第四章 傅里叶变换及应用
傅里叶变换及其应用
傅里叶变换及其应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的数学工具和数学分析方法，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、量子力学等领域。
通过将一个函数表示成一组正弦和余弦函数的叠加，傅里叶变换能够将时域中的信号转化为频域中的信号，从而使得复杂的信号处理问题变得更加简单。
本文将介绍傅里叶变换的原理、性质以及其在实际应用中的几个重要方面。
一、傅里叶变换的原理和基本定义傅里叶变换是将一个函数f(x)表示成指数函数的叠加的过程。
设f(x)在时域上是以周期T为基本周期的连续函数，那么其傅里叶变换F(k)在频域上将成为以1/T为基本周期的连续函数。
傅里叶变换的基本定义如下：F(k) = ∫[f(x) * e^(-i2πkx/T)]dx其中，i是虚数单位，k是频率变量。
通过这样的变换，我们可以将时域上的函数转换为频域上的函数，从而可以更加清晰地分析信号的频谱特征。
二、傅里叶变换的性质傅里叶变换具有一些重要的性质，这些性质使得傅里叶变换成为一种强大的工具。
1. 线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则对应线性组合的傅里叶变换为aF(k) +bG(k)，其中a和b为常数。
2. 时移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(x - a)的傅里叶变换为e^(-i2πak/T)F(k)，即时域上的平移将对频域上的函数进行相位调制。
3. 频移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则e^(i2πax/T)f(x)的傅里叶变换为F(k - a)，即频域上的平移将对时域上的函数进行相位调制。
4. 尺度变换性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(ax)的傅里叶变换为1/|a|F(k/a)，即函数在时域上的尺度变换会对频域上的函数进行缩放。
5. 卷积定理：若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则f(x) * g(x)的傅里叶变换为F(k)G(k)，即在频域上的乘积等于时域上的卷积。
第四章 离散傅立叶变换(DFT)
x ( n )W N
kn
n0
X ( k ) DSK [ x ( n )] N 点
x ( n )W N
k=0, 1, …, N-1
n0
式中的周期序列 ~ N 是有限长序列x(n)的周期延拓 x 序列，其定义为
~ (n ) xN
m
x ( n mN )
(4.2.3)
X(N-k)=X*(k) k
0 ,1, 2 , N 2 1
共需要N2/2次复数乘法，比直接按定义计算少一半。 对一般的复序列，DFT也有共轭对称性。
4.3.5 循环卷积定理 1) 两个有限长序列的循环卷积
设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点
循环卷积定义为
1 e
8k
1 e
j
k
2
k
j
2
k
e
j
(e
k j
e e
j
2
k
)
k
16
16
k
j
16
e
j
(e
k
)
7 16
sin( sin(
2
k)
e
k=0, 1, 2, …, 15
k)
16
x(n)的幅频特性函数曲线、 8点DFT、 16点DFT和 32点DFT的模分别如图4.2.1(a)、 (b)、 (c)和(d)所示。
通常又定义周期序列的主值序列为
x N ( n ) ~N ( n ) R N ( n ) x
比较以上四种变换的计算式可得到：
第四章 傅里叶变换及应用
0
j
a
f(x ) F ()e j
U (,t) () cos at () sin at
a
() e jat e jat () e jat e jat
2
a
2j
x
f()d
F ()
0
j
1 2
()ejat ()ejat
1 2a
() j
e
jat
() j
e
jat
u(x,t)
1 2
(x,
y,
0)
(x,
y)
n1
m1
bmn
mnc
sin
m
a
x
sin
n
b
y
由于三角函数系的正交性, 得
amn
4 ab
a 0
b(x, y)sin m x sin n y dxdy,
0
ab
bmn
4
abc mn
a 0
b
(
x,
y)
sin
m
x
sin
n
y
dxdy,
0
ab
第四章 傅里叶变换及应用
傅里叶变换是积分变换的一种， 它可用来求解无界区域上的定解问题。
F(x ,y ,z )
f (x, y, z)e j(xxy yzz)dxdydz （3）
当然，我们也可以定义傅立叶逆变换
f
(x,
y,
z)
1
(2
)3
F (x ,y ,z )e j(xxy yzz)dxdydz （4）
傅立叶变换的性质:
1） 线性性质 设 f, g 是绝对可积函数，, 是任
意复常数，则
第四章-连续时间傅里叶变换
谱线间隔
0
2π T
k
nT 2T1
2,4,6时，ak 0
k
(b) T=8 T1 -4 0
谱线间隔
0
2π T
k
nT 2T1
4,8,12时，ak 0
k 4
T 2T1 T 2T1
T 不变T1 时
1/ 2
20 0 0 40
1/ 4
80 0 0 40
1/8
0 0
80
T
2T1
2T1 1 k0 T0 2
2T1 1 k0 T0 4
2020/8/9
4.0 引言
在工程应用中常见的信号是非周期信号:
➢对非周期信号应该如何进行分解？ ➢非周期信号的频谱如何表示？ 在时域，若一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演 变成一个非周期信号。 考查连续时间傅立叶级数在周期趋于无穷大时的变化，就能得 到对非周期信号的频域表示方法。
2
4.1 非周期信号的表示— 连续时间傅立叶变换
第4章 连续时间傅立叶变换
The Continuous time Fourier Transform
本章的主要内容: 1. 连续时间非周期信号的傅立叶变换 2. 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系 3. 傅立叶变换的性质 4. 采样定理
说明：内容1-3对应于教材第4章的4.1-4.6节； 内容4对应与教材第7章7.1-7.3节部分内容
T / 2 x(t )e jk0t dt
T / 2
当 T
0
2
T
d,
k0 ,
若令
lim
T
Tak
X(
j)
则有
X ( j) x(t)e jtdt
傅里叶变换及其应用
傅里叶变换及其应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将一个函数（或信号）从时域（时间域）转换为频域的数学技术。
它是由法国数学家傅里叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier）提出的，因此得名。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛的应用，并且为这些领域的发展做出了重大贡献。
一、傅里叶变换的定义和性质傅里叶变换可以将一个连续函数表示为正弦和余弦的加权和，它的数学公式如下：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-iωt)] dt其中，F(ω)表示频域上的函数，f(t)表示时域上的函数，e^(-iωt)是复指数函数。
傅里叶变换有一些重要的性质，如线性性、时移性、频移性、对称性等。
这些性质使得傅里叶变换成为一种非常有用的工具，在信号处理中广泛应用。
二、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数是傅里叶变换的一种特殊形式，主要用于分析周期性信号。
傅里叶级数可以将一个周期为T的函数展开成正弦和余弦函数的和。
而傅里叶变换则适用于非周期性信号，它可以将一个非周期性函数变换为连续的频谱。
傅里叶级数和傅里叶变换之间存在着密切的关系，它们之间可以相互转换。
傅里叶级数展开的周期函数可以通过将周期延拓到无穷大，得到其对应的傅里叶变换。
而傅里叶变换可以通过将频谱周期化，得到其对应的傅里叶级数。
三、傅里叶变换的应用1. 信号处理傅里叶变换在信号处理中有着重要的应用。
通过将信号从时域转换到频域，我们可以分析信号的频谱特性，如频率成分、幅度、相位等。
这对于音频、图像、视频等信号的处理非常有帮助，例如音频信号的降噪、图像的去噪、视频的压缩等。
2. 图像处理傅里叶变换在图像处理中也有广泛的应用。
通过对图像进行傅里叶变换，可以将图像从时域转换为频域，进而进行频域滤波和频域增强等操作。
这些操作可以实现图像的模糊处理、边缘检测、纹理分析等。
3. 通信在通信领域中，傅里叶变换是无线通信、调制解调、信道估计等技术的基础。
《快速傅里叶变换(FFT) 第四章》
方法： 分解N为较小值：把序列分解为几个较短的 序列，分别计算其DFT值； 利用旋转因子WNk的周期性、对称性、可 约性进行合并、归类处理，以减少DFT的运 算次数。 k ( kn WN m WNN m WN ( nlN ) WNk lN ) n WN 周期性： N m m N m N m m m m 对称性：Wm WNm [W WN N WNN [WNNN m ]] WN WN 2 WN WN 可约性：W mN N W knmW kn / m W kn m kmn ,m 2 2
x ( r ) W x ( r )W x ( r ) W x ( r )W e (r W x r) xxr) W( r ) W (WW (r )W W e W (2 ) x x x(2 r 1)
W e
2 j 2 kr 2 kr N N /2
N 2
2 这样将N点DFT分解为两个N/2点的DFT
N X (k ) X 1 (k ) W X 2k(k ) k 0,1, 1 N X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, N 1 2 k X (kN X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, 2 1 ) N2 k X (k N X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, 1 N ) k X (k 2 N X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, N 1 ) 2 k 2 X (k ) X (k ) W X (k ) k 0,1, 2 1
4.1 离散傅里叶变换的高效计算思路 DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。但直接 计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比， 当N较大时，计算量太大，直接用DFT算法进行谱分 析和信号的实时处理是不切实际的。
信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
第4(5)章 傅里叶级数和变换
t0
2 2
f (t ) cos( n1t )dt
2 T1
2
E cos( n1t )dt
4 T1
0
E cos( n1t )dt
2
4E 1 sin n1t T1 n1
变
0
不 变
2E n an sin n T1
n sin 2E n T1 n n T1 T1 2 E n Sa ( ) T1 T1
§4.1 引言 信号与系统的时域分析→变换域分析（频域分析）
第四章 连续系统的频域分析P116
任一周期信号都可以用三角函数的线性组合来表示
1822年，法国数学家傅里叶提出；
Poisson、Gauss等将其应用到电学中；
20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等为傅立 叶分析的应用开辟了广阔的前景 周期信号——傅里叶级数 非周期信号——傅里叶变换
T 2 T 2 T 2 T 2
(3) 半波重迭信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
-T/2
T/2
t
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦 的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
(4) 半波镜像信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
T/2 0 T
t
半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇 次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
④ t =±π，±2π，…±nπ；Sa(t)=0
正弦分量的幅度： bn
2 T1
t 0 T1
2 2
t0
f (t ) sin( n1t )dt
2 T1
傅里叶变换及其应用
傅里叶变换及其应用傅里叶变换是一种数学工具，它将一个函数从时间域转换到频率域。
这种工具被广泛应用于信号处理、图像处理、量子力学、生物学等领域。
在这篇文章中，我将介绍傅里叶变换的原理和应用。
傅里叶变换的原理在介绍傅里叶变换的原理之前，我们需要先了解一些预备知识。
一个周期为T的函数f(t)可以表示为以下形式的级数：f(t) = a0 + ∑(an cos(nωt) + bn sin(nωt))其中ω=2π/T，an和bn分别表示f(t)的余弦和正弦系数。
这个级数就是傅里叶级数。
傅里叶变换就是将傅里叶级数从时间域转换到频率域。
具体来说，它将函数f(t)分解成无穷多个正弦和余弦波的叠加。
每个波的频率和振幅对应于傅里叶变换中的一个点。
傅里叶变换的数学表示式为：F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt)dt其中，F(ω)是f(t)在频率域的表达式，t是时间变量，ω是角频率，e是自然对数的底数i的幂。
上述公式是连续傅里叶变换的表示形式。
在实际应用中，我们经常使用离散傅里叶变换，即：F(k) = ∑f(n)e^(-2πikn/N)其中，N是信号的长度，k表示频率，n表示时间。
傅里叶变换的应用下面，我将介绍一些傅里叶变换在信号和图像处理中的应用。
1.频域滤波傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，这让我们能够更容易地对信号进行处理。
在图像应用中，频域滤波是一种基本的技术。
它可以对图像中的某些频率分量进行增强或抑制。
因此，我们可以通过频域滤波来实现图像的降噪、增强边缘等操作。
2.图像编码在JPEG图像压缩中，傅里叶变换被广泛应用。
JPEG格式将图像分成8x8的块，然后对每个块进行傅里叶变换。
这样可以使得图像的大部分信息集中在高频部分，而低频部分能够被丢弃或以较低的质量编码。
这样可以大大减小图像的大小，同时保证图像的质量。
3.谱分析傅里叶变换可以将信号转换为频域表示，这样可以对信号进行谱分析。
通过谱分析，我们能够了解信号中的主要频率分量以及其对应的振幅。
傅里叶变换的性质与应用
傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种在信号和图像处理领域中广泛应用的数学工具。
它通过将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合来描述时域和频域之间的关系。
在本文中，我们将探讨傅里叶变换的性质以及其在各个领域中的应用。
一、傅里叶变换的性质1. 线性性质傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及函数f（t）和g（t），有以下等式成立：F（af（t） + bg（t））= aF（f（t））+ bF（g（t））其中F（f（t））表示对函数f（t）进行傅里叶变换后得到的频域函数。
2. 对称性质傅里叶变换具有一系列对称性质。
其中最为重要的对称性质为奇偶对称性。
当函数f（t）为实函数并满足奇偶对称时，其傅里叶变换具有如下关系：F（-t）= F（t）（偶对称函数）F（-t）= -F（t）（奇对称函数）3. 尺度变换性质傅里叶变换可以对函数的尺度进行变换。
对于函数f（a * t）的傅里叶变换后得到的频域函数为F（w / a），其中a为正数。
二、傅里叶变换的应用1. 信号处理傅里叶变换在信号处理中被广泛应用。
它可以将时域信号转换为频域信号，使得信号的频率成分更加明确。
通过傅里叶变换，我们可以分析和处理各种信号，例如音频信号、图像信号和视频信号等。
在音频领域中，傅里叶变换可以用于音乐频谱分析、滤波器设计和音频压缩等方面。
在图像处理领域中，傅里叶变换可以用于图像增强、图像去噪和图像压缩等方面。
2. 通信系统傅里叶变换在通信系统中具有重要的应用。
通过傅里叶变换，我们可以将信号转换为频域信号，并根据频域特性进行信号调制和解调。
傅里叶变换可以用于调制解调器的设计、信道估计和信号的频谱分析等方面。
在无线通信系统中，傅里叶变换也广泛应用于OFDM（正交频分复用）技术，以提高信号传输效率和抗干扰性能。
3. 图像处理傅里叶变换在图像处理中有广泛的应用。
通过将图像转换到频域，我们可以对图像进行滤波、增强和去噪等操作。
第4章傅里叶变换ppt课件
23
例题4.6 求正弦波的频谱
解：
x(t)si n0tej0t
ej0t 2j
1 a1 2 j
a－1
－ 1 2j
X(j)j(0)j(0)
可编辑课件PPT
24
ej0t ej0t
x(t)co0st 2
a1
1 2
a－1
1 2
X (j ) ( 0 ) ( 0 )
本例的结论在信号调制理论中有着广泛的应用
可编辑课件PPT
12
例题4.2 求 x(t)(t) 的频谱。
解
X(j)x(t)ejtdt (t)ejtdt
(t)ej0dt1
可编辑课件PPT
13
单位冲激信号的频谱是常数1，或者说，在所有 的频率点上，频谱的值都是恒定的。
这个例子的物理含义非常广泛，它意味着，尖脉 冲信号的频谱非常宽，会对处于不同接收频率的电子 设备产生干扰。
X(jk0)ejk0t
0
面X 积 (jk0)ej k0t 0 k 0
X(j)ejtd
X(jk0)ejk0t0
k
可编辑课件PPT
10
0 0
傅里叶反变换
x(t)21 X(j)ejtd
一种分解
可编辑课件PPT
11
傅里叶变换
频谱
傅里叶正变换
X(j) x(t)ejtdt
F
F1
x(t)X(j) X(j)x(t)
可编辑课件PPT
2
抽样函数或者称为采样函数：
Sa(x) sinx x
S(ax)S(a x) 偶函数
通过罗必塔法则，可以得到
Sa(0) 1
Sa()0
x 抽样函数右边的第一个过零点在
第四章-傅里叶变换
X(kΩ0)T 1T~ x(t)ejkΩ0tdt
其中 T 为~x(t) 的周期，<T>表示长度为 T 的任意区间。此即连续 傅里叶级数（Continuous Fourier Series, CFS）。从上述公式可 以看出，连续时间周期信号 ~x(t) 可以表示为与其重复频率 Ω0 成 谐波关系的一系列复正弦信号 ejΩ0t 的线性组合，每个 ejΩ0t 的复 数幅度就是傅里叶级数的系数 X(kΩ0)。
第四章 傅里叶变换
1. 连续和离散傅里叶级数 2. 连续和离散傅里叶变换 3. 傅里叶级数与傅里叶变换的比较 4. 有限长序列的离散傅里叶变换
傅里叶，1768－1830
1. 连续和离散傅里叶级数
任何连续时间周期信号 ~x(t) ，只要它满足狄里赫利（Dirichlet） 条件（后面介绍），都可以展开为复正弦形式的傅里叶级数：
(2N1+1)
…
…
─N
0
N
k
1.连续和离散傅里叶级数
周期信号频谱的特点： 1. 连续时间和离散时间周期信号的频谱都是离散频谱，两条
谱线之间的间隔等于重复频率（ Ω0 =2π/T 或 ω0 =2π/N）。 2. 连续时间周期信号包含无穷多条谱线，即有无穷多个成谐
波关系的复正弦分量组成；离散时间周期信号的谱线具有 周期性，在频域上为 2π，在 k 域上为 N。
连续傅里叶级数的收敛条件：
条件1
~ x(t)X(kΩ 0)ejΩ k0t, Ω 02π/T
k
X(kΩ0)T 1T~ x(t)ejkΩ0tdt
在任何一个周期内必须模可积，即
~x(t)dt T
X (k Ω 0 ) T 1 T ~ x (t)e jΩ k 0 td T t 1 T ~ x (t)d t
第四章 离散傅里叶变换及其快速算法
离散 连续
周期延拓 非周期
4.1 离散傅里叶变换的定义
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , n 0 N 1 N 1 n 0 2 kn N
= x ( n )e
j
k=0, 1, , N-1
X ( k )WN kn k 0 N 1
1 x(n) IDFT [ X (k )] N 1 N
4 N
x D1X N
W N ( N 1 ) 2 ( N 1 ) WN W N ( N 1 )( N 1 ) 1
1
D
1 N
W N 2 ( N 1 )
1 DN N
dftmtx(N) 函数产生N×N的DFT矩阵DN conj(dftmtx(N))/N 函数产生N×N的IDFT矩阵DN-1
二、 圆周移位性质
1. 序列的圆周移位 x(n)的圆周移位定义为
y(n)=x((n+m))N RN(n) 其过程为: 1)、将x(n)以N为周期进行周期延拓得x((n))N 2)、将x((n))N左移m位，得x((n+m))N 3)、取其主值序列x((n+m))N RN(n) 循环移位过程如图所示
WNN 1
2 WN ( N 1)
WNN 1 2 WN ( N 1) ( WN N 1) ( N 1)
DFT
IDFT矩阵形式为
1 1 1 W 1 N 1 D 1 1 W N 2 N N 1 W N ( N 1 ) 1 W N 2 W
0 n N `1 0 k N `1
DFT 则： x1 (n) x2 (n) X1 ( K ) X 2 ( K )
数字信号处理PPT 第4章离散傅立叶变换(DFT)及应用
①运算特点相乘累加。 ②序列特点：有限长x(n),n=0,1,…N-1，X(k)称为DFT，长度也为N。
−j 2π N N −1 ⎧ + nk ⎪ X (k ) = ∑ x(n)W N ， k = 0,1,2,...N − 1 ⎧ X (k ) = DFT [ x(n)] ⎪ n =0 ⇒⎨ or ⎨ N −1 ⎩ x(n) = IDFT [ X (k )] ⎪ x ( n) = 1 − ∑ X (k )WN nk ， n = 0,1,2,...N − 1 ⎪ N k =0 ⎩
0
Xo(k)
N-1
k
两个定理：
0
N-1
k
⎧ xep (n) = 0.5[ x(n) + x * ( N − n)] ⎪ 共轭对称和共轭反对称性 如果x(n) = xep (n) + xop (n), 其中⎨ * ⎪ xop (n) = 0.5[ x(n) − x ( N − n)] ⎩ ⎧ X R (k ) = DFT [ xep (n)] = 0.5[ X (k ) + X * (k )] ⎪ 那么X (k ) = X R (k ) + jX I (k ), 其中⎨ * ⎪ jX I (k ) = DFT [ xop (n)] = 0.5[ X (k ) − X (k )] ⎩
m =0 N −1
x1(n)
3
0
2
1
1 1
0 1
n
x2(n)
1
0
1
1
n
⎯ x ⎯⎯ ⎯ x 特点：x1 (n)、x 2 (n) ⎯⎯ ⎯ → ~1 (n)、~2 (n) ⎯周期卷积 → 截主周期 ~ (n) * ~ (n) ⎯⎯ ⎯ → ~ (n) * ~ (n) R (n) ⎯ x x x x
傅里叶变换及其在信号处理中的应用
傅里叶变换及其在信号处理中的应用傅里叶变换是一种非常常见的数学变换，也是信号处理中非常重要的技术。
它在很多领域都有广泛的应用，如音频和视频压缩、图像处理、信号滤波、模拟信号的数字化和数字信号的合成等等。
本文将介绍傅里叶变换的基本概念、性质和应用，旨在为读者提供一个较全面的了解。
一、傅里叶变换的基本概念傅里叶变换是一种将时间域信号或空间域信号转换为频域信号的数学工具。
它是一种线性可逆变换，假设f(t)是一个时间域信号，则它的复数形式的傅里叶变换F(ω)可以表示为：F(ω) = ∫ f(t) e^(-jωt) dt其中，ω是频率，e^(-jωt)是一个复指数，表示随时间推移，相位角度为-ωt的旋转矢量。
这里需要说明，ω通常被定义为角频率，因此在正交坐标系中，实际传输的是该信号的实部和虚部的两组信号，常用AFWT算法。
二、傅里叶变换的性质傅里叶变换有许多非常重要的性质，这里简单介绍其中一些：1. 线性性：傅里叶变换是线性可逆变换，能够满足线性叠加的性质，即：F (af(t) + bg(t)) = aF(f(t)) + bF(g(t))其中，a和b是任意常数，f(t)和g(t)是任意两个时间域信号。
2. 分解定理：对于一个周期性信号，它可以用一系列正弦和余弦函数的和表示。
这个定理反过来也成立，即，任何一个信号都可以用一系列正弦和余弦函数的和表示。
3. 能量守恒：傅里叶变换维持了信号的能量守恒，并且将信号对应到不同的频率成分上，进行频谱分析。
三、傅里叶变换的应用傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，下面简要介绍一些应用：1. 音频和视频压缩：在将音频和视频信号压缩成较小的文件时，傅里叶变换是非常重要的。
通过傅里叶变换，信号可以从时间域转换到频率域，并且可以通过滤波和降低频率分辨率等方式来压缩信号。
这样，在保证一定的信号质量的前提下，就可以将信号文件大小降低到较小程度。
2. 图像处理：在图像处理中，傅里叶变换的主要作用是在频率域对图像进行滤波和增强。
傅里叶变换的原理以及应用
傅里叶变换的原理以及应用1. 傅里叶变换的原理傅里叶变换是一种数学变换，将一个函数表示为不同频率的正弦和余弦波的线性组合。
它可以将一个时域的函数转换为频域的函数，揭示了信号在频域上的组成成分。
傅里叶变换的数学表达式为：F(w) = ∫[f(t) * e^(-jwt)] dt其中，F(w)表示函数在频域上的表示，f(t)表示函数在时域上的表示，e^(-jwt)是复指数函数。
傅里叶变换的原理可以简单总结为以下几点： - 任何连续周期函数都可以由一组正弦和余弦函数构成。
- 傅里叶变换将函数从时域转换到频域，将函数分解为不同频率的成分。
- 傅里叶变换可以用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
2. 傅里叶变换的应用傅里叶变换在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用案例。
2.1 信号处理傅里叶变换在信号处理领域有着重要的作用，可以将时域信号转换为频域信号，从而提取出信号的频率特征。
通过傅里叶变换，我们可以分析信号的频谱特征，如频率分布、幅度和相位信息等。
这对于音频信号处理、图像处理等都有重要的应用。
例如，在音频处理中，我们可以利用傅里叶变换将音频信号转换为频域信号，进而实现音频的滤波、降噪、音频识别等功能。
2.2 图像处理傅里叶变换在图像处理领域也有广泛的应用。
通过将图像进行傅里叶变换，我们可以将图像转换到频域，在频域上进行操作，如去除图像中的噪声、增强图像的细节等。
傅里叶变换在图像压缩、图像识别、图像恢复等方面也有重要的应用。
2.3 通信系统傅里叶变换在通信系统中也起到了重要的作用。
在通信系统中，我们需要传输不同频率的信号，而傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的成分，从而实现信号的调制和解调。
在调制过程中，我们可以通过选择不同的频率成分来实现不同的调制方式，如调幅、调频、调相等。
在解调过程中，我们可以通过傅里叶变换将信号从频域转换到时域，恢复出原始信号。
2.4 音频与视频压缩傅里叶变换在音频和视频压缩中也有着重要的应用。
3第四章短时傅里叶变换解析
4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
9
4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
根据功率谱定义，可以写出短时功率谱与短时傅里叶变
Sn (e j ) X n (e j ) • X *n (e j ) | X n (e j ) |2
式中* Rn (k) w(n m)x(m)w(n k m)x(m k) 的傅里叶变换。 m
13
4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
用波形乘以窗函数，不仅为了在窗口边缘两端不引起急剧变 化，使波形缓慢降为零，而且还相当于对信号谱与窗函数的 傅里叶变换进行卷积，采样。
为此窗函数应具有如下特性： ① 频率分辨率高，即主瓣狭窄、尖锐；（矩形窗） ② 通过卷积，在其他频率成分产生的频谱泄漏少，即旁瓣 （海明窗）
窗口宽度N、取样周期T和频率分辨率Δf Δf＝1/NT
窗口宽度↑→频率分辨率↑ 时间分辨率↓ 窗口宽度↓→频率分辨率↓ 时间分辨率↑
14
4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
第一个零点位置为2πk/N，显然它与窗口宽度成反比。 矩形窗，虽然频率分辨率很高，但由于第一旁瓣的衰减只有 13.2dB，所以不适合用于频谱成分动态范围很宽的语音分析 中。 海明窗在频率范围中的分辨率较高，而且由于旁瓣的衰减大 于42dB，具有频谱泄漏少的优点，频谱中高频分量弱、波动 小，因而得到较平滑的谱。 汉宁窗是高次旁瓣低，第一旁瓣衰减只有30dB。
与图4-2相反，图4-3只 大约在400、1400及 2200Hz 频率上有少量 较宽的峰值。它们与 窗内语音段的前三个 共振峰相对应。比较 图4-3(b)及(d)的频谱后， 再次表明矩形窗可以 得到较高的频率分辨
18
通信原理第4章-傅立叶变换
在调制过程中，原始信号的频谱被搬移到载波的频率上，形成调制信号的频谱。 调制方式的不同会导致频谱形状和带宽的变化。
解调过程
在解调过程中，调制信号的频谱被还原为原始信号的频谱。解调方式的不同会 影响还原的准确性和信噪比。
滤波器设计与应用
滤波器类型
滤波器应用
根据滤波器的频率响应特性，可分为 低通、高通、带通和带阻滤波器等类 型。
滤波器在通信系统中具有广泛的应用， 如去除噪声、分离信号、实现特定频 带内的信号传输等。
滤波器设计
滤波器设计需要考虑滤波器的类型、 截止频率、通带波纹、阻带衰减等参 数，可采用窗函数法、频率采样法等 方法进行设计。
PART 03
离散时间信号傅立叶变换
离散时间信号频谱分析
频谱概念
频谱是频率域中对信号进行描述 的一种方式，表示信号在不同频
数字滤波器设计与应用
数字滤波器类型
包括低通、高通、带通和带阻滤波器等，不同类型的滤波器具有不 同的频谱特性。
数字滤波器设计方法
基于窗函数法、频率采样法和优化算法等进行设计，实现所需的滤 波功能。
数字滤波器应用
在通信系统中用于滤除噪声和干扰，提高信号质量；在图像处理中用 于平滑图像和锐化边缘等；在音频处理中用于实现音效和降噪等。
实验目的和要求
01
02
03
04
掌握傅立叶变换的基本原理和 性质；
熟悉傅立叶变换在通信原理中 的应用；
学会使用相关设备和软件进行 傅立叶变换实验；
分析实验结果，加深对傅立叶 变换的理解。
实验环境和设备配置
01
02
03
04
计算机
配置有MATLAB或Python等 数学计算软件；
傅里叶变换原理与应用
傅里叶变换原理与应用1. 傅里叶变换的概念和基本原理傅里叶变换是一种将时域信号转化为频域信号的数学工具。
它可以将一个复杂的模拟信号分解成多个简单的正弦波或余弦波的叠加，从而揭示信号中不同频率成分的存在。
2. 傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系傅里叶级数是傅里叶变换在周期函数上的特殊情况。
当一个周期函数进行傅里叶级数展开时，我们可以得到其频谱信息。
而对于非周期函数，需要使用傅里叶变换来分析其频域特性。
3. 傅里叶变换的公式及性质傅里叶变换有两种常见表示形式：离散傅立叶变换（DFT）和连续傅立叶变换（CTFT）。
它们分别适用于离散和连续信号。
除此之外，傅里叶变换还具有位移性、线性性、尺度性等重要性质。
4. 常见的傅里叶变换应用(1) 音频信号处理傅里叶变换可以对音频信号进行频谱分析，如音乐的频谱显示、降噪等。
它还被广泛应用于声音合成、压缩以及数字音频领域。
(2) 图像处理图像也可以通过傅里叶变换转化到频域中。
这在图像处理中有很多应用，例如滤波、边缘检测和图像增强等。
(3) 通信系统在通信系统中，傅里叶变换是数字调制和解调技术的关键部分。
它可以将基带信号转化为带通或带阻信号，并实现信号的复用与解复用。
(4) 控制系统傅里叶变换在控制系统中有广泛的应用，特别是对传感器输出进行频域分析与滤波，以提高控制系统的性能与稳定性。
5. 傅里叶变换的局限性和改进方法尽管傅里叶变换具有广泛的应用领域，但它也存在一些局限性。
例如，对于非周期且时间有限的信号，使用传统的傅里叶变换可能会产生截断误差。
为了克服这些问题，人们开发了一系列改进的傅里叶变换方法，如快速傅里叶变换（FFT）和小波变换等。
6. 总结傅里叶变换是一种重要的数学工具，可以将时域信号转化为频域信号。
它在音频信号处理、图像处理、通信系统和控制系统等领域都有广泛的应用。
然而，需要注意的是其局限性，并通过改进方法来解决相关问题，以提高信号处理与分析的质量与效率。
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求解下列定解问题
uut(t
x,
c2 (uxx y,0)
uyy
(x,
), y),
ut
(x,
y, 0)
(x,
y),
0 x a, 0 y b, t 0, 0 x a, 0 y b,
u(0, y,t) u(a, y,t) 0,
0 y b,t 0,
u(x,0,t) u(x,b,t) 0,
Y ( y) Y ( y) 0, 0 y b.
代入边界条件
X (0) X (a) 0
得特征值问题
X (x) X (x) 0,0 x a,
X (0) X (a) 0.
求得特征值和对应的特征函数为
m
m
a
2
,
X
m
(
x)
Am
sin
m
a
x
,
m 1,2,L .
类似地, 我们得到
0
j
a
f(x ) F ()e j
U (,t) () cos at () sin at
a
() e jat e jat () e jat e jat
2
a
2j
x
f()d
F ()
0
j
1 2
()ejat ()ejat
1 2a
() j
e
jat
() j
e
jat
u(x,t)
1 2
d 2U (,t)
dt 2
U (,0)
a 2 2U (, t (), dU (,0)
dt
),
(),
t0
U (,t) Acosat Bsin at
f(x ) F ()e j
U (,0) A ()
B () a
U (,t) () cos at () sin at
x
f()d
F ()
F(x ,y ,z )
f (x, y, z)e j(xxy yzz)dxdydz （3）
当然，我们也可以定义傅立叶逆变换
f
(x,
y,
z)
1
(2
)3
F (x ,y ,z )e j(xxy yzz)dxdydz （4）
傅立叶变换的性质:
1） 线性性质 设 f, g 是绝对可积函数，, 是任
意复常数，则
F 1 F ( )F
1
x2 e 4t
2 t
从而方程的解
F 1 F *
1
x2 e 4t
2 t
*
1
x2
e 4t
2 t
u( x,t)
1
s2
x s e 4t ds
2 t
例用用常积数分变变易换法法可解解方得程：
U
,
t
ut
2u
x2
ef2(t x,t) t
需要注意
傅立叶变换的取值范 用傅里叶变换求解波动方程的初值问题：
2u
t
2
u ( x,0)
a2 2u , x 2
(x), u(x,0)
t
(x),
解：取变换符氏
x , t 0 x
ux,t U ,t, (x) (), (x) ().
n1 m1
n1 m1
n1
(amn
m1
cos mnct
bmn
sin mnct) sin
m
a
x
sin
n y
b
其中系数
amn Cmn AmBn , bmn Dmn AmBn.
下面, 我们利用初始条件确定系数
u(x,
y, 0)
( x,
y)
n1
amn
m1
sin
m
a
x
sin
n
b
y
ut
(x,
y,
0)
(x,
y)
n1
m1
bmn
mnc
sin
m
a
x
sin
n
b
y
由于三角函数系的正交性, 得
amn
4 ab
a 0
b(x, y)sin m x sin n y dxdy,
0
ab
bmn
4
abc mn
a 0
b
(
x,
y)
sin
m
x
sin
n
y
dxdy,
0
ab
第四章 傅里叶变换及应用
傅里叶变换是积分变换的一种， 它可用来求解无界区域上的定解问题。
Y (0) Y (b) 0
及特征值问题
Y ( y) Y ( y) 0, 0 y b,
Y (0) Y (b) 0.
其特征值和对应的特征函数为
n
n
b
2
,
Yn
(
y)
Bn
sin
n
b
y
,
n 1,2,L .
记
mn
m2 n2
a2 b2
代入关于t的方程
Tmn
(t)
2 mn
c
2Tmn
(t)
(x
at)
(x
at)
1 2a
xat
( )d
0
xat
0
(
)d
1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2a xat
作业：用傅里叶变换求解无界弦的 振动问题P128 例5
F f g F( f ) F(g)
2） 微分性质 设 f , f ' 绝对可积函数，则
F f ' iF f ，F f（n） （i）nF f
3）乘多项式 设 f , x f 绝对可积，则
F xf i d F f
d
4）相似性质 设 f (x) 绝对可积，则
F ( f (ax))( ) 1 F ( f )( ), a 0.
Fx(,R,)te02 (t
)
d
.
而 u x,0 x 0
解： 则
作关于 x
F
ux,t
的U2傅1,立tt叶e 变x42t u换x。,et设e2ti
x
dx
U f,xt,tFF,t
1
ex
x2
4t
方程变为
2 t
0tdFU(dt,,
U , t
t
)F
2U1
,
t
|t02(t )
eF4(
F ( f（x）ei0x ) F ( 0 ),
二. 傅里叶变换的应用
例1 用傅里叶变换法解热传导方程定解问题：
u 2u
t x2 , x R, t 0
u x,0 x , x R
解：作关于 x 的傅立叶变换, 设
u x,t U , t u x,t ei xdx
x
0,
上述方程通解为
Tmn (t) Cmn cos mn ct Dmn sin mn ct
于是得到
umn (x, y, t) X mn (x)Ymn ( y)Tmn (t),
利用叠加原理, 得到定解问题的形式解
u( x, y, t) umn ( x, y, t) X m ( x)Yn ( y
1
F ei xd
2
（2）
反演公式
注1：
在有些参考文献中, 1 因子被分解
2
成 1 1 , 并且分别含在上述两个式子
2 2
（1）和（2）中. 而在式(1)中的函数e jx
e 写成 j x， 从而在式(2)中函数e j x 写
成 e j x. 这些本质上同定义（1）（2）没
有差别.
注2：
在三维无界空间中, 若 f (x, y, z) 是绝对可 积函数, 则可定义三重傅里叶变换
f)
*(
,
) 1 e
( x )2 4(t )
x2
ed4( t
)
d
2 00 t 2 (t )
*
1
x2
e 4t
2 t
t
f ( x, )*
1
x2
e d 4(t )
0
2 (t )
傅立叶变换是一种把分析运算化为代数 运算的有效方法,但
1.傅立叶变换要求原象函数在R上绝对 可积.大部分函数不能作傅立叶变换
2.傅立叶变换要求函数在整个数轴上有 定义,研究混合问题时失效.
积分变换法求解问题的步骤
•对方程的两边做 傅里叶变换将偏微分方程变 为常微分方程 •对定解条件做相应的积分变换，导出新方程 对应的定解条件 •求常微分方程及定解条件的解
•对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解 问题的解
数学物理方程+定解条件 解
傅里叶变换可以把线性偏微分方 程变为含有较少变量的线性偏微分方 程或常微分方程，从而使问题得到简 化
一. 傅立叶变换
如果函数 f (x) 在 (, )上绝对可积，它的傅立叶变
换定义如下：
F ei x f xdx
（1）
如果F 满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆
变换为:
f x
|a|
a
5）延迟性质 设 f (x) 绝对可积，则
F( f ( x y)) eiyF ( f ), y R.
6） 卷积性质 设f , g 是绝对可积函数， 令
f g x f x t g t dt
则 F f g F f Fg
7）积分性质
F
f（）d
1
i
F(
f
)(
),
8）频移性质