 25+y 2=1，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点.(1)若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；(2)若MN 恰好被AB 平分，求△OAB 面积的最大值答案：(1)4(2)3√22．分析：（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得p 的值；（2）设直线l 方程为x =my +p 2，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值．（1）在椭圆中，c =√a 2−b 2=2，所以p 2=2，p =4；（2）设直线l 方程为x =my +p 2，代入抛物线方程得y 2−2mpy −p 2=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AB 中点为G(x 0,y 0)，则y 1+y 2=2mp ，y 1y 2=−p 2，y 0=y 1+y 22=mp ，x 0=m 2p +p 2，设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4)，则{x 325+y 32=1x 425+y 42=1 ，两式相减得(x 3+x 4)(x 3−x 4)5+(y 3+y 4)(y 3−y 4)=0，所以2x 0(x 3−x 4)5+2y 0(y 3−y 4)=0，k MN =y 3−y 4x 3−x 4=−x 05y 0，k MN =−1m ，所以−15×m 2p+p 2mp =−1m ，解得m 2=18，点G 在椭圆内部，所以(m 2p+p 2)25+(mp)2<1，得p 2<6413，因为p ∈N +，所以p =1或p =2，S △OAB =12×p 2|y 1−y 2|=p 4√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=p 4√4m 2p 2+4p 2=3√28p 2， p =1时，S △OAB =3√28，p =2时，S △OAB =3√22，所以△OAB 面积的最大值为3√22．小提示：本题考查求抛物线的方程，考查直线民椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．19、已知直线l 1与直线l 2:3x +4y −5=0平行，直线l 1与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线l 1的方程. 答案：3x +4y ±12√2=0分析：设直线的方程为3x +4y +c =0，求出截距后可求面积，从而可求直线的方程.设直线l 1的方程为3x +4y +c =0.令y =0，得x =−c 3；令x =0，得y =−c 4.由题设得12|−c 3|⋅|−c 4|=12.解得c =±12√2，因此直线l 1的方程为3x +4y ±12√2=0.。

高中数学选修一综合测试题知识点总结归纳(带答案)

高中数学选修一综合测试题知识点总结归纳单选题1、动点P 在抛物线x 2=4y 上，则点P 到点C (0,4)的距离的最小值为（） A ．√3B ．2√3C ．12√3D ．12 答案：B分析：设出点P 坐标，用两点间距离公式表达出点P 到点C (0,4)的距离，配方后求出最小值.设P (x,x 24)，则|PC |=√x 2+(x 24−4)2=√116(x 2−8)2+12，当x 2=8时，|PC |取得最小值，最小值为2√3 故选：B2、在平面直角坐标系中，四点坐标分别为A (2,0),B(3,2−√3),C(1,2+√3), D (4,a )，若它们都在同一个圆周上，则a 的值为（） A ．0B ．1C ．2D ．√3 答案：C分析：设出圆的一般式x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，根据A (2,0),B(3,2−√3),C(1,2+√3),求出{D =−4E =−4F =4，然后将点D (4,a )带入圆的方程即可求得结果. 设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，由题意得{22+02+2D +F =032+(2−√3)2+3D +(2−√3)E +F =012+(2+√3)2+D +(2+√3)E +F =0，解得{D =−4E =−4F =4 ，所以x 2+y 2−4x −4y +4=0，又因为点D (4,a )在圆上，所以42+a 2−4×4−4a +4=0，即a =2. 故选：C.3、“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A分析：直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直得到a∈R，再利用充分必要条件的定义判断得解. 因为直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直，所以1×(a)+a×(−1)=0，所以a∈R.所以a=1时，直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直，所以“a=1”是“直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直”的充分条件；当直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直时，a=1不一定成立，所以“a=1”是“直线x+ay−1= 0与直线ax−y+1=0相互垂直”的非必要条件.所以“a=1”是“直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直”的充分非必要条件.故选：A小提示：方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.4、已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，则AB的中点M到C的准线l的距离的最小值为（）A．2B．4C．5D．6答案：B分析：设出直线AB的方程x=my+2，联立后利用弦长公式表达出AB，求出AB长度的最小值，再利用抛物线的定义来进行转化，得到AB的中点M到C的准线l的距离为AB的一半，进而求出点M到C的准线l的距离的最小值.如图，分别过点A ，M ，B 作准线的垂线，垂足分别为C ，D ，E ，则|MD |=|AC |+|BE |2=|AF |+|BF |2=|AB |2设直线AB 的方程为x =my +2，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). 联立{x =my +2y 2=8x ，整理得y 2−8my −16=0，则y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−16.|AB |=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8(1+m 2)⩾8∴|MD |⩾4. 故选：B.5、平面α的一个法向量是n ⃗ =(12,−1,13)，平面β的一个法向量是m ⃗⃗ =(−3,6,−2)，则平面α与平面β的关系是（）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直答案：C分析：由题设知m ⃗⃗ =−6n ⃗ ，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. ∵平面α的一个法向量是n ⃗ =(12,−1,13)，平面β的一个法向量是m ⃗⃗ =(−3,6,−2)， ∴ m ⃗⃗ =−6n ⃗ ，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．6、已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，CM CB=13，PN =ND ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用{a ,b ⃗ ,c }为基底表示为（）A ．a +13b ⃗ +12c B ．−a +16b ⃗ +12c C ．a −13b ⃗ +12c D ．−a −16b ⃗ +12c 答案：D分析：由图形可得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据比例关系可得MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据向量减法DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入整理并代换为基底向量．MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AP⃗⃗⃗⃗⃗ 即MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −16b ⃗ +12c故选：D ．7、已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程（）A ．x 2－y 28＝1(x ≤－1)B ．x 2－y 28＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≥1)D ．y 28－x 2＝1答案：A分析：根据双曲线定义求解|MC 1|=r +1,|MC 2|=r +3,则|MC 2|−|MC 1|=2 根据双曲线定义知M 的轨迹为x 2−y 28=1的左半支故选：A8、如图所示，在空间直角坐标系中，BC =2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC =90∘，∠DCB =30∘，则点D 的坐标为（）．A ．(0，−12，−√32) B ．(0，−12，√32) C ．(0，12，−√32) D ．(0，12，√32) 答案：B分析：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，然后在Rt △BDC 中求解. 过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，∠BDC =90∘，∠DCB =30∘，BC =2，得|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1、|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，所以|DE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin30∘=√32，所以|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60∘=1−12=12，所以点D 的坐标为(0，−12，√32)，故选：B ．多选题9、如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（）A．k1<k3<k2B．k3<k2<k1C．α1<α3<α2D．α3<α2<α1答案：AD分析：根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论.解：如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则k2>k3>0，k1<0，故π2>α2>α3>0，且α1为钝角，故选：AD.小提示：本题考查直线的倾斜角与斜率，考查数形结合思想，是基础题.10、三棱锥A−BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n⃗1,n⃗2，若<n⃗1,n⃗2>=π3，则二面角A−BD−C 的大小可能为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6答案：BC分析：由二面角的大小与法向量夹角相等或互补即可求得结果. ∵二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，∴二面角A−BD−C的大小可能为π3或π−π3=2π3.故选：BC.11、已知点A是直线l:x+y−√2=0上一定点，点P、Q是圆x2+y2=1上的动点，若∠PAQ的最大值为90∘，则点A的坐标可以是A ．(0,√2)B ．(1,√2−1)C ．(√2,0)D ．(√2−1,1) 答案：AC解析：设点A 的坐标为(t,√2−t)，可得知当AP 、AQ 均为圆x 2+y 2=1的切线时，∠PAQ 取得最大值90∘，可得出四边形APOQ 为正方形，可得出|OA |=√2，进而可求出点A 的坐标. 如下图所示：原点到直线l 的距离为d =√2√12+12=1，则直线l 与圆x 2+y 2=1相切，由图可知，当AP 、AQ 均为圆x 2+y 2=1的切线时，∠PAQ 取得最大值，连接OP 、OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90∘，且∠APO =∠AQO =90∘，|OP |=|OQ |=1，则四边形APOQ 为正方形，所以|OA |=√2|OP |=√2，由两点间的距离公式得|OA |=√t 2+(√2−t)2=√2，整理得2t 2−2√2t =0，解得t =0或√2，因此，点A 的坐标为(0,√2)或(√2,0). 故选：AC.小提示：本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 填空题12、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间任一点，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则向量OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用a ，b ⃗ ，c 表示为________．答案：OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a −12b ⃗ +c .分析：根据向量的线性运算可得答案.解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴b ⃗ −a =−2(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −c )，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a −12b ⃗ +c . 所以答案是：OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a −12b ⃗ +c . 13、在三棱锥O-ABC 中，OA ､OB ､OC 两两垂直，OA =3，OB =4，OC =5，D 是AB 的中点，则CD 与平面OAB 所成的角的正切值为___________. 答案：2分析：由已知建立空间直角坐标系，求出CD⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标和平面OAB 的法向量，由数量积公式可得CD 与平面OAB 所成的角的正弦值，再由三角函数平方关系和商数关系可得答案.因为OC 、OA 、OB 两两垂直，所以以O 为原点，OA 、OB 、OC 分别为x 、y 、z 轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，连接CD ，所以A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,5)，D (32,2,0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,2,−5)，由于CO ⊥底面OAB ，所以CO ⃗⃗⃗⃗⃗ 是底面OAB 的法向量，且CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−5)，设CD 与平面OAB 所成的角为θ(θ∈[0,π2])，所以sinθ=|cos⟨CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=|CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗|CO ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=5×√4+25+4=√5，所以cosθ=√1−sin 2θ=√5，所以tanθ=sinθcosθ=2. 即CD 与平面OAB 所成的角正切值为2. 所以答案是：2.小提示：本题考查了线面角的求法，解题关键点是建立空间直角坐标系利用向量的数量积公式求解，考查了学生的空间想象力和计算能力.14、已知椭圆x24+y2=1，过P(1,12)点作直线l交椭圆C于A，B两点，且点P是AB的中点，则直线l的方程是__________.答案：x+2y−2=0分析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12+4y12=4，x22+4y22=4，∴(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0．∵P(1,12)恰为线段AB的中点，即有x1+x2=2，y1+y2=1，∴(x1−x2)+2(y1−y2)=0，∴直线AB的斜率为k=y1−y2x1−x2=−12，∴直线AB的方程为y−12=−12(x−1)，即x+2y−2=0．由于P在椭圆内，故成立．所以答案是：x+2y−2=0．解答题15、在平面直角坐标系xOy中，已知四点A(0,1)，B(3,0)，C(1,4)，D(0,3).（1）这四点是否在同一个圆上?如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由；（2）求出到点A，B，C，D的距离之和最小的点P的坐标.答案：（1）四点A(0,1)，B(3,0)，C(1,4)，D(0,3)都在圆(x−2)2+(y−2)2=5上；（2）(12,5 2 ).分析：（1）设经过A，B，C三点的圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，代入点A，B，C的坐标可解得圆的方程，再判断点D是否在圆上即可；（2）由|PA|+|PC|≥|AC|，当且仅当点P在线段AC上时取等号，同理|PB|+|PD|≥|BD|，当且仅当点P在线段BD上时取等号，进而可得当点P为AC，BD交点时距离之和最小，故求AC，BD交点坐标即可.（1）设经过A，B，C三点的圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，{(0−a)2+(1−b)2=r2(3−a)2+(0−b)2=r2,(1−a)2+(4−b)2=r2解得a=2，b=2，r2=5因此，经过A，B，C三点的圆的方程为(x−2)2+(y−2)2=5.由于(0−2)2+(3−2)2=5，故点D也在这个圆上.因此，四点A(0,1)，B(3,0)，C(1,4)，D(0,3)都在圆(x−2)2+(y−2)2=5上. （2）因为|PA|+|PC|≥|AC|，当且仅当点P在线段AC上时取等号.同理，|PB|+|PD|≥|BD|，当且仅当点P在线段BD上时取等号.因此，当点P是AC和BD的交点时，它到A，B，C，D的距离之和最小.因为直线AC的方程为y=3x+1，直线BD的方程为y=−x+3，联立{y=3x+1y=−x+3,解得点P的坐标为(12,52).。

(精选试题附答案)高中数学第三章函数的概念与性质知识点归纳超级精简版

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第三章函数的概念与性质知识点归纳超级精简版单选题1、下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A．f(x)=x2−xx，g(x)=x−1B．f(x)=√x2，g(x)=(√x)2C．f(x)=x2−2，g(t)＝t2－2D．f(x)=√x+1⋅√x−1，g(x)=√x2−1答案：C分析：根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.解：由题意得：对于选项A：f(x)=x 2−xx的定义域为{x|x≠0}，g(x)=x−1的定义域为R，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；对于选项B：f(x)=√x2的定义域为R，g(x)=(√x)2的定义域为{x|x≥0}，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；对于选项C：f(x)=x2−2的定义域为R，g(t)=t2−2的定义域为R，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；对于选项D：f(x)=√x+1⋅√x−1的定义域为{x|x≥1}，g(x)=√x2−1的定义域为{x|x≤−1或x≥1}，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.故选：C2、已知函数f(x+1)的定义域为(−1,1)，则f(|x|)的定义域为（）A．(−2,2)B．(−2,0)∪(0,2),0)C．(−1,0)∪(0,1)D．(−12答案：B分析：根据抽象函数定义域的求法求得正确答案.依题意函数f(x+1)的定义域为(−1,1)，−1<x<1⇒0<x+1<2，所以0<|x|<2，解得−2<x<0或0<x<2，所以f(|x|)的定义域为(−2,0)∪(0,2).故选：B3、函数y=4x的图象大致为（）x2+1A．B．C．D．答案：A分析：由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；由函数的解析式可得：f(−x)=−4xx2+1当x =1时，y =41+1=2>0，选项B 错误.故选：A. 小提示：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．4、若函数f (x +1x )=x 2+1x 2，且f (m )=4，则实数m 的值为（） A ．√6B ．√6或−√6C ．−√6D ．3答案：B分析：令x +1x =t ，配凑可得f (t )=t 2−2，再根据f (m )=4求解即可令x +1x =t （t ≥2或t ≤−2），x 2+1x 2=(x +1x )2−2=t 2−2，∴f (t )=t 2−2，f (m )=m 2−2=4，∴m =±√6.故选；B5、已知函数f (x )={x 2+a,x ≤0,2x ,x >0.若f[f (−1)]=4，且a >−1，则a =（） A ．−12B ．0C ．1D ．2答案：C分析：根据函数的解析式求出f(−1)=1+a ，结合1+a >0即可求出f[f(−1)]，进而得出结果.由题意知，f(−1)=(−1)2+a =1+a ，又a >−1，所以1+a >0，所以f[f(−1)]=f(1+a)=21+a =4，解得a =1.故选：C6、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）A．−4B．4C．−1D．1答案：C分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1，故选：C7、已知定义在R上的函数f(x)在[−1,+∞)上单调递增，若f(2)=0，且函数f(x−1)为偶函数，则不等式xf(x)>0的解集为（）A．(2,+∞)B．(−4,−1)∪(0,+∞)C．(−4,+∞)D．(−4,0)∪(2,+∞)答案：D分析：分析可知函数f(x)的图象关于直线x=−1对称，可得出函数f(x)的单调性，分析f(x)的符号变化，由xf(x)>0可得{x<0f(x)<0或{x>0f(x)>0，解之即可.因为函数f(x−1)为偶函数，则f(−x−1)=f(x−1)，故函数f(x)的图象关于直线x=−1对称，因为函数f(x)在[−1,+∞)上单调递增，故函数f(x)在(−∞,−1]上单调递减，因为f(2)=0，则f(−4)=0，所以，由f(x)<0可得−4<x<2，由f(x)>0可得x<−4或x>2，解不等式xf(x)>0，可得{x<0f(x)<0或{x>0f(x)>0，解得−4<x<0或x>2，故不等式xf(x)>0的解集为(−4,0)∪(2,+∞).故选：D.8、函数f(x)=e x−e−xx2的图象大致为（）A．B．C．D．答案：B分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由f(1)=e−e−1>0排除不正确的选项，从而得出答案..详解：∵x≠0,f(−x)=e −x−e xx2=−f(x)∴f(x)为奇函数，排除A,∵f(1)=e−e−1>0，故排除D.∵f′(x)=(e x+e−x)x2−(e x−e−x)2xx4=(x−2)e x+(x+2)e−xx3,，当x>2时，f′(x)>0，所以f(x)在(2，+∞)单调递增，所以排除C；故选：B.9、已知f(x)是一次函数，2f(2)−3f(1)=5,2f(0)−f(−1)=1，则f(x)=（）A．3x+2B．3x−2C．2x+3D．2x−3答案：B分析：设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，根据题意列出方程组，求得k,b 的值，即可求解.由题意，设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，因为2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，可得{k −b =5k +b =1，解得k =3,b =−2，所以f (x )=3x −2.故选：B.10、已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m 3−1是幂函数，对任意的x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2，满足f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0，若a,b ∈R,a +b <0，则f(a)+f(b)的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断答案：B解析：根据函数为幂函数以及函数在(0,+∞)的单调性，可得m ，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.由题可知：函数f(x)=(m 2−m −1)x m3−1是幂函数则m 2−m −1=1⇒m =2或m =−1又对任意的x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2，满足f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0所以函数f(x)为(0,+∞)的增函数，故m =2所以f(x)=x 7，又f(−x)=−f(x)，所以f(x)为R 单调递增的奇函数由a +b <0，则a <−b ，所以f(a)<f(−b)=−f(b)则f(a)+f(b)<0故选：B小提示：本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0,[f (x 1)−f (x 2)]⋅(x 1−x 2)>0，属中档题.填空题11、若函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)，则a +b 的值为____. 答案：92 分析：根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为[1,b ](b >1)，列出相应方程组，求出a ，b 的值即可. 解：由函数f (x )=12x 2−x +a ，可得对称轴为x =1，故函数在[1,b ]上是增函数.∵函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)，∴ {f (1)=1f (b )=b ，即{12−1+a =112b 2−b +a =b . 解得a =32，b =1或b =3.∵ b >1，∴ b =3.∴ a +b =32+3=92.所以答案是：92.12、若3f (x )+2f (1x )=4x ，则f (x )=______．答案：12x 5−85x分析：将x 用1x代替又可得一个等式，将两个等式联立解方程即可得出结果. 由3f (x )+2f (1x)=4x ①，将x 用1x 代替得3f (1x )+2f (x )=4x ②，由①②得f (x )=12x 5−85x . 所以答案是：12x 5−85x .13、有对应法则f：（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→x2；（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→1x2；（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．答案：（1）(4)分析：利用函数的定义判断.（1）由函数的定义知，正确；（2）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；（3）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；（4）由函数的定义知，正确；（5）因为集合A不是数集，故错误；所以答案是：（1）(4)14、已知定义域为[1−3a,a+1]的奇函数f(x)=x3+bx2+x，则f(3x+b)+f(x+a)≥0的解集为_______．答案：[−14,2 3 ]分析：根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性. f(3x+ b)+f(x+a)≥0等价于f(3x)≥−f(x+1)=f[−(x+1)]，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.由题知，f(−x)=−x3+bx2−x=−f(x)=−x3−bx2−x，所以2bx2=0恒成立，即b=0．又因为奇函数的定义域关于原点对称，所以1−3a+(a+1)=0，解得a=1，因此f(x)=x3+x，x∈[−2,2]，由y=x3单调递增，y=x单调递增，易知函数f(x)单调递增，故f(3x+b)+f(x+a)≥0等价于f(3x)+f(x+1)≥0等价于f(3x)≥−f(x+1)=f[−(x+1)]即{3x≥−(x+1)−2≤3x≤2−2≤x+1≤2，解得x∈[−14,23]．所以答案是：[−14,2 3 ]15、已知函数f(x)={3x−1,x≥12−x+3,x<1，则f(−2)=________. 答案：7分析：根据题意直接求解即可解：因为f(x)={3x−1,x≥12−x+3,x<1，所以f(−2)=22+3=7，所以答案是：7解答题16、某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t−12t2(万元)．（1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？答案：（1）f (x )＝{−12x 2+4.75x −0.5,0<x ≤512−0.25x,x >5；（2）475件．分析：（1）根据年需求量为500件，由0<x ≤5时，产品全部售出，当x >5时，产品只能售出500件和固定成本0.5万元，每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元求解.（2）根据（1）的结果，分别利用二次函数和一次函数的性质求得值域，再取并集.（1）当0<x ≤5时，产品全部售出，当x >5时，产品只能售出500件．所以f (x )={(5x −12x 2)−(0.5+0.25x ),0<x ≤5(5×5−12×52)−(0.5+0.25x ),x >5, 即f (x )＝{−12x 2+4.75x −0.5,0<x ≤512−0.25x,x >5. （2）当0<x ≤5时，f (x )＝－12x 2＋4.75x －0.5，所以当x ＝4.75(百件)时，f (x )有最大值， f (x )max ＝10.781 25(万元)．当x >5时，f (x )<12－0.25×5＝10.75(万元)．故当年产量为475件时，当年所得利润最大．小提示：方法点睛：（1）很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如本题．（2）求函数最值常利用基本函数法，基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的值域时，应先求每一段上的值域，然后取并集．17、已知f (x )={−x (x +4) ， x ≤0x ，x >0（1）求f(f (−1))；（2）若f (a )=12，求a 的值；（3）若其图像与y =b 有三个交点，求b 的取值范围.答案：（1）3（2）12（3）00 ， ∴ f(f (−1))=f(3)=3，（2）当a >0时，f (a )=a =12，当a ≤0时，f(a)=−a(a +4)=12，解得a ∈ϕ，综上，a =12（3）作出f (x )={−x (x +4) ， x ≤0x ，x >0的图象，如图，由图象可知，当000,x =0x +1x −1,x <0； (2)f(x)在(0,1)上是减函数，证明见解析.分析：（1）根据奇函数的性质进行转化求解析式即可．（2）根据函数单调性的定义进行判断单调性．（1）∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0，又当x ＞0时，f(x)=x +1x +1． ∴当x ＜0时，则−x ＞0，则f(−x)＝−x −1x +1＝−f(x)，则f(x)＝x +1x −1（x ＜0），综上，f(x) ={x +1x +1,x >00,x =0x +1x −1,x <0．（2）设0<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)＝x 1+1x 1+1−x 2−1x 2−1＝(x 1−x 2) +x 2−x 1x 1x 2= (x 1−x 2)(1−1x 1x 2)＝(x 1−x 2) ⋅ x 1x 2−1x 1x 2，∵0<x 1<x 2<1，∴x 1−x 2<0，0＜x 1x 2＜1，x 1x 2−1＜0，则f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， ∴函数f(x)在(0,1)上是减函数．19、已知函数f (1−3x )的定义域为A =[14,1]．(1)求f (x )的定义域B ；(2)对于（1）中的集合B ，若∃x ∈B ，使得a >x 2−x +1成立，求实数a 的取值范围．答案：(1)B =[−2,14](2)(1316,+∞)分析：（1）f (1−3x )的定义域x ∈[14,1]可以求出−2≤1−3x ≤14，即f (x )的定义域；（2）令g (x )=x 2−x +1，若∃x ∈B ，使得a >g (x )成立，即可转化为a >g (x )min 成立，求出g (x )min 即可.（1）∵f (1−3x )的定义域为A =[14,1]，∴14≤x ≤1．∴−2≤1−3x ≤14，则B =[−2,14]．（2）令g (x )=x 2−x +1，∃x ∈B ，使得a >x 2−x +1成立，即a 大于g (x )在[−2,14]上的最小值． ∵g (x )=(x −12)2+34， ∴g (x )在[−2,14]上的最小值为g (14)=1316，∴实数a 的取值范围是(1316,+∞)．。

(精选试题附答案)高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理单选题1、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型c(t)=c0e−kt描述，假定某药物的消除速率常数k=0.1（单位：h−1），刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln2≈0.693,ln3≈1.099）A．5.32hB．6.23hC．6.93hD．7.52h答案：C分析：利用已知条件c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为t1，转化求解即可.解：由题意得：c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为t1c(t1)=2000e−0.1t1≥1000e−0.1t1≥1 2故−0.1t≥−ln2，t≤ln20.1≈6.93故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93ℎ故选：C2、设alog34=2，则4−a=（）A ．116B ．19C ．18D ．16答案：B分析：根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解由alog 34=2可得log 34a =2，所以4a =9，所以有4−a =19，故选：B.小提示：本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.3、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足L =5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（√1010≈1.259） A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6 答案：C分析：根据L,V 关系，当L =4.9时，求出lgV ，再用指数表示V ，即可求解. 由L =5+lgV ，当L =4.9时，lgV =−0.1，则V =10−0.1=10−110=√1010≈11.259≈0.8.故选：C.4、函数y =2x −2−x （） A ．是R 上的减函数 B ．是R 上的增函数C ．在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数D ．无法判断其单调性答案：B分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数，指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数，故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选：B.5、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞) 答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x=0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1，则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件；当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x的图象没有交点，因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)，故选：B.6、已知函数f(x)=9+x 2x，g(x)=log 2x +a ，若存在x 1∈[3,4]，对任意x 2∈[4,8]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是（）A ．(−∞,134]B ．(134,+∞)C ．(0,134)D ．（1，4）答案：A分析：将问题化为在对应定义域内f(x 1)max ≥g(x 2)max ，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.由题意知：f(x)在[3,4]上的最大值大于或等于g(x)在[4,8]上的最大值即可．当x ∈[3,4]时，f(x)=9x +x ，由对勾函数的性质得：f(x)在[3,4]上单调递增，故f(x)max =f(4)=94+4=254．当x ∈[4,8]时，g(x)=log 2x +a 单调递增，则g(x)max =g(8)=log 28+a =3+a ，所以254≥3+a ，可得a ≤134．故选：A7、已知a =log 20.6,b =log 20.8,c =log 21.2，则（） A ．c >b >a B ．c >a >b C ．b >c >a D ．a >b >c答案：A分析：由对数函数得单调性即可得出结果. ∵y =log 2x 在定义域上单调递增，∴log 20.6<log 20.8<log 21.2，即c >b >a . 故选：A.8、下列各组函数中，表示同一个函数的是（） A ．y =1与y =x 0B ．y =x 与y =(√x)2C ．y =2log 2x 与y =log 2x 2D ．y =ln 1+x 1−x 与y =ln (1+x )−ln (1−x )答案：D分析：分别计算每个选项中两个函数的定义域和对应关系，定义域和对应关系都相同的是同一个函数，即可得正确选项.对于A ：y =1定义域为R ，y =x 0定义域为{x|x ≠0}，定义域不同不是同一个函数，故选项A 不正确；对于B ：y =x 定义域为R ，y =(√x)2的定义域为{x|x ≥0}，定义域不同不是同一个函数，故选项B 不正确；对于C ：y =2log 2x 的定义域为{x|x >0}，y =log 2x 2定义域为{x|x ≠0}，定义域不同不是同一个函数，故选项C 不正确；对于D ：由1+x1−x >0可得(x +1)(x −1)<0，解得：−1<x <1，所以y =ln 1+x1−x 的定义域为{x|−1<x <1}，由{1+x >01−x >0可得−1<x <1，所以函数y =ln (1+x )−ln (1−x )的定义域为{x|−1<x <1}且y =ln (1+x )−ln (1−x )=ln 1+x 1−x ，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D 正确，故选：D.9、方程log 2x =log 4(2x +3)的解为（） A ．−1B ．1 C ．3D ．−1或3 答案：C分析：根据对数运算性质化为同底的对数方程，结合对数真数大于零可求得结果.∵log2x=log4(2x+3)=12log2(2x+3)=log2√2x+3，∴{x>02x+3>0x=√2x+3，解得：x=3.故选：C.10、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（）附：lg2≈0.3010A．10%B．20%C．50%D．100%答案：B分析：根据题意，计算出log24000log21000的值即可；当SN =1000时，C=Wlog21000，当SN=4000时，C=Wlog24000，因为log24000log21000=lg4000lg1000=3+2lg23≈3.60203≈1.2所以将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了20%，故选：B.小提示：本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.填空题11、对数型函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，则满足题意的一个函数解析式为______．答案：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一，满足f(x)=|log a(x+b)|，a>1，b≥1即可）分析：根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，∴满足题意的一个函数是f(x)=|log2(x+1)|．所以答案是：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一）12、已知f (x )={2−x −1,−1<x ≤0f (x −1)+1,x >0 ，则函数g (x )=f (x )−3+14(x −3)2零点的个数为___________.答案：4分析：函数g (x )=f (x )−3+14(x −3)2零点的个数可转化为函数f (x )={2−x −1,−1<x ≤0f (x −1)+1,x >0与函数y =−14(x −3)2+3的图像交点个数，画出两个函数图像观察交点个数即可.解：对于函数f (x )={2−x −1,−1<x ≤0f (x −1)+1,x >0，当−1<x ≤0时，f (x )=2−x −1，当0<x ≤1时，f (x )=f (x −1)+1=2−x+1−1+1=2−x+1 当1<x ≤2时，f (x )=f (x −1)+1=2−x+2+1，当2<x ≤3时，f (x )=f (x −1)+1=2−x+3+2，当3<x ≤4时，f (x )=f (x −1)+1=2−x+4+3， ⋯⋯⋯⋯，函数g (x )=f (x )−3+14(x −3)2零点的个数可转化为函数f (x )={2−x −1,−1<x ≤0f (x −1)+1,x >0与函数y =−14(x −3)2+3的图像交点个数，在同一个直角坐标系中画出两个函数图像如图：观察图像可得：两个函数有4个交点，即函数g (x )=f (x )−3+14(x −3)2零点的个数为4.所以答案是：4.小提示：关键点点睛：本题主要考察零点个数问题，我们可以把零点个数问题转化为函数图像的交点个数，这里准确的画出函数图像是关键。

(精选试题附答案)高中数学第五章三角函数重点知识归纳

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第五章三角函数重点知识归纳单选题1、已知某摩天轮的旋转半径为60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为（）A．95米B．100米C．105米D．110米答案：C分析：设函数关系式为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))，根据题意求得各参数得解析式，然后计算f(10)可得．设该游客在摩天轮上离地面高度f(t)（米）与时间t（分钟）的函数关系为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω> 0,φ∈[0,2π))，由题意可知A=60，B=135−60=75，T=2πω=30，所以ω=π15，即f(t)=60sin(π15t+φ)+75．又f(0)=135−120=15，得sinφ=−1，故φ=3π2，所以f(t)=60sin(π15t+3π2)+75=−60cosπ15t+75，所以f(10)=−60×cos2π3+75=105．故选：C．2、已知角θ的终边经过点P(−12,√32)，则角θ可以为（）A．5π6B．2π3C．11π6D．5π3答案：B分析：求得sinθ，结合P在第二象限求得θ的值，由此确定正确选项.依题意sinθ=√32√(−12)2+(√32)=√32，由于P在第二象限，所以θ=2π3+2kπ,k∈Z，当k=0时θ=2π3，所以B选项正确，其它选项错误.故选：B3、将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，根据定义逐项判断即可得出结论.若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长，正确；（3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为3×16×2π=π，圆的周长为2π×12=π，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为π×126=π6，正三角形的面积S =12×1×1×√32=√34，则一个弓形面积S =π6−√34，则整个区域的面积为3(π6−√34)+√34=π2−√32，而圆的面积为π(12)2=π4，不相等，故错误；综上，正确的有2个，故选：B.小提示：本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键．4、若函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=（）． A ．1B ．32C ．2D ．3答案：B分析：根据f (π3)=1以及周期性求得ω. 依题意函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则{f (π3)=sin π3ω=1T 2=πω≥π3 ，即{π3ω=2kπ+π2,k ∈Z 0<ω≤3 ，解得ω=32.故选：B5、已知f (x )=2√3sinwxcoswx +2cos 2wx ，（w >0），若函数在区间(π2,π)内不存在对称轴，则w 的范围为（）A ．(0,16]∪[13,34]B ．(0,13]∪[23,34] C ．(0,16]∪[13,23]D ．(0,13]∪[23,56] 答案：C分析：先通过三角恒等变换将f (x )化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可．函数化简得f (x )=√3sin2wx +cos2wx +1=2sin (2wx +π6)+1，由2wx +π6=kπ+π2(k ∈Z )，可得函数的对称轴为x =kπ+π32w(k ∈Z )，由题意知，kπ+π32w≤π2且(k+1)π+π32w≥π，即k +13≤w ≤3k+46，k ∈Z ，若使该不等式组有解，则需满足k +13≤3k+46，即k ≤23，又w >0，故0≤3k+46，即k >−43，所以−43<k ≤23，又k ∈Z ，所以k =0或k =1，所以w ∈(0,16]∪[13,23]．6、若y =f (x )的图像与y =cosx 的图象关于x 轴对称，则y =f (x )的解析式为（） A ．y =cos (−x )B ．y =−cosx C ．y =cos |x |D ．y =|cosx | 答案：B分析：根据f (−x )、−f (x )、f (|x |)与|f (x )|的图象特征依次判断即可得到结果. 对于A ，y =cos (−x )=cosx ，图象与y =cosx 重合，A 错误；对于B ，∵ y =f (x )与y =−f (x )图象关于x 轴对称，∴y =−cosx 与y =cosx 图象关于x 轴对称，B 正确；对于C ，当x ≥0时，y =cos |x |=cosx ，可知其图象不可能与y =cosx 关于x 轴对称，C 错误；对于D ，将y =cosx 位于x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，就可以得到y =|cosx |的图象，可知其图象与y =cosx的图象不关于x轴对称，D错误.故选：B.7、函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是A．函数f(x)的图象可由y=Asinωx的图象向左平移π6个单位得到B．函数f(x)的图象关于直线x=π3对称C．函数f(x)在区间[−π3,π3]上是单调递增的D．函数f(x)图象的对称中心为(kπ2−π12,0)(k∈Z)答案：D解析：根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项. 由图象可知A＝2，f（0）＝1，∵f（0）＝2sinφ＝1，且0＜φ＜π2，∴φ=π6，∴f（x）＝2sin（ωx+π6），∵f（5π12）＝0且为单调递减时的零点，∴ω⋅5π12+π6=π+2kπ，k∈Z，∴ω=2+24k5，k∈Z，由图象知T=2πω＞2×5π12，∴ω＜125，又∵ω＞0， ∴ω＝2，∴f （x ）＝2sin （2x +π6），∵函数f （x ）的图象可由y ＝A sinωx 的图象向左平移π12个单位得， ∴A 错，令2x +π6=π2+kπ，k ∈Z ，对称轴为x =π6+kπ2，则B 错，令2x +π6∈[−π2+kπ,π2+kπ],则x ∈[−π3+kπ2,π6+kπ2]，则C 错，令2x +π6=k π，k ∈Z ，则x ＝kπ2−π12，则D 对，故选：D ．小提示：本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题． 8、已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin3,−2cos3)，则角α的弧度数为（） A ．3−π2B ．π2−3C ．π−3D ．3π2−3答案：A分析：先根据定义得α正切值，再根据诱导公式求解tanα=−2cos32sin3=−sin(π2−3)cos(π2−3)=tan (3−π2)，又0<3−π2<π2，α为锐角， ∴ α=3−π2，故选：A.9、函数f(x)=sin (2x −π3)的一个对称中心的坐标是（） A ．(0,0)B ．(0,−√32)C ．(π2,0)D ．(π6,0)答案：D分析：解方程2x −π3=kπ,k ∈Z 即得解. 解：令2x −π3=kπ,k ∈Z,∴x =12kπ+π6，令k =0,∴x =π6，所以函数f(x)=sin (2x −π3)的一个对称中心的坐标是(π6,0).故选：D 10、若sinα+cosαsinα−cosα=12，则tan (α+π4)的值为（）A ．−2B ．2C ．−12D ．12 答案：C分析：利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案. 因为sinα+cosαsinα−cosα=12．所以tanα+1tanα−1=12，解得tanα=−3，于是tan (α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−3+11−(−3)=−12．故选：C. 填空题11、如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为4√3，则这个圆锥的体积为___________.答案：128√2π81分析：作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出cos∠P′OP=2π3，求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：cos∠P′OP=OP2+OP′2−PP′22OP·OP′=42+42−(4√3)22×4×4=−12∴cos∠P′OP=2π3.设底面圆的半径为r,则有2πr=2π3·4,解得r=43,所以这个圆锥的高为ℎ=√16−169=8√23，则这个圆锥的体积为V=13Sℎ=13πr2ℎ=13π×169×8√23=128√2π81.所以答案是：128√2π81.小提示：立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量.12、求值：tan46°−tan166°1−tan46°tan14°=__．答案：√3分析：根据诱导公式与正切和差公式即可求解．tan46°−tan166°1−tan46°tan14°=tan46°−tan(180°−14°) 1−tan46°tan14°=tan46°+tan14°1−tan46°tan14°=tan(46°+14°)=tan60°=√3．所以答案是：√3．13、函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．答案：π2.分析：将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.函数f(x)=sin22x=1−cos4x2,周期为π2小提示：本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.14、函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(π2−x)=f(π2+x)，且当x∈[0,π)时，f(x)=sinxx2−πx+π，给出下列四个结论：①f(π)=0；②π是函数f(x)的周期；③函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增；④函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和为3π. 其中，正确结论的序号是___________.答案：①③④分析：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(π)=f(0)直接计算f(0)即可判断①；根据函数f(x)的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断②；先判断f(x)在(0,1)的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④.对于①：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(π)=f(0)=sin0π=0，故①正确；对于②：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(x)关于直线x=π2对称，因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(π+x)=f(−x)=−f(x)所以f(2π+x)=−f(x+π)=f(x)，所以函数f(x)的周期为2π，故②不正确；对于③：当0<x<1时，y=sinx单调递增，且y=sinx>0，y=x2−πx+π=(x−π2)2+π−π24在0<x<1单调递减，且y>1−π+π=1，所以f(x)=sinxx2−πx+π在0<x<1单调递增，因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增；故③正确；对于④：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(x)关于直线x=π2对称，作出示意图函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和即为函数y=f(x)与y=sin1两个函数图象交点的横坐标之和，当x∈[−π2,3π2]时，两图象交点关于x=π2对称，此时两根之和等于π，当x∈(3π2,10]时两图象交点关于x=5π2对称，此时两根之和等于5π，当x∈[−5π2,−π2)时两图象交点关于x=−3π2对称，此时两根之和等于−3π,x∈[−10,−5π2)时两图象无交点，所以函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和为3π.故④正确；所以答案是：①③④小提示：求函数零点的方法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数，ℎ(x)和g(x)的形式，根据f(x)=0⇔ℎ(x)=g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y=ℎ(x)和y=g(x)的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.15、已知函数f(x)=√3sin2x −2cos 2x +1，且方程f(x)−a =0在[−π3,π6]内有实数根，则实数a 的取值范围是___________．答案：[−2,1]分析：由题意可得a =f(x)在[−π3,π6]内有实数根，a 的取值范围即为函数f(x)的值域.f(x)=√3sin2x −2cos 2x +1=√3sin2x −cos2x =2sin(2x −π6)，方程f(x)−a =0在[−π3,π6]内有实数根，即a =f(x)在[−π3,π6]内有实数根， x ∈[−π3,π6]，2x −π6∈[−5π6,π6]，得−2≤f(x)≤1，即a 的取值范围是[−2,1]，所以答案是：[−2,1] 解答题16、已知1|sinα|=−1sinα，且lgcosα有意义． (1)试判断角α是第几象限角；(2)若角α的终边上有一点M (35,m)，且OM =1（O 为坐标原点），求实数m 的值及sinα的值．答案：(1)角α是第四象限角 (2)m =−45，sinα=−45分析：（1）根据已知分别确定sinα,cosα的正负，再三角函数值符号得象限角的结论（2）由余弦函数定义求出m ，再由正弦函数定义求得结论．（1） ∵1|sinα|=−1sinα，∴sinα<0，∴角α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角．由lgcosα有意义，可知cosα>0，∴角α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角．综上，角α是第四象限角（2）∵OM =1，∴(35)2+m 2=1，解得m =±45．又角α是第四象限角，故m <0，∴m =−45． ∴sinα=−451=−45．17、已知角α终边经过点(3,−4)，求sinα,cosα,tanα,cotα的值．答案：sinα=−45,cosα=35,tanα=−43,cotα=−34分析：根据角α终边经过的点的坐标结合三角比的定义，直接求解出sinα,cosα,tanα,cotα的值. 因为角α终边经过点(3,−4)，所以sinα=√32+(−4)2=−45，cosα=√32+(−4)2=35，所以tanα=−43=−43,cotα=3−4=−34.18、已知向量m ⃗⃗ =(sinx,−12),n ⃗ =(√3cosx,cos2x)，函数f(x)=m ⃗⃗ ⋅n ⃗ （1）求函数f(x)的最大值及最小正周期；（2）将函数y =f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数y =g(x)的图象，求g(x)在[0,π2]上的值域．答案：（1）最大值为1,最小正周期为π；（2）[−12,1]分析：(1)由已知化简可得f(x)=sin (2x −π6),可得最大值，利用周期公式可求f(x)的最小正周期;(2)由图象变换得到g(x)=sin (2x +π6),从而求函数的值域. (1) f(x)=m ⃗⃗ •n ⃗ =√3sin x cos x −12cos 2x =√32sin 2x −12cos 2x =sin (2x −π6).所以函数的最大值为1,最小正周期为T =2π|ω|=2π2=π(2)由(1)得f(x)=sin (2x −π6).将函数y =f(x)的图象向左平移π6个单位后得到y =sin [2(x +π6)−π6]=sin (2x +π6)的图象.因此g(x)=sin(2x+π6)，又x∈[0,π2]，所以2x+π6∈[π6,7π6]，sin(2x+π6)∈[−12,1].故g(x)在[0,π2]上的值域为[−12,1].小提示：本题考查利用三角恒等变换求解三角函数的性质，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于向量数量积运算与恒等变换得f(x)=sin(2x−π6)，进而根据三角函数性质求解.19、一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度ℎ（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？答案：（1）ℎ=2sin(2πt3−π6)+1(t≥0)；（2）有1s时间点P距水面的高度超过2米.分析：（1）设ℎ=asin(ωt+φ)+b，根据题意求得a、b的值，以及函数ℎ=asin(ωt+φ)+b的最小正周期，可求得ω的值，根据∠BP0O的大小可得出φ的值，由此可得出ℎ关于t的函数解析式；（2）由ℎ>2得出sin(2πt3−π6)>12，令t∈[0,3]，求得2πt3−π6的取值范围，进而可解不等式sin(2πt3−π6)>12，可得出t的取值范围，进而得解.（1）设水轮上圆心O正右侧点为A，y轴与水面交点为B，如图所示：设ℎ=asin(ωt+φ)+b，由OB=1，OP=2，可得∠BOP0=π3，所以∠AOP0=π6.∴a=2，b=1，φ=−π6，由题意可知，函数ℎ=2sin(ωt−π6)+1的最小正周期为T=3，∴ω=2πT=2π3，所以点P距离水面的高度ℎ关于时间t的函数为ℎ=2sin(2πt3−π6)+1(t≥0)；（2）由ℎ=2sin(2πt3−π6)+1>2，得sin(2πt3−π6)>12，令t∈[0,3]，则2πt3−π6∈[−π6,11π6]，由π6<2π3t−π6<5π6，解得12<t<32，又32−12=1，所以在水轮转动的任意一圈内，有1s时间点P距水面的高度超过2米.小提示：本题考查三角函数模型的简单应用，根据题意建立函数解析式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.。

(精选试题附答案)高中数学第八章立体几何初步知识总结例题

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步知识总结例题单选题1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC 且AB =2DC ，点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点，点F 为线段AD 的中点，AE 与BF 交于点O ，且AO⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yBC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则x +y 的值为（）A ．1B ．57C ．1417D ．56答案：C分析：由向量的线性运算法则化简得到AO ⃑⃑⃑⃑⃑ ==(x −y 2)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAF ⃑⃑⃑⃑⃑ 和BO ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−x)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +4y 3BE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，结合B,O,F 三点共线和A,O,E 三点共线，得出2x +3y −2=0和3x −4y =0，联立方程组，即可求解.根据向量的线性运算法则，可得AO⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yBC ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +y(BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =xAB⃑⃑⃑⃑⃑ −yAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x −y)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +y ⋅(AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =(x −y)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +y ⋅(2AF ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(x −y)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAF ⃑⃑⃑⃑⃑ +12yAB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x −y 2)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAF ⃑⃑⃑⃑⃑ ，因为B,O,F 三点共线，可得x −y 2+2y =1，即2x +3y −2=0；又由BO ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yBC ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ −xBA ⃑⃑⃑⃑⃑ +y ⋅43BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−x)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +4y 3BE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，因为A,O,E 三点共线，可得1−x +4y 3=1，即3x −4y =0，联立方程组{2x +3y −2=03x −4y =0，解得x =817,y =617，所以x +y =1417. 故选：C.2、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（）A．100cm3B．200cm3C．300cm3D．400cm3答案：B分析：根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为ℎ，所以ℎ−4ℎ=610，求出ℎ的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为ℎ，所以ℎ−4ℎ=610，解得：ℎ=10，则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，所以该壶的容积V=13×π×52×10−13×π×32×6=1963π≈200cm3.故选：B.3、在空间中，下列命题是真命题的是（）A ．经过三个点有且只有一个平面B ．平行于同一平面的两直线相互平行C ．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等D ．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面答案：D分析：由三点共线判断A ；由线面、线线位置关系判断B ；根据等角定理判断C ；由线面平行和垂直的判定以及性质判断D.当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A 错误；平行于同一平面的两直线可能相交，故B 错误；由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C 错误；如果两个相交平面α,β垂直于同一个平面γ，且α∩β=l ，则在平面α、β内分别存在直线m,n 垂直于平面γ，由线面垂直的性质可知n //m ，再由线面平行的判定定理得m //β，由线面平行的性质得出m //l ，则l ⊥γ，故D 正确；故选：D4、在△ABC 中，AB =1，AC =2，∠BAC =60°，P 是△ABC 的外接圆上的一点，若AP⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则m +n 的最小值是（）A ．−1B ．−12C ．−13D ．−16 答案：B分析：先解三角形得到△ABC 为直角三角形，建立直角坐标系，通过AP⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示出m +n ，借助三角函数求出最小值.由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC = 1+4−2×1×2×cos 60∘=3，所以BC =√3，所以AB 2+BC 2=AC 2，所以AB ⊥BC ．以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A （－1，0），C （1，0），B （－12，√32），设P 的坐标为(cosθ,sinθ)，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,√32)，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ = (cosθ+1,sinθ)，又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(cosθ+1,sinθ)=m (12,√32)+ n (2,0)=(m 2+2n ,√32m)，所以m =2√33sin θ，n =cos θ2+12−√36sin θ，所以m +n =2√33sin θ+cos θ2+12−√36sin θ =√32sin θ+cos θ2+12=sin (θ+π6)+12≥−1+12=−12，当且仅当sin (θ+π6)=−1时，等号成立．故选：B ．5、如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH 为截面，长方形ABCD 为底面，则四边形EFGH 的形状为（）A ．梯形B ．平行四边形C ．可能是梯形也可能是平行四边形D ．矩形答案：B解析：利用面面平行的性质判断EF 与GH 的平行、EH 与FG 平行.因为平面ABFE //平面CGHD ,且平面EFGH ∩平面ABFE =EF ,平面EFGH ∩平面CGHD =GH ,根据面面平行的性质可知EF //GH ,同理可证明EH //FG .所以四边形EFGH 为平行四边形.故选：B.小提示：本题考查长方体截面形状判断，考查面面平行的性质应用，较简单.6、已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（）A ．6B ．12C ．24D ．48答案：D分析：首先由勾股定理求出斜高，即可求出侧面积；解：正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则其斜高ℎ′=√52−(62)2=4，所以正四棱锥的侧面积S =12×4×6×4=48故选：D7、若直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α，则直线a 与直线b 的位置关系为（）A ．异面B ．相交C ．平行D ．平行或异面答案：C解析：利用线面垂直的性质定理进行判断.由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α时，直线a 与直线b 平行.故选：C.8、下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（）A ．7√2π24B ．7√3π24C ．7√2π12D ．7√3π12答案：B分析：先计算出上下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可.如图，设上底面的半径为r ，下底面的半径为R ，高为ℎ，母线长为l ，则2πr =π⋅1，2πR =π⋅2，解得r =12,R =1，l =2−1=1，ℎ=√l 2−(R −r )2=√12−(12)2=√32，设上底面面积为S ′=π⋅(12)2=π4，下底面面积为S =π⋅12=π，则体积为13(S +S ′+√SS ′)ℎ=13(π+π4+π2)⋅√32=7√3π24. 故选：B.9、下列说法正确的有（）①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④圆锥的轴截面是等腰三角形.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：A解析：根据棱台、球、正方体、圆锥的几何性质，分析判断，即可得答案.①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱延长线会交于一点，所以①不正确； ②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确； ③中底面不一定是正方形，所以③不正确；④中圆锥的母线长相等，所以轴截面是等腰三角形，所以④是正确的.故选：A10、如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（）D．26πA．18πB．20πC．22π3答案：A分析：由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可解：由题意得，球的半径R=2，圆柱的底面半径r=1，高ℎ=3，则该几何体的表面积为S=2πR2+πR2+2πrℎ=8π+4π+2π×1×3=18π故选：A.填空题11、如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号).答案：①②分析：根据正方体的结构特征，以及两直线的位置关系的判定方法，即可求解.根据正方体的结构特征，可得①②中RS 与PQ 均是平行直线，④中RS 和PQ 是相交直线，③中RS 和PQ 是是异面直线.所以答案是：①②.12、在正三棱锥S −ABC 中，AB =BC =CA =6，点D 是SA 的中点，若SB ⊥CD ，则该三棱锥外接球的表面积为___________.答案：54π分析：通过线面垂直的判定定理和性质可得出SA ，SB ，SC 两两垂直，则可求出外接球的半径，进而求出球的表面积.设△ABC 的中心为G ，连接SG ，BG ，∴SG ⊥平面ABC ，∵AC ⊂面ABC ，∴SG ⊥AC ，又AC ⊥BG ，BG ∩SG =G ，∴AC ⊥平面SBG ，∵SB ⊂平面SBG ，∴AC ⊥SB ，又SB ⊥CD ，AC ∩CD =C ，∴SB ⊥平面ACS .∵SA,SC ⊂平面ACS ，∴SB ⊥SA,SB ⊥SC ，∵S −ABC 为正三棱锥，∴SA ，SB ，SC 两两垂直，∴SA =SB =SC =3√2，故外接球直径为√(3√2)2+(3√2)2+(3√2)2=3√6，故三棱锥S −ABC 外接球的表面积为4π×(3√62)2=54π.所以答案是：54π.小提示：本题考查三棱锥的外接球问题，解题的关键是通过线面垂直的判定定理和性质可得出SA，SB，SC两两垂直，即可求出半径.13、一个圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为60∘，则圆锥的高为________．答案：10分析：利用圆锥的几何性质可求得该圆锥的高.由题意可知，该圆锥的高为ℎ=20cos60∘=10.所以答案是：10.14、已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：①若α∩γ=a，β∩γ=b，且a//b，则α//β；②若a，b相交且都在α，β外，a//α，b//β，则α//β；③若a//α，a//β，则α//β；④若a⊂α，a//β，α∩β=b，则a//b.其中正确命题的序号是________.答案：④分析：根据线线、线面、面面之间的位置关系即可得出结果.解析：①错误，α与β也可能相交；②错误，α与β也可能相交；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知.所以答案是：④15、如图，已知正三棱柱ABC—A′B′C′的底面边长为1cm，侧面积为9cm2，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点A′的最短路线的长为___________cm.答案：3√2分析：将三棱柱侧面展开如图，得到展开图的对角线即为最短距离，根据棱柱的侧面积求出高，再利用勾股定理计算可得．解：将正三棱柱ABC—A′B′C′沿侧棱展开，其侧面展开图如图所示，依题意AB=BC=AA1=1cm，由侧面积为9cm2，所以C△ABC⋅AA′=9，则AA′=3cm，依题意沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点A′的最短路线为|AA′1|=√AA12+A1A1′2=√32+32=3√2cm；所以答案是：3√2解答题16、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，过点M作MH⊥AB于点H．求证：平面MNH∥平面BCE．答案：证明见解析分析：结合正方形性质可知MH//BC，即MH//平面BCE，同时AMAC =AHAB，又由条件可知FNBF=AMAC，即可判断NH//AF//BE，进而证明即可.证明：因为正方形ABCD中MH⊥AB，BC⊥AB，所以MH//BC，则AMAC =AHAB，因为BC⊂平面BCE，所以MH//平面BCE因为BF=AC，AM=FN，所以FNBF =AMAC，所以FNBF =AHAB，所以NH//AF//BE，因为BE⊂平面BCE，则NH//平面BCE因为MH⊂平面MNH，NH⊂平面MNH，MH∩NH=H，所以平面MNH//平面BCE17、如图，一个三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱CC1⊥底面ABC，CC1=3．有一只小虫从点A沿三个侧面爬到点A1，求小虫爬行的最短路程．答案：3√5分析：沿AA1将三棱柱的侧面展开，可得到矩形AA1D1D，计算出该矩形的对角线AD1的长，即为所求. 解：沿AA1将三棱柱的侧面展开，则展开后的图形是矩形AA1D1D，如下图所示：且AD=3×2=6，DD1=3，所以，小虫爬行的最短路程为AD1的长，且AD1=√AD2+DD12=3√5.18、某圆锥的侧面展开图的面积为12π，扇形的圆心角α[α∈(0,π)]的正切值为−√3，求圆锥的体积．答案：16√2π3分析：由扇形的面积公式与圆锥的体积公式求解设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，高为ℎ．由扇形的圆心角的正切值为−√3，得扇形的圆心角为2π3．因为扇形的面积为12π，所以12×2π3l2=12π，解得l=6．又圆锥底面周长为2πr=2π3l=4π，解得r=2，所以圆锥的高ℎ=√l2−r2=√62−22=4√2，所以圆锥的体积V=π3×22×4√2=16√2π3．19、如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；（2）若PD=DC=1，求四棱锥P−ABCD的体积．答案：（1）证明见解析；（2）√23．分析：（1）由PD⊥底面ABCD可得PD⊥AM，又PB⊥AM，由线面垂直的判定定理可得AM⊥平面PBD，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM⊥平面PBD；（2）由（1）可知，AM⊥BD，由平面知识可知，△DAB~△ABM，由相似比可求出AD，再根据四棱锥P−ABCD的体积公式即可求出．（1）因为PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，所以PD⊥AM，又PB⊥AM，PB∩PD=P，所以AM⊥平面PBD，而AM⊂平面PAM，所以平面PAM⊥平面PBD．（2）[方法一]：相似三角形法由（1）可知AM⊥BD．于是△ABD∽△BMA，故ADAB =ABBM．因为BM=12BC,AD=BC,AB=1，所以12BC2=1，即BC=√2．故四棱锥P−ABCD的体积V=13AB⋅BC⋅PD=√23．[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法由（2）知AM ⊥DB ,所以k AM ⋅k BD =−1．建立如图所示的平面直角坐标系，设BC =2a(a >0)．因为DC =1，所以A(0,0)，B(1,0)，D(0,2a)，M(1,a)．从而k AM ⋅k BD =a−01−0×2a−00−1=a ×(−2a)=−2a 2=−1．所以a =√22，即DA =√2．下同方法一.[方法三]【最优解】：空间直角坐标系法建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，设|DA|=t ，所以D(0,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，A(t,0,0)，B(t,1,0)．所以M (t 2,1,0)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(t,1,−1)，AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−t 2,1,0)．所以PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =t ⋅(−t 2)+1×1+0×(−1)=−t 22+1=0．所以t =√2，即|DA|=√2．下同方法一.[方法四]：空间向量法由PB ⊥AM ，得PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0．所以(PD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0．即PD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0．又PD ⊥底面ABCD ，AM 在平面ABCD 内，因此PD ⊥AM ，所以PD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0．所以DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，由于四边形ABCD 是矩形，根据数量积的几何意义，得−12|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ |2+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |2=0，即−12|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |2+1=0．所以|BC⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2，即BC =√2．下同方法一. 【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.。

(精选试题附答案)高中数学第三章函数的概念与性质知识总结例题

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第三章函数的概念与性质知识总结例题单选题1、函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3在区间(−3,4]上单调递增，则m的取值范围是（）A．[−3,+∞)B．[3,+∞)C．(−∞,5]D．(−∞,−3]答案：D分析：首先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；解：因为函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3，开口向下，对称轴为x=1−m，依题意1−m≥4，解得m≤−3，即m∈(−∞,−3]故选：D2、若函数f(x+1x )=x2+1x2，且f(m)=4，则实数m的值为（）A．√6B．√6或−√6C．−√6D．3答案：B分析：令x+1x=t，配凑可得f(t)=t2−2，再根据f(m)=4求解即可令x+1x =t（t≥2或t≤−2），x2+1x2=(x+1x)2−2=t2−2，∴f(t)=t2−2，f(m)=m2−2=4，∴m=±√6.故选；B3、已知f(x)是一次函数，且f(x−1)=3x−5，则f(x)=（）A．3x−2B．2x+3C．3x+2D．2x−3答案：A分析：设一次函数y=ax+b(a≠0)，代入已知式，由恒等式知识求解．设一次函数y=ax+b(a≠0)，则f(x−1)=a(x−1)+b=ax−a+b，由f(x−1)=3x−5得ax−a+b=3x−5，即{a=3b−a=−5，解得{a=3b=−2，∴f(x)=3x−2.故选：A．4、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）A．−4B．4C．−1D．1答案：C分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1，故选：C5、幂函数y=x a，y=x b，y=x c，y=x d在第一象限的图像如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A．a>b>c>d B．d>b>c>a C．d>c>b>a D．b>c>d>a答案：D分析：根据幂函数的性质，在第一象限内，x =1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；根据幂函数的性质，在第一象限内，x =1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，所以由图像得：b >c >d >a ，故选：D6、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图象如图所示，直线x =14，x =12与y =x a ，y =x b 的图象分别交于A ､B ､C ､D 四点，且|AB|=|CD|，则12a +12b =（）A ．12B ．1C ．√2D ．2 答案：B分析：把|AB |=|CD |用函数值表示后变形可得．由|AB |=|CD |得(14)a−(14)b=(12)a−(12)b，即[(12)a−(12)b][(12)a+(12)b]=(12)a−(12)b≠0，所以(12)a +(12)b=1，故选：B ．7、已知幂函数y =xm 2−2m−3(m ∈N ∗)的图象关于y 轴对称，且在(0,+∞)上单调递减，则满足(a +1)−m3<(3−2a )−m3的a 的取值范围为（）A ．(0,+∞)B ．(−23,+∞) C ．(0,32)D ．(−∞,−1)∪(23,32) 答案：D分析：由条件知m 2−2m −3<0，m ∈N ∗，可得m ＝1．再利用函数y =x −13的单调性，分类讨论可解不等式. 幂函数y =x m 2−2m−3(m ∈N ∗)在(0,+∞)上单调递减，故m 2−2m −3<0，解得−1<m <3．又m ∈N ∗，故m＝1或2．当m ＝1时，y =x −4的图象关于y 轴对称，满足题意；当m ＝2时，y =x −3的图象不关于y 轴对称，舍去，故m ＝1．不等式化为(a +1)−13<(3−2a )−13，函数y =x −13在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，故a +1>3−2a >0或0>a +1>3−2a 或a +1<0<3−2a ，解得a <−1或23<a <32．故应选：D ．8、“幂函数f (x )=(m 2+m −1)x m 在(0,+∞)上为增函数”是“函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数”的（）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要答案：A分析：要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，求出m =1，可得函数g (x )为奇函数，即充分性成立；函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数，求出m =±1，故必要性不成立，可得答案. 要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，则{m 2+m −1=1m >0，解得：m =1，当m =1时，g (x )=2x −2−x ，x ∈R ，则g (−x )=2−x −2x =−(2x −2−x )=−g (x )，所以函数g (x )为奇函数，即充分性成立； “函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数”，则g(x)=−g(−x)，即2x−m2⋅2−x=−(2−x−m2⋅2x)=m2⋅2x−2−x，解得：m=±1，故必要性不成立，故选：A．9、若函数y=√ax2+4x+1的值域为[0,+∞)，则a的取值范围为（）A．(0,4)B．(4,+∞)C．[0,4]D．[4,+∞)答案：C分析：当a=0时易知满足题意；当a≠0时，根据f(x)的值域包含[0,+∞)，结合二次函数性质可得结果. 当a=0时，y=√4x+1≥0，即值域为[0,+∞)，满足题意；若a≠0，设f(x)=ax2+4x+1，则需f(x)的值域包含[0,+∞)，∴{a>0Δ=16−4a≥0，解得：0<a≤4；综上所述：a的取值范围为[0,4].故选：C.10、已知函数f(x+2)=x2+6x+8，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)=x2+2x B．f(x)=x2+6x+8C．f(x)=x2+4x D．f(x)=x2+8x+6答案：A分析：利用配凑法（换元法）计算可得.解：方法一（配凑法）∵f(x+2)=x2+6x+8=(x+2)2+2(x+2)，∴f(x)=x2+2x.方法二（换元法）令t=x+2，则x=t−2，∴f(t)=(t−2)2+6(t−2)+8=t2+2t，∴f(x)=x2+2x.故选：A填空题11、若函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)，则a +b 的值为____.答案：92分析：根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为[1,b ](b >1)，列出相应方程组，求出a ，b 的值即可. 解：由函数f (x )=12x 2−x +a ，可得对称轴为x =1，故函数在[1,b ]上是增函数.∵函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)， ∴ {f (1)=1f (b )=b ，即{12−1+a =112b 2−b +a =b. 解得a =32，b =1或b =3.∵ b >1，∴ b =3. ∴ a +b =32+3=92.所以答案是：92.12、已知函数f (x )={3x −1,x ≥12−x +3,x <1，则f (−2)=________.答案：7分析：根据题意直接求解即可解：因为f (x )={3x −1,x ≥12−x +3,x <1，所以f (−2)=22+3=7，所以答案是：713、设m 为实数，若函数f(x)=x 2−mx +m +2（x ∈R ）是偶函数，则m 的值为__________. 答案：0分析：根据函数的奇偶性的定义可得答案.解：因为函数f(x)=x 2−mx +m +2（x ∈R ）是偶函数，所以f(−x)=f (x )，所以(−x )2−m (−x )+m +2=x 2−mx +m +2，得2mx =0，所以m =0，14、已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1的图象关于原点对称，则满足(a+1)m>(3−2a)m成立的实数a的取值范围为___________.答案：(23,4)分析：利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解.因函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1是幂函数，则m2−3m+3=1，解得m=1或m=2，当m=1时，f(x)=x2是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知f(x)的图象关于原点对称矛盾，当m=2时，f(x)=x3是奇函数，其图象关于原点对称，于是得m=2，不等式(a+1)m>(3−2a)m化为：(a+1)2>(3−2a)2，即(3a−2)(a−4)<0，解得：23<a<4，所以实数a的取值范围为(23,4).所以答案是：(23,4)15、设函数f(x)=x3+(x+1)2x2+1在区间[−2,2]上的最大值为M，最小值为N，则(M+N−1)2022的值为______.答案：1分析：先将函数化简变形得f(x)=x 3+2xx2+1+1，然后构造函数g(x)=x3+2xx2+1，可判断g(x)为奇函数，再利用奇函数的性质结合f(x)=g(x)+1可得M+N=2，从而可求得结果由题意知，f(x)=x 3+2xx2+1+1（x∈[−2,2]），设g(x)=x 3+2xx2+1，则f(x)=g(x)+1，因为g(−x)=−x 3−2xx2+1=−g(x)，所以g(x)为奇函数，g(x)在区间[−2,2]上的最大值与最小值的和为0，故M+N=2，所以(M+N−1)2022=(2−1)2022=1.解答题16、记函数f(x)=√2−x+3x+1的定义域为A，函数g(x)=√(x−a−1)(2a−x)(a<1)的定义域为B.（1）求A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围.答案：(−∞,−2]∪[12,1)解析：（1）求函数的定义域，就是求使得根式有意义的自变量x的取值范围，然后求解分式不等式即可；（2）因为a<1，所以一定有2a<a+1，从而得到B=(2a,a+1)，要保证B⊆A，由它们的端点值的大小列式进行计算，即可求得结果.（1）要使函数f(x)有意义，则需2−x+3x+1≥0，即x−1x+1≥0，解得x<−1或x≥1，所以A=(−∞,−1)∪[1,+∞)；（2）由题意可知，因为a<1，所以2a<a+1，由(x−a−1)(2a−x)>0，可求得集合B=(2a,a+1)，若B⊆A，则有{a<1a+1≤−1或{a<12a≥1，解得a≤−2或12≤x<1，所以实数a的取值范围是(−∞,−2]∪[12,1).小提示：该题考查的是有关函数的定义域的求解，以及根据集合之间的包含关系确定参数的取值范围的问题，属于简单题目.17、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=x+1x+1．(1)求f(x)在R上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)的单调性，并给出证明．答案：(1)f(x)={x +1x +1,x >00,x =0x +1x −1,x <0； (2)f(x)在(0,1)上是减函数，证明见解析.分析：（1）根据奇函数的性质进行转化求解析式即可．（2）根据函数单调性的定义进行判断单调性．（1）∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0，又当x ＞0时，f(x)=x +1x +1．∴当x ＜0时，则−x ＞0，则f(−x)＝−x −1x +1＝−f(x)，则f(x)＝x +1x −1（x ＜0），综上，f(x) ={x +1x +1,x >00,x =0x +1x −1,x <0．（2）设0<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)＝x 1+1x 1+1−x 2−1x 2−1＝(x 1−x 2) +x 2−x 1x 1x 2= (x 1−x 2)(1−1x1x 2)＝(x 1−x 2) ⋅x 1x 2−1x 1x 2，∵0<x 1<x 2<1，∴x 1−x 2<0，0＜x 1x 2＜1，x 1x 2−1＜0，则f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， ∴函数f(x)在(0,1)上是减函数． 18、已知幂函数f(x)=x −m 2+4m(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在区间(0,+∞)上是严格增函数．(1)求m 的值；(2)求满足不等式f(2a −1)<f(a +1)的实数a 的取值范围．答案：(1)m =2(2)0<a<2分析：（1）先利用幂函数在区间(0,+∞)上是严格增函数得到−m2+4m>0，再验证其图象关于y轴对称进行求值；（2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解.（1）解：因为幂函数f(x)=x−m2+4m在区间(0,+∞)上是严格增函数，所以−m2+4m>0，解得0<m<4，又因为m∈Z，所以m=1或m=2或m=3，当m=1或m=3时，f(x)=x3为奇函数，图象关于原点对称（舍）；当m=2时，f(x)=x4为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；综上所述，m=2.（2）解：由（1）得f(x)=x4为偶函数，且在区间(0,+∞)上是严格增函数，则由f(2a−1)<f(a+1)得|2a−1|<|a+1|，即(2a−1)2<(a+1)2，即a2−2a<0，解得0<a<2，所以满足f(2a−1)<f(a+1)的实数a的取值范围为0<a<2.19、已知f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=3x2−x+1，试求f(x)和g(x)的表达式．答案：f(x)=−x，g(x)=3x2+1分析：本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是利用函数的奇偶性构造方程.解析：以－x代替条件等式中的x，则有f(−x)+g(−x)=3x2+x+1，又f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，故−f(x)+g(x)=3x2+x+1．又f(x)+g(x)=3x2−x+1，联立可得f(x)=−x，g(x)=3x2+1．。

(精选试题附答案)高中数学第一章集合与常用逻辑用语必考知识点归纳

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第一章集合与常用逻辑用语必考知识点归纳单选题1、已知集合P={x|x=2k−1,k∈N∗}和集合M={x|x=a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（）A．加法B．除法C．乘法D．减法答案：C分析：用特殊值，根据四则运算检验．若a=3,b=1，则a+b=4∉P，a−b=2∉P，ba =13∉P，因此排除ABD．故选：C．2、设集合M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5}，则M∩N=（）A．{x|0<x≤13}B．{x|13≤x<4}C．{x|4≤x<5}D．{x|0<x≤5}答案：B分析：根据交集定义运算即可因为M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5}，所以M∩N={x|13≤x<4},故选：B.小提示：本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.3、设全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,0,1,2},B={−3,0,2,3}，则A∩(∁U B)=（）A．{−3,3}B．{0,2}C．{−1,1}D．{−3,−2,−1,1,3}答案：C分析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：∁U B={−2,−1,1}，则A∩(∁U B)={−1,1}.故选：C.小提示：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.4、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.5、已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素，则a的取值集合为（）A．{1}B．{0}C．{0,−1,1}D．{0,1}答案：D分析：对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.}，此时满足条件；解：①当a=0时，A={−12②当a≠0时，A中只有一个元素的话，∆=4−4a=0，解得a=1，综上，a的取值集合为{0，1}．故选：D．6、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+ B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.7、已知集合A={x|1x>1}，则∁R A=（）A．{x|x<1}B．{x|x≤0或x≥1}C．{x|x<0}∪{x|x>1}D．{x|1≤x}答案：B分析：先解不等式，求出集合A，再求出集合A的补集由1x >1，得1−xx>0，x(1−x)>0，解得0<x<1，所以A={x|0<x<1}，所以∁R A={x|x≤0或x≥1}故选：B8、已知集合M={x∣x2+x=0}，则（）A．{0}∈M B．∅∈M C．−1∉M D．−1∈M分析：先求得集合M，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.因为集合M={x∣x2+x=0}={0，−1}，所以−1∈M，故选：D.9、已知p:0<x<2，q:−1<x<3，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分不必要条件答案：A分析：根据充分和必要条件的定义即可求解.由p:0<x<2，可得出q:−1<x<3，由q:−1<x<3，得不出p:0<x<2，所以p是q的充分而不必要条件，故选：A.10、已知集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，集合N={y|y=4k+3,k∈Z}，则M∪N=（）A．{x|x=6k+2,k∈Z}B．{x|x=4k+2,k∈Z}C．{x|x=2k+1,k∈Z}D．∅答案：C分析：通过对集合N的化简即可判定出集合关系，得到结果.因为集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，集合N={y|y=4k+3,k∈Z}={y|y=2(2k+1)+1,k∈Z}，因为x∈N时，x∈M成立，所以M∪N={x|x=2k+1,k∈Z}.故选：C.11、已知[x]表示不超过x的最大整数.例如[2.1]=2，[−1.3]=−2，[0]=0，若A={y∣y=x−[x]}，B={y∣0≤y≤m}，y∈A是y∈B的充分不必要条件，则m的取值范围是______.答案：[1,+∞)分析：由题可得A={y∣y=x−[x]}=[0,1)，然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即求.∵[x]表示不超过x的最大整数，∴[x]≤x，0≤x−[x]<1，即A={y∣y=x−[x]}=[0,1)，又y∈A是y∈B的充分不必要条件，B={y∣0≤y≤m}，∴A⊊B，故m≥1，即m的取值范围是[1,+∞).所以答案是：[1,+∞).12、若集合A={x|ax2−2ax+a−1=0}=ϕ，则实数a的取值范围是______.答案：{a|a≤0}解析：根据集合A={x|ax2−2ax+a−1=0}=ϕ，分a=0和a≠0两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解.由题意，集合A={x|ax2−2ax+a−1=0}=ϕ，若a=0时，集合A={x|−1=0}=ϕ，满足题意；若a≠0时，要使得集合A={x|ax2−2ax+a−1=0}=ϕ，则满足Δ=(−2a)2−4a(a−1)=4a<0，解得a<0，综上可得，实数a的取值范围是{a|a≤0}.所以答案是：{a|a≤0}.小提示：本题主要考查了集合的表示方法，以及集合中元素的判定，其中解答中正确理解集合的表示方法，结合一元二次方程的性质求解是解答的关键，属于基础题.13、用∈或∉填空：0________N解析：可知0是自然数，即可得出.∵0是自然数，∴0∈N .所以答案是：∈.14、已知集合A ={−1,3,0},B ={3,m 2}，若B ⊆A ，则实数m 的值为__________.答案：0分析：解方程m 2=0即得解.解：因为B ⊆A ，所以m 2=−1（舍去）或m 2=0，所以m =0.所以答案是：015、已知集合A ={0,2}，B ={x |(ax −1)(x −1)(x 2−ax +1) =0,x ∈R }，用符号|A |表示非空集合A 中元素的个数．定义A ※B ={|A |−|B |,|A |≥|B |,|B |−|A |,|A |<|B |,若A ※B =1，则实数a 的所有可能取值构成的集合为______．答案：{0,1,−2}分析：先由题中条件，得到|B |=1或|B |=3，结合方程分别求解，即可得出结果.因为|A |=2，A※B =1，所以|B |=1或|B |=3．当|B |=1时，a =0或a =1．当|B |=3时，关于x 的方程(ax −1)(x −1)(x 2−ax +1)=0有3个实数解，所以关于x 的方程x 2−ax +1=0只有一个解且不为1和1a ，则Δ=a 2−4=0，解得a =±2．当a =2时，x 2−2x +1=0的解为1，不符合题意；当a =−2时，x 2+2x +1=0的解为-1，符合题意．综上，a 的所有可能取值为0，1，−2，即所求集合为{0,1,−2}．所以答案是：{0,1,−2}.解答题16、已知集合A={x|2−a≤x≤2+a}，B={x|x≤1或x≥4}．(1)当a=3时，求A∩B；(2)若a>0，且“x∈A”是“x∈∁R B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．答案：(1)A∩B={x∣−1≤x≤1或4≤x≤5}(2)(0,1)分析：（1）借助数轴即可确定集合A与集合B的交集（2）由于A∁R B，根据集合之间的包含关系即可求解（1）当a=3时，集合A={x|2−a≤x≤2+a}={x∣−1≤x≤5},B={x|x≤1或x≥4}，∴A∩B={x∣−1≤x≤1或4≤x≤5}（2）∵若a>0，且“x∈A”是“x∈∁R B”充分不必要条件，A={x∣2−a≤x≤2+a}(a>0),∁R B={x∣1<x<4}因为A∁R B，则{2−a>1 2+a<4 a>0解得0<a<1.故a的取值范围是:(0,1)17、设命题p:实数x满足2<x≤3，命题q:实数x满足a<x<3a，其中a>0.(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.答案：(1)2<x<3(2)1<a≤2分析：（1）由复合命题的真值表可得；（2）由充分不必要条件与集合的包含关系可得.（1）当a=1时，命题p :2<x ≤3，命题q :1<x <3，又p ∧q 为真，所以{2<x ≤31<x <3，故实数x 的取值范围是2<x <3. （2）命题p :2<x ≤3，命题q :a <x <3a ，要使p 是q 的充分不必要条件，则{a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2. 故实数a 的取值范围是1<a ≤2.18、已知p ：2x 2−3x −2≥0，q :x 2−2(a −1)x +a(a −2)<0.(1)当0∈q 时，求实数a 的取值范围；(2)若p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.答案：(1)(0,2)；(2)[32,2]. 分析：(1)将x =0代入x 2−2(a −1)x +a(a −2)<0即可求解；(2)首先结合已知条件分别求出命题p 和q 的解，写出¬q ，然后利用充分不必要的特征即可求解.(1)由题意可知，02−2(a −1)×0+a(a −2)<0，解得0<a <2，故实数a 的取值范围为(0,2)；(2)由2x 2−3x −2≥0，解得x ≤−12或x ≥2，由x 2−2(a −1)x +a(a −2)<0，解得a −2<x <a ，故命题p ：x ≤−12或x ≥2；命题q ：a −2<x <a ，从而¬q ：x ≤a −2或x ≥a ，因为p 是¬q 的充分不必要条件，所以{x|x ≤−12或x ≥2}⊊{x|x ≤a −2或x ≥a}，从而{a −2≥−12a ≤2，解得32≤a ≤2，故实数a 的取值范围为[32,2].<0}.19、已知全集U为全体实数，集合A={x||x−a|<2}，B={x|x−1x−6(1)在①a=−2，②a=−1，③a=1这三个条件中选择一个合适的条件，使得A∩B≠∅，并求∁U(A∩B)和A∪B；(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.答案：(1)选条件③，∁U(A∩B)={x|x≤1或x≥3}，A∪B={x|−1<x<6}(2)3≤a≤4分析：（1）求出集合A,B，再得出三个条件下集合A，由A∩B≠∅，确定选条件③，然后由集合的运算法则计算；（2）根据必要不充分条件的定义求解．（1）由题知：集合A={x|a−2<x<a+2}，B={x|1<x<6}，a=−2时，A={x|−4<x<0}，a=−1时，A={x|−3<a<1}，a=1时，A={x|−1<x<3}，∵A∩B≠∅，∴需选条件③a=1，此时A∩B={x|1<x<3}，∁U(A∩B)={x|x≤1或x≥3}，A∪B={x|−1<x<6}，（2）∵“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件∴A是B的真子集，∴{a−2≥1a+2≤6且等号不同时取得，解得3≤a≤4．。

高中数学选修一综合测试题知识点总结归纳完整版(带答案)

高中数学选修一综合测试题知识点总结归纳完整版单选题1、设圆C1:x2+y2−2x+4y=4，圆C2:x2+y2+6x−8y=0，则圆C1，C2的公切线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：B分析：先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．由题意，得圆C1:(x−1)2+(y+2)2=32，圆心C1(1,−2)，圆C2:(x+3)2+(y−4)2=52，圆心C2(−3,4)，∴5−3<|C1C2|=2√13<5+3，∴C1与C2相交，有2条公切线．故选：B．2、经过点(－√2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（）(x－2)B．y＋2＝√3(x－√2)A．y＋√2=√33(x＋√2)D．y－2＝√3(x＋√2)C．y－2=√33答案：C分析：根据k=tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.，直线的斜率k=tan30°=√33(x＋√2)，由直线的点斜式方程可得y－2＝√33故选：C．3、已知两圆分别为圆C1:x2+y2=49和圆C2:x2+y2−6x−8y+9=0，这两圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切答案：B分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解.由题意得，圆C1圆心(0,0)，半径为7；圆C2:(x−3)2+(y−4)2=16，圆心(3,4)，半径为4，两圆心之间的距离为√32+42=5，因为7−4<5<7+4，故这两圆的位置关系是相交.故选：B.4、直线y =k (x −1)+2恒过定点（） A ．(−1,2)B ．(1,2) C ．(2,−1)D ．(2,1) 答案：B分析：由x =1时，y =2可得到定点坐标.当x −1=0，即x =1时，y =2，∴直线y =k (x −1)+2恒过定点(1,2). 故选：B.5、已知圆C 1:x 2+y 2+4x −2y −4=0，C 2:(x +32)2+(y −32)2=112，则这两圆的公共弦长为（）A ．4B ．2√2C ．2D ．1 答案：C分析：先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长.由题意知C 1:x 2+y 2+4x −2y −4=0，C 2:x 2+y 2+3x −3y −1=0，将两圆的方程相减，得x +y −3=0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x +y −3=0.又因为圆C 1的圆心为(−2,1)，半径r =3，所以圆C 1的圆心到直线x +y −3=0的距离d =√2=2√2.所以这两圆的公共弦的弦长为2√r 2−d 2=2√32−(2√2)2=2. 故选：C.6、已知直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则l 的方程为（） A ．x +3y −10=0B ．x −3y +8=0C ．3x +y −6=0D ．2x +3y −11=0 答案：A分析：直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切可知k l =−1k op，再使用点斜式即可.直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则k l =−1k op=−13−01−0=−13,故直线l 的方程为y −3=−13(x −1)，即x +3y −10=0. 故选：A.7、美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A ．5√24B ．7√24C ．9√24D ．11√24答案：B分析：建立平面直角坐标系，求出直线AB 的方程，利用点到直线距离公式进行求解.如图，以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (12,4),B (-32,2)，直线AB :y -42-4=x -12-32-12，整理为x -y +72=0，原点O 到直线距离为|72|√1+17√24，故选：B8、若平面内两条平行线l 1：x +(a −1)y +2=0，l 2：ax +2y +1=0间的距离为3√55，则实数a =（）A ．−2B ．−2或1C ．−1D ．−1或2 答案：C分析：根据平行关系得出a =2或a =−1，再由距离公式得出a =−1满足条件. ∵l 1//l 2，∴a ⋅(a −1)=2，解得a =2或a =−1 当a =2时d =|2−12|√2=3√24，当a =−1时d =√5=3√55故选：C 多选题9、(多选)已知三条直线x －2y ＝1，2x ＋ky ＝3，3kx ＋4y ＝5相交于一点，则k 的值为（） A ．－163B ．－1C ．1D ．163 答案：AC分析：由任意两个直线方程联立方程组求出交点坐标，再由其会标代入第三个方程中可求出k 的值解：由{x −2y =12x +ky =3，得{x =6+k4+ky =14+k ，所以三条直线的交点为(6+k4+k ,14+k )，所以3k ⋅6+k4+k +4⋅14+k =5，化简得3k 2+13k −16=0，解得k =1或k =−163，故选：AC10、已知直线l 经过点P(3,1)，且被两条平行直线l 1：x +y +1=0和l 2：x +y +6=0截得的线段长为5，则直线l 的方程为（） A ．x =2B ．x =3 C ．y =1D ．y =2 答案：BC分析：先分析当直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3，符合题意；再分析直线l 的斜率存在时，先求出A,B 的坐标，解方程(3k−2k+1−3k−7k+1)2+(−4k−1k+1+9k−1k+1)2=52求出k 的值，综合即得解.若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3，此时与l 1、l 2的交点分别为A(3,−4)，B(3,−9)，截得的线段AB 的长|AB|=|−4+9|=5，符合题意，若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k(x −3)+1，解{y =k(x −3)+1x +y +1=0 得A(3k−2k+1,−4k−1k+1)，解{y =k(x −3)+1x +y +6=0 得B(3k−7k+1,−9k−1k+1)，由|AB|=5，得(3k−2k+1−3k−7k+1)2+(−4k−1k+1+9k−1k+1)2=52，解得k =0，即所求的直线方程为y =1，综上可知，所求直线l 的方程为x =3或y =1，故选：BC.11、已知圆O ：x 2+y 2=4和圆M ：x 2+y 2+4x −2y +1=0相交于A ，B 两点，下列说法正确的是（） A ．圆O 与圆M 有两条公切线 B ．圆O 与圆M 关于直线AB 对称 C ．线段AB 的长为√112D ．E ，F 分别是圆O 和圆M 上的点，则|EF |的最大值为4+√5 答案：ABD解析：写出两圆的圆心与半径判断两圆的位置关系可知A 正确，利用圆的方程求直线的方程，由圆心与直线关系可判断B ，利用圆的弦的性质可判断C ，根据圆上两点最大距离判断D. 圆O ：x 2+y 2=4的圆心为(0,0)，半径r =2，圆M ：x 2+y 2+4x −2y +1=0，即(x +2)2+(y −1)2=4，其圆心为(−2,1)，半径R =2, 所以0=R −r <|OM|=√5<R +r =4,两圆相交，对于A ，因为圆O 与圆M 相交，所以有两条公切线，A 正确；对于B，两圆方程相减得4x−2y+5=0，即直线AB的方程为4x−2y+5=0，因为圆心O(0,0)与圆心M(−2,1)关于直线AB对称，且两圆半径相等，所以B正确；对于C，由B的结论可知，|AB|=2√R2−(OM2)2=2√4−54=√11，故C错误；对于D，E，F分别是圆O和圆M上的点，则|EF|的最大值为|MO|+r+R=√5+4，故D正确，故选：ABD小提示：关键点点睛：由圆的位置关系可知圆的公切线的条数，由两圆的方程可求公共弦所在直线方程，根据圆心关于直线对称可判断圆的对称性，利用半径，半弦长，弦心距的关系求弦长都要熟练掌握，灵活运用. 填空题12、设a∈R，若直线l经过点A(a,2)､B(a+1,3)，则直线l的斜率是___________.答案：1分析：利用直线的斜率公式求解.解：因为直线l经过点A(a,2)､B(a+1,3)，所以直线l的斜率是k=3−2a+1−a=1，所以答案是：113、已知平面直角坐标系中，A(−1,0),B(1,−1)，若A,B,C是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方向排列，则点C的坐标是___________.答案：(√32,√3−12)分析：分别点A,B为圆心，AB为半径作圆，根据题意得两圆在第一象限中的交点即为所求点C，进而写出圆的方程并联立求解即可得答案.解：如图，分别以点A,B为圆心，AB为半径作圆，两圆在第一象限的交点即为所求的点C.因为A(−1,0),B(1,−1)，|AB|=√(−1−1)2+1=√5所以以点A为圆心，AB为半径的圆的方程为(x+1)2+y2=5；以点B为圆心，AB为半径的圆的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.联立方程{(x+1)2+y2=5(x−1)2+(y+1)2=5，解得x=±√32（负舍），y=√3−12所以点C 的坐标是(√32,√3−12) 所以答案是：(√32,√3−12)14、已知直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0相交于点P ，点A (4,0)，O 为坐标原点，则tan∠OAP 的最大值为_____________. 答案：√33##13√3分析：根据给定条件，求出点P 的轨迹，结合图形利用几何意义求解作答. 直线kx −y +2k =0恒过定点M(−2,0)，直线x +ky −2=0恒过定点N(2,0)，显然直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0垂直，当k ≠0时，PM ⊥PN ，点P 在以MN 为直径的圆x 2+y 2=4（除点M ，N 外）上，当k =0时，点P(2,0), 因此，点P 的轨迹是以原点O 为圆心，2为半径的圆（除点M(−2,0)外），如图，观察图形知，点A在圆O：x2+y2=4(x≠−2)外，当直线AP与圆O相切时，∠OAP为锐角且最大，tan∠OAP最大，所以(tan∠OAP)max=√42−22=√33.所以答案是：√33解答题15、已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)一个顶点A(0,−2)，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为4√5．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．答案：（1）x25+y24=1；（2）[−3,−1)∪(1,3]．分析：（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求a,b，从而可求椭圆的标准方程.（2）设B(x1,y1),C(x2,y2)，求出直线AB,AC的方程后可得M,N的横坐标，从而可得|PM|+|PN|，联立直线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简|PM|+|PN|，从而可求k的范围，注意判别式的要求.（1）因为椭圆过A(0,−2)，故b=2，因为四个顶点围成的四边形的面积为4√5，故12×2a×2b=4√5，即a=√5，故椭圆的标准方程为：x25+y24=1.（2）设B(x1,y1),C(x2,y2)，因为直线BC的斜率存在，故x1x2≠0，故直线AB:y=y1+2x1x−2，令y=−3，则x M=−x1y1+2，同理x N=−x2y2+2.直线BC:y=kx−3，由{y=kx−34x2+5y2=20可得(4+5k2)x2−30kx+25=0，故Δ=900k2−100(4+5k2)>0，解得k<−1或k>1.又x1+x2=30k4+5k2,x1x2=254+5k2，故x1x2>0，所以x M x N>0又|PM|+|PN|=|x M+x N|=|x1y1+2+x2y2+2|=|x1kx1−1+x2kx2−1|=|2kx1x2−(x1+x2)k2x1x2−k(x1+x2)+1|=|50k4+5k2−30k4+5k225k24+5k2−30k24+5k2+1|=5|k|故5|k|≤15即|k|≤3，综上，−3≤k<−1或1<k≤3.。

(精选试题附答案)高中数学选修一知识点总结(超全)

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一知识点总结(超全) 单选题1、已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左､右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx−ay+2ab=0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．(0,√63)B．(√63,1)C．(√23,1)D．(0,√23).答案：B分析：由题设以线段A1A2为直径的圆为x2+y2=a2，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C 的离心率的范围.由题设，以线段A1A2为直径的圆为x2+y2=a2，与直线bx−ay+2ab=0相交，所以√a2+b2<a，可得3b2=3(a2−c2)<a2，即e2>23，又0<e<1，所以√63<e<1.故选：B2、如果复数z满足|z+1−i|=2，那么|z−2+i|的最大值是（）A．√13+2B．2+√3C．√13+√2D．√13+4答案：A分析：复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离． ∵|CM|=√32+22=√13． ∴|z −2+i|的最大值是√13+2．故选：A ．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z +1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2． 3、动点P ，Q 分别在抛物线x 2=4y 和圆x 2+y 2−8y +13=0上，则|PQ|的最小值为（） A ．2√3B ．√3C ．12√3D ．32√3答案：B分析：设P (x 0,14x 02)，根据两点间距离公式，先求得P 到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.设P (x 0,14x 02)，圆化简为x 2+(y −4)2=3，即圆心为（0,4），半径为√3，所以点P 到圆心的距离d =√(x 0−0)2+(14x 02−4)2=√116(x 02)2−x 02+16，令t =x 02，则t ≥0，令f(t)=116t 2−t +16，t ≥0，为开口向上，对称轴为t =8的抛物线，所以f(t)的最小值为f (8)=12，所以d min =√12=2√3，所以|PQ|的最小值为d min −√3=2√3−√3=√3. 故选：B4、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（） A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6 答案：D分析：平移直线AD 1至BC 1，将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC 1,PC 1,PB ，因为AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1或其补角为直线PB 与AD 1所成的角，因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥PC 1，又PC 1⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1=B 1，所以PC 1⊥平面PBB 1，所以PC 1⊥PB ，设正方体棱长为2，则BC 1=2√2,PC 1=12D 1B 1=√2，sin∠PBC 1=PC 1BC 1=12，所以∠PBC 1=π6.故选：D5、已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，CM CB=13，PN =ND ，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，则向量MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 用{a ,b ⃑ ,c }为基底表示为（）A ．a +13b ⃑ +12c B ．−a +16b ⃑ +12c C ．a −13b ⃑ +12c D ．−a −16b ⃑ +12c 答案：D分析：由图形可得MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +CD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，根据比例关系可得MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，DN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12DP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再根据向量减法DP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，代入整理并代换为基底向量．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +CD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12DP ⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AP ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −16AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AP⃑⃑⃑⃑⃑ 即MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−a −16b ⃑ +12c 故选：D ． 6、设F 1,F 2是椭圆x 212+y 224=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且cos∠F 1PF 2=13.则△PF 1F 2的面积为（）A ．6B ．6√2C ．8D ．8√2 答案：B分析：利用椭圆的几何性质，得到|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3，进而利用cos∠F 1PF 2=13得出|PF 1|⋅|PF 2|=18，进而可求出S △PF 1F 2 解：由椭圆x 212+y 224=1的方程可得a 2=24,b 2=12，所以c 2=a 2−b 2=12，得a =2√6,c =2√3 且|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2−2|PF 1||PF 2|−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=4a 2−4c 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4b 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4×12−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|，而cos∠F 1PF 2=13，所以，|PF 1|⋅|PF 2|=18，又因为，cos∠F 1PF 2=13，所以sin∠F 1PF 2=2√23，所以，S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|⋅sin∠F 1PF 2=12×18×2√23=6√2故选：B7、已知点A （1，2）在圆C ：x 2+y 2+mx −2y +2=0外，则实数m 的取值范围为（）A ．(−3,−2)∪(2,+∞)B ．(−3,−2)∪(3,+∞)C ．(−2,+∞)D ．(−3,+∞) 答案：A分析：由x 2+y 2+mx −2y +2=0表示圆可得m 2+(−2)2−4×2>0，点A （1，2）在圆C 外可得12+22+m −2×2+2>0，求解即可由题意，x 2+y 2+mx −2y +2=0表示圆故m 2+(−2)2−4×2>0，即m >2或m <−2 点A （1，2）在圆C ：x 2+y 2+mx −2y +2=0外故12+22+m −2×2+2>0，即m >−3 故实数m 的取值范围为m >2或−3<m <−2 即m ∈(−3,−2)∪(2,+∞) 故选：A8、已知动点P 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1(不含端点)上.设D 1PD 1B=λ，若∠APC 为钝角，则实数λ的取值范围为（）A ．(0,13)B ．(0,12)C ．(13,1)D ．(12,1) 答案：C分析：建立空间直角坐标系，由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，用坐标法计算，利用∠APC 不是平角，可得∠APC 为钝角等价于cos∠APC <0，即PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ <0，即可求出实数λ的取值范围.设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则有A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),D (0,0,1) ∴D 1B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,−1)，∴设D 1P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(λ,λ,−λ)，∴PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =PD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +D 1A ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−λ,−λ,λ)+(1,0,−1)=(1−λ,−λ,λ−1)， PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =PD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +D 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−λ,−λ,λ)+(0,1,−1)=(−λ,1−λ,λ−1)，由图知∠APC 不是平角，∴∠APC 为钝角等价于cos∠APC <0， ∴PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ <0， ∴(1−λ)(−λ)+(−λ)(1−λ)+(λ−1)2=(λ−1)(3λ−1)<0，解得13<λ<1∴λ的取值范围是(13,1)故选：C.9、已知抛物线C ：y 2=8x ，点P 为抛物线上任意一点，过点P 向圆D ：x 2+y 2−4x +3=0作切线，切点分别为A ，B ，则四边形PADB 的面积的最小值为（） A ．1B ．2C ．√3D ．√5 答案：C分析：由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=√|PD|2−1，所以当|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果如图，连接PD，圆D：(x−2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=√|PD|2−1，所以当四边形PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=−2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．故(S四边形PADB )min=(√|PD|2−1)min=√3．故选：C10、直线y=k(x−1)+2恒过定点（）A．(−1,2)B．(1,2)C．(2,−1)D．(2,1)答案：B分析：由x=1时，y=2可得到定点坐标.当x−1=0，即x=1时，y=2，∴直线y=k(x−1)+2恒过定点(1,2). 故选：B.填空题11、如图，在棱长为4的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点Р到直线CC 1的距离的最小值为_______.答案：4√55##45√5 分析：建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点Р到直线CC 1距离的函数关系，再求其最小值作答. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,4,0),D 1(0,0,4),E(2,4,0),C 1(0,4,4)，CE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0),CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,4),ED 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−4,4)，因点P 在线段D 1E 上，则λ∈[0,1]，EP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λED 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2λ,−4λ,4λ)，CP ⃑⃑⃑⃑⃑ =CE ⃑⃑⃑⃑⃑ +EP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2−2λ,−4λ,4λ)，向量CP ⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 上投影长为d =|CP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=4λ，而|CP⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(2−2λ)2+(−4λ)2+(4λ)2，则点Р到直线CC 1的距离 ℎ=√|CP⃑⃑⃑⃑⃑ |2−d 2=2√5λ2−2λ+1=2√5(λ−15)2+45≥4√55，当且仅当λ=15时取“=”，所以点Р到直线CC 1的距离的最小值为4√55.所以答案是：4√5512、在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =1，AA 1=2，点P 为底面ABCD 上一点，则PA →⋅PC 1→的最小值为________. 答案：−12分析：根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 解：如图，以AD,AB,AA 1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0),C 1(1,1,2)，设P (x,y,0)，所以PA →=(−x,−y,0),PC 1→=(1−x,1−y,2)，所以PA →⋅PC 1→=−x (1−x )−y (1−y )=x 2+y 2−x −y =(x −12)2+(y −12)2−12，所以当x =y =12时，PA →⋅PC 1→有最小值−12. 所以答案是：−1213、在平面内，一只蚂蚁从点A(−2,−3)出发，爬到y 轴后又爬到圆C:(x +3)2+(y −2)2=2上，则它爬到的最短路程是______．答案：4√2分析：求得点A(−2,−3)关于y轴的对称点为A′(2,−3)，结合圆的性质，即可求解.由圆C:(x+3)2+(y−2)2=2，得圆心坐标C(−3,2)，半径为√2，求得点A(−2,−3)关于y轴的对称点为A′(2,−3)，可得|A′P|=|A′C|−r=√(−3−2)2+(2+3)2−√2=4√2.如图所示，可得爬到的最短路程为4√2.所以答案是：4√214、设点M在直线2x+y−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________．答案：(x−1)2+(y+1)2=5分析：设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.[方法一]：三点共圆∵点M在直线2x+y−1=0上，∴设点M为(a,1−2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴√(a−3)2+(1−2a)2=√a2+(−2a)2=R，a2−6a+9+4a2−4a+1=5a2，解得a=1，∴M(1,−1)，R=√5，⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.所以答案是：(x−1)2+(y+1)2=5[方法二]：圆的几何性质由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线2x+y−1=0的交点(1,-1).R=√5, ⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.所以答案是：(x−1)2+(y+1)2=515、已知椭圆C:x24+y23=1的左､右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|−|MF1|的最小值为___________.答案：2√2−5分析：首先根据椭圆的定义将|MN|−|MF1|的最小值转化为|MN|+|MF2|−4，再根据|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），最后根据|ME|+|MF2|≥|EF2|求得|MN|−|MF1|的最小值.如图，由M为椭圆C上任意一点，则|MF1|+|MF2|=4又N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴|MN|−|MF1|=|MN|−(4−|MF2|)=|MN|+|MF2|−4≥|ME|+|MF2|−5≥|EF2|−5，当且仅当M、N、E、F2共线时等号成立.∵F2(1,0)，E(3,2)，则|EF2|=√(3−1)2+(2−0)2=2√2，∴|MN|−|MF1|的最小值为2√2−5．所以答案是：2√2−5．小提示：思路点睛；本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，考查学生的转化与化归思想，属于较难题.解答题16、如图，四棱锥P −ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，PD =DC =1，BC =√2，M 为BC 的中点．（1）求证：PB ⊥AM ；（2）求平面PAM 与平面PDC 所成的角的余弦值．答案：（1）证明见解析；（2）√147．分析：（1）以点D 为原点，依次以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出 PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，利用数量积即可证明.（2）求出两平面PAM 与平面PDC 的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦．解：（1）依题意，棱DA ，DC ，DP 两两互相垂直.以点D 为原点，依次以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，如图，建立空间直角坐标系.则B(√2,1,0)，P(0,0,1)，A(√2,0,0)，M (√22,1,0). 可得PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(√2,1,−1)，AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√22,1,0).所以PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√2×(−√22)+1−0=0，所以PB ⊥AM（2）由（1）得到A(√2,0,0)，M (√22,1,0)，因此可得AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√22,1,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√2,0,1). 设平面PAM 的一个法向量为n 1⃑⃑⃑⃑ =(x,y,z)，则由{n 1⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0,n 1⃑⃑⃑⃑ ⋅AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0, 得{−√22x +y =0,−√2x +z =0,令z =2√2，解得n 1⃑⃑⃑⃑ =(2,√2,2√2).同理，可求平面PDC 的一个法向量n 2⃑⃑⃑⃑ =(1,0,0).所以，平面PAM 与平面PDC 所成的锐二面角θ满足：cosθ=n 1⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n 2⃑⃑⃑⃑⃑ |n 1⃑⃑⃑⃑⃑ ||n 2⃑⃑⃑⃑⃑ |=√14×1=√147. 即平面PAM 与平面PDC 所成的锐二面角的余弦值为√147.17、已知△ABC 的三个顶点分别为A(−2，0)，B(2，0)，C(0，2)．（1）若过P(1，2)的直线y =ax +b 将△ABC 分割为面积相等的两部分，求b 的值；（2）一束光线从E(1，0)点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射到x 轴上的F 点，最后再经x 轴反射，反射光线所在直线为l ，证明直线l 经过一定点，并求出此定点的坐标．答案：（1）b =2−23√3；（2）证明见解析，(−1，−4)．分析：（1）结合图形分析可得直线y =ax +b 的斜率大于直线PA 的斜率，由此可得直线y =ax +b 只能与BC 、AB 相交，设其与BC 的交点为Q 点，与x 轴的交点为R ，根据题设条件得到比例关系，列方程求b ；（2）设F(m ，0)，结合光线反射的性质求出直线ED 的斜率，由此可得直线l 的方程，进而可得定点坐标.（1）直线BC 的方程为：x +y―2=0，直线y =ax +b 只能与BC 、AB 相交，其与BC 的交点为Q 点，由{y =ax +b x +y =2得y Q =b+2a 1+a ，y Q >0，直线y =ax +b 与x 轴交点为R (−b a，0)，−20，∴b =2−23√3．（2）设F(m ，0)，直线AC 的方程为：x −y +2=0，直线BC 的方程为：x +y −2=0，设F(m ，0)关于直线AC 的对称点为F 1(x 1，y 1)，则{m+x 12−y 12+2=0y 1x 1−m =−1 ，解得F 1(−2，m +2)，同理可得F 1关于直线BC 的对称点为F 2(−m ，4)，则F 2在直线ED 上，所以直线ED 的斜率为4−m−1，∴l 的斜率为4m+1，l 方程为y =4m+1(x −m )，即m (y +4)=4x −y ，∴l 过定点(−1，−4)．18、已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C:(x −2)2+(y −3)2=1交于M ，N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12，其中O 为坐标原点，求△OMN 的面积．答案：（1）(4−√73,4+√73)；（2）√22. 分析：（1）根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离公式，即可求解；（2）直线y =kx +1与圆的方程联立，利用韦达定理表示OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12，求得k =1，再利用弦长求△OMN 的面积．（1）设直线l 的方程为y =kx +1．因为直线l 与圆C 交于两点，所以√1+k 2<1，解得4−√73<k <4+√73．所以k 的取值范围为(4−√73,4+√73)．（2）设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)．将y =kx +1代入方程(x −2)2+(y −3)2=1，整理得(1+k 2)x 2−4(1+k )x +7=0，所以x 1+x 2=4(1+k )1+k 2，x 1x 2=71+k 2，所以OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=4k (1+k )1+k 2+8．由题设得4k (1+k )1+k 2+8=12，解得k =1，所以直线l 的方程为y =x +1，所以圆心C 在直线l 上，所以|MN |=2．又原点O 到直线l 的距离d =√2=√22，所以△OMN 的面积S =12|MN |⋅d =12×2×√22=√22． 19、在平面直角坐标系xoy 中，已知圆N 过点(−1,0),(1,0),且圆心N 在直线l:x +y −1=0上；圆M ：(x −3)2+(y −4)2=8．(1)求圆N 的标准方程，并判断圆M 与圆N 的位置关系；(2)直线MN 上是否存在点B ，使得过点B 分别作圆M 与圆N 的切线，切点分别为T,S （不重合），满足BS =2BT ，若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由.答案：(1)x 2+(y −1)2=2，相外切(2)存在，B (7,8)分析：（1）、先确定两圆圆心和半径，再计算圆心距与半径和进行比较即得结果；（2）、设直线MN 上存在点B 满足题意，设出B 点坐标，由BS =2BT 及其与切线长和半径之间的关系得到|BN |2=4|BM |2−30，再利用距离公式解得a ，经检验即得答案．（1）∵圆N 过点(−1,0),(1,0),∴圆N 的圆心N 在直线x =0上，∵圆心N 在直线l:x +y −1=0上，∴{x +y −1=0x =0 ，∴{x =0y =1 ，∴N (0,1)，设A (−1,0),∴半径为r N =|NA |=√2，∴圆N 的标准方程为x 2+(y −1)2=2，∵圆M ：(x −3)2+(y −4)2=8．∴M (3,4),r M =2√2又∵|MN |=√(3−0)2+(4−1)2=3√2,且r M +r N =√2+2√2=3√2 ∴|MN |=r M +r N =3√2∴圆M 与圆N 相外切．（2）∵N (0,1) ，M (3,4)，∴直线MN 的方程为x −y +1=0，设直线MN 上存在点B 满足题意，B (a,a +1)∵|BS |=2|BT |,∴|BS |2=4|BT |2,∴|BN |2−r N 2=4(|BM |2−r M 2),∴|BN |2−2=4(|BM |2−8),∴|BN |2=4|BM |2−30∵B(a,a+1),N(0,1),M(3,4),|BN|2=a2+(a+1−1)2,|BM|2=(a−3)2+(a+1−4)2,∴a2+(a+1−1)2=4[(a−3)2+(a+1−4)2]−30,∴a2−8a+7=0，∴a=1或a=7，∴B(1,2)或B(7,8)当B(1,2)时，点B为圆N与圆M的公切点，不符合题意;当B(7,8)时，满足BS=2BT.综上所述，存在点B(7,8)，满足BS=2BT.。

(精选试题附答案)高中数学第七章复数知识点归纳总结(精华版)

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第七章复数知识点归纳总结(精华版)单选题1、若复数z满足(1+i)z=|1+i|，则z的虚部为（）A．−√2i B．−√2C．−√22i D．−√22答案：D分析：先利用复数的模长和除法运算化简得到z=√22−√22i，再根据虚部的定义，即得解由(1+i)z=|1+i|=√2，得z=√21+i =√2(1−i)(1+i)(1−i)=√22−√22i，∴z的虚部为−√22.故选：D2、已知z=2+i，则z̅−i1+i=（）A．1−2i B．2+2i C．2i D．−2i答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解. 由z=2+i，得z̅=2−i，所以z̅−i1+i =2−i−i1+i=2(1−i)×(1−i)(1+i)×(1−i)=2×(1−2i+i2)2=−2i.故选：D.3、若z(1+i)=1−i，则z=（）A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i答案：D分析：先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可.因为z =1−i 1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ，所以z =i .故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.4、若z(1+i 3)=i ，则在复平面内复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B分析：先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断.因为z(1−i )=i ，所以z =i 1−i =i (1+i )2=−1+i 2，故z 对应的点位于复平面内第二象限．故选：B ．5、复数z =|√3+i |的虚部是（） A ．−12B ．12C ．−12i D ．12i答案：A分析：先根据模的定义计算，并化简得到z =12−12i ，再根据虚部的定义作出判定.∵z =|√3+i |=√(√3)+12=1−i 2=12−12i ， ∴z 的虚部为−12，故选：A.6、如果复数z满足|z+1−i|=2，那么|z−2+i|的最大值是（）A．√13+2B．2+√3C．√13+√2D．√13+4答案：A分析：复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离．∵|CM|=√32+22=√13．∴|z−2+i|的最大值是√13+2．故选：A．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z+1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2．7、复数i2+i3+i2022=（）A．i B．−2−i C．−2+i D．−1答案：B分析：由复数的乘方化简计算．i2+i3+i2022=(−1)+(−i)+(−1)=−2−i．故选：B．8、已知z=2−i，则z(z̅+i)=（）A．6−2i B．4−2i C．6+2i D．4+2i答案：C分析：利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.因为z=2−i，故z=2+i，故z(z+i)=(2−i)(2+2i)=4+4i−2i−2i2=6+2i故选：C.9、设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C分析：先求出共轭复数再判断结果.由z =−3+2i,得z =−3−2i,则z =−3−2i,对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．小提示：本题考点为共轭复数，为基础题目．10、已知复数z =2−3i ，若z̅⋅(a +i )是纯虚数，则实数a =（）A ．−23B ．23C ．−32D ．32答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.解：z̅⋅(a +i )=(2+3i )(a +i )=2a −3+(3a +2)i 是纯虚数，则{2a −3=03a +2≠0 ，解得a =32. 故选：D.填空题11、设z =52+i ，其中i 为虚数单位，则Imz =________答案：−1解析：直接利用复数的除法运算化简得到z 的代数形式，再根据定义即得结果.因为z =52+i =5(2−i )(2+i )(2−i )=5(2−i )22−(−1)=2−i所以Imz =−1.所以答案是：−1.12、计算z=12(−1+√3i)9√3+i)100(1+2√3i)100=_______.答案：-511解析：利用复数的运算公式，化简求值.原式=1212×(−12+√32i)√3)100[−i×(i−2√3)]100=36(−12+√32i)+1(−i)100=−29+1=−511.所以答案是：−511小提示：思路点睛：本题考查复数的n次幂的运算，注意(−12+√32i)3=1，(1+i)2=2i，以及(1+i)12=[(1+i)2]6，等公式化简求值.13、若复数z=(m2+m−2)+(4m2−8m+3)i，(m∈R)的共轭复数z对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为___________.答案：(1,32)分析：根据条件先分析z的对应点所在象限，根据象限内坐标的特点列出关于m的不等式组，由此求解出结果. 因为z对应的点在第一象限，所以z的对应点在第四象限，所以{m2+m−2>04m2−8m+3<0，解得1<m<32，即m∈(1,32)，所以答案是：(1,32).14、若复数z=sin2α−(1−cos2α)i是纯虚数，α∈[0,2π)，则α=___________．答案：π2或3π2.分析：利用纯虚数的概念，以及三角函数求值即可. 由题意，sin2α=0,cos2α≠1，α∈[0,2π)，∴2α∈[0,4π)，2α=π，或2α=3π，∴α=π2或3π2；所以答案是：π2或3π2.15、已知i 为虚数单位，则集合A ={x|x =i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i n ,n ∈N ∗}中元素的个数为___________.答案：4分析：根据i 4n =1,i 4n+1=i ,i 4n+2=−1,i 4n+3=−i ，分类讨论即可求出．当n =4k,k ∈N ∗时，x =i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i n =0；当n =4k +1,k ∈N 时，x =i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i n =i ；当n =4k +2,k ∈N 时，x =i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i n =i +i 2=i −1；当n =4k +3,k ∈N 时，x =i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i n =i +i 2+i 3=−1，所以集合A 中元素的个数为4．所以答案是：4．解答题16、已知a ∈R ，b ∈R ，方程x 2+ax +b =0的一个根为1−i ，复数z 1=a +b i ，满足|z 2|=4.（1）求复数z 1；（2）若z 1⋅z 2>0，求复数z 2.答案：（1）z 1=−2−2i ；（2）z 2=−2√2+2√2i .分析：（1）将1−i 代入方程x 2+ax +b =0，化简后利用复数相等的知识列方程组，由此求得a,b ，从而求得z 1.（2）设z 2=x +y i ，利用|z 2|=4、z 1⋅z 2>0来求得x,y ，进而求得z 2.（1）依题意，得(1−i )2+a(1−i )+b =0，即(a +b)+(−2−a)i =0，由复数相等的定义及a ，b ∈R ，得{a +b =0−2−a =0，解得{a =−2b =2. 故复数z 1=a −b i =−2−2i .（2）设z 2=x +y i （x ∈R ，y ∈R ），由|z 2|=4，得x 2+y 2=16，z 1⋅z 2=(−2−2i )(x +y i )=(−2x +2y)−(2x +2y)i ，又z 1⋅z 2>0，得{−2x +2y >02x +2y =0，即{y >x x =−y ，所以{x 2+y 2=16x =−y y >x，解得{x =−2√2y =2√2 ，所以z 2=−2√2+2√2i .17、计算:(1)(−12+√32i)(√32+12i)(1+i); (2)(1−4i)(1+i)+2+4i 3+4i. 答案：(1) −1+√32+1−√32i ;(2)1−i .解析：（1）先计算(−12+√32i)(√32+12i)=(−√32+12i)，再计算(−√32+12i)(1+i)得到答案.（2）化简得到(1−4i)(1+i)+2+4i 3+4i =7+i 3+4i ，再计算得到答案. (1)(−12+√32i)(√32+ 12i )⋅(1+i )=[(−√34−√34)+ (34−14)i ](1+i) =(−√32+12i)(1+i)=(−√32−12)+(12−√32)i =−1+√32+1−√32i (2)(1−4i)(1+i)+2+4i 3+4i =5−3i+2+4i 3+4i =7+i 3+4i =(7+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i) =21−28i+3i+425=25−25i 25 =1−i .小提示：本题考查了复数的运算，意在考查学生的计算能力.18、实数x 分别取什么值时，复数z =(x 2+x −6)+(x 2−2x −15)i 对应的点Z 在：（1）第三象限；（2）直线x −y −3=0上.答案：（1）−3<x <2；（2）x =−2.分析：（1）由题意可得{x2+x−6<0x2−2x−15<0即可求解；（2）找出复数对应的点的坐标，代入直线的方程即可求解. 因为x是实数，所以x2+x−6，x2−2x−15也是实数.（1）由题意可得{x2+x−6<0x2−2x−15<0即{−3<x<2−3<x<5，解得：−3<x<2即当−3<x<2时，点Z在第三象限.（2）z=(x2+x−6)+(x2−2x−15)i对应点Z(x2+x−6,x2−2x−15)，由题意可得x2+x−6−(x2−2x−15)−3=0，整理可得：3x+6=0，解得：x=−2，即当x=−2时，点Z在直线x−y−3=0上.19、已知复数z=(m2+2m)+(m2−2m−3)i, m∈R，其中i为虚数单位．（I）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围；（II）若z满足z⋅z̅−4i z=9−12i，求m的值．答案：（I）m的取值范围是−2<m<−1；（II）m=1．分析：（I）由实部小于0且虚部大于0，联立不等式组求解即可；（II）设出z=x+y i(x,y∈R)，先利用复数的共轭的概念和负数的乘法运算化简已知等式的左端，利用两个复数相等的充要条件可求出z的两个值,进而根据题设条件对应得到两个关于m的方程组，分别求解即得．解：（I）∵复数z在复平面内对应的点位于第二象限，∴{m2+2m<0m2−2m−3>0，解得：−2<m<−1，所以m的取值范围是−2<m<−1；（II）设z=x+y i(x,y∈R)，∵z⋅z̅−4i z=9−12i，∴(x2+y2)−4i(x+y i)=9−12i，即(x2+y2+4y)−4x i=9−12i，∴{x2+y2+4y=9−4x=−12，∴{x=3y=0或{x=3y=−4，∴z=3或z=3−4i.∵z=(m2+2m)+(m2−2m−3)i，∴当z=3时，{m2+2m=3m2−2m−3=0，无解；当z=3−4i时，{m2+2m=3m2−2m−3=−4，解得m=1，综上可知：m=1．。

(精选试题附答案)高中数学选修一知识汇总大全

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一知识汇总大全单选题1、已知直线斜率为k，且−1≤k≤√3，那么倾斜角α的取值范围是（）A．[0,π3]∪[π2,3π4)B．[0,π3]∪[3π4,π)C．[0,π6]∪[π2,3π4)D．[0,π6]∪[3π4,π)答案：B分析：根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围. 解：直线l的斜率为k，且−1≤k≤√3，∴−1≤tanα≤√3，α∈[0,π).∴α∈[0,π3]∪[3π4,π).故选：B.2、圆(x−1)2+y2=3的圆心坐标和半径分别是（）A．(-1，0)，3B．(1，0)，3C．(−1,0),√3D．(1,0),√3答案：D分析：根据圆的标准方程，直接进行判断即可.根据圆的标准方程可得，(x−1)2+y2=3的圆心坐标为(1,0)，半径为√3，故选：D.3、如果AB >0且BC <0，那么直线Ax +By +C =0不经过（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C分析：通过直线经过的点来判断象限.由AB >0且BC <0，可得A,B 同号，B,C 异号，所以A,C 也是异号；令x =0，得y =−CB >0；令y =0，得x =−CA >0；所以直线Ax +By +C =0不经过第三象限. 故选：C.4、点P(2,0)关于直线l:x +y +1=0的对称点Q 的坐标为（） A ．(−1,−3)B ．(−1,−4)C ．(4,1)D ．(2,3) 答案：A分析：根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解. 设点P(2,0)关于直线x +y +1=0的对称点的坐标为(a,b)，则{b−0a−2×(−1)=−1a+22+b 2+1=0，解得{a =−1b =−3. 所以点Q 的坐标为(−1,−3) 故选：A.5、已知正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为（） A ．16B ．23C ．√2121D ．4√2121答案：B分析：利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可. 设该正面体的棱长为1，因为M 为BC 中点，N 为AD 中点，所以|BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√12−(12×1)2=√32，因为M 为BC 中点，N 为AD 中点，所以有BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ， DM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AC⃑⃑⃑⃑⃑ , BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )(−AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =1×1×12−12×12−12×1×1×12−12×12+14×1×1×12+14×1×1×12=−12,cos〈BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 〉=BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=−12√32×√32=−23，根据异面直线所成角的定义可知直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为23，故选：B 6、椭圆x 2100+y 264=1的焦点为F 1，F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2=60°，则点P 到x 轴的距离为（）A ．64√33B ．91√33C ．32√39D ．643答案：C分析：利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得|PF 1|⋅|PF 2|，一方面S △PF 1F 2=12|PF 1|⋅|PF 2|sin60°，另一方面设点P 到x 轴的距离为d ，则S △PF 1F 2=12×|F 1F 2|×d ，所以12|PF 1|⋅|PF 2|sin60° =12×|F 1F 2|×d ，即可求解易得c =√a 2−b 2=6．设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则r 1+r 2=20．在△PF 1F 2中，由余弦定理得(2c )2=r 12+r 22−2r 1r 2cos60°，即144=r 12+r 22−r 1r 2=(r 1+r 2)2−3r 1r 2=400−3r 1r 2，则r 1r 2=2563，所以S △PF 1F 2=12r 1r 2sin60°=12×2563×√32=64√33．设点P 到x 轴的距离为d ，则S △PF 1F 2=12×|F 1F 2|×d =6d ，故6d =64√33，解得d =32√39．故选：C ．7、已知直线l 过定点A (2,3,1)，且方向向量为s =(0,1,1)，则点P (4,3,2)到l 的距离为（） A ．3√22B ．√22C ．√102D ．√2 答案：A分析：本题首先可根据题意得出AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，然后求出|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |与|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅s|s ||，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果. 因为A (2,3,1)，P (4,3,2)，所以AP⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,1)，则|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√5，|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅s |s||=√22，由点到直线的距离公式得d =√|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅s|s||2=3√22，故选：A.8、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（） A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案：D分析：平移直线AD 1至BC 1，将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC 1,PC 1,PB ，因为AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1或其补角为直线PB 与AD 1所成的角，因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥PC 1，又PC 1⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1=B 1，所以PC 1⊥平面PBB 1，所以PC 1⊥PB ，设正方体棱长为2，则BC 1=2√2,PC 1=12D 1B 1=√2，sin∠PBC 1=PC 1BC 1=12，所以∠PBC 1=π6.故选：D9、已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A(72，4)，则|PA |+|PM |的最小值是（） A ．5B ．92C ．4D ．32 答案：B分析：先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM 交准线于H 点推断出|PA |＝|PH |，进而表示出|PM |，问题转化为求|PF |+|PA |的最小值，由三角形两边长大于第三边得到|PF |+|PA |的最小值，则|PA |+|PM |的最小值可得．依题意可知焦点F (12,0)，准线 x =−12，延长PM 交准线于H 点．则|PF |＝|PH |，∴|PM |＝|PH |−12=|PF |−12∴|PM |+|PA |＝|PF |+|PA |−12，∴要使|PM |+|PA |当且仅当|PF |+|PA |最小．由三角形两边长大于第三边可知，|PF |+|PA |≥|FA |，① 当P 与线段AF 与抛物线的交点P 0重合时取到最小值，．由A (72,4),可得|FA |=√(72−12)2+42=5．则所求为(|PM |+|PA |)min =5−12=92．故选：B ．10、若椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（）A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为√3C．存在点P，使PF1⊥PF2D．|PF1|的取值范围是[1,3]答案：C分析：根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点P位于上下顶点时，△PF1F2面积的最大即可判断选项B；当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大与90∘比较即可判断选项C；当点P为椭圆C的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.由椭圆方程可知a=2，b=√3，从而c=√a2−b2=1．对于选项A；根据椭圆定义，|PF1|+|PF2|=2a=4，又|F1F2|=2c=2，所以△PF1F2的周长是2a+2c=6，故选项A正确；对于选项B：设点P(x1,y0)(y0≠0)，因为|F1F2|=2，则S△PF1F2=12|F1F2|⋅|y0|=|y0|．因为0<|y0|≤b=√3，则△PF1F2面积的最大值为√3，故选项B正确；对于选项C：由椭圆性质可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大．此时，|PF1|=|PF2|=a=2，又|F1F2|=2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2=60°，所以不存在点P，使PF1⊥PF2，故选项C错误；对于选项D：由椭圆的性质可知，当点P为椭圆C的右顶点时，|PF1|取最大值，此时|PF1|=a+c=3；当点P为椭圆C的左顶点时，|PF1|取最小值，此时|PF1|=a−c=1，所以|PF1|∈[1,3]，故选项D正确．故选：C.小提示：名师点评椭圆中焦点三角形的有关结论以椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(−c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2=θ，则（1）焦点三角形的周长为2a+2c；（2）当点P为椭圆短轴的一个端点时，∠F1PF2=θ为最大；（3）S△PF1F2=12PF1×PF2×sinθ，当|y0|=b时，即点P为椭圆短轴的一个端点时S△PF1F2取最大值，为bc；（4）S△PF1F2=b2tanθ2.填空题11、点P为直线3x−4y+2=0上任意一个动点，则P到点(3,−1)的距离的最小值为___________.答案：3分析：先判断出当点P和点(3,−1)的连线和直线3x−4y+2=0垂直时距离最小，再由点(3,−1)到直线的距离求解即可.由题意得当点P和点(3,−1)的连线和直线3x−4y+2=0垂直时距离最小，此时距离等于点(3,−1)到直线3x−4y+2=0的距离√32+(−4)2=3，故P到点(3,−1)的距离的最小值为3.所以答案是：3.12、如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点Р到直线CC1的距离的最小值为_______.答案：4√55##45√5 分析：建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点Р到直线CC 1距离的函数关系，再求其最小值作答. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,4,0),D 1(0,0,4),E(2,4,0),C 1(0,4,4)，CE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0),CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,4),ED 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−4,4)，因点P 在线段D 1E 上，则λ∈[0,1]，EP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λED 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2λ,−4λ,4λ)，CP ⃑⃑⃑⃑⃑ =CE ⃑⃑⃑⃑⃑ +EP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2−2λ,−4λ,4λ)，向量CP ⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 上投影长为d =|CP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=4λ，而|CP⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(2−2λ)2+(−4λ)2+(4λ)2，则点Р到直线CC 1的距离 ℎ=√|CP ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−d 2=2√5λ2−2λ+1=2√5(λ−15)2+45≥4√55，当且仅当λ=15时取“=”，所以点Р到直线CC 1的距离的最小值为4√55. 所以答案是：4√5513、在空间直角坐标系中，点P(x,y,z)满足：x 2+y 2+z 2=16，平面α过点M(1,2,3)，且平面α的一个法向量n ⃑ =(1,1,1)，则点P 在平面α上所围成的封闭图形的面积等于__________.答案：4π分析：由题意，点P在球面上，所以点P在平面α上所围成的封闭图形即为平面α截球面所得的截面圆，根据球的截面性质求出截面圆的半径r即可求解.解：由题意，点P在以(0,0,0)为球心，半径为4的球面上，所以点P在平面α上所围成的封闭图形即为平面α截球面所得的截面圆，因为平面α的方程为1×(x−1)+1×(y−2)+1×(z−3)=0，即x+y+z−6=0，=2√3，所以球心(0,0,0)到平面α的距离为d=√12+12+12所以截面圆的半径r=√42−(2√3)2=2，截面圆的面积为S=πr2=4π，所以点P在平面α上所围成的封闭图形的面积等于4π.所以答案是：4π.14、《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=1，则二面角A-PC-B的余弦值为__________．答案：1##0.52分析：建立空间直角坐标系，分别计算平面APC与平面PBC的法向量，然后利用公式计算即可.依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)，C(1,1,0)，所以AC⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,1)，BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,1,0)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,−1). 设平面APC 的法向量为n 1⃑⃑⃑⃑ =(x 1,y 1,z 1) {n 1⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0n 1⃑⃑⃑⃑ ⋅AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0 ，∴{z 1=0x 1+y 1=0不妨设y 1=1，则x 1=−1，n 1⃑⃑⃑⃑ =(−1,1,0) 设平面PBC 的法向量为n 2⃑⃑⃑⃑ =(x 2,y 2,z 2) {n 2⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0n 2⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0 ，∴{y 2=0x 2−z 2=0 不妨设x 2=1，则z 2=1，y 2=0，n 2⃑⃑⃑⃑ =(1,0,1)设A −PC −B 为α，则cosα=|cos ⟨n ⃑ 1,n ⃑ 2⟩|=|n ⃑ 1⋅n ⃑ 2||n ⃑ 1||n ⃑ 2|=√2⋅√2=12. 所以答案是：1215、已知圆O 1:x 2+y 2−2x +6y +2=0和圆O 2:x 2+y 2+4x −2y −4=0，垂直平分两圆的公共弦的直线的一般式方程为___________. 答案：4x +3y +5=0分析：若要垂直平分两圆的公共弦，则该直线必过两圆圆心，求得两圆圆心即可得解.圆O 1:x 2+y 2−2x +6y +2=0和圆O 2:x 2+y 2+4x −2y −4=0的圆心分别为：(1,−3)和(−2,1)，垂直平分两圆的公共弦的直线必过两圆圆心，所以直线方程为y =−3−11−(−2)(x −1)−3，整理可得：4x +3y +5=0.所以答案是：4x +3y +5=0.解答题16、已知圆C 过点A (3,1),B (5,3)，圆心在直线y =x 上.（1）求圆C 的方程.（2）判断点P (2，4)与圆C 的关系答案：（1）(x −3)2+(y −3)2=4；（2）P 在圆C 内部.分析：(1)由给定条件设出圆心C (a,a )、半径r ，进而写出圆的标准方程，再列出关于a ，r 的方程组即可得解(2)求出点P 与点C 的距离，再将它与r 比较即可得解.（1）由题意设圆心为C (a,a )，半径为r ，则圆的标准方程为(x −a)2+(y −a )2=r 2，由题意得{(3−a)2+(1−a )2=r 2(5−a)2+(3−a )2=r 2，解得{a =3r =2 ，所以圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4；（2）由(1)知|PC |=√(3−2)2+(3−4)2=√2<rP (2，4)在圆C 内.17、如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面 ABC,AC ⊥BC,AC =BC =2，CC 1=3，点D, E 分别在棱AA 1和棱 CC 1上，且AD =1 CE =2, M 为棱A 1B 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）求二面角B −B 1E −D 的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）√306；（Ⅲ）√33. 分析：以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 和B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，得出C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即可证明出C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）可知平面BB 1E 的一个法向量为CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，计算出平面B 1ED 的一个法向量为n ⃑ ，利用空间向量法计算出二面角B −B 1E −D 的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值.依题意，以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C 1(0,0,3)、A 1(2,0,3)、B 1(0,2,3)、D(2,0,1)、E(0,0,2)、M(1,1,3).（Ⅰ）依题意，C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,0)，B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,−2,−2)，从而C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2−2+0=0，所以C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）依题意，CA⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,1)，ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,−1)．设n ⃑ =(x,y,z)为平面DB 1E 的法向量，则{n ⃑ ⋅EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0n ⃑ ⋅ED⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即{2y +z =02x −z =0，不妨设x =1，可得n ⃑ =(1,−1,2)．cos <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=CA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |CA ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2×√6=√66， ∴sin <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√1−cos 2<CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√306．所以，二面角B −B 1E −D 的正弦值为√306；（Ⅲ）依题意，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,2,0)．由（Ⅱ）知n ⃑ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量，于是cos <AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2√2×√6=−√33．所以，直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33.小提示：本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.18、如图，四边形ABCD 中，满足AB //CD ，∠ABC =90°，AB =1，BC =√3，CD =2，将△BAC 沿AC 翻折至△PAC ，使得PD =2.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PAD 所成角的正弦值.答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）√155. 分析：（Ⅰ）过B 作BO ⊥AC ，垂足为O ，连PO ，DO ，作DE ⊥AC ，垂足为E ，易得PO ⊥AC ，通过勾股定理可得PO ⊥OD ，即可得PO ⊥平面ACD ，进而可得结果；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，平面PAD 的法向量，利用向量法即可得结果.（Ⅰ）过B 作BO ⊥AC ，垂足为O ，连PO ，DO ，则PO ⊥AC ，作DE ⊥AC ，垂足为E ，则DE =√3，OE =12，DO =√132 所以PO 2+DO 2=PD 2，即PO ⊥OD又AC ∩DO =O ，所以PO ⊥平面ACD ，又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）以O 为坐标原点，OC ，BO 所在的直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系则A (−12,0,0)，C (32,0,0)，D (12,√3,0)，P (0,0,√32)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,√3,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,0,√32) 设平面PAD 的法向量为n ⃑ =(a,b,c)，则{AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =12a +√32c =0AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =a +√3b =0取法向量n ⃑ =(√3,−1,−1)，CD⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,√3,0) 设直线CD 与平面PAD 所成角为θ，则sinθ=|cos <CD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >|=√155.19、已知△ABC 的三个顶点分别为A(−2，0)，B(2，0)，C(0，2)．（1）若过P(1，2)的直线y =ax +b 将△ABC 分割为面积相等的两部分，求b 的值；（2）一束光线从E(1，0)点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射到x 轴上的F 点，最后再经x 轴反射，反射光线所在直线为l ，证明直线l 经过一定点，并求出此定点的坐标．答案：（1）b =2−23√3；（2）证明见解析，(−1，−4)．分析：（1）结合图形分析可得直线y =ax +b 的斜率大于直线PA 的斜率，由此可得直线y =ax +b 只能与BC 、AB 相交，设其与BC 的交点为Q 点，与x 轴的交点为R ，根据题设条件得到比例关系，列方程求b ；（2）设F(m ，0)，结合光线反射的性质求出直线ED 的斜率，由此可得直线l 的方程，进而可得定点坐标.（1）直线BC 的方程为：x +y―2=0，直线y =ax +b 只能与BC 、AB 相交，其与BC 的交点为Q 点，由{y =ax +b x +y =2得y Q =b+2a 1+a ，y Q >0，直线y =ax +b 与x 轴交点为R (−b a ，0)，−20，∴b =2−23√3．（2）设F(m ，0)，直线AC 的方程为：x −y +2=0，直线BC 的方程为：x +y −2=0，设F(m ，0)关于直线AC 的对称点为F 1(x 1，y 1)，则{m+x 12−y 12+2=0y 1x 1−m =−1 ，解得F 1(−2，m +2)，同理可得F 1关于直线BC 的对称点为F 2(−m ，4)，则F 2在直线ED 上，所以直线ED 的斜率为4−m−1， ∴l 的斜率为4m+1，l 方程为y =4m+1(x −m )，即m (y +4)=4x −y ，∴l 过定点(−1，−4)．。

(精选试题附答案)高中数学第七章复数知识点总结归纳

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第七章复数知识点总结归纳单选题1、设i为虚数单位，若z i=2+√5i，则|z|=（）A．√3B．2C．√5D．3答案：D分析：根据复数的乘法，利用对应相等先求得z=√5−2i，再求模长即可得解.令z=a+b i，z i=a i−b=2+√5i，所以a=√5,b=−2，即z=√5−2i，所以|z|=√5+4=3，故选：D2、复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足|z−3|=|z−i|，则动点Z的轨迹为（）A．直线B．线段C．两条射线D．圆答案：A分析：设出动点Z坐标为(x,y)，根据题意列出方程，求出结果.设动点Z坐标为(x,y)，则z=x+y i，所以|x+y i−3|=|x+y i−i|，即(x−3)2+y2=x2+(y−1)2，化简得：3x−y−4=0，故动点Z的轨迹为直线.故选：A3、已知z(1−2i)=i，则下列说法正确的是（）A ．复数z 的虚部为i 5B ．复数z 对应的点在复平面的第二象限C ．复数z 的共轭复数z =25−i 5D ．|z |=15 答案：B分析：由复数除法求出复数z ，然后可判断各选项．由已知得z =i 1−2i =1(1+21)(1−2i)(1+2i)=−25+i 5，所以复数z 的虚部为15，而不是i 5，A 错误；在复平面内，复数z 对应的点为(−25,15)，在第二象限，B 正确. z =−25−i 5，C 错误；|z|=√(−25)2+(15)2=√55，D 错误；故选：B ．小提示：本题考查复数的除法，考查复数的几何意义，共轭复数的概念及模的定义，属于基础题．4、已知i 为虚数单位，则i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=（）A ．iB ．−iC ．1D ．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0，得到i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=i 2021，即可求解. 根据虚数的性质知i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i −1−i =0，所以i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=505×0+i 2021=i .故选：A.5、已知a,b ∈R ，a 1+i +b1−i =1，则a +2b =（）A ．3B ．√3C ．√2D ．1答案：A分析：等式两边同乘(1+i )(1−i )，整理化简后利用复数相等的条件可求得a +2b 的值因为a 1+i +b 1−i =1 ，所以a(1−i )+b(1+i )=(1+i )(1−i )=1−i 2=2即(a +b)+(b −a)i=2所以{a +b =2b −a =0解得{a =1b =1 ，所以a +2b =3 故选：A6、欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ(e 为自然底数，i 为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数e 2i 在复平面内对应点所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B分析：根据欧拉公式有e 2i =cos2+isin2，判断cos2, sin2即可确定e 2i 对应点所在象限.由题意知：e 2i =cos2+isin2，而π2<2<π，∴cos2<0, sin2>0，故e 2i 对应点在第二象限.故选：B7、已知i 是虚数单位，若z =i +a 1+i 为纯虚数，则实数a =（） A ．1B ．−1C ．2D ．−2答案：B分析：由复数除法法则化简复数为代数形式，然后由复数的定义求解．因为z =i +a 1+i =(a+i )(1−i )(1+i )(1−i )=a−a i +i −i 22=a+12+1−a 2i 为纯虚数，所以{a+12=01−a 2≠0 ，a =−1．故选：B ．8、设2(z +z )+3(z −z )=4+6i ，则z =（）A ．1−2iB ．1+2iC ．1+iD ．1−i答案：C分析：设z =a +bi ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .设z =a +bi ，则z =a −bi ，则2(z +z )+3(z −z )=4a +6bi =4+6i ，所以，{4a =46b =6，解得a =b =1，因此，z =1+i . 故选：C.9、若复数z 满足z(1−2i )=5，则（）A ．z =1−2iB ．z +1是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则cos α=√55 答案：D分析：利用复数的除法求复数z 及对应点坐标，并确定所在的象限，结合各选项描述判断正误.由题设，z =51−2i =1+2i 且对应点在第一象限，A 、C 错误；z +1=2+2i 不是纯虚数，B 错误；由z 在复平面内对应的点为(1,2)，所以cos α=√55，D 正确.故选：D10、在复平面内，O 是原点．向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为12−√32i ，其中i 为虚数单位，若点A 关于虚轴的对称点为B ，则向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数的共轭复数为（）A ．12+√32i B ．12−√32i C ．−12+√32i D ．−12−√32i分析：根据对称求得点B 的坐标，从而OB⃑⃑⃑⃑⃑ 求出对应的复数由题意，得A (12,−√32)，B (−12,−√32)，所以向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−12−√32i 所以向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数的共轭复数为−12+√32i ，故选：C ．填空题11、以下四个命题：①满足z =1z 的复数只有±1，±i ；②若a 、b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数；③|z ＋z |＝2|z |；④复数z ∈R 的充要条件是z ＝z ，其中正确的有_____.答案：④分析：利用复数的四则运算以及共轭复数的概念、复数的模逐一判断即可.①令z ＝a ＋bi (a ，b ∈R)，则z ＝a －bi ，若z ＝1z ，则有a －bi ＝1a+bi ，即a 2＋b 2＝1＝|z |2，错误； ②(a －b )＋(a ＋b )i ＝2ai ，若a ＝b ＝0，(a －b )＋(a ＋b )i ＝0，不是纯虚数，错误；③若z ＝i ，|i －i |≠2|i |，错误；④z ＝z ，则其虚部为0，正确，综上所述，正确的命题为④.所以答案是：④12、设i 为虚数单位，则1−i 1+i 的虚部为______．解析：根据复数除法运算化简复数，进而得结果1−i 1+i =(1−i)⋅(1−i)(1+i)⋅(1−i)=1−2i+i21−i2=−2i2=−i所以答案是：−1小提示：易错点睛：本题考查了复数的实部和虚部，在解题时一般利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算，化简为a+bi的形式，b就是这个复数的虚部，一定要注意符号，考查学生的运算求解能力，属于易错题.13、在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z=___________.答案：−2−8i##−8i−2分析：根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,−5)，则z=3−5i，所以(1−i)z=(1−i)(3−5i)=−2−8i.所以答案是：−2−8i14、已知|z|=1，k∈R且z是复数，当|z2+kz+1|的最大值为3，则k=_______.答案：±1分析：由|z|=1可知，z⋅z=1，化简|z2+kz+1|可得其最值为|k|+2，进而求出k的值.设z=a+b i，a，b∈R，因为|z|=1，所以|z|2=1，z⋅z=1，所以|z2+kz+1|=|z2+kz+z⋅z|=|z(z+z+k)|，因为z+z=a+b i+a−b i=2a∈R，所以|z2+kz+1|=|z(z+z+k)|=|z+z+k|⋅|z|=|2a+k|，因为|z|=√a2+b2=1，所以a∈[−1,1]，所以|z2+kz+1|max=|k|+2=3，解得，k=±1，所以答案是：±1.15、已知i 为虚数单位，则∑(1−i 1+i )k2022k=1=___________. 答案：−1−i ##−i -1分析：根据除法运算先化简1-i 1+i =−i ，然后根据周期性即可求解.1-i 1+i=(1-i )(1-i )(1+i )(1-i )=−i ，且∵(-i )+(-i )2+(-i )3+(-i )4=0,∴(-i )4n+1+(-i )4n+2+(-i )4n+3+(-i )4n =0，故∑(1−i 1+i )k 2022k=1=∑(-i )k 2022k=1=(-i )+(-i )2=-i -1 所以答案是：−1−i解答题16、已知方程x 2+x +p =0有两个根x 1，x 2，p ∈R ．（1）若|x 1−x 2|=3，求实数p 的值；（2）若|x 1|+|x 2|=3，求实数p 的值．答案：（1）p =52或−2；（2）p =−2或94．解析：（1）根据韦达定理，得出x 1+x 2=−1,x 1x 2=p ，|x 1−x 2|2=|(x 1+x 2)2−4x 1x 2|，则可求出实数p 的值；（2）根据题意，对两根x 1,x 2进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p 的值.解：（1）∵方程x 2+x +p =0有两个根x 1，x 2，则由韦达定理知：x 1+x 2=−1,x 1x 2=p ，∴|x 1−x 2|2=|(x 1+x 2)2−4x 1x 2|=|1−4p |=9，∴p =52或−2；（2）①当x 1，x 2为两个实根，△=1−4p ≥0，即p ≤14时，(|x 1|+|x 2|)2=x 12+x 22+2|x 1x 2|=(x 1+x 2)2−2x 1x 2+2|x 1x 2|，∴1−2p +2|p |=9，则p =−2，②当x 1，x 2为一对共轭虚根，△=1−4p <0，即p >14时，由|x 1|+|x 2|=3，|x 1|=|x 2|，得|x 1|=32，由韦达定理可得p =|x 1|2=94，综上所述，p =−2或94.小提示：关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.17、如图，已知复平面内平行四边形ABCD 中，点A 对应的复数为−1，AB⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为2+2i ，BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为4-4i .（1）求D 点对应的复数；（2）求平行四边形ABCD 的面积.答案：（1）3﹣4i ；（2）16.分析：（1）利用复数的几何意义､向量的坐标运算性质､平行四边形的性质即可得出.（2）利用向量垂直与数量积的关系､模的计算公式､矩形的面积计算公式即可得出.解：（1）依题点A 对应的复数为−1，AB⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为2+2i ，得A (-1，0)，AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(2，2)，可得B (1，2). 又BC⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为4-4i ，得BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,-4)，可得C (5,-2). 设D 点对应的复数为x +yi ，x ，y ∈R.得CD⃑⃑⃑⃑⃑ =(x -5，y +2)，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2，-2). ∵ABCD 为平行四边形，∴BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =CD⃑⃑⃑⃑⃑ ，解得x =3，y =-4，故D 点对应的复数为3-4i .（2）AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(2，2)，BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,-4)，可得：AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，∴ AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√2，|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=4√2 故平行四边形ABCD 的面积为2√2⋅4√2=1618、当实数m 分别为何值时，(1)复数z =m 2+m −2+(m 2+5m +6)i 是：实数？虚数？(2)复数z =log 2(m 2−3m −3)+i log 2(3−m)纯虚数？答案：(1)当m =−3或m =−2时复数z 为实数，当m ≠−3且m ≠−2时复数z 为虚数(2)当m =−1时复数z 为纯虚数分析：(1)根据实数的特点列方程求m 使得复数z 为实数，再根据虚数的特点列方程求m 使得复数z 为虚数，(2)根据纯虚数的特点列方程求m 使得复数z 为纯虚数.(1)若复数z =m 2+m −2+(m 2+5m +6)i 为实数，则m 2+5m +6=0∴ m =−3或m =−2，若复数z =m 2+m −2+(m 2+5m +6)i 为虚数，则m 2+5m +6≠0∴ m ≠−3且m ≠−2，(2)若复数z =log 2(m 2−3m −3)+i log 2(3−m)纯虚数，则log 2(m 2−3m −3)=0且log 2(3−m)≠0，由log 2(m 2−3m −3)=0可得m =−1或m =4，又m=4时log2(3−m)不存在，m=−1时log2(3−m)=2，所以m=−1.19、计算：（1）(13+12i)+(2−i)−(43−32i)；（2）已知z1=2+3i，z2=−1+2i，求z1+z2，z1−z2．答案：（1）1+i（2）1+5i,3+i分析：（1）根据复数的加减法法则，实部与实部对应加减，虚部与虚部对应加减，即可运算得到结果；（2）根据复数的加法、减法法则运算即可.（1）(13+12i)+(2−i)−(43−32i)=(13+2−43)+(12−1+32)i=1+i；（2）∵z1=2+3i，z2=−1+2i，∴z1+z2=2+3i+(−1+2i)=1+5i，z1−z2=2+3i−(−1+2i)=3+i。

(精选试题附答案)高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识点汇总

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识点汇总单选题1、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要答案：A分析：记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，B，C，D，根据题目条件得到集合之间的关系，并推出A D，，所以甲是丁的充分不必要条件.记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，B，C，D，由甲是乙的充分不必要条件得，A B，由乙是丙的充要条件得，B=C，由丁是丙的必要不充分条件得，C D，所以A D，，故甲是丁的充分不必要条件.故选：A.2、已知集合M={x∣x2+x=0}，则（）A．{0}∈M B．∅∈M C．−1∉M D．−1∈M答案：D分析：先求得集合M，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.因为集合M={x∣x2+x=0}={0，−1}，所以−1∈M，故选：D.3、某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）A．5B．10C．15D．20答案：C分析：用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都是合格的人数为y，由图可得20−x+x+30−x+y=45，x=y+ 5，因为y max=10，所以x max=10+5=15．故选：C．小提示：关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合A,B表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．4、已知a、b、c、d∈R，则“max{a,b}+max{c,d}>0”是“max{a+c,b+d}>0”的（）注：max{p,q}表示p、q之间的较大者.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B分析：利用特殊值法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.充分性：取a=d=1，b=c=−1，则max{a,b}+max{c,d}=max{1,−1}+max{−1,1}=1+1>0成立，但max{a+c,b+d}=max{0,0}=0，充分性不成立；必要性：设max{a+c,b+d}=a+c，则max{a,b}≥a，max{c,d}≥c，从而可得max{a,b}+max{c,d}≥a+c>0，必要性成立.因此，“max{a,b}+max{c,d}>0”是“max{a+c,b+d}>0”的必要不充分条件.故选：B.小提示：方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.5、已知p：√x−1>2，q：m−x<0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．m<3B．m>3C．m<5D．m>5答案：C分析：先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.命题p：因为√x−1>2，所以x−1>4，解得x>5，命题q：x>m，因为p是q的充分不必要条件，所以m<5.故选：C6、已知集合A={x|x≤1}，B={x∈Z|0≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0<x<1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0<x≤4}D．{0,1}答案：D分析：根据集合的交运算即可求解.由B={x∈Z|0≤x≤4}得B={0,1,2,3,4}，所以A∩B={0,1}，故选：D7、设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4B．–2C．2D．4答案：B分析：由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值. 求解二次不等式x2−4≤0可得：A={x|−2≤x≤2}，}.求解一次不等式2x+a≤0可得：B={x|x≤−a2=1，解得：a=−2.由于A∩B={x|−2≤x≤1}，故：−a2故选：B.小提示：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8、集合A={x∈N|1≤x<4}的真子集的个数是（）A．16B．8C．7D．4答案：C解析：先用列举法写出集合A，再写出其真子集即可.解：∵A={x∈N|1≤x<4}={1,2,3}，∴A={x∈N|1≤x<4}的真子集为：∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共7个．故选：C．9、下面四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为（）A．3B．2C．1D．0答案：D分析：对于①，计算判别式或配方进行判断；对于②，当x2＝2时，只能得到x为±√2，由此可判断；对于③，方程x2＋1＝0无实数解；对于④，作差可判断.解：x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.当且仅当x＝±√2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.∴①②③④均为假命题.故选：D小提示：此题考查特称命题和全称命题真假的判断，特称命题要为真，只要有1个成立即可，全称命题要为假，只要有1个不成立即可，属于基础题.10、在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（）A．{x|x≤−3或x≥3}B．{x|−3≤x≤3}C．{x|x≤−3}D．{x|x≥3}答案：B分析：在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合为|x|≤3的集合．由题意，满足|x|≤3的集合，可得：{x|−3≤x≤3}，故选：B填空题11、若全集U=R，集合A={x|−3≤x≤1}，A∪B={x|−3≤x≤2}，则B∩∁U A=___________.答案：{x|1<x≤2}##(1,2]分析：由集合A，以及集合A与集合B的并集确定出集合B，以及求出集合A的补集，再根据交集运算即可求出结果.因为A={x|−3≤x≤1}，A∪B={x|−3≤x≤2}，所以∁U A={x|x<−3或x>1}，{x|1<x≤2}⊆B⊆{x|−3≤x≤2}，所以B∩∁U A={x|1<x≤2}.所以答案是：{x|1<x≤2}.12、设集合A={−4，2m−1，m2}，B={9，m−5，1−m}，又A∩B={9}，求实数m=_____．答案：−3分析：根据A∩B={9}得出2m−1=9或m2=9，再分类讨论得出实数m的值.因为A∩B={9}，所以9∈A且9∈B，若2m−1=9，即m=5代入得A={−4，9，25}，B={9，0，−4}，∴A∩B={−4，9}不合题意；若m2=9，即m=±3．当m=3时，A={−4，5，9}，B={9，−2，−2}与集合元素的互异性矛盾；当m=−3时，A={−4，−7，9}，B={9，−8，4}，有A∩B={9}符合题意；综上所述，m=−3．所以答案是：−313、设集合A={(x,y)|x+y=3,x∈N∗,y∈N∗}，则用列举法表示集合A为______．答案：{(1,2),(2,1)}分析：根据题意可得{x>0y=3−x>0，则0<x<3，对x=1,2代入检验，注意集合的元素为坐标．∵x+y=3,x∈N∗,y∈N∗，则可得{x>0y=3−x>0，则0<x<3又∵x∈N∗，则当x=1,y=2成立，当x=2,y=1成立，∴A={(1,2),(2,1)}所以答案是：{(1,2),(2,1)}．14、已知p:−2≤x≤10，q:1−m≤x≤1+m(m>0)，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________．答案：[9,+∞)分析：设将满足p,q的x的集合即为A,B．已知条件转化为A⊊B，根据集合间的关系列式可解得结果.∵“q是p的必要不充分条件”的等价命题是：p是q的充分不必要条件．设A={x|−2≤x≤10},B={x|1−m≤x≤1+m,m>0}．∵p是q的充分不必要条件，所以A⊊B．∴{m>0,1−m⩽−2,1+m⩾10.（两个等号不能同时取到），∴m≥9．所以答案是：[9,+∞).小提示：本题考查了转化化归思想，考查了充分不必要条件和必要不充分条件,考查了集合间的关系，属于基础题.15、已知集合A={1,3,5,7,9}，B={x∈Z|2≤x≤5}，则A∩B=_____________．答案：{3,5}分析：首先确定集合B，由交集定义可得结果.∵B={x∈Z|2≤x≤5}={2,3,4,5}，∴A∩B={3,5}.所以答案是：{3,5}.解答题16、已知集合A ={x |−3≤x ≤2 }，B ={x |2m −1≤x ≤m +3 }．(1)当m =0时，求∁R (A ∩B )；(2)若A ∪B =A ，求实数m 的取值范围．答案：(1){x|x <−1或x >2}(2)m >4或m =−1分析：（1）先求交集，再求补集，即可得到答案；（2）由集合间的基本关系可得：B ⊆A ，对集合B 进行讨论，即可得到答案；（1）当m =0时，B ={x ∣−1≤x ≤3}，∴ A ∩B ={x ∣−1⩽x ⩽2}，∴ ∁R (A ∩B)={x|x <−1或x >2}（2）∵ A ∪B =A ⇒B ⊆A ，当B =∅时，2m −1>m +3⇒m >4；当B ≠∅时，m ⩽4且{2m −1⩾−3m +3⩽2，解得：m =−1，综上所述：m >4或m =−117、已知A ={x |−3≤x −2≤1}，B ={x |a −1≤x ≤a +2},a ∈R ．(1)当a ＝1时，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．答案：(1)A ∩B ={x |0≤x ≤3}(2){a |0≤a ≤1}分析：（1）解不等式，求出A,B ，进而求出交集；（2）根据条件得到B ⊆A ，比较端点，列出不等式组，求出实数a 的取值范围.（1）−3≤x −2≤1，解得−1≤x ≤3，故A ={x |−1≤x ≤3}，当a =1时，B ={x |0≤x ≤3}，所以A ∩B ={x |0≤x ≤3}；（2）因为A ∪B =A ，所以B ⊆A ，因为a −1<a +2，所以B ≠∅，所以{a −1≥−1a +2≤3，解得：0≤a ≤1，所以实数a 的取值范围为{a |0≤a ≤1}18、已知集合A ={x |3−a ≤x ≤3+a }，B ={x |x ≤0 或x ≥4}．(1)当a =1时，求A ∩B ；(2)若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈∁R B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．答案：(1)A ∩B ={4}(2)(0,1)分析：（1）首先得到集合A ，再根据交集的定义计算可得；（2）首先求出集合B 的补集，依题意可得A 是∁R B 的真子集，即可得到不等式组，解得即可；（1）解：当a =1时，A ={x |2≤x ≤4 }，B ={x|x ≤0或x ≥4}，∴A ∩B ={4}．（2）解：∵B ={x|x ≤0或x ≥4}，∴∁R B ={x |0<x <4 }，∵“x ∈A ”是“x ∈∁R B ”的充分不必要条件，∴A 是∁R B 的真子集，∵a >0，∴A ≠∅，∴{3−a >03+a <4a >0，∴0<a <1，故实数a 的取值范围为(0,1)．19、已知集合A ＝{a ﹣2，2a 2+5a }，且﹣3∈A ．(1)求a ；(2)写出集合A 的所有真子集．答案：(1)a =−32 ；(2)∅，{−72}，{﹣3} ．分析：（1）由题意知a ﹣2＝﹣3或2a 2+5a ＝﹣3，分类讨论并检验即可求得a =−32；（2）由真子集的定义直接写出即可．（1）∵A ＝{a ﹣2，2a 2+5a }，且﹣3∈A ，∴a ﹣2＝﹣3或2a 2+5a ＝﹣3，①若a ﹣2＝﹣3，a ＝﹣1，2a 2+5a ＝﹣3，故不成立，②若2a 2+5a ＝﹣3，a ＝﹣1或a =−32，由①知a ＝﹣1不成立，若a =−32，a ﹣2=−72，2a 2+5a ＝﹣3，成立，故a =−32；（2）∵A ={−72，−3}，∴A 的真子集有∅，{−72} ，{﹣3}．。

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数学必修4知识归纳一、任意角（逆时针旋转→正角，顺时针旋转→负角） 1、与α终边相同的角的集合：{|2,}k k Z ββαπ=+∈ 2、弧度制（1）α=l r，l =rα⋅（2）180=oπ rad1=o ()180π rad1rad =180()πo57.3≈o （3）扇形面积S=21122lr r α= 二、任意角的三角函数 1、定义 2、三角函数的值在各象限的符号三、同角三角函数的基本关系式： 1、22sincos 1αα+=； sin tan cos ααα=；tan cot 1αα⋅= 2、特殊角的三角函数值：四、诱导公式（口诀：纵变横不变，符号看象限）五、三角恒等变换思想方法：①切化弦、平方降幂的思想； ②化为同角、同名的思想； ③拆角的思想：如()()βαβαααβ=+-=--，2()()ααβαβ=++-等1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、降幂公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±αβ=−−−→令sin 22sin cos ααα= ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=m αβ=−−−→令22cos 2cos sin ααα=- 2cos 22cos 1αα=- ⇒降幂公式：21+cos2cos 2αα=，2cos 212sin αα=- 21cos2sin 2αα-=()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m αβ=−−−→令22tan tan 21tan ααα=-　2、辅助角公式（合一思想）：关键是“提斜边”sin cos )a x b x x ϕ+=+ （ϕ是斜边）3、正余弦“三兄妹”：sin cos x x +、sin cos x x -、sin cos x x —— 知一求二内在联系：2(sin cos )12sin cos 1sin 2x x x x x ±=±=±六、三角函数的图象与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质的比较（见书） 1、会用“五点法”画出函数sin()y A x B ωϕ=++的图象：步骤：设X x ωϕ=+，令X ＝30,,,,222ππππ→求相应的x 值及对应的y 值→描点作图试一试：请用“五点法”画出函数2sin(2)y x π=-在一个周期内闭区间的图象列表：2、函数sin()y A x B ωϕ=++的图象变换（伸缩变换与平移变换）特别注意：sin y x ω=→()sin y x ωϕ=+，应向左或向右平移||ϕω个单位长度试一试：函数13sin()226y x π=+-的图象可以由sin y x =的图象经过怎样的变换得到？3、函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：几个物理量：A ——振幅 2T πω=——周期1f T=——频率ϕ——初相 x ωϕ+ ——相位步骤：A 由最值确定 → ω由周期确定 → ϕ由图象上的特殊点确定，七、解三角形：1、内角和定理：A B C π++=,A B C π+=-，sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-，sincos 22A B C+=2、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为△ABC 外接圆的半径).注意：① 正弦定理的一些变式：sin sin sin a b c A B C ::=::；sin 2aA R=，sin 2b B R=，sin 2c C R=； 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ② 解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解3、余弦定理4、面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径）. 八、平面向量 1、平面向量的概念（1）定义（2）零向量（3）单位向量（4）平行向量（共线向量） 2、平面向量的线性运算（1）向量的加法与减法 ① 三角形法则 ② 平行四边形法则（2）向量的模性质：||||- a b ≤||±a b ≤||||+a b （3）向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b a λ=3、平面向量的数量积（1）平面向量数量积的定义 (投影.) （注意：用几何法计算a 和b 的夹角时，必须先判断a 与b 是否共起点）（2）夹角θ与数量积⋅a b 之间的关系（3）数量积的三个运算律： ① 交换律⋅=⋅a b b a ；② 对实数的结合律：()()()λλλ⋅=⋅=⋅a b a b a b③ 分配律()+⋅=⋅+⋅ab c a c b c 由此可得：222()2±=±⋅+a b a a b b ，22()()+⋅-=-a b a b a b注意：结合律是对实数的结合，对向量一般是不成立的，即()()⋅⋅≠⋅⋅a b c a b c4、平面向量的坐标运算（1）平面向量基本定理【定理2】：平面上四点、、、P A B C 满足=+u u u r u u u r u u u rPC xPA yPB ，1+=⇔、、x y A B C 三点共线（2）任意两点组成的向量AB =u u u r2121(,)x x y y --（3）向量的加法、减法、数乘运算：1212(,)a b x x y y ±=±±；12(,)a x y λλλ=向量的数量积运算：1212a b x x y y a b ⋅=+=⋅cos θ（4）平行向量：a ∥b ⇔12210x y x y -=⇔b a λ= （5）垂直向量：⊥ab ⇔12120x x y y +=⇔0a b ⋅=（6）向量的夹角：cos θ==a b a b⋅⋅（7）向量的模：=a=22=⋅=a a a a两点间距离：d AB AB ===u（8）AB 的中点坐标：1212(,)22x x y y ++；ABC ∆的重心坐标：123123(,)33x x x y y y ++++．（9）单位向量：与向量a 同向的单位向量0==a aa第三章三角恒等变换24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sinsin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式 26、⇒（后两个不用判断符号，更加好用）27、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB=A． 28、常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②2304560304515oooooo=-=-=；ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 1sin ;2cos 12cos :+-±=-±=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2sin :222αααααα万能公式+-=+=③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+；⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：o o 45tan 90sin cot tan cos sin 122===+=αααα（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。

常用降幂公式有：；。

降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：；；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

如：_______________tan 1tan 1=-+αα；______________tan 1tan 1=+-αα；____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα；____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；=αtan 2 ；=-α2tan 1 ；=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；=+ααcos sin b a = ；（其中=ϕtan ；） =+αcos 1 ；=-αcos 1 ；（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。

如：=+)10tan 31(50sin o o；=-ααcot tan 。

高中数学必修四三角函数检测题1．下列不等式中，正确的是（）A ．tan 513tan413ππ C ．sin(π－1)<sin1o D ．cos )52cos(57ππ-< 2. 函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是（）A ．)](23,26[Z k k k ∈++-ππππ B ．)](265,26[Z k k k ∈++ππππC ．)](3,6[Z k k k ∈++-ππππD ．)](65,6[Z k k k ∈++ππππ3.函数|tan |x y =的周期和对称轴分别为（）A. )(2,Z k k x ∈=ππ B. )(,2Z k k x ∈=ππC.)(,Z k k x ∈=ππ D.)(2,2Z k k x ∈=ππ4.要得到函数x y 2sin =的图象，可由函数)42cos(π-=x y （）A. 向左平移8π个长度单位 B. 向右平移8π个长度单位 C. 向左平移4π个长度单位 D. 向右平移4π个长度单位5．三角形ABC 中角C 为钝角，则有（）A .sin A >cosB B. sin A <cos B C. sin A =cos B D. sin A 与cos B 大小不确定6．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos (0)()2sin (0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，则15()4f π-的值等于（） A.1 BC.0D. -7.函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的解析式为（） A.22sin -=x y B.13cos 2-=x yC.1)52sin(--=πx y D. )52sin(1π--=x y8．已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（）A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称9．函数]0,[,cos 3sin )(π-∈-=x x x x f 的单调递增区间是（）A ．]65,[ππ--B ．]6,65[ππ--C ．]0,3[π-D ．]0,6[π-10. 已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（） A ．此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭11. 若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为（）Ａ．27-Ｂ．21-Ｃ．21 Ｄ．2717.已知函数3)62sin(3)(++=πx x f（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（2）指出)(x f 的周期、振幅、初相、对称轴；（3）说明此函数图象可由][0,2sin π在x y =上的图象经怎样的变换得到.18．已知函数)2sin()42cos(21)(ππ+-+=x x x f .（1）求)(x f 的定义域；（2）若角α在第一象限且53cos =α，求)(αf 的值.19．设函数a x x x x f ++=ωωωcos sin cos 3)(2 (其中ω＞0,R a ∈),且)(x f 的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为6π.（1）求ω的值；（2）如果)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ上的最小值为3，求a 的值.20．（本小题14分）已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωωϕω<>>+=A x A x f 在一个周期内的图象下图所示。