二次根式的性质及运算

第一讲二次根式的性质和运算

1.理解二次根式的概念及意义

教学目标：

1．理解二次根式的概念及性质，掌握最简二次根式的性质并熟练运用(重点)

2．会求二次根式中被开方数中字母的取值范围，体会研究二次根式的必要性；(难点)

教学过程：

一、情境导入

问题1：你能用带有根号的式子填空吗？

(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________．

(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m.

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h ＝5t2，如果用含有h的式子表示t，则t＝______．

问题2：上面得到的式子3，S，65，h

5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？

方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：（1）带二次根号“”；(2)被开方数是非负

二次根式的定义：一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．

一.下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；

(4)3

13；(5)

1

5

－

1

6

；

通过下列式子归纳含二次根式的式子有意义的条件：

(6)3－x(x≤3)；(7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2；

(9)－x2－5； (10)（a－b）2(ab≥0)

被开方数(式)为非负数；a有意义⇔a≥0.

归纳：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数

（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．

【变式题组】

1.二次根式42+-x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ）．

A ．2-≥x

B ．2->x

C ．2

D ．2≤x

2.若代数式3-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）．

A ．3-≥x

B ．3>x

C ．3≥x

D ．3≤x

3.函数x

x y 2-=中自变量x 的取值范围是（ ）． A ．0≠x B ．2≥x C ．2>x 且0≠x D ．2≥x 且0≠x

三．利用二次根式的非负性求解

(1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3|＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1；

解：(1)根据题意得⎩⎨⎧2a ＋8＝0，b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝ 3.

则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4； (2)已知x 、y 都是实数，且y ＝x －3＋3－x ＋4，求y x 的平方根

解.根据题意得⎩⎨⎧x －3≥0，3－x ≥0，

解得x ＝3.则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x 的平方根为±8. 跨越提升. 和二次根式有关的规律探究性问题

先观察下列等式，再回答下列问题． ①1＋112＋122＝1＋11－11＋1

＝112； ②1＋122＋132＝1＋12－12＋1

＝116； ③1＋132＋142＝1＋13－13＋1

＝1112. (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出

1＋142＋152的结果； 解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1

＝1120； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用

含n 的式子表示的等式(n 为正整数)．

解：（2）1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋1n －1n ＋1＝11n （n ＋1）

(n 为正整数)．

2.最简二次根式及化简

最简二次根式是特殊的二次根式，他需要满足：

（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；

（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；

那么如何将一个二次根式化为最简二次根式呢？

情境导入:

a 2等于什么？

我们不妨取a 的一些值，如2，－2，3，－3，…分别计算出对应的a 2的值，看看有什么规律． 22＝4＝2；（－2）2＝4＝2；

32＝9＝3；（－3）2＝9＝3；… 你能概括一下a 2的值吗？

思考：a 2和(a )2

的区别？ 技能提升

一、被开方数是整数或整数的积

例1 化简：（1）；（2）.

解：（1）原式====； （2）原式====. 温馨提示：当被开方数是整数或整数的积时，一般是先分解因数，再运用积的算术平方根的性质进行化简.

二、被开方数是数的和差

例2 化简：. 解：原式===. 温馨提示：当被开方数是数的和差时，应先求出这个和差的结果再化简. 三、被开方数是含字母的整式

例3 化简：（1）；（2）.

解：（1）原式==；

（2）原式===.

1627532⨯281⨯292⨯292⨯29325216⨯⨯⨯65422⨯⨯25422⨯⨯62022)2

1()23(+4149+410102

13418y x 3222b ab b a ++y y x ⋅⋅⋅⋅2)(32222y y x 232)2(22b ab a b ++2)(b a b +b b a )(+

温馨提示：当被开方数是单项式时，应先把指数大于2的因式化为或的形式再化简；当被开方数是多项式时，应先把多项式分解因式再化简，但需注意，被移出根号的因式是多项式的需加括号.

四、被开方数是分式或分式的和差

例4化简：（1）；（2）.

解：（1）原式===；

（2）原式===.

温馨提示：当被开方数是分式时，应先把分母化为平方的形式，再运用商的算术平方根的性质化简；当被开方数是分式的和差时，要先通分，再化简.

综合运用：

【类型一】结合数轴利用二次根式的性质求值或化简

1. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：（a＋1）2＋2（b－1）2－|a－b|.

解：从数轴上a，b的位置关系可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0.原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.

【类型二】二次根式的化简与三角形三边关系的综合

2.已知a、b、c是△ABC的三边长，化简（a＋b＋c）2－（b＋c－a）2＋（c－b－a）2.

解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c.

【类型三】利用分类讨论的思想对二次根式进行化简

3. 已知x为实数时，化简x2－2x＋1＋x2.

解析：根据a2＝|a|，结合绝对值的性质，将x的取值范围分段进行讨论解答．

解：x2－2x＋1＋x2＝（x－1）2＋x2＝|x－1|＋|x|.当x≤0时，x－1＜0，原式＝1－x＋(－x)＝1－2x；当0＜x≤1时，x－1≤0，原式＝1－x＋x＝1；当x＞1时，x－1＞0，原式＝x－1＋x＝2x－1.

2

)

(m a a

a m⋅2)

(

b

a

x

2

3

8

3

y

x

x

y

+

b

b

a

b

x

2

8

2

3

2

3

⋅

⋅

2

2

2

2

4

6

b

a

bx

x⋅

bx

ab

x

6

2

xy

y

x2

2+

2

2

2

2)

(

y

x

xy

y

x+

)

(

1

2

2y

x

xy

xy

+