1.2.1几个常用函数的导数(优秀课件)

x0 x x0
x
下面我们求几个常用函数的导数。
1 、求函数 y c ( c 是常数)的导数。
解：（1）求增量： y f (x x) f (x) c c 0
y （2） 算比值：x
0
（3）取极限：y lim y 0
x0 x
这就是说，常数的导数等于零
2 、求函数 y x 的导数。
解：Q y f (x x) f (x) x x x 1,
x
x
x
x
f (x) lim y lim(2x x) 2x.
x x0
x0
4、 函数
y
f (x) 1 , x
的导数
解：
Q
y
f
(x x)
f
(x)
1 x x
1 x
1 ，
x
x
x x(x x)
f
(x)
lim
x0
y x
lim
x0
1 x(x x)
1 x2
.
一 般 地 ， 可 以 证 明 幂 函 数 y xn
y
1 x2
(1) y (x4 ) 4x41 4x3
(4) y x
(2) y (x3) 3x31 3x4
(3) Q
y
1 x2
x2
1
(4) y x x2
y
( x 2
)
2x3
2 x3
y
(x
1 2
)
1
x
1 1 2
1
2 2x
练习2 求下列函数的导数：
(1) y x x
(2) y 4 x 3x
2
1 27
2 27
小结
1、 导数的定义
2、根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导 数的三个步骤
3、熟记以下导数公式：
（1） (C) 0 （2） ( x n ) nxn1
( n 是任意实数）的导数公式为
(xn ) ' nxn1
探究：P14
画出函数y= 1的图象，根据图象，描述它的 x
变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程。 从图知:当x<0时，函数减少得快； 当x>0时，函数减少得慢。
练习1 求下列函数的导数：
(1) y x4
解：
(2)
y x3
(3)
x
x
x
y lim y lim 1 1.
x x0
x0
探究：P13
在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x，y=3x，y=4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数。
（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？
（3）函数y=kx（k 0）增（减）的快慢与什么有关？
1、导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是：
lim f (x0 x) f (x0 ) lim f (x0 x) f (x0 ) lim f .
x0 (x0 x) x0
x0
x
x0 x
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative），
记作 f '(x0 ) 或 y ' |xx0 ，即
y
函数f (x) Βιβλιοθήκη Baidux的导函数为：k
结论：f '(x) (kx) ' k
(2) y 4x增加得最快，
y 2x增加得最慢
O
x (3)k 0,导数大增加得快
k 0,| k | 大,导数绝对值大减少得快
3、 函数 y f (x) x2, 的导数
解：
Q y f (x x) f (x) (x x)2 x2 2x x (x)2 2x x，
f
'(x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 ) .
2、 根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤：
1.求增量： y f (x x) f (x)
2.算比值： y f (x x) f (x)
x
x
3.取极限： y lim y lim f (x x) f (x)
11
3
解： (1) y x 2 x 4 x 4
y
3
x
3 1 4
3
1
x4
3
4
4
44 x
11
1
(2) y x 4 3 (x) 12
1
y (x 12 )
1 12
1 1
x 12
1
12 x12 x
练习3
已知y
1 x2
, 求y
x3
解： y ( x2 ) 2x21 2x3
y
x3
2 (3)3