03曲面及其方程、二次曲面27851

M(x, y, z)
M1(0, y1, z1 )
f ( y, z) 0
x
0
(1) z1 z , (2) | y1 | x2 y2
o
y
代入母线方程即得证明。 x
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高等数学（下）主讲杨益民
注意：
1. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
C:
z
0
母线平行于 z 轴的柱面方程为：f ( x, y) 0
注意：方程 f ( x, y) 0 中缺z，表示z可以任意取值，所以 方程 f ( x, y) 0 表示母线平行于z轴的柱面。
一般地，在空间直角坐标下
f ( x, y) 0（缺z）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
f ( x, z) 0（缺y）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
o
y
半径随 c 的增大而增大。
x
图形上不封顶，下封底。
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二、旋转曲面
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定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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z
轴的
柱面方程为： f ( x, y) 0
四、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。
目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。
即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 （即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。
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（一）椭球面
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
C:
f ( y, z)
x
0
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为：f ( x2 y2 , z) 0
证明： 旋转曲面如图
z
设M(x, y, z)为旋转曲面S上任意一点， (0, 0, z)
显然，M一定是由母线C上某点 M1(0, y1, z1)旋转得到， 即
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
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柱面举例
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z
z
y2 2x z 0
平面
o
y
o
y
x
x
抛物柱面
y x
z
0
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一般地，已知准线方程
f (x, y) 0
面的方程。
例3 方程 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0 表示
什么图形？
一般地，三元二次方程（不含交叉项且平方项系数相同）
Ax2 Ay2 Az2 Bx Cy Dz E 0
表示空间的一张球面。
一些特殊平面
用截痕法讨论几种特殊曲面（特别二次曲面）
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例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
用平面z c去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c上下移动时，得
到一系列圆。
c
圆心在(1,2, c)，半径为 1 c 。
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高等数学
北京工商大学 杨益民
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第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ；
f ( x2 y2 , z) 0
2. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x来自百度文库
0
绕oy轴旋转得旋转曲面
f ( y, x2 z2 ) 0
3.
xoy平面上的母线
C:
f (x,
z
0
y)
0
绕ox轴旋转得旋转曲面
f (x, y2 z2 ) 0
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x2 z2 例6 求xoz坐标面的上双曲线C： a2 c2 1 分别绕x轴和z轴 一周生成的旋转曲面的方程。 y 0
解： 绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
f ( y, z) 0（缺x）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
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问：
（1）
y2 b2
z2 c2
1
表示什么曲面？
（2）
x2 a2
z2 c2
1
表示什么曲面？
回顾
1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。
2. Ax2 Ay2 Az2 Bx Cy Dz E 0 表示一张球面。
则称：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 F(x,y,z)=0的图像。
两个基本问题：
（1）已知曲面S，求曲面方程F(x, y, z) = 0 ？
（2）已知F(x, y, z) = 0 ，问它表示什么曲面？
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例1 求球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 半径为R的球面方程。 例2 已知空间两点A(1,2,3)，B(2,-1,4)，求线段AB的垂直平分
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例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
C
:
x
0
圆锥面方程
M(0, y, z)
o
y
z x2 y2 cot x
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三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
3. Ax By Cz D 0 表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
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f ( x2 y2 , z) 0
5.
xoy平面上的准线方程
C:
f (x, z 0
y)
0
母线平行于