1.2.1几个常用函数的导数(优秀课件)
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1.2.1几个常用函数的导数
1 （8）(ln x ) x
1 x ln a
例2 根据基本函数的导数公式和导数运算法则， 求函数y=x3 2 x 3的导数。
解：y ' =（x 2 x 3） '
3
（x ）（ ' 2 x）（ ' 3） '
3
3x 2。
2
练习：求下列函数的导数：
(1) y 2e
1、熟记以下导数公式：
（1） （C)‘=0
（2）( x
( 3)
) x 1 (sin x) cos x
x
x
1、 [ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x);
2、 [ f ( x) g ( x)]' f '( x) g ( x) f ( x) g '( x);
y c(
c 是常数)的导数。
y 0 常数的导数等于零 x 0 x 2 、求函数 y x 的导数。 y y lim lim 1 1. x 0 x x 0 y lim
y lim (2 x x) 2 x. x x0 1 y 1 1 4 函数 y f ( x) , 的导数 f ( x) lim lim 2. x 0 x x 0 x( x x) x x lim 3 函数 y f ( x) x , 的导数 f ( x) x 0
从图知:当x<0时，函数减少得快； 当x>0时，函数减少得慢。
练习1 求下列函数的导数：
(1) y x
解：
4
(2) y x
3
1 (3) y 2 x
(4) y x
河南省新乡市原阳一中高中数学课件：1.2.1 几个常用函数的导数 选修2-2
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
y f ( x0 ) f ( x0)( x x0 )
第九页，编辑于星期日：十五点 一分。
题型：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
解：y
|x1
lim
x0
3(1
x)2 x
3
12
lim 3x2 6x
要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点 有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚
至可以无穷多个.
第八页，编辑于星期日：十五点 一分。
导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ( x0 ).
x
点P处的切线。
此处切线定义与以前的定义有何不同？
第五页，编辑于星期日：十五点 一分。
y
圆的切线定义并不适用
l1 于一般的曲线。
NAo
通过逼近的方法，将割 线趋于的确定位置的直
Imagel2
线定义为切线（交点可能
B
不惟一）适用于各种曲线
x 。所以，这种定义才真
C
正反映了切线的直观本
质。
第六页，编辑于星期日：十五点 一分。
k f (x0 )
②再利用点斜式求出切线方程
y f ( x0 ) f ( x0)( x x0 )
第十七页，编辑于星期日：十五点 一分。
y f ( x0 ) f ( x0)( x x0 )
第九页，编辑于星期日：十五点 一分。
题型：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
解：y
|x1
lim
x0
3(1
x)2 x
3
12
lim 3x2 6x
要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点 有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚
至可以无穷多个.
第八页，编辑于星期日：十五点 一分。
导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ( x0 ).
x
点P处的切线。
此处切线定义与以前的定义有何不同？
第五页，编辑于星期日：十五点 一分。
y
圆的切线定义并不适用
l1 于一般的曲线。
NAo
通过逼近的方法，将割 线趋于的确定位置的直
Imagel2
线定义为切线（交点可能
B
不惟一）适用于各种曲线
x 。所以，这种定义才真
C
正反映了切线的直观本
质。
第六页，编辑于星期日：十五点 一分。
k f (x0 )
②再利用点斜式求出切线方程
y f ( x0 ) f ( x0)( x x0 )
第十七页，编辑于星期日：十五点 一分。
PPT教学课件常数函数与幂函数的导数
Background
Paper-cutting is one of China’s most popular forms of visual Art .Paper and scissors are the usual materials utilized,but sometimes
an engraving knife is also used. Paper-cutting has been a traditional art form for hundreds of years . It can be traced back to
Complete the following sentences:
1 I can’t r_e_la_t_e_____what he doesto_______(联系，涉
及) what he says. 2. All things a_r_e___ _r_e_la_t_e_d ________(和……有联系)
other thingtos. 3. 我到那儿去是为了跟我的父母呆在一起。
I went therefo_r_____ th_e____ pu_r_p_o_se_____ staying with mofy parents. 4. 我们下个月将试验新的机器。
We’ll _tr_y__ _o_u_t__ the new machine next mopressions from the text: 1.a paper cutting expert (whom) I interviewed 2.something (that) he learned 3.a young farmer who wanted a wife 4.paper cuts which show the Chinese
人教版高中数学选修2-2 第一章1.2.1几个常见函数的导数教学课件 (共15张PPT)
x 0
x
lim 3( x x) 3x lim 3 3 O
x
x 0
x
x 0
探究（三）: y x 幂函数型函数的导数
例3： 求函数y f ( x) x2的导数。
解：y ' lim f ( x x) f ( x)
y y x2
x0
x
( x x)2 x2
lim
x 0
x
2x x (x)2
(或记作y ')称为f ( x)的导函数，简称导数。
f ( x+x) f ( x)
f '( x) y ' lim
x0
x
2.几个常用函数的导数：
若y c(c为常数)，则y ' 0 若y x，则y ' 1
若y x2，则y ' 2x 若y x，则y ' 1
2x
若y
1 ，则y ' x
lim
x 0
x
O
x
lim(2x x) x0
2x
几何意义：
y ' 2x表示y x2图象上各点处的切线的斜率都为2x； 且随x的变化，斜率在变化；
例4：求函数y f ( x) 1 的导数。 x
解：y' lim f ( x x) f ( x)
x0
x
lim
x0
x
1
x x
1 x
lim
x0
x( x x x )
lim
1
x0 x x x
1 2x
归纳各题的结果
(x2 ) 2x21 2x
( 1 ) x
( x 1 )
(1) x 11
1 x2
(
课件9：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
2
2x
f′(x)＝___
f(x)＝x
原函数
1
f(x)＝x
f(x)＝ x
导函数
1
－x2
f′(x)＝_____
1
f′(x)＝_______
2 x
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
y＝c
0
y′＝____
y＝xn(n∈N＋)
nx
y′＝______
y＝xμ(x>0，μ≠0 且 μ∈Q)
y′＝_______
1
4 3
x
(1)y＝sin3；(2)y＝5 ；(3)y＝x3；(4)y＝ x ；(5)y＝log3x.
x
x
(2)y′＝(5
)′＝5
ln 5；
解：(1)y′＝0；
1
(3)y′＝x3′＝(x－3)′＝－3x－4；
x
4 3
(4)y′＝( x )′＝
3
4
1
3x 4
3
由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，
所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，
只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧
上
的一点，
因此点 P 是抛物线上平行于直线 AB 的切线的切点，
由图知点 P 在 x 轴上方，y＝ x，y′＝
1
由题意知 kAB＝2.
1
1
∴kl＝
y＝ln x
1
y′＝______
x
问题探究
探究点一
问题1
求导函数
怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？
Δy
高中数学第一章导数及其应用1.2.1_1.2.2几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一课件
C.2
D.3
解析 令 f(x)＝ax－ln(x＋1)，则 f′(x)＝a－x＋1 1.
由导数的几何意义，可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.
又切线方程为y＝2x， 则有a－1＝2，∴a＝3.
解析答案
2.函数 f(x)＝ x，则 f′(3)等于( A )
3
1
A. 6
B.0
C.2 x
2019/7/11
最新中小学教学课件
31
解析答案
5.求下列函数的导数：
(1)y＝x13； 解 y′＝x13′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4. (2)y＝3 x.
解
y′＝(3
x)′＝(
x
1 3
) ＝ 13
x
1 1 3
＝13
x
2 3
.
12345
解析答案
课堂小 结
返回
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
其中正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
选修2-2《1.2.1几个常用函数的导数》课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为 M(x0，y0)，则 y′|x＝x0＝2x0，
(8 分) 4－1 又∵PQ 的斜率为 k＝ ＝1，而切线平行于 PQ， 2＋1 1 ∴k＝2x0＝1，即 x0＝2， 所以切点为
1 1 M2，4.
(10 分) (12 分)
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ห้องสมุดไป่ตู้课堂讲练互动
活页规范训练
[正解] 设切点坐标为 N(x0,2x3 0－3x0)，由导数的几何意义知切线的 斜率 k 就是切点处的导数值，而 f′(x)＝6x2－3，所以切线的斜率
2 k＝f′(x0)＝6x0 －3， 所以切线方程为 y＝(6x2 又点 N 在 0－3)x＋32， 3 切线上，所以有 2x0 －3x0＝(6x2 0－3)x0＋32，解得 x0＝－2，故切线
1．2 导数的计算
1．2.1 几个常用函数的导数 1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
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第1课时 基本初等函数的导数公式
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【课标要求】
1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用定义求导数的方
法． 2．掌握常见函数的导数公式． 3．灵活运用公式求某些函数的导数． 【核心扫描】
π x＝6
3 1 π ∴在点 A 处的切线方程为 y－ 2 ＝－2x－6， π 即 x＋2y－ 3－6＝0.
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误区警示 未检验点是否在曲线上而致误 【示例】 已知曲线 f(x)＝2x3－3x，过点 M(0,32)作曲线 y＝f(x)的 切线，求切线的方程． [错解] 由导数的几何意义知切线的斜率 k 就是切点的导数值， 而 f′(x)＝6x2－3，所以 k＝f′(0)＝0－3＝－3.所以切线方程 为 y＝－3x＋32. 对于给定的点 M，要验证与曲线的位置关系， 若已知点是切点，可采用错解中的方法，否则，就需要照本 题的正解进行．
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Байду номын сангаас
x
x
x
x
f (x) lim y lim(2x x) 2x.
x x0
x0
4、 函数
y
f (x) 1 , x
的导数
解：
Q
y
f
(x x)
f
(x)
1 x x
1 x
1 ，
x
x
x x(x x)
f
(x)
lim
x0
y x
lim
x0
1 x(x x)
1 x2
.
一 般 地 ， 可 以 证 明 幂 函 数 y xn
x
x
x
y lim y lim 1 1.
x x0
x0
探究：P13
在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x，y=3x，y=4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数。
（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？
（3）函数y=kx（k 0）增（减）的快慢与什么有关？
f
'(x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 ) .
2、 根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤：
1.求增量： y f (x x) f (x)
2.算比值： y f (x x) f (x)
x
x
3.取极限： y lim y lim f (x x) f (x)
1、导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是：
lim f (x0 x) f (x0 ) lim f (x0 x) f (x0 ) lim f .
x0 (x0 x) x0
x0
x
x0 x
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative），
记作 f '(x0 ) 或 y ' |xx0 ，即
( n 是任意实数）的导数公式为
(xn ) ' nxn1
探究：P14
画出函数y= 1的图象，根据图象，描述它的 x
变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程。 从图知:当x<0时，函数减少得快； 当x>0时，函数减少得慢。
练习1 求下列函数的导数：
(1) y x4
解：
(2)
y x3
(3)
11
3
解： (1) y x 2 x 4 x 4
y
3
x
3 1 4
3
1
x4
3
4
4
44 x
11
1
(2) y x 4 3 (x) 12
1
y (x 12 )
1 12
1 1
x 12
1
12 x12 x
练习3
已知y
1 x2
, 求y
x3
解： y ( x2 ) 2x21 2x3
y
x3
2 (3)3
x0 x x0
x
下面我们求几个常用函数的导数。
1 、求函数 y c ( c 是常数)的导数。
解：（1）求增量： y f (x x) f (x) c c 0
y （2） 算比值：x
0
（3）取极限：y lim y 0
x0 x
这就是说，常数的导数等于零
2 、求函数 y x 的导数。
解：Q y f (x x) f (x) x x x 1,
y
函数f (x) kx的导函数为：k
结论：f '(x) (kx) ' k
(2) y 4x增加得最快，
y 2x增加得最慢
O
x (3)k 0,导数大增加得快
k 0,| k | 大,导数绝对值大减少得快
3、 函数 y f (x) x2, 的导数
解：
Q y f (x x) f (x) (x x)2 x2 2x x (x)2 2x x，
y
1 x2
(1) y (x4 ) 4x41 4x3
(4) y x
(2) y (x3) 3x31 3x4
(3) Q
y
1 x2
x2
1
(4) y x x2
y
( x 2
)
2x3
2 x3
y
(x
1 2
)
1
x
1 1 2
1
2 2x
练习2 求下列函数的导数：
(1) y x x
(2) y 4 x 3x
2
1 27
2 27
小结
1、 导数的定义
2、根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导 数的三个步骤
3、熟记以下导数公式：
（1） (C) 0 （2） ( x n ) nxn1
x
x
x
x
f (x) lim y lim(2x x) 2x.
x x0
x0
4、 函数
y
f (x) 1 , x
的导数
解：
Q
y
f
(x x)
f
(x)
1 x x
1 x
1 ，
x
x
x x(x x)
f
(x)
lim
x0
y x
lim
x0
1 x(x x)
1 x2
.
一 般 地 ， 可 以 证 明 幂 函 数 y xn
x
x
x
y lim y lim 1 1.
x x0
x0
探究：P13
在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x，y=3x，y=4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数。
（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？
（3）函数y=kx（k 0）增（减）的快慢与什么有关？
f
'(x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 ) .
2、 根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤：
1.求增量： y f (x x) f (x)
2.算比值： y f (x x) f (x)
x
x
3.取极限： y lim y lim f (x x) f (x)
1、导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是：
lim f (x0 x) f (x0 ) lim f (x0 x) f (x0 ) lim f .
x0 (x0 x) x0
x0
x
x0 x
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative），
记作 f '(x0 ) 或 y ' |xx0 ，即
( n 是任意实数）的导数公式为
(xn ) ' nxn1
探究：P14
画出函数y= 1的图象，根据图象，描述它的 x
变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程。 从图知:当x<0时，函数减少得快； 当x>0时，函数减少得慢。
练习1 求下列函数的导数：
(1) y x4
解：
(2)
y x3
(3)
11
3
解： (1) y x 2 x 4 x 4
y
3
x
3 1 4
3
1
x4
3
4
4
44 x
11
1
(2) y x 4 3 (x) 12
1
y (x 12 )
1 12
1 1
x 12
1
12 x12 x
练习3
已知y
1 x2
, 求y
x3
解： y ( x2 ) 2x21 2x3
y
x3
2 (3)3
x0 x x0
x
下面我们求几个常用函数的导数。
1 、求函数 y c ( c 是常数)的导数。
解：（1）求增量： y f (x x) f (x) c c 0
y （2） 算比值：x
0
（3）取极限：y lim y 0
x0 x
这就是说，常数的导数等于零
2 、求函数 y x 的导数。
解：Q y f (x x) f (x) x x x 1,
y
函数f (x) kx的导函数为：k
结论：f '(x) (kx) ' k
(2) y 4x增加得最快，
y 2x增加得最慢
O
x (3)k 0,导数大增加得快
k 0,| k | 大,导数绝对值大减少得快
3、 函数 y f (x) x2, 的导数
解：
Q y f (x x) f (x) (x x)2 x2 2x x (x)2 2x x，
y
1 x2
(1) y (x4 ) 4x41 4x3
(4) y x
(2) y (x3) 3x31 3x4
(3) Q
y
1 x2
x2
1
(4) y x x2
y
( x 2
)
2x3
2 x3
y
(x
1 2
)
1
x
1 1 2
1
2 2x
练习2 求下列函数的导数：
(1) y x x
(2) y 4 x 3x
2
1 27
2 27
小结
1、 导数的定义
2、根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导 数的三个步骤
3、熟记以下导数公式：
（1） (C) 0 （2） ( x n ) nxn1