03曲面及其方程、二次曲面27851
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2.1.曲面及其方程ppt课件
z
圆
柱
l
面
oo
y
x
注意：在空间直角坐标系，缺项方程〔不完全方程〕的 图形是柱面.
:
18
z
(1) y 2 2 x 表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
o
(2) x y 0表示母线平行于
z 轴的平面.
x
z
(且 z 轴在平面上)
注意：描述柱面只须指出
其准线及母线.
o
x
准线
:
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种常见的二次曲面．
:
23
(1) 椭球面
z
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0
x
和y = 0去截割,分别得椭圆
x 2 a2
三元二次方程
椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
抛物面
椭圆抛物面
双曲抛物面
(p,q同号) x 2 y 2 z 2 p 2q
x2 y2 z
2 p 2q
双曲面 单叶双曲面
双叶双曲面
椭圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 a2
y2 b2
z2
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
dx2y2 |y1|
将 z z1 , y 1 x 2y2代入 f(y1,z1)0
:
10
将 z z 1 , y 1 x 2 y 2代入 f(y1,z1)0
得方程 f( x2y2, z)0.
常见曲面方程
常见曲面方程常见曲面方程曲面是三维空间中的一种图形，它可以用数学方程来描述。
在实际应用中，我们经常需要用到各种曲面方程来建立模型，进行计算和分析。
本文将介绍一些常见的曲面方程及其特点。
一、二次曲面1. 球面球面是以某个点为圆心，在空间中任意半径的圆所围成的几何体。
它的方程为：$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$$其中 $(a,b,c)$ 是球心坐标，$r$ 是半径。
球面具有以下特点：① 对称性：球面对称于以其圆心为中心的任意平面。
② 等距性：从球心到球面上任意一点的距离都相等。
③ 曲率：球面上任意一点处的曲率半径都相等。
2. 椭球面椭球面是一个类似于椭圆形状的三维几何体。
它的方程为：$$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}+\frac{(z-c)^2}{c^2}=1$$其中 $(a,b,c)$ 是椭球中心坐标，$a,b,c$ 分别是椭球在 $x,y,z$ 轴上的半轴长度。
椭球面具有以下特点：① 对称性：椭球面对称于以其中心为中心的任意平面。
② 等距性：从椭球中心到表面上任意一点的距离都相等。
③ 曲率：椭球面上不同点处的曲率半径不同。
3. 椭圆抛物面椭圆抛物面是一个类似于抛物线形状的三维几何体。
它的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$$其中 $a,b$ 分别是抛物线在 $x,y$ 轴上的半轴长度。
椭圆抛物面具有以下特点：① 对称性：椭圆抛物面对称于以其顶点为中心的平面，且对称轴与$z$ 轴平行。
② 焦点性质：椭圆抛物线具有焦点性质，即从焦点出发的光线经过反射后汇聚于另一个焦点。
③ 曲率：不同位置处曲率半径不同，但沿着其主轴方向曲率半径相等。
4. 双曲抛物面双曲抛物面是一个类似于双曲线形状的三维几何体。
它的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$$其中 $a,b$ 分别是双曲线在 $x,y$ 轴上的半轴长度。
曲面及其方程、二次曲面ppt课件
37
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
38
柱面举例 抛物柱面
平面
39
一般地，已知准线方程
母线平行于 z 轴的柱面方程为： 注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母线平行于z轴的柱面。 一般地，在空间直角坐标下
8
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
9
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
17
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
18
所求方程为
4
解 根据题意有
化简得所求方程
5
例4 方程 解 根据题意有
的图形是怎样的？
图形上不封顶，下封底．
6
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
7
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线分 别称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
38
柱面举例 抛物柱面
平面
39
一般地，已知准线方程
母线平行于 z 轴的柱面方程为： 注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母线平行于z轴的柱面。 一般地，在空间直角坐标下
8
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
9
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
17
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
18
所求方程为
4
解 根据题意有
化简得所求方程
5
例4 方程 解 根据题意有
的图形是怎样的？
图形上不封顶，下封底．
6
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
7
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线分 别称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
03曲面及其方程、二次曲面27851
0
圆锥面方程
M(0, y, z)
o
y
zx2y2co t x
2019/7/24
9
高等数学（下）主讲杨益民
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
2019/7/24
播放
10
柱面举例
高等数学（下）主讲杨益民
（4）用平面 xx1或yy1去截；
z
o
x
2019/7/24
y
17
高等数学（下）主讲杨益民
椭圆抛物面的图形如下： z
z o y
x
xo
y
p0, q0
p0, q0
特殊地：当p=q时，方程变为
x2 y2 z 2p 2p
旋转抛物面
2019/7/24
18
高等数学（下）主讲杨益民
（2）双曲抛物面（马鞍面）
x2 a2
z2 c2
1
表示什么曲面？
回顾
1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。
2. A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0 表示一张球面。
3. A xB yC zD 0表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
2019/7/24
3
高等数学（下）主讲杨益民
例4 方程 z (x 1 )2 (y 2 )2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z1
用平面z c去截图形得圆：
z
( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 c( c 1 )
二次曲面【高等数学PPT课件】
（一）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1(
x
a,
y
b,
z
c)
椭球面与三个坐标面的交线：
x
2
a
2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
y
0
z2 c2
1,
z
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
z
o
o
y
y
y
x
x
x
（二）双曲面
第八节 二 次 曲 面
二次曲面的定义：
a11 x2 a22 y2 a33 z2 2a12 xy 2a23 yz
2a13 xz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌．
z
z
z
o
y
o
x oy x
y x
z x2 y2 y x2 z2
x y2 z2
(2)
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2
z（ p 与 q 同号）
pq
z
o x
z o x
y
z x>0x<0
o y
y x
x2 y2 z
pq
y>0
y<0
x2 y2 z
二次曲面形的性质及求法
二次曲面形的性质及求法二次曲面是一个重要的数学概念，它在图像处理、物理学、工程学等领域中都有重要的应用。
本文将介绍二次曲面的性质及其求法。
一、二次曲面的定义二次曲面是指具有二次项（或更高次项）的二元多项式所构成的曲面。
一般二次曲面的方程可以写为以下形式：$$ax^2+by^2+cz^2+2fxy+2gxz+2hyz+d=0$$其中，$a,b,c,f,g,h$和$d$均为实数，并且至少其中一项系数不为零。
二、二次曲面的性质1.对称性对于任意一个二次曲面，它都具有以下三种对称性：（1）关于$x$轴的对称性当$a=b$且$f=g=h=0$时，二次曲面具有关于$x$轴的对称性。
（2）关于$y$轴的对称性当$a=c$且$f=h=g=0$时，二次曲面具有关于$y$轴的对称性。
（3）关于$z$轴的对称性当$c=b$且$h=g=f=0$时，二次曲面具有关于$z$轴的对称性。
2.焦点和直线二次曲面的焦点是指使二次曲面上的所有点到其确定的两个固定点的距离之比等于一个定值的点对。
二次曲面的焦线是指对于二次曲面上的任一点，都满足其到焦点的距离与到焦线的距离之比等于一个定值。
3.标准形式通过线性代数的方法，可以将任意一个二次曲面通过坐标变换，化为以下标准形式：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$其中，$a,b,c$为正实数，分别代表$x,y,z$轴上的半轴长。
三、二次曲面的求法1.第一种方法：配方法配方法是求解二次曲面的一种基本方法。
通过将二次曲面的方程变形为一个平方差式，来实现对二次曲面的求解。
例如，对于方程$4x^2+y^2+z^2+4xy+4xz+2yz=1$，可以通过配方法将其变为以下形式：$$\bigg(2x+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\bigg)^2+\frac{3}{4}y^2+\frac{3} {4}z^2=1$$我们最终得到的形式就是一个椭球面的标准形式。
曲面及其方程-PPT
则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程 曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形. ➢两个基本问题 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
求曲面方程. (2) 已知方程时,研究它所表示的几何形状
F(x, y, z) 0
z S
oy x
(必要时需作图).
例1 求动点到定点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) z
z
➢概念
一条平面曲线绕其平面上
C
一条定直线旋转一周 所形成的曲面.
M (x, y, z)
M1 (0, y1, z1 )
旋转曲线
母线
o y
定直线
轴
x
➢旋转曲面的方程
f ( x2 y2 , z) 0
给定yoz面上曲线C: f ( y, z) 0
在曲线C上任取一点M1(0,y1,z1)
曲线C绕z轴旋转
z2 c2
1
( a,b,c为正数)
z
(1) 范围：
x
y
x a, y b, z c
(2) 在垂直坐标面的平面上的截痕：椭圆
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
z t
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
x t
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
y t
(3) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
z
1. 椭圆锥
z
面
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt ) 2
1,
zt
o yy xx
二次曲面
(1) 平面
y x
(2) 圆柱面
(3) 抛物柱面
(4) 椭圆柱面
x 2 y 2 R2
x 2 2 py ( p 0)
x2 y2 2 1 2 a b
空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
[2] 空间曲线的参数方程
（1）球面
2 2 2
（2）圆锥面
（3）旋转双曲面
2
x y z 1
x y z
2 2Biblioteka x2 y2 z2 2 2 1 2 a a c
[2] 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
这条定曲线叫柱面 的准线，动直线叫 柱面的母线.
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
消去变量z后得： H ( x , y ) 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线， 垂直于所投影的坐标面.
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z
z1 ( | z1 | c )的交线为圆.
2 2 a 2 2 2 x y ( c z 1) 2 . 截面上圆的方程 c z z1
( 2) a b c ,
x2 y2 z2 2 2 1 球面 2 a a a
二次曲面的方程与图形ppt课件
x2 a2
z
所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.
.
7
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
a x2 2by2 2cz2 21(a,b,c为正 ) 数 x O
y
平面 zz1上的截椭痕 圆.为
平面 y y1上的截痕情况:
1) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
cz22
1yb122
y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
(p,q同号) x2 y 2 z 2 p 2q
双曲抛物面
x2 y2 z 2p 2q
• 双曲面: 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
.
12
平面 yy1上的截双痕 曲线为 平面 xx1上的截双痕 曲线为 x
Oy
平面 zz1(z1c)上的截 椭圆痕为
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
.
10
z
4. 椭圆锥面
z
ax22by22z2 (a,b为正) 数
在平z面 t上的截痕 椭圆为
x2 (at)2
.
3
x2 a2
by22
cz22
1
(a,b,c为正数)
(3) 截痕: 与 zz1(z1c)的交线为椭圆： ac22(c2x2z12)bc22(c2y 2z12)1
z
z z1
同样 yy1(y1b)及 xx1（ x1a） 的截痕
二次曲面参数方程
二次曲面参数方程
二次曲面是由二次方程定义的曲面，它通常可以用参数方程来表示。
以下是几个常见的二次曲面的参数方程：
椭球面：x = a * cos(u) * sin(v) y = b * sin(u) * sin(v) z = c * cos(v)
其中，u和v是参数，a、b、c分别是x、y、z轴上的半轴长度。
长方体面：x = a * cos(u) y = b * sin(u) z = c * sin(v)
其中，u和v是参数，a、b、c分别是x、y、z轴上的长度。
双曲面：x = a * cosh(u) * cos(v) y = b * cosh(u) * sin(v) z = c * sinh(u)
其中，u和v是参数，a、b、c分别是x、y、z轴上的缩放因子。
抛物面：x = u y = v z = au^2 + bv^2
其中，u和v是参数，a、b是曲面的形状参数。
这只是一些常见的二次曲面的参数方程示例，实际上还有许多其他类型的二次曲面。
通过选择不同的参数和形式，可以生成各种不同形状的二次曲面。
高数课件30空间几何5二次曲面
聚焦和散射： 二次曲面可以 用于聚焦和散
射光线
成像和投影： 二次曲面可以 用于成像和投
影
光学器件设计： 二次曲面可以 用于设计光学 器件，如透镜、
反射镜等
二次曲面在其他领域的应用
建筑设计：二次曲面在建筑设计中的应用广泛，如悉尼歌剧院、北京鸟 巢等 工业设计：二次曲面在工业设计中的应用，如汽车车身设计、飞机机翼 设计等
二次曲面在微分几何对象的
微分性质
二次曲面：在 空间中具有二 次方程的曲面
应用：二次曲 面在微分几何 中常用于描述 曲面的性质， 如曲率、挠率
等
例子：二次曲 面在微分几何 中的应用包括 球面、椭球面、
抛物面等。
二次曲面在几何光学中的应用
反射和折射： 二次曲面可以 模拟光线的反 射和折射现象
二次曲面的投影作图法
投影法：将二次曲面投影到平面上，得到 投影曲线
投影曲线：二次曲面的投影曲线是二次曲 线
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了 二次曲面的性质
投影曲线的作图方法：根据二次曲线的性 质，选择合适的作图方法
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了 二次曲面的性质
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了 二次曲面的性质
机遇：二次曲面在数学建模中 的广泛应用
机遇：二次曲面在数学建模中 的创新和优化
二次曲面与其他数学知识的 联系
第五章
二次曲面与线性代数的联系
二次曲面的方程可以表示为线性代数中的二次型 二次曲面的切平面可以用线性代数中的向量和矩阵来表示 二次曲面的曲率可以用线性代数中的矩阵和向量运算来计算 二次曲面的投影可以用线性代数中的矩阵和向量运算来计算
二次曲面的几何变换作图法
平移变换：将二次曲面沿某个方向移动一定距离 旋转变换：将二次曲面绕某个点旋转一定角度 缩放变换：改变二次曲面的大小和形状 反射变换：将二次曲面沿某个轴线进行反射 复合变换：将上述几种变换组合使用，实现更复杂的作图效果
0703曲面及其方程-2
2
x2
y2
z2
z
作截线
a
2
+
y b
2
2
−
z
2 2
c
=1
x
o
y
z=t
x
2
t 22 t 22 [a 1 + ( ) ] [b 1 + ( ) ] c c
+
y
2
=1
椭圆
z=t
(6)
+ 2 − 2 =1 a2 b c
+ 2 − 2 =1 a2 b c x2 y2 z2
x2
y2
z2
z
作截线
o x
y
x=0
y2 b
习题 7-3 ( P319 ): 10(2), 11(3)
x x
o
y
双叶双曲面
椭圆抛物面
(9)
− 2 = z 双曲抛物面 马鞍面 双曲抛物面,马鞍面 马鞍面* 2 a b z
x2
y2
y
o
以y = 0截此曲面, → z = 截此曲面
x2 a
2
x
, 抛物线 ;
t2
, 以 x = t截此曲面 →
, 抛物线 ; 2 2 b a x2 y2 以 z = t(t ≠ 0)截此曲面, → − = t, 双曲线 . 2 2 a b
λ
y, z) = 0.
例： 已知圆锥面∑ : x2 + y2 = a2z2,
b 沿y方向伸缩 倍 a 2 2 a ∑′ : x + ( y) = a2z2, b
即∑′ : x2 a
2
+
y2 b
2
= z , 椭圆锥面 .
x2
y2
z2
z
作截线
a
2
+
y b
2
2
−
z
2 2
c
=1
x
o
y
z=t
x
2
t 22 t 22 [a 1 + ( ) ] [b 1 + ( ) ] c c
+
y
2
=1
椭圆
z=t
(6)
+ 2 − 2 =1 a2 b c
+ 2 − 2 =1 a2 b c x2 y2 z2
x2
y2
z2
z
作截线
o x
y
x=0
y2 b
习题 7-3 ( P319 ): 10(2), 11(3)
x x
o
y
双叶双曲面
椭圆抛物面
(9)
− 2 = z 双曲抛物面 马鞍面 双曲抛物面,马鞍面 马鞍面* 2 a b z
x2
y2
y
o
以y = 0截此曲面, → z = 截此曲面
x2 a
2
x
, 抛物线 ;
t2
, 以 x = t截此曲面 →
, 抛物线 ; 2 2 b a x2 y2 以 z = t(t ≠ 0)截此曲面, → − = t, 双曲线 . 2 2 a b
λ
y, z) = 0.
例： 已知圆锥面∑ : x2 + y2 = a2z2,
b 沿y方向伸缩 倍 a 2 2 a ∑′ : x + ( y) = a2z2, b
即∑′ : x2 a
2
+
y2 b
2
= z , 椭圆锥面 .
二次曲面的方程和图形
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
z
z
O yy xx
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
得到)
内容小结 二次曲面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号)
2p 2q
Oy
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
O
x
y
椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
z
双曲抛物面
y2 b2
x2 a2
z
所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 a2
y2 b2
1,
z 0
y2 b2
z2 c2
1,
x 0
x2 a2
z2 c2
1
y 0
x2 a2
y2 b2
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
( a,b,c 为正数)
x
O
y
平面 z z1 上的截痕为椭圆.
曲面及其方程
y
绕 y 轴一周
得 :旋转单叶双曲面
o
a
x
x2 + z2 y2 − 2 =1 2 a b
z
.
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
x
绕 x 轴一周
0
y
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
x
绕 x 轴一周
z
.
0
y
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
yoz 面上直线方程为 z = y cot α
x
α
圆锥面方程
o
y
z = ± x 2 + y 2 cot α
例5 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x y （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 y 轴和 x轴； a b
绕 y 轴旋转,得
x2 + z2 a2 − y2 b2 = 1 旋转单叶双曲面
⎧ f ( y, z ) = 0 绕 z 轴 曲线 C : ⎨ ⎩x = 0
z
旋转一周得旋转曲面 S
P M
N ( 0, y 1 , z 1 )
.
∀ M(x,y,z) ∈ S
f (y1, z1)=0
z1 = z
.
S
z o
z1
C
| y1 |= MP =
x +y
2
2
y1
y
y1 = ± x 2 + y 2
∴ S： f ( ± x + y , z ) = 0
4⎞ 116 2⎞ ⎛ 2 ⎛ ⎜ x + ⎟ + ( y + 1) + ⎜ z + ⎟ = 3⎠ 9 3⎠ ⎝ ⎝
03曲面及其方程、二次曲面27851 35页PPT
cz22
1
双叶双曲面
z
o
y
x
oy x
30.08.2019
21
高等数学（下）主讲杨益民
习题8－3 4，5，7，8，9，10，11
30.08.2019
22
Thank you
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
30.08.2019
8
高等数学（下）主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
C
:
30.08.2019
15
高等数学（下）主讲杨益民
椭球面的几种特殊情况：
(1)
ab,
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 z2
a2
c2
1
或
y2 b2
z2 c2
1
y 0
x 0
绕z轴旋转而成。
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
30.08.2019
3
高等数学（下）主讲杨益民
例4 方程 z (x 1 )2 (y 2 )2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z1
用平面z c去截图形得圆：
z
( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 c( c 1 )
当平面z c上下移动时，得
目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。
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面的方程。
例3 方程 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0 表示
什么图形？
一般地，三元二次方程（不含交叉项且平方项系数相同）
Ax2 Ay2 Az2 Bx Cy Dz E 0
表示空间的一张球面。
一些特殊平面
用截痕法讨论几种特殊曲面（特别二次曲面）
2020年8月15日星期六
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
C:
f ( y, z)
x
0
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为：f ( x2 y2 , z) 0
证明： 旋转曲面如图
z
设M(x, y, z)为旋转曲面S上任意一点， (0, 0, z)
显然，M一定是由母线C上某点 M1(0, y1, z1)旋转得到， 即
x2 z2 例6 求xoz坐标面的上双曲线C： a2 c2 1 分别绕x轴和z轴 一周生成的旋转曲面的方程。 y 0
解： 绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
o
y
半径随 c 的增大而增大。
x
图形上不封顶，下封底。
2020年8月15日星期六
4
二、旋转曲面
高等数学（下）主讲杨益民
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
2020年8月15日星期六
播放 5
高等数学（下）主讲杨益民
C:
z
0
母线平行于 z 轴的柱面方程为：f ( x, y) 0
注意：方程 f ( x, y) 0 中缺z，表示z可以任意取值，所以 方程 f ( x, y) 0 表示母线平行于z轴的柱面。
一般地，在空间直角坐标下
f ( x, y) 0（缺z）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
f ( x, z) 0（缺y）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
z
轴的
柱面方程为： f ( x, y) 0
四、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。
目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。
即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 （即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。
2020年8月15日星期六
14
高等数学（下）主讲杨益民
（一）椭球面
3. Ax By Cz D 0 表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
2020年8月15日星期六
13
高等数学（下）主讲杨益民
f ( x2 y2 , z) 0
5.
xoy平面上的准线方程
C:
f (x, z 0
y)
0
母线平行于
则称：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 F(x,y,z)=0的图像。
两个基本问题：
（1）已知曲面S，求曲面方程F(x, y, z) = 0 ？
（2）已知F(x, y, z) = 0 ，问它表示什么曲面？
2020年8月15日星期六
2
高等数学（下）主讲杨益民
例1 求球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 半径为R的球面方程。 例2 已知空间两点A(1,2,3)，B(2,-1,4)，求线段AB的垂直平分
2020年8月15日星期六
8
高等数学（下）主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
C
:
x
0
圆锥面方程
M(0, y, z)
o
y
z x2 y2 cot x
2020年8月15日星期六
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高等数学（下）主讲杨益民
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
3
高等数学（下）主讲杨益民
例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
用平面z c去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c上下移动时，得
到一系列圆。
c
圆心在(1,2, c)，半径为 1 c 。
f ( x2 y2 , z) 0
2. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oy轴旋转得旋转曲面
f ( y, x2 z2 ) 0
3.
xoy平面上的母线
C:
f (x,
z
0
y) (x, y2 z2 ) 0
2020年8月15日星期六
7
高等数学（下）主讲杨益民
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
高等数学（下）主讲杨益民
高等数学
北京工商大学 杨益民
2020年8月15日星期六
1
高等数学（下）主讲杨益民
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ；
M(x, y, z)
M1(0, y1, z1 )
f ( y, z) 0
x
0
(1) z1 z , (2) | y1 | x2 y2
o
y
代入母线方程即得证明。 x
2020年8月15日星期六
6
高等数学（下）主讲杨益民
注意：
1. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
f ( y, z) 0（缺x）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
2020年8月15日星期六
12
高等数学（下）主讲杨益民
问：
（1）
y2 b2
z2 c2
1
表示什么曲面？
（2）
x2 a2
z2 c2
1
表示什么曲面？
回顾
1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。
2. Ax2 Ay2 Az2 Bx Cy Dz E 0 表示一张球面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
2020年8月15日星期六
播放
10
柱面举例
高等数学（下）主讲杨益民
z
z
y2 2x z 0
平面
o
y
o
y
x
x
抛物柱面
y x
z
0
2020年8月15日星期六
11
高等数学（下）主讲杨益民
一般地，已知准线方程
f (x, y) 0
例3 方程 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0 表示
什么图形？
一般地，三元二次方程（不含交叉项且平方项系数相同）
Ax2 Ay2 Az2 Bx Cy Dz E 0
表示空间的一张球面。
一些特殊平面
用截痕法讨论几种特殊曲面（特别二次曲面）
2020年8月15日星期六
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
C:
f ( y, z)
x
0
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为：f ( x2 y2 , z) 0
证明： 旋转曲面如图
z
设M(x, y, z)为旋转曲面S上任意一点， (0, 0, z)
显然，M一定是由母线C上某点 M1(0, y1, z1)旋转得到， 即
x2 z2 例6 求xoz坐标面的上双曲线C： a2 c2 1 分别绕x轴和z轴 一周生成的旋转曲面的方程。 y 0
解： 绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
o
y
半径随 c 的增大而增大。
x
图形上不封顶，下封底。
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4
二、旋转曲面
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定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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高等数学（下）主讲杨益民
C:
z
0
母线平行于 z 轴的柱面方程为：f ( x, y) 0
注意：方程 f ( x, y) 0 中缺z，表示z可以任意取值，所以 方程 f ( x, y) 0 表示母线平行于z轴的柱面。
一般地，在空间直角坐标下
f ( x, y) 0（缺z）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
f ( x, z) 0（缺y）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
z
轴的
柱面方程为： f ( x, y) 0
四、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。
目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。
即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 （即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。
2020年8月15日星期六
14
高等数学（下）主讲杨益民
（一）椭球面
3. Ax By Cz D 0 表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
2020年8月15日星期六
13
高等数学（下）主讲杨益民
f ( x2 y2 , z) 0
5.
xoy平面上的准线方程
C:
f (x, z 0
y)
0
母线平行于
则称：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 F(x,y,z)=0的图像。
两个基本问题：
（1）已知曲面S，求曲面方程F(x, y, z) = 0 ？
（2）已知F(x, y, z) = 0 ，问它表示什么曲面？
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2
高等数学（下）主讲杨益民
例1 求球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 半径为R的球面方程。 例2 已知空间两点A(1,2,3)，B(2,-1,4)，求线段AB的垂直平分
2020年8月15日星期六
8
高等数学（下）主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
C
:
x
0
圆锥面方程
M(0, y, z)
o
y
z x2 y2 cot x
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9
高等数学（下）主讲杨益民
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
3
高等数学（下）主讲杨益民
例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
用平面z c去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c上下移动时，得
到一系列圆。
c
圆心在(1,2, c)，半径为 1 c 。
f ( x2 y2 , z) 0
2. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oy轴旋转得旋转曲面
f ( y, x2 z2 ) 0
3.
xoy平面上的母线
C:
f (x,
z
0
y) (x, y2 z2 ) 0
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7
高等数学（下）主讲杨益民
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
高等数学（下）主讲杨益民
高等数学
北京工商大学 杨益民
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1
高等数学（下）主讲杨益民
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ；
M(x, y, z)
M1(0, y1, z1 )
f ( y, z) 0
x
0
(1) z1 z , (2) | y1 | x2 y2
o
y
代入母线方程即得证明。 x
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6
高等数学（下）主讲杨益民
注意：
1. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
f ( y, z) 0（缺x）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
2020年8月15日星期六
12
高等数学（下）主讲杨益民
问：
（1）
y2 b2
z2 c2
1
表示什么曲面？
（2）
x2 a2
z2 c2
1
表示什么曲面？
回顾
1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。
2. Ax2 Ay2 Az2 Bx Cy Dz E 0 表示一张球面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
2020年8月15日星期六
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10
柱面举例
高等数学（下）主讲杨益民
z
z
y2 2x z 0
平面
o
y
o
y
x
x
抛物柱面
y x
z
0
2020年8月15日星期六
11
高等数学（下）主讲杨益民
一般地，已知准线方程
f (x, y) 0