垂径定理教案

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）将圆O 沿CD 所在直线折叠,你能发现图中有哪些等量关系？说一说你

理由． （老师点评）

（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．

（2）AM=BM ，弧AC=弧BC ,弧AD=弧BD ，即直径CD 平分弦AB ，并且平分弧ACB 和弧ADB ．

这样，我们就得到下面的定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

下面我们用逻辑思维给它证明一下：

已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，AC BC =，AD BD =.

分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．

证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中

OA OB

OM OM

=⎧⎨

=⎩ ∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ∴AM=BM

∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称

∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，

AC 与BC 重合，AD 与BD 重合．

∴AC BC =，AD BD =

三、 学生活动（证明垂径定理的逆定理）

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

已知：直径CD 、弦AB （除直径） 且 AM=BM 求证：（1）CD ⊥AB

（2）AC BC =，AD BD =

四、 例题讲解

1、如图所示，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，若AB=25cm ，OC=1cm ，则⊙O 的半径长为______cm ．

B

A

C

O

M

C

E D

O

F

B A C

E D O

N M 2.在直径为50cm 的圆中，弦AB 为40cm ，弦CD 为48cm ，且AB ∥CD ，求AB•与CD 之间距离．

解：如图所示，过O 作OM ⊥AB ， ∵AB ∥CD ，∴ON ⊥CD ． 在Rt △BMO 中，BO=25cm ． 由垂径定理得BM=

12AB=1

2

×40=20cm ， ∴OM=22222520OB BM -=-=15cm ． 同理可求ON=22222524OC CN -=-=7cm ， 所以MN=OM-ON=15-7=8cm ．

以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上

五、拓展训练

例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．

分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 解：如图，连接OC

设弯路的半径为R ，则OF=（R-90）m

∵OE ⊥CD

∴CF=12CD=1

2

×600=300（m ）

根据勾股定理，得：OC 2=CF 2+OF 2

即R 2=3002+（R-90）2 解得R=545 ∴这段弯路的半径为545m ．

练习

1.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=•60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．