《单位圆与三角函数线》习题
人教版数学高一课时作业单位圆与三角函数线
1.2.2单位圆与三角函数线一、选择题1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )A.在x 轴上B.在y 轴上C.在直线y ＝x 上D.在直线y ＝x 或y ＝－x 上2.如果3π4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( ) A.cos θ＜tan θ＜sin θB.sin θ＜cos θ＜tan θC.tan θ＜sin θ＜cos θD.cos θ＜sin θ＜tan θ3.在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，πC.⎝⎛⎭⎫π4，5π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π24.若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( ) A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5.依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝cos π4；③tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5. 其中判断正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题6.已知θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________.7.函数y ＝1－2sin x 的定义域为________.8.点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为________.三、解答题9.画出7π6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值.2 2的定义域.10.求函数f(x)＝1－2cos x＋ln⎝⎛⎭⎫sin x－参考答案一、选择题1.B【解析】 ∵sin α＝1或sin α＝－1，∴角α终边在y 轴上.故选B.2.A【解析】由于3π4＜θ＜π，如图所示，正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，由此容易得到OM ＜AT ＜0＜MP ，故选A.3.C【解析】如图阴影部分(不包括边界)即为所求.4.D【解析】当0＜α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角.5.B【解析】根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.6.AT >MP >OM【解析】作图如下：因为θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM . 7.⎣⎡⎦⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ) 【解析】要使函数有意义，有1－2sin x ≥0，得sin x ≤12， 如图，确定正弦值为12的角的终边OP 与OP ′，其对应的一个角分别为136π，56π 所求函数定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ). 8.第四象限【解析】因为5π6＜3＜π，作出单位圆如图所示.设MP →，OM →的数量分别为a ，b ，所以sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0，所以sin 3－cos 3＞0.因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |，所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限.9.解:如图，MP ，OM ，AT 分别为正弦线，余弦线和正切线.sin 7π6＝－12，cos 7π6＝－32，tan 7π6＝33.10.解:由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22，则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z .。
高中数学第七章三角函数7.2.2单位圆与三角函数线课时素养评价含解析第三册
单位圆与三角函数线(20分钟35分）1。
如图，点P从出发,沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点,则Q点坐标为()A. B.C。
D.【解析】选A。
点P从出发，沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx=-,所以Q,即Q点坐标为。
【补偿训练】已知α是第二象限角,其终边与单位圆的交点为P，则cos α=()A。
— B.C。
D。
—【解析】选A.由题意知,解得m=-，所以cos α=—。
2。
如果〈α<,那么下列不等式成立的是（）A.cos α<sin α〈tan αB.tan α〈sin α<cos αC.sin α〈cos α<tan αD。
cos α〈tan α〈sin α【解析】选A.方法一：（特值法)令α=,则cos α=，tan α=，sin α=,故cos α<sin α〈tan α。
方法二：如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线、余弦线、正切线,则cos α<sin α<tan α。
3.(2020·济南高一检测)使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是（)A.B.C。
D。
【解析】选A.如图所示,当x=和x=—时,sin x=cos x，故使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是。
4。
有三个命题：①与的正弦线相等;②与的正切线相等;③与的余弦线相等.其中真命题的个数为(）A。
1 B.2 C。
3 D。
0【解析】选B.根据三角函数线的定义可知,与的正弦线相等，与的正切线相等，与的余弦线相反。
5。
比较大小:tan 1tan 。
(填“>"或“〈"）【解析】因为1〈,且都在第一象限，由它们的正切线知tan 1〈tan .答案:〈6.作出-的正弦线、余弦线和正切线。
【解析】如图所示,所以角-的正弦线为，余弦线为，正切线为。
（30分钟60分）一、单选题(每小题5分，共20分)1.设a<0,角α的终边与单位圆的交点为P(—3a，4a)，那么sin α+2cos α的值等于（）A。
(完整)1.2.1单位圆与三角函数线(习题课)
若f为cos，则角的终边是直线x=m与单位圆的两个交点与 原点的连线），根据三角函数值的大小，找出在0~2π内的 取值，再加上周期，分清楚是优弧还是劣弧。
2
2
2
2
(5) cos 1 (6) cos 1 (7) cos 3 (8) tan 3
2
2
2
3
(9) tan 1(10)sin 1 且cos 1
2
2
2、利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或 “<”连接)：
(1)sin 23π > sin 43π；
2> (2)cos 3π
cos 43π；
2<
3
(3)tan3π
tan4π.
对于f 为 tan，则取点(1，m)，连接该点和原点即得角的 终边所在的位置，并反向延长，结合图像可得 。 分 清 楚 是 优弧还是劣弧，同时注意区间是开区间还是闭区间.
跟踪演练2 (1)已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限， 若α∈[0,2π)，求α的取值范围.
可知
α
的取值范围为π4<α<π2或
圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而
得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从 A(1,0)点引单位圆的切线，交 角的终边或终边的反向延长线于一点 T，即可得到正切线 AT.
题型二 利用三角函数线解不等式 例2 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取 值范围.
人教B数学必修四课时分层作业4 单位圆与三角函数线 含解析
课时分层作业(四) 单位圆与三角函数线(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上D ．在直线y ＝x 或y ＝－x 上 B [∵sin α＝1或sin α＝－1， ∴角α终边在y 轴上．故选B.]2．如果3π4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( ) A ．cos θ＜tan θ＜sin θ B ．sin θ＜cos θ＜tan θ C ．tan θ＜sin θ＜cos θD ．cos θ＜sin θ＜tan θA [由于3π4＜θ＜π，如图所示，正弦线MP →，余弦线OM →，正切线AT →，由此容易得到OM ＜AT ＜0＜MP ，故选A.]3．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 [答案] C4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上C ．第二、第四象限的角平分线上D ．第二、第三象限的角平分线上C [角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，所以sin α＝－cos α，即sin α＋cos α＝0，所以角α的终边在直线x ＋y ＝0上，所以选C.]5．依据三角函数线，作出如下四个判断： ①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4；③tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5. 其中判断正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B [根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.]二、填空题6．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________．AT >MP >OM [作图如下：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .]7．函数y ＝1－2sin x 的定义域为________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ) [要使函数有意义，有1－2sin x ≥0，得sin x ≤12，如图，确定正弦值为12的角的终边OP 与OP ′， 其对应的一个角分别为136π，56π，所求函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z )．]8. 若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，利用三角函数线得到α的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π [利用单位圆作出正弦线、余弦线，所以α的范围是0<α<π3或5π3<α<2π.] 三、解答题9．画出7π6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值．[解] 如图，MP →，OM →，AT →分别为正弦线，余弦线和正切线．sin 7π6＝－12，cos 7π6＝－32，tan 7π6＝33.10．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域．[解] 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎨⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >22，则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z . [等级过关练]1．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形D [当0＜α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角．]2．满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥12的x 的集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π12≤x ≤2k π＋7π12，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π6，k ∈ZA [由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥12，得π6＋2k π≤x －π4≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z .]3．sin 2π5，cos 6π5，tan 2π5从小到大的顺序是________．cos 6π5<sin 2π5<tan 2π5 [在单位圆中分别作角2π5与角6π5，可知6π5为第三象限角，所以cos 6π5<0.又0<π4<2π5<π2，所以2π5的正切线大于正弦线， 即0<sin 2π5<tan 2π5， 所以cos 6π5<sin 2π5<tan 2π5.]4．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ＜0；②sin θ－cos θ＞0； ③|sin θ|＜|cos θ|；④sin θ＋cos θ＞0.④ [若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.]5．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.[证明] 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox ，PN ⊥Oy ，M ，N 分别为垂足．∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α，在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝12sin α， S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14π×12＝π4， 又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α＜π4，即sin α＋cos α＜π2， ∴1＜sin α＋cos α＜π2.。
高中数学-单位圆与三角函数线练习题
高中数学-单位圆与三角函数线练习题5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.若单位圆的圆心与坐标原点重合，有下列结论：①单位圆上任意一点到原点的距离都是1；②单位圆与x 轴的交点为（1，0）；③过点（1，0）的单位圆的切线方程为ｘ=1；④与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=1.以上结论正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 解析：单位圆与x 轴的交点为（1，0）和（-1，0）；与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=±1，所以②④错误.显然①③正确. 答案：B2.对角α的正弦线叙述错误的是（ ） A.正弦线的起点为坐标原点 B.正弦线为有向线段C.正弦线的长度为不大于1的正数D.当角α的终边不在坐标轴上时，正弦线所在直线平行于ｙ轴 解析：正弦线的长度有可能为0,所以C 答案错误. 答案：C3.如图1-1-2，PM⊥x 轴，AT⊥x 轴，则α的正弦线、余弦线、正切线分别是____________、____________、____________，其中OM=___________，MP=____________，AT=____________.图1-1-2 图1-1-3解析：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出. 答案：MP OM AT cosα sinα tanα4.如图1-1-3，分别作出角β的正弦线、余弦线、正切线,并比较角β的正弦值、余弦值、正切值的大小.解：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出下图.正弦线、余弦线、正切线分别是''P M 、'OM 、'AT ，并且sinβ＞cosβ＞tanβ. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若-43π＜α＜2π-，从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是（ ）图1-1-4A.sinα＜tanα＜cosαB.tanα＜sinα＜cosαC.cosα＜sinα＜tanαD.sinα＜cosα＜tanα 解析：在单位圆中，作出43π-＜α＜2π-内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线，|OM |＜|MP |＜|AT |，考虑方向可得MP ＜OM ＜AT .答案：D2.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于（ ）A.第一象限B.第一、二象限C.第三象限D.第一、三象限解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限角时，正切线都在第一象限. 答案：D3.在（0，2π）内，使sinx ＞cosx 成立的x 的取值范围为（ ）A.（4π，2π）∪（π，45π） B.（4π，π）C.（4π，45π）D.（4π，π）∪（45π，23π）解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在（0，2π）内sinx ＞cosx ，则x∈（4π，45π）.答案：C4.如果cosα=cosβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于直线y=x 对称 D.关于原点对称 解析：利用单位圆中的余弦线即得，如图.答案：A5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r （r=1），所以|sinα|+|cosα|=1，当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|+|cosα|=|MP|+|OM|＞1，综上有|sinα|+|cosα|≥1.6.设43π＜α＜π，角α的正弦线、余弦线、正切线的数量分别为a 、b 、c ，由图比较a 、b 、c 的大小.解：如图所示，|MP|＜|OM|＜|AT|，而a=|MP|，b=-|OM|，c=-|AT|，∴a＞b ＞c.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.(安徽合肥统考，1)sin4·tan7的值（ ）A.大于0B.小于0C.等于0D.不大于0解析：4弧度的角是第三象限角，7弧度的角是第一象限角，由单位圆中的正弦线和正切线知sin4＜0，tan7＞0，所以sin4·tan7＜0. 答案：B 2.若θ∈(0,2π),则sinθ+cosθ的一个可能值是（ ） A.32 B.72πC.224-D.1解析：由θ∈(0，2π)知sinθ+cosθ＞1，A 、B 、C 、D 四个选项中仅有224-＞1，故选C.答案:C3.适合cosα≥21的角α的集合是（ ） A.［2kπ+3π，2kπ+35π］（k∈Z ） B.［2kπ+3π，2kπ+32π］（k∈Z ）C.［2kπ-3π，2kπ+3π］（k∈Z ）D.［2kπ+3π，2kπ-3π］（k∈Z ）解析：在单位圆中作图，如图，α的范围是2kπ-3π≤α≤2kπ+3π.答案：C4.若sinα=sinβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于直线y=x 对称 D.关于原点对称 解析：利用单位圆中的正弦线即得，如图.答案：B5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:(1)4π；(2)32π-.解：如图,正弦线：MP ，余弦线：OM ，正切线：AT .(1) (2)6.利用三角线，求满足sinx≤21的角x 的集合. 解：由图可知，值为21的正弦线11P M 和22P M ，易得出∠M 1OP 1=6π，∠M 2OP 2=65π，故满足sinx≤21的x 的集合为｛x|2kπ+65π≤x≤2kπ+613π，k∈Z ｝.7.求函数y=x cos 21-的定义域. 解：如图，因为1-2cosx≥0，所以cosx≤21，所以x∈［2kπ+3π，2kπ+35π］（k∈Z ）.8.已知关于x 的方程（2sinα-1）x 2-4x+4sinα+2=0有两个不相等的正根，试求角α的取值范围.解：设方程的两根为x 1、x 2，这个方程有两个不相等正根必满足的条件为⎪⎩⎪⎨⎧>•>+>∆,0,0,02121x x x x 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+>->+---.01sin 22sin 4,01sin 24,0)2sin 4)(1sin 2(4)4(2ααααα 化简得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<><<-.21sin 121sin ,21sin ,23sin 23αααα或故21＜sinα＜23.利用三角函数线，在单位圆中标出满足条件的角α的终边位置，即图中两阴影部分的交集，故2kπ+6π＜α＜2kπ+3π或2kπ+32π＜α＜2kπ+65π，k∈Z ，即α的取值范围是{α|2kπ+6π＜α＜2kπ+3π，k∈Z }∪{α|2kπ+32π＜α＜2kπ+65π，k∈Z }.9.设α是第二象限的角，作α的正弦线、余弦线、正切线，由图证明cos 2α+sin 2α=1. 证明：如图，OM =cosα，MP =sinα，在Rt△MOP 中，|OM|2+|MP|2=｜OP ｜2=1，所以cos 2α+sin 2α=1.10.设α为任意角，求|sinα|+|cosα|的取值范围.解：由正弦线、余弦线及三角形三边关系，可知|sinα|+|cosα|的取值范围为［1，2］. 11.已知α∈（0，2），求证：sinα＜α＜tanα. 证明：在单位圆中，利用三角函数线的定义，有MP =sinα，AT =tanα.又由α=，显然S △OAP ＜S扇形OAP＜S △OAT ，即21·OA ·MP ＜21·OA ·＜21··AT .化简得＜α＜，所以sinα＜α＜tanα.。
《单位圆与三角函数线》拓展练习
《单位圆与三角函数线》拓展练习1．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ．23 Ｂ．43 Ｃ．52 Ｄ．5562.求圆心在直线3x-y=0上，与x 轴相切，且被直线 0=-y x 截得的弦长为27的圆的方程。
3．方程0)4(0)4(222222=-++=-+y x x y x x 与表示的曲线是（ ）.A 都表示一条直线和一个圆 .B 前者是一条直线或一个圆，后者是两个点.C 都表示两个点 .D 前者是两个点，后者是一直线和一个圆4.方程y= ( )A 、一条射线B 、一个圆C 、两条射线D 、半个圆5.方程()04122=-+-+y x y x 所表示的图形是（ ） A ．一条直线及一个圆 B ．两个点 C ．一条射线及一个圆 D ．两条射线及一个圆6.若直线b x y += 与曲线 243x x y --= 有公共点，则b 的取值范围是 .7.点P （x,y ）在圆x 2+y 2=4 上，则44y x --的最大值是 8.已知x 2+y 2+4x －2y-4=0，则x 2+y 2的最大值为____________9.设点M(x0，y0)为圆x 2＋y 2=r 2上一点，如何求过点M 的圆的切线方程？10.设点M(x0，y0)为圆（x-a) 2＋(y-b) 2=r 2上一点，如何求过点M 的圆的切线方程？11．已知动点M 到点A （2，0）的距离是它到点B （8，0）的距离的一半，求：（1）动点M 的轨迹方程；（2）若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．参考答案：1.D2. （x+1）2+(y+3) 2=9或（x-1）2+(y-3) 2=93.B4.D5.D6.[1-22,3]7.3748.14+659.xx0+yy=r2 10.(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r211.x2+y2=16, （x-1）2+y2=4。
高中数学 学业分层测评4 单位圆与三角函数线(含解析)
学业分层测评(四) 单位圆与三角函数线(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( ) A.在x 轴上 B.在y 轴上 C.在直线y ＝x 上D.在直线y ＝x 或y ＝－x 上【解析】 ∵sin α＝1或sin α＝－1， ∴角α终边在y 轴上.故选B. 【答案】 B2.(2016·石家庄高一检测)如果3π4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( )A.cos θ＜tan θ＜sin θB.sin θ＜cos θ＜tan θC.tan θ＜sin θ＜cos θD.cos θ＜sin θ＜tan θ【解析】 由于3π4＜θ＜π，如图所示，正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，由此容易得到OM ＜AT ＜0＜MP ，故选A.【答案】 A3.在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎪⎫5π4，3π2【解析】 如图阴影部分(不包括边界)即为所求.【答案】 C4.若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】 当0＜α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sinα＋cos α＝23，∴α必为钝角.【答案】 D5.(2016·天津高一检测)依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4；③tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5. 其中判断正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个【解析】 根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.【答案】 B 二、填空题6.(2016·西安高一检测)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________.【解析】 作图如下：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM . 【答案】 AT >MP >OM7.(2016·济南高一检测)函数y ＝1－2sin x 的定义域为________.【导学号：72010011】【解析】 要使函数有意义， 有1－2sin x ≥0，得sin x ≤12，如图，确定正弦值为12的角的终边OP 与OP ′，其对应的一个角分别为136π，56π所求函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ). 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ) 8.点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为________. 【解析】 因为5π6＜3＜π，作出单位圆如图所示.设MP →，OM →的数量分别为a ，b ， 所以sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0， 所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |，所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限. 【答案】 第四象限 三、解答题9.画出7π6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值.【解】如图，MP ，OM ，AT 分别为正弦线，余弦线和正切线.sin 7π6＝－12，cos 7π6＝－32，tan 7π6＝33.10.求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域. 【解】 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >22，则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z. [能力提升]1.已知sin α＞sin β，那么下列结论成立的是( ) A.若α，β是第一象限角，则cos α＞cos β B.若α，β是第二象限角，则tan α＞tan β C.若α，β是第三象限角，则cos α＞cos β D.若α，β是第四象限角，则tan α＞tan β【解析】 若α，β同属于第一象限，则0≤β＜α≤π2，cos α＜cos β，故A 错；第二象限，则π2≤α＜β≤π，tan α＜tan β，故B 错；第三象限，则π≤α＜β≤3π2，cos α＜cos β，故C 错；第四象限，则3π2≤β＜α≤2π，tan α>tan β，(均假定0≤α，β≤2π)，故D 正确.【答案】 D2.满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≥12的x 的集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π12≤x ≤2k π＋7π12，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z【解析】 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≥12，得π6＋2k π≤x －π4≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z .【答案】 A3.(2016·东莞高一检测)若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是________.①sin θ＋cos θ＜0; ②sin θ－cos θ＞0； ③|sin θ|＜|cos θ|; ④sin θ＋cos θ＞0. 【解析】 若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.【答案】 ④4.(2016·德州高一检测)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.【证明】 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox ，PN ⊥Oy ，M ，N 分别为垂足.∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α， 在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝12sin α，S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14π×12＝π4，又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α＜π4，即sin α＋cos α＜π2， ∴1＜sin α＋cos α＜π2.。
7.2.2 单位圆与三角函数线 同步练习(含解析)- 高中数学人教B版(2019)必修第三册
7.2.2 单位圆与三角函数线（同步练习）- 高中数学人教B 版（2019）必修第三册一、选择题1．满足1sin 2α>的角的集合为( ) A.π2π,3k k αα⎧⎫>+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ B.π2π,6k k αα⎧⎫>+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ C.π2π2π2π,33k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ D.π5π2π2π,66k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ 2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，cos α=( )A.35B.35C.25D.253．已知()()cos π,111,1x x f x f x x ≤⎧=⎨-+>⎩，则4433f f ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为( ) A.12B.12-C.-1D.14．若MP 和OM 分别是角7π6的正弦线和余弦线，则( )A.0MP OM <<B.0OM MP >>C.0OM MP <<D.0MP OM >>5．如果OM 、MP 分别是角π5α=的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( )A.0MP OM <<B.0MP OM <<C.0MP OM >>D.0OM MP >>6．如果MP 和OM 分别是角7π8α=的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( ) A.0MP OM << B.0OM MP >>C.0OM MP <<D.0MP OM >>7．若3π,24πθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则下列各式中正确的有的个数是( ) ①sin cos 0θθ+<；②sin cos 0θθ->；③sin cos θθ<；④sin cos 0θθ+>. A.1个B.2个C.3个D.4个8．下面四个不等式中不正确的为( ) A.11sinππ1515< B.0.9220.9< C.311lnlog 22< D.0.30.220.3>二、多项选择题9．设非负实数y x ,满足21,x y +=则x 的（ ） A.最小值为45B.最小值为25C.最大值为1D.最大值为13+ 三、填空题10．用三角函数线比较sin1与cos1的大小，结果是______.（用“>”连接） 11．若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B θθππ++，写出θ的一个取值为___________. 12．已知5π3π42θ<<，角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是,,MP OM AT ，则||,||,||MP OM AT 的大小关系为_________________（用“>”连接）.13．在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点A ,点A 的纵坐标为45,且点A 在第二象限,则cos α=________.四、解答题14．已知11|sin |sin αα=-，且lg(cos )α有意义. （1）试判断角α的终边所在的象限；（2）若角α的终边与单位圆相交于点3(,)5M m ，求m 及sin α的值.15．利用三角函数线，求出满足sin 02cos 10αα⎧⎨-⎩的角α的集合.16．设1cos tan ,3αβ==3,0,22πππαβ<<<< 求αβ-的值. 17．已知0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求证：1sin cos 2ααπ<+<.参考答案1．答案：D 解析：因为π5π1sinsin 662==, 根据单位圆以及三角函数线的性质可得1sin 2α>的角的集合为: π5π|2π2π,66k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ,故选:D. 2．答案：A解析：由题意，点A 的纵坐标为45，点A 的横坐标为35-，∴由三角函数的定义可得3cos 5α=-，故选A ． 3．答案：D 解析：因为44π1cos 332f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，41π31cos 13332f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以443113322f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：D. 4．答案：C解析：在单位圆中画出角7π6的正弦线MP 和余弦线OM ，如图所示，则0OM MP <<. 故选：C.5．答案：D 解析：作出π5α=的正弦线MP 和余弦线OM ，如下图所示：由于ππ054<<，由图可知，0OM MP >>. 故选：D. 6．答案：D 解析：已知角7π8α=，作出单位圆中α的正弦线MP 、余弦线OM ，如图所示， 比较知0MP OM >>. 故选：D.7．答案：B解析：如图，因为3π,24πθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以sin 0MP θ=>，cos 0OM θ=<，且MP OM >， 所以sin cos 0θθ+>，sin cos 0θθ->，sin cos θθ>， 所以①错误，②正确，③错误，④正确， 故选：B.8．答案：B解析：A ，如图，利用三角函数线可知，1π15所对的弧长为1π15，1sin π15DE =，11sinππ1515DE DA <<∴=，A 对；B ，由于0.921>，200.91<<，B 错； C，如图，3ln 2log 20>>，则3311lnln 2log log 2022=-<=-<3311ln ln 2log log 2022=-<=-<，C 对；D ，0.3000.22210.30.3>==>，D 对； 故选：B. 9．答案：AC解析：令cos ,sin x r y r θθ==[]π,0,,0,2r θ⎡⎤∈∈+∞⎢⎥⎣⎦,则2cos sin 1r r θθ+=,带入得22cos 1cos 2cos sin x x y r r θθθθ+++=+=+2222211112211t t t t t t -++=-+++ 2211511()42t t t ==+---,期中[]tan 0,12t θ=∈,因此值域为4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．答案：sin1cos1>或cos1sin1< 解析：ππ143<<，Rt OAM ∴△中，OM AM <.根据三角函数线的定义得出：cos1OM =，sin1AM =，sin1cos1∴>.故答案为：sin1cos1>. 11．答案：512π（满足512k θπ=+π，k ∈Z 即可） 解析：(cos ,sin )A θθ与cos ,sin 66B θθ⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即θ，6θπ+关于y 轴对称， 26k θθπ++=π+π，k ∈Z ，则512k θπ=π+，k ∈Z ， 当0k =时，可取θ的一个值为512π. 故答案为：512π（满足512k θπ=π+，k ∈Z 即可）.12．答案：||||||AT MP OM >> 解析：如图，可知||||||AT MP OM >>.13．答案：35-解析：因为A 点纵坐标45A y =,且A 点在第二象限,又因为圆O 为单位圆,所以A 点横坐标35A x =-．故3cos 5α=-．14．答案：（1）11|sin |sin αα=-， sin 0α∴<.①lg(cos )α有意义，cos 0α∴>.②由①②得角α的终边在第四象限. （2）点3,5M m ⎛⎫⎪⎝⎭在单位圆上，22315m ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，解得45m =±.又α是第四象限角，0m ∴<，45m ∴=-.由三角函数定义知，4sin 5α=-.解析：15．答案：若1cos 2α=，则角α对应的余弦线的方向与x 轴的正方向相同，且长度为12. 作出示意图如图所示，角α的终边可能是OE ，也可能是OF ， 即π2π,3k k α=+∈Z 或π2π,3k k α=-+∈Z . 若α的终边在单位圆中的范围如图中阴影部分所示，则一定有1cos 2α，即2cos 10α-， 故满足1cos 2α的角α的集合为ππ|2π2π,33k k k αα⎧⎫-++∈⎨⎬⎩⎭Z .易知满足sin 0α的角α的集合为{|2ππ2π,}k k k αα+∈Z . 综上可知，满足条件的角 α的集合为π|2π2π,3k k k αα⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z .解析：16．答案：由53cos ,2παπα=<<得25sin tan 2.αα==又1tan ,3β=于是12tan tan 3tan()111tan tan 123αβαβαβ---===++⨯ 由3,022πππαβ<<<<得30,,222πππβαβ-<-<<-< 因此, 5.4παβ-=解析：17．答案：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点(,)P x y ， 过P 作,,,PM Ox PN Oy M N ⊥⊥分别为垂足. 所以sin MP y α==，所以cos OM x α==. 在OMP △中，OM MP OP +>, 所以sin cos 1αα+>. 所以111sin 222OAP S OA MP y α=⋅==△， 所以111cos 222OBP S OB NP x α=⋅==△， 21144OAB S π=π⨯=扇形.又因为OAP OBP OAB S S S +<扇形△△， 所以11sin cos 224ααπ+<，即sin cos 2ααπ+<.所以1sin cos 2ααπ<+<. 解析：。
1.2.1.2单位圆与三角函数线——课时作业(答案版)
§1.2.1.2单位圆与三角函数线参考答案1．【答案】B【解析】根据三角函数线的知识可知①③④正确．②不正确，因为有相同正弦线的角不一定相等，而是相差2π的整数倍，故选B.2．【答案】A【解析】由角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，得cos α＝±1，故角α的终边在x 轴上．3．【答案】A【解析】如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin(－3π4)＝cos(－3π4)，sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立，则由图可得－3π4≤x ≤π4.4．【答案】B【解析】由三角函数线易得AT >MP >OM ，即c >a >b .5．【答案】D【解析】分别在四个象限内作出满足sin α>sin β的两个角α，β，再作出要比较的余弦线或正切线．通过图形易得选D.6．【答案】D【解析】当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，所以α必为钝角． 7．【答案】(32，12) 【解析】cos π6＝32，sin π6＝12，所以角π6的终边与单位圆的交点坐标是(32，12)． 8．【答案】[π3，34π]∪[54π，53π] 【解析】在单位圆中画出余弦线OM 和OM ′，其中OM ＝－22，OM ′＝12，它们在[0,2π)内所对应的角分别为34π，54π和π3，53π，则满足－22≤cos x ≤12的区域是图中阴影部分，则在[0,2π)内所求x 的范围是[π3，34π]∪[54π，53π]．9．【答案】{x |2k π<x <2k π＋π2或2k π＋π2<x <2k π＋23π，k ∈Z } 【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0且sin x ≠1，2cos x ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，sin x ≠1，cos x >－12.如图，作出三角函数线，阴影部分区域(不包括边界)即为所求角的范围．即0<x <π2或π2<x <23π，再考虑终边相同的角可得． 10．【解析】如图所示，作出2π3对应的正弦线、正切线分别为AB 和EF . 作出4π5对应的正弦线、正切线分别为CD 和EG . 由图可知：|AB |>|CD |，|EF |>|EG |.又tan 2π3与tan 4π5均取负值， 故sin2π3>sin 4π5，tan 2π3<tan 4π5.11．【解析】(1)如图①所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P 和P ′，则OP 和OP ′就是角α的终边，∴∠xOP ＝3π4＝π－π4，∠xOP ′＝－π4， ∴满足条件的所有角α的集合是{α|α＝－π4＋k π，k ∈Z.}(2)如图②所示，过点(0，－12)作x 轴的平行线，交单位圆于点P 和P ′， 则sin ∠xOP ＝sin ∠xOP ′＝－12， ∴∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6， ∴满足条件的所有角α的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α7π6＋2k π<α<11π6＋2k π，k ∈Z .12．【证明】如图，单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，与角α，β的终边分别交于点Q ，P ，过P ，Q 分别作OA 的垂线，设垂足分别为M ，N ，则由三角函数线定义可知：sin α＝NQ ，sin β＝MP ，过点Q 作QH ⊥MP 于H ，于是MH ＝NQ ，则HP ＝MP －MH ＝sin β－sin α. 由图可知HP <＝β－α，即β－α>sin β－sin α.。
高中数学-单位圆与三角函数线练习
高中数学-单位圆与三角函数线练习(限时：10分钟)1．已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4 C.π4或5π4 D.π4或7π4答案：C2．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、四象限的角平分线上 D ．第一、三象限的角平分线上解析：由条件知sin α＝－cos α，α的终边应在第二、四象限的角平分线上． 答案：C3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α＞1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α＜1 D ．不能确定解析：作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α＞1.答案：A4．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ．sin θ>tan θ>cos θD ．tan θ>sin θ>cos θ解析：如图，由三角函数线可知，AT >PM >OP ，即tan θ>sin θ>cos θ答案：D5．已知π4＜x ＜π2，a ＝21－sin x ，b ＝2cos x ，c ＝2tan x，试比较a 、b 、c 的大小．解析：如图所示，在单位圆中MP 、OM 、AT 分别是x 的正弦线、余弦线、正切线．在△OMP 中，OM ＞OP －MP 即cos x ＞1－sin x 又∵AT ＞OA ，∴tan x ＞1 ∴tan x ＞cos x ＞1－sin x ， ∴2tan x＞2cos x＞21－sin x∴c ＞b ＞a(限时：30分钟)1．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π解析：可以直接用特殊角来验证．取x ＝π6，则sin x ＝12≥12成立，故排除D ；再取x ＝π2，则sin x ＝1≥12成立，排除A ；再取x ＝5π6，则sin x ＝sin 5π6＝12≥12成立，故选B.答案：B2．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．a ＜c ＜b解析：如图作出角α＝－1 rad 的正弦线、余弦线及正切线，显然b ＝cos(－1)＝OM ＞0，c ＝tan(－1)＜a ＝sin(－1)＜0，即c ＜a ＜b .答案：C3．在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，54π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎪⎫54π，32π解析：如图，当π4＜α＜5π4时，sin α＞cos α，故选C.答案：C4．cos1，sin1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1＜cos1＜tan1 B ．tan1＜sin1＜cos1 C ．cos1＜tan1＜sin1 D ．cos1＜sin1＜tan1解析：如图，有OM ＜MP ＜AT ，即cos1＜sin1＜tan1. 答案：D5．下列关系中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin12° B ．sin12°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin 12°＜cos10°D ．sin12°＜cos10°＜sin11°解析：在单位圆中画出角12°，11°的相应正弦线，10°的相应余弦线，直接观察可知选C.答案：C6．在(0,2π)内使cos x ＞sin x ＞tan x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，7π4解析：在同一个单位圆中分别作出正弦线、余弦线、正切线，即可看出． 答案：C7．若α、β为第二象限角，且sin α＞sin β，则cos α与cos β的大小关系为__________． 解析：如图，显然有cos α＞cos β. 答案：cos α＞cos β 8．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ＜0； ②sin θ－cos θ＞0； ③|sin θ|＜|cos θ|； ④sin θ＋cos θ＞0.解析：若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.答案：④9．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥12，利用单位圆中的三角函数线得⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3k ∈Z .解得⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z10．求函数y ＝log 2sin x 的定义域．解析：要使函数有意义，x 的取值满足sin x ＞0. 如图所示，MP →是角x 的正弦线，则有sin x ＝MP ＞0， ∴MP 的方向向上，∴角x 的终边在x 轴的上方， ∴2k π＜x ＜2k π＋π(k ∈Z )，即函数y ＝log 2sin x 的定义域是(2k π，2k π＋π)，k ∈Z .11．利用单位圆中的三角函数线，求满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1＞0的x 的取值范围．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ＞12.如图所示，由三角函数线可得⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，2k π－π3＜x ＜2k π＋π3k ∈Z .此交集为图形中的阴影重叠部分， 即2k π≤x ＜2k π＋π3(k ∈Z )．故x 的取值范围为{x |2k π≤x ＜2k π＋π3，k ∈Z }．12．已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox 、PN ⊥Oy ，M 、N 分别为垂足．∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α， 在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝12sin α，S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14π×12＝π4，又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α＜π4，即sin α＋cos α＜π2，∴1＜sin α＋cos α＜π2.。
7.2.2单位圆与三角函数线—2020-2021学年高一数学人教B版第三册第七章三角函数同步习题
单位圆与三角函数线一、选择题1．已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4C.π4或5π4D.π4或7π42．如果3π4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( ) A ．cos θ＜tan θ＜sin θB ．sin θ＜cos θ＜tan θC ．tan θ＜sin θ＜cos θD ．cos θ＜sin θ＜tan θ3．依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝cos π4； ③tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5. 其中判断正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( ) A ．[0，π6] B ．[π6，5π6] C ．[π6，2π3] D ．[5π6，π] 二、填空题5．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________．6．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________．7．函数y ＝1－2sin x 的定义域为________．三、解答题8．画出7π6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值． 9．把sin 2π5，cos 6π5，tan 2π5按从小到大的顺序排列．10．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ＜0；②sin θ－cos θ＞0；③|sin θ|＜|cos θ|；④sin θ＋cos θ＞0.单位圆与三角函数线1．解析：由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝π4或5π4. 答案：C2．解析：由于3π4＜θ＜π，如图所示，正弦线MP →，余弦线OM →，正切线AT →，由此容易得到OM ＜AT ＜0＜MP ，故选A.答案：A3．解析：根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.答案：B4．解析：画出单位圆(图略)，结合正弦线得出sin x ≥12的取值范围是[π6，5π6]．答案：B5．解析：∵π4<1<π3， ∴正弦线大于余弦线的长度，∴sin 1>cos 1.答案：sin 1>cos 16．解析：作图如下：因为θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM . 答案：AT >MP >OM7．解析：要使函数有意义，有1－2sin x ≥0，得sin x ≤12，如图，确定正弦值为12的角的终边OP 与OP ′， 其对应的一个角分别为136π，56π， 所求函数定义域为[2k π＋56π，2k π＋136π](k ∈Z )． 答案：[2k π＋56π，2k π＋136π](k ∈Z ) 8.解析：如图，MP →，OM →，AT →分别为正弦线，余弦线和正切线．sin 7π6＝－12，cos 7π6＝－32，tan 7π6＝33. 9．解析：在单位圆中分别作角2π5与角6π5，可知6π5为第三象限角，所以cos 6π5<0.又0<π4<2π5<π2，所以2π5的正切线大于正弦线， 即0<sin 2π5<tan 2π5， 所以cos 6π5<sin 2π5<tan 2π5. 答案：cos 6π5<sin 2π5<tan 2π510．解析：若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.答案：④（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。
【参考习题】《单位圆与三角函数线》(人教)
《单位圆与三角函数线》同步练习一、选择题1、已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为（ ）。
A ．3π4或π4B ．5π4或7π4C ．π4或5π4D ．π4或7π42、下列不等式中，成立的是( )。
A ．sin1>sin2B ．cos1<cos2C ．tan1>tan2D ．cot1<cot2 3、若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是（ ）。
A ．sin α＋cos α>1B ．sin α＋cos α＝1C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定4、使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是（ ）。
A ．[－3π4，π4] B ．[－π2，π2] C ．[－π4，3π4] D ．[0，π]二、填空题5、利用单位圆，可得满足sin α<22，且α∈(0，π)的α的集合为___________。
6、sin π5与cos π5的大小关系是___________。
三、解答题7、利用三角函数线，求sin.α < 12的角α 的范围. 8、确定下式的符号：sin 1－cos 1。
9、利用单位圆中的三角函数线求满足cos α≤－12的角α 的取值范围。
10、求满足下列条件的角x 的集合：(1) 已知tan x > 0，且sin x ＋cos x > 0 ；(2) 已知tan x < 0，且sin x －cos x < 0。
答案与解析1、C2、C3、A4、A5、{ α|0 < α < π4 或 3π4< α < π } 6、sin π5 < cos π57、⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋5π6<α<2k π＋13π6，k ∈Z 首先在y 轴上找到 12，过此点作平行于x 轴的直线，交单位圆于P 1与P 2两点。
数学人教B必修4课后导练：2单位圆与三角函数线 含解析
课后导练基础达标1.若角α终边上有一点P （-2，0），则下列函数值不存在的是（ ）A.sinαB.cosαC.tanαD.cotα答案：D2.若角θ的终边过点P （a,8）且cosθ=53-，则a 的值是（ ） A.6 B.-6 C.10 D.-10 解析：由任意角的三角函数定义可知53822-=+a a ,解得a=±6.显然a=6时不成立, 所以a=-6.答案：B3.若角α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是（ ）A.sinα+cosαB.tanα+sinαC.cosα-tanαD.sinα-tanα解析：如右图，作出sinα、cosα、tanα的三角函数线，显然△OPM ∽△OTA,且|MP|<|AT|， ∵MP>0,AT<0,∴MP<-AT.∴MP+AT<0，即sinα+tanα<0.答案：B4.已知sinθ·cosθ<0，且|cosθ|=cosθ,则P （tanθ,secθ）一定在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵sinθ·cosθ<0且|cosθ|=cosθ,∴sinθ<0,cosθ>0,即r y <0,r x >0. ∴y<0,x>0.∴tanθ=xy <0,secθ=x r >0, 即点P （tanθ,secθ）在第二象限.答案：B5.如右图，你从图中可读出什么信息？（1）P 点的坐标是_________；（2）若Q 点坐标是（-21,23），那么∠xOQ=_________rad,G 点坐标为_________. 答案：（1）（21,23） (2)32π (21,-23) 6.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边在_________上.解析:正弦线的长度为1,所以α的终边应在y 轴上.答案:y 轴7.不等式cosα≤21的解集为_________. 解析:画出单位圆,然后画出直线y=21,从图形中可以看出. 答案:［2kπ+3π,2kπ+35π］(k ∈Z ) 8.判定下列各式的符号.(1)tan250°·cot(-350°);(2)sin105°·cos230°;(3)tan191°-cos191°;(4)csc320°·sec820°.解:(1)∵tan250°>0,cot(-350°)>0,∴tan250°·cot(-350°)>0.(2)∵sin105°>0,cos230°<0,∴sin105°·cos230°<0.(3)∵tan191°>0,cos191°<0,∴tan191°-cos191°>0.(4)∵csc320°<0,sec820°<0,∴csc320°·sec820°>0.综合运用9.根据下图回答下列问题：（1）在图（a ）中，390°角的正弦值是________，P 点坐标为________；（2）在图（b ）中，-30°角的正弦值是________，P 点坐标是________；（3）sin(6π+2π)=________; (4)sin(π+6π)=________. 答案：(1)21 (23,21) (2)-21 (23,-21) (3)23 (4)-21 10.在半径为30 m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°,若光源恰好照亮整个广场,则其高度应为________ m(精确到0.1 m).解析:如图,△AOB 为圆锥的轴截面,顶角为120°,底面半径为30 m,依三角函数定义,cot60°=ADh ,即h=AD·cot60°=30×33=310≈17.3(m).答案:17.311.设θ∈［0，2π］，利用三角函数线求θ的取值范围.（1）tanθ>-1;(2)cosθ<23; (3)-21≤sinθ<23. 解：如图（1）tanθ>-1⇒θ∈［0,2π)∪(43π,23π)∪(47π,2π). (2)cosθ<23⇒θ∈(6π,611π).(3)-21≤sinθ<23⇒θ∈［0，3π)∪(32π,67π］∪［611π,2π］.拓展探究12.设角α=x(rad),且0<x<2π,于是x,sinx,tanx 都是实数,请你给x 一个具体值,比较这三个实数的大小;然后想一想,你得到的大小关系是否对区间(0,2π)上的任意x 都成立? 解:(1)不妨取x=4π,于是x=4π,sinx=22,tanx=1,显然sinx<x<tanx. (2)如图,设角α的终边与单位圆交于点P,单位圆与x 轴的正半轴的交点为A,过A 点作圆的切线交OP 的延长线于点T,连结AP,则sinx=MP,tanx=A T.在△AOP 中,=x·OP=x.由图易得S △POA <S 扇形POA <S △AOT ,即21OA·MP<21·OA<21OA·A T, 所以MP<<AT, 即sinx<x<tanx,即对区间(0,2π)上的任意x 都成立.。
高中数学 学业分层测评4 单位圆与三角函数线(含解析)
学业分层测评(四) 单位圆与三角函数线(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( ) A.在x 轴上 B.在y 轴上 C.在直线y ＝x 上D.在直线y ＝x 或y ＝－x 上【解析】 ∵sin α＝1或sin α＝－1， ∴角α终边在y 轴上.故选B. 【答案】 B2.(2016·石家庄高一检测)如果3π4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( )A.cos θ＜tan θ＜sin θB.sin θ＜cos θ＜tan θC.tan θ＜sin θ＜cos θD.cos θ＜sin θ＜tan θ【解析】 由于3π4＜θ＜π，如图所示，正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，由此容易得到OM ＜AT ＜0＜MP ，故选A.【答案】 A3.在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎪⎫5π4，3π2【解析】 如图阴影部分(不包括边界)即为所求.【答案】 C4.若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】 当0＜α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sinα＋cos α＝23，∴α必为钝角.【答案】 D5.(2016·天津高一检测)依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4；③tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5. 其中判断正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个【解析】 根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.【答案】 B 二、填空题6.(2016·西安高一检测)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________.【解析】 作图如下：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM . 【答案】 AT >MP >OM7.(2016·济南高一检测)函数y ＝1－2sin x 的定义域为________.【导学号：72010011】【解析】 要使函数有意义， 有1－2sin x ≥0，得sin x ≤12，如图，确定正弦值为12的角的终边OP 与OP ′，其对应的一个角分别为136π，56π所求函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ). 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ) 8.点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为________. 【解析】 因为5π6＜3＜π，作出单位圆如图所示.设MP →，OM →的数量分别为a ，b ， 所以sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0， 所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |，所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限. 【答案】 第四象限 三、解答题9.画出7π6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值.【解】如图，MP ，OM ，AT 分别为正弦线，余弦线和正切线.sin 7π6＝－12，cos 7π6＝－32，tan 7π6＝33.10.求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域. 【解】 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >22，则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z. [能力提升]1.已知sin α＞sin β，那么下列结论成立的是( ) A.若α，β是第一象限角，则cos α＞cos β B.若α，β是第二象限角，则tan α＞tan β C.若α，β是第三象限角，则cos α＞cos β D.若α，β是第四象限角，则tan α＞tan β【解析】 若α，β同属于第一象限，则0≤β＜α≤π2，cos α＜cos β，故A 错；第二象限，则π2≤α＜β≤π，tan α＜tan β，故B 错；第三象限，则π≤α＜β≤3π2，cos α＜cos β，故C 错；第四象限，则3π2≤β＜α≤2π，tan α>tan β，(均假定0≤α，β≤2π)，故D 正确.【答案】 D2.满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≥12的x 的集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π12≤x ≤2k π＋7π12，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z【解析】 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≥12，得π6＋2k π≤x －π4≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z .【答案】 A3.(2016·东莞高一检测)若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是________.①sin θ＋cos θ＜0; ②sin θ－cos θ＞0； ③|sin θ|＜|cos θ|; ④sin θ＋cos θ＞0. 【解析】 若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.【答案】 ④4.(2016·德州高一检测)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.【证明】 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox ，PN ⊥Oy ，M ，N 分别为垂足.∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α， 在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝12sin α，S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14π×12＝π4，又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α＜π4，即sin α＋cos α＜π2， ∴1＜sin α＋cos α＜π2.。
课时作业7：7.2.2 单位圆与三角函数线
7.2.2 单位圆与三角函数线基础达标一、选择题1.有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相等；③π4和5π4的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0解析π6和5π6的正弦线关于y 轴对称，长度相等；π3和4π3两角的正切线相同；π4和5π4的余弦线长度相等.故①②③都正确，故选C. 答案 C2.利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( ) A.sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B.sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C.sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D.sin 1.2>sin 1>sin 1.5解析 ∵1，1.2，1.5均在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内，正弦线在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内随角的增大而逐渐增大，∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1. 答案 C3.利用余弦线比较cos π5，cos π7，cos 4π7的大小关系是( ) A.cos 4π7＞cos π7＞cos π5B.cos 4π7＞cos π5＞cos π7C.cos π7＞cos π5＞cos 4π7D.cos π5＞cos 4π7＞cos π7解析 作出单位圆及π5，π7，4π7弧度角的余弦线，结合图形易知选项C 正确.答案 C4.设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c <a <bD.a <c <b解析 作α＝－1的正弦线、余弦线、正切线可知：b ＝||OM →，a ＝－||MP →， c ＝－||AT→，且||MP →＜||AT →. ∴b >a >c ，即c <a <b . 答案 C5.cos π3，sin π3，tan π3的大小关系是( ) A.sin π3<cos π3<tan π3 B.tan π3<sin π3<cos π3C.cos π3<tan π3<sin π3D.cos π3<sin π3<tan π3解析 分析π3弧度角的范围，作出单位圆及三角函数线，如图所示，设π3弧度角的终边与单位圆交于点P (x ，y )，x 轴正半轴与单位圆交于点A (1，0)，过P 作PM ⊥Ox ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线与OP 的延长线交于点T ，则有|OM →|<|MP →|<|AT →|，即cos π3<sin π3<tan π3.答案 D 二、填空题6.集合A ＝[0，2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤54π，2π7.函数y ＝2cos x －1的定义域为__________. 答案 [－π3＋2k π，π3＋2k π](k ∈Z )8.sin 1，cos 1，tan 1的大小关系是____________(从小到大排列).解析 由题意π4＜1＜π2，在单位圆中作出锐角α＝1的正切线、正弦线、余弦线，可知正切线最长，余弦线最短，所以有cos 1＜sin 1＜tan 1.答案 cos 1＜sin 1＜tan 1 三、解答题9.利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合：(1)sin x >－12且cos x >12；(2)tan x ≥－1.解 (1)由图(1)知：当sin x >－12且cos x >12时，角x 满足的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π6＋2k π<x <π3＋2k π，k ∈Z .(2)由图(2)知：当tan x ≥－1时，角x 满足的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x <2k π＋π2，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋34π≤x <2k π＋32π，k ∈Z .即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n π－π4≤x <n π＋π2，n ∈Z . 10.已知－12≤sin θ＜32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围. 解 由三角函数线可知 sin π3＝sin 2π3＝32，sin 7π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12， 且－12≤sin θ＜32，如图，画出单位圆，阴影部分即为所求.故θ的取值集合是[2k π－π6，2k π＋π3)∪(2k π＋2π3，2k π＋7π6](k ∈Z ).能力提升11.在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵解析 设点P 的坐标为(x ，y )，利用三角函数的定义可得yx <x <y ，所以－1<x <0，0<y <1，所以P 所在的圆弧是EF ︵，故选C.答案 C12.当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α.证明 如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于点P ，α的正弦线、正切线为有向线段MP →，AT →，则||MP →＝sin α，||AT→＝tan α.因为S △AOP ＝12OA ·MP ＝12sin α， S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12α， S △AOT ＝12OA ·AT ＝12tan α， 又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，所以12sin α<12α<12tan α，即sin α<α<tan α.创新猜想13.(多选题)下列四个命题中正确的为( ) A.α一定时，单位圆中的正弦线一定 B.单位圆中，有相同正弦线的角相等 C.α和α＋π有相同的正切线D.具有相同正切线的两个角终边在同一直线上解析 对于B ，有相同正弦线说明角的终边相同，但角不一定相等，所以B 错，A ，C ，D 均正确. 答案 ACD14.(多空题)在x ∈[0，2π]上满足sin x ＝32的x 的值为________，满足sin x ＞12的x 的取值范围是________. 解析 当x ∈[0，2π]时由sin x＝32得x＝π3或x＝2π3，当sin x＞12时，如图易知x∈[π6，5π6].答案π3或2π3[π6，5π6]。
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《单位圆与三角函数线》习题
1某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条。
如图，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，AB=50cm，依次裁下宽为1cm的矩形纸条a1、a2、a3，若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是 A．24 B．25 C．26 D．27
2.如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙1.6米，梯上点D距离墙1.4米，BD长0.55米，则梯子的长为
A．3.85米 B．4.00米 C．4.40米 D．4.50米
3.国际奥运会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成（如图），每个圆环的内、外圆直径分别为8和10，图中两两相交成的小曲边四边形（黑色部分）的面积相等，已知五个
圆环覆盖的面积是122.5平方单位，请你们计算出每个
．．小曲边四边形的面积为
__________________平方单位（π取3.14）。
4.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为___________.
5.已知：如图2－6，C城市在B城市的正北方向，两城市相距100km，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段BC）。
经测量，森林保护区A在B城市的北偏东40°的方向上，又在C城市的南偏东56°的方向上，已知森林保护区A的范围是以A为圆心，半径为50km的圆。
问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？
6. 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米？
７.在某高新技术开发区中，相距200米的A，B两地的中点O处有一个精密仪器研究所，为保证研究所的正常工作，在其周围50米内不得有机动车辆通过。
现在要从A到B修一条公路，有两种修路方案。
（1）分别由A，B向以O为圆心，半径为50米的半圆引切线，切点分别为M，N，沿线段AM、圆弧MN、线段NB修路（图1）；（2）分别由A，B向以O为圆心，半径为50米的半圆引切线，两切线相交于点P，沿线段AP，PB修路（图2）。
分别计算两种修路方案的公路长，指出哪种修路方案节省？
8.在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，其他两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，如图的设计方案是使AC=8，BC=6。
(1)求△ABC 中AB 边上的高h ；
(2)设DN =x ,当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大?
(3)实际施工时，发现在AB 上距B 点1.85的M 处有一棵大树；问；这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．
9.如图，菱形铁片ABCD 的对角线AC ，DB 相交于点E ，5
3sin =∠DAC ，AE ，DE 的长是方程x 2－140x ＋k =0的两根。
（1）求AD 的长；
（2）如果M ，N 是AC 上的两个动点，分别以M ，N 为圆心作圆，使⊙M 与⊙N 相外切，设AM =t ，⊙M 与⊙N 面积的和为S ，求S 关于t 的函数关系式；
（3）某工厂要利用这种菱形铁片（单位：mm ）加工一批直径为48mm ，60mm ，90mm 的圆形零件（菱形铁片上只能加工同一直径的零件，不计加工过程中的损耗），问加工哪种零件能最充分地利用这种铁片？并说明理由。
参考答案：
1.C
提示 设DC =x ，则
3.263030405≈-=x x ， 2.C
提示 应用平行线分线段成比例性质。
3.2.35.
4.143.
5.解：过点A 作AD ⊥BC 垂足为D 。
在Rt △ADC 中，，︒=
56tan AD CD 在Rt △ABD 中，︒=
40tan AD BD 根据题意得，
10040tan 56tan =︒+︒AD AD ∴58.5340tan 56tan 40tan 56tan 100≈︒
+︒︒⋅︒⋅=AD ∴AD >50.
答：计划修筑的这条高速公路和不会穿越森林保护区。
6.（提示：以MN 所在的直线为x 轴，点M 为原点建立直角坐标系，设抛物线顶点为P ，则点M 、N 、P 的坐标依次为
M （0，0）、N （4，0）、P （2，4）
由M 、N 、P 三点坐标可得抛物线的解析式为
y =－x 2＋4x
设A 点坐标为（x ，y ），则AD =BC =2x －4,AB =CD =y
∴l =2AB ＋2AB =2(－x 2＋4x )＋2(2x －4)=－2x 2
＋12x －8
函数l 的自变量的取值范围是0<x <4,且x ≠2.
若l =8，即－2x 2＋12x －8=8
∴x 2－6x ＋8=0 ∴x =2或x =4
∵0<x <4且x ≠2, ∴l 的值不可能取８。
（1）连结OM ，ON ，AC =CO =OD =DB =50。
又∵AM 2=AC ·AD =50×50×3，∴350=AM 可证Rt △AOM ≌Rt △BON ,∴BN =AM
在Rt △AOM 中，OA OM 2
1=，∴∠A =30°，∠MON =60° ∴ππ3
5050261=⨯⨯=的长⌒MN ∴第一种方案路长))(3503100(3502350米ππ+=+
⨯ （2）连结OP ，可算得33200=AP 。
∴另一种方案路长为)(33
400米 ∵03
310050334003503100<-=-+ππ，∴第一种方案修路节省。
8.解 (1)应用相似三角形性质可求出h =4.8；
(2)应用二次函数性质可求x =2.4；
(3)此时F 是BC 的中点．
在Rt △FEB 中，EF =2.4，BF =3， ∴8.14.29222=-=-=EF BF EB
∵BM =1.85， ∴BM >EB
故现设计方案中有BM>EB ，知大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案。
∵当x =2.4时，DE =5，∴AD =AB －（DE ＋BE ）=3.2
由圆的对称性知满足题设条件的另外设计方案是将最大面积的水池建在使AC =6，BC =8，且C 点在半圆周上的△ABC 中。
9.解 （1）∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AED =90° ∴5
3sin ==∠AD DE DAC 设DE =3a ，则AD =5a .∴a DE AD AE 422=-=
∵AE ,DE 是方程x 2－140x ＋k =0的两根，
∴3a ＋4a =140. ∴a =20. ∴AD =5×20=100
(2)AE =4a =4×20=80, ∴AC =2AE =160
作MF ⊥AD ，NG ⊥DC ，垂足分别是F 、G ，设⊙M ，⊙N 的半径分别r M ，r N ,在Rt △AFM 中，5
3sin ===∠t r AM FM DAC M ，∴t r M 53= ∵AD =DC ，∴∠DAC =∠DCA 。
在Rt △CGN 中，53sin ===
∠NC r NC GN DCA M ，∴NC =N r 35 ∵⊙M 与⊙N 相外切，∴MN =r M ＋r N .
∴1603553=+++N N r r t t ∴t r N 5
360-= ∴22536053⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=t t S ππ 即 πππ36007225
182+-=t t S （3）加工直径为48mm 的圆形零件，能最充分地利用这块材料。
设菱形的高线长为h mm ， 则)(9610021120160mm h =⨯
⨯=，
∴加工一个圆形零件的最大直径为96mm ，直径48mm 的圆形零件可加工4个。
若加工2个直径最大的圆形零件，那么这两个圆必定是△ADB 和△DBC 的内切圆，则它的半径为)(30120
100100801202122mm AB BD AD S ADB =++⨯⨯⨯=++△，那么加工2个圆形零件的最大直径为60mm 。
因此，在一张这种菱形铁片上，直径分别为90mm ，60mm ，48mm 的圆形零件分别可加工1个，2个，4个。
∵2
2224842902602⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅πππ， ∴加工直径为48mm 的圆形零件，能最充分地利用这块材料。