2018届黄浦区高三一模数学附解析.docx

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上海高三各区一模数学试卷及答案-word文档资料

2018上海高三各区一模数学试卷及答案
随着2018高三期末考试的开始，2018高考一模考试来开帷幕，数学网高考频道在第一时间为考生整理全国各地2018高考一模考试试题及答案，想获悉更多高考资讯，请关注数学网高考频道专题。

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上海市黄浦区达标名校2018年高考一月仿真备考数学试题含解析

上海市黄浦区达标名校2018年高考一月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(3sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =，当a b ⊥时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．1213-B ．1213C ．613-D ．6132．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b“是“α//β”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设复数121,1z i z i =+=-，则1211z z +=（） A ．1B ．1-C ．iD ．i -4．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（） A ．－1B ．i -C ．1D ．i5．在复平面内，31ii+-复数（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．1021B ．2021C ．919D ．18197．在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈，设,n n A B到直线()10x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8．已知x,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54D ．459．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（）A．21313-B．21313C．61365-D．61310．已知x，y满足不等式224xyx y tx y≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]11．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>，O为坐标原点，1F、2F为其左、右焦点，点G在C的渐近线上，2F G OG⊥，且16||||OG GF=，则该双曲线的渐近线方程为（）A．22y x=±B．32y x=±C．y x=±D．2y x=±12．在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cos cos4ca Bb A-=，则2222a bc-=（）A．32B．12C．14D．18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年上海市高考数学一模试卷(解析卷)

2018年上海市高考数学试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩C U M {﹣2，﹣1，0} ．【解答】解：C U M={﹣2，﹣1，0}，故P∩C U M={﹣2，﹣1，0}故答案为：{﹣2，﹣1，0}2．（4分）已知复数（i为虚数单位），则=．【解答】解：复数==，∴=，∴=•==，故答案为．3．（4分）不等式2＞（）3（x﹣1）的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【解答】解：不等式2＞（）3（x﹣1）化为2＞23﹣3x，即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x，∴x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2或x＞3，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．4．（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为．【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，函数取得最大值1+=，故答案为：．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣=λ（λ≠0），∵双曲线椭圆x2+=1右顶点（1，0），∴1=λ，∴双曲线方程为：x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h=．∴圆锥的体积V==．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=4．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=12．【解答】解：由题意可得a==20，再根据，解得，即≤r≤，∴r=4，此时b=×24=240；∴==12．故答案为：12．9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣=．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a≥1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得：a≥1，故答案为：[1，+∞）．11．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018=2．【解答】解：若A，B，C三点共线，则=x+（1﹣x），∴根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，A，B，C在同一直线上，”得出a n﹣1+a n+1+1﹣a n=1，∴a n﹣1+a n+1=a n，∵S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，∴数列{a n}为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，…即数列{a n}是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0，∵2018=6×336+2，∴S2018=336×（1+1+0﹣1﹣1+0）+1+1=2．故答案为：2．12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立．则m的取值范围是（﹣3，﹣2）．【解答】解：对于①∵g（x）=3x﹣3，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，即，可得﹣3＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣2），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=3x﹣3＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，则只要﹣2比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．故答案为：（﹣3，﹣2）．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）“a＞b”是“（）2＞ab”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由（）2＞ab得＞ab，即a2+2ab+b2＞4ab，则a2﹣2ab+b2＞0，即（a﹣b）2＞0，则a≠b，则“a＞b”是“（）2＞ab”成立的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f （x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（）A．πB．2πC．2 D．4【解答】解：对于函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值为函数f（x）的半个周期，即===2，故选：C．15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大【解答】解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），∵，，n∈N*，∴x n=n，y n=2n+1，n∈N*，∴=（n，2n+1），n∈N*，∵θn为和的夹角，∴tanθn===2+∴y=tanθn为减函数，∴θn随着n的增大而减小．故选：B．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个【解答】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，则四边形AMQN能构成矩形，由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．故选：D．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，==1．∴S△ABC故V P==．﹣ABC（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=，tanθ==，∴异面直线EC和AD所成的角是arctan．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30°=（2）2+1﹣2×2×1×=7，即BP=；（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC==4，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+7＞9，解得t＜或t＞，所以0≤t≤；②当1≤t≤4时，乙在值班室B处，在△ABM中，由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去．综上所述0≤t≤时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时．20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为S n，求S n的值；（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线+=，即﹣=，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=n，∴a1+a2+a3+…+a n=∵B={﹣，﹣，﹣}，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（﹣﹣﹣）=3•+n （﹣﹣﹣）=n2，（3）∵∴S m+S n﹣λS k＞0恒成立⇔λ＜=恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴λ≤，故实数λ的最大值为21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．【解答】解：（1）f（x）﹣g（x）=﹣（2x+5）=，可得y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，且x+2≥2，0＜≤，可得存在p=，函数y的值域为（0，]，则函数g（x）=2x+5是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）证明：f（x）﹣g（x）=（）x﹣x，由y=（）x，y=﹣x在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的最大值为1；由x=1时，y=﹣=0，x=2时，y=﹣1=﹣＜0，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的值域为（﹣∞，1]，即有函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，可得y=x+﹣ax为[0，+∞）的减函数，可得导数y′=1﹣a+≤0在[0，+∞）恒成立，可得a﹣1≥，由x＞0时，=≤1，则a﹣1≥1，即a≥2；又y=x+﹣ax在[0，+∞）的值域为（0，1]，则＞（a﹣1）x，x=0时，显然成立；x＞0时，a﹣1＜，可得a﹣1≤1，即a≤2．则a=2．。

上海市浦东新区2018届高三数学一模试题(解析版)

上海市浦东新区2018届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 集合，，则________【答案】【解析】∵，，∴点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 不等式的解集为________【答案】【解析】由，得：，即解得：∴不等式的解集为.3. 已知函数的反函数是，则________【答案】3【解析】设，则即∴∴故答案为：34. 已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为________【答案】-1【解析】∵向量，，∴，，∴向量在向量的方向上的投影为故答案为：-15. 已知是虚数单位，复数满足，则________【答案】【解析】∵∴∴故答案为：点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．6. 在的二项展开式中，的系数是________【答案】80【解析】由题意得：，当时，∴的系数是80故答案为：807. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为________【答案】【解析】一工厂生产的10个产品中有9个一等品，1个二等品，现从这批产品中抽取4个，基本事件总数n==495，其中恰好有一个二等品的基本事件个数m=，∴其中恰好有一个二等品的概率p==．故答案为：8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是________【答案】【解析】∵函数是定义在上的偶函数，∴又在上是增函数，∴即，∴故答案为：9. 已知等比数列前项和为，则使得的的最小值为________【答案】10【解析】由题意知：即∴使得的的最小值为10故答案为：1010. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为________【答案】【解析】因为|OA|=3，所以底面圆周长为6π，所以底面圆的面积为9π，所以弧AB长为6π，又因为，则有，所以SA=9．扇形ASB的面积为，所以圆锥的表面积=9π+27π=36π故答案为：36π学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...【答案】【解析】由题意可知：∴又对任意的实数，都有成立，∴为的最小值，为的最大值∴，，，∴的最小值为12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________ 【答案】【解析】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），即x=2x1-x2，y=2y1-y2，∵点M，N在双曲线上，所以，，故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），设k0M，k ON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0M k ON=2，∴y1y2-2 x1x2=0，∴2x2-y2=20，所以P在双曲线2x2-y2=20上；设该双曲线的左，右焦点为F1，F2，由双曲线的定义可推断出为定值，该定值为点睛：本题主要考查了双曲线定义及简单的几何性质．充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手段．二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若实数，则命题甲“”是命题乙“”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B【解析】当时，满足命题甲，但推不出命题乙，∴充分性不具备，当时，显然能推出命题甲“”，∴必要性具备，故答案为：必要非充分条件14. 已知中，，，点是边上的动点，点是边上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】如图，建立平面直角坐标系，设，，，，，故选；B15. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，、为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）小时A. 22B. 23C. 24D. 33【答案】C【解析】由题意可得：，解得：∴∴该食品在33℃的保鲜时间是24小时故选：C16. 关于的方程恰有3个实数根、、，则（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】设，易知：为偶函数，若方程恰有3个实数根、、，其中一根必为0，另外两根互为相反数，，即，由图易得：另外两根为，∴故选：B点睛：本题考查的是函数零点的个数问题.函数零点问题的处理一般有以下几种方法：1、通过解方程得到函数的零点，得到零点个数；2、利用二分法判断函数的零点，3、利用函数与方程思想，通过分离化原函数为两个函数，转化为利用两个函数图象的交点个数来判断函数的零点个数.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在长方体中，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由是异面直线与所成的角或其补角.（2）利用等积法求三棱锥的体积.试题解析：（1）是异面直线与所成的角或其补角.在等腰中，易得.即：异面直线与所成的角.（2）.点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．18. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，且. （1）求；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，易得：，利用正弦定理把条件统一到角上，从而易得的值；（2）由余弦定理及，易得：，再结合，得到的值.试题解析：（1）由，∴，由正弦定理得：，∴；；由，∴，∴；（2）由，∴，∴，∴；由知，，∴，∴点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：①定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.②定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.③求结果.19. 已知等差数列的公差为2，其前项和（，）.（1）求的值及的通项公式；（2）在等比数列中，，，令（），求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由求得的值及的通项公式；（2）由题意可得：，分奇偶项讨论，分组求和即可.试题解析：（1），，，，（2）∵，∴，，当时，，，，当时，是偶数，20. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，设点，在中，，周长为.（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点的直线与椭圆相交于、两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由.【答案】（1）；（2）过定点；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)由题意布列关于的方程组，从而得到椭圆方程；(2)设直线方程：，联立方程可得：，利用根与系数的关系及，得到过定点.（3）设直线与椭圆相切，，两切线到的距离分别为，根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数. 试题解析：（1）由得：，所以………①又周长为，所以………②解①②方程组，得所以椭圆方程为（2）设直线方程：，交点依题：即：过定点.（3），设直线与椭圆相切，得两切线到的距离分别为当时，个数为0个当时，个数为1个当时，个数为2个当时，个数为3个当时，个数为4个点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数的定义域为，值域为，即，若，则称在上封闭. （1）分别判断函数，在上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为，且存在反函数，若函数在上封闭，且函数在上也封闭，求实数的取值范围；（3）已知函数的定义域为，对任意，若，有恒成立，则称在上是单射，已知函数在上封闭且单射，并且满足，其中（），，证明：存在的真子集，，使得在所有（）上封闭.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)根据在上封闭的定义，分别求出函数，在上的值域，即可判断是否封闭；（2）函数在D上封闭，则.函数在上封闭，则，得到：.从而问题转化为：在两不等实根．（3）分两种情况：和，第一种情况显然不成立，第二种情况，因为是单射，因此取一个，则是唯一的使得的根，换句话说考虑到，即，因为是单射，则这样就有了.接着令，并重复上述论证证明..试题解析：（1）因为函数的定义域为，值域为，（取一个具体例子也可），所以在上不封闭.在上封闭（2）函数在D上封闭，则.函数在上封闭，则，得到：.在单调递增.则在两不等实根．，故，解得．另解：在两不等实根．令在有两个不等根，画图，由数形结合可知，解得．（3）如果，则，与题干矛盾.因此，取，则.接下来证明，因为是单射，因此取一个，则是唯一的使得的根，换句话说考虑到，即，因为是单射，则这样就有了.接着令，并重复上述论证证明..。

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2（2018崇明一模）. 抛物线24y x =的焦点坐标是3（2018静安一模）. 与双曲线221916x y -=有公共的渐近线，且经过点(A -的双曲线方程是5（2018闵行一模）. 已知直线l 的一个法向量是1)n =-r ，则l 的倾斜角的大小是5（2018青浦一模）. 在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过椭圆2214y x +=右顶点的双曲线的标准方程是5（2018金山一模）. 已知1F 、2F 是椭圆221259x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一个动点，则12||||PF PF ⨯的最大值是6（2018黄浦一模）. 过点(2,1)P -作圆225x y +=的切线，则该切线的点法向式方程是 6（2018徐汇一模）. 已知圆22:1O x y +=与圆O '关于直线5x y +=对称，则圆O '的方程是 7（2018静安一模）. 已知点(2,3)A 到直线(1)30ax a y +-+=的距离不小于3，则实数a 的取值范围是8（2018金山一模）. 已知点(2,3)A ，点(B -，直线l 过点(1,0)P -，若直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是8（2018松江一模）. 若直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且AB =a =8（2018虹口一模）. 在平面直角坐标系中，双曲线2221x y a-=的一个顶点与抛物线212y x =的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为9（2018宝山一模）. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点，双曲线22125144x y -=的右焦点是C 的焦点F ，若斜率为1-，且过F 的直线与C 交于A 、B 两点，则||AB =9（2018普陀一模）. 若直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则1221x y x y +的值为9（2018奉贤一模）. 已知(2,0)A ，(4,0)B ，动点P 满足PA PB =，则P 到原点的距离为10（2018奉贤一模）. 设焦点为1F 、2F 的椭圆22213x y a +=(0)a >上的一点P 也在抛物线294y x =上，抛物线焦点为3F ，若32516PF =，则△12PF F 的面积为10（2018虹口一模）. 设椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两点，若2MNF ∆的内切圆的面积为π，则2MNF S ∆=10（2018杨浦一模）. 抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为11（2018闵行一模）. 已知1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点，过1F 且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P ，若212PF F F ⊥，则该双曲线的渐近线方程是12（2018杨浦一模）. 已知点C 、D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD MC λ=u u u u r u u u u r，则实数λ的取值范围为12（2018普陀一模）. 双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图像，关于此函数()f x 有如下四个命题： ① ()f x 是奇函数；② ()f x 的图像过点3)2或3)2-； ③ ()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞U ；④ 函数()y f x x =-有两个零点；则其中所有真命题的序号为12（2018浦东一模）. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-u u u r u u u u r u u u r，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12||||||PF PF -为定值，则该定值为16（2018松江一模）. 已知曲线1:||2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A. (,1][0,1)-∞-UB. (1,1]-C. [1,1)-D. [1,0](1,)-+∞U 16（2018青浦一模）. 在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=，又点A 坐标为(3,1)-，M 、N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（）A. 0个B. 2个C. 4个D. 无数个16（2018崇明一模）. 直线2x =与双曲线22:14x C y -=的渐近线交于A 、B 两点，设P 为双曲线上任一点，若OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r（,a b R ∈，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（） A. 221a b +≥ B. ||1ab ≥ C. ||1a b +≥ D. ||2a b -≥16（2018静安一模）. 若曲线||2y x =+与22:144x y C λ+=恰有两个不同交点，则实数λ取值范围为（）A. (,1](1,)-∞-+∞UB. (,1]-∞-C. (1,)+∞D. [1,0)(1,)-+∞U18（2018青浦一模）. 已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ，过点1(0,)2D 作直线l 与抛物线C 交于不同两点M 、N ，过M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A 、B ，其中O 为坐标原点. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A 为线段BM 的中点.19（2018黄浦一模）. 已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的右焦点为(1,0)F ，点(0,)B b 满足||2FB =.（1）求实数a 、b 的值；（2）过点F 作直线l 交椭圆E 于M 、N 两点，若BFM ∆与BFN ∆的面积之比为2，求直线l 的方程.20（2018松江一模）. 已知椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）经过点3(1,)2，其左焦点为(3,0)F -，过F 点的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点M .（1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 且与l 垂直的直线交椭圆于C 、D 两点，若四边形ACBD 的面积为43，求直线l 的方程；（3）设1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r，求证：12λλ+为定值.20（2018虹口一模）. 已知平面内的定点F 到定直线l 的距离等于p （0p >），动圆M 过点F 且与直线l 相切，记圆心M 的轨迹为曲线C ，在曲线C 上任取一点A ，过A 作l 的垂线，垂足为E .（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）记点A 到直线l 的距离为d ，且3443p pd ≤≤，求EAF ∠的取值范围；（3）判断EAF ∠的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由.20（2018杨浦一模）. 设直线l 与抛物线2:4y x Ω=相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点. （1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l 又与圆22:(5)16C x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（3）若0OA OB ⋅=u u u r u u u r，点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ⊥，求点Q 的轨迹方程.20（2018金山一模）. 给出定理：在圆锥曲线中，AB 是抛物线2:2y px Γ=（0p >）的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||A B y y a -=（0a >），则ADB ∆的面积316ADB a S p∆=，试运用上述定理求解以下各题：（1）若2p =，AB 所在直线的方程为24y x =-，C 是AB 的中点，过C 且平行于x 轴的直线与抛物线Γ的交点为D ，求ADB S ∆；（2）已知AB 是抛物线2:2y px Γ=（0p >）的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，E 、F 分别为AD 和BD 的中点，过E 、F 且平行于x 轴的直线与抛物线2:2y px Γ=（0p >）分别交于点M 、N ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||A B y y a -=（0a >），求AMD S ∆和BND S ∆；（3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：22y px =（0p >）与弦AB 围成的“弓形”的面积，并求出相应面积.20（2018普陀一模）. 设点1F 、2F 分别是椭圆2222:12x y C t t+=（0t >）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点2F 的距离的最小值为2，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量1F M u u u u r与向量2F N u u u u r 平行. （1）求椭圆C 的方程；（2）当120F N F N ⋅=u u u u r u u u u r时，求1F MN ∆的面积；（3）当21||||F N F M -=u u u u r u u u u r时，求直线2F N 的方程.20（2018徐汇一模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，且1F 、2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点22P 在椭圆Γ上，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB 、CD 分别交椭圆Γ于A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）求证：直线MB 过定点2(,0)3R ；（3）求2MNF ∆面积的最大值.20（2018浦东一模）. 已知椭圆2222:1x y a b Γ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，设点(0,)A b ，在12AF F ∆中，1223F AF π∠=，周长为4+（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A 的直线l 与椭圆Γ相交于B 、C 两点，若直线AB 与AC 的斜率之和为1-，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E ，点P 为椭圆Γ上的一个动点，试根据AEP ∆面积S 的不同取值范围，讨论AEP ∆存在的个数，并说明理由.20（2018闵行一模）. 已知椭圆221109x y +=的右焦点是抛物线2:2y px Γ=的焦点，直线l 与Γ相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y .（1）求Γ的方程；（2）若直线l 经过点(2,0)P ，求OAB ∆的面积的最小值（O 为坐标原点）；（3）已知点(1,2)C ，直线l 经过点(5,2)Q -，D 为线段AB 的中点，求证：||2||AB CD =.20（2018崇明一模）. 在平面直角坐标系中，已知椭圆222:1x C y a+=（0a >，1a ≠）的两个焦点分别是1F 、2F ，直线:l y kx m =+（,k m R ∈）与椭圆交于A 、B 两点. （1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且12MF F ∆是直角三角形，求a 的值；（2）若1k =，且OAB ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系；（3）若2a =，且14OA OB k k ⋅=-，求证：OAB ∆的面积为定值.20（2018奉贤一模）. 设22{(,)|||1}M x y x y =-=，22{(,)|1}N x y x y =-=，设任意一点00(,)P x y M ∈，M 表示的曲线是C ，N 表示的曲线是1C ，1C 的渐近线为1l 和2l .（1）判断M 和N 的关系并说明理由；（2）设01x ≠±，1(1,0)A -，2(1,0)A ，直线1PA 的斜率是1k ，直线2PA 的斜率是2k ，求12k k 的取值范围；（3）过P 点作1l 和2l 的平行线分别交曲线C 的另外两点于Q 、R ，求证：PQR ∆的面积为定值.20（2018静安一模）. 如图，已知满足条件|3||3|z i i -=-（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 对应点的轨迹为圆C （圆心为C ），设复平面xOy 上的复数z x yi =+（x R ∈，y R ∈）对应的点为(,)x y ，定直线m 的方程为360x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线m 相交于N 点，与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是弦PQ 中点. （1）若直线l 经过圆心C ，求证：l 与m 垂直；（2）当||23PQ =时，求直线l 的方程；（3）设t AM AN =⋅u u u u r u u u r，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.。

上海市黄浦区2018届高三上学期期末调研测试数学试题+Word版含答案

黄浦区2017学年第一学期高三年级期终调研测试数学试卷(完卷时间：120分钟满分：150分) 2018.1考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚，并在规定的区域贴上条形码； 3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.已知全集U=R ，集合{}3||1|1,|01x A x x B x x -⎧⎫=->=<⎨⎬+⎩⎭，则()U C A B =I ． 2.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，若角θ的终边落在第三象限内，且3cos()25πθ+=，则cos 2θ= ．3.已知幂函数的图像过点(,)124，则该幂函数的单调递增区间是． 4.若n S 是等差数列{}()*N n a n Î：1,2,5,8,-L 的前n 项和，则2lim 1nn S n →∞=+ ．5.23p 的扇形，则该圆锥体的体积是．6.过点(2,1)P -作圆225x y +=的切线，则该切线的点法向式方程是．7.已知二项式展开式7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，且复数711i 2128a z a =+，则复数z 的模||z = ． (其中i 是虚数单位)8.若关于x y 、的二元一次线性方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是1302m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且1,1x y =⎧⎨=-⎩是该线性方程组的解，则三阶行列式1010321m n -中第3行第2列元素的代数余子式的值是．9.某高级中学欲从本校的7位古诗词爱好者(其中男生2人、女生5人)中随机选取3名同学作为学校诗词朗读比赛的主持人．若要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法的种数是．(结果用数值表示)10.已知ABC D 的三个内角、、A B C 所对边长分别为、、a b c ，记ABC D 的面积为S ，若()22S a b c =--，则内角=A ．(结果用反三角函数值表示)11.已知函数()||11f x x =-，关于x 的方程()()20f x bf x c ++= 有7个不同实数根，则实数、b c 满足的关系式是．12.已知正六边形ABCDEF (顶点的字母依次按逆时针顺序确定)的边长为1，点P 是CDED 内(含边界)的动点．设()、R AP x AB y AF x y =?孜u u u r u u u r u u u r ，则x y +的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.已知αβ、是空间两个不同的平面，则“平面α上存在不共线的三点到平面β的距离相等”是“αβP ”的答( )． (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )非充分非必要条件14.为了得到函数sin cos ()33R y x x x =+?的图像，可以将函数3y x =的图像答( ).(A )向右平移4p 个单位 (B )向左平移4p个单位 (C )向右平移12p 个单位 (D )向左平移12p个单位15.用数学归纳法证明*111111(N )12324n n n n n n+++≥∈++++L 时，由n k =到1n k =+时，不等式左边应添加的项是答( )． (A ) 121k + (B ) 11211k k -++ (C )112122k k +++ (D )112122k k -++16.已知函数12x y +=的图像与函数()y f x =的图像关于直线0x y +=对称，则函数()y f x =的反函数是答( )．(A )21log ()y x =-- (B ) 2log (1)y x =-- (C ) 12x y -+=- (D ) 12x y -+=三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E F 、分别是所在棱A B AB 11、的中点，点1O 是面1111A B C D 的中心．如图所示．(1)求三棱锥1O FBC -的体积1O FBC V -；(2)求异面直线A F 1与CE 所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数11()cos 222f x x =+，1()3sin 2g x x x =⋅，R x ∈．(1)若()0f a =，求(2)g a 的数值；(2)若02x π≤≤，求函数()()()h x f x g x =+的值域．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，点(0,)B b 满足||2FB =.(1)求实数a b 、的值；(2)过点F 作直线l 交椭圆E 于M N 、两点，若BFM ∆与BFN ∆的面积之比为2，求直线l 的方程.20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在实数a 和非零实数k (a k 、都是常数)，使得(2)()f a x k f x -=⋅对R x ∈都成立，则称函数()f x 是具有“理想数对(,)a k ”的函数．比如，函数()f x 有理想数对(2,1)-，即(4)()f x f x -=-，(4)()0f x f x -+=，可知函数图像关于点(2,0)成中心对称图形．设集合M 是具有理想数对(,)a k 的函数的全体．(1)已知函数()21,R f x x x =-∈，试判断函数()f x 是否为集合M 的元素，并说明理由； (2)已知函数g()2,R xx x =∈，证明：()g x M ∉；(3)数对(2,1)(1,1)-和都是函数()h x 的理想数对，且当11x -≤≤时，2()1h x x =-．若正比例函数(0)y mx m =>的图像与函数()h x 的图像在区间[0,12]上有且仅有5个交点，求实数m 的取值范围．21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．定义运算“⊕”：对于任意y R x ∈、，(1)x y b x by ⊕=-+(R b +∈)(等式的右边是通常的加减乘运算)．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3n n n S a ⊕=对任意*N n ∈都成立． (1) 求1a 的值，并推导出用1n a -表示n a 的解析式；(2)若3b =，令*(N )3n n n a b n =∈，证明数列{}n b 是等差数列；(3)若3b ≠，令*(N )3n n n a c n =∈，数列{}n c 满足||2n c ≤*(N )n ∈，求正实数b 的取值范围．黄浦区2017-2018学年第一学期高三年级期终调研测试数学试卷参考答案和评分标准2018.1说明：1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、填空题. 1．[0,2] 2．725 3．(,0)-∞ 4．325．83π 6．2(2)1(y 1)0x -⋅++⋅-= 7．528．4 9．25 10．1588arccos(arcsin arctan )171715或、或 11．1,2.b c b +=-⎧⎨<-⎩ (或1,1.b c c +=-⎧⎨>⎩ ) 12．[3,4].二、选择题．13．()B 14．()D 15．()D 16．()C 三、解答题．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解 (1) 联结111BC O B O C O F 、、、，依据题意可知，三棱锥1O FBC -的高与1AA 的长相等。

黄浦区2018年高考模拟考

黄浦区2018年高考模拟考数学试卷（完卷时间：120分钟满分：150分）一、填空（本大题共54分，1-6每题4分，7-12每题5分）1．关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为．若Dx=5，则实数m= ．2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为石．3．已知复数z1=1+i，|z2|=3，z1z2是正实数，则复数z2= ．4．在的二项式展开式中，x3的系数是，则实数a= ．5．在Rt△ABC中，A=90°，AB=1，AC=2，D是斜边BC上一点，且BD=2DC，则•（+）= ．6．已知集合A={x|}，集合B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}，若“a=﹣3”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是．7．已知M是球O半径OP的中点，过M做垂直于OP的平面，截球面得圆O1，则以圆O1为大圆的球与球O的体积比是．8．从集合{，，2，3}中任取一个数记做a，从集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一个数记做b，则函数y=a x+b的图象经过第三象限的概率是．9．已知m＞0，n＞0，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是．10．如图，在地上有同样大小的5块积木，一堆2个，一堆3个，要把积木一块一块的全部放到某个盒子里，每次只能取出其中一堆最上面的一块，则不同的取法有种（用数字作答）．11．定义Hn =为数列{an}的均值，已知数列{bn}的均值，记数列{b n ﹣kn}的前n 项和是S n ，若S n ≤S 3对于任意的正整数n 恒成立，则实数k 的取值范围是．12．已知函数f （x ）=|x ﹣a|+m|x+a|（0＜m ＜1，m ，a ∈R ），若对于任意的实数x 不等式f （x ）≥2恒成立时，实数a 的取值范围是{a|a ≤﹣5或a ≥5}，则所有满足条件的m 的组成的集合是．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．设a b 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b 、夹角的取值范围为A ，12l l 、所成角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的 (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件14．将函数sin 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数的图像上，则 (A) 12t =，s 的最小值为6π(B) 2t =，s 的最小值为6π(C) 12t =，s 的最小值为12π(D) t =，s 的最小值为12π15．某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则sin 2y x =(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） (B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） (C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） (D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 16．设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：(1) 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； (2) 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数；(3) 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数； (4) 若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，AB AC ⊥，D E F ,,分别是111,,A B CC BC 的中点．（1）求证：AE D F ⊥；（2）求AE 与平面DEF 所成角的大小及点A 到平面DEF 的距离．18．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos b C a A c B 成等差数列．（1）求角A 的大小；（2）若a =6b c +=，求AB AC +的值．19、（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）已知数列{}n a 是首项等于116且公比不为1的等比数列，n S 是它的前n 项和，满足325416S S =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设log n a n b a =(0a >且1)a ≠，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最值．20、（本题满分16分.第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题8分.）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y N a b. （1）求椭圆C 上的点M 的“伴随点”N 的轨迹方程；（2）如果椭圆C 上的点3(1,)2的“伴随点”为13(,)22b ，对于椭圆C 上的任意点M 及它的“伴随点”N ，求OM ON的取值范围；（3）当2a =，b =l 交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 的“伴随点”分别是P ，Q ，且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，求OAB ∆的面积．21、（本题满分18分.第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题9分.）对于定义域为R 的函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：（1）求{[(0)]}f f f ；（2）数列{}n x 满足12x =，且对任意n N *∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图像上，求124n x x x +++ ；（3）若()s i n ()y f x A x b ωϕ==++，其中0A >，0ωπ<<，0ϕπ<<，03b <<，求此函数的解析式，并求(1)(2)(3)f f f n +++ (n N *∈)．高三数学参考答案与评分标准一、填空（本大题共54分，1-6每题4分，7-12每题5分）1．关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为．若Dx=5，则实数m= ﹣2 ．【考点】矩阵变换的性质．【分析】由题意，Dx==5，即可求出m的值．【解答】解：由题意，Dx==5，∴m=﹣2，故答案为﹣2．2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为168 石．【考点】简单随机抽样．【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1524×≈168石，故答案为：168．3．已知复数z1=1+i，|z2|=3，z1z2是正实数，则复数z2= z2=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设复数z2=a+bi（a，b∈R），求出z1z2，再根据已知条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：设复数z2=a+bi（a，b∈R），z 1z2=，∵|z2|=3，z1z2是正实数，∴，解得：．则复数z2=．故答案为：z2=．4．在的二项式展开式中，x3的系数是，则实数a= 4 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得出．=【解答】解：在的二项式展开式中，通项公式Tr+1=，令﹣9=3，解得r=8．∴=，解得a=4．故答案为：4．5．在Rt△ABC中，A=90°，AB=1，AC=2，D是斜边BC上一点，且BD=2DC，则•（+）= 3 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把转化为含有的式子求解．【解答】解：如图，∵BD=2DC，∴=．∴•（+）===．故答案为：3．6．已知集合A={x|}，集合B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}，若“a=﹣3”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是b＞﹣1 ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别求出关于A、B的不等式，通过A∩B≠∅”，求出b的范围即可．【解答】解：A={x|}={x|x＞﹣1}，B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}=（﹣3，b）或（b，﹣3），由“A∩B≠∅”，得b＞﹣1，故答案为：b＞﹣1．，则7．已知M是球O半径OP的中点，过M做垂直于OP的平面，截球面得圆O1以圆O为大圆的球与球O的体积比是．1【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，设出圆M的半径，球的半径，二者与OM构成直角三角形，求为大圆的球与球O的体积比．出半径关系，然后可求以圆O1【解答】解：由题意，设出圆M的半径r，球的半径R，由勾股定理得R2=r2+（）2，r=R．为大圆的球与球O的体积比是．∴以圆O1故答案为：．8．从集合{，，2，3}中任取一个数记做a，从集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一个数记做b，则函数y=a x+b的图象经过第三象限的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件（a，b）的个数n=4×4=16，再利用列举法求出函数y=a x+b 的图象经过第三象限的情况，由此能求出函数y=a x+b的图象经过第三象限的概率．【解答】解：从集合{，，2，3}中任取一个数记做a，从集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一个数记做b，基本事件（a，b）的个数n=4×4=16，∵函数y=a x+b的图象经过第三象限有：①当a=3、b=﹣1时，②当a=3、b=﹣2时，③当a=4、b=﹣1时，④当a=4、b=﹣2时，⑤当a=，b=﹣2 时，⑥当a=，b=﹣2 时，共6种情况，∴函数y=a x+b的图象经过第三象限的概率是p=．故答案为：．9．已知m＞0，n＞0，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是[2+2，+∞）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤（）2，设m+n=x（x＞0），则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，解得：x≥2+2，则m+n的取值范围为[2+2，+∞）．故答案为[2+2，+∞）．10．如图，在地上有同样大小的5块积木，一堆2个，一堆3个，要把积木一块一块的全部放到某个盒子里，每次只能取出其中一堆最上面的一块，则不同的取法有10 种（用数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，假设左边的积木从上至下依次为1、2、3，右边的积木从上至下依次为4、5，分析可得必须先取1或4，据此分2种情况讨论，分别列举2种情况下的取法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，假设左边的积木从上至下依次为1、2、3，右边的积木从上至下依次为4、5，分2种情况讨论：若先取1，有12345、12453、12435、14235、14253、14523，共6种取法；若先取4，有45123、41523、41253、41235，共4种取法；则一共有6+4=10中不同的取法；故答案为：10．11．定义Hn =为数列{an}的均值，已知数列{bn}的均值，记数列{bn ﹣kn}的前n项和是Sn，若Sn≤S3对于任意的正整数n恒成立，则实数k的取值范围是[，] ．【考点】数列的求和．【分析】由题意，b1+2b2+…+2n﹣1bn=n•2n+1，b1+2b2+…+2n﹣2bn﹣1=（n﹣1）•2n，从而求出bn =2（n+1），可得数列{bn﹣kn}为等差数列，从而将Sn≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立化为b5≥0，b6≤0；从而求解．【解答】解：由题意，Hn==2n+1，则b1+2b2+…+2n﹣1bn=n•2n+1，b 1+2b2+…+2n﹣2bn﹣1=（n﹣1）•2n，则2n﹣1bn=n•2n+1﹣（n﹣1）•2n=（n+1）•2n，则bn=2（n+1），对b1也成立，故bn=2（n+1），则bn﹣kn=（2﹣k）n+2，则数列{bn﹣kn}为等差数列，故Sn ≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立可化为：b 5≥0，b6≤0；即，解得，≤k≤，故答案为：[，]．12．已知函数f（x）=|x﹣a|+m|x+a|（0＜m＜1，m，a∈R），若对于任意的实数x不等式f（x）≥2恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣5或a≥5}，则所有满足条件的m的组成的集合是{} ．【考点】绝对值三角不等式．【分析】根据绝对值的性质得到2m|a|≥2，解出a，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：f（x）=|x﹣a|+m|x+a|=m（|x﹣a|+|x+a|）+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|≥2，解得：a≤﹣或a≥，∵数a的取值范围是{a|a≤﹣5或a≥5}，故=5，解得：m=，∴实数m的集合是{}．故答案为{}．二、选择题（每小题5分，共20分）13． C 14．A 15. B 16．B三、解答题：（共76分）17．解：（1）以A 为坐标原点、AB 为x 轴、AC 为y 轴、1AA 为z 轴建立如图的空间直角坐标系．由题意可知(0,0,0),(0,1,2),(2,0,1),(1,1,0)A D E F --，故(2,0,1),(1,0,2)AE DF =-=--，…………………4分由2(1)1(2)0AE DF ⋅=-⨯-+⨯-=，可知AE DF ⊥，即AE D F ⊥． …………………6分（2）设(,,1)n x y =是平面DEF 的一个法向量，又(1,0,2) (1,1,1)DF EF =--=- ，，故由20,10,n DF x n EF x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩解得2,3,x y =-⎧⎨=⎩ 故(2,3,1)n =- ． …………9分设AE 与平面DEF 所成角为θ，则||sin ||||n AE n AE θ⋅==⋅，…………12分所以AE 与平面DEF所成角为点A 到平面DEF的距离为sin AE θ⋅ …………………14分18．解：（1）由cos ,cos ,cos b C a A c B 成等差数列，可得cos cos 2cos b C c B a A =+， …………………2分故sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A =+，所以sin()2sin cos B C A A =+， ………4分又A B C π++=，所以sin()sin B C A +=，故sin 2sin cos A A A =，又由(0,π)A ∈，可知sin 0A ≠，故1cos 2A =，所以π3A =． …………………6分（另法：利用cos cos b C c B a =+求解）（2）在△ABC中，由余弦定理得2222cos 3b c bc π+-=， (8)分即2218b c bc +-=，故2()318b c bc +-=，又6b c +=，故6bc =，………………10分所以2222()2AB AC AB AC AB AC AB AC ==++⋅++xyzO22||||2||||cos AB AC AB AC A =++⋅ (12)分22c b bc =++2()30b c bc =+-=，故AB AC =+…………………14分19、（14分）解：（1）325416S S =- ， 1q ≠，3211(1)(1)541116a q a q q q --∴=⨯---.……2分整理得2320q q -+=，解得2q =或1q =（舍去）.………………4分1512n n n a a q --∴=⨯=.………………6分（2）log (5)log 2n a n a b a n ==-.………………8分1）当1a >时，有log 20,a > 数列{}n b 是以log 2a 为公差的等差数列，此数列是首项为负的递增的等差数列.由0n b ≤，得5n ≤.所以min 45()10log 2n a T T T ===-.n T 的没有最大值.………11分2）当01a <<时，有log 20a <，数列{}n b 是以log 2a 为公差的等差数列，此数列是首项为正的递减的等差数列.0n b ≥，得5n ≤，max 45()10log 2n a T T T ===-.n T 的没有最小值.…………14分20、（16分）解：（1）解.设N （,x y ）由题意 00x x ay y b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则00x ax y by =⎧⎨=⎩，又2200221(0)x y a b a b +=>> ∴2222()()1(0)ax by a b a b+=>>，从而得221x y +=……………………3分（2）由112a =，得2a =.又221914a b+=，得b =…………5分点00(,)M x y 在椭圆上，2200143x y +=，2200334y x =-，且2004x ≤≤，∴222000002(,)(,224xx OM ON x y x -=⋅=+=0>，OM ON的取值范围是2⎤⎦……8分（3）设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,22x x P Q ⎛⎛ ⎝⎝;1)当直线l 的斜率存在时,设方程为y kx m =+, 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x kmx m +++-=；有22122212248(34)08344(3)34k m km x x k m x x k ⎧⎪∆=+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩① ……10分由以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得: 1212340x x y y +=；整理得:221212(34)4()40k x x mk x x m ++++= ②将①式代入②式得: 22342k m +=,………………………… 12分又点O 到直线y kx m =+的距离d =所以12OAB S AB d ∆==……………………14分2) 当直线l 的斜率不存在时,设方程为(22)x m m =-<<048,0,043222>=∆>∴>+m m k 2222222221223414334143433411m m kk m kk m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=联立椭圆方程得223(4)4m y -=；代入1212340x x y y +=得223(4)3404m m --⋅=，解得22m =,从而232y =, 综上:OAB ∆的面积是定值16分21、（18分）解：(1) {[(0)]}((3))(1)2f f f f f f ==-= ……………………3分 (2) 11212,()()(2)0,n n x x f x x f x f +==∴===32()3,x f x ==43()1,x f x ==-54()2x f x ==51x x ∴=,周期为 4 , 所以124n x x x +++ =4n .……………………9分 (3)由题意得(1)2(1)(1)2(2)(0)3(3)(2)0(4)f f f f -=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 由(1)(2)sin()sin()sin cos 0ωϕωϕωϕ-∴+=-+∴=又 0ωπ<<sin 0cos 0ωϕ∴≠∴= 而0ϕπ<<2πϕ∴=…………11分从而有23cos 32cos 23(2cos 1)30cos20A b A A A b b A A A A b ωωωω+=⎧+-=⎧⎪+=⇒=-⇒⎨⎨-+-=⎩⎪+=⎩ 22242230 2.1A A A A A b ∴-+-+=∴==1cos 2ω= 0ωπ<<3πω∴=()2cos13f x x π∴=+…………………………13分此函数的最小正周期为6, (6)(0)3f f ==(1)(2)(3)4)+(5)(6)6f f f f f f ++++= （…………14分1)当2n k =()k N *∈时.(1)(2)(3)(1)(2)(6)f f f n f f f k +++=+++[(1)(2)(6)]63k f f f k n =+++== .……………………16分2)当21n k =-()k N *∈时.3212121=-==∆y y m d AB S OAB(1)(2)(3)(1)(2)(6)(62)(61)(6)f f f n f f f k f k f k f k +++=+++-----[(1)(2)(6)]56532k f f f k n =+++-=-=- .………………18分。

2018年上海市15区高考高三一模数学试卷合集带答案

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第 2 卷 2018 年崇明区一模
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）
1、已知集合 A {1, 2, 5}, B {2, a} ，若 A B {1, 2, 3, 5} ，则 a
；
2、抛物线 y2 4x 的焦点坐标是
Sn ，首项 a1
1，公比为
a
3 2
，且
lim
n
S
n
a
，则
a ________.
11.从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服
务，要求服务队中至少有 1 名女生，共有
种不同的选法.（用数字作答）
12.在 ABC 中， BC 边上的中垂线分别交 BC, AC 于点 D, E .若 AE BC 6 ， AB 2 ，
f (C) 1 ，求 ABC 面积的最大值，并指出此时 ABC 为何种类型的三角形. 2
19. 设数列{an} ，{bn} 及函数 f (x) （ x R ）， bn f (an ) （ n N * ）. （1）若等比数列{an} 满足 a1 1， a2 3 ， f (x) 2x ，求数列{bnbn1} 的前 n （ n N * ）项和；（2）已知等差数列{an} 满足 a1 2 ， a2 4 ， f (x) (q x 1) （、 q 均为常数， q 0 且 q 1）， cn 3 n (b1 b2 bn ) （ n N * ），试求实数对 (, q) ，使得{cn} 成等比数列.
x 1 5. 若 z 2 3i （其中 i 为虚数单位），则 Im z
i 6. 若从五个数 1 ，0，1，2，3 中任选一个数 m ，则使得函数 f (x) (m2 1)x 1 在 R 上

2018届黄浦区高三一模数学word版附解析

上海市黄浦区2018 届高三一模数学试卷一 . 填空题（本大题共 12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 已知全集 UR ，会集 A { x || x 1| 1}，B{ x |x3 0}，则 (C U A)I Bx12. 已知角的极点在座标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，若角的终边落在第三象限内，且 cos()3，则 cos2253. 已知幂函数的图像过点 (2, 1) ，则该幂函数的单调递加区间是44. 若 S n 是等差数列 { a n } （ n *）： 1,2,5,8,的前 n 项和，则 limS nN2nn15. 某圆锥体的底面圆的半径长为2 的扇形，则该圆锥体2 ，其侧面张开图是圆心角为3的体积是6. 过点 P( 2,1)作圆 x 2 y 2 5 的切线，则该切线的点法向式方程是7. 已知二项式张开式 (12x) 7a 0a 1 x a 2 x 2a 7 x 7 ，且复数 z1a 1a 7i ，则2128复数 z 的模 | z |（此中 i 是虚数单位）8.a 1 xb 1 yc 1的增广矩阵是m 1 3若关于 x 、 y 的二元一次线性方程组，a 2 xb 2 yc 2 0 2 nx 11 0 10 3 m 中第 3 行第 2 列元素的代数且y是该线性方程组的解，则三阶行列式12 n 1余子式的值是9. 某高级中学欲从本校的7 位古诗词喜好者（此中男生2 人、女生 5 人）中随机采用3 名同学作为学校诗词朗读竞赛的主持人，若要求主持人中最少有一位是男同学，则不一样采用方法的种数是（结果用数值表示）10. 已知 ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对边长分别为 a 、 b 、 c ，记 ABC 的面积为 S ，若 S a 2(b c)2 ，则内角 A（结果用反三角函数值表示）11. 已知函数 f (x)|1 |，关于 x 的方程 f2 (x) bf (x) c 0 有 7 个不一样实数根，| x | 1则实数 b 、 c 满足的关系式是12. 已知正六边形ABCDEF （极点的字母挨次按逆时针序次确立）的边长为1，点 P 是uuur uuur uuury 的取值范围是CDE 内（含界限）的动点，设 AP x AB y AF （ x, y R ），则 x二 . 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共20 分）13.已知、是空间两个不一样的平面，则“平面上存在不共线的三点到平面的距离相等”是“∥”的（）A. 充分非必需条件B. 必需非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必需条件14.为了获取函数y sin3 x cos3x （ x R ）的图像，可以将函数y 2 sin 3x 的图像（）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位44C. 向右平移个单位D. 向左平移12个单位1215.用数学归纳法证明1113n 111（ n N *）时，由n k 到n 1 n 2n n24 n k 1 时，不等式左侧应增加的项是（）111C.11D.11A.1B.1 k 12k 12k222k2k2k 1 2k16.已知函数y2x 1 的图像与函数y f (x) 的图像关于直线x y0 对称，则函数y f ( x) 的反函数是（）A. y1log 2 (x)B. y log2 (1x)C.y 2 x1D. y2x 1三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E、F分别是所在棱A1 B1、 AB 的中点，点 O1是面 A1 B1C1 D1的中心，以下列图.（1）求三棱锥O1FBC的体积V O1FBC；（2）求异面直线A1F与CE所成角的大小 .（结果用反三角函数值表示）18. 已知函数f (x)11cos2x ， g( x)13cos x sin x ， x R .222（1）若f ( a)0 ，求 g(2a) 的数值；（2）若0 x，求函数 h(x) f (x)g( x) 的值域.219. 已知椭圆 E :x222y2 1 （ ab 0 ）的右焦点为 F (1,0)，点 B(0,b) 满足 | FB | 2 .a b（1）务实数 a 、 b 的值；2）过点 F 作直线 l 交椭圆 E 于M 、N 两点，若 BFM 与BFN 的面积之比为2（，求直线 l 的方程 .20. 定义：若函数 f ( x) 的定义域为 R ，且存在实数 a 和非零实数 k( a 、 k 都是常数 )，使得 f (2a x) k f (x) 对 xR 都成立，则称函数 f ( x) 是拥有“理想数对( a,k) ”的函数，比方，函数 f ( x) 有理想数对 (2, 1) ，即 f (4 x)f ( x) ， f (4 x)f ( x) 0 ，可知函数图像关于点 (2,0) 成中心对称图形，设会集 M 是拥有理想数对(a,k) 的函数的全体 .（1）已知 f (x)2x 1， xR ，试判断函数 f (x) 能否为会集 M 的元素，并说明原由；（2）已知函数 g ( x)2x ， xR ，证明： g(x) M ；（ 3）数对 (2,1) 和 (1, 1) 都是函数 h( x) 的理想数对，且当 1 x 1 时， h( x) 1 x 2 ，若正比率函数y（m 0）的图像与函数h(x)的图像在区间 [0,12]上有且仅有 5 个交点，mx务实数 m 的取值范围 .21. 定义运算“”：关于任意 x, y R ， x y (1 b) x by （ b R ）（等式的右侧是平时的加减乘运算），若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n a n3n 对任意 n N * 都成立 .（1）求 a 1 的值，并推导出用 a n 1 表示 a n 的分析式；（2）若 b3 ，令 b na n （ n N * ），证明数列 {b n } 是等差数列；3n（3）若 b3 ，令 c na n （ n N *{ c n } 满足 | c n | 2 （ n N*3 n ），数列），求正实数 b 的取值范围 .参照答案一. 填空题1.[0,2]73. (,0)4.3 5.8 2.23256.2 (x 2)1 ( y 1) 07.5 28. 49. 2510. arccos1511. bc 1 （或 b c1 ）12. [3,4]17b2c 1二. 选择题13. B 14. D 15. D 16. C三. 解答题17．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．解 (1) 联系 BC 、 O 1 B 、O 1C 、O 1F ，依照题意可知，三棱锥 O 1 FBC 的高与 AA 1 的长相等因为 BC 2 ， F 是棱 AB 的中点，故 BF1所以，V O 1 FBC1 1 BC BF AA 12 .3 23(2) 联系 EB ，又 E 是棱 A 1 B 1 的中点， B 1E1 .故 BE PA 1F .于是，BEC就是异面直线 A F 与CE 所成的角 (或补角 ).1可求得 BEB B 12 B 1E 25 ，tanBEC2 2 5 .55所以，异面直线A 1 F 与 CE 所成的角的大小是 arctan25 .518．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分8 分．解 (1)Q f ( x) 1 1 cos2x, f ( )0，∴1 1 cos 2 0,cos 2 1,sin 20 ．222 2∴g (2 )1 3 cos2 sin 21 .22(2) 依照题意，可知 h(x) 11cos 2x3sin 2 x,0x.2 22于是， h( x)1sin(2 x). 又0 x ，可得2x7 ，166sin(2 x ) 1 .626 26所以，11sin(2 x) 2 . 所以函数 h( x) 的值域是 [ 1, 2] .26219．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．解 (1) 椭圆 E :x 2y 2 1(a b 0) 的右焦点为 F (1,0) ，点 B(0, b) 满足 | FB | 2 ，a 2b 2则1 b 22 ，解得 b3(b0) .由公式 c2a2b 2，得 a21 a 2, 3 4, a 2(a 0) ，所以3.b(2) 因为直线 l 过焦点 F ，故直线与椭圆总交于M 、N 两点 .结合图形，可知，BFM 与 BFN 的高相同，且Suuuur Suuur即| FM | 2| FN |，则 FM 2NF .BFM2，BFN设 M ( x 1 , y 1 )， N (x 2 , y 2 ) ，可得 (x 11, y 1) 2(1 x 2 ,y 2 ) ，2213 x 1 , x 1y 1x 21,x 1,解得2 由 43解得2y1.223 5 .y 2x 2 y 2 1.y24 3 14求得直线 l 的斜率 k3 5 5. 所以，所求直线5( x14 l 的方程为 l : y1) .1 22220．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4分，第 2 小题满分 6分，第 3小题满分 6 分．解 (1) 依照题意，知f ( x) 2x 1 ，若f (2 a x)k f ( x) ，即 2(2a x) 1 k (2x 1) .2x4a 1 2kx kx R2k2,k1,化简得，此等式对都成立，则a1 .解得2于是，函数 f ( x)2x 1 有理想数对 ( 1, 1) .所以，函数f ( x) M .2 证明 (2) 用反证法证明 g( x)M .假设 g( x) M ，则存在实数对 (a, k )( k 0) 使得 g (2a x) k g (x) 成立 .又 g (x)2x ，于是， 22a xk 2x ，即22 ak22x .一方面，此等式对x R 都成立；另一方面，该等式左侧是正的常数，右侧是随x 变化而变化的实数 .这是矛盾！故假设不成立.所以，函数 g (x) 不存在理想数对 (a, k )( k0) ，即 g( x) M .解 (3) Q 数对 (2,1)和(1,1) 都是函数 h( x) 的理想数对，h(4 x) h(x), h(2x)h( x), xR .h(4 x) h(4(4 x)) h(2 (2 x)) f (2 x)h(4 (2 x)) h(2 x)h( x).函数 h(x) 是以 4 为周期的周期函数 .由 h(2 x)h(x), h(2x) h(x) 0, x R ，可知函数 h(x) 的图像关于点(1,0) 成中心对称图形 .又 1x 1 时， h( x)1 x2 .1 x3时， 1 2 x 1 ，则 h( x)h(2 x) (2 x)2 1 .先画出函数h( x) 在 [ 1,3] 上的图像，再依据周期性，可获取函数 h( x) 的图像以下：1 ( x 2,k 为偶数， 1 x 2k 1,h( x)2k ) 2k( x2k) 21,k 为奇数，1 x2k1.2kh( x) 1 ( x 8)2,7x 9 ； h( x) 1 ( x12) 2 ,11 x13 .由 h( x)1 ( x 8)2 ,(7 x 9) 有且仅有一个交点，解得ymxm 16 6 7( m 16 6 7，舍去 ) .h( x) 1 ( x 12) 2,(11 x 13)有且仅有一个交点，解得由mxym 24 2 143( m 24 2 143，舍去 ) .函数 ymx(m 0) 的图像与函数 h( x) 的图像在区间 [0,12] 上有且仅有 5 个交点时，实数 m 的取值范围是 24 2 143 m 16 6 7 .21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分．解 (1)QS n a n3n ，(1 b)S nba n 3n ， n N * ， S 1 a 1 .令 n1，得 (1 b)a 1ba 13 ，∴ a 1 3 ．当 n2 时，有 (1 b)S n1ba n 13n 1 ．∴ (1 b)[ S n S n 1 ] ba n ba n 1 3n 3n 1 (n 2, n N *)．∴ a nba n 1 2 3n 1(n 2, n N * ) ．证明 (2)Q b3，b n ann(n N * ) ， b11，3∴ a n3a n 1 2 3n 1 (n 2, n N * ) ，anan 1 2 ．2(n 2, n N * ) ．3n3n 13∴b n bn 13∴数列b n是以首项为1、公差为2的等差数列．3解 (3)Q 结合(1)，且b 3 ，c n ann (n N * ) ， c11，3∴a n b a n 12b2(n2, n N*) ．3n 3 3n 1，即 c c33n3 n 1c n2b2) . 3b(c n 13b310当b1时， c20 ，此时， c1，总是满足 | c | 2 (n N*)；13b n n01时，c120 ，此时，c n2是等比数列．2 当 b3b3b∴c n32(c12)(b)n 1(n N*)．b3b3∴c n2 b 1(b)n 1(n N*)．3b b33若 b 3 时，数列c n是单调递加数列，且n时， c n，不满足 | c n|2 ( n N*)若 0b 1 时，b10,0b1，数列c n是单调递减数列，故 c1c2L . b33又 c11，相同恒有 |c n| 2 (n N * ) 成立；若 1b 3 时，b10,0b1，数列c n是单调递加数列， lim c n2. b33n3b由2b 2，即此时当1b 2 时，满足 |c n | 2 (n N * ) .3综上，所务实数 b 的取值范围是(0, 2].。

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2018年高三一模数学试题解析目录2018年杨浦区高三一模试题分析 (1)2018年松江区高三一模试题分析 (10)2018年青浦区高三一模试题分析 (20)2018年虹口区高三一模试题分析 (31)2018年普陀区高三一模试题分析 (42)2018年徐汇区高三一模试题分析 (56)2018年长宁、嘉定区高三一模试题分析 (67)2018年浦东新区高三一模试题分析 (77)2018年崇明区高三一模试题分析 (87)2018年静安区高三一模试题分析 (96)2018年闵行区高三一模试题分析 (105)2018年黄浦区高三一模试题分析 (117)2018年三区高三一模填选难题试题分析 (127)2018年杨浦区高三一模试题分析一、填空题的结果是 1 ．1.计算∞【考点】极限及其运算.=1．【分析】由n→+∞，→0，即可求得∞=1，故答案为：1．【解答】解：当n→+∞，→0，∴∞【点评】本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．2.已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m= 3 ．【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴实数m=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.已知，则= ﹣．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：∵θ，∴θπ=θ．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.若行列式，则x= 2 ．【考点】二阶矩阵.【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1，∴x=2，故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．5.已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y= 6 ．【考点】增广矩阵的概念.【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，由此能求出x+y．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，∴x+y=6．故答案为：6．【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的合理运用．6.在的二项展开式中，常数项等于﹣160 ．【考点】二项式定理．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应r，从而可求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r ，令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160，故答案为：﹣160【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．7.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．8.数列{a n}的前n项和为S n，若点(n，S n)(n∈N*)在函数y=log2(x+1)的反函数的图象上，则a n= 2n﹣1．【考点】反函数．【分析】先利用点（n，S n）都在f（x）的反函数图象上即点（S n，n）都在f（x）的原函数图象上，得到关于S n的表达式；再利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法即可求数列{a n}的通项公式；【解答】解：由题意得n=log2（S n+1）⇒s n=2n﹣1．n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；故答案为：2n﹣1【点评】本小题主要考查反函数、利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．【考点】余弦定理.【分析】由sinA、sinB、sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB的范围，利用余弦函数的性质可求B的最大值．【解答】解：∵在△ABC 中，sinA 、sinB 、sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ，利用正弦定理化简得：b 2=ac ，由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c 时取等号），则B 的范围为（0，π]，即角B 的最大值为π．故答案为：π．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．10.抛物线y 2=﹣8x 的焦点与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】双曲线的性质.【分析】由已知条件推导出a 2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=，由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．【解答】解：∵抛物线y 2=﹣8x 的焦点F （﹣2，0）与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，∴a 2+1=4，解得a= ，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为π ，故答案为：π．【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．11.已知函数，x ∈R ，设a ＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，则α的值为2k πα=【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】()cos (sin )sin(2)3f x x x x x π=+，()sin(22)3g x x πα=++为奇函数，且0α>，∴23k παπ+=，26k ππα=-，k ∈*N .【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．12.已知点C 、D 是椭圆上的两个动点，且点M （0，2），若，则实数λ的取值范围为1[,3]3λ∈.【考点】椭圆的性质.【分析】数形结合，取极端情况，考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【解答】数形结合，取极端情况. 作CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，3MD MF MB MC ME MA λ==≤=，同理13λ≥ 当D 点位于(0,1)-，C 点位于(0,1)时，λ等于3；当D 点位于(0,1)，C 点位于(0,1)-时，λ等于13，∴1[,3]3λ∈.【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．二、选择题13.在复平面内，复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】直接由复数的除法运算化简，求出复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2），位于第三象限．故选：C ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 14.给出下列函数:①y=log 2x;②y=x 2；③y=2|x|；④y=arcsinx ．其中图象关于y 轴对称的函数的序号是( ) A.①②B.②③C.①③D.②④【考点】函数奇偶性的性质与判断.【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：①y=log 2x 的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数； ②y=x 2；是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件． ④y=arcsinx 是奇函数，图象关于y 轴不对称，不满足条件，故选：B ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键 15.“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在(﹣∞，+∞)内存在零点”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．由此能求出结果．【解答】解：t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．∴“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．故选：A ．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1+S 2+S 3的最大值是( )A.B.2C.4D.8【考点】平面向量数量积的性质及其运算；棱柱、棱锥的体积.【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB ，AC ，AD 两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三边，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．【解答】解：设AB=a ，AC=b ，AD=c ，因为AB ，AC ，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a 2+b 2+c 2=4R 2=4 所以S △ABC +S △ACD +S △ADB =（ab+ac+bc ）≤（a 2+b 2+c 2）=2即最大值为：2故选：B ．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键．三、解答题17.如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【考点】基本不等式及其应用.【分析】（1）由题意设长方形场地的宽为x ，则长为l ﹣3x ，表示出面积y ；由x ＞0，且l ﹣3x ＞0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解．【解答】解：（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-，所以场地面积(3)y x l x =-，(0,)3lx ∈（2）222(3)33()612ll y x l x x lx x =-=-+=--+，(0,)3l x ∈,所以当且仅当6l x =时，2max 12l y = 综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l【点评】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．18.如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】旋转体（圆柱、圆锥）；异面直线及其所成的角.【分析】（1）推导出BS=5，从而SO=4，由此能求出圆锥的体积．（2）取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角，由此能求出异面直线SO与PA所成角．解：（1）由题意，π•OA•SB=15π，解得BS=5，故从而体积πππ．（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角．∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．在△OAH中，由OA⊥OB，得，在Rt△APH中，∠AHP=90 O，，…则∠，∴异面直线SO与PA所成角的大小．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.已知函数的定义域为集合A，集合B=(a,a+1),且B⊆A.（1）求实数a的取值范围；（2）求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）由对数的真数大于0，可得集合A，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较，即可得到所求结论．【解答】解：（1）令＞，解得﹣1＜x＜1，所以A=（﹣1，1），因为B⊆A，所以，解得﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]；（2）证明:函数f(x)的定义域A=(﹣1,1)，定义域关于原点对称，f(﹣x)=ln=ln（）﹣1=﹣ln=﹣f(x)，而，，所以，所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．【点评】本题考查函数的定义域和集合的包含关系，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．20.设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．【考点】直线与抛物线的综合.【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得p的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线的方程为x=my+b，分m=0与m≠0两种情况讨论，分析m的取值，综合可得m可取的值，将m的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线AB：x=my+b，将直线的方程与抛物线方程联立，结合OQ⊥AB，由根与系数的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2=4x，则p=2，故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；（2）设直线l：x=my+b,当m=0时，x=1和x=9符合题意；当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2．△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，所以，所以线段AB的中点M（2m2+b，2m），因为k AB•k CM=﹣1，，所以，得b=3﹣2m2 ，所以△=16（m2+b）=16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3因为，所以m2=3（舍去）综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2，△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4b所以，得b=0或b=4b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；b=4时，直线AB过定点P（4，0）设Q（x，y），因为OQ⊥AB，所以，，（x≠0），综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，（2）中注意设出直线的方程，并讨论m的值．21.若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，，，，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．【考点】数列与不等式的综合.【分析】（1）根据“U﹣数列”的定义可得：x=1时，＞＞；x=2时，＞＞；x≥3时，＞＞，解出即可得出．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n ﹣1，令b i=a i+1﹣a i，可得b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，利用裂项求和方法可得b i≥i﹣1．（2≤i≤n﹣1）．即b i≥i ﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥，即，解得n≤65．另一方面，取b i=i﹣1（1≤i≤64），可得对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，进而得出．（3）M的最小值为，分析如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：a1+a2m﹣（a m+a m+1）≥m（m﹣1），即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）可得M≥．又，可得，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且a1=a m﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=m（m﹣1）+1．此时．即可得出．【解答】解：（1）x=1时，＞＞，所以y=2或3；x=2时，＞＞，所以y=4；x≥3时，＞＞，无整数解；所以所有可能的x，y为，或．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得︸个（2≤i≤n﹣1）即b i≥i﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）=，（**）即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时由（**）式得，所以a65=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．（3）M的最小值为，证明如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（a2m﹣a m+1）﹣（a m﹣a1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣b m﹣1）≥m+m+…+m=m（m﹣1）．即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）故，因为，所以，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，，此时．综上，M的最小值为．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题2018年松江区高三一模试题分析一、填空题1.计算：∞= ．【考点】极限及其运算．【分析】∞=∞，当n→∞，→0，即可求得∞=．【解答】解：∞=∞=，故答案为：【点评】本题考查极限的运算，考查计算转化思想，属于基础题．2.已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B= {x|2≤x＜3} ．【考点】交集及其运算.【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．3.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a= 3 ．【考点】反函数.【分析】直接利用反函数值域和定义域的关系求出结果．【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，解得：a=3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的应用．5.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，则cos2α等于﹣．【考点】二倍角的三角函数.【分析】由角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，可得：r=1，cosα=，从而可求cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考察了三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．6.如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是 2 ．【考点】循环结构.【分析】x=8＞0，不满足条件x≤0，则执行循环体，依此类推，当x=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可．【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7.函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 4 ．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象.【分析】直接利用三角方程求出结果．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在[0，2π]范围内，x=π，π，π，π，故答案为：4．【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象和余弦图象的应用．8.设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= 0 ．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式可得=1，由此求得a的值．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2ax﹣y+3=0的距离为，即=1，解得a=0，故答案为 0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题． 9.在△ABC 中，∠A=90°，△ABC 的面积为1，若=，=4，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的性质及其运算.【分析】通过建系设出B ，C 坐标，化简的表达式，利用三角形面积求解表达式的最小值．【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B （10x ，0），C （0，10y ），若 = ， =4，则M （5x ，5y ），N （2x ，8y ），由题意△ABC 的面积为1，可得50xy=1，=10x 2+40y 2≥2 xy=，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．10.已知函数f （x ）=x|2x ﹣a|﹣1有三个零点，则实数a 的取值范围为（2 ，+∞）．【考点】函数的零点与方程根的关系；研究曲线上某点切线方程. 【分析】转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合．【解答】分类讨论，设()|2|g x x x a =-，可以看作()g x 与1y =有三个交点，当0a <，()g x 图像如图所示，易知与1y =只有1个交点，不符；当0a>，()g x 图像如图所示，要与1y =有3个交点，需满足()14af >，即a >解法二：根据题意，可以看作()|2|g x x a =-与1()h x x=有三个交点，结合图像可知，当2ax >时，()g x 与()h x恒有一个交点，∴当2ax <时，()g x 与()h x 有两个不同交点，即12a xx-=在(0,)x∈+∞有两个解，2210x ax-+=，280a∆=->，且0a>，∴a>【点评】本题考查函数的零点的判断，考查数形结合的应用，是中档题．11.定义，＞，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是②③④（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】由已知中：，＞，结合具有奇偶性及单调性的图象特征，可得答案．【解答】解：，＞，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故①是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．故答案为：②③④．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明，难度中档．12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，，则实数q的取值范围为（﹣，0）.【考点】数列递推式.【分析】由a n=2q n+q，a1=3q＜0，由，，则a n＜0，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为和，即可求q的取值范围．【解答】解：由a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故a n＜0，特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，a n≠0．当﹣＜q＜0时，a2n=2|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最小值及最大值分别为=和=．由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．综上所述，q的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列与函数关系，考查计算能力、转化思想，属于中档题．二、选择题13.若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为( )A.﹣5B.5C.﹣3D.3【考点】复数的运算.【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解．【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题．14.已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，由此能求出结果．【解答】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”或者其他情况，∴“x1+x2=0”是“f(x1)﹣f(x2)=0”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．15.若存在x∈[0，+∞）使＜成立，则实数m的取值范围是( )A.(﹣∞，1）B.(﹣1，+∞）C.(﹣∞，﹣1]D.[1，+∞）【考点】存在量词和特称命题.【分析】推导出2x•m＞2x•x﹣1，从而m＞x﹣，再由x∈[0，+∞），能求出实数m的取值范围．【解答】解：存在x∈[0，+∞）使＜成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，考查二阶行列式、不等式、指数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B ．（﹣1，1]C ．[﹣1，1）D ．[﹣1，0]∪（1，+∞）【考点】双曲线的性质.【分析】利用绝对值的几何意义，由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2，函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2），为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得y ＜0时的情形．【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2， ∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2），所以为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点，则将x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， ∴△＞0，2是方程的根，∴λ λ＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选：C ．【点评】本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题17.在△ABC 中，AB=6，AC=3 ，=﹣18．（1）求BC 边的长；（2）求△ABC 的面积．【考点】三角形中的几何计算.【分析】（1）直接利用向量的数量积和余弦定理求出BC 的长．（2）进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3 ，所以：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA ，解得：BC=3 （2）在△ABC 中，BA=6，AC=3 ，BC=3 ，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：11sin 6922ABCSAB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅【点评】本题考查的知识要点:向量的数量积的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 18.已知函数（x ≠0，常数a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）当a ＞0时，研究函数f （x ）在x ∈（0，+∞）内的单调性．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）根据函数奇偶性定义，可得当a=0时，函数f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，f （x ）在（0，a ）上为减函数，在（a ，+∞）上为增函数；【解答】解：（1）当a=0时，函数f （x ）=1（x ≠0）,满足f （﹣x ）=f （x ），此时f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （a ）=0，f （﹣a ）=2，不满足f （﹣x ）=f （x ），也不满足f （﹣x ）=﹣f （x ），此时f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，若x ∈（0，a ），则＞，为减函数；若x ∈[a ，+∞]，则＜，为增函数；故f （x ）在（0，a ）上为减函数，在[a ，+∞）上为增函数；【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 19.松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t ＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t ）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p （t ）．（1）求p （t ）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【考点】根据实际问题选择函数类型.【分析】（1）由题意知，p （t ）= ，＜，（k 为常数），结合p （2）=272求得k=2，则p （t ）的表达式可求，进一步求得p （6）；（2）写出分段函数Q=，＜，，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【解答】解：（1）由题意知，p （t ）= ，＜，（k 为常数），∵p(2)=400﹣k(10﹣2)2=272，∴k=2．∴24002(10)210()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩． ∴p(6)=400﹣2(10﹣6)2=368(人)；（2）由，可得Q=，＜，，当2≤t ＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t ≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点评】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，，其左焦点为，，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【考点】椭圆的性质.【分析】（1）由c=，由a2=b2+c2=b2+3，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|及|CD|，则四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|=，即可求得k的值，求得直线l的方程；（3）由向量的坐标运算，表示出λ1和λ2，有（2）即可求得λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将，代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3）λ，λ，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣=﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．。

2018年上海高考黄浦区一模数学

黄浦区2017-2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）1．已知全集U=R ，集合{}1|||1|2A x x B x x ⎧⎫=<=>-⎨⎬⎩⎭，，则U (C )BA = ．2．函数()f x 的定义域是．3．若复数z 满足（i 为虚数单位），则z= ． 4．已知sin （α+）=，α∈（﹣，0），则tan α= ．5．若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为． 6．若函数y=a+sinx 在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a= ． 7．已知向量（x ，y ∈R ），，若x 2+y 2=1，则的最大值为．8．已知函数y=f （x ）是奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=log 2（x+1）．若函数y=g （x ）是y=f （x ）的反函数，则g （﹣3）= ．9．已知 R,,m n m n αβαβ∈<<、、、，若αβ、是函数()2()()7f x x m x n =---的零点，则m n αβ、、、四个数按从小到大的顺序是 (用符号<“”连接起来)．10．已知点O ，A ，B ，F 分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F 作OB 的平行线，它与椭圆C 在第一象限部分交于点P ，若，则实数λ的值为．11．已知R x ∈，定义：()A x 表示不小于x 的最小整数．如2,(0.4)0,A A =-= ( 1.1)1A -=- .若(2())5A x A x ⋅=，则正实数x 的取值范围是． 12．已知点M （m ，0），m ＞0和抛物线C ：y 2=4x ．过C 的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，若=2，且||=||，则m= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．） 13．若x ∈R ，则“x ＞1”是“”的（）PA ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．已知向量(3,4)a =-，则下列能使12(R)a e e λμλμ=+∈、成立的一组向量12,e e 是 ( )．A ．12(0,0)(1,2)e e ==-，B ．12(1,3)(2,6)e e =-=-，C ．12(1,2)(3,1)e e =-=-，D ．121(,1)(1,2)2e e =-=-， 15．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是( )．A ．4B ． 5C ． 6D ． 716．已知a 1，a 2，a 3，a 4是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零，若线段l 1，l 2，l 3，l 4的长分别为a 1，a 2，a 3，a 4，则（） A ．对任意的d ，均存在以l 1，l 2，l 3为三边的三角形 B ．对任意的d ，均不存在以为l 1，l 2，l 3三边的三角形 C ．对任意的d ，均存在以l 2，l 3，l 4为三边的三角形 D ．对任意的d ，均不存在以l 2，l 3，l 4为三边的三角形三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）17．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3AB AA BC ===，E F 、分别是所在棱AB BC 、的中点，点P 是棱11A B 上的动点，联结1,EF AC ．如图所示．(1)求异面直线1EF AC 、所成角的大小(用反三角函数值表示)(2)求以E F A P 、、、为顶点的三棱锥的体积．18. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 如图，已知点A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始边，OA 为终边的角设为α，将OA 绕坐标原点逆时针旋转至OB ．（1）用α表示A ，B 两点的坐标；（2）M 为x 轴上异于O 的点，若MA⊥MB，求点M 横坐标的取值范围．19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数101(),R 101xx g x x -=∈+，函数()y f x =是函数()y g x =的反函数．(1)求函数()y f x =的解析式，并写出定义域D ； (2)设1()()h x f x x=-，若函数()y h x =在区间(0,1)内的图像是不间断的光滑曲线，求证：函数()y h x =在区间(1,0)-内必有唯一的零点(假设为t )，且112t -<<-．20．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．定义：若各项为正实数的数列{}n a 满足*1N )n a n +∈，则称数列{}n a 为“算术平方根递推数列”.已知数列{}n x 满足*0N ,n x n >∈，且19,2x =点1(,)n n x x +在二次函数2()22f x x x=+的图像上. (1)试判断数列{}21n x +*(N )n ∈是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由； (2)记lg(21)n n y x =+*(N )n ∈，求证：数列{}n y 是等比数列，并求出通项公式n y ； (3)从数列{}n y 中依据某种顺序自左至右取出其中的项123,,,n n n y y y ，把这些项重新组成一个新数列{}n z ：123123,z ,z ,n n n z y y y ===.若数列{}n z 是首项为111()2m z -=、公比为*1(,N )2k q m k =∈的无穷等比数列，且数列{}n z 各项的和为1663，求正整数k m 、的值．21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆Γ：+=1（a ＞b ＞0），过原点的两条直线l 1和l 2分别与Γ交于点A 、B和C 、D ，得到平行四边形ACBD ．（1）当ACBD 为正方形时，求该正方形的面积S ；（2）若直线l 1和l 2关于y 轴对称，Γ上任意一点P 到l 1和l 2的距离分别为d 1和d 2，当d 12+d 22为定值时，求此时直线l 1和l 2的斜率及该定值．（3）当ACBD 为菱形，且圆x 2+y 2=1内切于菱形ACBD 时，求a ，b 满足的关系式．黄浦区2017-2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷（答案）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）1．1(1,]2--；2．(1,)+?； 3. 1+2i ； 4. ﹣2； 5. ； 6. 1； 7. ； 8. ﹣7；9．m n a b <<<；10.11.514x <≤12.二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）13.A14.C15.A16.C三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）17．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．解(1)联结AC ，在长方体1111ABCD A B C D -中，有AC EF .又1CAC ∠是直角三角形1ACC 的一个锐角，∴1CAC ∠就是异面直线1AC EF 与所成的角.由14,3AB AA BC ===，可算得5AC ==.∴114tan 5CC CAC AC ∠==，即异面直线1AC EF 与所成角的大小为4arctan 5. (2)由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱1AA 的长相等．∴113P AEF AEF V S AA -∆=⋅． ∵113322222AEF S AE BF ∆=⋅=⋅⋅=，∴1113=4=2332P AEF AEF V S AA -∆=⋅⋅⋅．18. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 解：（1）点A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始边，OA 为终边的角设为α，可得A （cos α，sin α），将OA 绕坐标原点逆时针旋转至OB ．可得B （cos （），sin （）），即B （﹣sin α，cos α）．（2）设M （x ，0），x ≠0， =（cos α﹣x ，sin α），=（﹣sin α﹣x ，cos α）．MA ⊥MB ，可得（cos α﹣x ）（﹣sin α﹣x ）+sin αcos α=0． xsin α﹣xcos α+x 2=0，可得﹣x=sin α﹣cos α=sin （）∈[﹣，]．综上x ∈[﹣，0）∪（0，]．点M 横坐标的取值范围：[﹣，0）∪（0，]．19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．解(1) 1012()1,R 101101x xx g x x -==-∈++， ()1g x ∴<.又1011x +>，2211110101x∴->-=-++. 1()1g x ∴-<<.由101101x x y -=+，可解得1110,lg 11xy y x y y ++==--.1()lg1xf x x+∴=-，(1,1)D =-. 证明 (2)由(1)可知，11111()()lg lg 11x xh x f x x x x x x+-=-=-=+-+.可求得函数()h x 的定义域为1(1,0)(0,1)D =-.对任意1x D ∈，有1111()()lg lg 011x xh x h x x x x x-++-=+++=+--，所以，函数()y h x =是奇函数. 当(0,1)x ∈时，1x 在(0,1)上单调递减，12=111x x x--+++在(0,1)上单调递减，于是，1lg1xx-+在(0,1)上单调递减. 因此，函数()y h x =在(0,1)上单调递减. 依据奇函数的性质，可知，函数()y h x =在(1,0)-上单调递减，且在(1,0)-上的图像也是不间断的光滑曲线. 又199100100()2lg 30,()lg1992021009999h h -=-+<-=-+>->, 所以，函数()y h x =在区间(1,0)-上有且仅有唯一零点t ，且112t -<<-. 20．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．解(1)答：数列{}21n x +是算术平方根递推数列.理由：1(,)n n x x +点在函数2()22f x x x =+的图像上，21122,n n n x x x ++∴=+ 21121441n n n x x x +++=++即，2121(21)n n x x ++=+.又*0,N n x n >∈，∴*121n x n N ++=∈．∴数列{}21n x +是算术平方根递推数列. 证明(2) *1lg(21),21N n n n y x x n +=++=∈，112n n yy +∴=. 又1119lg(21)1()2y x x =+==,∴数列{}n y 是首项为11y =,公比12q =的等比数列.1*11(),N 2n n y y n -∴=⋅∈.(3)由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数， 1116216312m k-∴=- ．化简，得116631622k m -+=．若13m -≥，则1166316631663++16222828k m k -+≤≤<.这是矛盾！ 12m ∴-≤. 又101m -=或时，116631622k m -+>, ∴ 12,3m m -==即. 166316,264,624kk k ∴=-==解得. 3,6.m k =⎧∴⎨=⎩ 21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解：（1）∵ACBD 为正方形，∴直线l 1和l 2的方程为y=x 和y=﹣x ，设点A 、B 的坐标为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），解方程组，得==，由对称性可知，S=4=；（2）由题意，不妨设直线l 1的方程为y=kx ，则直线l 2的方程为y=﹣kx ，设P （x 0，y 0），则+=1，又∵d 1=，d 2=，∴+=+=，将=b 2（1﹣）代入上式，得+=，∵d12+d22为定值，∴k2﹣=0，即k=±，于是直线l1和l2的斜率分别为和﹣，此时+=；（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），则切线AC的方程为：x0x+y0y=1，点A、C的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）为方程组的实数解．①当x0=0或y0=0时，ACBD均为正方形，椭圆均过点（1，1），于是有+=1；②当x0≠0或y0≠0时，将y=（1﹣x0x）代入+=1，整理得：（a2+b2）x2﹣2a2x0x﹣a2（1+b2）=0，由韦达定理可知x1x2=，同理可知y1y2=，∵ACBD为菱形，∴AO⊥CO，即x1x2+y1y2=0，∴+=0，整理得：a2+b2=a2b2（+），又∵+=1，∴a2+b2=a2b2，即+=1；综上所述，a，b满足的关系式为+=1．。

2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷含详解

2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A=．2．（3分）函数的定义域是．3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为．8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=．9．（3分）已知m、n、α、β∈R，m＜n，α＜β，若α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m、n、α、β四个数按从小到大的顺序是（用符号“＜”连接起来）．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x 的取值范围是．12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A．B．C．D．15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．4B．5C．6D．716．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{a n}满足，则称数列{a n}为“算术平方根递推数列”．已知数列{x n}满足，且，点（x n+1，x n）在二次函数f（x）=2x2+2x 的图象上．（1）试判断数列{2x n+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记y n=lg（2x n+1）（n∈N*），求证：数列{y n}是等比数列，并求出通项公式y n；（3）从数列{y n}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列{z n}：．若数列{z n}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{z n}各项的和为，求正整数k、m的值．21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A= {x|﹣1＜x≤} ．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行计算即可．【解答】解：A={x|﹣1＜x＜1}，∁U B={x|x≤}，则（∁U B）∩A={x|﹣1＜x≤}，故答案为：{x|﹣1＜x≤}，【点评】本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交，并，补运算，比较基础．2．（3分）函数的定义域是（1，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】令被开方数大于等于0，真数大于0，分母不为0得到不等式组，求出x的范围写出区间形式．【解答】解：要使函数有意义，需满足解得x＞1故答案为：（1，+∞）【点评】本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题．3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=1+2i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GO：运用诱导公式化简求值．【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．【分析】由α∈（﹣，0）sin（α+）=，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；3A：极限思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．【分析】设数列中的任意一项为a，利用无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和列方程，即可求得公比．【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．【点评】本题考查数列的极限，解题的关键是利用无穷等比数列的求和公式，是基础的计算题．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=1．【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】11：计算题；13：作图题；31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】作函数y=sinx在区间[π，2π]上的图象，从而结合图象解得．【解答】解：作函数y=sinx在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a﹣1=0，故a=1；故答案为：1．【点评】本题考查了学生对三角函数的掌握情况及数形结合的思想应用．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为﹣1．【考点】91：向量的概念与向量的模．【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】利用|﹣|=≥||﹣1，即可求出【解答】解：设O（0，0），P（1，2），∴|﹣|=≥||﹣1=﹣1=﹣1，∴|﹣|的最小值为﹣1【点评】本题考查了向量的模的计算公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=﹣7．【考点】4R：反函数．【专题】33：函数思想；4R：转化法．【分析】根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定义域是原函数的值域，即可求解．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（﹣3）=﹣g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log2（x+1）=3，解得：x=7，即g（3）=7，故得g（﹣3）=﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查了反函数与原函数的性质关系．属于基础题．9．（3分）已知m、n、α、β∈R，m＜n，α＜β，若α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m、n、α、β四个数按从小到大的顺序是α＜m＜n＜β（用符号“＜”连接起来）．【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由题意可知α、β是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与函数y=7的交点的横坐标，且m、n是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标，从而判断大小关系．【解答】解：∵α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，∴α、β是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与函数y=7的交点的横坐标，且m、n是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标，故由二次函数的图象可知，α＜m＜n＜β；故答案为：α＜m＜n＜β．【点评】本题考查了函数的零点与函数图象的关系应用，属于基础题．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；35：转化思想；41：向量法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，求出的坐标，代入，结合隐含条件求得实数λ的值．【解答】解：如图，A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），∴，，由，得，即b=c，∴a2=b2+c2=2b2，．则．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x 的取值范围是（1，] ．【考点】7I：不等式的综合．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由A（x）表示不小于x的最小整数分类讨论可得2x•A（x）的取值范围，解不等式验证可得．【解答】解：当A（x）=1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）=2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）=2，当A（x）=3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）=2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]【点评】本题考查新定义的理解，涉及分类讨论的思想，正确A（x）取值意义是解决本题的关键，属中档题．12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，利用已知条件求出A，B的坐标，通过向量关系求出m值即可．【解答】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），∵=2，可得：2（x2﹣1，y2）=（1﹣x1，﹣y1），可得y2=﹣，x2=，，解得x1=2，y1=±2．||=||，可得|m﹣1|=，解得m=．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由x＞1，一定能得到得到＜1，但当＜1时，不能推出x＞1 （如x=﹣1时），故x＞1是＜1 的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】作为基底不共线即可，判断四组向量是否共线．【解答】解：作为基底不共线即可，共线，共线，不共线，共线，故选：C．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题．15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=1+2+23+211时，不满足条件S＜1000，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S＜1000，S=1，k=1满足条件S＜1000，S=1+2=3，k=2满足条件S＜1000，S=1+2+23=11，k=3满足条件S＜1000，S=1+2+23+211，k=4不满足条件S＜1000，退出循环，输出k的值为4．故选：A．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环S的值是解题的关键，属于基础题．16．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形【考点】84：等差数列的通项公式；HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列；58：解三角形；59：不等式的解法及应用．【分析】利用等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，即可判断出结论．【解答】解：A：对任意的d，假设均存在以l1，l2，l3为三边的三角形，∵a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，∴a2+a3＞a1，a3+a1=2a2＞a2，而a1+a2﹣a3=a1﹣d不一定大于0，因此不一定存在以为l1，l2，l3三边的三角形，故不正确；B：由A可知：当a1﹣d＞0时，存在以为l1，l2，l3三边的三角形，因此不正确；C：对任意的d，由于a3+a4，＞a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3＞0，a2+a3﹣a4=a1＞0，因此均存在以l2，l3，l4为三边的三角形，正确；D．由C可知不正确．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）联结AC，则AC∥EF，∠CAC1就是异面直线EF，AC1所成的角，由此能求出异面直线EF，AC1所成角．（2）由题意可知，点P到底面ABCD的距离与棱AA1的长相等．由此能出以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．【解答】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（6分）．解：（1）联结AC，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有AC∥EF．又∠CAC1是直角三角形ACC1的一个锐角，∴∠CAC1就是异面直线EF，AC1所成的角．由AB=AA1=4，BC=3，得AC==5．∴tan∠CAC1==，即异面直线EF，AC1所成角为arctan．（2）由题意可知，点P到底面ABCD的距离与棱AA1的长相等．∵，∴=．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查三棱锥体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；G9：任意角的三角函数的定义．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；56：三角函数的求值．【分析】（1）利用三角函数的定义直接表示A，B坐标；（2）设出M，利用向量的数量积为0，得到关系式，然后求解点M横坐标的取值范围．【解答】解：（1）点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，α∈（0，）可得A（cosα，sinα），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B（cos（），sin（）），即B（﹣sinα，cosα）．（2）设M（x，0），x≠0，=（cosα﹣x，sinα），=（﹣sinα﹣x，cosα）．MA⊥MB，可得（cosα﹣x）（﹣sinα﹣x）+sinαcosα=0．xsinα﹣xcosα+x2=0，可得﹣x=sinα﹣cosα=sin（）∈（﹣1，1）．综上x∈（﹣1，0）∪（0，1）．点M横坐标的取值范围：（﹣1，0）∪（0，1）．【点评】本题考查平面向量的数量积，三角函数定义的应用，考查转化思想以及计算能力．19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．【考点】4R：反函数．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由函数g（x）=，x∈R，结合指数的运算性质，求出函数的值域，可得反函数的定义域，利用反函数表示法，可得函数y=f（x）的解析式；（2）分析函数h（x）=的单调性和奇偶性，利用零点存在定理，可得结论．【解答】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（7分），第2小题满分（7分）．解：（1）∵函数g（x）==1﹣，∴g（x）∈（﹣1，1）．令y=g（x）=1﹣，则=1﹣y，即，即x=，∴f（x）=，x∈（﹣1，1）．证明：（2）由（1）可知，h（x）==﹣，x∈（﹣1，0）∪（0，1）．∵h（﹣x）+h（x）=﹣﹣+﹣=0，所以，函数h（x）是奇函数．当x∈（0，1）时，单调递减，=﹣1+单调递减，于是单调递减．因此，函数h（x）单调递减．依据奇函数的性质，可知，函数h（x）在（﹣1，0）上单调递减．又∵h（﹣）=﹣2+lg3＜0，h（﹣）=﹣+lg199＞0，所以，函数h（x）在区间（﹣1，0）上有且仅有唯一零点t，且﹣1．【点评】本题考查的知识点是反函数，熟练掌握反函数性质，原函数过（a，b）点，反函数过（b，a）点，是解答的关键．20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{a n}满足，则称数列{a n}为“算术平方根递推数列”．已知数列{x n}满足，且，点（x n+1，x n）在二次函数f（x）=2x2+2x 的图象上．（1）试判断数列{2x n+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记y n=lg（2x n+1）（n∈N*），求证：数列{y n}是等比数列，并求出通项公式y n；（3）从数列{y n}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列{z n}：．若数列{z n}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{z n}各项的和为，求正整数k、m的值．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；23：新定义；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）数列{2x n+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列，利用点（x n+1，x n）在二次函数f（x）=2x2+2x的图象上，可得x n=2x n+12+2x n+1，即可证明2x n+1+1=，从而数列{2x n+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列；（2）由y n=lg（2x n+1），2x n+1+1=，可得y n+1=y n，即可证明∴数列{y n}是首项为1，公比为等比数列，从而求出通项公式y n；（3）由题意可得数列{z n}的首项为，公比为，可得+=16，再分类讨论，可得正整数k、m的值．【解答】解：（1）数列{2x n+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列，证明如下：，x n）在二次函数f（x）=2x2+2x的图象上，∵点（x n+1∴x n=2x n+12+2x n+1，∴2x n+1=（2x n+1+1）2，∵x n＞0，n∈N*，∴2x n+1=，+1∴数列{2x n+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列；（2）∵y n=lg（2x n+1），2x n+1+1=，∴y n=y n，+1∵y1=lg（2x1+1）=1，∴数列{y n}是首项为1，公比为等比数列，∴通项公式y n=（）n﹣1（3）由题意可得数列{z n}的首项为，公比为，∴=，∴+=16，若m﹣1≥3，则+≤+＜+＜16，矛盾，∴m﹣1≤2，∵m﹣1=0或1时，+＞16，∴m﹣1=2，∴m=3，∴k=6．【点评】本题考查新定义，考查等比数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过ACBD为正方形可知直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，进而联立直线与椭圆方程，利用对称性即得结论；（2）通过妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），利用点到直线的距离公式及+=1，整理可知+的表达式，进而利用d12+d22为定值计算即得结论；（3）通过设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），联立切线AC的方程与椭圆方程，分x0=0或y0=0、x0≠0或y0≠0两种情况讨论即可．【解答】解：（1）∵ACBD为正方形，∴直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，设点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），解方程组，得==，由对称性可知，S=4=；（2）由题意，不妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），则+=1，又∵d1=，d2=，∴+=+=，将=b2（1﹣）代入上式，得+=，∵d12+d22为定值，∴k2﹣=0，即k=±，于是直线l1和l2的斜率分别为和﹣，此时+=；（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），则切线AC的方程为：x0x+y0y=1，点A、C的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）为方程组的实数解．①当x0=0或y0=0时，ACBD均为正方形，椭圆均过点（1，1），于是有+=1；②当x0≠0或y0≠0时，将y=（1﹣x0x）代入+=1，整理得：（a2+b2）x2﹣2a2x0x﹣a2（1+b2）=0，由韦达定理可知x1x2=，同理可知y1y2=，∵ACBD为菱形，∴AO⊥CO，即x1x2+y1y2=0，∴+=0，整理得：a2+b2=a2b2（+），又∵+=1，∴a2+b2=a2b2，即+=1；综上所述，a，b满足的关系式为+=1．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。

上海市浦东新区2018届高三数学一模---精校解析Word版

上海市浦东新区2018届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 集合，，则________【答案】【解析】∵，，∴点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 不等式的解集为________【答案】【解析】由，得：，即解得：∴不等式的解集为.3. 已知函数的反函数是，则________【答案】3【解析】设，则即∴∴故答案为：34. 已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为________【答案】-1【解析】∵向量，，∴，，∴向量在向量的方向上的投影为故答案为：-15. 已知是虚数单位，复数满足，则________【答案】【解析】∵∴∴故答案为：点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．6. 在的二项展开式中，的系数是________【答案】80【解析】由题意得：，当时，∴的系数是80故答案为：807. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为________【答案】【解析】一工厂生产的10个产品中有9个一等品，1个二等品，现从这批产品中抽取4个，基本事件总数n==495，其中恰好有一个二等品的基本事件个数m=，∴其中恰好有一个二等品的概率p==．故答案为：8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是________【答案】【解析】∵函数是定义在上的偶函数，∴又在上是增函数，∴即，∴故答案为：9. 已知等比数列前项和为，则使得的的最小值为________【答案】10【解析】由题意知：即∴使得的的最小值为10故答案为：1010. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为________【答案】【解析】因为|OA|=3，所以底面圆周长为6π，所以底面圆的面积为9π，所以弧AB长为6π，又因为，则有，所以SA=9．扇形ASB的面积为，所以圆锥的表面积=9π+27π=36π故答案为：36π.....................【答案】【解析】由题意可知：∴又对任意的实数，都有成立，∴为的最小值，为的最大值∴，，，∴的最小值为12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________【答案】【解析】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），即x=2x1-x2，y=2y1-y2，∵点M，N在双曲线上，所以，，故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），设k0M，k ON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0M k ON=2，∴y1y2-2 x1x2=0，∴2x2-y2=20，所以P在双曲线2x2-y2=20上；设该双曲线的左，右焦点为F1，F2，由双曲线的定义可推断出为定值，该定值为点睛：本题主要考查了双曲线定义及简单的几何性质．充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手段．二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若实数，则命题甲“”是命题乙“”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B【解析】当时，满足命题甲，但推不出命题乙，∴充分性不具备，当时，显然能推出命题甲“”，∴必要性具备，故答案为：必要非充分条件14. 已知中，，，点是边上的动点，点是边上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】如图，建立平面直角坐标系，设，，，，，故选；B15. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，、为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）小时A. 22B. 23C. 24D. 33【答案】C【解析】由题意可得：，解得：∴∴该食品在33℃的保鲜时间是24小时故选：C16. 关于的方程恰有3个实数根、、，则（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】设，易知：为偶函数，若方程恰有3个实数根、、，其中一根必为0，另外两根互为相反数，，即，由图易得：另外两根为，∴故选：B点睛：本题考查的是函数零点的个数问题.函数零点问题的处理一般有以下几种方法：1、通过解方程得到函数的零点，得到零点个数；2、利用二分法判断函数的零点，3、利用函数与方程思想，通过分离化原函数为两个函数，转化为利用两个函数图象的交点个数来判断函数的零点个数.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在长方体中，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由是异面直线与所成的角或其补角.（2）利用等积法求三棱锥的体积.试题解析：（1）是异面直线与所成的角或其补角.在等腰中，易得.即：异面直线与所成的角.（2）.点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．18. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，且.（1）求；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，易得：，利用正弦定理把条件统一到角上，从而易得的值；（2）由余弦定理及，易得：，再结合，得到的值.试题解析：（1）由，∴，由正弦定理得：，∴；；由，∴，∴；（2）由，∴，∴，∴；由知，，∴，∴点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：①定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.②定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.③求结果.19. 已知等差数列的公差为2，其前项和（，）.（1）求的值及的通项公式；（2）在等比数列中，，，令（），求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由求得的值及的通项公式；（2）由题意可得：，分奇偶项讨论，分组求和即可.试题解析：（1），，，，（2）∵，∴，，当时，，，，当时，是偶数，20. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，设点，在中，，周长为.（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点的直线与椭圆相交于、两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由.【答案】（1）；（2）过定点；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)由题意布列关于的方程组，从而得到椭圆方程；(2) 设直线方程：，联立方程可得：，利用根与系数的关系及，得到过定点.（3）设直线与椭圆相切，，两切线到的距离分别为，根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数.试题解析：（1）由得：，所以………①又周长为，所以………②解①②方程组，得所以椭圆方程为（2）设直线方程：，交点依题：即：过定点.（3），设直线与椭圆相切，得两切线到的距离分别为当时，个数为0个当时，个数为1个当时，个数为2个当时，个数为3个当时，个数为4个点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数的定义域为，值域为，即，若，则称在上封闭.（1）分别判断函数，在上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为，且存在反函数，若函数在上封闭，且函数在上也封闭，求实数的取值范围；（3）已知函数的定义域为，对任意，若，有恒成立，则称在上是单射，已知函数在上封闭且单射，并且满足，其中（），，证明：存在的真子集，，使得在所有（）上封闭.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)根据在上封闭的定义，分别求出函数，在上的值域，即可判断是否封闭；（2）函数在D上封闭，则.函数在上封闭，则，得到：.从而问题转化为：在两不等实根．（3）分两种情况：和，第一种情况显然不成立，第二种情况，因为是单射，因此取一个，则是唯一的使得的根，换句话说考虑到，即，因为是单射，则这样就有了.接着令，并重复上述论证证明..试题解析：（1）因为函数的定义域为，值域为，（取一个具体例子也可），所以在上不封闭.在上封闭（2）函数在D上封闭，则.函数在上封闭，则，得到：.在单调递增.则在两不等实根．，故，解得．另解：在两不等实根．令在有两个不等根，画图，由数形结合可知，解得．（3）如果，则，与题干矛盾.因此，取，则.接下来证明，因为是单射，因此取一个，则是唯一的使得的根，换句话说考虑到，即，因为是单射，则这样就有了.接着令，并重复上述论证证明..。

(11套)2018年上海市含所有区高考数学一模试卷汇总(打包下载)

（11套）2018年上海市含所有区高考数学一模试卷汇总2018年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．（4分）不等式＜0的解是．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且=a，则a=．S11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=3．【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}，A∪B={1，2，3，5}，∴a=3．故答案为：3．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式＜0的解是（﹣1，0）．【解答】解：不等式＜0，即x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1﹣i．【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案为：1﹣i．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是21．（用数字作答）【解答】解：（x﹣）7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2，∴一次项的系数是．故答案为：21．6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．【解答】解：若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则：（，）满足f（x）=xα，所以：，解得：，故答案为：．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为18πcm2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为V=πa2•a=27π，解得a=3cm；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．故答案为：18π．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=﹣．【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，∴x＞0时，﹣f（x）=2﹣x﹣a（﹣x），∴f（x）=﹣2﹣x﹣ax，∵f（2）=2，∴f（2）=﹣2﹣2﹣2a=2，解得a=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且=a，则a=2．S【解答】解：无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，=a，且S可得=a，即有=a，即为2a2﹣5a+2=0，解得a=2或，由题意可得0＜|q|＜1，即有0＜|a﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立．故答案为：2．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有780种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论：①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C53C31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C52C32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C51C33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法，则一共有360+360+60=780；故答案为：780．12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=4．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，设B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC=α，由||=2，知A（﹣a+2cosα，2sinα），∴=（a﹣2cosα，b﹣2sinα），=（2a，0），∴•=2a（a﹣2cosα）+0=2a2﹣4acosα=6，∴a2﹣2acosα=3；又=（2a﹣2cosα，﹣2sinα），∴=（2a﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2=4a2﹣8acosα+4=4（a2﹣2acosα）+4=4×3+4=16，∴||=4，即AC=4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b【解答】解：由a＞b，利用指数函数的单调性可得：2a＞2b．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A，B，C不正确．故选：D．15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线为：y=±x．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A（2，1），B（2，﹣1）．=a+b=（2a+2b，a﹣b）．代入双曲线方程可得：﹣（a﹣b）2=1，化为ab=．∴=ab，化为：|a+b|≥1．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，=AB×BC=2×2=4，∵S正方形ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：V===．（2）∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A1D=A1B==2，∴cos∠A1BD===．∴∠A1BD=arccos．∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．【解答】解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；（2）由f（）=，即2sin（A+）=可得sin（A+）=∵0＜A＜π∴＜A＜∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1时，=1，解得a=，当0＜a＜1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），∵k OA•k OB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==，=|AB|d==•==1∴S△OAB21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．【解答】解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市虹口区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，则=．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=．5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是．7．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC 的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF 2的内切圆的面积为π，则=．11．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．+12018年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为（﹣∞，2）．【解答】解：要使函数有意义，可得2﹣x＞0，即x＜2．函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为：（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=0．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），f（0）=0，即f（﹣1）+f（0）+f（1）=0，故答案为：0．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，则= 1．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}的首项和公比均为，则其前n项和S n==1﹣（）n，则=1；故答案为：1．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=﹣．【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC===﹣．故答案为：﹣5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是[，] ．【解答】解：∵z=a+bi（a，b∈R），且|z|=1，∴，即a2+b2=1，令a=cosθ，b=sinθ，则ab=cosθ•sinθ=，∴ab∈[，]．故答案为：．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是18．【解答】解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，分2种情况讨论：①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，有C31C32=9种选法，②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有C31C32=9种选法，则一共有9+9=18种选法；故答案为：187．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．【解答】解：如图，设三棱锥P﹣ABC的底面积为S，高为h，∵M是AB的中点，∴，∵N是PC的中点，∴三棱锥N﹣MBC的高为，则，，∴=．故答案为：．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．【解答】解：根据题意，抛物线y2=12x的焦点为（3，0），若双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的顶点坐标为（±3，0），则有a2=9，则双曲线的方程为：﹣y2=1，双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为故答案为：9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC是等腰三角形，∵底边长为一个周期T=2π，高为，∴△ABC的面积=2=，故答案为：．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF 2的内切圆的面积为π，则=4．【解答】解：∵椭圆+的左右焦点分别为F1，F2，a=2，过焦点F1的直线交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，△MNF2的内切圆的面积为π，∴△MNF2内切圆半径r=1．∴△MNF2面积S=×1×（MN+MF2+MF2）=2a=4，故答案为：411．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：如图所示，∵D是BC的中点，∴=+=+，又=+，，∴+=+a n（+），）+，化为：=（1﹣a n﹣a n+1∵点列P n（n∈N*）在线段AC上，+=1，∴1﹣a n﹣a n+1化为：a n=﹣，又a1=1，+1则数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为﹣．∴a n=．故答案为：．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为（0，0）或（1，0）．【解答】解：根据题意，函数y=f（x）的零点为方程x2+2a•x+b•2x=0的根，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，则有f（x）=x，即x2+2a•x+b•2x=x，方程x2+2a•x+b•2x=x的根就是函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点，则有，解可得x=0，即x2+2a•x+b•2x=0的1个根为x=0，分析可得b=0，则f（x）=x2+2a•x，解可得x1=0或x2=﹣2a，f（f（x））=（x2+2a•x）2+2a（x2+2a•x），若函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，分析可得a=0或a=1，则（a，b）为（0，0）或（1，0）；故答案为（0，0）或（1，0）．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]【解答】解：∵异面直线a和b所成的角为θ，∴θ的范围是（0，]．故选：C．14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1【解答】解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”；即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．故选：C．15．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．【解答】解：∵函数，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=1009×f（﹣1）+1008×f（0）=1009×2﹣1+1008×20=．故选：D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．【解答】解：以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），∵||=2，∴M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．∵，∴N是MC的中点．设M（2cosα，2sinα），则N（cosα，sinα+3），∴=（cosα﹣4，sinα+3），∴||2=（cosα﹣4）2+（sinα+3）2=6sinα﹣8cosα+26=10sin（α﹣φ）+26，∴当sin（α﹣φ）=﹣1时，||取得最小值=4，当sin（α﹣φ）=1时，||取得最大值=6．故选B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．【解答】证明：（1）在三棱锥P﹣ABC中，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．∴PM⊥AC，AB⊥平面PAC，∴PM⊥AB，∵AB∩AC=A，∴PM⊥平面ABC．解：（2）连结BM，∵PM⊥平面ABC，∴∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点，∴PM==，BM===，∴tan∠PBM===，∴．∴直线PB和平面ABC所成的角为arctan．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．【解答】解：函数=sinωx+cosωx=2sin （ωx），（1）∵函数的最小正周期等于π．即∴ω=2．可得f（x）=2sin（2x），由2x，k∈Z得：≤x≤故得函数的单调递增区间为[，]，k∈Z（2）∵f（x）=2sin（2x），当，（2x）∈[]∴当2x=时，函数f（x）取得最大值为2．当2x=时，函数f（x）取得最小值为﹣1．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．【解答】解：（1）设AQ=x，则由得：即AP=故S==（x＞1）；（2）由（1）得：S′=（x＞1）；当x∈（1，2）时，S′＜0，当x∈（2，+∞）时，S′＞0，故x=2时，S min=4．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．【解答】解：（1）如图，以FK的中点为坐标原点O，FK所在的直线为x轴，过O的垂线为y轴建立直角坐标系，即有F（，0），直线l：x=﹣，动圆M过点F且与直线l相切，可得|AE|=|AF|，由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线l为准线的抛物线，可得方程为y2=2px；（2）点A到直线l的距离为d，可得|AE|=|AF|=d，且，设A（x0，y0），可得y02=2px0，即有d=x0+，则x0=d﹣，即有|EF|2=p2+y02=p2+2p（d﹣）=2pd，在△EAF中，cos∠EAF==1﹣，可得﹣≤cos∠EAF≤，可得arccos≤π﹣arccos，则∠EAF的取值范围是[arccos]；（3）∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．设A（x0，y0），可得y02=2px0，当A与O重合时，显然一个交点；当A不与O重合，由∠EAF的平分线交x轴于M，连接EM，可得∠AMF=∠MAF，即有|MF|=|AF|=d，四边形AEMF为菱形，EF垂直平分AM，可得∠AMF+∠EFM=90°，tan∠AMF=cot∠EFM==，可设y0＞0，则直线AM的方程为y﹣y0=（x﹣x0），则y0y﹣y02=px﹣px0，化为y0y=px+px0，代入抛物线的方程y2=2px，消去x可得，y2﹣2y0y+2px0=0，即为（y﹣y0）2=0，可得y=y0，x=x0，即∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．+1【解答】解：（1）∵无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．a2=2，且对于一切正整数n，均有，∴==1，=，由此猜想=23﹣n．再利用数学归纳法证明：①当n=1时，=4，成立．②假设n=k时，成立，即，则a k+1====2（6﹣2k）﹣（4﹣k）=22﹣k=23﹣（k+1）．由①②得，∴{a n}是首项为4，公比为的等比数列，∴S n==8（1﹣）．（2）∵对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，∴S n=a n a n+1，S n﹣1=a n﹣1a n，∴a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∴a n+1﹣a n﹣1=1．a1=4，由a n•a n+1=S n，得a2=1，a3=5，a4=3，…∴当n为偶数时，+===．当n为奇数时，S n=++==．证明：（3）∵对于一切正整数n，均有a n+a n+1=3S n，∴a n+a n+1=3S n，a n﹣1+a n=3S n﹣1，∴a n+1﹣a n﹣1=3a n，a1+a2=3a1，a2=2a1=8，能被8整除，a3﹣a1=3a2，a3=28，假设a3k﹣1=8m，m∈N*．=3a2k+1+a3k=3（3a3k+a3k﹣1）+a3k则a3k+2=10a3k+a3k﹣1=40p+24q，p，q∈N*能被8整除，综上，a3n能被8整除．﹣12018年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A=．2．（3分）函数的定义域是．3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为．8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=．9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是（用符号“＜“连接起来）．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是．12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A．B．C．D．15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．4 B．5 C．6 D．716．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{a n}满足，则称数列{a n}为“算术平方根递推数列”．，x n）在二次函数f（x）=2x2+2x 已知数列{x n}满足，且，点（x n+1的图象上．（1）试判断数列{2x n+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记y n=lg（2x n+1）（n∈N*），求证：数列{y n}是等比数列，并求出通项公式y n；}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，（3）从数列{y把这些项重新组成一个新数列{z n}：．若数列{z n}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{z n}各项的和为，求正整数k、m的值．21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A= {x|﹣1＜x≤} ．【解答】解：A={x|﹣1＜x＜1}，∁U B={x|x≤}，则（∁U B）∩A={x|﹣1＜x≤}，故答案为：{x|﹣1＜x≤}，2．（3分）函数的定义域是（1，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，需满足解得x＞1故答案为：（1，+∞）3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=1+2i．【解答】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=1．【解答】解：作函数y=sinx在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a﹣1=0，故a=1；故答案为：1．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为﹣1．【解答】解：设O（0，0），P（1，2），∴|﹣|=≥||﹣1=﹣1=﹣1，∴|﹣|的最小值为﹣18．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=﹣7．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（﹣3）=﹣g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log2（x+1）=3，解得：x=7，即g（3）=7，故得g（﹣3）=﹣7．故答案为：﹣7．9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是α＜m＜n ＜β（用符号“＜“连接起来）．【解答】解：∵α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，∴α、β是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与函数y=7的交点的横坐标，且m、n是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标，故由二次函数的图象可知，α＜m＜n＜β；故答案为：α＜m＜n＜β．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．【解答】解：如图，A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），∴，，由，得，即b=c，∴a2=b2+c2=2b2，．则．故答案为：．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是（1，] ．【解答】解：当A（x）=1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）=2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）=2，当A（x）=3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）=2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．【解答】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），∵=2，可得：2（x2﹣1，y2）=（1﹣x1，﹣y1），可得y2=﹣，x2=，，解得x1=2，y1=±2．||=||，。

届上海市黄浦区高三数学模拟试卷及答案

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2018届上海市黄浦区高三数学模拟试卷题目一、填空题(本大题共有12题，满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1.函数的定义域是 .2.若的方程组有无数多组解，则实数 _________.3.若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则的最大值为 .4.已知复数， (其中i为虚数单位)，且是实数，则实数t等于 .5.若函数 (a>0,且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是 .6.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 .7. 已知圆和两点，若圆上至少存在一点，使得，则的取值范围是 .8. 已知向量，，如果∥ ，那么的值为 .9.若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是.10.若将函数的图像向左平移个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是 .11.三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是 .12.对于数列，若存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列是以为周期的周期数列.设，对任意正整数n都有若数列是以5为周期的周期数列，则的值可以是 .(只要求填写满足条件的一个m值即可)二、选择题(本大题共有4题，满分20分.)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是 ( )A.y = sin(2x+B.y = cos(2x+C.y = sin(x+D.y = cos(x+14.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ( )A. B.C. D.15.已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 ( )A. B.C. D.16.如图所示，，圆与分别相切于点，，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是 ( )A. B.C. D.三、解答题(本大题共有5题，满分76分.)解答下列各题必须在答题纸相应编号的`规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在直棱柱中，，，分别是的中点.(1)求证： ;(2)求与平面所成角的大小及点到平面的距离.18.(本题满分14分)本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分.在中，角的对边分别为，且成等差数列.(1)求角的大小;(2)若，，求的值.19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.如果一条信息有n 种可能的情形(各种情形之间互不相容)，且这些情形发生的概率分别为，则称 (其中 )为该条信息的信息熵.已知 .(1)若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小;(2)某次比赛共有n位选手(分别记为 )参加，若当时，选手获得冠军的概率为，求“谁获得冠军”的信息熵关于n的表达式.20.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设椭圆M: 的左顶点为、中心为，若椭圆M过点，且 .(1)求椭圆M的方程;(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值;(3)过点作两条斜率分别为的直线交椭圆M于两点，且，求证：直线恒过一个定点.21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若函数满足:对于任意正数，都有，且，则称函数为“L函数”.(1)试判断函数与是否是“L函数”;(2)若函数为“L函数”，求实数a的取值范围;(3)若函数为“L函数”，且，求证：对任意，都有2018届上海市黄浦区高三数学模拟试卷答案一、填空题：(1~6题每题4分;7~12题每题5分)1. ;2. ;3. ;4. ;5. ;6. ;7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. (或，或 ).二、选择题：(每题5分)13.A 14.D 15. C 16. B三、解答题：(共76分)17.解：(1)以A为坐标原点、AB为x轴、为y轴、为z轴建立如图的空间直角坐标系.由题意可知，故，…………………4分由，可知，即. …………………6分(2)设是平面的一个法向量，又，故由解得故. …………9分设与平面所成角为，则，…………12分所以与平面所成角为，点到平面的距离为. …………………14分18.解：(1)由成等差数列，可得，…………………2分故，所以，………4分又，所以，故，又由，可知，故，所以 . …………………6分(另法：利用求解)(2)在△ABC中，由余弦定理得，…………………8分即，故，又，故，………………10分所以…………………12分，故 . …………………14分19.解：(1)由，可得，解之得 . …………………2分由32种情形等可能，故，……………………4分所以，答：“谁被选中”的信息熵为. ……………………6分(2) 获得冠军的概率为，……………8分当时，，又，故，……………………11分，以上两式相减，可得，故，答：“谁获得冠军”的信息熵为 . ……………………14分20.解：(1)由，可知，又点坐标为故，可得，……………………………2分因为椭圆M过点，故，可得，所以椭圆M的方程为 . (4)分(2)AP的方程为，即，由于是椭圆M上的点，故可设，……………………………6分所以……………………………8分当，即时，取最大值.故的最大值为. ……………………………10分法二：由图形可知，若取得最大值，则椭圆在点处的切线必平行于，且在直线的下方. …………………………6分设方程为，代入椭圆M方程可得，由，可得，又，故. …………………………8分所以的最大值 . ……………………………10分(3)直线方程为，代入，可得，，又故，，………………12分同理可得，，又且，可得且，所以，，，直线的方程为，………………14分令，可得 .故直线过定点 . ………………16分(法二)若垂直于轴，则，此时与题设矛盾.若不垂直于轴，可设的方程为，将其代入，可得，可得，………12分又，可得，………………14分故，可得或，又不过点，即，故 .所以的方程为，故直线过定点 . ………………16分21.解：(1)对于函数，当时，，又，所以，故是“L函数”. ………………2分对于函数，当时，，故不是“L函数”. ………………4分(2)当时，由是“L函数”，可知，即对一切正数恒成立，又，可得对一切正数恒成立，所以. ………………6分由，可得，故，又，故，由对一切正数恒成立，可得，即. ………………9分综上可知，a的取值范围是. ………………………10分(3)由函数为“L函数”，可知对于任意正数，都有，且，令，可知，即，………………………12分故对于正整数k与正数，都有，………………………………14分对任意，可得，又，所以，…………………16分同理，故. ……………………………18分【2018届上海市黄浦区高三数学模拟试卷及答案】。

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上海市黄浦区2018 届高三一模数学试卷2018.01一 . 填空题（本大题共 12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 已知全集 UR ，集合 A { x || x 1| 1}，B{ x |x3 0}，则 (C U A)I Bx12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，若角的终边落在第三象限内，且 cos()3 ，则 cos2253. 已知幂函数的图像过点 (2, 1) ，则该幂函数的单调递增区间是44. 若 S n 是等差数列 { a n } （ n *）： 1,2,5,8,的前 n 项和，则 limS nN2nn15. 某圆锥体的底面圆的半径长为2 的扇形，则该圆锥体2 ，其侧面展开图是圆心角为3的体积是6. 过点 P( 2,1)作圆 x 2 y 2 5 的切线，则该切线的点法向式方程是7. 已知二项式展开式 (12x) 7a 0a 1 x a 2 x 2a 7 x 7 ，且复数 z1a 1a 7i ，则2128复数 z 的模 | z |（其中 i 是虚数单位）8.a 1 xb 1 yc 1的增广矩阵是m 1 3若关于 x 、 y 的二元一次线性方程组，a 2 xb 2 yc 2 0 2 nx 11 0 10 3 m 中第 3 行第 2 列元素的代数且y是该线性方程组的解，则三阶行列式12 n 1余子式的值是9. 某高级中学欲从本校的7 位古诗词爱好者（其中男生2 人、女生 5 人）中随机选取3 名同学作为学校诗词朗读比赛的主持人，若要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法的种数是（结果用数值表示）10. 已知 ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对边长分别为 a 、 b 、 c ，记 ABC 的面积为 S ，若 S a 2(b c)2 ，则内角 A（结果用反三角函数值表示）11. 已知函数 f (x)|1 |，关于 x 的方程 f2 (x) bf (x) c 0 有 7 个不同实数根，| x | 1则实数 b 、 c 满足的关系式是12. 已知正六边形ABCDEF （顶点的字母依次按逆时针顺序确定）的边长为1，点 P 是uuur uuur uuury 的取值范围是CDE 内（含边界）的动点，设 AP x AB y AF （ x, y R ），则 x二 . 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共20 分）13.已知、是空间两个不同的平面，则“平面上存在不共线的三点到平面的距离相等”是“∥”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14.为了得到函数y sin3 x cos3x （ x R ）的图像，可以将函数y 2 sin 3x 的图像（）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位44C. 向右平移个单位D. 向左平移12个单位1215.用数学归纳法证明1113n 111（ n N *）时，由n k 到n 1 n 2n n24 n k 1 时，不等式左边应添加的项是（）111C.11D.11A.1B.1 k 12k 12k222k2k2k 1 2k16.已知函数y2x 1 的图像与函数y f (x) 的图像关于直线x y0 对称，则函数y f ( x) 的反函数是（）A. y1log 2 (x)B. y log2 (1x)C.y 2 x1D. y2x 1三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E、F分别是所在棱A1 B1、 AB 的中点，点 O1是面 A1 B1C1 D1的中心，如图所示.（1）求三棱锥O1FBC的体积V O1FBC；（2）求异面直线A1F与CE所成角的大小 .（结果用反三角函数值表示）18. 已知函数f (x)11cos2x ， g( x)13cos x sin x ， x R .222（1）若f ( a)0 ，求 g(2a) 的数值；（2）若0 x，求函数 h(x) f (x)g( x) 的值域.219. 已知椭圆 E :x222y2 1 （ ab 0 ）的右焦点为 F (1,0)，点 B(0,b) 满足 | FB | 2 .a b（1）求实数 a 、 b 的值；2）过点 F 作直线 l 交椭圆 E 于M 、N 两点，若 BFM 与BFN 的面积之比为2（，求直线 l 的方程 .20. 定义：若函数 f ( x) 的定义域为 R ，且存在实数 a 和非零实数 k( a 、 k 都是常数 )，使得 f (2a x) k f (x) 对 xR 都成立，则称函数 f ( x) 是具有“理想数对( a,k) ”的函数，比如，函数 f ( x) 有理想数对 (2, 1) ，即 f (4 x)f ( x) ， f (4 x)f ( x) 0 ，可知函数图像关于点 (2,0) 成中心对称图形，设集合 M 是具有理想数对(a,k) 的函数的全体 .（1）已知 f (x)2x 1， xR ，试判断函数 f (x) 是否为集合 M 的元素，并说明理由；（2）已知函数 g ( x)2x ， xR ，证明： g(x) M ；（ 3）数对 (2,1) 和 (1, 1) 都是函数 h( x) 的理想数对，且当 1 x 1 时， h( x) 1 x 2 ，若正比例函数y（m 0）的图像与函数h(x)的图像在区间 [0,12]上有且仅有 5 个交点，mx求实数 m 的取值范围 .21. 定义运算“”：对于任意 x, y R ， x y (1 b) x by （ b R ）（等式的右边是通常的加减乘运算），若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n a n3n 对任意 n N * 都成立 .（1）求 a 1 的值，并推导出用 a n 1 表示 a n 的解析式；（2）若 b3 ，令 b na n （ n N * ），证明数列 {b n } 是等差数列；3n（3）若 b3 ，令 c na n （ n N *{ c n } 满足 | c n | 2 （ n N*3 n ），数列），求正实数 b 的取值范围 .参考答案一. 填空题1.[0,2]73. (,0)4.3 5.8 2.23256.2 (x 2)1 ( y 1) 07.5 28. 49. 2510. arccos1511. bc 1 （或 b c1 ）12. [3,4]17b2c 1二. 选择题13. B 14. D 15. D 16. C三. 解答题17．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．解 (1) 联结 BC 、 O 1 B 、O 1C 、O 1F ，依据题意可知，三棱锥 O 1 FBC 的高与 AA 1 的长相等因为 BC 2 ， F 是棱 AB 的中点，故 BF1所以，V O 1 FBC1 1 BC BF AA 12 .3 23(2) 联结 EB ，又 E 是棱 A 1 B 1 的中点， B 1E1 .故 BE PA 1F .于是，BEC就是异面直线 A F 与CE 所成的角 (或补角 ).1可求得 BEB B 12 B 1E 25 ，tanBEC2 2 5 .55所以，异面直线A 1 F 与 CE 所成的角的大小是 arctan25 .518．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分8 分．解 (1)Q f ( x) 1 1 cos2x, f ( )0，∴1 1 cos 2 0,cos 2 1,sin 20 ．222 2∴g (2 )1 3 cos2 sin 21 .22(2) 依据题意，可知 h(x) 11cos 2x3sin 2 x,0x.2 22于是， h( x)1sin(2 x). 又0 x ，可得2x7 ，166sin(2 x ) 1 .626 26因此，11sin(2 x) 2 . 所以函数 h( x) 的值域是 [ 1, 2] .26219．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．解 (1) 椭圆 E :x 2y 2 1(a b 0) 的右焦点为 F (1,0) ，点 B(0, b) 满足 | FB | 2 ，a 2b 2则1 b 22 ，解得 b3(b0) .由公式 c2a2b 2，得 a21 a 2, 3 4, a 2(a 0) ，所以3.b(2) 因为直线 l 过焦点 F ，故直线与椭圆总交于M 、N 两点 .结合图形，可知，BFM 与 BFN 的高相同，且Suuuur Suuur即| FM | 2| FN |，则 FM 2NF .BFM2，BFN设 M ( x 1 , y 1 )， N (x 2 , y 2 ) ，可得 (x 11, y 1) 2(1 x 2 ,y 2 ) ，2213 x 1 , x 1y 1x 21,x 1,解得2 由 43解得2y1.223 5 .y 2x 2 y 2 1.y24 3 14求得直线 l 的斜率 k3 5 5. 所以，所求直线5( x14 l 的方程为 l : y1) .1 22220．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4分，第 2 小题满分 6分，第 3小题满分 6 分．解 (1) 依据题意，知f ( x) 2x 1 ，若f (2 a x)k f ( x) ，即 2(2a x) 1 k (2x 1) .2x4a 1 2kx kx R2k2,k1,化简得，此等式对都成立，则a1 .解得2于是，函数 f ( x)2x 1 有理想数对 ( 1, 1) .所以，函数f ( x) M .2 证明 (2) 用反证法证明 g( x)M .假设 g( x) M ，则存在实数对 (a, k )( k 0) 使得 g (2a x) k g (x) 成立 .又 g (x)2x ，于是， 22a xk 2x ，即22 ak22x .一方面，此等式对x R 都成立；另一方面，该等式左边是正的常数，右边是随x 变化而变化的实数 .这是矛盾！故假设不成立.因此，函数 g (x) 不存在理想数对 (a, k )( k0) ，即 g( x) M .解 (3) Q 数对 (2,1)和(1,1) 都是函数 h( x) 的理想数对，h(4 x) h(x), h(2x)h( x), xR .h(4 x) h(4(4 x)) h(2 (2 x)) f (2 x)h(4 (2 x)) h(2 x)h( x).函数 h(x) 是以 4 为周期的周期函数 .由 h(2 x)h(x), h(2x) h(x) 0, x R ，可知函数 h(x) 的图像关于点(1,0) 成中心对称图形 .又 1x 1 时， h( x)1 x2 .1 x3时， 1 2 x 1 ，则 h( x)h(2 x) (2 x)2 1 .先画出函数h( x) 在 [ 1,3] 上的图像，再根据周期性，可得到函数 h( x) 的图像如下：1 ( x 2,k 为偶数， 1 x 2k 1,h( x)2k ) 2k( x2k) 21,k 为奇数，1 x2k1.2kh( x) 1 ( x 8)2,7x 9 ； h( x) 1 ( x12) 2 ,11 x13 .由 h( x)1 ( x 8)2 ,(7 x 9) 有且仅有一个交点，解得ymxm 16 6 7( m 16 6 7，舍去 ) .h( x) 1 ( x 12) 2,(11 x 13)有且仅有一个交点，解得由mxym 24 2 143( m 24 2 143，舍去 ) .函数 ymx(m 0) 的图像与函数 h( x) 的图像在区间 [0,12] 上有且仅有 5 个交点时，实数 m 的取值范围是 24 2 143 m 16 6 7 .21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分．解 (1)QS n a n3n ，(1 b)S nba n 3n ， n N * ， S 1 a 1 .令 n1，得 (1 b)a 1ba 13 ，∴ a 1 3 ．当 n2 时，有 (1 b)S n1ba n 13n 1 ．∴ (1 b)[ S n S n 1 ] ba n ba n 1 3n 3n 1 (n 2, n N *)．∴ a nba n 1 2 3n 1(n 2, n N * ) ．证明 (2)Q b3，b n ann(n N * ) ， b11，3∴ a n3a n 1 2 3n 1 (n 2, n N * ) ，anan 1 2 ．2(n 2, n N * ) ．3n3n 13∴b n bn 13∴数列b n是以首项为1、公差为2的等差数列．3解 (3)Q 结合(1)，且b 3 ，c n ann (n N * ) ， c11，3∴a n b a n 12b2(n2, n N*) ．3n 3 3n 1，即 c c33n3 n 1c n2b2) . 3b(c n 13b310当b1时， c20 ，此时， c1，总是满足 | c | 2 (n N*)；13b n n01时，c120 ，此时，c n2是等比数列．2 当 b3b3b∴c n32(c12)(b)n 1(n N*)．b3b3∴c n2 b 1(b)n 1(n N*)．3b b33若 b 3 时，数列c n是单调递增数列，且n时， c n，不满足 | c n|2 ( n N*)若 0b 1 时，b10,0b1，数列c n是单调递减数列，故 c1c2L . b33又 c11，同样恒有 |c n| 2 (n N * ) 成立；若 1b 3 时，b10,0b1，数列c n是单调递增数列， lim c n2. b33n3b由2b 2，即此时当1b 2 时，满足 |c n | 2 (n N * ) .3综上，所求实数 b 的取值范围是(0, 2].。