线性代数习题集

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线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ).n!(A) k (B) n k (C) k2n(n 1) (D) k23. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项.(A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)!0 0 0 14．11( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 20 0 1 05.011( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 22x x 1 16．在函数1 x 1 2f (x) 中3 2 x 33x 项的系数是( ).0 0 0 1(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 217. 若a a a11 12 131D a a a ，则21 22 232a a a31 32 332aa13a33a11a312a122a3211D 2a a a 2a ( ).1 21 23 21 222a31(A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2a a11 ，则128．若 aa a21 22 a12a11ka22ka21( ).2 (D) k2a (A)ka (B) ka (C) k a9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ).(A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 28 7 4 310. 若6 2 3 1D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).1 1 1 14 3 7 5(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 03 04 011. 若1 1 1 1D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).0 1 0 05 3 2 2(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0x 1 x2kx312. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 kx2x30 有非零解.kx1 x2x3( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0二、填空题21.2n阶排列24 (2n)13 (2n 1) 的逆序数是.2．在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26 所带的符号是.3．四阶行列式中包含a22a43 且带正号的项是.2 n4．若一个n 阶行列式中至少有n 1个元素等于0 , 则这个行列式的值等于.1 1 1 05.行列式11111.0 0 1 00 1 0 00 0 2 06．行列式.0 0 0 n 1n 0 0 0a 11 a1(n1)a1n7．行列式a21a2(n1) 0 .an10 0a11a12a13a11a133a123a128．如果D a a a M21 22 23 ，则D a a 3a 3a .1 21 23 22 22a 31 a32a33a31a333a323a329．已知某5 阶行列式的值为5，将其第一行与第 5 行交换并转置，再用 2 乘所有元素，则所得的新行列式的值为.31 1 1 x 110．行列式11 x11x 1111. x 1 1 1 11 1 11 1 111．n 阶行列式.1 1 112．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.1 2 3 413．设行列式5 6 7 8D ，A4 j ( j 1,2, 3, 4) 为 D 中第四行元的代数余子式，4 3 2 18 7 6 5则4A41 3A42 2A43 A44 .a b c a14．已知c b a bD ， D 中第四列元的代数余子式的和为.b ac ca cb d1 2 3 43 34 4D ，A4 j 为a4 j ( j 1,2, 3, 4) 的代数余子式，则15．设行列式 61 5 6 71 12 2A41 A ，A43 A44 .4241 3 5 2n 11 2 0 016．已知行列式D 1 0 3 0 ，D 中第一行元的代数余子式的和为1 0 0 n.kx1 2x2x317．齐次线性方程组2x1 kx20 仅有零解的充要条件是.x 1x2x3x12x2x318．若齐次线性方程组2x2 5x30有非零解，则k = .3x1 2x2kx3三、计算题b a 2a 3a c dab2b3bcd ac2c3cbd ad2d3dbc;2．xyxyxyxyxyxy1.；x a1 a2an210 1 x 1 a1 x a2an211 0 1 x 3．解方程0x 1 1 0 ；4．a1a2x an21；1 x 1 0 a1 a2a x31a 1 a2a3an115a1 1 11 a 11 15. 1 1 a 12( a j 1,j 0,1, , n)；1 1 1 an1 1 1 13 1 b 1 16. 1 1 2 b 11 1 1 (n 1) b1 1 1 1 x a1a2anb 1 a1a1a1a1x a2an7. b1 b2a2a2；8．a1a2x an;b 1 b2b3ana1a2a3x2 1 0 0 01 2 x1 x x1 2x x1 n1 2 1 0 09. x2x11 22xx x2 n ; 10.0 1 2 0 0xnx1xnx21 2 xn0 0 0 2 10 0 0 1 21 a a 0 0 01 1 a a 0 011．D 0 1 1 a a 0 .0 0 1 1 a a0 0 0 1 1 a6四、证明题21 1a a 12a a21 1b b 12b b 1．设abcd 1，证明：021 1c c 12c c21 1d d 12d d .a 1b x1a x1b1c1a1b1c12． a2 bx2ax2b2c2(1 2 x ) a2b2c2.a 3b x3a x3b3c3a3b3c31 1 1 1a b c d3． 2 (b a)( c a)( d a)(c b)( d b)(d c)( a b c d)2 2 2a b c d .4 a4b4c d41 1 1a 1 a2an4．2a12a22nanai(a aj i) .i 1 1 i j nna12n2a2 nan2na1na2nna1 1 15．设a, b, c两两不等，证明 a b c 0的充要条件是 a b c 0.3 b3 c3 a7参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B二．填空题1. n ;2.“”;3. a14 a22 a31a43 ;4. 0 ;5. 0 ;6. ( 1) !n 1 n ;n( n1)7.( 1) 2 a1n a2(n1) a n1 ; 8. 3M ; 9. 160; 10. 4 x ; 11.( n 1n) ; 12. 2 ;n113. 0 ; 14.0 ;15. 12, 9; 16.n! (1 ) ; 17. k 2,3 ;18. k7k k1三．计算题3 y3 1．(a b c d)(b a)(c a)( d a)(c b)( d b)( d c) ； 2. 2(x ) ；n 13. x 2,0,1;4. (xk 1 a k )n n15. (a 1) (1 ) ;6. (2 b)(1 b) ((n 2) b) ;k a1k 0 k 0 k7.nn b a( 1) ( ) ; 8.k kn n( x a k ) (x a ) ;k k 1 k 1 k 1 n9. 1x ; 10. n 1;kk 12 a411. (1 a)(1 a ) .四. 证明题(略)8第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( ) 。

线性代数练习册附答案

第1章矩阵习题1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)⎩⎨⎧==011y x x ； (2) ⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求3AB -2A 和A TB .4. 计算(1) 2210013112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)1,,(212221211211y x c b b b a a b a a y x5. 已知两个线性变换 32133212311542322yy y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E . 当f (x )=x 2-5x +3，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3312A 时，求f (A ).7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2= O ，则A = O .(2) 若A 2= A ，则A = O 或A = E . .7. 设方阵A 满足A 2-3A -2E =O ，证明A 及A -2E 都可逆，并用A 分别表示出它们的逆矩阵．8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=132126421321A(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=03341431210110122413B .9. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B 和A 之间的关系式.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121121322101A ~122r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121123302101~13c c +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131123302001=B .10. 设ΛAP P =-1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2001Λ，求A 9.11. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200030004A ，矩阵B 满足AB =A+2B ，求B .12. 设102212533A--⎛⎫⎪=-⎪⎪-⎝⎭, 利用初等行变换求A-1.复习题一1. 设A , B , C 均为n 阶矩阵，且ABC =E ,则必有（）. (A) ACB =E ； (B) CBA =E ； (C) BAC =E ； (D) BCA =E .2. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，则必有 ( ) .(A) AP 1P 2=B ；（B ）AP 2P 1=B ； (C) P 1P 2A =B ； (D) P 2P 1A =B .3. 设A 为4阶可逆矩阵，将A 的第１列与第４列交换得B ，再把B 的第2列与第3列交换得C ，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00010100001010001P ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000010010000012P ，则C -1=（）. (A) A -1P 1P 2； (B) P 1A -1P 2； (C) P 2P 1A -1； (D) P 2A -1P 1.4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，则下列结论中一定正确的是（）. (A) A -E 不可逆； (B) A -2E 不可逆； (C) A -3E 可逆； (D) A -E 和A -2E 都可逆. 5. 设A =(1,2,3)，B =(1,1/2,1/3)，令C =A TB ，求C n.6. 证明：如果A k =O ，则(E -A )-1=E +A +A 2+…+A k -1，k 为正整数.7.设A ,B 为三阶矩阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=710004100031A ,且A -1BA =6A +BA ，求B .8. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆，求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O B A .9. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000000000000000121n n aa a a X （021≠n a a a ），求X -1.第2章行列式习题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-013222321321321x x x x x x x x x2.当x 取何值时，0010413≠xx x .3.求下列排列的逆序数：(1) 315624； (2)13…(2n-1)24…(2n).4. 证明： 3232a cb a b a ac b a b a a c b a=++++++.5. 已知四阶行列式|A |中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A |.6. 计算下列行列式: (1) 1111111111111111------ (2) yxy x x yx y y x yx +++(3) 0111101111011110(4) 1222123312111x x x x x x（5）nn a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a ．7．设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明： |A*|=|A|n-1，(n ≥2)．8. 设A,B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|=2，|B|=1，计算 |-2A*B-1|．9.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A ，利用公式求A -1.复习题二1．设A , B 都是n 阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A *、B *，证明：(AB )*= B *A *．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2200020000340043A ，求A -1．3.已知A 1, A 2, B 1, B 2都是31矩阵，设A =( A 1, A 2, B 1,)，B =( A 1, A 2, B 2)，|A |=2，|B |=3，求|A+2B |．4．设A , B 都是n 阶方阵，试证：AB E E A B E-=．第3章向量空间习题1. 设α1=(1,-1,1)T, α2=(0,1,2)T, α3=(2,1,3)T，计算3α1-2α2+α3．2. 设α1=(2,5,1,3)T, α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,-1,1)T,且3(α1- x)+2(α2+x)=5(α3+x) ,求向量x.3. 判别下列向量组的线性相关性:(1) α1=(-1,3,1)T, α2=(2,-6,-2)T, α3=(5,4,1)T；(2) β1=(2,3,0)T, β2=(-1,4,0)T, β3=(0,0,2)T .4. 设β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3，且向量组α1, α2, α3线性无关，证明向量组β1, β2, β3线性无关．5. 设有两个向量组α1, α2, α3和β1=α1-α2+α3, β2=α1+α2-α3,β3= -α1+α2+α3，证明这两个向量组等价.6. 求向量组α1=(1,2,-1)T, α2=(0,1,3)T, α3=(-2,-4,2)T,α4=(0,3,9)T的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.7. 设α1, α2,…, αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示，证明：α1, α2,…,αn线性无关．8. 设有向量组α1, α2, α3,α4, α5，其中α1, α2, α3线性无关，α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3(a, b, c, d均为不为零的实数)，求向量组α1, α3,α4, α5的秩．9. 设矩阵A= (1,2,…,n), B=(n,n-1,…,1)，求秩R(A T B).10. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=97963422644121121112A ，求A 的秩，并写出A 的一个最高阶非零子式.11. 已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---=120145124023021t t A ，若A 的秩R (A )=2，求参数t 的值.12. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=5913351146204532A ，求A 的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组.13. 设A 为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，证明：如果A 2=A ,则R (A )+R (A -E )=n ．14. 已知向量空间3R 的两组基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,01121αα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1130α和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,01121ββ-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103β，求由基α1, α2, α3到基β1, β2, β3的过渡矩阵.复习题三1.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k 111111111111A ，已知A 的秩为3，求k 的值.2．设向量组A : α1, …,αs 与B : β1,…,βr ，若A 组线性无关且B 组能由A 组线性表示为(β1,…,βr )＝(α1, …,αs )K ，其中K 为r s ⨯矩阵, 试证：B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )＝r .3．设有三个n维向量组A：α1, α2, α3；B：α1, α2, α3,α4；C：α1, α2, α3,α5．若A组和C组都线性无关，而B组线性相关，证明向量组α1, α2, α3,α4-α5线性无关．4．设向量组A: α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T和B:β1=(-1,1,0)T,β2=(1,1,1)T,β3=(0,1,-1)TR的基；(1) 证明：A组和B组都是三维向量空间3(2) 求由A组基到B组基的过渡矩阵；(3) 已知向量α在B组基下的坐标为(1,2,-1)T,求α在A组基下的坐标．第4章线性方程组习题1. 写出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x 的矩阵表示形式及向量表示形式.2.用克朗姆法则解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322az cx bc bz cy ab ay bx ,其中0≠abc3.问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02 00 321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？4. 设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++42 - 43212321321x x x k x kx x x k x x ，讨论当k 为何值时， (1)有唯一解？(2)有无穷多解？(3)无解？5. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-026 83054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系.6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1, η2, η3是它的三个解向量，且η1=(2,3,4,5)T , η2+η3=(1,2,3,4)T，求此方程组的的通解．7 .求下列非齐次线性方程组的通解：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x8. 设有向量组A ：12122,131-==-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα，3110-=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α及向量131β=-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，问向量β能否由向量组A 线性表示？9. 设η*是非齐次线性方程组AX=b的一个解，ξ1, ξ2,…, ξn-r是它的导出组的一个基础解系，证明：（1）η*, ξ1, ξ2,…, ξn-r线性无关；（2）η*, η*+ξ1, η*+ξ2,…, η*+ξn-r线性无关．复习题四1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121a a a A ，且方程组AX =θ的解空间的维数为2，则a = .2．设齐次线性方程组a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =0,且a 1,a 2,…,a n 不全为零，则它的基础解系所含向量个数为 .3.设有向量组π：α1=(a ,2,10)T , α2=(-2,1,5)T , α3=(-1,1,4)T 及向量β=(1,b ,-1)T ，问a ,b 为何值时,（1）向量β不能由向量组π线性表示；（2）向量β能由向量组π线性表示，且表示式唯一；（3）向量β能由向量组π线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式．4．设四元齐次线性方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+004221x x x x （Ⅱ）⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x求: (1) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的基础解系；(2) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．5．设矩阵A =(α1, α2, α3, α4)，其中α2, α3,α4线性无关，α1=2α2-α3，向量β=α1+α2+α3+α4，求非齐次线性方程组Ax= β的通解．6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b b b β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321c c c γ,证明三直线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0:0:0:333322221111c y b x a l c y b x a l c y b x a l 3,2,1,022=≠+i b a i i相交于一点的充分必要条件是向量组βα,线性无关，且向量组γβα,,线性相关．第5章矩阵的特征值和特征向量习题1.已知向量α1=(1,-1,1)T，试求两个向量α2, α3，使α1, α2, α3为R 3的一组正交基．2.设A, B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵．3. 设A是n阶正交矩阵，且|A|=-1，证明：-1是A的一个特征值．4.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212的特征值和特征向量.5. 已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，计算行列式|A 3-5A 2+7E |．6.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40000005y Λ相似，求y x ,；并求一个正交矩阵P ，使P -1AP =Λ．7.将下列对称矩阵相似对角化：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310130004．8. 设λ是可逆矩阵A 的特征值，证明：(1) A是A *的特征值．(2)当1,-2,3是3阶矩阵A 的特征值时，求A *的特征值．9.设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=6, λ2=λ3=3，属于特征值λ1=6的特征向量为p1=(1,1,1)T，求矩阵A．复习题五1.设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是．2.已知3阶矩阵A , A -E , E +2A 都不可逆，则行列式|A +E |= ．3.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000B ，已知A 与B 相似，则a , b 满足．4.设A 为2阶矩阵, α1, α2为线性无关的2维列向量，A α1=0, A α2=2α1+,α2，则A 的非零特征值为 .5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，求x ．6.设矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，证明A 的特征值只能是1或2．7.已知p 1=(1,1,-1)T 是对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的特征值λ的一个特征向量． (1) 求参数a , b 及特征值λ； (2) 问A 能否相似对角化？说明理由．8. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A ，求φ(A )=A 10-5A 9．第6章二次型习题1.写出下列二次型的矩阵表示形式：42324131212423222146242x x x x x x x x x x x x x x f -+-+-+++=2.写出对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32201112121A 所对应的二次型．3. 已知二次型322123222132164),,(x x x x ax x x x x x f ++++=的秩为２，求a 的值．4.求一个正交变换将322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=化成标准形．5.用配方法将二次型31212322214253x x x x x x x f -+++=化成标准形，并写出所用的可逆线性变换．6. 设二次型)0(233232232221>+++=a x ax x x x f ，若通过正交变换Py x =化成标准形23222152y y y f ++=，求a 的值．7. 判别下列二次型的正定性：（1）312123222122462x x x x x x x f ++---=（2）4342312124232221126421993x x x x x x x x x x x x f --+-+++=8. 设3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=为正定二次型，求a 的取值范围．复习题六1. 设A 为n m ⨯矩阵，B =λE +A TA ，试证：λ>0时，矩阵B 为正定矩阵．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100120000010010A ,写出以A , A -1为矩阵的二次型，并将所得两个二次型化成标准形．3. 已知二次曲面方程5223121232221=-+++x x x bx ax x x ，通过正交变换X=PY 化为椭圆柱面方程522221=+y y ，求b a ，的值．4. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，2）（A E B +=k ，其中k 为实数，求对角矩阵Λ，使B与Λ相似，并讨论k 为何值时，B 为正定矩阵．测试题一一、计算题：1.计算行列式111131112+=n D n . 2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=210530001B ，计算T B A 3． 3．设A 、B 都是四阶正交矩阵，且0<B ，*A 为A 的伴随矩阵,计算行列式 *2BAA -．4．设三阶矩阵A 与B 相似，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321A ，计算行列式 E B 22-． 5．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2411120201b a A ，且A 的秩为2，求常数b a ,的值．二、解答题： 6．设4,3,2,1),,,1(32==i t t t T i i i i α，其中4321,,,t t t t 是各不相同的数，问4维非零向量β能否由4321,,,αααα线性表示？说明理由．7．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系．8．问k 取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211k x x kx k x kx x kx x x(1)有唯一解；(2)有无穷多解；(3)无解．9．已知四阶方阵A ＝（4321,,,αααα），其中321,,ααα线性无关，3243ααα-=，求方程组4321αααα+++=Ax 的通解．10．三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3.矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是T )1,1,1(1--=α,T )1,2,1(2--=α,求A 的属于特征值3的所有特征向量,并求A 的一个相似变换矩阵P 和对角矩阵Λ,使得Λ=-AP P 1.三、证明题:11．设2112ααβ+=，32223ααβ+=，13334ααβ+=，且321,,ααα线性无关，证明：321,,βββ也线性无关．12．设A 为实对称矩阵，且满足O E A A =--22，证明E A 2+为正定矩阵．。

04184 线性代数(经管类)习题集及答案

西华大学自学考试省考课程习题集课程名称：《线性代数》课程代码：04184专业名称：工商企业管理专业代码：Y020202目录第一部分习题一、选择题 3二、填空题8三、计算题11四、证明题15第二部分标准答案一、选择题16二、填空题16三、计算题16四、证明题31第一部分习题一、选择题1、若n 阶方阵A 的秩为r ，则结论（）成立。

A. 0||≠A B. 0||=A C. r >n D. n r ≤2、下列结论正确的是( )A. 若AB=0,则A=0或B=0.B. 若AB=AC,则B=CC.两个同阶对角矩阵是可交换的.D. AB=BA 3、下列结论错误的是( )A. n+1个n 维向量一定线性相关.B. n 个n+1维向量一定线性相关C. n 个n 维列向量n ααα,,,21 线性相关,则021=n αααD. n 个n 维列向量n ααα,,,21 ,若021=n ααα 则n ααα,,,21 线性相关,4、若m c c c b b b a a a =321321321，则=321321321333222c c c b b b a a a ( ) A. 6m B.-6m C. m 3332 D. m 3332- 5、设A,B,C 均为n 阶方阵,AB=BA,AC=CA,则ABC=( ) A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA6、二次型3221222132124),,(x x x x x x x x x f -++=的秩为（）A 、0B 、1C 、2D 、3 7、若A 、B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（） A 、若A ，B 都是可逆的，则A+B 是可逆的 B 、若A ，B 都是可逆的，则AB 是可逆的 C 、若A+B 是可逆的，则A-B 是可逆的 D 、若A+B 是可逆的，则A ，B 都是可逆的8、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，则=*A （） A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c dC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b dD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 9、关于初等矩阵下列结论成立的是（ )A. 都是可逆阵B. 所对应的行列式的值为1C. 相乘仍为初等矩阵D. 相加仍为初等矩阵10、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则=*A （）A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1324 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1234 11、设21,ββ是非齐次线性方程组β=AX 的两个解，则下列向量中仍为方程组β=AX 解的是（）A 、21ββ+B 、21ββ-C 、3221ββ+ D 、32321ββ- 12、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关13、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关14、0=AX 是非齐次方程组β=AX 的对应齐次线性方程组，则有（） A 、0=AX 有零解，则β=AX 有唯一解 B 、0=AX 有非零解，则β=AX 有无穷多解 C 、β=AX 有唯一解，则0=AX 只有零解 D 、β=AX 有无穷多解，则0=AX 只有零解15、设A ，B ，C 均为二阶方阵，且AC AB =，则当（）时，可以推出B=CA 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101AB 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011AC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110AD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111A16、若m c c c b b b a a a =321321321，则=231231231333222c c c b b b a a a ( )A. 6mB.-6mC. m 3332D. m 3332- 17、如果矩阵A 的秩等于r ，则（）。

线性代数习题集[带答案解析]教学提纲

线性代数习题集[带答案解析]仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢1第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢31. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢410．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢516．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ；仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢65. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4. ∏-=-11)(n k k a x5. )111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

线性代数习题集及其答案

第一章行列式一.填空题1.四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______.解.a 12a 21a 33a 44中行标的排列为1234,逆序为0;列标排列为2134,逆序为1.该项符号为“－”,所以答案为a 12a 21a 33a 44.2.排列i 1i 2…i n 可经______次对换后变为排列i n i n －1…i 2i 1.解.排列i 1i 2…i n 可经过1+2+…+(n －1)=n(n －1)/2次对换后变成排列i n i n －1…i 2i 1.3.在五阶行列式中3524415312)23145()15423()1(a a a a a ττ+-=______3524415312a a a a a .解.15423的逆序为5,23145的逆序为2,所以该项的符号为“－”.4.在函数xx x x x x f 21112)(---=中,x 3的系数是______.解.x 3的系数只要考察234222x x xxx x +-=--.所以x 3前的系数为2.5.设a ,b 为实数,则当a =______,且b =______时,010100=---a b b a .解.0)(11010022=+-=--=---b a ab ba ab b a .所以a =b =0.6.在n 阶行列式D =|a ij |中,当i <j 时a ij =0(i ,j =1,2,…,n ),则D =______.解.nnn n a a a a a a a a 221121222111000=7.设A 为3×3矩阵,|A |=－2,把A 按行分块为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A ,其中A j (j =1,2,3)是A 的第j 行,则行列式=-121332A A A A ______.解.=-121332A A A A 6||33233211213=-=-=-A A A A A A A A .二．计算证明题1.设4322321143113151||-=A 计算A 41+A 42+A 43+A 44=?,其中A 4j (j=1,2,3,4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解.A 41+A 42+A 43+A 441111321143113151-=210320206)1(000121013201206114--=-=+=62103202061=--2.计算元素为a ij =|i －j |的n 阶行列式.解.111111110021201110||--------=n n n n n A 每行减前一行由最后一行起，)1(2)1(1000201201121--=--------n n n n n n n列每列加第3.计算n 阶行列式nx x x nx x x nx x x D n n n n +++++++++=212121222111(n ≥2).解.当2>n n x x x n x x x n x x x D n n n n ++++++=222222111+n x x n x x n x x n n ++++++ 2121212211=n x x x x n x x x x n x x x x n n nn++++++ 33322221111+nx x x n x x x n x x x n n n++++++ 323232222111+nx x x n x x x n x x x n n n ++++++ 313131222111+nx x n x x n x x n n ++++++ 32132********=－n x x x n x x x n x x x n n n++++++ 313131222111=－n x x x n x x x n x x x n n n+++ 111222111－nx x nx x n x x n n+++ 3131312211=0当2=n 2122112121x x x x x x -=++++4.证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明:||||)1(||||||,A A A A A A A nTT-=-=-==-=(n 为奇数).所以|A |=0.5.试证:如果n 次多项式nn x C x C C x f ++=10)(对n +1个不同的x 值都是零,则此多项式恒等于零.(提示:用范德蒙行列式证明)证明:假设多项式的n +1个不同的零点为x 0,x 1,…,x n .将它们代入多项式,得关于C i 方程组0010=++nn x C x C C 01110=++n n x C x C C …………10=++n n n n x C x C C 系数行列式为x 0,x 1,…,x n 的范德蒙行列式,不为0.所以010====n C C C 6.设).(',620321)(232x F xx x x x xx F 求=解.x x x x x x x F 620321)(232==x x x x x x 3103211222=x x x x x x 310201222=xxx x x 3102101222=32220021012xxx x x x =26)('x x F =第二章矩阵一.填空题1.设α1,α2,α3,α,β均为4维向量,A =[α1,α2,α3,α],B =[α1,α2,α3,β],且|A |=2,|B |=3,则|A －3B |=______.解.βαααα3222|3|321----=-B A =βαααα38321-⨯-=αααα321(8⨯-56|)|3|(|8)3321=--=-B A βααα2.若对任意n ×1矩阵X ,均有AX =0,则A =______.解.假设[]m A αα 1=,αi 是A 的列向量.对于j =1,2,…,m ,令⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010 j X ,第j 个元素不为0.所以[]m αα 10010==⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡j α (j =1,2,…,m ).所以A =0.3.设A 为m 阶方阵,存在非零的m ×n 矩阵B ,使AB =0的充分必要条件是______.解.由AB =0,而且B 为非零矩阵,所以存在B 的某个列向量b j 为非零列向量,满足Ab j =0.即方程组AX =0有非零解.所以|A |=0;反之:若|A |=0,则AX =0有非零解.则存在非零矩阵B ,满足AB =0.所以,AB =0的充分必要条件是|A |=0.4.设A 为n 阶矩阵,存在两个不相等的n 阶矩阵B ,C ,使AB =AC 的充分条件是______.解.0||0)(=⇔-=-⇔=≠A C B C B A AC AB C B 非零且且5.[]42121b b b a a a n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=______.解.[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a 212221212111421216.设矩阵12,23,3211-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B E A A B A 则=______.解.=2A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841E A A B 232+-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841－⎥⎦⎤⎢⎣⎡-9633+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021221||*1==-B B B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2210=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--112107.设n 阶矩阵A 满足12,032-=++A E A A 则=______.解.由,0322=++E A A 得E E A A 3)2(-=+.所以0|3||2|||≠-=+E E A A ,于是A 可逆.由,0322=++E A A 得)2(31,03211E A A AE A +-==++--8.设)9()3(,10002010121E A E A A -+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-则=______.解.=2A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100040201=-E A 92⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208,=+E A 3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400050104→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001400050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4100010001100050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000104101100050004 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000510161041100010001 ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+-4100051161041)3(1E A )9()3(21E A E A -+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-4100051161041⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---2000101029.设.______])2[(______,)(_______,,3342122111*1*1=-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=---A A A A 则解.|A|=－3－12+8+8+6－6=1→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----100010001334212211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----104012001570230211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------104031320015703210211 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----137320313203131310032103401 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----137322524933100010001 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------372252493100010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-3722524931A ====---||)(,||,||1*1**1A AA A A A A AA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3342122111131*4)2(||)2()2(|2|)2(---=--=--=-A A A A A A 414)4(])2[(111*===----A A A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----33421221110.设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3111522100110012A ,则A 的逆矩阵1-A =______.解.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211111121,⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-215331521使用分块求逆公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111100B CAB A BC A －⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11212153⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1173019所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-21117533019002100111A 二.单项选择题1.设A 、B 为同阶可逆矩阵,则(A)AB =BA(B)存在可逆矩阵P ,使B AP P =-1(C)存在可逆矩阵C ,使BAC C T=(D)存在可逆矩阵P 和Q ,使BPAQ =解.因为A 可逆,存在可逆E AQ P Q P A A A A =使,.因为B 可逆,存在可逆E BQ P Q P B B B B =使,.所以A A AQ P =B B BQ P .于是BQ AQ P P B A A B =--11令A B P P P 1-=,1-=BA Q Q Q .(D)是答案.2.设A 、B 都是n 阶可逆矩阵,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1002B A T等于(A)12||||)2(--B A n(B)1||||)2(--B A n(C)||||2B A T-(D)1||||2--B A 解.121||||)2(002---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-B A B A n T.(A)是答案.3.设A 、B 都是n 阶方阵,下面结论正确的是(A)若A 、B 均可逆,则A +B 可逆.(B)若A 、B 均可逆,则AB 可逆.(C)若A +B 可逆,则A －B 可逆.(D)若A +B 可逆,则A ,B 均可逆.解.若A 、B 均可逆,则111)(---=A B AB .(B)是答案.4.设n 维向量)21,0,,0,21( =α,矩阵ααTE A -=,ααT E B 2+=其中E 为n 阶单位矩阵,则AB =(A)0(B)－E(C)E(D)ααTE +解.AB =)(ααTE -)2(ααT E +=ααT E -+2ααT －2ααT ααT =E .)21(=ααT (C)是答案.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=233322322131131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P ,设有P 2P 1A =B ,则P 2=(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010101(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010101解.P 1A 表示互换A 的第一、二行.B 表示A 先互换第一、二行,然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－1)加到第三行.所以P 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001.(B)是答案.6.设A 为n 阶可逆矩阵,则(－A )*等于(A)－A *(B)A *(C)(－1)n A *(D)(－1)n －1A *解.(－A )*=*111)1()1(1||)1()(||A A A A A n n ----=--=--.(D)是答案.7.设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥2),A *是A 的伴随矩阵,则(A)A A A n 1**||)(-=(B)A A A n 1**||)(+=(C)AA A n 2**||)(-=(D)AA A n 2**||)(+=解.1*||-=AA A AA A A A A A A A A A A A n n 211111*1**||||||||)|(|||||)|(|)(-------====(C)是答案.8.设A 为m ×n 矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r 1,矩阵B =AC 的秩为r,则(A)r >r 1(B)r <r 1(C)r =r 1(D)r 与r 1的关系依C 而定解.n C r C A B n n n m ==⨯⨯)(,,所以1)()()(r n C r A r AC r r =-+≥=又因为1-=BC A ,于是rn C r B r BC r r =-+≥=--)()()(111所以r r =1.(C)是答案.9.设A 、B 都是n 阶非零矩阵,且AB =0,则A 和B 的秩(A)必有一个等于零(B)都小于n (C)一个小于n ,一个等于n(D)都等于n解.若0,0.,)(1===-B AB A n A r 得由存在则,矛盾.所以n A r <)(.同理n B r <)(.(B)是答案.三.计算证明题1.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143522011B .求:i.AB －BA ii.A 2－B 2iii.B T A T解.=-BA AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1618931717641,=-22B A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1326391515649=T T A B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2211531517652.求下列矩阵的逆矩阵i.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------111111*********1ii.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000cos sin 0sin cos ααααiii.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001001001000iv.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-110210000120025解.i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------10000100001000011111111111111111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------1010101001100010220202022001111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1001001102102100010220220010101111 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------110000110210210210212200220010100101 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1100002121021021021021220011010100101 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11110021210210210212104000110010101001→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----414141410021210210210212101000110010101001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------414141414141414141414141414141411000010000100001 ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-414141414141414141414141414141411A ii.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--ααααααααcos sin sin cos cos sin sin cos 1.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1110000B A B A 得到:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-100cos sin 0sin cos 1ααααA iii.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-011001101.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---0000111A B B A 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-00010010010010001A iv.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---111000B A B A 得到:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-313100323100005200211A 3.已知三阶矩阵A 满足)3,2,1(==i i A i i αα.其中T)2,2,1(1=α,T )1,2,2(2-=α,T )2,1,2(3--=α.试求矩阵A .解.由本题的条件知:=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---212122221A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---622342641→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100010001212122221 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----102012001630360221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----0313231032001120210221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3231323103232031300210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----9291923103232031100210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---929192919292929291100010001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=232323235032037929192919292929291622342641A 4.k 取什么值时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11100001k A 可逆,并求其逆.解.01110001||≠=-=k k A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10011101000001001 k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101110010010001001 k →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111100010010001001k k 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1110100011k k A 5.设A 是n 阶方阵,且有自然数m ,使(E +A )m =0,则A 可逆.解.因为)(1=+==+∑∑==mi i i m mi iimmA c E A c A E所以∑=-=-mi i im E A c A 11)(.所以A 可逆.6.设B 为可逆矩阵,A 是与B 同阶方阵,且满足A 2+AB +B 2=0,证明A 和A +B 都是可逆矩阵.解.因为022=++B AB A ,所以2)(B B A A -=+.因为B 可逆,所以0||)1(||22≠-=-B B n所以0|||)(|2≠-=+B B A A .所以B A A +,都可逆.7.若A ,B 都是n 阶方阵,且E +AB 可逆,则E +BA 也可逆,且AAB E B E BA E 11)()(--+-=+解.AAB E B BA E BA E A AB E B E BA E 11)()())()((--++-+=+-+=AAB E AB E B BA E A AB E BAB B BA E 11))(())((--++-+=++-+=E BA BA E =-+所以A AB E B E BA E 11)()(--+-=+.8.设A ,B 都是n 阶方阵,已知|B |≠0,A －E 可逆,且(A －E )－1=(B －E )T ,求证A 可逆.解.因为(A －E )－1=(B －E )T ,所以(A －E )(B －E )T =E 所以E E B E B A T T =+--)(,TT B E B A =-)(由|B |≠0知11)(--TB B ，存在.所以E B E B A T T =--1))((.所以A 可逆.9.设A ,B ,A +B 为n 阶正交矩阵,试证:(A +B )－1=A－1+B －1.解.因为A ,B ,A +B 为正交矩阵,所以111,,)()(---==+=+B B A A B A B A TTT所以111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T 10.设A ,B 都是n 阶方阵,试证明:||E AB BE EA -=.解.因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡AB E B E B E E A E A E E E 0000所以ABE BEB E E A E A E E E -=-0000||)1(01)1(2E AB AB E BEB E E A n n --=-=⋅⋅-因为n n )1()1(2-=-,所以||E AB BE EA -=11.设A 为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵,E 为四阶单位矩阵)0,0(00000000000000>>⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k l k B i.试计算|E +AB |,并指出A 中元素满足什么条件时,E +AB 可逆;ii.当E +AB 可逆时,试证明(E +AB )－1A 为对称矩阵.解.i.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44342414342313242312141312000a a a a a a a a a a a a a A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k a a a a a a a a a a a a a AB 000000000000000044342414342313242312141312⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000000343424231413ka la la ka la ka AB E +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001001001343424231413ka la la ka la ka ,2341||kla AB E -=+所以当2341a kl≠时,E +AB 可逆.ii.11111)()]([)(-----+=+=+B A AB E A A AB E 因为A ,B 为实对称矩阵,所以B A +-1为实对称矩阵,所以(E +AB )－1A 为对称矩阵.12.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ100100A ,求A n .解.使用数学归纳法.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2222210200100100100100λλλλλλλλλλλA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλλλ1001002102002223A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+323233)21(0300λλλλλλ假设k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k kk k k λλλλλλ121)11(000则1+k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k k k k k λλλλλλ121)11(000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ100100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++-++1111)1()1(0)1(00k k k k k k k k k λλλλλλ 所以n A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---nn n n n n n n n λλλλλλ121)11(000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----n n n n n nn n n n λλλλλλ1212)1(00013.A 是n 阶方阵,满足A m =E ,其中m 是正整数,E 为n 阶单位矩阵.今将A 中n 2个元素a ij 用其代数余子式A ij 代替,得到的矩阵记为A 0.证明E A m=0.解.因为A m =E ,所以1||=m A ,所以A 可逆.11*0)(||]|[|)(--===T T T A A A A A A 所以EE A A A A A A m T m m m T m ====---1110||])[(||])(|[|14.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010101001A i.证明:n ≥3时,E A A A n n-+=-22(E 为三阶单位矩阵)ii.求A 100.解.i.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010*******A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010110013A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011102001+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-+010*******E A A -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0111020013A =所以E A A A -+=-2233假设EA A A k k -+=-22则=-+=-+A A A A k k 311A E A A A k --++-21=EA A k -+-+221）（所以EA A A n n -+=-22ii.=-+=E A A A298100E A E A A 4950222296-==-+ -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=50050050500050⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡490004900049⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1050015000115.当⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21232321A 时,A 6=E .求A 11.解.121232321||=-=A ,所以==-||*1A A A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321因为1112116--===EA A A A E A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2123232116.已知A ,B 是n 阶方阵,且满足A 2=A ,B 2=B ,与(A －B )2=A +B ,试证:AB =BA =0.解.因为(A －B )2=A +B ,所以))(())(()(3B A B A B A B A B A -+=+-=-于是2222B AB BA A B AB BA A --+=-+-,所以BAAB =BA B BA AB A B A B A +=+--+=-222,)(因为A 2=A ,B 2=B ,所以2AB =0,所以0==BA AB .第三章向量一.填空题1.设)1,2,0,1(),,1,0,1(),0,3,2,4(),5,0,1,2(4321-=-=--=-=ααααk ,则k =______时,α1,α2,α3,α4线性相关.解.考察行列式1102131181105213000011182105213000211142k k k -----=-----=-----316102038++-+--=k k =13k +5=0.135-=k 2.设)0,,3,1(),4,3,5,0(),2,0,2,1(),0,3,1,2(4321t -=-=-=-=αααα,则t =______时,α1,α2,α3,α4线性相关.解.考察行列式4243355504243335551000042030335211012---=----=----t tt t 0603020306020=--+++-=t t .所以对任何t ,α1,α2,α3,α4线性相关.3.当k =______时,向量β=(1,k ,5)能由向量),1,1,2(),2,3,2(21-=-=αα线性表示.解.考察行列式,012513211=--k 得k =－8.当k =－8时,三个向量的行列式为0,于是21,,ααβ线性相关.显然21,αα线性无关,所以β可用21,αα线性表示.4.已知)1,4,0,1,1(),3,1,3,0,2(),10,5,1,2,0(),1,2,2,1,1(4321-=-=-==αααα,则秩(α1,α2,α3,α4)=______.解.将α1,α2,α3,α4表示成矩阵→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---131********210211201→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------21102550211002201201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------211052110211001101201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→20052000200001101201.所以r (α1,α2,α3,α4)=35.设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A ,则秩(A)=______.解.→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3224211631711614040921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------3408012550755110140800921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→8351051510117510815100921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→410004030008845000815100921所以r (A )=3.6.已知),2,0,1,0(,)2,1,0,1(=-=βαT矩阵A =α·β,则秩(A )=______.解.A =α·β=()→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-402020100000201020102101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0020000000002010所以r (A )=1.7.已知向量),6,5,4(),6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(4321t ====αααα,且秩(α1,α2,α3,α4)=2,则t =______.解.A =(α1,α2,α3,α4)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t 654654354324321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=16630642032104321t ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=700000032104321t 所以当t =7时,r (A )=2.二.单项选择题1.设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是(A)α1+α2,α2+α3,α3+α1(B)α1,α1+α2,α1+α2+α3(C)α1－α2,α2－α3,α3－α1(D)α1+α2,2α2+α3,3α3+α1解.由0)()()(133322211=-+-+-ααααααk k k 得)()()(323212131=-+-+-αααk k k k k k 因为向量组α1,α2,α3线性无关,所以得关于321,,k k k 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131k k k k k k 321,,k k k 的系数行列式为011110011101=-=---.所以321,,k k k 有非零解,所以α1－α2,α2－α3,α3－α1线性相关.(C)是答案.2.设矩阵A m ×n 的秩为R (A )=m <n ,E m 为m 阶单位矩阵,下列结论正确的是(A)A 的任意m 个列向量必线性无关(B)A 的任意一个m 阶子式不等于零(C)若矩阵B 满足BA =0,则B =0(D)A 通过行初等变换,必可以化为(E m ,0)的形式解.(A),(B)都错在“任意”;(D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A 变成(E m ,0)的形式;(C)是正确答案.理由如下:因为BA =0,所以0)()()()()(B r m m B r m A r B r BA r =-+=-+≥=.所以)(B r =0.于是B =0.3.设向量组(I):T T T a a a a a a a a a ),,(,),,(,),,(332313332221223121111===ααα;设向量组(II):T T T a a a a a a a a a a a a ),,,(,),,,(,),,,(433323133423222122413121111===βββ,则(A)(I)相关⇒(II)相关(B)(I)无关⇒(II)无关(C)(II)无关⇒(I)无关(B)(I)无关⇔(II)无关解.由定理:若原向量组线性无关,则由原向量组加长后的向量组也线性无关.所以(B)是答案.4.设β,α1,α2线性相关,β,α2,α3线性无关,则(A)α1,α2,α3线性相关(B)α1,α2,α3线性无关(C)α1可用β,α2,α3线性表示(D)β可用α1,α2线性表示解.因为β,α1,α2线性相关,所以β,α1,α2,α3线性相关.又因为β,α2,α3线性无关,所以α1可用β,α2,α3线性表示.(C)是答案.5.设A ,B 是n 阶方阵,且秩(A )=秩(B ),则(A)秩(A －B )=0(B)秩(A +B )=2秩(A)(C)秩(A －B )=2秩(A)(D)秩(A +B )≤秩(A )+秩(B )解.(A)取B A ≠且|A |≠0,|B |≠0则A －B ≠0,则r (A －B )≠0.排除(A);(B)取A =－B ≠0,则秩(A +B )≠2秩(A);(C)取A =B ≠0,则秩(A －B )≠2秩(A).有如下定理:秩(A +B )≤秩(A )+秩(B ).所以(D)是答案.三.计算证明题1.设有三维向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111k α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112k α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2113α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21k k β问k 取何值时i.β可由α1,α2,α3线性表示,且表达式唯一;ii.β可由α1,α2,α3线性表示,但表达式不唯一;iii.β不能由α1,α2,α3线性表示.解.)1(22221111112-=-=k k k k k k i.10≠≠k k 且时,α1,α2,α3线性无关,四个三维向量一定线性相关,所以β可由α1,α2,α3线性表示,由克莱姆法则知表达式唯一;ii.当k =1时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121111111111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010********* .系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2.所以所以β可由α1,α2,α3线性表示,但表示不惟一;iii.当0=k 时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→011011100101 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→100011100101 .系数矩阵的秩等于2,增广矩阵的秩为3,所以所以β不能由α1,α2,α3线性表示.2.设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问i.α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论;ii.α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论解.i.α1不一定能由α2,α3线性表出.反例:T )1,1(1=α,T )0,1(2=α,T )0,2(3=α.向量组α1,α2,α3线性相关,但α1不能由α2,α3线性表出;ii.α4不一定能由α1,α2,α3线性表出.反例:T )0,0,2(1=α,T )0,0,1(2=α,T )0,1,0(3=α,T )1,0,0(4=α.α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性无关,α4不能由α1,α2,α3线性表出.3.已知m 个向量α1,α2,…αm 线性相关,但其中任意m －1个都线性无关,证明:i.如果存在等式k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0则这些系数k 1,k 2,…k m 或者全为零,或者全不为零;ii.如果存在两个等式k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0l 1α1+l 2α2+…+l m αm =0其中l 1≠0,则mm l k l k l k === 2211.解.i.假设k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0,如果某个k i =0.则k 1α1+…+k i －1αi －1+k i+1αi+1…+k m αm =0因为任意m －1个都线性无关,所以k 1,k 2,…k i －1,k i+1,…,k m 都等于0,即这些系数k 1,k 2,…k m 或者全为零,或者全不为零;ii.因为l 1≠0,所以l 1,l 2,…l m 全不为零.所以m m l l l l ααα12121---= .代入第一式得:0)(2212121=+++---m m m m k k l l l l k αααα 即0)()(1122112=+-+++-m m m k k l l k k l l αα 所以02112=+-k k l l ,…,011=+-m m k k l l 即mm l k l k l k === 22114.设向量组α1,α2,α3线性无关,问常数a ,b ,c 满足什么条件a α1－α2,b α2－α3,c α3－α1线性相关.解.假设0)()()(133322211=-+-+-ααααααc k b k a k 得)()()(323212131=-+-+-αααk c k k b k k a k 因为α1,α2,α3线性无关,得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131ck k bk k k ak当行列式0100110=---cba 时,321,k k k 有非零解.所以1=abc 时,a α1－α2,b α2－α3,c α3－α1线性相关.5.设A 是n 阶矩阵,若存在正整数k ,使线性方程组A k x =0有解向量α,且A k －1α≠0,证明:向量组α,A α,⋯,A k －1α是线性无关的.解.假设01110=+++--αααk k A a A a a .二边乘以1-k A 得010=-αk A a ,0=a 由0111=++--ααk k A a A a .二边乘以1-k A 得011=-αk A a ,1=a ………………………………最后可得011=--αk k A a ,1=-k a 所以向量组α,A α,⋯,A k －1α是线性无关.6.求下列向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i.)3,2,1,2(),7,4,3,1(),6,5,1,4(),3,1,2,1(4321=----=---==αααα.ii.).10,5,1,2(),0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα解.解.i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------3763245113122141→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------34180039031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---3200320031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000320031902141所以321,,ααα是极大线性无关组.由3322114ααααk k k ++=得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-+323924332321k k k k k k 解得2331-==k k ,212=k 所以3214232123αααα-+-=ii.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1001424527121203121301→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220101103133021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220313301011021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→04000010001011021301所以421,,ααα是极大线性无关组.由4322115ααααk k k ++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401233231k k k k k 解得21=k ,12=k ,03=k 所以421502αααα++=由4322113ααααk k k ++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401333231k k k k k 解得31=k ,12=k ,03=k 所以421303αααα++=7.已知三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x yyy x y y yxA ,讨论秩(A)的情形.解.i.0==y x ,)(=A r ii.0,00,0=≠≠=y x y x 或,3)(=A r iii.0≠=y x ,1)(=A r iv.0≠-=y x ,3)(=A r iv.yx y x ±≠≠≠,0,0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x y y y x yy yxA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→2222x xyxy xy x xy y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→2222222200y x y xy y xy y x y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→y x yy y x y yx00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→)2(00y x x yy x y y x 所以,当y x 2-=时,2)(=A r ;当y x 2-≠时,3)(=A r 8.设三阶矩阵A 满足A 2=E(E 为单位矩阵),但A ≠±E ,试证明:(秩(A －E )－1)(秩(A +E )－1)=0解.由第十一题知3)()(=-++E A r E A r 又因为A ≠±E ,所以0)(≠+E A r ,0)(≠-E A r 所以)(E A r +,)(E A r -中有一个为1所以(秩(A －E )－1)(秩(A +E )－1)=09.设A 为n 阶方阵,且A 2=A ,证明:若A 的秩为r ,则A －E 的秩为n －r ,其中E 是n 阶单位矩阵.解.因为A 2=A ,所以)(=-E A A 所以n E A r A r E A A r --+≥-=)()())((0所以nE A r A r ≤-+)()(又因为n E r A E A r A E r A r E A r A r ==-+≥-+=-+)()()()()()(所以n E A r A r =-+)()(.所以rn E A r -=-)(10.设A 为n 阶方阵,证明:如果A 2=E ,则秩(A +E )+秩(A －E )=n.解.因为A 2=E ,所以))((0E A E A +-=所以n E A r E A r E A E A r --++≥-+=)()()))(((0所以nE A r E A r ≤-++)()(又因为n E r A E E A r A E r E A r E A r E A r ==-++≥-++=-++)2()()()()()(所以n E A r E A r =-++)()(.第四章线性方程组一.填空题1.在齐次线性方程组A m ×n x =0中,若秩(A)=k 且η1,η2,…,ηr 是它的一个基础解系,则r =_____;当k =______时,此方程组只有零解.解.k n r -=,当n k =时,方程组只有零解.2.若n 元线性方程组有解,且其系数矩阵的秩为r,则当______时,方程组有唯一解;当______时,方程组有无穷多解.解.假设该方程组为A m ×n x =b,矩阵的秩r A r =)(.当n r =,方程组有惟一解;当n r <,方程组有无穷多解.3.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++0302032321321x kx x x x x kx x 只有零解,则k 应满足的条件是______.解.03011211≠kk ,53,0623≠≠--+k k k k 时,方程组只有零解.4.设A 为四阶方阵,且秩(A)=2,则齐次线性方程组A *x =0(A *是A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.解.因为矩阵A 的秩31412)(=-=-<=n A r ,所以0)(*=A r ,A *x =0的基础解系所含解向量的个数为4－0=4.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=112011121A ,则A x =0的通解为______.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=000110101110110121112011121A 2)(=A r ,基础解系所含解向量个数为3－2=1.⎩⎨⎧=-=-003231x x x x ,取1,1123===x x x 则.基础解系为(1,1,1)T.A x =0的通解为k (1,1,1)T,k 为任意常数.6.设α1,α2,…αs 是非齐次线性方程组A x =b 的解,若C 1α1+C 2α2+…+C s αs 也是A x =b 的一个解,则C 1+C 2+…+C s =______.解.因为A b A i 且,=α(C 1α1+C 2α2+…+C s αs )=b,所以b b C C s =++)(1 ,11=++s C C .7.方程组A x =0以TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___.解.方程组A x =0的基础解系为TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη,所以2)(=-A r n ,即2)(3=-A r ,)(A r =1.所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A ,假设),,(1312111a a a =α.由01=ηA ,得02201),,(1311131211=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a a a a 由02=ηA ,得0110),,(1312131211=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-a a a a a 取2,1,0111213-===a a a 得.所以)1,1,2(1-=α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A (其中2,1k k 为任意常数).8.设A x =b,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A ,则使方程组有解的所有b 是______.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A ,05112210321||≠=-=A ,所以)(A r =3.因为A x =b 有解,所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-b r r 112210321112210321所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123112201321k k k b ,其中321,,k k k 为任意常数.9.设A,B 为三阶方阵,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110121211A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11202314k B ,且已知存在三阶方阵X ,使得B AX =,则k =___________.解.由题设B X A =⨯⨯3333,又因为0110121211||=-=A ,所以0||||||==X A B ,即0266411202314=+--=--k k k ,2-=k .二.单项选择题1.要使ξ1=(1,0,1)T ,ξ2=(－2,0,1)T 都是线性方程组0=Ax 的解,只要系数矩阵A 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112213321(B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211121(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123020010(D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-020010解.因为21,ξξ的对应分量不成比例,所以21,ξξ线性无关.所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数大于2.(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112213321A ,3)(,0112213321||=≠=A r A .因为A 是三阶矩阵,所以0=Ax 只有零解,排除(A);(B)2)(,211121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A r A .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3－1)(=A r .排除(B);(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123020010A ,2)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3－1)(=A r .排除(C);(D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=020010A ,1)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3－2)(=A r ,(D)是答案.2.设0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系,则该方程组的基础解系还可以表成(A)321,,ξξξ的一个等阶向量组(B)321,,ξξξ的一个等秩向量组(C)321211,,ξξξξξξ+++(C)133221,,ξξξξξξ---解.由0)()(321321211=+++++ξξξξξξk k k ,得0)()(332321321=+++++k k k k k k ξξξ.因为0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系,所以321,,ξξξ线性无关.于是⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ,所以0321===k k k ,则321211,,ξξξξξξ+++线性无关.它也可以是方程组的基础解系.(C)是答案.(A)不是答案.例如321,,ξξξ和21321,,,ξξξξξ+等价,但21321,,,ξξξξξ+不是基础解系.3.n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是(A)任一行向量都是非零向量(B)任一列向量都是非零向量(C)b Ax =有解(D)当0≠x 时,0≠Ax ,其中Tn x x x ),,(1 =解.对(A),(B):反例⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121A ,不可逆;对于(C)假设A 为n×n 矩阵,A 为A 的增广矩阵.当n A r A r <=)()(时,b Ax =有无穷多解,但A 不可逆;(D)是答案,证明如下:当0≠x 时,0≠Ax ,说明0=Ax 只有零解.所以1,0||-≠A A 存在.4.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r,则0=Ax 有非零解的充分必要条件是(A )n r =(B )n r ≥(C )n r <(D )n r >解.(C )为答案.5.设n m A ⨯为矩阵,m n B ⨯为矩阵,则线性方程组0)(=x AB (A )当m n >时仅有零解.(B )当m n >时必有非零解.(C )当n m >时仅有零解.(D )当n m >时必有非零解.解.因为AB 矩阵为m m ⨯方阵,所以未知数个数为m 个.又因为n A r AB r ≤≤)()(,所以,当n m >时,m n A r AB r <≤≤)()(,即系数矩阵的秩小于未知数个数,所以方程组有非零解.(D )为答案.6.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵0*≠A ,若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A )不存在(B )仅含一个非零解向量(C )含有二个线性无关解向量(D )含有三个线性无关解向量解.因为⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,*)(n A r n A r n A r n A r 因为0*≠A ,所以1)(-≥n A r ;又因为4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解,所以b Ax =的解不唯一,所以1)(-≤n A r ,所以1)(-=n A r .于是:基础解系所含解向量个数1)1()(=--=-=n n A r n (B )为答案.三.计算证明题1.求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=----=+-+-=-+-174952431132542143214321x x x x x x x x x x x 的通解,并求满足方程组及条件16354321-=-++x x x x 的全部解.解.将条件方程与原方程组构成矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------56144280287214028721401132511163517409152413113251⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→0000000000287214017409100000000002872140113251 i.条件方程与原方程组兼容,即加上条件后的方程组与原方程组有相同的通解;ii.2)()(==A r A r ,方程组有解.齐次方程组的基础解系含解向量的个数为2)(4=-A r ;iii.齐次方程的基础解系:⎩⎨⎧=-+-=++07214049432421x x x x x x 令27,41,03142=-===x x x x 得令7,90,13142=-===x x x x 得基础解系为:T T)0,7,1,9(,)1,27,0,4(--iv.非齐次方程的通解:⎩⎨⎧=-+--=++2872141749432421x x x x x x 令2,10,02143-====x x x x 得所以全部解为:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-127040719002121k k 2.设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++=++kmx x x x x x x x x 3213213214132303,问m,k 为何值时,方程组有惟一解?有无穷多组解?有无穷多组解时,求出一般解.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110010700131170107001314113230131k m k m k m i.当3)()(,1==-≠A r A r m 时,方程组有惟一解;ii.当)()(,1,1A r A r k m ≠≠-=时,方程组无解;iii.当32)()(,1,1<===-=A r A r k m 时,方程组有无穷多解.此时基础解系含解向量个数为1)(3=-A r 齐次方程组:⎩⎨⎧==++07032321x x x x ,所以02=x .令1,113-==x x 得.基础解系解向量为:T)1,0,1(-.非齐次方程组:⎩⎨⎧==++17032321x x x x ,所以712=x .令73,013-==x x 得.非齐次方程特解为:T)0,71,73(-.通解为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10107173k x 3.问λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324622432132131λλλx x x x x x x x 有解,并求出解的一般形式.。

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题基础课程教学资料第1章矩阵习题一(B)1、证明：矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A 为n 阶对角矩阵. 证明：先证明必要性。

若矩阵A 为n 阶对角矩阵. 即令n 阶对角矩阵为：A =??n a a a 00000021,任何对角矩阵B 设为n b b b0000021，则AB=??n n b a b a b a000002211，而BA =??n n a b a b a b000002211，所以矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换。

再证充分性，设 A =??nn n n n n b b b b b b b b b 212222111211，与B 可交换，则由AB=BA ，得：nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 221122222111122111=nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212222221211121111，比较对应元素，得0)(=-ij j i b a a ，)(j i ≠。

又j i a a ≠，)(j i ≠，所以0=ij b ，)(j i ≠，即A 为对角矩阵。

2、证明：对任意n m ?矩阵A ，T AA 和A A T均为对称矩阵. 证明：(TAA )T =(A T )T A T =AA T，所以，TAA 为对称矩阵。

(A A T)T =A T (A T )T =A T A ，所以，A A T 为对称矩阵。

3、证明：如果A 是实数域上的一个对称矩阵，且满足O A =2 ，则A =O . 证明：设A =??nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，其中，ij a 均为实数，而且ji ij a a =。

由于O A =2，故A 2=AA T =nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211nn nnn n a a a a a a a a a 212221212111=0。

线性代数习题集

全国2007年1月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，R （A ）表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题(本大题共10小题，每题2分，共20分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多项选择或未选均无分。

1．二阶行列式1k 221k --≠0的充分必要条件是（）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠32．设A 为三阶矩阵，|A|=a ≠0，那么其伴随矩阵A *的行列式|A *|=（） A ．a B ．a 2 C ．a 3D ．a 43．设A 、B 为同阶可逆矩阵，那么以下结论正确的选项是（） A ．|AB|=|BA| B ．|A+B|=|A|+|B| C ．（AB ）-1=A -1B -1D ．（A+B ）2=A 2+2AB+B 24．设A 可逆，那么以下说法错误．．的是（） A ．存在B 使AB=E B ．|A|≠0C ．A 相似于对角阵D ．A 的n 个列向量线性无关5．矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0112的逆矩阵的（） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2110B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2110D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2110 6．设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，那么向量组α1，α2，α3的秩是（） A ．0 B ．1 C ．2D ．37．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b 的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，那么Ax=b必有一个解是（） A ．α1+α2 B ．α1-α2C ．β+α1+α2D ．β+212121α+α8．假设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010002B x 10100002与相似，那么x=（）A ．-1B ．0C ．1D ．29．假设A 相似于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ1001，那么|A-E|=（） A ．-1 B ．0 C ．1D ．210．设有实二次型f(x 1,x 2,x 3)=2322x x +，那么f （）A ．正定B ．负定C ．不定D ．半正定二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）请在每题的空格中填上正确答案。

线性代数习题集第一章

线性代数习题集第⼀章第⼀章：⾏列式I.单项选择题 1.排列1,3,,(2n 1),2,4,,(2n)-的逆序数为（）(1) n 1- (2) (n 1)n - (3) (n 1)n + (4) (n 1)/2n - 2.排列1,3,,(21),(2),(22),,2n n n --的逆序数为（）(1) n (2) (n 1)n - (3) (n 1)n + (4) (n 1)/2n - 3．四阶⾏列式中含有因⼦1123a a 的项是（）(1) 11233442a a a a (2) 11233344a a a a (3)11233342a a a a (4) 11233442a a a a -4.⾏列式abac aebdcd de bfcfef---的值是（） (1) 2abcdef (2) 4abcdef (3) 6abcdef (4) 8abcdef 5. 设A 为n 阶⽅阵，λ为数，则A λ等于（） (1) A λ (2) A λ (3) n A λ (4) 2A λ6.设ab cD de f g hi=，则元素h 的代数余⼦式为（） (1)a c gi(2) a cdf -(3) a c g i - (4)a c df7.设⾏列式000000a bcD d e f g h i j=，则D 的值等于（） (1) abdg - (2) abdg (3) abdg ceh fi j -+- (4) abdg ceh fi j ++- 8.设A 为n 阶矩阵，则（）(1) A A -= (2) A A -=- (3) (1)n A A -=- (4) 1A A --=9.设A 为n 阶矩阵，且A 的⾏列式0A a =≠，⽽A *是A 的伴随矩阵，则A *等于（）(1) a (2) 1/a (3) n a (4) 1n a -10.若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且1231m αααβ=，1223n ααβα=四阶⾏列式，则32112()αααββ+四阶⾏列式等于（） (1) n m - (2) m n - (3) m n + (4) ()m n -+11.设44? 矩阵[]234,,,A αγγγ= ，[]234,,,B βγγγ=，其中234,,,,αβγγγ均为４维列向量，且已知⾏列式1,1A B ==，则⾏列式A B +等于（） (1)５ (2)10 (3)30 (4)4012.设设A 为m 阶⽅阵，设B 为n 阶⽅阵，且,A a B b ==，00AC B =，则C 等于（）(1) ab (2) ab - (3) (1)nm - (4) (1)nm ab -13.设⾏列式D aba b b a b a a b ab+=++，则D 的值为（）(1) 332()a b -+ (2) 332()a b + (3) 332()a b - (4) 33()a b -+ 14.元素是0和1的三阶⾏列式D 之值只能是（） (1) 3 (2) 3- (3) 4 (4) 0,1,2±± II.填空题1.n 阶⾏列式的完全展开式，应由________项组成，每项位于⾏列式中________的n 个元素的乘机，⽽且项1212n j j nj a a a 的符号为_____.2. n 阶⾏列式1111nn nna a A a a =，则按第i ⾏的展开式为__________;按第j ⾏展开式为__________.3.当A 可逆是1A -=____________.4.设A 是⼀个n 阶⽅阵，k 是⼀个有理数，则kA =________,5.在⾏列式2121113211x x x x j j x-的展开式中，3x 的系数为________,4x 的系数为_________.6.三⾓⾏列式110nn nna a a =_________ 7.⾏列式2111131111411115A ==__________ 8.⾏列式11101210011000000111002A --==--__________ III.判断题1.交换⾏列式中任意两⾏的位置，⾏列式的值不变。

(完整版)线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).（A) 24315 （B) 14325 (C) 41523 （D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). （A ）k (B)k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.（A ） 0 (B ）2-n （C) )!2(-n (D ） )!1(-n4．=0001001001001000( )。

（A) 0 (B ）1- (C) 1 （D) 25。

=0001100000100100( ).（A) 0 (B)1- (C) 1 (D ） 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是（ ).(A) 0 （B)1- (C) 1 （D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （）. （A) 4 （B ） 4- （C ） 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a （ )。

（A ）ka （B)ka - （C ）a k 2 (D ）a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ )。

(A) 0 （B)3- (C) 3 (D) 210。

若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ）。

(A ）1- （B)2- （C)3- （D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).（A)1- （B)2- （C)3- (D ）012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. （ )（A ）1- (B ）2- （C)3- (D)0二、填空题1。

线性代数习题册(答案)

线性代数习题册答案第一章行列式练习一班级学号姓名1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n （n-1）.2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .3．在四阶行列式中，项12233441a a a a 的符号为负 .4．00342215= －24 .5．计算下列行列式：（1）122212221-----= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5或（2）111111λλλ---= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ） = －3λ＋3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习二班级学号姓名 1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3(1)11-⋅=-2． 1112344916= 2 .3．已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 .用1，1，1，1替换第4行4．计算下列行列式： (1)111ab c a b c abc +++= 13233110110011,0110111111r r r r c c a b c bcabcabc-----+-==++++++(2) xy x y y x y x x yxy+++(3)130602121476----(4)1214012110130131-5．计算下列n 阶行列式：(1)n xa a a x a D aax=（每行都加到第一行，并提公因式。

）(2)131111n +(3) 123123123n n n a ba a a a ab a a a a a a b+++练习三班级学号姓名 1．设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解，则λ满足的条件是什么？1,0,1λλλ≠-≠≠2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解，求λ的值。

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集（含答案）线性代数习题集第一章【1】填空题（1）二阶行列式a2babb=___________。

cos?（2）二阶行列式sin?（3）二阶行列式?sin?=___________。

cos?a?bib=___________。

2aa?bixyxzzy=___________。

xcb?cbca=___________。

c?a2（4）三阶行列式zya?b（5）三阶行列式ab答案：1.ab(a-b)；2.1；3.?a?b?；4.x?y?z?3xyz；5.4abc。

333【2】选择题12（1）若行列式153?2=0，则x=（）。

25xA-3； B-2； C2； D3。

x11（2）若行列式1x1?0，则x=（）。

11xA -1，?2； B 0，?2； C 1，?2； D 2，?2。

第1页共35页线性代数习题集?2（3）三阶行列式503315202198=（）。

23A -70； B -63； C 70； D 82。

a0（4）行列式0b440ab020ba022b0=()。

0a；Cb?a；Dab。

44Aa?b；Ba?b??44010002（5）n阶行列式00=（）。

000n00A0；Bn！；C（-1）・n！；D??1?n?1n?10?n!。

答案：1.D；2.C；3.A；4.B；5.D。

【3】证明by?azbz?axbx?ayxyxzzy xbx?ayby?azbz?ax?(a3?b3)zbz?axbx?ayby?azy答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。

【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。

答案：（1）?（134782695）=10，此排列为偶排列。

（2）?（217986354）=18，此排列为偶排列。

（3）?（987654321）=36，此排列为偶排列。

线性代数练习题集--线性方程组

线性代数练习题集--线性方程组线性代数练习题第四章线性方程组系姓名第一节解线性方程组的消元法一．选择题：1．设A 是m ⨯n 矩阵，Ax =b 有解，则 [ C ] （A ）当Ax =b 有唯一解时，m =n （B ）当Ax =b 有无穷多解时，R (A )3．设A 是m ⨯n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充要条件是R (A ) [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题：1⎫⎛12⎛1⎫⎛x 1⎫⎪⎪⎪设A = 23a +2⎪，b = 3⎪，x = x 2⎪1a -2⎪ 0⎪ x ⎪⎝⎭⎝⎭⎝3⎭（1）齐次线性方程组Ax =0只有零解，则a ≠3或a ≠-1 （2）非齐次线性方程组Ax =b 无解，则a 三．计算题：⎧2x +y -z +w =1⎪1．求解非齐次线性方程组⎨4x +2y -z +w =2⎪2x +y -z -w =1⎩⎛21-111⎫r 2-2r 1⎛21-111⎫⎛21001⎫⎪r 3-r 1 ⎪r +r 2 ⎪42-112−−−→001-10−−−→001-10 ⎪⎪⎪ 21-1-11⎪ 000-20⎪ 000-20⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧1-y⎪x =2=1⎧2x +y ⎧y =1-2x⎪⎪⎪z -w =0∴z =0或. ⎨⎨⎨z =0⎪⎪w =0-2w =0⎪w =0⎩⎩⎪⎩⎧λx 1+x 2+x 3=1⎪3．λ取何值时，非齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=λ ⑴ 有唯一解⑵ 无解⑶ 有无穷多解⎪x +x +λx =λ223⎩1λ111λ111=λ3-3λ+2=(λ-1) 2(λ+2)λ11⎫⎛111⎪11⎪→ 00000011⎪⎭⎝111⎫⎛2⎪-21-2⎪→ 101-24⎪⎭⎝1⎫⎪0⎪，有无穷多解；0⎪⎭111⎫⎪-21-2⎪，方程组无解。

003⎪⎭当λ≠1,-2时，方程有唯一解⎛11当λ=1时 1111⎝⎛-2当λ=-2时 11⎝线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系姓名第四节线性方程组的解一．选择题：T T1．设A 是5⨯4矩阵，A =(α1, α2, α3, α4) ，已知η1=(0, 2, 0, 4) ，η2=(3, 2, 5, 4) 是Ax =0的基础解系，则 [ D ] （A ）α1, α3线性无关（B ）α2, α4线性无关（C ）α1不能被α3, α4线性表示（D ）α4能被α2, α3线性表示η1, η2是其两个特解，2．设A 是5⨯4矩阵，若Ax =b 有解，导出组Ax =0的基础解系是α1, α2，则不正确的结论是 [ B ] （A ）Ax =b 的通解是k 1α1+k 2α2+η1 （B ）Ax =b的通解是k 1α1+k 2α2+(η1+η2) （C ）Ax =b 的通解是k 1(α1+α2) +k2α2+(η1+η2) /2（D ）Ax =b 的通解是k 1(α1+α2) +k 2(α2-α1) +2η1-η23．设α1, α2, α3是四元非齐次线性方程组Ax =b 的三个解向量，且R (A ) =3，α1=(1, 2, 3, 4) T ，α2+α3=(0, 1, 2, 3) T ，C 表示任意常数，则线性方程组Ax =b 的解是 [ C ]（A ）(1, 2, 3, 4) T +C (1, 1, 1, 1) T （B ）(1, 2, 3, 4) T +C (0, 1, 2, 3) T （C ）(1, 2, 3, 4) T +C (2, 3, 4, 5) T （D ）(1, 2, 3, 4) T +C (3, 4, 5, 6)T⎧λx 1+x 2+λ2x 3=0⎪4．齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=0 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵B ≠0使得⎪x +x +λx =023⎩1AB =0，则 [ C ]（A ）λ=-2且B =0，（B ）λ=-2且B ≠0 （C ）λ=1且B =0 （D ）λ=1且B ≠0 二．填空题：1⎫⎛12⎛1⎫⎛x 1⎫⎪⎪⎪1．设A = 23a +2⎪，b = 2⎪，x = x 2⎪1a -2⎪ 3⎪ x ⎪⎝⎭⎝⎭⎝3⎭（1）齐次线性方程组Ax =0只有零解，则a （2）非齐次线性齐次组Ax =b 无解，则a = 三．计算题：1．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1, η2, η3是它的三个解向量，且η1=(2, 3, 4, 5) T ，η2+η3=(1,2,3,4)T ，求该方程的通解解：设方程为Ax =b , 则A η1=A η2=A η3=b那么A (2η1-η2-η3) =2b -b -b =0故2η1-η2-η3是Ax =0的解.又n -R (A ) =4-3=1, 故Ax =0的基础解系只有一个向量⎛3⎫⎛2⎫⎪⎪4⎪ 3⎪所以Ax =b 的通解为k (2η1-η2-η3) +η1=k +. 5⎪ 4⎪⎪⎪⎝6⎭⎝5⎭⎧x 1-5x 2+2x 3-3x 4=11⎪2．求非齐次线性方程组⎨5x 1+3x 2+6x 3-x 4=-1的一个解及对应齐次方程组的基础解系。

(完整版)线性代数习题集

一. 判断题（正确打√，错误打×)1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为1-n 。

（ × ）正确答案：)!1(-n解答：方法1因为含有11a 的项的一般形式是n nj ja a a 2211，其中n j j j 32是1-n 级全排列的全体，所以共有)!1(-n 项. 方法2 由行列式展开定理=nnn n n n a a a a a a a a a212222111211n n A a A a A a 1121211111+++ ,而n n A a A a 112121++ 中不再含有11a ，而11A 共有)!1(-n 项，所以含有11a 的项数是)!1(-n .注意:含有任何元素ij a 的项数都是)!1(-n 。

2. 若n 阶行列式ij a 中每行元素之和均为零,则ij a 等于零。

（ √ ）解答：将nnn n nn a a a a a a a a a212222111211中的n 、、、 32列都加到第一列，则行列式中有一列元素全为零,所以ij a 等于零. 3.3322441144332211000000a b b a a b b a a b a b b a b a =。

( √ ）解答:方法1按第一列展开332244114411414133224133224144332211)(0000000a b b a a b b a a b b a b b a a a b b a b b a b b a a a a b a b b a b a =-=-=。

方法2 交换2，4列,再交换2,4行2233441144332211443322110000000000000000000000a b b a a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a =-==33224411a b b a a b b a 。

方法3 Laplace 展开定理：设在n 行列式D 中任意取定了)11(-≤≤n k k 个行，由这k 行元素所组成的一切k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D 。

线性代数习题集课堂讲解习题(1)

第一章行列式一. 填空题 1. 在函数xx x xxx f 21112)(---=中, x 3的系数是______. 解. x 3的系数只要考察234222x x xx x x+-=--. 所以x 3前的系数为2.2. 设a , b 为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, 010100=---a bba. 解. 0)(11010022=+-=--=---b a ab ba a bb a . 所以a = b = 0.3. 在n 阶行列式D = |a ij |中, 当i < j 时a ij = 0 (i , j =1, 2, …, n ), 则D = ______.解.112122112212000nn n n nna a a a a a a a a =二．选择题 1.1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）。

（A ）1-≠k ； (B) 3≠k ； (C) 1-≠k 且3≠k ； (D) 1-≠k 或3≠k 。

解：（k-1）2-4≠02.01110212=-k k的充分条件是（ B ）。

（A ）2=k ；（B ）2-=k ；（C ）0=k ；（D ）3-=k 。

解：k 2*1-2*2*1+1*（-2-k ）=03.如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，2322213332311312111222222222a a a a a a a a a D =，那么=1D （ D ）。

（A ）2M ； (B) －2M ； (C) 8M ； (D) －8M 。

解：行列式性质2，34.下列)2(>n n 阶行列式中，值必为零的有（ D ）。

（A ）行列式主对角线上的元素全为零；(B)行列式次对角线上的元素全为零； (C)行列式零元素的个数多于n 个； (D)行列式中各行元素之和为零。

解：行列式性质6 5. 如果122211211=a a a a ，则下列（B ）是方程组⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解（A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x =；（B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x =；（C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x --=； (D) 2221211a b a b x -----=，2211112b a b a x -----=。

线性代数习题集第七章

线性代数习题集第七章第七章欧⼏⾥得空间I. 单项选择题1. 欧式空间V 内的s 个⾮零向量12,,,s ααα，如果两两正交，则（）⑴线性相关⑵线性⽆关⑶互相可以线性表⽰⑷两两夹⾓为零2. 给定两个向量1123a α?? ? ?= ?- ?-??，23241α-?? ? ?= ? ???，且内积12,1αα=-，则a 为（）⑴23- ⑵34- ⑶14- ⑷123. n 维欧式空间V 的线性变换σ是可逆的对称变换当且仅当σ关于V 的任意⼀组标准正交基的矩阵是（）⑴可逆变换⑵对称变换⑶正交变换⑷可逆的对称变换 4. 正交变换在标准正交基下的矩阵是（）⑴初等矩阵⑵正定矩阵⑶正交矩阵⑷实对称矩阵 5. 设A 为n 阶对称矩阵，若1A -存在，则1A -是（）⑴正交矩阵⑵正定矩阵⑶对称矩阵⑷反对称矩阵 6. 下列有关正交变换的命题中，正确的是（）⑴保持任意向量长度不变的线性变换是正交变换⑵保持任意两个⾮零向量夹⾓不变的线性变换是正交变换⑶正交变换是对称变换⑷正交变换在任意⼀组基下的矩阵是正交矩阵7. 在欧式空间V 中，两组标准正交基间的过渡矩阵是（）⑴正定矩阵⑵对称矩阵⑶正交矩阵⑷转置矩阵 8. 实上三⾓矩阵为正交矩阵时，必为对⾓矩阵，其对⾓线上的元素为（）⑴1 ⑵-1 ⑶0 ⑷±1 9. 欧式空间中线性变换σ是正交变换的充要条件是（）⑴σ为对称变换⑵σ保持向量的长度不变⑶σ保持向量间的夹⾓不变⑷保持向量间的正交关系不变 10. n 阶实矩阵T 是正交矩阵当且仅当T 的⾏向量组是（）⑴正交组⑵标准正交组⑶线性⽆关组⑷单位向量组 11. 正交矩阵的实特征值只能是（）⑴正实数⑵负实数⑶1或-1 ⑷零12. 矩阵1121121121121-?? ?- ? ?-??是（）⑴正交矩阵⑵⾮正交矩阵⑶正定矩阵⑷实反对称矩阵13. 设1111A ??=，P 为⼆阶正交阵，且'0002P AP ??=，则P =（）⑴12121212??-⑵? -?⑶?-⑷12121212-??14. 设()12,a a α=，()12,b b β=为⼆维实空间2R 中任意两个向量，2R 对以下规定的哪个内积作成欧式空间（）⑴1221,a b a b αβ=+ ⑵1122,a b a b αβ=-⑶1122,1a b a b αβ=++ ⑷()()121122,2a a b a a b αβ=+++II. 填空题 1. 设12,,,s ααα是欧式空间V 中的s 个向量，如果12,,,s ααα两两正交，则它们______. 2. 欧式空间V 内任意两个向量,αβ有,αβαβ≤，等号成⽴的充要条件是_________. 3. 欧式空间中，正交向量组必__________.4. 在欧式空间V 中，设(),,.L V R V σλ?∈∈∈如果(),σ?λ?=且?________，则称λ为________，?为________.5.如果向量组()12,,,2s s ααα≥中任⼀向量都不能被其余向量线性表⽰，则此向量组________.6. 如果对称矩阵A 为⾮奇异矩阵，则1A -也是________.7. 正交变换σ保持向量的内积不变，因⽽它保持向量的________和________不变. 8. 设实数域R 上的⼀个n 阶⽅阵T 满⾜' ',T T TT E ==即________，则称T 为________. 9. 设σ为n 维欧式空间V 的⼀个线性变换，若σ对⼀组基12,,,n ααα中的向量有()()1111,,,1,2,,i n ασααα==，则σ________正交变换.10. 设()A ij a =是数域K 上的⼀个n 阶⽅阵，如果________，则称A 是⼀个对称矩阵，如果________，则称A 是⼀个反对称矩阵.11. 正交矩阵A 的⾏列式A =________或________.12. 设σ是欧式空间V 内的⼀个对称变换，则σ的对应于不同特征值的特征向量________.13. 欧式空间中的正交变换之积________正交变换. 14. 对称变换在标准正交基下的矩阵是________矩阵.15. 设A 是⼀个n 阶实对称矩阵，则存在n 阶______，使1'T AT T AT D -==为对⾓形矩阵. 16. 设V 是⼀个n 维欧式空间，令()0n 表⽰V 中全体正交变换所成的集合，则()0n 具有性质⑴_______________；⑵_______________；⑶_______________. 17. 设σ是欧式空间V 内的⼀个线性变换，若对V 中任意向量,αβ都有()(),,ασββ=，则称σ为____________.18. 设σ是n 维欧式空间V 内的⼀个线性变换，如果对任意,V αβ∈，有()(),,αβασβ=，则称σ为⼀个____________.19. 欧式空间V 中的线性变换σ称为反对称的，如果对V 中任意向量,αβ，都有_________.20. 设(1α=，(2α=-，(3α=-，则123,,ααα是3R 的⼀个标准正交基，因为____________，____________.III. 判断题1. 设,αβ是欧式空间V 中的任意两个向量，则,αβαβ≤.2. 设()12,a a α=，()12,b b β=为⼆维实空间2R 中任意两个向量，规定内积：()()1212,a a b b αβ=++，则,0αβ≥，当且仅当0α=时，,0αα=.3. 令2R 为实数域上全体⼆维向量所组成的线性空间，()12,a a α=，()12,b b β=为其中任意两个向量，规定：()12122,a a b a b αβ=++，则,,αββα=.4. 实对称矩阵的特征值必为实数.5. 在某⼀组基下的矩阵是实对称矩阵的线性变换是对称矩阵.6. 对称变换的特征值都是实数.7. 对称变换在任意⼀组基下的矩阵都是实对称矩阵.8. 保持任意两个⾮零向量夹⾓不变的线性变换⼀定是正交变换.9. 设()12,a a α=，()12,b b β=为⼆维实空间2R 中任意两个向量，2R 对以下所规定的内积作成欧式空间，1221,a b a b αβ=+.10. 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.11，在4R 中，向量()1,2,2,3α=，()3,1,5,1β=的夹⾓为4π.12. 正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵.IV. 简答（或计算）题1. 求与()1,2,1,1α=-，()2,3,1,1β=，()1,1,2,2γ=---都是正交的向量.2. 在欧式空间4R 中，求()1,2,2,3α=，()3,1,5,1β=的夹⾓.3. 在欧式空间4R 中，求()2,1,3,2α=，()1,2,2,1β=-的夹⾓.4. 设()()()1231,0,2,0,0,2,0,3,2,6,4,9ααα===，试将()123,,L ααα的基扩充成欧式空间4 R 的⼀组基.5. 求线性⽅程组123452111311101032112x x x x x ?? ?--?? ? ?= --的解空间的标准正交基.6. 设220212020A -?? ?=-- ? ?-??，求正交矩阵T ，使'T AT 成对⾓形.7. 求下列矩阵123213336A ??= ? ???的特征值和特征向量，并将特征向量标准正交化.8. ⽤正交变换化⼆次型222123121323222f x x x x x x x x x =+++++为标准形.9. ⽤正交变换化⼆次型123444f x x x x =+为标准形.10. 设0111101111011110A -??-= - -，求正交矩阵U ，使'U AU 成对⾓形. 11. 设12345,,,,εεεεε是五维欧式空间V 的⼀组标准正交基，()1123,,V L ααα=，其中11521243123,,2αεεαεεεαεεε=+=-+=++，求1V 的⼀组标准正交基.12. 在[]4R x中定义内积为：()()11,f g f x g x dx -=?，求[]4R x 的⼀组标准正交基（对基231,,,x x x 正交单位化）13. 求⼀个正交变换，把⼆次型()222123123121323,,44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-化为标准形.14. 已知⼆次型()22212312323,,2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>，通过正交变换化成标准形：22212325f y y y =++，求参数a 及所⽤的正交变换矩阵. *15. 设n 阶⽅阵A 有n 个特征值0,1,2,n 1-，且⽅阵B 与A 相似. 求B E +，这⾥E 为n 阶单位矩阵.*16. 设⼆次型222123122313222f x x x ax x bx x x x =+++++，经正交变换X U Y =化成22232f y y =+，其中()'123,,X x x x =和()'123,,Y y y y =是三维列向量，U 是三阶正交矩阵. 试求,a b .*17. 欧式空间4R 中，若基()()()()12341,1,0,0,1,2,0,0,0,1,2,11,0,1,1αααα=-=-==的度量矩阵为：23013601001391197A -??--= -. ⑴求基()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1εεεε====的度量矩阵；⑵求向量γ，它与以下向量都正交，()()()1231,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,3=-=--=. *18. 在2R 中，已知基()()121,0,0,1αα==的度量矩阵1112A ??=. 求2R 的⼀个标准正交基，并验证该基的度量矩阵是1001E ??=. *19. 设12345,,,,εεεεε是五维欧式空间的⼀个标准正交基，()1123,,V L ααα=，其中11521243123,,2αεεαεεεαεεε=+=-+=++，求1V 的⼀个标准正交基. *20. 设M 是欧式空间3R 的⼆维⼦空间，取其基()()121,1,2,2,2,3αα==. 求M ⊥.*21. 设V 为四维欧式空间，1234,,,εεεε为V 的⼀个标准正交基，⼦空间()12,M L αα=，其中1122123,αεεαεεε=+=+-. 求M ⊥.*22. 设4R 中的⼦空间M 是齐次线性⽅程组123412412342303220390x x x x x x x x x x x ++-=??+-=??++-=?的解空间，试分别求M ，M ⊥的基. 并写出以M ⊥为解空间的齐次线性⽅程组.*23. 已知'100030007Q AQ ?? ?= ? ，其中0Q ??- =- ??，302032225A ?? ?=- ? ?-??.求A 的特征值与特征向量.*24. 已知6,3,3是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，()'11,1,1?=是属于特征值6的⼀个特征向量.V. 证明题1. 证明：对欧式空间中任意向量,αβ，下列等式成⽴：222222αβαβαβ++-=+.2. 在欧式空间中，若向量α与β正交. 求证：220αβαβ+--=.3. 设123,,,n αααα是欧式空间V 的⼀组基. 证明：若1,0(1,2,,)i n βα==，则0β=.4. 设α与β为n 维欧式空间V 中两个不同的向量，且1αβ==. 证明：,1βα≠.5. 设设123,,,n αααα是欧式空间V 的⼀组基. 证明：如果V γ∈，使1,0(1,2,,)i n γα==，则0r =.6. 设V 为 n 欧式空间，12,V γγ∈，如果对V 中任意向量α均有12,,γαγα=，则12γγ=.7. 设β与123,,,n αααα都正交. 证明：β与123,,,n αααα的任意线性组合都正交.8. 设123,,,n αααα是欧式空间V 内的n 个⾮零向量且它们两两正交. 证明：123,,,n αααα线性⽆关.9. 设A 为实对称矩阵. 证明：0A =充要条件是20A =. 10.设12,,,m ααα是欧式空间V内的⼀个向量组，令111212122212,,,,,,,,,m m m m m mαααααααααααααα??= ? ? ?. 证明：当且仅当0?≠时，12,,,m ααα线性⽆关.11. 设,στ是n 维欧式空间V 的两个线性变换. 证明：στ也是V 的正交变换. 12. 证明：实对称矩阵A 正定的充要条件是'A B B =，其中'B 为可逆矩阵. 13. 设,A B 都是正交矩阵，且A B =-. 证明：0A B +=. 14. 证明：对称的正交矩阵的特征值必为1+或1-.15. 设σ是欧式空间V 中对称变换. 证明：σ对应于不同特征值1,2λλ的特征向量12,??彼此正交.16. 设,A B 均为n 阶对称矩阵. 证明：AB 为对称矩阵的充要条件是AB BA =.17. 设A 为实对称矩阵，B 为反对称矩阵，且AB BA =，A B -是⾮奇异矩阵. 证明：()()1A B A B -+-是正交矩阵.18. 设A 为n 阶反对称矩阵，若A 为⾮奇异⽅阵. 证明：1A -也是反对称⽅阵.19. 设可逆矩阵A 的伴随矩阵A *为反对称矩阵. 证明：A 的转置矩阵'A 也是反对称矩阵. 20. 设,ατ均为欧式空间V 的两个对称变换. 证明：σττσ+也是V 的对称变换.21. 设α是n 维欧式空间V 中的⼀个⾮零向量. 证明：{},0M V ξξα=∈=是V 的⼦空间.22. 证明：第⼆类正交变换⼀定有特征值-1. 23. 设A 为正交矩阵. 证明：A *也是正交矩阵.24. 证明：在欧式空间中，对任意向量,ξη均有22,1414ηξηξη=+--. 25. 设12,,,n ααα是n 维欧式空间V 的⼀个基. 证明：12,,,n ααα是标准正交基的充要条件是对V 中任意1122n n x x x αααα=+++，1122n n y y y βααα=+++，1122,n n x y x y x y αβ=+++.*26. 设12,,,n εεε是n 维欧式空间的的⼀个基. 证明：12,,,n εεε是标准正交基的充要条件是任意向量α的坐标可由内积表出：1122,,,n n αεεαεεαεε=+++.*27. 设12,,,n εεε是n 维欧式空间V 的⼀个标准正交基，n 阶实矩阵()ij A a =是此基到基12,,n ηηη的过渡矩阵. 证明：12,,n ηηη是标准正交基的充要条件是A 为正交矩阵.*28. 证明：有限维欧式空间存在标准正交基. *29. 设12,,,m ααα是n 维欧式空间V 的⼀个标准正交基. 证明：对任意V ξ∈，以下不等式成⽴：2211,mi αξ=≤∑.*30. 证明：n 阶实对称矩阵A 是正定的，当且仅当存在nR ⼀个基，使A 为其度量矩阵. *31. 设,A B 是两个n 阶正交矩阵. 证明：1AB -的⾏向量构成欧式空间nR 的⼀个标准正交基.*32. 证明：两个有限维欧式空间同构的充要条件是它们的维数相同.*33. 证明：n 维欧式空间V 与'V 同构的充要条件是，存在双射f ：'V V →，并且对V 中任意向量,ξη，有,(),()f f ηξη=.*34. 设f 是欧式空间V 到'V 的⼀个同构映射. 证明：1f -是'V 到V 的同构映射.*35. 设()12,,,,1,2,,i i i in a a a i n α==是n 维欧式空间n R 的向量组. 证明：110,1,2,,;,0nnij ji j j i j a xi n x αα=====∑∑的解空间同构.*36. 证明：实系数线性⽅程组1,1,2,,nij jj j a xb i n ===∑⑴有解的充要条件是向量()12,,,nn b b b R β=∈与齐次⽅程组10,1,2,,nij j j a x i n ===∑⑵的解空间正交.*37. 设A 是n 阶正定矩阵，E 是n 阶单位矩阵. 证明：A E +的⾏列式⼤于1.。

线性代数1-5章习题1

线性代数习题集第一章行列式一、判断题1．行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零. ( )2. 213210 124121 012342=-.( )3. 13434121.42042=-( )4.123213123213123213.a a ab b bb b b a a ac c c c c c=( )5.123123123123123123.a a a a a ab b b b b bc c c c c c---------=---( )6. n阶行列式n D中元素ij a的代数余子式ij A为1n-阶行列式. ( )7. 312143 245328 836256=.( )8.111213212223313233a a aa a aa a a122r r+111213211122122313313233222+++a a aa a a a a aa a a( )9．如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零. ( )10. 如果方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零，则方程组一定有解. ( )二、选择题1．若12532453r sa a a a a是5阶行列式中带正号的一项，则,r s的值为（）．A.1,1r s ==B.1,4r s ==C.4,1r s ==D.4,4r s ==2.下列排列是偶排列的是（）A. 4312B. 51432C. 45312D. 6543213.若行列式210120312x --=-，则x =( ).A.–2B. 2C. -1D. 14.行列式0000000000a bc d e f的值等于（）. A. abcdef B. abdf - C. abdf D. cdf5.设abc ≠0，则三阶行列式00000d c b a的值是（）.A ．aB ．-bC ．0D ．abc 6.设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（）.A ．-3B ．-1C ．1D ．37.设非齐次线性方程组123123123238223105ax x x ax x x x x bx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，则,a b 必须满足（）..0,0A a b ≠≠ 2.,03B a b ≠≠ 23.,32C a b ≠≠ 3.0,2D a b ≠≠ 8. 215152521112223030223-=---是按（）展开的.A ．第2列B ．第2行C ．第1列D ．第1行9.设111211212ni i inn n nna a a D a a a a a a =则下式中（）是正确的. 1122.0i i i i in in A a A a A a A +++= 1122.0i j i j ni nj B a A a A a A +++=1122.i i i i in ni C a A a A a A D +++= 1122.i j i j ni nj D D a A a A a A =+++10. 349571214的23a 的代数余子式23A 的值为（）.A. 3B. -3C. 5D. -5 三、填空题1．排列36715284的逆序数是________.2．四阶行列式中的一项14322341a a a a 应取的符号是_______. 3.若,0211=k 则k=___________. 4.行列式1694432111中32a 元素的代数余子式A 32=____________.5.598413111=__________. 6.行列式0001001010000100=______.7.行列式0004003002001000=__________. 8.非零元素只有1n -行的n 阶行列式的值等于__________.9. 1231231238,a a a b b b c c c =则123123123222c c c b b b a a a ---=__________. 10.n 阶行列式nD 中元素ij a 的代数余子式ij A 与余子式ij M 之间的关系是ij A =__________，n D 按第j 列展开的公式是n D =__________.四、计算题1.写出五阶行列式中含1325a a 并带有正号的所有项.2.计算四阶行列式1002210002100021的值.3.求4阶行列式1111112113114111的值.4.计算行列式D =1111123414916182764的值.5. 计算行列式122224242λλλ--+---+6.计算n 阶行列式011110111101111.7. 计算n 阶行列式 00 n a D a⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;8. 计算n 阶行列式 n x a a a xaD a ax⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅五、证明题1.33()ax byay bz az bx x y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax byay bzzxy++++++=++++2.2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++六.用克拉默法则解方程1. 12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩； 2.121232343454556156056056051x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪+=⎩.七. 问λ取何值时, 齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解？第二章矩阵一、判断题1.若A 是23⨯矩阵，B 是32⨯矩阵，则AB 是22⨯矩阵. ( )2.若,AB O =且,A O ≠则.=B O ( )3. 12103425X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解110122534X -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ( ) 4.若A 是n 阶对称矩阵，则2A 也是n 阶对称矩阵. ( ) 5. n 阶矩阵A 为零矩阵的充分必要条件是0.A = ( )6. 若,A B 为同阶可逆矩阵，则11()kA kA --=. ( )7. 42042069126232110110⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. ( )8. n 阶矩阵A 为逆矩阵的充分必要条件是0.A ≠ ( )9.设,A B 为同阶方阵，则 A B A B +=+. ( )10.设 ,A B 为n 阶可逆矩阵，则 111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.( ) 二、选择题1. 若,A B 为n 阶矩阵，则下式中（）是正确的.22.()()A A B A B A B -+=- .(),=.-=≠B A B C O A O B C 且，必有222.(+)+2+B A B A AB B = .D AB A B =2.若,s n n l A B ⨯⨯，则下列运算有意义的是（）..T T A B A .B BA .+C A B .+T D A B3.若,m n s t A B ⨯⨯，做乘积AB 则必须满足（）..=A m t .=B m s .=C n s .=D n t4.矩阵1111A --⎛⎫=⎪⎝⎭的伴随矩阵*=A （）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11115.设2阶矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则*=A （） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c d C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 6. 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13110 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 7. 设2阶方阵A 可逆，且A -1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A=（）.A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3172 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21738. n 阶矩阵A 行列式为,A 则kA 的行列式为（）.A. kA B. n k A C. k A D. -k A9. 设,A B 为n 阶矩阵满足=,AB A 且A 可逆，则有（）..==A A B E .=B A E .=B B E .,D A B 互为逆矩阵10.设A 是任意阶矩阵，则（）是对称阵..(+)T T A A A .+T B A A .T C AA .T T D A AA三、填空题1.设矩阵120210001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100021013B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则2+=A B _____________2.设A=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023，B=,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB =___________. 3.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31，则A TB =____________. 4.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321(1，2，3)=__________. 5.n1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=__________. 6.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0410******** ＝______________________. 7.设2阶矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛3202，则A *A =_____________.8.设矩阵A=⎪⎭⎫⎝⎛4321，则行列式|A 2|=__________. 9.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ，且det(A)=ad-bc≠0，则A -1=__________ .10. 设 ,A B 为n 阶可逆矩阵，则 1O A B O -⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.四、计算题1．已知110123011,124,111021A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求()TA B +.2.计算下列乘积1).431712325701⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;2).3(123)21⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；3).)21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛；4).13121400121134131402⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎪-⎝⎭；5).111213112312222321323333()a a a xx x x a a a xa a a x⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.3.求矩阵方程.1)25461321X-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;2)211113210432111X-⎛⎫-⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭⎪-⎝⎭;3)142031121101X⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭;4）010100143100001201001010120X-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4.设矩阵21=53A⎛⎫⎪⎝⎭，13=20B⎛⎫⎪⎝⎭，求矩阵方程=XA B的解X.5.设321=111101A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣，求-1A .6.设101=210,325A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭求-1A7.设101=210325A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭，求-1A .8.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2500380000120025A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2600140000540023B . 求：AB BA 和9. 设A 为3阶矩阵, , 求-1(2)-5A A *.10.设(1,2,1),28,A diag A BA BA E *=-=- 求.B11.设34432022O A O ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求8A |及4A .五、证明题1. 设,A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明TB AB 也是对称矩阵.2.设,A B 为n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =.3.设为n 阶矩阵A 满足235,A A E O --=试证A E +可逆，且()14A E A E -+=-.4. 设A 为n 阶矩阵，且2,A A =且A E ≠，证明A 是不可逆矩阵.第三章矩阵的初等变换与线性方程组一、选择题1．设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则0AX =有非零解的充分必要条件是（）(A) r n = (B) r n <(C) r n ≥ (D) r n >2．设A 是m n ⨯矩阵，则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是（）(A) ()r A m < (B) ()r A n < (C) ()()r Ab r A m =< (D) ()()r Ab r A n =<3．设A 是m n ⨯矩阵，非齐次线性方程组AX b =的导出组为0AX =，若m n <，则（）(A) AX b =必有无穷多解 (B) AX b =必有唯一解 (C) 0AX =必有非零解 (D) 0AX =必有唯一解4．已知12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个不同的解，12,αα是导出组0AX =的基础解系，12,k k 为任意常数，则AX b =的通解是（） (A) 1211212()2k k ββααα-+++(B) 1211212()2k k ββααα++-+(C) 1211212()2k k ββαββ-+++ (D) 1211212()2k k ββαββ++-+5．设A 为m n ⨯矩阵，则下列结论正确的是（）(A) 若0AX =仅有零解，则AX b =有唯一解 (B) 若0AX =有非零解，则AX b =有无穷多解 (C) 若AX b =有无穷多解，则0AX =仅有零解(D) 若AX b =有无穷多解，则0AX =有非零解6．线性方程组123123123123047101x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （）(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只有零解二、判断题1．若,αβ是线性方程组Ax b =的两个解向量，则αβ-是方程组0Ax =的解。

重大社2024教材样章-线性代数习题集(第二版)

目录第一章行列式1第一节行列式的概念2 第二节行列式的性质9 第三节行列式按行(列)展开15 第四节行列式的计算19 第五节克莱姆法则21 历年考研真题集锦23第二章矩阵及其运算25第一节矩阵的概念及运算26 第二节逆矩阵33 第三节矩阵分块法42 历年考研真题集锦45第三章矩阵的初等变换与线性方程组47第一节矩阵的初等变换51 第二节矩阵的秩57 第三节线性方程组的解62 历年考研真题集锦69第四章向量组的线性相关性71第一节向量组及其线性组合73 第二节向量组的线性相关性76 第三节向量组的秩80㊃Ⅰ㊃P1 6 ih第四节线性方程组的解的结构85 第五节向量空间89 历年考研真题集锦91第五章相似矩阵及二次型93第一节向量的内积、长度及正交性97 第二节方阵的特征值与特征向量101 第三节相似矩阵107 第四节对称矩阵的对角化111 第五节二次型及其标准形113 第六节用配方法化二次型成标准形115 第七节正定二次型116 历年考研真题集锦120综合测试题一123 综合测试题二127 综合测试题三131㊃Ⅱ㊃第一章行列式知识要点1.排列:i 1,i 2, ,i n 的逆序数N (i 1i 2 i n )=i 1后面比i 1小的个数+i 2后面比i 2小的个数+ +i n -1后面比i n -1小的个数.2.n 个元素所有排列的种数为P n =n (n -1)3㊃2㊃1=n !.3.n 阶行列式的定义:a 1a 2a n a n a 2a n ︙︙a n a n a 2a n= i 1i n(-1)N (i 1 i j )a i 1 a i n.4.对角行列式λ1λ2⋱λn=λ1λ2 λn .5.关于代数余子式的重要性质: nk =1a ki A k j =D ㊃δi j =D ,i =j ,0,i ʂj ,{nk =1a i k A j k =D δi j =D ,i =j ,0,i ʂj ,{其中δi j =1,i =j0,i ʂj{为原行列式的值.6.行列式的计算方法:(1)行列式定义法;(2)用行列式的性质将行列式化为上/下三角行列式;1P1 6 ih(3)行列式按一行㊁列展开降阶法;(4)递推公式法.7.范德蒙德行列式:111x 1x 2x nx 21x 22 x 2n ︙︙︙x n -1n x n -1nx n -1n=Π1ɤj ɤi ɤn (x i -x j ).8.克莱姆法则:n 元线性方程组a 11x 1+a 12x 2+ +a 12x n =b 1,a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =b 2, a n 1x 1+a 22x 2+ +a m x n =b n ,ìîíïïïïïï 若方程组系数行列式D ʂ0,则方程组有唯一解x 1=D 1D ,x 2=D 2D , ,x n =D n D.其中D j (j =1,2, ,n )是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式.第一节行列式的概念(A )基础练习一㊁选择题1.排列145362879的逆序数为().A.8B .7C .10D.922.下列排列中,()是偶排列.A.54312B .51432C .38162754 D.6543213.下列各项中,()为某4阶行列式中带正号的项. A.a 14a 23a 31a 42B .a 11a 23a 32a 44C .a 12a 23a 34a 41D.a 13a 24a 31a 424.若行列式λ2λ31的值为0,则λ=( ). A.-1或3 B .0或3 C .1或-3D.-1或-35.行列式0101101001000011的值是( ).A.-1 B .-2C .1D.26.行列式000λ100 λ20︙︙︙︙λn的值为( ).A.0B .λ1λ2 λnC .(-1)n (n -1)2λ1λ2 λnD.-λ1λ2 λn二㊁填空题1.34215352152809229092=.2.行列式1000020000300004=.3.行列式10002300456078910=.3 第一章行列式P1 6 ih4.行列式12000200120020-10200300-12004 0002005=.5.行列式0001003005007000=.三㊁计算题1.用对角线法则计算二阶行列式. (1)1314(2)21 -12(3)1l o g b al o g a b1(4)a ba2b242.用对角线法则计算三阶行列式. (1)011101110 (2)111314895(3)1233212315 第一章行列式P1 6 ih(B )提高练习一㊁填空题1.要使排列(3729m 14n 5)为偶排列,则m =,n =.2.若a 1i a 23a 35a 5ja 44是五阶行列式中带有正号的一项,则i =,j =.3.关于x 的多项式-x11x -x x 12-2x 中含x 3,x 2项的系数分别是,.4.31x 4x 010xʂ0,则x 应满足的条件是.二㊁用对角线法则计算三阶行列式1.a b c b c a c a b.62.x y x+y y x+y xx+y x y.3.111 a b ca2b2c2.三㊁利用行列式的定义计算行列式1.00 0100 20︙︙︙︙0n-1 00n0 00.7第一章行列式P1 6 ih2.010 00020︙︙︙︙000 n -1n.3.a 11a 12a 13a 14a 15a 21a 22a 23a 24a 25a 31a 32000a 41a 42000a 51a 52.4.1110010101110010.8第二节行列式的性质(A )基础练习一㊁选择题1.行列式3a 1b 1c 1a 2b 2c 2a 3b 3c 3=().A.3a 1b 1c 1a 23b 2c 2a 3b 33c 3B .3a 13b 13c 13a 23b 23c 23a 33b 33c 3C .3a 1-3b 13c 1a 2b 2c 2a 3b 3c 3D.3a 13b 13c 1a 2b 2c 2a 3b 3c 32.已知四阶行列式A 的值为2,将A 的第3行元素乘以-1加到第4行的对应元素上去,则现行列式的值为(). A.2 B .0C .-1 D.-23.设D =a +m c +e b +nd +f,则D =().A.a c b d +m en f B .a c b d +m c n d +a e b f +m en f C .a c n d +m e b fD.m a b n +c ed f 4.设行列式D 1=abc +aa 1b 1c 1+a 1a 2b 2c 2+a 2,D 2=abca 1b 1c 1a 2b 2c 2,则D 1=().A.0 B .D 2C .2D 2D.3D 25.设行列式x y z403111=1,则行列式2x 2y 2z 4301111=().A.23B .1C .2D.836.设行列式D =a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33=3,D 1=a 115a 11+2a 12a 13a 215a 21+2a 22a 23a 315a 31+2a 32a 33,则D 1的值为().A.-15 B .-6C .6D.157.214-13-12-1123-256-2的值为().A.1B .2C .0 D.-1二㊁计算下列行列式1.4251625170929092.2.a +b c 1b +c a 1c +a b 1.3.D=246427327 1014543443 -342721621.4.D=1234124314234123.5.a 100-1b 100-1c1-1d.6.a 1-b 1a 1-b 2a 1-b n a 2-b 1a 2-b 2a 2-b n ︙︙︙a n -b 1a n -b 2a n -b n.7.1+x 11111-x 11111+y 11111-y .(B )提高练习一㊁选择题1.设D =a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33=1,则D =4a 114a 11-3a 12a 134a 212a 21-3a 22a 234a 312a 31-3a 32a 33=( ). A.0 B .-12 C .12D.12.方程111112-2x144x218-8x 3=0的根为(). A.1㊁2㊁-2 B .1㊁2㊁3 C .1㊁-1㊁2 D.0㊁1㊁23.三阶行列式1+a 11111+a 21111+a 3的值为(),其中a 1,a 2,a 3均不为0.A.(1+a 1)(1+a 2)(1+a 3)B .a 1a 2a 31+1a 1+1a 2+1a 3æèçöø÷C .a 1a 2a 31a 1+1a 2+1a 3æèçöø÷D.以上均不对二㊁计算题1.设f (x )=x 1233x 1223x 1123x,求f (4).2.计算D =1+a 111111+a 211111+a 311111+a 4的值(其中a 1a 2a 3a 4ʂ0).三㊁证明题1.a 2a b b22a a +b 2b 111=(a -b )32.a x +b y a y +b z a z +b x a y +b z a z +b x a x +b y a z +b x a x +b y a y +bz =(a 3+b 3)x y z y z x z x y第三节行列式按行(列)展开(A )基础练习一㊁选择题1.设A =208-315297éëêêêêùûúúúú,则代数余子式A 12=(). A.-31 B .31 C .0 D.-112.行列式a b c d e f g h k中元素f 的代数余子式是().A.d eg hB .-a b g hC .a bg hD.-d e g h3.已知四阶行列式D 中第3列元素依次为-1,2,0,1,它们的余子式依次分别为5,3,-7,4,则D =( ). A.-15 B .15 C .0D.14.四阶行列式D 4=1020020330400401的值为().A.20B .-20 C .10 D.-10二㊁计算题1.求D =-3045032-21中元素a 23,a 31的余子式和代数余子式.2.设行列式D =a b c b a c d b c,求代数余子式A 11+A 21+A 31.3.计算D6=a30000b3 0a200b20 00a1b100 00c1d100 0c200d20 c30000d3.4.计算行列式2c o sθ100 12c o sθ10 012c o sθ1 0012c o sθ.(B)提高练习1.设B=1-523000114-262351,计算B41+B42+B43+B44,B i j为B的(i,j)位元素的代数余子式.2.计算行列式D=1-11x-1 1-1x+1-1 1x-11-1 x+1-11-1.3.计算行列式123 n -103 n -1-20 n ︙︙︙︙-1-2-3 0.第四节行列式的计算1.计算行列式D=2-512 -37-14 5-927 4-612.2.计算行列式D=406-3 7091 -8-2710 5055.3.计算行列式D=2+x22222-x22222+y22222-y.4.计算行列式D n=1+x21x1x2x1x3 x1x n x2x11+x22x2x3 x2x n x3x1x3x21+x23 x3x n ︙︙︙︙x n x1x n x2x n x3 1+x2n.5.计算行列式D n=a b b bb a b b b b a b ︙︙︙︙b b b a.6.计算行列式D n =a 011 11a 10 010a 20︙︙︙︙1a n,其中a 1a 2 a 0ʂ0.第五节克莱姆法则1.用克莱姆法则解方程组:5x 1+6x 2=1x 1+5x 2+6x 3=0x 2+5x 3+6x 4=0x 3+5x 4+6x 5=0x 4+5x 5=1ìîíïïïïïïïï2.用克莱姆法则解方程组:x 1+x 2+x 3+x 4=5x 1+2x 2-x 3+4x 4=-22x 1-3x 2-x 3-5x 4=-23x 1+x 2+2x 3+11x 4=0ìîíïïïïïï3.问λ取何值时,齐次线性方程组(1-λ)x 1-2x 2+4x 3=02x 1+(3-λ)x 2+x 3=0x 1+x 2+(1-λ)x 3=0ìîíïïïï有非零解?4.问λ,μ取何值时,齐次线性方程组λx 1+x 2+x 3=0x 1+μx 2+x 3=0x 1+2μx 2+x 3=0ìîíïïïï有非零解?历年考研真题集锦1.(1996数一)四阶行列式a 10b 10a 2b 200b 3a 30b 400a 4的值等于().A.a 1a 2a 3a 4-b 1b 2b 3b 4B .a 1a 2a 3a 4+b 1b 2b 3b 4C .(a 1a 2-b 1b 2)(a 3a 4-b 3b 4)D.(a 2a 3-b 2b 3)(a 1a 4-b 1b 4)2.(1992数二)记行列式x -2x -1x -2x -32x -22x -12x -22x -33x -33x -24x -53x -54x4x -35x -74x -3为f (x ),则方程f (x )=0的根的个数为().A.1B .2C .3D.43.(2001数四)设行列式D =304022220-753-22,则第4行各元素余子式之和的值为.4.(1996数四)五阶行列式D =1-aa000-11-a a0b -11-a a 000-11-a a0-11-a=.5.(1999西安电子科大)计算n +1阶行列式D n +1=011 11a 10 010a 20︙︙︙︙1a n.其中,a i ʂ0,i=1,2, ,n.6.(1998西安电子科大)计算行列式Δ=a a a a -a a x x -a-a x x -a-a-a x.。

线性代数(经管类)综合习题集(精心整理)

线性代数(经管类)综合习题集(精心整理)线性代数（经管类）综合试题一一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设D=M≠0，则D^-1=(B)．A.－2MB.2MC.－6MD.6M2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB=AC必能推出B=C，则A应为(|A|≠)．A.A≠OB.A=OCC.|A|=0D.|A|≠03.设A，B均为n阶方阵，则(A)．A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)^2=A^2+2AB+B^2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)^-1=B^-1A^-14.二阶矩阵A=[a b。

c d]，|A|=1，则A^-1=(B)．A.[-d b。

c -a]B.[d -b。

-c a]C.[-d -b。

-c -a]D.[d b。

c a]5.已知向量组{α1.α2.α3}与{β1.β2.β3}等价，则下列说法正确的是(B)．A.若两向量组等价，则s = t.B.若两向量组等价，则r(α1.α2) = r(β1.β2).C.若s = t，则两向量组等价.D.若r(α1.α2) =r(β1.β2)，则两向量组等价.6.向量组{α1.α2.α3}中，若有向量能由其余向量线性表示，则该向量组(B)．A.线性无关B.线性相关C.无法确定D.以上都不对7.设向量组{α1.α2.α3}与{β1.β2.β3}都是n维向量组，且r(α1.α2) = r(β1.β2)，则下列成立的是(C)．A.r与s未必相等B.r+s=mC.r=sD.r+s<n8.对方程组Ax=b与其导出组Ax=0，下列命题正确的是(D)．A.Ax = 0有解时，Ax = b必有解.B.Ax = 0有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C.Ax = b无解时，Ax = 0也无解.D.Ax = b有惟一解时，Ax = 0只有零解.9.设方程组Ax=b有非零解，则k=(D)．A.2B.3C.-1D.110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是(D)．A.|A|>0B.存在n阶方阵C使A=CTCC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设向量组{α1.α2.α3}线性无关，向量β可由α1，α2，α3线性表示，则β的表示式中，α1，α2，α3的系数不能全为__________。

04184 线性代数(经管类)习题集及答案

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2.已知向量组 A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T B b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T 证明 A 组与 B 组等价
求 A2
A3
Ak
(2)设
A
0 0
1 0
0 1
求 Ak
7.
(1)设 A
3 1
13 ，求 A50 和 A51
(2)设 a
2 1
,
b
1 2
,
A
ab T , 求A100
3 4
8.(1)设 A B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BTAB 也是对称矩阵 (2)设 A B 都是 n 阶对称矩阵，证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 ABBA
16.
设有线性方程组
1 0
1 2
2 1
x1 x2
1 3
，问取何值时
(1)有唯一解 (2)无0 解 0(3)有2无穷1多 x个3 解?5并在有无限多解时求其解.
17.取何值时
非齐次线性方程组
x1x1 xx22
x3 x3
1
(1)有唯一解 (2)无解 (3)有无穷x1多个x2解 ?并x3 在有2 无限多解时求其解.
34xx11
x2 x2
2 x3 3x3
7 x4 6x4
0 0
x1 2x2 5x3 5x4 0
(4)
3742xxxx1111
43xx22
53xx33
27xx44
0 0
121xx22x133x33 x4160x4
0
14.求解下列非齐次线性方程组:
(1)
34xx11
2x2 x3 x2 2x3
11. 设 J 是元素全为 1 的 n(>=2) 阶方阵，证明 E-J 是可逆方阵，且
（E - J）-1
E-
1 n -1
J
，这里
E
是与
J
同阶的单位矩阵。
12.设 AkO (k 为正整数) 证明(EA)1EAA2 Ak1 13.设方阵 A 满足 A2A2EO 证明 A 及 A2E 都可逆并求 A1 及(A2E)1
14.解下列矩阵方程
(1) 12
53X
24
16
(2)
X
2 2 1
1 1 1
101 14
1 3
23
(3)
1 1
24X
2 1
10 03
11
（4）AXB=C其中
A
2 5
1 4
,
B
1 1
3 4
3 3
,C
1 1
13 4
0 2
1 0
.
15.分别利用克拉默法则和逆矩阵解下列线性方程组
(1) 2xx1122xx2235xx3312 3x1 5x2 x3 3
4.设 A11 32 B 11 02 问
(1)ABBA 吗? (2)(AB)2A22ABB2 吗? (3)(AB)(AB)A2B2 吗?
5.举反列说明下列命题是错误的 (1)若 A20 则 A0 (2)若 A2A 则 A0 或 AE (3)若 AXAY 且 A0 则 XY
6.
(1)设
A
1
10
(2)
x1 x2 x1 2x2
x3 2 4x3 3
x1 3x2 9x3 5
16设 A 为 3 阶矩阵
|
A|
1 2
求|(2A)15A*|
17.
设
A
0 1 1
3 1 2
033
ABA2B
求 B
18.设
A
1 0 1
0 2 0
110
且 ABEA2B
求 B
19.设 Adiag(1 2 1) A*BA2BA8E 求 B
2 0 1 1
1 5 3 3
A31 3A32 2 A33 2 A34 .
第二章矩阵及其运算
1.计算下列乘积
(1)
154
3 2 7
103172
(2) (1 2 3)123
(3)
132(1
2)
(4)
2 1
14 1 3
041104
3 1 3 0
1 2
12
(5)
(x1
x2
x3)
a11 a12 a13
1 0 1
7.在秩是 r 的矩阵中,有没有等于 0 的 r1 阶子式? 有没有等于 0 的 r 阶子式?
8.从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B 问 A B 的秩的关系怎样?
9.求作一个秩是 4 的方阵它的两个行向量是 (1 0 1 0 0) (1 1 0 0 0)
10.求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式
(1) OB
A O
1
(2) CA
O B
1
28.求下列矩阵的逆阵
(1)
5 2 0 0
2 1 0 0
0 0 8 5
00 32
(2)
1 1 2 1
0 2 1 2
0 0 3 1
00 04
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
1 用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵
(1)
1 2 3
0 0 0
2 3 4
18.非齐次线性方程组
x12x21 x2x2
x3 x3
2
x1 x2 2x3 2
当取何值时有解？并求出它的解
19.设
(22x21x1()5x41x2 2)xx(22542xx)33x312
1
问为何值时
此方程组有唯一解、无解或
有无穷多解? 并在有无穷多解时求解
20.证明 R(A)1 的充分必要条件是存在非零列向量 a 及非零行向量 bT 使 AabT
2 10
11x1 3x2 8
2x 3y z 4 (2) 34xxx28yyy942zzz1653
(3)
42xx
y z w1 2y 2z w
2
2x y z w1
(4) 32xx2yyzzw3w1 4 x 4y 3z 5w 2
15.写出一个以 xc10231c20421为通解的齐次线性方程组
(1) 311
1 1 3
0 2 4
241 ;
(2) 723
2 1 0
1 3 5
3 1
1
831
(3) 22
3 1
18 3 0 2 5
03
3 7 8 2
7005
11.设 A、B 都是 mn 矩阵证明 A~B 的充分必要条件是 R(A)R(B)
12.设
A
1 1 k
2 2k 2
3k33
问 k 为何值
可使
(1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3
13.求解下列齐次线性方程组:
(1) 22x1xx11 x22x2x22xx33x3 xx442x4000 (2) 53x1xx11 216x0x2 2x2xx3 3x3x345x4x04 00
2x1 3x2 x3 7x4 0
(3)
第一章行列式
1 利用对角线法则计算下列三阶行列式
2 (1) 1
1
0 84
1 1 3
a (2) b
c
b c a
c a b
1 (3) a
a2
1 b b2
1 c c2
(4)
x y
x y
y x y
x
x y x y
2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 (2)4 1 3 2 (3)3 4 2 1 (4)2 4 1 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2
a12 a22 a23
a13 a23 a33
x1 x2 x3
2.
设
A111
1 1 1
111
B 101
2 2 5
143
求 3AB2A 及 ATB
3.已知两个线性变换
xxx13224yy211y1 yy323y25y32y3
y1 y2 y3
23zz12z1z33zz23
求从 z1 z2 z3 到 x1 x2 x3 的线性变换
an1 ann
D1
a11
a1n
a1n ann
D2
a11
an1
ann
D3
an1
a1n
a11
n(n1)
证明 D1 D2 (1) 2 D D3D
8计算下列各行列式(Dk 为 k 阶行列式)
(1) a
Dn 1
1,
a
其中对角线上元素都是 a
未写出的元素都是 0
(2)
Dn
3.
设Байду номын сангаас
A
5 2
3 1
1 1
（1）求一个可逆矩阵 P，使 PA 为行最简形矩阵.
（2）求一个可逆矩阵 Q，使 QAT 为行最简形矩阵.
4.试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵
(1) 333
2 1 2
153
(2)
03 01
2 2
2 1
0 2 3 2
11 21
5.试利用矩阵的初等行变换，求解
311
(2) 000
2 3 4
3 4 7
311
(3)
1 3 2 3
1 3 2 3
3 5 3 4
4 4 2 2
31 01
(4)
2 1 3 2
3 2 2 3